历届高考数学压轴题汇总及答案

压轴题01数列压轴题题型/考向一：等差数列、等比数列性质的综合题型/考向二：以古文化、实际生活等情境综合题型/考向三：数列综合应用一、等差数列、等比数列的基本公式1.等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；2.等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.3.等差数列的求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ；4.等比数列的求和公式：S na 1－a n q1－q ，q ≠1，二、等差数列、等比数列的性质1.通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列，有a m a n ＝a p a q ＝a 2k .2.前n 项和的性质(m ，n ∈N *)：对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外).三、数列求和的常用方法热点一分组求和与并项求和1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，或c nn ，n 为奇数，n ，n 为偶数，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列的通项公式中有(－1)n 等特征，根据正负号分组求和.热点二裂项相消法求和裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数1（2n －1）（2n ＋1）＝1n （n ＋k ）＝(2)分母两项的差与分子存在一定关系2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1；n ＋1n 2（n ＋2）2＝141n 2－1（n ＋2）2.(3)分母含无理式1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .热点三错位相减法求和如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么求数列{a n ·b n }的前n 项和S n 时，可采用错位相减法.用其法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S n －qS n ”的表达式.○热○点○题○型一等差数列、等比数列性质的综合1．已知等比数列{}n a 满足123434562,4a a a a a a a a +++=+++=，则11121314a a a a +++=（）A ．32B ．64C ．96D ．128【答案】B【详解】设{}n a 的公比为q ，则()234561234a a a a q a a a a +++=+++，得22q =，所以()()1051112131412341234264a a a a a a a a q a a a a +++=+++⨯=+++⨯=．故选:B2．已知等比数列{}n a 的公比0q >且1q ≠，前n 项积为n T ，若106T T =，则下列结论正确的是（）A ．671a a =B ．781a a =C ．891a a =D ．9101a a =【答案】C3．已知等差数列n 满足15，36，数列n 满足12n n n n ++=⋅⋅．记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则使0n S <的n 的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由1536446a a a a =⎧⎨=+⎩得：111141624206a a da d a d =+⎧⎨+=++⎩，解得：1163a d =⎧⎨=-⎩，()1631319n a n n ∴=--=-+，则当6n ≤时，0n a >；当7n ≥时，0n a <；∴当4n ≤时，0n b >；当5n =时，0n b <；当6n =时，0n b >；当7n ≥时，0n b <；11613102080b =⨯⨯= ，213107910b =⨯⨯=，31074280b =⨯⨯=，474128b =⨯⨯=，()54128b =⨯⨯-=-，()()612510b =⨯-⨯-=，()()()725880b =-⨯-⨯-=-，()()()85811440b =-⨯-⨯-=-，()()()9811141232b =-⨯-⨯-=-，()()()101114172618b =-⨯-⨯-=-，532900S ∴=>，915480S =>，1010700S =-<，100S < ，当10n ≥时，0n b <，∴当10n ≥时，0n S <，则使得0n S <的n 的最小值为10.()()()()()()102120232022k k k k k k k T f a f a f a f a f a f a =-+-++- ，1,2k =，则1T ，2T 的大小关系是（）A ．12T >TB ．12T T <C ．12T T =D ．1T ，2T 的大小无法确定()()101322022...a f a +-)()22023f a -1=125．数列n 满足12，21n n n ++=+∈N ，现求得n 的通项公式为n nn F A B ⎛=⋅+⋅ ⎝⎭⎝⎭，,A B ∈R ，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则812⎡⎤⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为（）A ．43B ．44C ．45D ．46○热○点○题○型二以古文化、实际生活等情境综合6．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为P ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还（）万元.A ．10MB ．()()1010111MP P P ++-C ．()10110M P +D ．()()99111MP P P ++-7．传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）A．105B．107C．1012D．1015次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是（）A．7里B．8里C．9里D．10里【答案】A【详解】设第六天走的路程为1a，第五天走的路程为2a……第一天走的路程记为6a，9．2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告.已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（）A ．23B ．25C ．27D ．2910次差成等差数列的高阶等差数列.现有一个高阶等差数列的前6项分别为4,7,11,16,22,29，则该数列的第18项为（）A ．172B ．183C ．191D ．211【答案】C【详解】设该数列为{}n a ，则11,(2)n n a a n n --=+≥，○热○点○题○型三数列综合应用11．在数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，则122022111a a a +++= （）A ．20211011B ．40442023C ．20212022D ．2022202312．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()()1133n nn n n n S S S S ++-=+，则2023S =（）A ．202331-B ．202331+C ．2022312+D ．2023312+13．已知一族曲线n ．从点向曲线n 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论错误的是（）A ．数列{}n x 的通项为1n nx n =+B ．数列{}n y 的通项为n yC ．当3n >时，1352111nn nx x x x x x--⋅⋅⋅>+ Dnnxy <故D 正确.故选：B.14．在数列{}n a 中给定1a ，且函数()()311sin 213n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，函数()()()112πcos π2g x x x x =-且()()()12918g a g a g a +++= ，则5a =（）．A ．14B ．13C ．16D ．1915．已知函数()()*ln N f x nx x n =+∈的图象在点,fn n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为n a ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n S 为（）A ．11n +B ．()()235212n nn n +++C ．()41nn +D ．()()235812n nn n +++。

高考数学压轴题系列训练一（含答案及解析详解）1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，1222a MF MF =++(222222211321a ab ac ∴=∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴=-'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1112312322DC AP x CH a x a ∴==+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数n ，不等式1120111111n n n ab b b +≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数a 的取值范围.解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴==当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数， 舍去综上，存在唯一的符合条件。

历届高考数学压轴题汇总及答案一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分）已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分)已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34a =-时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数.设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1na =+*,ab ∈N ，求223a b -的值.四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。

(1)设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；(2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；(3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．已知函数l (n )f x x =.（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()88ln2f x f x +>-； （Ⅱ）若34ln2a <-，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018年高考数学江苏卷：(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围；(Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N ,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).七、2017年高考数学上海卷：（本小题满分18分）设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x ＜时，都有12()()f x f x ≤. （1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 是周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，g()x 是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g()x 的最大值.函数()()()h x f x g x =.证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.八、2017年高考数学浙江卷：(本题满分15分)已知数列{}n x 满足：1=1x ，()()*11ln 1N n n n x x x n ++=++∈. 证明：当*N n ∈时， (I )10n n x x +＜＜；(I I )1122n n n n x x x x ++-≤； (III )1-21122n n n x -≤≤.高考压轴题答案一、2019年上海卷： 解：（1）等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．当120,3a d π==，集合22S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭． （2）12a π=，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴= 当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．∴④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，S =⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意． 综上，3,4,5,6T =．二、2019年浙江卷：解：（1）当34a =-时，()3ln 4f x x =-()0,∞+，且：()3'4f x x =-==， 因此函数()f x 的单调递增区间是12ω=,单调递减区间是()0,3.（2）由1(1)2f a ≤，得04a ＜当0a ＜()f x 2ln 0x -≥，令1t a=，则t ≥设()22ln g t t x =，t ≥则2()2ln g t t x=-，（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭则()(22)2ln g x g x =，记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p x x '===∴p(x)≥p(1)=0，∴g(t)≥g(2√2)=2p(x)≥0（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q x'=+>，故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()f x ≤综上所述，所求的a 的取值范围是⎛ ⎝⎦．三、2019年江苏卷：解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，， 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．四、2018年上海卷：解：（1）数列{}n b 与{}n a 接近．理由：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，可得112n n a -=，11112n n nb a +=+=+， 则011111111222n n n n b a ---=+-=-<，*n N ∈， 可得数列{}n b 与{}n a 接近；（2）{}n b 是一个与{}n a 接近的数列， 可得11n n n a b a +-≤≤，数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =， 可得1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，可能1b 与2b 相等，2b 与3b 相等，但1b 与3b 不相等，4b 与3b 不相等，集合1234{|,}i M x x b i ===，，，， M 中元素的个数3m =或4；（3）{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，可得11n a a n d =+-（）， ①若0d ＞，取n n b a =，可得110n n n n b b a a d ++-=-=>， 则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ②若0d =，取11n b a n=-，则11111n n b a a a n n -=--=<，*n N ∈，可得11101n n b b n n +-=->+， 则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ③若20d ﹣＜＜，可令21211n n b a --=-，221n n b a =+，则()2212211120n n n n b b a a d ---=+--=+＞，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中恰有100个正数，符合题意； ④若2d-，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，即为11n n n a b a -+，11111n n n a b a +++-+， 可得()111120n n n n b b a a d ++-+--=+，21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中无正数，不符合题意．综上可得，d 的范围是(2,)-+∞．五、2018年浙江卷：解：（Ⅰ）函数()f x的导函数1()f x x'=-， 由12()()f x f x ''=1211x x -=-， 因为12x x ≠12+=．= 因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x ++=．设()ln g x x =，则1()4)4g x x'=，所以()g x 在[256,)+∞上单调递增， 故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-． （Ⅱ）令()e a k m -+=，211a n k ⎛+⎫=+ ⎪⎝⎭，则 ()?0f m km a a k k a -->+-≥，(0)f n kn a a n k n ⎫----<⎪⎭<， 所以，存在0(,)x m n ∈）使00()f x kx a =+，所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点． 由()f x kx a =+得k =．设()h x =，则22ln 1()12()x a g x a h x x x +--+'==，其中()ln g x x =-． 由（Ⅰ）可知()(16)g x g ≥，又34ln2a -≤，故–11613420g x a g a ln a -+-+=-++（）≤（）-≤，所以()0h x '≤，即函数()h x 在（0，+∞）上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多1个实根．综上，当34ln2a -≤时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018江苏卷：解：（Ⅰ）由题意得||1n n a b -≤对任意1,2,3,4n =均成立 故当10a =，121q b ==时可得|01|1|2|1|24|1|38|1d d d -⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩≤≤≤≤即1335227532d d d ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤所以7532d ≤≤（Ⅱ）因为110a b =>，1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…均能成立把n a ，n b 代入可得1111|(1)|(2,3,1n b n d b q b n m -+--=+≤…,) 化简后可得11111112(22)(222)0(2,3,1)111n n n m b q b b b q n n n m n n n ----=-+=-+=+---≤…, 因为q ∈，所以122n m -≤，22(2,3,1)n n m -=+≤…,而110(2,3,,11nb q n m n->=+-…） 所以存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立 当1m =时，112)b d ≤当2m ≥时，设111n n b q c n -=-，则111111(1)(2,3,)1(1)n n n n n b q b q q n q c c b q n m nn n n --+---=-==--… 设()(1)f n q n q =--，因为10q ->，所以()f n 单调递增，又因为q ∈所以11()(1)(1)2(1)2111m m m f m q m q m m m m ⎛⎫ ⎪⎛⎫=----=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭≤ 设111,0,2x x x m m ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，且设1()21x g x x =+-，那么'21()2ln 2(1)x g x x =-- 因为2ln 22ln 2x ≤，214(1)x -≥所以'21(x)2ln 20(1)x g x =-<-在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，即()f x 单调递增。

2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<8．从椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。

历届高考数学压轴题汇总及答案一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分）已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ；（2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分)已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +>(Ⅰ)当34a =-时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤求a 的取值范围.注： 2.71828e =L 为自然对数的底数.设2*012(1),4,nnn x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值.四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。

(1)设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；(2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；(3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在2132201200,,,b b b b b b L ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．已知函数l (n )f x x -=.（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()88ln2f x f x +>-；（Ⅱ）若34ln2a <-，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018年高考数学江苏卷：(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列.(Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围；(Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N ,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).七、2017年高考数学上海卷：（本小题满分18分）设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x ＜时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 是周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，g()x 是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g()x 的最大值.函数()()()h x f x g x =.证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.八、2017年高考数学浙江卷：(本题满分15分)已知数列{}n x 满足：1=1x ，()()*11ln 1N n n n x x x n ++=++∈.证明：当*N n ∈时，(I )10n n x x +＜＜；(I I )1122n n n n x x x x ++-≤；(III )1-21122n n n x -≤.高考压轴题答案一、2019年上海卷：解：（1） 等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==，集合S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭．（2）12a π= ，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=，综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴=当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，22S =⎨⎬⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件．当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件．当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意．综上，3,4,5,6T =．二、2019年浙江卷：解：（1）当34a =-时，()3ln 4f x x =-+，函数的定义域为()0,∞+，且：()3'4f x x -+=-+，因此函数()f x 的单调递增区间是12ω=,单调递减区间是()0,3.（2）由1(1)2f a ≤，得04a ＜≤，当204a ＜时，()f x ，等价于2ln 0x ≥，令1t a=，则t ≥，设()22ln g t t x =--，t ≥，则2()2ln g t t x=--，（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤则()2ln g x g x =-- ，记1()ln ,7p x x x =--≥，则1()p x x '==列表讨论：x17117⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(1,)+∞()'p x ﹣0+()P x 17P ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减极小值()1P 单调递增∴p(x)≥p(1)=0，∴g(t)≥g(2√2)=2p(x)≥0（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q x'=+>，故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=-，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a≤，综上所述，所求的a 的取值范围是4⎛ ⎝⎦．三、2019年江苏卷：解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥ ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====，44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,ab ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．四、2018年上海卷：解：（1）数列{}n b 与{}n a 接近．理由：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，可得112n n a -=，11112n n nb a +=+=+，则011111111222n n n n b a ---=+-=-<，*n N ∈，可得数列{}n b 与{}n a 接近；（2）{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，可得11n n n a b a +-≤≤，数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，可得1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，可能1b 与2b 相等，2b 与3b 相等，但1b 与3b 不相等，4b 与3b 不相等，集合1234{|,}i M x x b i ===，，，，M 中元素的个数3m =或4；（3）{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，可得11n a a n d =+-（），①若0d ＞，取n n b a =，可得110n n n n b b a a d ++-=-=>，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意；②若0d =，取11n b a n=-，则11111n n b a a a n n -=--=<，*n N ∈，可得11101n n b b n n +-=->+，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意；③若20d ﹣＜＜，可令21211n n b a --=-，221n n b a =+，则()2212211120n n n n b b a a d ---=+--=+＞，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中恰有100个正数，符合题意；④若2d - ，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，即为11n n n a b a -+ ，11111n n n a b a +++-+ ，可得()111120n n n n b b a a d ++-+--=+ ，21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中无正数，不符合题意．综上可得，d 的范围是(2,)-+∞．五、2018年浙江卷：解：（Ⅰ）函数()f x的导函数1()f x x'=-，由12()()f x f x ''=1211x x -，因为12x x ≠，所以12+=．=+．因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x +=-+-=．设()ln g x x =-，则1()4)4g x x'=-，所以()g x 在[256,)+∞上单调递增，故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-．（Ⅱ）令()e a k m -+=，211a n k ⎛+⎫=+ ⎪⎝⎭，则()–0f m km a a k k a -->+-≥，(0)f n kn a a n k n ⎫----<⎪⎭<，所以，存在0(,)x m n ∈）使00()f x kx a =+，所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点．由()f x kx a =+得k =．设ln ()x x a h x x --=，则22ln 1()12()x a g x a h x x x --+--+'==，其中()ln 2x g x x =-．由（Ⅰ）可知()(16)g x g ≥，又34ln2a -≤，故–11613420g x a g a ln a -+-+=-++（）≤（）-≤，所以()0h x '≤，即函数()h x 在（0，+∞）上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多1个实根．综上，当34ln2a -≤时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018江苏卷：解：（Ⅰ）由题意得||1n n a b -≤对任意1,2,3,4n =均成立故当10a =，121q b ==时可得|01|1|2|1|24|1|38|1d d d -⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩≤≤≤≤即1335227532d d d ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤所以7532d ≤≤（Ⅱ）因为110a b =>，1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…均能成立把n a ，n b 代入可得1111|(1)|(2,3,1n b n d b q b n m -+--=+ ≤…,)化简后可得11111112(22)(222)0(2,3,1)111n n n m b q b b b q n n n m n n n ----=-+=-+=+--- ≤…,因为q ∈，所以122n m -≤，22(2,3,1)n n m -=+≤…,而110(2,3,,11n b q n m n ->=+- …）所以存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立当1m =时，112)b d ≤当2m ≥时，设111n n b q c n -=- ，则111111(1)(2,3,)1(1)n n n n n b q b q q n q c c b q n m n n n n --+---=-==-- …设()(1)f n q n q =--，因为10q ->，所以()f n单调递增，又因为q ∈所以11()(1)(1)(1)2111m m f m q m q m m m m ⎛⎫ ⎪⎫=---=-- ⎪⎪-⎭ ⎪-⎝⎭ ≤设111,0,2x x x m m ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，且设1()21x g x x =+-，那么'21()2ln 2(1)x g x x =--因为2ln 2ln 2x ，214(1)x -≥所以'21(x)2ln 20(1)x g x =-<- 在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，即()f x 单调递增。

决胜3．已知函数，曲线在处的切线方程为.()2e xf x ax =-()y f x =()()1,1f 1y bx =+(1)求的值：,a b (2)求在上的最值；()f x []0,1(3)证明：当时，.0x >()e 1e ln 0x x x x +--≥4．已知函数，.()()ln 1f x x x a x =-++R a ∈(1)若，求函数的单调区间；1a =()f x (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；x ()2f x a≤[)2,+∞a (3)若实数满足且，证明.b 21a b <-+1b >()212ln f x b <-5．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点2222:1(0)x y E a b a b +=>>22()2,1M E 的动直线与椭圆相交于两点.()0,1P l ,A B (1)求椭圆的方程；E (2)求面积的最大值；AOB (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，xOy P Q QA PAQB PB=求出点的坐标；若不存在，请说明理由.Q 6．已知函数，.()21ln 2f x a x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()()2R g x f x ax a =-∈(1)当时，0a =（i ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()22f ,（ii ）求的单调区间及在区间上的最值；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若对，恒成立，求a 的取值范围.()1,x ∀∈+∞()0g x <(1)求抛物线的表达式和的值；,t k (2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点的最大值．12CQ PQ +(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l 的方程；22y x =(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P 到准线l 的距离为6，求点P 的坐218y x =标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F 的直线依次交抛物线及准()20y ax a =>线l 于点，若求a 的值；、、A B C 24BC BF AF ==，(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一AB AC CB AC AB 段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把CB 512AC BC AB AC -==512-点C 称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l 与y 轴AB 214y x=(0,1)F 交于点，E 为线段的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点.当(0,1)H -HF 时，求出的面积值.2MH MF=HME 10．已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>60︒(1)求双曲线的标准方程；C (2)A 为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A 的两点，且．C ,M N C AM AN ⊥①证明：直线过定点；MN ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．,M N AMN(1)试用解析几何的方法证明：(2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？13．对于数集（为给定的正整数），其中，如果{}121,,,,n X x x x =-2n ≥120n x x x <<<< 对任意，都存在，使得，则称X 具有性质P ．,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=(1)若，且集合具有性质P ，求x 的值；102x <<11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若X 具有性质P ，求证：；且若成立，则；1X ∈1n x >11x =(3)若X 具有性质P ，且，求数列的通项公式．2023n x =12,,,n x x x 14．已知，是的导函数，其中．()2e xf x ax =-()f x '()f x R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x '(2)设，与x 轴负半轴的交点为点P ，在点P()()()2e 11x g x f x x ax =+-+-()y g x =()y g x =处的切线方程为．()y h x =①求证：对于任意的实数x ，都有；()()g x h x ≥②若关于x 的方程有两个实数根，且，证明：()()0g x t t =>12,x x 12x x <．()2112e 11e t x x --≤+-15．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心xOy 1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点．(1)求曲线K 的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B 、C 两点，若且直线OP 与直线交//l OP 1x =于Q 点．求的值；||||AB ACOP OQ ⋅⋅(3)若点D 、E 在y 轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．PDE △()2211x y -+=PDE △16．已知椭圆C ：，四点中恰有三()222210x y a b a b +=>>()()1234331,1,0,1,1,,1,22P P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-证明：l 过定点．18．给定正整数k ，m ，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称2m k ≤≤{}n a 为数列．记数列的项数的最小值为．{}n a (,)k m -(,)k m -(,)G k m 条件①：的每一项都属于集合；{}n a {}1,2,,k 条件②：从集合中任取m 个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．{}1,2,,k {}n a 注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列{}n a 1i 2i 5i 125i i i <<<…称为的一个子列．325,,,i i i a a a ⋯{}n a (1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！(33)-，数列；1:1,2,3,1,2,3,1,2,3A 数列．2:1,2,3,2,1,3,1A (2)求的值；(),2G k (3)求证．234(,)2k k G k k +-≥答案：1．(1)极大值为，无极小值2e (2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解；（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->证明即可或者转换不等式为，通过构造函数可得证.()min0F x >()112ln 012x x x +->>【详解】（1）的定义域为，，()f x (0,)+∞()2(1ln )f x x '=-+当时，，当时，，10e x <<()0f x '>1e x >()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故在处取得极大值，()f x 1e x =12e e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的极大值为，无极小值；()f x 2e （2）设，()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->解法一：则，()2ln 1F x x x '=--令，，()()2ln 11h x x x x =-->22()1x h x x x -'=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增，12x <<()0h x '<()h x 2x >()0h x '>()h x 又，，，(2)1ln 40h =-<(1)0h =(4)32ln 40h =->所以存在，使得，即．0(2,4)x ∈0()0h x =002ln 10x x --=当时，，即，单调递减，01x x <<()0h x <()0F x '<()F x 当时，，即，单调递增，0x x >()0h x >()0F x '>()F x 所以当时，在处取得极小值，即为最小值，1x >()F x 0x x =故，22000000(11()()12ln )222F x F x x x x x x ≥=+-=-+设，因为，2000122()p x x x =-+0(2,4)x ∈由二次函数的性质得函数在上单调递减，2000122()p x x x =-+(2,4)故，0()(4)0p x p >=所以当时，，即．1x >()0F x >()()0f x g x +>解法二：要证，即证，()0F x >()1()12ln 012p x x x x =+->>因为，所以当时，，单调递减，()124()122x p x x x x -'=-=>()1,4x ∈()0p x '<()p x 当时，，单调递增，()4,x ∞∈+()0p x '>()p x 所以，所以，即.()()4212ln 434ln 20p x p ≥=+-=->()0F x >()()0f x g x +>方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．(1)0(2)证明详见解析(3)2a ≤【分析】（1）利用导数求得的最小值.()g x （2）根据（1）的结论得到，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.2211ln 1n n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭（3）由不等式分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取ln (2)10xx x x a x -+--≥a a 值范围.【详解】（1）依题意，，()21ln (,0)2f x x x x t t x =-+∈>R 所以，()()()()ln 1ln 10g x f x x x x x x '==-+=-->，所以在区间上单调递减；()111x g x x x -'=-=()g x ()0,1()()0,g x g x '<在区间上单调递增，()1,+∞()()0,g x g x '>所以当时取得最小值为.1x =()g x ()11ln110g =--=（2）要证明：对任意正整数，都有，(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即证明，22221111ln 1111ln e234n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 即证明，222111ln 1ln 1ln 1123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）得，即()()()10f xg x g '=≥=ln 10,ln 1x x x x --≥≤-令，所以， *211,2,N x n n n =+≥∈222111ln 111n n n ⎛⎫+≤+-= ⎪⎝⎭所以222222111111ln 1ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()111111111122312231n n n n <+++=-+-++-⨯⨯-- 111n=-<所以对任意正整数，都有.(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）若不等式恒成立，此时，ln (2)10xx x x a x -+--≥0x >则恒成立，ln 21x x x x x a x -+-≤令，()ln 21xx x x x h x x -+-=令，()()()e 10,e 10x x u x x x u x '=--≥=-≥所以在区间上单调递增，()u x[)0,∞+所以，当时等号成立，()0e 010,e 10,e 1x x u x x x ≥--=--≥≥+0x =所以，()ln e ln 21ln 1ln 212x x x x x x x x x x h x x x -+-+-+-=≥=当时等号成立，所以.ln 0,1x x x ==2a ≤利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数进行求导，得到它的导函数.导函数()f x ()f x '表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程，找到使得导()0f x '=数为零的点,这些点被称为临界点，可能是函数的极值点（包括最大值和最小值），检查每个临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.3．(1)，1a =e 2b =-(2)；()max e 1f x =-()min 1f x =(3)证明见解析【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得.,a b （2）利用多次求导的方法求得在区间上的单调性，由此求得在上的最值.()f x []0,1()f x []0,1（3）先证明时，，再结合（2）转化为，从0x >()()e 21f x x ≥-+()21e ln e x x x x x+--≥+而证得不等式成立.【详解】（1），()e 2x f x ax'=-∴，解得：，；()()1e 21e 1f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=+'⎪⎩1a =e 2b =-（2）由（1）得：，()2e xf x x =-，令，则，()e 2x f x x '=-()e 2x h x x=-()e 2x h x '=-是增函数，令解得.()h x ()0h x '=ln 2x =∴，也即在上单调递减，()h x ()f x '()0,ln2()()0,h x h x '<在上单调递增，()ln2,+∞()()0,h x h x '>∴，∴在递增，()()ln 2ln222ln20h f ==->'()f x []0,1∴；；()()max 1e 1f x f ==-()()min 01f x f ==（3）∵，由（2）得过，()01f =()f x ()1,e 1-且在处的切线方程是，()y f x =1x =()e 21y x =-+故可猜测且时，的图象恒在切线的上方，0x >1x ≠()f x ()e 21y x =-+下面证明时，，设，，0x >()()e 21f x x ≥-+()()()e 21g x f x x =---()0x >∴，∴令，()()e 2e 2x g x x =---'()()()e 2e 2x x x g m x '--==-，()e 2x m x '=-由（2）得：在递减，在递增，()g x '()0,ln2()ln2,+∞∵，，，∴，()03e 0g '=->()10g '=0ln21<<()ln20g '<∴存在，使得，()00,1x ∈()0g x '=∴时，，时，，()()00,1,x x ∈⋃+∞()0g x '>()0,l x x ∈()0g x '<故在递增，在递减，在递增.()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞又，∴当且仅当时取“”，()()010g g ==()0g x ≥1x ==()()2e e 210x g x x x =----≥故，，由（2）得：，故，()e e 21x x xx+--≥0x >e 1x x ≥+()ln 1x x ≥+∴，当且仅当时取“=”，∴，1ln x x -≥1x =()e e 21ln 1x x x x x+--≥≥+即，∴，()21ln 1e e x x x x+--≥+()21e ln e x x x x x+--≥+即成立，当且仅当时“=”成立.()1ln 10e e x x x x +---≥1x =求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立.4．(1)单调增区间为，单调减区间为；()0,1()1,+∞(2)(],2ln 2-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得解；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最小ln 1x x a x ≤-ln (),21x xg x x x =≥-()g x 值即可得解；（3）由，得，则，要证21a b <-+21a b -<-2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+，即证，即证，构造函数()212ln f x b<-222e112ln bb b --+<-22212ln 0eb b b +-<，证明即可.()()()12ln e x h x x x x =>-()1h x <-【详解】（1）当时，，1a =()ln 1,0f x x x x x =-++>，由，得，由，得，()ln f x x '=-()0f x '>01x <<()0f x '<1x >故的单调增区间为，单调减区间为；()f x ()0,1()1,+∞（2），()ln 2,1x xf x a a x ≤∴≤- 令，ln (),21x x g x x x =≥-则，21ln ()(1)x xg x x --'=-令，则，()ln 1t x x x =-+11()1xt x x x -'=-=由，得，由，得，()0t x '>01x <<()0t x '<1x >故在递增，在递减，，()t x ()0,1()1,+∞max ()(1)0t x t ==，所以，()0t x ∴≤ln 1≤-x x 在上单调递增，，()0,()g x g x '≥∴[)2,+∞()min ()2g x g ∴=，(2)2ln 2a g ∴≤=的取值范围；a ∴(],2ln 2-∞（3），221,1b a b a <-+∴-<- 又，在上递增，11()(e )e a a f x f a --≤=+1e a y a -=+ R a ∈所以，2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+下面证明：，222e 112ln b b b --+<-即证，22212ln 0ebb b +-<令，则，21x b =>12ln 0e x x x +-<即，(2ln )e 1xx x -⋅<-令，则，()()()12ln e xh x x x x =>-()22ln 1e xh x x x x '⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭令，则，()2()2ln 11x x x x x ϕ=-+->()()2221122()101x x x x x x ϕ---=--=<>∴函数在上单调递减，()x ϕ()1,+∞，()(1)0x ϕϕ∴<=在递减，()()0,h x h x '∴<(1,)+∞，()()1e 1h x h ∴<=-<-所以.()212ln f x b <-方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．(1)22142x y +=(2)2(3)存在，.()0,2Q 【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解.()2,1M,a b （2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不l 1y kx =+1212AOB S x x =⋅- k 等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得()0,2Q B y B '三点共线得到成立.,,Q A B 'QA PAQB PB=【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C 的方程为.2222222211c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，()()1122,,,A x y B x y l 故设直线为，联立，消去，得，l 1y kx =+221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2212420k x kx ++-=因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，l ()0,1P 0∆>12122242,1212k x x x x k k +=-=-++故，()2221212221224212111214414222122AOBk S x x x x x x k k k k ⋅+⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=⨯-⨯= ⎪ ⎪+⎝-+-⎝++⎭⎭- 令，所以，当且仅当，即时取得214,1t k t =+≥22222211AOB t S t t t=×=×£++1t =0k =等号，综上可知：面积的最大值为.AOB 2（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,C D Q 则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；||||1||||QC PC QD PD ==QC QD =Q y Q ()00,y 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,M N Q 则有，即，解得或，||||||||QM PM QN PN =00221212y y --=++01y =02y =所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；P Q Q ()0,2当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，l x x l 1y kx =+由（2）知，12122242,1212k x x x x k k --+==++又因为点关于轴的对称点的坐标为，B y B '()22,x y -又，，11111211QA y kx k k x x x --===-22222211QB y kx k k x x x '--===-+--.方法点睛：直线与椭圆0Ax By C ++=时，取得最大值2222220a A b B C +-=MON S 6．(1)（i ）；（322ln 220x y +--=(2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()22f ,()()32ln 222y x --+=--即；322ln 220x y +--=（ii ），，()21ln 2f x x x =-+()0,x ∈+∞，()211x f x x x x -'=-+=令，解得，令，解得，()0f x ¢>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞当时，，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()max 112f x f ==-又，，221111ln 1e 2e e 2e f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭()2211e e ln e e 122f =-+=-+其中，()222211111e 1e 1e 20e 2e 222ef f ⎛⎫⎛⎫-=----+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，()()2min 1e e 12f x f ==-+故的单调递增区间为，单调递减区间为；()f x ()0,1()1,+∞在区间上的最大值为，最小值为；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-21e 12-+（2），()21ln 22xg x a x x a ⎭-+⎛=⎪-⎫ ⎝对，恒成立，()1,x ∀∈+∞21ln 202a x x ax ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭变形为对恒成立，ln 122x a xa x<--⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,x ∀∈+∞令，则，()(),1,ln x h x x x ∈=+∞()21ln xh x x -'=当时，，单调递增，()1,e x ∈()0h x '>()ln xh x x =当时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0h x '<()ln xh x x =其中，，当时，恒成立，()10h =()ln e 1e e e h ==1x >()ln 0x h x x =>故画出的图象如下：()ln x h x x =其中恒过点122y xa a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--(2,1A 又，故在()210111h -'==()ln x h x x =又在上，()2,1A 1y x =-()对于2111644y x x =-+-∴点，即()0,6C -6OC =∵2114,14P m m m ⎛-+- ⎝∴点，3,64N m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，22111316624444PN m m m m m⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭∵轴，PN x ⊥∴，//PN OC ∴，PNQ OCB ∠=∠∴，Rt Rt PQN BOC ∴，PN NQ PQ BC OC OB ==∵，8,6,10OB OC BC ===∴，34,55QN PN PQ PN==∵轴，NE y ⊥∴轴，//NE x ∴，CNE CBO ∴，5544CN EN m ==∴，2215111316922444216CQ PQ m m m m ⎛⎫+=-+=--+⎪⎝⎭当时，取得最大值.132m =12CQ PQ+16916关键点点睛：熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.8．(1)详见解析；(2)①具有性质；理由见解析；②P 1346【分析】（1）当时，先求得集合，由题中所给新定义直接判断即可；10n =A （2）当时，先求得集合， 1010n =A ①根据，任取，其中，可得，{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈0120212020x ≤-≤利用性质的定义加以验证，即可说明集合具有性质；P T P ②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有个S k x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1不超过，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利1010S T 1010用性质的定义列不等式，由此求得的最大值．P k【详解】（1）当时，，10n ={}1,2,,19,20A = 不具有性质，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈>= P 因为对任意不大于的正整数，10m 都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立，110b ＝210b m =+12||b b m -=集合具有性质，{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈P 因为可取，对于该集合中任一元素，110m =<，（），都有.112231,31c k c k =-=-*12,N k k ∈121231c c k k -=-≠（2）当时，集合，1010n ={}()*1,2,3,,2019,2020,1010N A m m =≤∈ ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质．S P {}2021|T x x S =-∈P 首先因为，任取，其中．{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈因为，所以．S A ⊆{}01,2,3,,2020x ∈ 从而，即，所以．0120212020x ≤-≤t A ∈T A ⊆由具有性质，可知存在不大于的正整数，S P 1010m 使得对中的任意一对元素，都有．s 12,s s 12s s m -≠对于上述正整数，从集合中任取一对元素，m {}2021|T x x S =-∈112021t x -＝，其中，则有．222021t x =-12,x x S ∈1212t t s s m --≠＝所以，集合具有性质P ；{}2021|T x x S =-∈②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，S k S P 那么集合一定具有性质．{}2021|T x x S =-∈P 任给，，则与中必有一个不超过．x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1010所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过．S T 1010不妨设中有个元素不超过．S 2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭12,,,t b b b 1010由集合具有性质，可知存在正整数．S P 1010m ≤使得对中任意两个元素，都有．S 12,s s 12s s m -≠所以一定有．12,,,t b m b m b m S +++∉ 又，故．100010002000i b m +≤+=121,,,b m b m b m A +++∈ 即集合中至少有个元素不在子集中，A t S 因此，所以，得．20202k k k t +≤+≤20202k k +≤1346k ≤当时，取，{}1,2,,672,673,,1347,,2019,2020S = 673m =则易知对集合中的任意两个元素，都有，即集合具有性质．S 12,y y 12673y y -≠S P 而此时集合S 中有个元素，因此，集合元素个数的最大值为．1346S 1346解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.9．(1)，10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭18y =-(2)或()42,4()42,4-(3)14a =(4)或51-35-【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P 的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B 作轴于D ，过点A 作轴于E ，证明，推BD y ⊥AE y ⊥FDB FHC ∽出，则，点B 的纵坐标为，从而求出，证明16FD a =112OD OF DF a =-=112a 36BD a =，即可求出点A 的坐标为，再把点A 的坐标代入抛物线解析式AEF BDF ∽123,24a ⎛⎫ ⎪⎝+⎭-中求解即可；（4）如图，当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点M 作于N ，则，MN l ⊥MN MF=先证明是等腰直角三角形，得到，设点M 的坐标为，则MNH △NH MN=21,4m m ⎛⎫⎪⎝⎭过点B 作轴于D ，过点BD y ⊥由题意得点F 的坐标为F ⎛ ⎝1FH =当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点∵在中，Rt MNH △sin MHN ∠∴，∴是等腰直角三角形，45MHN ︒=MNH △双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得AM AN ⋅= ()()222131t t m -+=-所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得,M N 213m <，后通过令，结合单调性229113m S m +=-223113m λλ⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭()423313f x x x x ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）设双曲线的焦距为，C 2c 由题意有解得．2223,24,,ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2a b c ===故双曲线的标准方程为；C 2213y x -=（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，MN my x t =+,M N ()()1122,,,x y x y 由（1）可知点A 的坐标为，()1,0联立方程消去后整理为，2213y x my x t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x ()222316330m y mty t --+-=可得，2121222633,3131mt t y y y y m m -+==--，()212122262223131m t tx x m y y t t m m +=+-=-=--，()()()()222222222121212122223363313131m t m t m t x x my t my t m y y mt y y t t m m m -+=--=-++=-+=----由，()()11111,,1,AM x y AN x y =-=-有()()()1212121212111AM AN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++，()()()()22222222222222222132331313131313131t t t t t t m t t t m m m m m m -----++-=--++===------由，可得，有或，AM AN ⊥0AM AN ⋅=1t =-2t =当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；1t =-MN 1my x =-()1,0当时，直线的方程为，过点，符合题意，2t =MN 2my x =+()2,0-②由①，设所过定点为121224,31x x x x m +==-若在双曲线的同一支上，可知,M N 有12240,31x x x m +=<-关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题一方面：由以上分析可知，设椭圆方程为一方面：同理设双曲线方程为()22221y m x a b +-=，()2222221b x a k x m a b -+=化简并整理得()(2222222112ba k x a mk x a m ---+一方面：同理设抛物线方程为(22x p y =，()212x p k x n =+化简并整理得，由韦达定理可得12220pk x x pn --=2,2x x pk x x pn +=⋅=-（2）构造，故转化为等价于“对任()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++()()()123g x g x g x +>意，，恒成立”，换元后得到（），分，和1x 2x 3R x ∈()()11k g x q t t -==+3t ≥1k >1k =三种情况，求出实数k 的取值范围.1k <【详解】（1）由条件①知，当时，有，即在R 上单调递增．12x x <()()12f x f x <()f x 再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．0R x ∈()013f x =()093x x f x x --=又上式对成立，所以，R x ∀∈()00093x x f x x --=所以，即．0001393x x x --=0009313x x x ++=设，因为，所以单调递增．()93x x x xϕ=++()9ln 93ln 310x x x ϕ'=++>()x ϕ又，所以．()113ϕ=01x =所以；()931x x f x =++（2）构造函数，()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++由题意“对任意的，，，1x 2x 3R x ∈均存在以，，为三边长的三角形”()()()11113x f x k f x +-()()()22213x f x k f x +-()()()33313x f x k f x +-等价于“对任意，，恒成立”．()()()123g x g x g x +>1x 2x 3R x ∈又，令，()111313x x k g x -=+++1131231333x x x x t ⋅=++≥+=当且仅当时，即时取等号，91x=0x =则（），()()11k g x q t t -==+3t ≥当时，，因为且，1k >()21,3k g x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()122423k g x g x +<+≤()3213k g x +<≤所以，解得，223k +≤4k ≤即；14k <≤当时，，满足条件；1k =()()()1231g x g x g x ===当时，，因为且，1k <()2,13k g x +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()122423k g x g x ++<≤()3213k g x +<≤所以，即．2413k +≤112k -≤<综上，实数k 的取值范围是．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.13．(1)14x =(2)证明过程见解析(3)，()112023k n k x --=1k n≤≤【分析】（1）由题意转化为对于，都存在，使得，其中(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ，选取，，通过分析求出；,,,a b c d X ∈()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==- 14x =（2）取，，推理出中有1个为，则另一个为1，即，()()11,,m a b x x == (),n c d =,c d 1-1X ∈再假设，其中，则，推导出矛盾，得到；1k x =1k n <<101n x x <<<11x =（3）由（2）可得，设，，则有，记11x =()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-，问题转化为X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，得到,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B ，共个数，由对称性可知也有个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -()0,B +∞ ()1n -结合三角形数阵得到，得到数列为首项为1的等比123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 12,,,n x x x 数列，设出公比为，结合求出公比，求出通项公式.q 2023n x =【详解】（1）对任意，都存在，使得，,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=即对于，都存在，使得，其中，(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ,,,a b c d X ∈因为集合具有性质P ，11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭选取，，()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==-则有，12x d -+=假设，则有，解得，这与矛盾，d x =102x x -+=0x =102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =-12x --=12x =-102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =12x -+=12x =102x <<假设，则有，解得，满足，12d =14x -+=14x =102x <<故；14x =（2）取，，()()11,,m a b x x == (),n c d =则，()10c d x +=因为，所以，即异号，120n x x x <<<< 0c d +=,c d 显然中有1个为，则另一个为1，即，,c d 1-1X ∈假设，其中，则，1k x =1k n <<101n x x <<<选取，，则有，()()1,,n m a b x x ==(),n s t =10n sx tx +=则异号，从而之中恰有一个为，,s t ,s t 1-若，则，矛盾，1s =-11n x tx t x =>≥若，则，矛盾，1t =-1n n x sx s x =<≤故假设不成立，所以；11x =（3）若X 具有性质P ，且，20231n x =>由（2）可得，11x =设，，则有，()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-记，则X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B 注意到是集合中唯一的负数，1-X 故，共个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -由对称性可知也有个数，()0,B +∞ ()1n -由于，已经有个数，123421n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x ----<<<<<< ()1n -对于以下三角形数阵：123421n n n n n n n n n n x x x x x xx x x x x x ----<<<<<< 1111123421n n n n n n n n x x x x xx x x x x --------<<<<< ……3321x x x x <21x x 注意到，123211111n n n x x x x x x x x x x -->>>>> 所以有，123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 从而数列为首项为1的等比数列，设公比为，12,,,n x x x q 由于，故，解得，2023n x =112023n nx q x -==()112023n q -=故数列的通项公式为，.12,,,n x x x ()112023k n k x --=1k n ≤≤集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数或数列相结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.14．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求出的导数，结合解不等式可得答案；()e 2x f x ax'=-（2）①，利用导数的几何意义求得的表达式，由此构造函数，()y h x =()()()F x g x h x =-利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；②设的根为，求得其表达式，()h x t=1x '并利用函数单调性推出，设曲线在点处的切线方程为，设11x x '≤()y g x =()0,0()y t x =的根为，推出，从而，即可证明结论.()t x t=2x '22x x '≥2121x x x x ''-≤-【详解】（1）由题意得，令，则，()e 2x f x ax'=-()e 2x g x ax=-()e 2x g x a'=-当时，，函数在上单调递增；0a ≤()0g x '>()f x 'R 当时，，得，，得，0a >()0g x '>ln 2x a >()0g x '<ln 2x a <所以函数在上单调递减，在上单调递增．()f x '(),ln 2a -∞()ln 2,a +∞（2）①证明：由（1）可知，令，有或，()()()1e 1x g x x =+-()0g x ==1x -0x =故曲线与x 轴负半轴的唯一交点P 为．()y g x =()1,0-曲线在点处的切线方程为，()1,0P -()y h x =则，令，则，()()()11h x g x '=-+()()()F x g x h x =-()()()()11F x g x g x '=--+所以，．()()()()11e 2e x F x g x g x '''=-=+-()10F '-=当时，若，，1x <-(],2x ∈-∞-()0F x '<若，令，则，()2,1x --()1()e 2e x m x x =+-()()e 30xm x x '=+>故在时单调递增，．()F x '()2,1x ∈--()()10F x F ''<-=故，在上单调递减，()0F x '<()F x (),1-∞-当时，由知在时单调递增，1x >-()()e 30x m x x '=+>()F x '()1,x ∈-+∞，在上单调递增，()()10F x F ''>-=()F x ()1,-+∞设曲线在点处的切线方程为()y g x =()0,0令()()()()(1e x T x g x t x x =-=+当时，2x ≤-()()2e x T x x =+-'()()2e xn x x =+-设，∴()()1122,,,B x y C x y 1x 又1211,22AB x AC x =+=+依题意，即，则，0bc <02x >()()220220004482x y c x x b =+---因为，所以，2002y x =0022x b c x -=-所以，()()00000242248122424S b c x x x x x -⋅=-++≥-⋅+=-=-当且仅当，即时上式取等号，00422x x -=-04x =所以面积的最小值为8．PDE △方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．16．(1)2214x y +=(2)证明见解析(3)存在，7,,777⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C 上．把的坐标代入椭圆234,,P P P 23,P P C ，求出，即可求出椭圆C 的方程；22,a b （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利():1l y kx t t =+≠用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l 过定点；21t k =--()2,1-（3）利用点差法求出直线PQ 的斜率，从而可得直线PQ 的方程，与抛物线方程联14PQ k t =立，由，及点G 在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD 的方程为，0∆>2t 1x my =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m 的取值范围，进而可求得直线11DA TB k k =的斜率k 的取值范围．2l【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C 上，34331,,1,22P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又的横坐标为1，4P ∴椭圆必不过，()11,1P ∴三点在椭圆C 上．()234330,1,1,,1,22P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把代入椭圆C ，()3231,20,1,P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得，解得，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆C 的方程为．2214x y +=（2）证明：①当斜率不存在时，设,，:l x m =()(),,,A A A m y B m y -∵直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-∴，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-解得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设,，，:l y kx t =+1t ≠()()1122,,,A x y B x y 联立，消去y 整理得，22440y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩()222148440k x ktx t +++-=则，，122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则()()()()222112************111111P A P B x y x y x kx t x kx t y y k k x x x x x x -+-+-++---+=+==,()()()()()()12121222222448218114141144411142t k k kx x t tk t k t k k t t x t x x x +-+=--⋅+-⋅-++===--+-+又，∴，此时，1t ≠21t k =--()()222222644144464161664k t k t k t k ∆=-+-=-+=-故存在k ，使得成立，0∆>∴直线l 的方程为，即21y kx k =--()12y k x +=-∴l 过定点．()2,1-（3）∵点P ，Q 在椭圆上，所以，，2214P P x y +=2214Q Q x y +=两式相减可得，()()()()04PQ P Q P Q P Q y xy x x x y y +-++-=又是线段PQ 的中点，()1,G t -∴，2,2P Q P Q x x x x t+=-=∴直线PQ 的斜率，()144P Q P QP Q P QPQ x x k ty y x y y x +==-=--+∴直线PQ 的方程为，与抛物线方程联立消去x 可得，()114y x t t =++()22164410y ty t -++=由题可知，∴，()2161210t ∆=->2112t >又G 在椭圆内部，可知，∴，故，2114t +<234t <213124t <<设，，由图可知，，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223434,,,44y y T y D y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134,y y y y >>∴，()2121216,441y y t y y t +==+当直线TD 的斜率为0时，此时直线TD 与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线TD 的方程为，与抛物线方程联立，消去x 可得，()10x my m =+≠2440y my --=∴，34344,4y y m y y +==-由，可知，即，11//ATB D 11DA TB k k =3142222234214444y y y y y y y y --=--∴，即，1342y y y y +=+1243y y y y -=-∴，()()221212343444y y y y y y y y +-=+-∵，()()()()()222212124161641161210,128y y y y t t t +-=-+=-∈∴，解得，即，()()223434416160,128y y y y m +-=+∈27m <()7,7m ∈-∴直线TD 即的斜率．2l 771,77,k m ⎛⎫⎛⎫=∈-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 思路点睛：处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，()00,x y k 此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式k ()k ⋅子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 17．(1)1y =-(2)2ln23-+【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到1m =()f x ()f x 和，代入切线方程中即可求解；()1f '()1f （2）得到函数的解析式，对进行求导，利用根的判别式以及韦达定理对()g x ()g x 进行化简，利用换元法，令，，可得，12122()()y x x b x x =--+12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+根据，求出的范围，构造函数，对进行求导，利用导数得到322m ≥t 2(1)()ln 1t h t tt -=-+()h t 的单调性和最值，进而即可求解．()h t 【详解】（1）已知(为常数），函数定义域为，()ln f x x mx =-m (0,)+∞当时，函数，1m =()ln f x x x =-可得，此时，又，11()1x f x x x -'=-=()=01f '()11=f -所以曲线在点处的切线方程为，即.()y f x =()()1,1f (1)0(1)y x --=⨯-1y =-（2）因为，函数定义域为，22()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+(0,)+∞可得，222(1)()22x mx g x m x x x -+=-+='此时的两根，即为方程的两根，()0g x '=1x 2x 210x mx -+=因为，所以，由韦达定理得，，322m ≥240m ∆=->12x x m +=121=x x 又，所以1212lnx x b x x =-121212121212ln 22()()()()xx y x x b x x x x x x x x =--=--++-，11211211222212()ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=⨯-++令，，所以，12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+因为，整理得，2212()x x m +=22212122x x x x m ++=因为，则，121=x x 2221212122x x x x m x x ++=等式两边同时除以，得，12x x 212212=x x m x x ++可得，因为，212t m t ++=322m ≥所以，，152t t +≥()()2252=2210t t x x -+--≥解得 或，则，12t ≤2t ≥102t <≤不妨设，函数定义域为，2(1)()ln 1t h t t t -=-+10,2⎛⎤⎥⎝⎦可得，22(1)()0(1)t h t t t -'=-<+所以函数在定义域上单调递减，()h t 此时，min 12()()ln223h t h ==-+故的最小值为．12122()()y x x b x x =--+2ln23-+利用导数求解在曲线上某点处的切线方程，关键点有两点，第一是切线的斜率，第二是切点。

2024全国数学高考压轴题(数列)一、单选题1．若数列{b n }、{c n }均为严格增数列 且对任意正整数n 都存在正整数m 使得b m ∈[c n ，c n+1] 则称数列{b n }为数列{c n }的“M 数列”．已知数列{a n }的前n 项和为S n 则下列选项中为假命题的是（ ）A ．存在等差数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”B ．存在等比数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”C ．存在等差数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”D ．存在等比数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”2．已知函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R 记g(x)=f ′(x)．若f(x +3)为奇函数 g(32+2x)为偶函数 且g(0)=−3 g(1)=2 则∑g 2023i=1(i)=（ ） A ．670B ．672C ．674D ．6763．我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列 那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列{f n (x)}（n ∈N +）的通项公式为f n (x)=n 2+2nx+x 2+1(n+x)(n+1)x ∈(0，1) 记E n 为f n (x)的值域 E =U n=1+∞E n 为所有E n 的并集 则E 为（ ）A ．(56，109)B ．(1，109)C ．(56，54)D ．(1，54)4．已知等比数列{x n }的公比q >−12则（ ）A ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|<10B ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|>10C ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|<10D ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|>105．已知数列{a n } {b n }满足a 1=2 b 1=12 {a n+1=b n +1an b n+1=a n +1bn,，,n ,∈,N ∗ 则下列选项错误的是（ ） A ．a 2b 2=14B ．a 50⋅b 50<112C ．a 50+b 50=52√a 50⋅b 50D ．|a 50−b 50|≤156．已知数列{a n }满足：a 1=2 a n+1=13(√a n +2a n )(n ∈N ∗)．记数列{a n }的前n 项和为S n 则（ ）A ．12<S 10<14B ．14<S 10<16C ．16<S 10<18D ．18<S 10<207．已知数列 {a n } 满足： a 1=100，a n+1=a n +1an则（ ）A ．√200+10000<a 101<√200.01+10000B ．√200.01+10000<a 101<√200.1+10000C ．√200.1+10000<a 101<√201+10000D ．√201+10000<a 101<√210+100008．已知数列 {a n } 满足 a 1=a(a >0) √a n+1a n =a n +1 给出下列三个结论：①不存在 a 使得数列 {a n } 单调递减；②对任意的a 不等式 a n+2+a n <2a n+1 对所有的 n ∈N ∗ 恒成立；③当 a =1 时 存在常数 C 使得 a n <2n +C 对所有的 n ∈N ∗ 都成立.其中正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③9．已知F 为抛物线y 2=4x 的焦点 点P n (x n ，y n )(n =1，2，3，⋯)在抛物线上.若|P n+1F|−|P n F|=1 则（ ） A ．{x n }是等差数列 B ．{x n }是等比数列 C ．{y n }是等差数列D ．{y n }是等比数列10．已知数列 11 21 12 31 22 13 41 32 23 14… 其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数 并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数 并且从大到小排列 依次类推.此数列第n 项记为 a n 则满足 a n =5 且 n ≥20 的n 的最小值为（ ） A ．47B ．48C ．57D ．5811．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角 内角A n ，B n ，C n 所对的边分别为a n ，b n ，c n 面积为S n ．若b 1=4，c 1=3，b n+12=a n+12+c n 23，c n+12=a n+12+b n 23则下列选项错误的是（ ）A ．{S 2n }是递增数列B ．{S 2n−1}是递减数列C ．数列{b n −c n }存在最大项D ．数列{b n −c n }存在最小项12．已知数列{a n }的各项都是正数 a n+12−a n+1=a n (n ∈N ∗)．记b n =(−1)n−1a n −1数列{b n }的前n 项和为S n 给出下列四个命题：①若数列{a n }各项单调递增 则首项a 1∈(0，2)②若数列{a n }各项单调递减 则首项a 1∈(2，+∞)③若数列{a n }各项单调递增 当a 1=32时 S 2022>2④若数列{a n }各项单调递增 当a 1=23时S2022<−5则以下说法正确的个数（）A．4B．3C．2D．113．已知正项数列{a n}对任意的正整数m、n都有2a m+n≤a2m+a2n则下列结论可能成立的是（）A．a nm+a mn=a mn B．na m+ma n=a m+n C．a m+a n+2=a mn D．2a m⋅a n=a m+n14．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点要先走完总路程的三分之一再走完剩下路程的三分之一如此下去会产生无限个“剩下的路程” 因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走这个人永远走不到终点．另一方面我们可以从上述第一段“三分之一的路程”开始通过分别计算他在每一个“三分之一距离”上行进的时间并将它们逐个累加不难推理出这个人行进的总时间不会超过一个恒定的实数．记等比数列{a n}的首项a1=13公比为q 前n项和为S n则造成上述悖论的原理是（）A．q=16，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t B．q=13，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<tC．q=12，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t D．q=23，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<t15．已知sinx，siny，sinz依次组成严格递增的等差数列则下列结论错误的是（）A．tanx，tany，tanz依次可组成等差数列B．cosx，cosy，cosz依次可组成等差数列C．cosx，cosz，cosy依次可组成等差数列D．cosz，cosx，cosy依次可组成等差数列16．记U={1，2，⋯，100}．对数列{a n}(n∈N∗)和U的子集T 若T=∅定义S T=0；若T={t1，t2，⋯，t k}定义S T=a t1+a t2+⋯+a tk．则以下结论正确的是（）A．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1，T={1，2，4，8}则S T=15B．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T< a kC．若{a n}(n∈N∗)满足a n=3n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T≥a k+1D ．若{a n }(n ∈N ∗)满足a n =3n−1 且C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D 则S C +S C∩D ≥2S D17．已知数列 {a n }、{b n }、{c n } 满足 a 1=b 1=c 1=1，c n =a n+1−a n ，c n+2=bn+1b n ⋅c n (n ∈N ∗)，S n =1b 2+1b 3+⋯+1b n （n ≥2），T n =1a 3−3+1a 4−4+⋯+1a n −n （n ≥3） 则下列有可能成立的是（ ）A ．若 {a n } 为等比数列 则 a 20222>b 2022B ．若 {c n } 为递增的等差数列 则 S 2022<T 2022C ．若 {a n } 为等比数列 则 a 20222<b 2022D ．若 {c n } 为递增的等差数列 则 S 2022>T 202218．已知数列{a n }满足a 1=1 a n =a n−1+4(√a n−1+1√an−1)(n ∈N ∗，n ≥2) S n 为数列{1a n }的前n 项和 则（ ） A ．73<S 2022<83B ．2<S 2022<73C ．53<S 2022<2 D ．1<S 2022<5319．已知数列{a n }满足a n ⋅a n+1⋅a n+2=−1(n ∈N ∗)，a 1=−3 若{a n }的前n 项积的最大值为3 则a 2的取值范围为（ ） A ．[−1，0)∪(0，1] B ．[−1，0)C ．(0，1]D ．(−∞，−1)∪(1，+∞)20．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n (a n +1)2=4S n 记b n =S n ⋅sin nπ2+S n+1⋅sin (n+1)π2若数列{b n }的前n 项和为T n 则T 100=（ ） A ．-400B ．-200C ．200D ．40021．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和 a 2=−7 S 5=2a 1 当|S n |取得最小值时 n =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．722．已知数列{a n }中 a 2+a 4+a 6=285 na n =(n −1)a n+1+101(n ∈N ∗) 当数列{a n a n+1a n+2}(n ∈N ∗)的前n 项和取得最大值时 n 的值为（ ） A ．53B ．49C ．49或53D ．49或5123．定义在R 上的函数序列{f n (x)}满足f n (x)<1nf n ′(x)（f n ′(x)为f n (x)的导函数） 且∀x ∈N ∗ 都有f n (0)=n ．若存在x 0>0 使得数列{f n (x 0)}是首项和公比均为q 的等比数列 则下列关系式一定成立的是（ ）．A ．0<q <2√2e x 0B ．0<q <√33e x 0C ．q >2√2e x 0D ．q >√33e x 024．已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a 1=1 a 2=2 a n =a n−1⋅a n+1(n ≥2) 则（ ）A ．a 1：a 2：a 3=a 6：a 7：a 8B ．a n ：a n+1：a n+2=1：2：2C ．S 6 S 12 S 18成等差数列D ．S 6n S 12n S 18n 成等比数列25．已知S n 为数列{a n }的前n 项和 且a 1=1 a n+1+a n =3×2n 则S 100=（ ）A ．2100−3B ．2100−2C ．2101−3D ．2101−226．已知 {a n } 为等比数列 {a n } 的前n 项和为 S n 前n 项积为 T n 则下列选项中正确的是（ ）A ．若 S 2022>S 2021 则数列 {a n } 单调递增B ．若 T 2022>T 2021 则数列 {a n } 单调递增C ．若数列 {S n } 单调递增 则 a 2022≥a 2021D ．若数列 {T n } 单调递增 则 a 2022≥a 2021二、多选题27．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想” 是指对于任意一个正整数x 如果x 是奇数㩆乘以3再加1 如果x 是偶数就除以2 这样经过若干次操作后的结果必为1 犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想” 提出了如下问题：设k ∈N ∗ 各项均为正整数的数列{a n }满足a 1=1 a n+1={a n2，a n 为偶数，a n +k ，a n 为奇数，则（ ）A ．当k =5时 a 5=4B ．当n >5时 a n ≠1C ．当k 为奇数时 a n ≤2kD ．当k 为偶数时 {a n }是递增数列28．已知数列{a n } a 2=12且满足a n+1a n 2=a n −a n+1 n ∈N ∗ 则（ ） A ．a 4−a 1=1929B ．a n 的最大值为1C ．a n+1≥1n+1D ．√a 1+√a 2+√a 3+⋅⋅⋅+√a 35>1029．已知数列{a n }的前n 项和为S n a 1=1 且4a n ⋅a n+1=a n −3a n+1（n =1 2 …） 则（ ）A ．3a n+1<a nB ．a 5=1243C ．ln(1an )<n +1D ．1≤S n <171430．如图 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1顶点处有一质点Q 点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动 且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处 记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为P n 则下列说法正确的是（ ）A ．P 2=59B ．P n+1=23P n +13C ．点Q 移动4次后恰好位于点C 1的概率为0D ．点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为12(13)10+1231．已知数列{a n } {b n } 有a n+1=a n −b n b n+1=b n −a n n ∈N ∗ 则（ ）A ．若存在m >1 a m =b m 则a 1=b 1B ．若a 1≠b 1 则存在大于2的正整数n 使得a n =0C ．若a 1=a a 2=b 且a ≠b 则b 2022=−b ×22020D ．若a 1=−1 a 2=−3 则关于x 的方程2a 3+(2a 3+1)cosx +2cos2x +cos3x =0的所有实数根可构成一个等差数列32．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角 内角A n 、B n 、C n 所对的边分别为a n 、b n 、c n 面积为S n 若b 1=4 c 1=3 b n+12=a n+12+c n 23 c n+12=a n+12+b n 23则（ ） A ．{S 2n }是递增数列 B ．{S 2n−1}是递减数列 C ．{b n −c n }存在最大项D ．{b n −c n }存在最小项33．已知S n 是数列{a n }的前n 项和 且S n+1=−S n +n 2 则下列选项中正确的是（ ）.A ．a n +a n+1=2n −1（n ≥2）B ．a n+2−a n =2C ．若a 1=0 则S 100=4950D ．若数列{a n }单调递增 则a 1的取值范围是(−14，13)三、填空题34．已知n ∈N ∗ 将数列{2n −1}与数列{n 2−1}的公共项从小到大排列得到新数列{a n } 则1a 1+1a 2+⋯+1a 10= .35．若函数f(x)的定义域为(0，+∞) 且f(x)+f(y)=f(xy) f(a n )=n +f(n) 则∑f ni=1(a i i )= ．36．在数列{a n }中 a 1=1 a n+1=a n +1an（n∈N ∗） 若t ∈Z 则当|a 7−t|取得最小值时 整数t 的值为 .37．已知函数f(x)满足f(x −2)=f(x +2)，0≤x <4时 f(x)=√4−(x −2)2 g(x)=f(x)−k n x(n ∈N ∗，k n >0)．若函数g(x)的图像与x 轴恰好有2n +1个不同的交点 则k 12+k 22+⋅⋅⋅+k n 2= ．38．已知复数z =1+i 对于数列{a n } 定义P n =a 1+2a 2+⋅⋅⋅+2n−1a n n为{a n }的“优值”．若某数列{a n}的“优值”P n =|z|2n 则数列{a n }的通项公式a n = ；若不等式a n 2−a n +4≥(−1)nkn 对于∀n ∈N ∗恒成立 则k 的取值范围是 ．39．数列{a n }是公比为q(q ≠1)的等比数列 S n 为其前n 项和. 已知a 1⋅a 3=16 S3q=12 给出下列四个结论： ①q <0 ；②若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大 则m 的一个可能值是3； ③若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大 则m 的一个可能值是4； ④若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最小 则m 的值只能是2． 其中所有正确结论的序号是 .40．如图 某荷塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）满足关系式：y =a t lna （a 为常数） 记y =f(t)（t ≥0）．给出下列四个结论：①设a n=f(n)(n∈N∗)则数列{a n}是等比数列；②存在唯一的实数t0∈(1，2)使得f(2)−f(1)=f′(t0)成立其中f′(t)是f(t)的导函数；③常数a∈(1，2)；④记浮萍蔓延到2m23m26m2所经过的时间分别为t1t2t3则t1+t2>t3．其中所有正确结论的序号是．41．在现实世界很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列{a n}{b n}分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度数列模型：a n+1=2a n+b n，b n+1=a n+2b n(n=1，2⋯)描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足a1>b1则在该模型中关于两组信息给出如下结论：①∀n∈N∗，a n>b n；②∀n∈N∗，a n+1>a n，b n+1>b n；③∃k∈N∗使得当n>k时总有|a nb n−1|<10−10④∃k∈N∗使得当n>k时总有|a n+1a n−2|<10−10．其中所有正确结论的序号是答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】B13．【答案】D14．【答案】D15．【答案】B16．【答案】D17．【答案】B18．【答案】D19．【答案】A20．【答案】C21．【答案】C22．【答案】D23．【答案】D24．【答案】C25．【答案】D26．【答案】D27．【答案】A,C,D28．【答案】B,C,D29．【答案】A,D30．【答案】A,C,D 31．【答案】A,C,D 32．【答案】A,C,D 33．【答案】A,C 34．【答案】102135．【答案】n(n+1)236．【答案】4 37．【答案】n 4(n+1) 38．【答案】n+1；[−163，5] 39．【答案】①②③ 40．【答案】①②④ 41．【答案】①②③。

高考数学必做36道压轴题答案（解析几何部分）1-1 解：（Ⅰ）设双曲线的方程是12222=-by a x （0>a ，0>b ），则由于离心率2==ace ，所以a c 2=，223a b =． 从而双曲线的方程为132222=-ay a x ，且其右焦点为F （a 2，0）． 把直线MN 的方程a x y 2-=代入双曲线的方程，消去y 并整理，得074222=-+a ax x ．设M 11(,)x y ，N 22(,)x y ，则a x x 221-=+，22127a x x -=． 由弦长公式，得212214)(2||x x x x MN -+⋅=)27(4)2(222a a ---⋅==6．所以1=a ，3322==a b ．从而双曲线的方程是1322=-y x ． （Ⅱ）由m kx y +=和1322=-y x ，消去y ，得032)3(222=----m kmx x k ． 根据条件，得0)3)(3(442222>----=∆m k m k 且032≠-k ．所以 3322≠>+k m ．设A ),(33y x ，B ),(44y x ，则24332k km x x -=+，332243-+=k m x x ． 由于以线段AB 为直径的圆过原点，所以04343=+y y x x ． 即 0)()1(243432=++++m x x km x x k ．从而有03233)1(22222=+-⋅+-+⋅+m k km km k m k ，即22321m k =+． 所以 点Q 到直线l ：m kx y +=的距离为|11|2632|1|1|1|22mm m k m d +=+=++=．由 13222-=m k ≥0，解得 36136≤≤-m 且01≠m ． 由 13222-=m k 3≠，解得 ≠m 166±． 所以当26=m 时，d 取最大值226)361(26+=+，此时0=k ． 因此d 的最大值为226+，此时直线l 的方程是26=y ． 1-2 解：（Ⅰ）设焦距为2c ，由已知可得1F 到直线l=2c = 所以椭圆C 的焦距为4．（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知10y <，20y >，且直线l的方程为2).y x -联立22222),1y x x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y y b +--=，解得12y y ==. 因为222AF F B =，所以122y y -=，即222222(22)(22)233a a a b a b+-=⋅++,得3a =．而224a b -=，所以b =故椭圆C 的方程为221.95x y += 2-1 解：（Ⅰ）因为c e a ==所以 22222213c a b e a a -=== ，即2223b a =，又b == 所以22b =,23a =，即a =b =（Ⅱ）解法1：由（1）知12,F F 两点分别为(1,0)-，(1,0)，由题意可设(1,)P t ． 那么线段1PF 中点为(0,)2tN ，设(,)M x y ．由于(,)2tMN x y =--，1(2,)PF t --， 则1,2(),2y t t MN PF x t y =⎧⎪⎨⋅=+-⎪⎩消去参数t ，得24y x =-,其轨迹为抛物线． 解法2：如图，因为M 是线段1PF 垂直平分线上的点，所以1||||MP MF =，即动点M 到定点1F 的距离与的定直线1l 的距离相等，1F ，由抛物线的定义知，动点M 的轨迹是以定点以定直线1l 为准线的抛物线，易得其方程是24y x =-．2-2 解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为(,)x y ，依题意可知1222y y x x ⋅=-+-，整理得221(2)2x y x +=≠±． 所以动点E 的轨迹C 的方程为221(2)2x y x +=≠±． （II ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-．将(1)y k x =-代入2212x y +=并整理得， 2222(21)4220k x k x k +-+-=． 2880k ∆=+>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， 21222221k x x k -=+． 设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21Q Q k y k x k =-=-+， 所以2222(,)2121k kQ k k -++．由题意可知0k ≠，又直线MN 的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++． 令0x =解得211212P k y k k k==++．当0k >时，因为12k k +≥0P y <≤=； 当0k <时，因为12k k +≤-0P y >≥= 综上所述，点P纵坐标的取值范围是[． 3-1 解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以A ，B为焦点，长轴长为所以1c =，a =22b =． 所以W 的方程是22132x y +=．（Ⅱ）设C ，D 两点坐标分别为11(,)C x y 、22(,)D x y ，C ，D 中点为00(,)N x y ．当0k =时，显然0m =； 当0k ≠时，由221,132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 22(32)630k x kx ++-=．所以122632k x x k +=-+， 所以12023232x x kx k +==-+， 从而0022132y kx k =+=+．所以MN 斜率2002232332MNy k k k x m m k +==---+． 又因为CM DM =， 所以CD MN ⊥，所以222132332k k k m k +=---+，即 212323k m k k k=-=-++6[,0)(0,]1212∈-． 故所求m 的取范围是[]1212-． 3-2 解：（Ⅰ）依题意，c =1b =，所以a ．故椭圆C 的方程为2213x y +=． （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==．不妨设A ，(1,B ，因为132233222k k +=+=，又1322k k k +=，所以21k =，所以,m n 的关系式为213n m -=-，即10m n --=． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-．将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+．又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-． 所以12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k k k k -⨯-+⨯++++=--⨯+++ 222(126)2.126k k +==+所以222k =，所以2213n k m -==-，所以,m n 的关系式为10m n --=． 综上所述，,m n 的关系式为10m n --=．4-1 解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a ，c ，由已知得，1,7.a c a c -=⎧⎨+=⎩解得a =4，c =3．所以椭圆C 的方程为221.167x y += （Ⅱ）设M （x ，y ），P(x ，1y )，其中[]4,4.x ∈- 由已知得222122.x y e x y+=+ 因为 34e =， 所以 2222116()9().x y x y +=+由点P 在椭圆C 上得，221112716x y -=，化简得 29112y =． 所以点M的轨迹方程为(44)3y x =±-≤≤， 轨迹是两条平行于x 轴的线段．4-2（Ⅰ）解：因为A , B 两点关于x 轴对称，所以AB 边所在直线与y 轴平行． 设M (x , y )，由题意，得(),(,3)A x B x x ，所以||,||AM y MB y -=，因为||||3AM MB ，所以)()3y y -⨯=，即2213y x -=，所以点M 的轨迹W 的方程为221(0)3y x x -=>．（Ⅱ）证明：设000(,)(0)M x y x >，因为曲线221(0)3y x x -=>关于x 轴对称，所以只要证明“点M 在x 轴上方及x 轴上时，2MQP MPQ ∠=∠”成立即可． 以下给出“当00y ≥时，2MQP MPQ ∠=∠” 的证明过程．因为点M 在221(0)3y x x -=>上，所以01x ≥．当x 0=2时，由点M 在W 上，得点(2,3)M ， 此时,||3,||3MQ PQ MQ PQ ⊥==， 所以,42MPQ MQP ππ∠=∠=，则2MQP MPQ ∠=∠；当02x 时，直线PM 、QM 的斜率分别为0000,12PM QM y y k k x x ==+-， 因为0001,2,0x x y ≥≠≥，所以0001PM y k x =≥+，且0011PM yk x =≠+， 又tan PM MPQ k ∠=，所以(0,)2MPQ π∠∈，且4MPQ π∠≠，所以22tan tan 21(tan )MPQ MPQ MPQ ∠∠=-∠00002220000212(1)(1)1()1y x y x y x y x ⨯++==+--+， 因为点M 在W 上，所以220013y x -=，即220033y x =-，所以tan 2MPQ ∠000220002(1)(1)(33)2y x y x x x +==-+---，因为tan QM MQP k ∠=-， 所以tan tan 2MQP MPQ ∠=∠， 在MPQ ∆中，因为(0,)2MPQ π∠∈，且4MPQ π∠≠，(0,)MQP π∠∈，所以2MQP MPQ ∠=∠．综上，得当00y ≥时，2MQP MPQ ∠=∠．所以对于轨迹W 的任意一点M ，2MQP MPQ ∠=∠成立．5-1 解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离与到准线距离相等， 即(,2)M m 到2py =-的距离为3； 所以 232p-+=，解得2p =． 所以 抛物线P 的方程为24x y =．（ⅱ）抛物线焦点(0,1)F ，抛物线准线与y 轴交点为(0,1)E -，显然过点E 的抛物线的切线斜率存在，设为k ，切线方程为1y kx =-．由241x y y kx ⎧=⎨=-⎩， 消y 得2440x kx -+=， 216160k ∆=-=，解得1k =±．所以切线方程为1y x =±-．（Ⅱ）直线l 的斜率显然存在，设l ：2p y kx =+， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 消y 得 2220x pkx p --=． 且0∆>． 所以 122x x pk +=，212x x p ⋅=-； 因为 11(,)A x y ， 所以 直线OA ：11y y x x =，与2p y =-联立可得11(,)22px p C y --， 同理得22(,)22px pD y --． 因为 焦点(0,)2pF ， 所以 11(,)2px FC p y =--，22(,)2pxFD p y =--， 所以 1212(,)(,)22px px FC FD p p y y ⋅=--⋅--22212121212224px px p x x p p y y y y =+=+2442221222212120422p x x p p p p p x x x x p p p=+=+=+=- 所以 以CD 为直径的圆过焦点F ．5-2 解：（Ⅰ）如图，由题意得，22b c ==．所以b c ==2a =．所以所求的椭圆方程为22142x y +=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，C （2-，0），D （2，0）．由题意可设CM ：(2)y k x =+，P （1x ，1y ）．MD CD ⊥，∴M （2，4k ）．由 22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理 得:2222(12)8840k x k x k +++-=．因为21284212k x k --=+， 所以2122412k x k-=+． 所以1124(2)12k y k x k =+=+，222244(,)1212k kP k k-++． 所以222222444(12)244121212k k k OM OP k k k k-+⋅=⋅+⋅==+++． 即OM OP ⋅为定值． （Ⅲ）设0(,0)Q x ，则02x ≠-．若以MP 为直径的圆恒过DP ，MQ 的交点，则MQ DP ⊥，∴0MQ DP ⋅=恒成立．由（Ⅱ）可知0(2,4)QM x k =-，22284(,)1212k kDP k k -=++． 所以202284(2)401212k kQM DP x k k k -⋅=-⋅+⋅=++． 即2028012k x k =+恒成立． 所以00x =．所以存在(0,0)Q 使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点． 5-3 解：(I)直线l 的方程为210x y --=；(II) 由2222,21m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x ，得222104m y my ++-=． （*）由2228(1)804m m m ∆=--=-+>，知28m <．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由（*）式，有12212,21.82m y y m y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩由于1(,0)F c -，2(,0)F c ，且O 是12F F 的中点，依题意，由2AG GO =，2BH HO =，可知，11(,)33x y G ，22(,)33x yH ． 若原点在以线段GH 为直径的圆内，则0OG OH ⋅<，即12120x x y y +<．而2222121212121()()(1)()2282m m m x x y y my my y y m +=+++=+-， 所以21082m -<，即24m <．又由已知1m >，所以12m <<． 即，实数m 的取值范围是(1,2)．5-4 解：（Ⅰ）设P （x ，y ）是曲线C 上任意一点，那么点P （x ，y ）满足：1(0)x x =>，化简得24(0)y x x =>．(Ⅱ)设过点M （m ，0）（m >0）的直线l 与曲线C 的交点为A 12(,)x y ，B 22(,)x y ． 设直线l 的方程为x =ty +m ， 由2,4x ty m y x=+⎧⎨=⎩得2440y ty m --=，△=16（2t +m ）>0，于是12124,4.y y t y y m +=⎧⎨=-⎩ ①又1122(1,),(1,)FA x y FB x y =-=-．0FA FB ⋅<1212(1)(1)x x y y ⇔--+=1212()x x x x -++1+120y y < ②又24y x =，于是不等式②等价于2222121212()104444y y y y y y ⋅+-++< 2212121212()1()210164y y y y y y y y ⎡⎤⇔+-+-+<⎣⎦ ③ 由①式，不等式③等价于22614m m t -+< ④对任意实数t ，24t 的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于2610m m -+<， 即33m -<<+由此可知，存在正实数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<，且m的取值范围(3-+．6-1 解：（Ⅰ）由题意，2221,,a c b a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得1a c ==．即：椭圆方程为.12322=+y x （Ⅱ）当直线AB 与x轴垂直时，AB =，此时AOB S ∆不符合题意故舍掉；当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为：)1(+=x k y ， 代入消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则212221226,2336.23k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以AB =． 原点到直线的AB距离d =，所以三角形的面积12S AB d ==由224S k k =⇒=⇒=所以直线0AB l y -=或0AB l y +=．6-2 解：（I ）椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a b y a x，由已知得2222.c e a a a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得1,1a b c ===所以所求椭圆的方程为1222=+y x ．(II)由题意知l 的斜率存在且不为零，设l 方程为2(0)x my m =+≠ ①，将①代入1222=+y x ，整理得 22(2)420m y my +++=，由0>∆得2 2.m >设),(11y x E ，),(22y x F ，则1221224222m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩②由已知，12OBE OBF S S ∆∆=， 则||1||2BE BF = 由此可知，2BF BE =，即212y y =，代入②得，12212432222m y m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去1y 得222221629(2)2m m m ⋅=++ 解得，2187m =，满足22.m >即7m =±． 所以，所求直线l的方程为71407140x x --=+-=或．7-1 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，由题意可得：椭圆C 两焦点坐标分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ．所以532422a ==+=． 所以2a =，又1c = 2413b =-=，故椭圆的方程为22143x y +=． （Ⅱ）当直线l x ⊥轴，计算得到：33(1,),(1,)22A B ---，21211||||32322AF B S AB F F ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得 2222(34)84120k x k x k +++-=，显然0∆>成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221212228412,,3434k k x x x x k k -+=-⋅=++又||AB ==即2212(1)||34k AB k+==+， 又圆2F的半径r ==所以2221112(1)||,22347AF Bk S AB r k ∆+==⨯==+ 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=，解得1k =±，所以，r ==故圆2F 的方程为：22(1)2x y -+=． （Ⅱ）另解：设直线l 的方程为 1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得 22(43)690t y ty +--=，0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122269,,4343t y y y y t t+=⋅=-++ 所以12||y y -== 又圆2F的半径为r ==，所以21212121||||||27AF B S F F y y y y ∆=⋅⋅-=-==，解得21t =，所以r ==2F 的方程为：22(1)2x y -+=．7-2 （Ⅰ）解 设直线PQ 的方程为)3(-=x k y ．由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y y x 得，062718)13(2222=-+-+k x k x k ， 依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k ． 设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+k k x x ， ①136272221+-=k k x x ． ②由直线PQ 的方程得 11(3)y k x =-，22(3)y k x =-．于是 ]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y ． ③ 因为0OP OQ ⋅=，所以 02121=+y y x x ． ④ 由①②③④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k ． 所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x （Ⅱ）证法1 ),3(),,3(2211y x AQ y x AP -=-=． 由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ注意1>λ，解得λλ2152-=x ． 因),(),0,2(11y x M F -，故),1)3((),2(1211y x y x FM -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--=．而2221(2,)(,)2FQ x y y λλ-=-=，所以FM FQ λ=-． 证法2 （坐标法与几何证法结合）为使结论更具一般性，下面就椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，点A 的坐标为2(,0)a c进行证明（其中22c a b =+）．如图，对三角形PHA ∆应用梅涅劳斯定理，得1AQ PM HEQP MH EA⋅⋅=，又2PM MH =， 所以，12AQ HE QP EA ⋅=， 作QD x ⊥轴于D ，则，12AD HE DH EA ⋅=， （二维问题一维化）设),(),,(2211y x Q y x P ，0(,0)E x ， 将上式用坐标表示，得2201221012a x x x c a x x x c--⋅=--，整理得，2201212122[()]()2a a x x x x x x x c c-+=⋅+-． （这个过程虽然复杂，但却表现出强烈的目标意识！下面的目标是非常明确的，即用解析几何的常规方法，求出12x x +与12x x ）显然，直线AP 不垂直x 轴，故可设直线AP 的方程为2()a y k x c=-，由22222(),1a y k x c x y ab ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，整理得，242622222222()0k a k a a k b x x a b c c +-+-=， 所以，24122222*********,()().()k a x x c a k b k a abc x x c a k b ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩222422122222222222()()()a a k a ab x xc c c a k b c a k b -+=-=++ 22242622212122222222222222()2()2()()a a k a k a abc a b x x x x c c c a k b c a k b a k b-⋅+-=⋅-=+++ 所以，222220222222()2a b c a k b x c a k b a b+=⋅=+． 这说明，直线MQ 与x 轴的交点是椭圆的右焦点(,0)F c ． 所以，若AP AQ λ=，即，AP AQλ=，则PH MH MFQD QD FQ λ===，即FM FQ λ=-．注：λ可以是一切正实数，当1λ=时，,P Q 重合． 8-1 解：（Ⅰ）由焦点F ( 1, 0 ) 在l 上, 得k = –21, 所以l : y = –21x +21． 设点N( m , n ) , 则有: 11()()1,12112 1.22n m m n -⎧-=-⎪-⎨++⎪+=⎩解得1,53.5m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以N (51, – 53)， 因为54≠ ( –53)2 ，所以N 点不在抛物线C 上． (2) 把直线方程11--=kk y x 代入抛物线方程得: k 2y 2 + 4y + 4k +4 = 0 ， 因为相交，所以△ = 16 (–k 2 – k + 1)≥ 0,解得251--≤ k ≤251+- 且k ≠ 0 ． 由对称得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+-=⋅--1221110000k a x k y k a x y ,解得 x 0 =12)1(222+--k k k a (2511+-≤ k ≤251+-,且k ≠ 0)． 当P 与M 重合时, a = 1,所以 f ( k ) = x 0 =13122+-k k = – 3 +142+k (2511+-≤ k ≤251+-, 且k ≠ 0), 因为函数x 0 = f ( k )(k ∈R)是偶函数，且k > 0时单调递减． 所以当k =251--时， (x 0)min =5525+-, 1lim 00=→x k ，所以 x 0 ∈[5525+-，1)． 8-2 解：（Ⅰ）由33=a b ，22232121b a b a +⋅⋅=⋅ ，得3=a ，1=b ，所以椭圆方程是：1322=+y x ． （Ⅱ）设EF ：1-=my x （0>m ）代入1322=+y x ，得022)3(22=--+my y m ， 设),(11y x E ，),(22y x F ，由DF ED 2=，得212y y -=．由322221+=-=+m m y y y ，32222221+-=-=m y y y ， 得31)32(222+=+-m m m ，1=∴m ，1-=m （舍去），直线EF 的方程为：1-=y x 即01=+-y x ．（Ⅲ）将2+=kx y 代入1322=+y x ，得0912)13(22=+++kx x k （*） 记),(11y x P ，),(22y x Q ，PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，则QD PD ⊥，即0)1)(1(),1(),1(21212211=+++=+⋅+y y x x y x y x ，又211+=kx y ，222+=kx y ，得01314125))(12()1(221212=++-=+++++k k x x k x x k ． 解得67=k ，此时（*）方程0>∆， 所以存在67=k ，满足题设条件． 9-1 解：（Ⅰ）由题意知12c e a ==， 所以22222214c a b e a a -===． 即2243a b =．又因为b == 所以24a =，23b =．故椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．由22(4),1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(43)3264120k x k x k +-+-=． ①设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -． 直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--．令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入， 整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由①得 21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+代入② 整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ．（Ⅲ）当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，且(,)M M M x y ，(,)N N N x y 在椭圆C 上．由22(1),1.43y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(43)84120m x m x m +-+-=．易知0∆>．所以22843M N m x x m +=+，2241243M N m x x m -=+， 22943M N m y y m =-+． 则M N M N OM ON x x y y ⋅=+2225125334344(43)m m m +=-=--++． 因为20m ≥，所以21133044(43)m -≤-<+． 所以5[4,)4OM ON ⋅∈--．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =． 解得3(1,)2M -，3(1,)2N -．此时54OM ON ⋅=-． 所以OM ON ⋅的取值范围是5[4,]4--．9-2 （Ⅰ）解：由题意可设抛物线的方程为22x py =(0)p ≠．因为点(,4)A a 在抛物线上，所以0p >． 又点(,4)A a 到抛物线准线的距离是5，所以452p+=，可得2p =． 所以抛物线的标准方程为24x y =．（Ⅱ）解：点F 为抛物线的焦点，则(0,1)F ．依题意可知直线MN 不与x 轴垂直，所以设直线MN 的方程为1y kx =+．由21,4.y kx x y =+⎧⎨=⎩ 得2440x kx --=．因为MN 过焦点F ，所以判别式大于零． 设11(,)M x y ，22(,)N x y ． 则124x x k +=，124x x =-．2121(,)MN x x y y =--2121(,())x x k x x =--．由于24x y =，所以'12y x =． 切线MT 的方程为1111()2y y x x x -=-， ① 切线NT 的方程为2221()2y y x x x -=-． ② 由①，②，得1212(,)24x x x x T + 则1212(,1)(2,2)24x x x x FT k +=-=-． 所以21212()2()0FT MN k x x k x x ⋅=---=． （Ⅲ）证明：2222(2)(2)44FTk k =+-=+．由抛物线的定义知 11MF y =+，21NF y =+．则12(1)(1)MF NF y y ⋅=++2121212(2)(2)2()4kx kx k x x k x x =++=+++244k =+．所以2FTMF NF =⋅．即FT 是MF 和NF 的等比中项．10-1 （Ⅰ）解：设椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．因为1(1,0)F -，145PFO ∠=︒， 所以1bc ． 所以 2222ab c ．所以 椭圆G 的标准方程为2212x y +=． （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ．（ⅰ）证明：由122,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：22211(12)4220k x km x m +++-=． 则2218(21)0k m ∆=-+>，1122211224,1222.12km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以||AB ===同理||CD =因为 ||||AB CD =, 所以=因为 12m m ≠， 所以 120m m +=．（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线,AB CD 间的距离为d ,则1221m m dk．因为 120m m +=， 所以 1221m dk．所以||S AB d =⋅=2221121k m m -++=≤=．（或S ==≤ 所以 当221212k m +=时， 四边形ABCD 的面积S取得最大值为10-2 （Ⅰ）解：依题意(1,0)F ，设直线AB 方程为1x my =+． 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 124y y m +=，124y y =-． ① 因为 2AF FB =， 所以 122y y =-． ②联立①和②，消去12,y y，得4m =±． 所以直线AB的斜率是±．（Ⅱ）解：由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2AOB S ∆． 因为 12122||||2AOB S OF y y ∆=⨯⋅⋅-==所以 0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4．11-1 解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b += ② 由①②解之，得224,3a b ==．故椭圆C 的方程为22143x y +=． (Ⅱ) 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，解得m =||OP = 当0k ≠时，则由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+-> ③设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则012012122286,()23434km m x x x y y y k x x m k k=+=-=+=++=++． 由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=． 从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式．又||OP =====因为102k <≤，得23434k <+≤，有2331443k ≤<+，2OP <≤． 综上，所求OP的取值范围是． (Ⅱ)另解：设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，由,A B 在椭圆上，可得2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩①②①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=③ 由已知可得OP OA OB =+，所以120120x x x y y y +=⎧⎨+=⎩④⑤由已知当1212y y k x x -=- ,即1212()y y k x x -=- ⑥把④⑤⑥代入③整理得0034x ky =- 与22003412x y +=联立消0x 整理得202943y k =+．由22003412x y +=得2200443x y =-， 所以222222000002413||4443343OP x y y y y k =+=-+=-=-+， 因为12k ≤，得23434k ≤+≤，有2331443k ≤≤+，OP ≤≤． 所求OP的取值范围是． 11-2 解：（Ⅰ）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246+， 所以24622+=+c a ，，即c a =，所以c =，所以3a =，c =所以1b =，椭圆M 的方程为1922=+y x ． （Ⅱ）方法一：不妨设BC 的方程(3),(0)y n x n =->，则AC 的方程为)3(1--=x ny ． 由22(3),19y n x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得0196)91(2222=-+-+n x n x n ， 设),(11y x A ，),(22y x B ，因为222819391n x n -=+，所以19327222+-=n n x ，同理可得2219327n n x +-=，所以1961||22++=n n BC ，222961||nn n n AC ++=， 964)1()1(2||||212+++==∆n n n n AC BC S ABC， 设21≥+=nn t ， 则22236464899t S t t t==≤++， 当且仅当38=t 时取等号， 所以ABC ∆面积的最大值为83． 方法二：不妨设直线AB 的方程x ky m =+．由22,1,9x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=， 设),(11y x A ，),(22y x B ，则有12229km y y k +=-+，212299m y y k -=+． ①因为以AB 为直径的圆过点C ，所以 0CA CB ⋅=． 由 1122(3,),(3,)CA x y CB x y =-=-， 得 1212(3)(3)0x x y y --+=． 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得 221212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=．将 ① 代入上式，解得 125m =或3m =（舍）． 所以125m =（此时直线AB 经过定点12(,0)5D ，与椭圆有两个交点）， 所以121||||2ABC S DC y y ∆=-12== 设211,099t t k =<≤+，则ABC S ∆=所以当251(0,]2889t =∈时，ABC S ∆取得最大值83． 12-1 解：（Ⅰ）因为四边形AMBN 是平行四边形,周长为8，所以两点,A B 到,M N 的距离之和均为4，可知所求曲线为椭圆．由椭圆定义可知，2,a c ==1b =，所求曲线方程为1422=+y x ． （Ⅱ）由已知可知直线l 的斜率存在，又直线l 过点(2,0)C -，设直线l 的方程为：(2)y k x =+，代入曲线方程221(0)4x y y +=≠，并整理得2222(14)161640k x k x k +++-=， 点(2,0)C -在曲线上,所以D (228214k k -++,2414kk +)，(0,2)E k ,CD =2244(,)1414kk k++,(2,2)CE k =， 因为OA //l ,所以设OA 的方程为y kx =．代入曲线方程，并整理得22(14)4k x +=，所以(A ．22222228814142441414k CD CE k k k OA k k+⋅++==+++，所以2CD CE OA ⋅为定值．12-2 解：（Ⅰ）由题意得2c a =① 因为椭圆经过点)21,26(P ，所以22221()221a b += ② 又222a b c =+ ③由①②③ 解得 22=a ，122==c b ．所以椭圆方程为2212x y +=． （Ⅱ）以OM 为直径的圆的圆心为(1,)2t ,半径r =方程为222(1)()124t t xy -+-=+，因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的弦长为2， 所以圆心到直线3450x y --=的距离d 2t=． 所以32552t t--=，解得4t =． 所求圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=．（Ⅲ）方法一：过点F 作OM 的垂线，垂足设为K ，由平几知：2ONOK OM =．则直线OM ：2t y x =，直线FN ：2(1)y x t=--，由,22(1),t y x y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得244K x t =+．所以2M ONx x =22444422=⋅+⋅+=t t ． 所以线段ON方法二：设00(,)N x y ，则 ),1(00y x FN -=，),2(t OM =，),2(00t y x MN --=，),(00y x ON =．因为 OM FN ⊥，所以 0)1(200=+-ty x ．所以 2200=+ty x ． 又因为 ON MN ⊥，所以0)()2(0000=-+-t y y x x ， 所以22002020=+=+ty x y x ． 所以22020=+=y x 为定值．12-3 解：（Ⅰ）（ⅰ）因为 圆O 过椭圆的焦点，圆O ：222x y b +=，所以b c =，所以2222b ac c =-=， 所以222a c =，所以e =（ⅱ）由90APB ∠=及圆的性质，可得OP =，所以2222,OP b a =≤所以222a c ≤ 所以212e ≥，12e ≤<． （Ⅱ）设()()()001122,,,,,P x y A x y B x y ，则011011y y x x x y -=--整理得220011x x y y x y +=+ 因为22211x y b +=所以PA 方程为：211x x y y b +=，PB 方程为：222x x y y b +=．所以11x x y y +=22x x y y +， 所以021210x y y x x y -=--,直线AB 方程为 ()0110x y y x x y -=--，即 200x x y y b +=． 令0x =，得20b ON y y ==，令0y =，得2b OM x x ==，所以2222222220022442a y b x a b a b a b b bON OM ++===，所以2222a b ON OM+为定值，定值是22a b ． 13-1 解：（Ⅰ）由题意可知：222,c c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩解得 1,2==b a ．所以椭圆的方程为：1422=+y x ． （II ）证明：由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 14220448)k 41222=-+++m kmx x 得（0)44)(41(4)8(222>-+-=∆m k km ，整理得01422>+-m k ， 设),(),,(2221y x N x x M则22212214144,418km x x k km x x +-=+-=+． 由已知，AN AM ⊥且椭圆的右顶点为)0,2(A ， 所以1212(2)(2)0x x y y --+=，2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=，即04))(2()1(221212=+++-++m x x km x x k ，也即04418)2(4144))1(22222=+++-•-++-•+m kkmkm k m k ， 整理得：01216522=++k mk m ， 解得562k m k m -=-=或均满足01422>+-m k ． 当k m 2-=时，直线的l 方程为k kx y 2-=，过定点（2，0）与题意矛盾舍去； 当56k m -=时，直线的l 方程为)56(-=x k y ,过定点)0,56(． 故直线l 过定点，且定点的坐标为)0,56(． 13-2 解：（I ）由题意可得OP OM ⊥， 所以0OP OM ⋅=，即(,)(,4)0x y x -=，即240x y -=，即动点P 的轨迹W 的方程为24x y =．（II ）设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ，则11'(,)A x y -． 由244y kx x y=-⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx -+=， 则216640k ∆=->，即||2k >．12124,16x x k x x +==．直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+，所以212221()y y y x x y x x -=-++，2222122121()4()4x x y x x x x x -=-++，222121221444x x x x x y x x --=-+，2112y 44x x x xx -=+，即2144x x y x -=+． 所以，直线'A B 恒过定点(0,4)． 13-3 解：（Ⅰ）设动点M 的坐标为(,)x y ，|1|x =+，化简得24y x =，所以点M 的轨迹C 的方程为24y x =．（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为11(, )x y ，22(,)x y ， 则点P 的坐标为1212(,)22x x y y ++． 由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =- (0)k ≠，由24, (1),y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 2242(24)416160k k k ．因为直线1l 与曲线C 于,A B 两点， 所以12242x x k +=+，12124(2)y y k x x k+=+-=． 所以点P 的坐标为222(1, )k k+． 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为2(12,2)k k +-． 当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--． 所以，直线PQ 的方程为222(12)1k y k x k k+=---， 整理得2(3)0yk x k y +--=．于是，直线PQ 恒过定点(3, 0)E ；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点(3, 0)E ． 综上所述，直线PQ 恒过定点(3, 0)E ． （Ⅲ）可求的||2EF ，所以FPQ ∆面积121||(2||)2(||)42||||S FE k k k k =+=+≥． 当且仅当1k =±时，“=”成立，所以FPQ ∆面积的最小值为4． 14-1 解：（Ⅰ）由题意知：1c ．根据椭圆的定义得：22222(11)()22a ，即2a ．所以 2211b．所以 椭圆C 的标准方程为2212x y +=． （Ⅱ）假设在x 轴上存在点(,0)Q m ，使得716QA QB ⋅=-恒成立．当直线l 的斜率为0时，(A B ．则 7,0)(2,0)16m m ． 解得 54m．当直线l 的斜率不存在时，(1,22A B -． 由于52527(1,)(1,)424216，所以54m ． 下面证明54m时，716QA QB ⋅=-恒成立． 显然 直线l 的斜率为0时，716QA QB ⋅=-． 当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1xty ，1122,,,A x y B x y ．由221,21x y x ty 可得：22(2)210t y ty ．显然0∆．1221222,21.2t y y t y y t因为 111x ty ，221x ty ，所以 112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y2121211(1)()416t y y t y y2221121(1)24216t t t t t22222172(2)1616t t t ． 综上所述：在x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得716QA QB ⋅=-恒成立． 14-2解：(Ⅰ)由题意可知2)(136abe -==，得 223b a =． 因为1,1B()在椭圆上11122=+b a 解得：34422==b ,a ．故椭圆M 的方程为：143422=+y x ． （Ⅱ）由于PBQ ∠的平分线垂直于OA 即垂直于x 轴，故直线PB 的斜率存在设为k ，则QB 斜率为k -，因此PB ，QB 的直线方程分别为(1)1y k x =-+，(1)1y k x =--+．由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=14341)1(22y x x k y 得01631631222=--+--+k k x )k (k x )k (①由0>∆ ，得31-≠k ．因为点B 在椭圆上，x =1是方程①的一个根，设),(),,(Q Q p p y x Q y x P所以22361131P k k x k --⋅=+，即2236131P k k x k --=+，同理1316322+-+=k k k x Q ．所以=PQk 311312213)13(22)(222=+--+-⋅=--+=--k k k k k k x x k x x k x x y y Q P Q P Q P Q P ．因为(2,0),(1,1)A C --，所以13AC k =， 即 AC PQ k k =． 所以向量AC //PQ ，则总存在实数λ使AC PQ λ=成立．15-1 解：（Ⅰ）因为ace ==22， 12122=+a b ，222c b a +=所以2=a ，2=b ，2=c所以14222=+y x ． （Ⅱ）设直线BD 的方程为b x y +=2所以⎩⎨⎧=++=42222y x bx y 0422422=-++⇒b bx x所以06482>+-=∆b 2222<<-⇒b,2221b x x -=+ ----① 44221-=b x x -----②因为12BD x =-===，设d 为点A 到直线BD ：b x y +=2的距离， ∴3b d =所以2)8(422122≤-==∆b b d BD S ABD ，当且仅当2±=b 时取等号． 因为2±)22,22(-∈，所以当2±=b 时，ABD ∆的面积最大，最大值为2．（Ⅲ）设),(11y x D ，),(22y x B ，直线AB 、AD 的斜率分别为：AB k 、AD k ，则=+AB AD k k 122122121222112211--++--+=--+--x b x x b x x y x y=]1)(2[22212121++--++x x x x x x b ------*将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得]1)(2[22212121++--++x x x x x x b =0，即=+AB AD k k 0．15-2 解：（Ⅰ）设1122(,),(,)C x y D x y ，直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠．由2244,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩得22(4)230k x kx ++-=， 222412(4)16480k k k ∆=++=+>，12224k x x k -+=+，12234x x k -=+， 由已知1(,0),(0,1)E F k-， 又CE FD =，所以11221(,)(,1)x y x y k---=- 所以121x x k --=，即211x x k+=-， 所以2214k k k-=-+，解得2k =±，符合题意， 所以，所求直线l 的方程为210x y -+=或210x y +-=． （Ⅱ）2121y k x =+，1211y k x =-，12:2:1k k =， 所以2112(1)2(1)1y x y x -=+，平方得 22212212(1)4(1)y x y x -=+， 又221114y x +=，所以22114(1)y x =-，同理22224(1)y x =-，代入上式， 计算得2112(1)(1)4(1)(1)x x x x --=++，即121235()30x x x x +++=．假设满足条件的实数k 存在，则由（Ⅰ）得12224k x x k -+=+，12234x x k-=+． 所以231030k k -+=，解得3k =或13k =， 因为2112(1)2(1)1y x y x -=+，12,(1,1)x x ∈-，所以12,y y 异号，故舍去13k =，所以存在实数k ，使得12:2:1k k =，且3k =．16- 1 解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意得22222191,41,2.a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎩解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）因为过点(2, 1)P 的直线l 与椭圆在第一象限相切，所以l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(2)1y k x =-+．由221,43(2)1,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=． ① 因为直线l 与椭圆相切，所以222[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---+--=． 整理，得32(63)0k +=． 解得12k =-． 所以直线l 方程为11(2)1222y x x =--+=-+． 将12k =-代入①式，可以解得M 点横坐标为1，故切点M 坐标为3(1, )2． （Ⅲ）若存在直线1l 满足条件，设直线1l 的方程为1(2)1y k x =-+，代入椭圆C 的方程得22211111(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=．因为直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， 所以222111111[8(21)]4(34)(16168)32(63)0k k k k k k ∆=---+--=+>．。

高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)的极值点和极值。

答案：f(x)的极值点为x = 1和x = 1，极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。

2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。

答案：an = 2n + 1。

3. 已知三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，求三角形ABC的面积。

答案：三角形ABC的面积为12。

4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，求k和b的值。

答案：k = ±√3/3，b = ±√6/3。

5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1)，求f(x)的导数。

答案：f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。

6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 4)，求向量a和向量b的夹角。

答案：向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。

7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。

答案：矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。

8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的零点。

答案：f(x)的零点为x = 1和x = 3。

9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x)，求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。

答案：f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。

10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4，求f(x)的顶点坐标。

答案：f(x)的顶点坐标为(2, 0)。

高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的导数。

答案：f'(x) = e^x 2。

12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4，求f(x)的极值点和极值。

答案：f(x)的极值点为x = 2，极值为f(2) = 0。

北京高考数学压轴题试题集锦第1讲 真题分析【例1】 （2007北京理）已知集合{}12(2)k A a a a k =，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ． 若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ； （II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤； （III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．（I ）解：集合{}0123，，，不具有性质P ． 集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，， {}(21)23T =-()，，，．（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉=，，，，； 又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，()(12)j i a a T i j k ∉=，，，，，． 从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=，即(1)2k k n -≤． （III ）解：m n =，证明如下：（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从()a b b T +∈，．如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤， 由（1）（2）可知，m n =．【例2】 （2009北京文）设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N p *=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（Ⅰ）若11,23p q ==-，求3b ； （Ⅰ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；（Ⅰ）是否存在,p q 使得32()m b m m N *=+∈？如果存在，求,p q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.（Ⅰ）由题意，得1123n a n =-， 解11323n -≥，得203n ≥. Ⅰ11323n -≥成立的所有n 中的最小正整数为7，即37b =. （Ⅰ）由题意，得21n a n =-， 对于正整数m ，由n a m ≥，得12m n +≥. 根据m b 的定义可知当21m k =-时，()*m b k k N =∈； 当2m k =时，()*1m b k k N =+∈.Ⅰ()()1221321242m m m b b b b b b b b b -+++=+++++++()()1232341m m =++++++++++⎡⎤⎣⎦()()213222m m m m m m ++=+=+. （Ⅰ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m +≥及0p >得m qn p-≥. Ⅰ32()m b m m N *=+∈,根据m b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有3132m qm m p-+<≤+， 即()231p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立. 当310p ->（或310p -<）时，得31p q m p +<--（或231p qm p +≤--），这与上述结论矛盾！当310p -=，即13p =时，得21033q q --≤<--，解得2133q -≤<-.（经检验符合题意） Ⅰ 存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈；p 和q 的取值范围分别是13p =，2133q -≤<-. 【例3】 （2009北京理）已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅰ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++； （Ⅰ）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列.本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（Ⅰ）由于34⨯与43均不属于数集{}1,3,4，Ⅰ该数集不具有性质P. 由于66123612,13,16,23,,,,,,231236⨯⨯⨯⨯都属于数集{}1,2,3,6，Ⅰ该数集具有性质P. （Ⅰ）Ⅰ{}12,,n A a a a =具有性质P ，Ⅰn n a a 与nna a 中至少有一个属于A ， 由于121n a a a ≤<<<，Ⅰn n n a a a >，故n n a a A ∉.从而1nna A a =∈，Ⅰ11a = Ⅰ121n a a a =<<<， Ⅰk n n a a a >，故()2,3,,k n a a A k n ∉=.由A 具有性质P 可知()1,2,3,,nka A k n a ∈=.又Ⅰ121n nn nn n a a a a a a a a -<<<<， Ⅰ121121,,,n nn n n n n n a a a aa a a a a a a a --====， 从而121121n nn nn n n n a a a a a a a a a a a a --++++=++++，Ⅰ1211112nn na a a a a a a ---+++=+++. （Ⅰ）由（Ⅰ）知，当5n =时，有552343,a a a a a a ==，即25243a a a a ==，Ⅰ1251a a a =<<<，Ⅰ34245a a a a a >=，Ⅰ34a a A ∉，由A 具有性质P 可知43a A a ∈. 由2243a a a =，得3423a a A a a =∈，且3321a a a <<，Ⅰ34232a aa a a ==， Ⅰ534224321a a a a a a a a a ====， 即12345,,,,a a a a a 是首项为1，公比为2a 成等比数列.【例4】 （2010北京理）已知集合12{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…A 与B 之间的距离为=1(,)||i i i d A B a b =-∑（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; （Ⅰ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅰ) 设P n S ⊆，P 中有m (m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为()P d，证明：()P d≤2(1)mnm -.证明：（I ）设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈因为i a ，{}0,1i b ∈，所以{}0,1i i a b -∈,(1,2,...,)i n = 从而1122(||,||,...,||)n n n A B a b a b a b S -=---∈ 又1(,)||||||niiiii d A C B C a c b c =--=---∑由题意知i a ，i b ，i c {}0,1∈(1,2,...,)i n =. 当0i c =时，|||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-;当1i c =时，|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=- 所以1(,)||(,)niii d A C B C a b d A B =--=-=∑(II)设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈(,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =.记(0,0,...,0)n O S =∈，由（I ）可知(,)(,)(,)d A B d A A B A d O B A k =--=-= (,)(,)(,)d A C d A A C A d O C A l =--=-=(,)(,)d B C d B A C A h =--=所以||(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k ，||(1,2,...,)i i c a i n -=的1的个数为l 。

以往高考数学压轴题汇总详细解答1．解：（I ）()()1,1211,23ax x g x a x x -≤≤⎧=⎨--<≤⎩（1）当0a <时，函数()g x 是[]1,3增函数，此时，()()max 323g x g a ==-，()()min 11g x g a ==-，所以()12h a a =-；（2）当1a >时，函数()g x 是[]1,3减函数，此时，()()min 323g x g a ==-，()()max 11g x g a ==-，所以()21h a a =-；————4分（3）当01a ≤≤时，若[]1,2x ∈，则()1g x ax =-，有()()()21g g x g ≤≤； 若[]2,3x ∈，则()()11g x a x =--，有()()()23g g x g ≤≤； 因此，()()min 212g x g a ==-，————6分 而()()()()3123112g g a a a -=---=-， 故当102a ≤≤时，()()max 323g x g a ==-，有()1h a a =-；当112a <≤时，()()max 11g x g a ==-，有()h a a =；————8分 综上所述：()12,011,021,1221,1a a a a h a a a a a -<⎧⎪⎪-≤≤⎪=⎨⎪<≤⎪⎪->⎩。

————10分（II ）画出()y h x =的图象，如右图。

————12分数形结合，可得()min 1122h x h ⎛⎫==⎪⎝⎭。

————14分2．解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明01n a <<,*n N ∈. （1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k 时,结论成立,即01k a <<.则当n=k+1时,因为0<x<1时,1()1011x f x x x '=-=>++,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[]0,1上连续,所以f(0)<f(k a )<f(1),即0<11ln 21k a +<-<.故当n=k+1时,结论也成立. 即01n a <<对于一切正整数都成立.————4分 又由01n a <<, 得()1ln 1ln(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-+<,从而1n n a a +<.综上可知10 1.n n a a +<<<————6分(Ⅱ)构造函数g(x)=22x -f(x)= 2ln(1)2x x x ++-, 0<x<1, 由2()01x g x x'=>+,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在[]0,1上连续,所以g(x)>g(0)=0. 因为01n a <<,所以()0n g a >,即()22n n a f a ->0,从而21.2n n a a +<————10分 (Ⅲ) 因为 1111,(1)22n n b b n b +=≥+,所以0n b >,1n n b b +12n +≥ ,所以1211211!2n n n n n n b b b b b n b b b ---=⋅⋅≥⋅ ————① , ————12分 由(Ⅱ)21,2n n a a +<知:12n n n a a a +<, 所以1n a a =31212121222n n n a a a a a aa a a --⋅< ,因为1a =, n≥2, 10 1.n n a a +<<< 所以 n a 1121222n a a a a -<⋅<112n n a -<2122n a ⋅=12n ————② . ————14分由①② 两式可知: !n n b a n >⋅.————16分3．（Ⅰ）在21212122()()2()cos 24sin f x x f x x f x x a x ++-=+中,分别令120x x x =⎧⎨=⎩；1244x x x ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；1244x x xππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得22()()2cos 24sin , (+)()2 2(+)()2cos 2)4sin 224f x f x x a x f x f x a f x f x x a x ππππ⎧⎪+-=+⎪⎪+=⎨⎪⎪+-+⎪⎩，＝（＋（＋）①②③由①＋②－③，得1cos 2()1cos 242()22cos 22cos(2)44222x x f x a x x a a ππ-+-=+-++［］-［］ ＝22(cos 2sin 2)2(cos 2sin 2)a x x a x x ++-+∴())sin(2)4f xa a x π=+-+（Ⅱ）当0,4x π∈［］时，sin(2)4x π+∈2． （1）∵()f x ≤2，当a <1时，12[)]2a a =+-≤()f x ≤)aa -≤2．即1(1a ≤2 ≤a ≤1．（2）∵()f x ≤2，当a ≥1时，- 2≤a a )≤()f x ≤1．即1≤a ≤4+．故满足条件a 的取值范围[，4+．4．（1）3.223,1.2222==⇒=-====e a a b a a c e b b 椭圆的方程为1422=+x y （2分） （2）设AB 的方程为3+=kx y由41,4320132)4(1432212212222+-=+-=+=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=k x x k k x x kx x k x y kx y （4分）由已知43)(43)41()3)(3(410212122121221221++++=+++=+=x x k x x k kx kx x x ay y b x x±=++-⋅++-+=k k k k k k 解得,4343243)41(44222 2 （7分）（3）当A 为顶点时，B 必为顶点.S △AOB =1 （8分）当A ，B 不为顶点时，设AB 的方程为y=kx+b42042)4(1422122222+-=+=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=k kb x x b kbx x k x y bkx y 得到442221+-=k b x x :04))((0421212121代入整理得=+++⇔==b kx b kx x x y y x x 4222=+k b （11分）41644|||4)(||21||||212222122121++-=-+=--=k b k b x x x x b x x b S 1||242==b k 所以三角形的面积为定值.（12分）5（1）12(101)10(101)99n n n n a =-⋅+⋅- ……………………………… (2分 ) 1(101)(102)9n n=-⋅+101101()(1)33n n --=⋅+…………………………………(4分) 记：A =1013n - , 则A=333n⋅⋅⋅⋅⋅⋅为整数 ∴ n a = A (A+1) ， 得证 ……( 6分)(2) 21121010999n n n a =+-………………………………………………… (8分)2422112(101010)(101010)999n n n S n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅- 2211(101110198210)891n n n ++=+⋅--……………………………………………(12分) 6、解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===设P （x ，y ），则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF .3511544222+=--+x x x ]5,5[-∈x ，0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值3； 当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k. 直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得 依题意220(1680)0k k ∆=-><<，得 当5555<<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k k k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F 12042045251)4520(0222222-=-=+-+--⋅=⋅∴k k k k k kk k k R F ∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| 综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|7、解：(1)依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x.个:y x4y )1x (3y )1x (3y :AB ,)i )(2(2得消去由的方程为直线由题意得⎩⎨⎧=--=--=.3162x x |AB |),32,3(B ),332,31(A .3x ,31x ,03x 10x 321212=++=-===+-所以解得假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即),(9314y ,)332y ()34()32y (4:)316()32y ()131(,)316()32y ()13(2222222222舍不符解得相减得-=-+=++⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+++ 因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形.（ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形， .32y ,C ,B ,A ,32y 1x )1x (3y ≠=⎩⎨⎧-=--=故三点共线此时得由，9256)316(|AB |,y 3y 34928)332y ()311(|AC |222222==+-=-+--=又，,392y ,9256y y 334928y y 3428,|AB ||AC ||BC |22222时即即当>++->+++>∠CAB 为钝角. 9256y y 3428y y 334928,|AB ||BC ||AC |22222+++>+-+>即当，.CBA 3310y 为钝角时∠-<22222y y 3428y 3y 349289256,|BC ||AC ||AB |++++->+>即又0)32y (,034y 334y :22<+<++即.该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是:)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二： 以AB 为直径的圆的方程为:38 1x :L )332,35()38()332y ()35x (222的距离为到直线圆心-=-=++-. ).332,1(G L AB ,--相切于点为直径的圆与直线以所以当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A ， B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角.932y 1x ).31x (33332y :AB A =-=-=-得令垂直的直线为且与过点. 3310y 1x ),3x (3332y :AB B -=-=-=+得令垂直的直线为且与过点.,)32,1(C ,,32y 1x )1x (3y 时的坐标为当点所以解得又由-=⎩⎨⎧-=--=A ，B ，C 三点共 线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是：).32(9323310≠>-<y y y 或8、解：（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1（2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ )x (f 1)x (f =-由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0∴ 0)x (f 1)x (f >-=又x=0时，f(0)=1>0 ∴ 对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴1)x x (f )x (f )x (f )x (f )x (f 121212>-=-⋅= ∴ f(x 2)>f(x 1) ∴ f(x)在R 上是增函数（4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x) 又1=f(0)，f(x)在R 上递增 ∴ 由f(3x-x 2)>f(0)得：x-x 2>0 ∴ 0<x<3 9、解：（1）由题意知021)1(=++=c b f ，∴b c 21--=记1)12()12()()(22--++=++++=++=b x b x c b x b x b x x f x g 则075)3(>-=-b g 051)2(<-=-b g 7551<<⇒b01)0(<--=b g 即)75,51(∈b01)1(>+=b g（2）令u=)(x f 。

高考全国百所名校数学压轴题精选1.如右图（1）所示，定义在区间D 上的函数)(x f ，如果满足：对x D ∀∈，∃常数A ，都有()f x A ≥成立，则称函数．．()f x 在区间．．．D 上有下界．．．．，其中A 称为函数的下界．．．．．. （提示：图(1)、（2）中的常数A 、B 可以是正数，也可以是负数或零） （Ⅰ）试判断函数348()f x x x=+在(0,)+∞上是否有下界？并说明理由；（Ⅱ）又如具有右图（2）特征的函数称为在区间D 上有上界.请你类比函数有下界的定义，给出函数()f x 在区间D 上有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在(,0)-∞上是否有上界？并说明理由；（Ⅲ）若函数()f x 在区间D 上既有上界又有下界，则称函数()f x 在区间D 上有界，函数()f x 叫做有界函数．试探究函数3()b f x ax x=+（0,a >0b >,a b 是常数）是否是[,]m n （0,0,m n >>m 、n 是常数）上的有界函数？【解析】：24．（I ）解法1：∵2248()3f x x x'=-，由()0f x '=得224830x x-=，416,x = ∵(0,)x ∈+∞， ∴2x =，-----------------2分∵当02x <<时，'()0f x <，∴函数)(x f 在（0，2）上是减函数； 当2x >时，'()0f x >，∴函数)(x f 在（2，＋∞）上是增函数； ∴2x =是函数的在区间（0，＋∞）上的最小值点，m in 48()(2)8322f x f ==+=∴对(0,)x ∀∈+∞，都有()32f x ≥，------------------------------------4分即在区间（0，＋∞）上存在常数A=32,使得对(0,)x ∀∈+∞都有()f x A ≥成立， ∴函数348()f x x x=+在（0，＋∞）上有下界. ---------------------5分[解法2：0x >∴ 3348161616()32f x x x xxxx=+=+++≥= 当且仅当316x x=即2x =时“＝”成立∴对(0,)x ∀∈+∞，都有()32f x ≥，即在区间（0，＋∞）上存在常数A=32,使得对(0,)x ∀∈+∞都有()f x A ≥成立， ∴函数348()f x x x=+在（0，＋∞）上有下界.]（II ）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对x D ∀∈，∃常数B ，都有()f x ≤B 成立，则称函数)(x f 在D 上有上界，其中B 称为函数的上界. -----7分 设0,x <则0x ->，由（1）知，对(0,)x ∀∈+∞，都有()32f x ≥，∴()32f x -≥，∵函数348()f x x x=+为奇函数，∴()()f x f x -=-∴()32f x -≥，∴()32f x ≤-即存在常数B=－32，对∀(,0)x ∈-∞，都有()f x B ≤, ∴函数348()f x x x =+在（－∞， 0）上有上界. ---------9分 （III ）∵22()3b f x ax x'=-，由()0f x '=得2230b ax x-=，∵0,0a b >> ∴4,3b x a=∵ [,](0,)m n ⊂+∞，∴x =，----------10分∵当0x <<时，'()0f x <，∴函数)(x f 在（0当x >时，'()0f x >，∴函数)(x f∞）上是增函数；∴x =是函数的在区间（0，＋∞）上的最小值点，3f a =+=---------------------11分①当m ≥)(x f 在[,]m n 上是增函数；∴()()()f m f x f n ≤≤∵m 、n 是常数，∴()f m 、()f n 都是常数 令(),()f m A f n B ==,∴对[,]x m n ∀∈，∃常数A,B,都有()A f x B ≤≤ 即函数3()b f x ax x=+在[,]m n 上既有上界又有下界-------------------------12分②当n ≤时函数)(x f 在[,]m n 上是减函数∴对[,]x m n ∀∈都有()()()f n f x f m ≤≤ ∴函数3()b f x ax x=+在[,]m n 上有界.-------------------------13分③当m n <<时，函数)(x f 在[,]m n 上有最小值m in ()f x＝3f a =+=令A =令B=()f m 、()f n 中的最大者则对[,]x m n ∀∈，∃常数A,B,都有()A f x B ≤≤ ∴函数3()b f x ax x=+在[,]m n 上有界.综上可知函数3()b f x ax x=+是[,]m n 上的有界函数--------------14分2.如图，已知双曲线322yx -=1的两个焦点为F 1，F 2，两个顶点为A 1，A 2，点),0(b P 是.0,0,2121>⋅<⋅PA PA PF PF y 且轴正半轴上一点（I ）求实数b 的取值范围；（II ）直线PF 1，PF 2分别与双曲线各交于两点，求以这四个交点为顶点的四边形的面积S 的取值范围。

.最近五年高考数学解析几何压轴题大全（含答案）1.【2009 年陕西卷】21．（本小题满分12 分）已知双曲线 C 的方程为2 2y x2 2 1( 0, 0)a ba b，离心率5e ，顶点到渐近线的2距离为 2 55。

（I ）求双曲线C的方程；(II) 如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若1AP PB, [ ,2] ，求AOB 面积的取值范围。

3【答案】21．（本小题满分14 分）已知双曲线C的方程为2 2y x2 2 1(a 0,b 0),a b离心率5e , 顶点到渐近线的距离为22 55.（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）如图，P 是双曲线C上一点，A,B 两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限. 若1AP PB, [ , 2], 求△AOB面积的取值范围.32 5解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点(O, a) 到渐近线ax by 0的距离为，5∴ab 2 5 ab 2 5, ,即2 2 5 c 5a bab25 5 5 22y42 1.xa2,,cb1,c由得∴双曲线C的方程为ac5,2 2 2c a b..（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y 2x.设A(m,2 m), B( n,2 n), m 0,n 0.由A P PB 得P点的坐标为m n 2(m n) ( , ), 1 1将P 点坐标代入2y42 1,x 化简得mn2(1 n)4.设∠AOB1 1 42 , tan( ) 2, tan ,sin ,sin 2 .2 2 2 5又|OA | 5m |OB | 5n41 1 1S |OA | |OB | sin 2 2mn ( ) 1.AOB2 2记由1 1 1S( ) ( ) 1, [ ,2],2 318 9得又S(1)=2,S(S'( ) 0 1, ) , S(2) ,33 4当1时，△A OB的面积取得最小值2，当13时，△AOB的面积取得最大值83.∴△AOB面积的取值范围是8 [2, ].3解答二（Ⅰ）同解答一（Ⅱ）设直线AB的方程为y kx m,由题意知|k| 2,m 0.由{y kx my 2x 得A 点的坐标为( , 2 ),m m2 k 2 k由{ y kx my 2x得B 点的坐标为( , 2 ).m m2 k 2 k由AP PB得P点的坐标为m 1 2m 1( ( ), ( )), 1 2 k 2 k 1 2 k 2 k将P 点坐标代入2 2 2 y 4m (1 )2x 得1 .24 4 k设Q为直线AB与y 轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.1 1 1S S S | OQ | | XA | |OQ | | x8| m (xA xB) AOB AOQ BOQ2 2 2=21 m m 1 4m 1 1m( ) ( ) 1.22 2 k 2 k 2 4 k 2.. 以下同解答一.2.【2010 年陕西卷】20. （本小题满分13 分）2 2x y: 12 2a b 的顶点为A1, A2 , B1,B2，焦yB2l如图，椭圆 CA点为F1,F2, | A B | 7 ，1 1 S 1 12 2 2S 1 1 2 2A B A B B F B FPn（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于F点、与A1 F1 o xA 2F2B椭圆相交于A,B 亮点的直线，| OP |=1 ，是否存在上述直线B1 l 使AP PB 1成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

（全国卷Ⅰ）2024年高考数学压轴卷 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A．B ．1-CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）ABCD5．若221m n >>，则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面对量a ，b，满意(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（ ） A ．2024 B ．2024 C ．2024D ．20248．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能接着连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()2sin22cos21f x x x =-+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线M A 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满意()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()311nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的绽开式中，各项系数之和为256，则x 项的系数是__________． 15.知变量x ，y 满意条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数223x y z x y-=+的最大值为16．如图，在ABC △中，3sin23ABC ∠=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，433BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满意：113a b ==，24b a =， 且1a ，4a ，13a 成等比数列． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市实行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成果大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参与了初赛，全部学生的成果均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参与学校座谈沟通，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参与全市座谈沟通，设X 表示得分在区间(]130,150中参与全市座谈沟通的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =，ABC △的面积为83（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分） 设函数()(2ln 1f x x x x =-++． （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的一般方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的随意一点，求PA PB ⋅的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2024全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2AB =-，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1i a +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a=C ．5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>， 因为0m n >>，所以可解除选项A ，B ；32m =，1n =时，可解除选项C ， 由指数函数的性质可推断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2=a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面对量模的计算公式可得：3-=a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 其次次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2024，故选B ．8．【答案】A【解析】设事务A 为48h 发病，事务B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．， 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】视察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()2sin22cos212sin 4π21f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确； 当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确； 当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确； 若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，M AF ∠必需取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+， 所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++， 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+， 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()31112561n⎛+⨯= ⎝，据此可得：7n =，73x x ⎛+ ⎝绽开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx x --+==， 令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.3【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()()()2222223,1,32cos 31x y x y z x yx y θ-⋅-===++-⋅+，其中θ为向量)3,1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π， 目标函数223x y z x y-=+3C ．16．【答案】32 【解析】由3sin2ABC ∠=可得：6cos 2ABC ∠=， 则22sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==． 由32sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=． 设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+； 因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =． （2）由（1）可知213n nn c +=， 所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n n n S +=-．18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =．【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（2（1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴3ED DB=， 由3AD =，可知32BD =36DE =6AF = 则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ， ∴(0,6)BF =-，(3,0,26)EF =-．设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即360,360,y z x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令6z =(4,2,6)n =． ∵AC ⊥平面BDE ，∴CA 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-，∴||13cos ,||||3226n CA n CA n CA ⋅<>===⋅⨯ ∵二面角F BE D --为锐角，∴二面角F BE D --的余弦值为1313． 20.（本小题满分12分） 【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，依据抛物线的定义AC AF =，所以24AB AC p ==，()()224223BC p p =-，1223832ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x y y kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---， 得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥． 21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ．由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=--，则()2131'ax g x --，令())2131h x ax =--，则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数， 留意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，留意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >； （iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+ 【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）． 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ． 设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++．因为θ∈R ，所以44PA PB -≤⋅≤+23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<， 当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-； 当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立； 当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<． 综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。

高考数学压轴题及答案汇总1500字以下是一些高考数学压轴题及答案的汇总，共1500字。

1. 题目：已知直角三角形的斜边长为10cm，一条直角边长为6cm，求另一条直角边的长度。

答案：使用勾股定理，可得另一条直角边长为8cm。

2. 题目：已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-1)的值。

答案：将x替换为-1，计算f(-1) = 2(-1)^2 + 3(-1) - 5，最终结果为-10。

3. 题目：已知正方形ABCD的边长为8cm，E是BC的中点，连接AE并延长至F，求BF的长度。

答案：由于E是BC的中点，所以BE的长度为4cm。

注意到三角形AEF是等腰直角三角形，所以AE = AF。

又有AB = AE + EB，所以AE = AB - EB = 8 - 4 = 4cm。

根据勾股定理，可得BF的长度为4√2 cm。

4. 题目：若a是一个大于1的正整数，且满足a^2 - 3a + 2 = 0，求a的值。

答案：将方程重新组织，得到a^2 - 2a - a + 2 = 0，进一步化简为a(a - 2) - 1(a - 2) = 0。

根据因式分解，可得(a - 2)(a - 1) = 0。

因此，a的值可以是2或1。

5. 题目：已知点A(1,2)和B(4,5)，求线段AB的中点坐标。

答案：线段AB的中点坐标可以通过求AB的横坐标和纵坐标的平均值来得到。

横坐标的平均值为(1 + 4) / 2 = 2.5，纵坐标的平均值为(2 + 5) / 2 = 3.5。

因此，线段AB 的中点坐标为(2.5, 3.5)。

6. 题目：已知等差数列的首项为a，公差为d，若其第5项为11，第8项为20，求a 和d的值。

答案：设等差数列的第1项为a，公差为d，则第5项可以表示为a + 4d，第8项可以表示为a + 7d。

根据已知条件，可列出以下两个方程：a + 4d = 11，a + 7d = 20。

解这个方程组，可得a = 1，d = 2。

数学高考压轴题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、解答题1．已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．(1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．3．已知函数()e e ax x f x x =-．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；(3)设n *∈Nln(1)n ++>+ ．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.5．已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．6．如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求||CD 的最小值．7．设函数e()ln (0)2f x x x x=+>．(1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea ax x a --+<+<-．（注：e 2.71828= 是自然对数的底数）参考答案：1．(1)1a =(2)见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1b >时，e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数均为2，构建新函数()e ln 2x h x x x =+-，利用导数可得该函数只有一个零点且可得()(),f x g x 的大小关系，根据存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点可得b 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)()e x f x ax =-的定义域为R ，而()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '>，此时()f x 无最小值，故0a >.()ln g x ax x =-的定义域为()0,∞+，而11()ax g x a x x'-=-=.当ln x a <时，()0f x '<，故()f x 在(),ln a -∞上为减函数，当ln x a >时，()0f x '>，故()f x 在()ln ,a +∞上为增函数，故()min ()ln ln f x f a a a a ==-.当10x a <<时，()0g x '<，故()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，当1x a >时，()0g x '>，故()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，故min 11()1ln g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.因为()e x f x ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值，故11lnln a a a a-=-，整理得到1ln 1a a a -=+，其中0a >，设()1ln ,01a g a a a a -=->+，则()()()222211011a g a a a a a --'=-=≤++，故()g a 为()0,∞+上的减函数，而()10g =，故()0g a =的唯一解为1a =，故1ln 1aa a-=+的解为1a =.综上，1a =.(2)由（1）可得e ()x x f x =-和()ln g x x x =-的最小值为11ln11ln 11-=-=.当1b >时，考虑e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数.设()e xS x x b =--，()e 1x S x '=-，当0x <时，()0S x '<，当0x >时，()0S x '>，故()S x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，所以()()min 010S x S b ==-<，而()e0bS b --=>，()e 2b S b b =-，设()e 2b u b b =-，其中1b >，则()e 20bu b '=->，故()u b 在()1,+∞上为增函数，故()()1e 20u b u >=->，故()0S b >，故()e xS x x b =--有两个不同的零点，即e x x b -=的解的个数为2.设()ln T x x x b =--，()1x T x x-'=，当01x <<时，()0T x '<，当1x >时，()0T x '>，故()T x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，所以()()min 110T x T b ==-<，而()ee0bbT --=>，()e e 20b b T b =->，()ln T x x x b =--有两个不同的零点即ln x x b -=的解的个数为2.当1b =，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=仅有一个零点，当1b <时，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=均无零点，故若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，则1b >.设()e ln 2x h x x x =+-，其中0x >，故1()e 2xh x x'=+-，设()e 1x s x x =--，0x >，则()e 10xs x '=->，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=即e 1x x >+，所以1()1210h x x x'>+-≥->，所以()h x 在()0,∞+上为增函数，而(1)e 20h =->，31e 333122(e 3e 30e e eh =--<--<，故()h x 在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，0311ex <<且：当00x x <<时，()0h x <即e ln x x x x -<-即()()f x g x <，当0x x >时，()0h x >即e ln x x x x ->-即()()f x g x >，因此若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，故()()001b f x g x ==>，此时e x x b -=有两个不同的零点1010,(0)x x x x <<，此时ln x x b -=有两个不同的零点0404,(01)x x x x <<<，故11e xx b -=，00e x x b -=，44ln 0x x b --=，00ln 0x x b --=所以44ln x b x -=即44ex bx -=即()44e0x bx b b ----=，故4x b -为方程e x x b -=的解，同理0x b -也为方程e x x b -=的解又11e x x b -=可化为11e xx b =+即()11ln 0x x b -+=即()()11ln 0x b x b b +-+-=，故1x b +为方程ln x x b -=的解，同理0x b +也为方程ln x x b -=的解，所以{}{}1004,,x x x b x b =--，而1b >，故0410x x b x x b =-⎧⎨=-⎩即1402x x x +=.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.2．(1)1-；(2)9．【解析】【分析】（1）由点(2,1)A 在双曲线上可求出a ，易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，再根据0AP BP k k +=，即可解出l 的斜率；（2）根据直线,AP AQ 的斜率之和为0可知直线,AP AQ的倾斜角互补，再根据tan PAQ ∠=,AP AQ 的斜率，再分别联立直线,AP AQ 与双曲线方程求出点,P Q 的坐标，即可得到直线PQ 的方程以及PQ 的长，由点到直线的距离公式求出点A 到直线PQ 的距离，即可得出PAQ △的面积．(1)因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，即双曲线22:12x C y -=易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得，()222124220k x mkx m ----=，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--，()()22222216422210120m k m k m k ∆=++->⇒-+>．所以由0AP BP k k +=可得，212111022y y x x --+=--，即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=，即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+-----= ⎪--⎝⎭，化简得，()2844410k k m k +-++=，即()()1210k k m +-+=，所以1k =-或12m k =-，当12m k =-时，直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ，与题意不符，舍去，故1k =-．(2)不妨设直线,PA PB 的倾斜角为(),αβαβ<，因为0AP BP k k +=，所以παβ+=，因为tan PAQ ∠=，所以()tan βα-=，即tan 2α=-，2tan 0αα-=，解得tan α，于是，直线):21PA y x =-+，直线):21PB y x =-+，联立)222112y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩可得，(23211002x x +-+-=，因为方程有一个根为2，所以103P x -=，P y=53，同理可得，103Q x +=，Q y=53-．所以5:03PQ x y +-=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离3d =，故PAQ △的面积为11623⨯=3．(1)()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.(2)12a ≤(3)见解析【解析】【分析】（1）求出()f x ¢，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1ax xh x x =-+，求出()h x ''，先讨论12a >时题设中的不等式不成立，再就102a <≤结合放缩法讨论()h x '符号，最后就0a ≤结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12ln t t t<-对任意的1t >恒成立，从而可得()ln 1ln n n +-的*n N ∈恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.(1)当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x ¢<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.(2)设()e e 1ax xh x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax xg x ax =+-，则()()22e e ax xg x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x ¢>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++，故()S x 在()0,+∞上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=-+<-+=，所以()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-.综上，12a ≤.(3)取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10x x x -+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n N ∈，有<整理得到：()ln 1ln n n +-()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n +-+-+++- ()ln 1n =+，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.4．(1)2213y x -=(2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ,M (x 0,y 0),由③|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k +=-；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y =，由②//PQ AB 等价转化为003ky x =，由①M在直线AB 上等价于()2002ky k x =-，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴ba=b ，∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =∴C 的方程为：2213y x -=；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2000022y k x ky k x =-⇔=-；两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM 的斜率为直线QM ,∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +--==--,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中，得：()()00003y y ⎡⎤-=⎣⎦,解得P的横坐标：100x y ⎛⎫=+⎪⎪⎭,同理：200x y ⎛⎫=⎪⎪⎭，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎛⎫-=++-=--⎪--⎭∴03x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =-；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283kx ky k +=-；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky k x =-，∴①成立.5．(1)y x=(2)()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，由第二问结论可知()m x 在[0,+∞）上单调递增，即得证.(1)解：因为()e ln(1)x f x x =+，所以()00f =，即切点坐标为()0,0，又1()e (ln(1))1xf x x x=+++'，∴切线斜率(0)1k f '==∴切线方程为：y x =(2)解：因为1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+，所以221()e (ln(1))1(1)xg x x x x =++++'，令221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++，则22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++'，∴()h x 在[0,)+∞上单调递增，∴()(0)10h x h ≥=>∴()0g x '>在[0,)+∞上恒成立，∴()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)解：原不等式等价于()()()(0)f s t f s f t f +->-，令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，∵()()()e ln(1)e ln(1)x t x m x f x t f x x t x +=+-=++-+，e e ()e ln(1)e ln(1)()()11x t x x tx m x x t x g x t g x x t x++=++++-=+-++'+，由（2）知1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+在[)0,∞+上单调递增，∴()()g x t g x +>，∴()0m x '>∴()m x 在()0,∞+上单调递增，又因为,0x t >，∴()(0)m x m >，所以命题得证.6．(1)11；(2)5．【解析】【分析】（1）设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出2||PQ ，再根据二次函数的性质即可求出；（2）设直线1:2AB y kx =+与椭圆方程联立可得1212,x x x x +，再将直线132y x =-+方程与PA PB 、的方程分别联立，可解得点,C D 的坐标，再根据两点间的距离公式求出CD ，最后代入化简可得231CD k =⋅+，由柯西不等式即可求出最小值．(1)设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,则222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PQ θθθθθ⎛⎫=+-=--=-+≤⎭+⎪⎝，当且仅当1sin 11θ=-时取等号，故||PQ (2)设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,设()()1122,,,A x y B x y ，所以12212211231412k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⎨⎪=-⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为直线111:1y PA y x x -=+与直线132y x =-+交于C ,则111114422(21)1C x x x x y k x ==+-+-,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+-+-.则224||(21)1C D x CD x k x =-=+-2=35161656565231555k =⋅=≥=+，当且仅当316k =时取等号，故CD 的最小值为5.【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．7．(1)()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ）31x k x =，1e a m =<，则题设不等式可转化为()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，结合零点满足的方程进一步转化为()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+，利用导数可证该不等式成立.(1)()22e 12e 22xf x x x x -'=-+=，当e02x <<，()0f x ¢<；当e 2x >，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，()f x 的增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)（ⅰ）因为过(),a b 有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3i i x f x i =，故()()()i i i f x b f x x a '-=-，故方程()()()f x b f x x a '-=-有3个不同的根，该方程可整理为()21e e ln 022x a x b x x x ⎛⎫----+= ⎪⎝⎭，设()()21e e ln 22g x x a x b x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，则()()22321e 1e 1e22g x x a x x x x x x⎛⎫'=-+-+--+ ⎪⎝⎭()()31e x x a x =---，当0e x <<或x a >时，()0g x ¢<；当e x a <<时，()0g x ¢>，故()g x 在()()0,e ,,a +∞上为减函数，在()e,a 上为增函数，因为()g x 有3个不同的零点，故()e 0g <且()0>g a ，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+> ⎪⎝⎭，整理得到：12e a b <+且()e ln 2b a f a a >+=，此时()1e 13e11ln ln 2e 2e 22e 222a a a b f a a a a a ⎛⎫⎛⎫---<-+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()3e ln 22u a a a =--，则()2e-202au a a '=<，故()u a 为()e,+∞上的减函数，故()3eln e 022eu a <--=，故()1012e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭.（ⅱ）当0e a <<时，同（ⅰ）中讨论可得：故()g x 在()()0,,e,a +∞上为减函数，在(),e a 上为增函数，不妨设123x x x <<，则1230e x a x x <<<<<，因为()g x 有3个不同的零点，故()0g a <且()e 0g >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+< ⎪⎝⎭，整理得到：1ln 2e 2ea ab a +<<+，因为123x x x <<，故1230e x a x x <<<<<，又()2e e 1ln 2a ag x x b x x+=-+-+，设e t x =，()0,1e a m =∈，则方程2e e 1ln 02a ax b x x+-+-+=即为：2e ln 0e 2ea at t t b +-+++=即为()21ln 02m m t t t b -++++=，记123123e e e ,,,t t t x x x ===则113,,t t t 为()21ln 02m m t t t b -++++=有三个不同的根，设3131e 1x t k t x a ==>>，1eam =<，要证：22122e 112e e 6e 6e a a x x a --+<+<-，即证13e 2e e 26e 6ea at t a --+<+<-，即证：13132166m mt t m --<+<-，即证：131********m m t t t t m --⎛⎫⎛⎫+-+-+< ⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，而()21111ln 02m m t t t b -++++=且()23331ln 02mm t t t b -++++=，故()()()22131313ln ln 102m t t t t m t t -+--+-=，故131313ln ln 222t t t t m m t t -+--=-⨯-，故即证：()()()21313131312ln ln 236m m m t t m t t m t t --+--⨯<-+，即证：()()()1213313ln1312072t t t m m m t t t +--++>-即证：()()()213121ln 0172m m m k k k --+++>-，记()()1ln ,11k k k k k ϕ+=>-，则()()2112ln 01k k k kk ϕ⎛⎫'=--> ⎪⎝⎭-，设()12ln u k k k k =--，则()2122210u k k k k k'=+->-=即()0k ϕ'>，故()k ϕ在()1,+∞上为增函数，故()()k m ϕϕ>，所以()()()()()()22131213121ln 1ln 172172m m m m m m k k m m k m --+--++++>+--，记()()()()()211312ln ,01721m m m m m m m m ω---+=+<<+，则()()()()()()()2232322132049721330721721m mm m m mm m m m m ω---+-+'=>>++，所以()m ω在()0,1为增函数，故()()10m ωω<=，故()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+即()()()213121ln 0172m m m m m m --+++>-，故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.。

一.单选题1.(2023·河北张家口·统考二模)已知函数f x =2ln x +1 +x -m ，若曲线y =cos x 上存在点x 0,y 0 使得f f y 0 =y 0，则实数m 的取值范围是()A.-∞,ln2B.-1,ln2C.-∞,2ln2D.0,2ln22.(2023·河北·校联考二模)若a =1.1ln1.1,b =0.1e 0.1,c =19，则a ,b ,c 的大小关系为()A.a <b <cB.c <a <bC.b <a <cD.a <c <b3.(2023·山东聊城·统考二模)已知函数f x =12ex 2-a x(a >0且a ≠1)有一个极大值点x 1和一个极小值点x 2，且x 1<x 2，则a 的取值范围为()A.0,1eB.1e ,1C.1,eD.e ,+∞4.(2023·湖北·统考二模)已知动直线l 的方程为1-a 2 x +2ay -3a 2-3=0，a ∈R ，P 3,1 ，O 为坐标原点，过点O 作直线l 的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 长度的取值范围为()A.0,5B.1,5C.5,+∞D.0,35.(2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模)在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥AB ，PA =2，AB =2BC =2，二面角P -AB -C 的大小为3π4．若三棱锥P -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，则当三棱锥P -ABC 的体积最大时，球O 的体积为()A.32π B.6π C.82π3D.7143π6.(2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模)设a =2e ，b =2ln2，c =e 24-ln4则()A.c <a <bB.b <c <aC.c <b <aD.b <a <c7.(2023·广东广州·统考二模)已知偶函数f x 与其导函数f x 的定义域均为R ，且f x +e -x +x 也是偶函数，若f 2a -1 <f a +1 ，则实数a 的取值范围是()A.-∞,2B.0,2C.2,+∞D.-∞,0 ∪2,+∞8.(2023·广东深圳·统考二模)设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1.若点F 2关于l 的对称点P 恰好在椭圆C 上，且F 1P ⋅F 1F 2 =12a 2，则C 的离心率为()A.13B.23C.12D.259.(2023·广东佛山·统考二模)已知函数f x =sin 2x +φ φ <π2 ，若存在x 1，x 2，x 3∈0,3π2 ，且x 3-x 2=2x 2-x 1 =4x 1，使f x 1 =f x 2 =f x3 >0，则φ的值为()高考数学选填压轴题练习与答案A.-π6B.π6C.-π3D.π310.(2023·广东茂名·统考二模)黎曼函数R x 是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛的应用，R x 在0,1 上的定义为：当x =qp(p >q ，且p ，q 为互质的正整数)时，R x =1p；当x =0或x =1或x 为0,1 内的无理数时，R x =0，则下列说法错误的是()A.R x 在0,1 上的最大值为12B.若a ,b ∈0,1 ，则R a ⋅b ≥R a ⋅R bC.存在大于1的实数m ，使方程R x =mm +1x ∈0,1 有实数根D.∀x ∈0,1 ，R 1-x =R x11.(2023·广东湛江·统考二模)对于两个函数h t =e t -1t >12与g t =ln 2t -1 +2t >12 ，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为t 1，t 2，则t 2-t 1的最小值为()A.-1B.-ln2C.1-ln3D.1-2ln212.(2023·广东湛江·统考二模)当x ，y ∈0,+∞ 时，4x 4+17x 2y +4y 2x 4+2x 2y +y2<m4恒成立，则m 的取值范围是()A.25,+∞B.26,+∞C.994,+∞D.27,+∞13.(2023·河北·校联考二模)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：x 2+y 2=94(a 2+b 2)，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为()A.54B.85C.52D.210514.(2023·江苏常州·校考二模)已知a =sin13，b =32π，c =π9-2-36，则()A.a >b >c B.c >a >bC.a >c >bD.c >b >a15.(2023·江苏常州·校考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F 1，离心率为e ，直线y =kx (k ≠0)分别与C 的左､右两支交于点M ，N .若△MF 1N 的面积为3，∠MF 1N =60°，则e 2+3a 2的最小值为()A.2B.3C.6D.716.(2023·湖北·统考二模)已知函数f x 及其导函数f x 定义域均为R ，满足f 32+x-f 32-x =2x ，记g (x )=f (x )，其导函数为g x 且g 3-x 的图象关于原点对称，则g 9 +g 92 =()A.0B.3C.4D.117.(2023·湖南怀化·统考二模)已知球O 的半径为30，球面上有不共面的四个点A ,B ,C ,D ，且AB =214，则四面体ABCD 体积的最大值是()A.146B.9863C.986D.9821318.(2023·广东深圳·统考二模)已知ε>0，x ,y ∈-π4,π4，且e x +εsin y =e ysin x ，则下列关系式恒成立的为()A.cos x ≤cos yB.cos x ≥cos yC.sin x ≤sin yD.sin x ≥sin y19.(2023·广东茂名·统考二模)已知函数f x =2sin x cos x +4cos 2x -1，若实数a 、b 、c 使得af x -bf x +c=3对任意的实数x 恒成立，则2a +b -cos c 的值为()A.12B.32C.2D.52二.多选题1.(2023·江苏常州·校考二模)如图，已知抛物线y 2=4x ，过抛物线焦点F 的直线l 自上而下，分别交抛物线与圆x -1 2+y 2=1于A ,C ,D ,B 四点，则()A.AC ⋅BD ≥2B.OF ⋅AB ≥4C.OA ⋅OB ≥5D.AB ⋅AF ≥82.(2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模)在平面直角坐标系中，定义d (P ,Q )=x 1-x 2 +y 1-y 2 为P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 两点之间的“曼哈顿距离”，则下列说法正确的是()A.若点C 在线段AB 上，则有d (A ,C )+d (C ,B )=d (A ,B )B.若A 、B 、C 是三角形的三个顶点，则有d (A ,C )+d (C ,B )>d (A ,B )C.若O 为坐标原点，点B 在直线x +y -22=0上，则d (0,B )的最小值为2D.若O 为坐标原点，点P 满足d (O ,P )=1，则P 所形成图形的面积为23.(2023·河北·校联考二模)函数f x 与g x 的定义域为R ，且f x g x +2 =4,f (x )g -x =4.若f x 的图像关于点0,2 对称.则()A.f x 的图像关于直线x =-1对称B.2024i =1f k =2048C.g x 的一个周期为4D.g x 的图像关于点0,2 对称4.(2023·江苏常州·校考二模)已知定义域为R 的函数f x ，g x 的最小正周期均为2π，且f x +g x +π =cos x ，g x -f x +π =sin x ，则()A.f 0 =g 0B.f π2+x=g π2-x C.函数y =f x -g x 是偶函数D.函数y =f x g x 的最大值是245.(2023·山东聊城·统考二模)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E ，F ，G 分别是线段BC 1，CD 1，A 1B 1的中点，则()A.DE ⊥BGB.AF ∥平面BC 1GC.直线AB 与平面BC 1G 所成的角的余弦值为33D.过点F 且与直线DE 垂直的平面α，截该正方体所得截面的周长为35+26.(2023·湖北·统考二模)已知在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，过棱BC ，CD 的中点E ，F 作正方体的截面多边形，则下列说法正确的有()A.截面多边形可能是五边形B.若截面与直线AC 1垂直，则该截而多边形为正六边形C.若截面过AB 1的中点，则该截面不可能与直线A 1C 平行D.若截面过点A 1，则该截面多边形的面积为71767.(2023·湖南怀化·统考二模)数列a n 满足a 1=12，a n -a n +1-2a n a n +1=0n ∈N * ，数列b n 的前n 项和为S n ，且b n -1=23S n n ∈N * ，则下列正确的是()A.12023∈a n B.数列1a n -b n 的前n 项和C n =n 2+n -3n +12+32C.数列a n a n +1 的前n 项和T n <14D.b 1a 1+b 2a 2+⋯+b 10a 10=19×3112+328.(2023·广东深圳·统考二模)如图，在矩形AEFC 中，AE =23，EF =4，B 为EF 中点，现分别沿AB 、BC将△ABE 、△BCF 翻折，使点E 、F 重合，记为点P ，翻折后得到三棱锥P -ABC ，则()A.三棱锥P -ABC 的体积为423B.直线PA 与直线BC 所成角的余弦值为36C.直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为13D.三棱锥P -ABC 外接球的半径为2229.(2023·广东深圳·统考二模)设抛物线C ：y =x 2的焦点为F ，过抛物线C 上不同的两点A ，B 分别作C 的切线，两条切线的交点为P ，AB 的中点为Q ，则()A.PQ ⊥x 轴B.PF ⊥ABC.∠PFA =∠PFBD.AF +BF =2PF10.(2023·广东佛山·统考二模)如图拋物线Γ1的顶点为A ，焦点为F ，准线为l 1，焦准距为4；抛物线Γ2的顶点为B ，焦点也为F ，准线为l 2，焦准距为6．Γ1和Γ2交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 作直线与两准线垂直，垂足分别为M 、N 、S 、T ，过F 的直线与封闭曲线APBQ 交于C 、D 两点，则()A.AB =5B.四边形MNST 的面积为100C.FS ⋅FT =0D.CD 的取值范围为5,25311.(2023·广东茂名·统考二模)已知f x =-x 2+2x +1,x <0x e x,x ≥0，若关于x 的方程4ef 2x -af x +1e =0恰好有6个不同的实数解，则a 的取值可以是()A.174B.194C.214D.23412.(2023·广东茂名·统考二模)如图所示，有一个棱长为4的正四面体P -ABC 容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是()A.若E 是CD 的中点，则直线AE 与PB 所成角为π2B.△ABE 的周长最小值为4+34C.如果在这个容器中放入1个小球(全部进入)，则小球半径的最大值为63D.如果在这个容器中放入10个完全相同的小球(全部进入)，则小球半径的最大值为6-213.(2023·广东湛江·统考二模)已知双曲线C :y 2a 2-x 2b2=1a >0,b >0 的上焦点为F ，过焦点F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，并与另一条渐近线交于点B ，若FB =4AF ，则C 的离心率可能为()A.263B.153C.2105 D.25 314.(2023·河北张家口·统考二模)设函数y=f x 在区间I上有定义，若∀ε>0,∃δ>0，使得对于在区间I上的任意x1,x2，当x1-x2<δ时，恒有f x1-f x2<ε，则称函数y=f x 在区间I上一致连续.也就是说，若函数f x 在区间I上一致连续，对于区间I内任意x1,x2，只要x1,x2充分接近，那么f x1与f x2也能够充分接近，则下列结论正确的是()A.函数f x =x2在区间0,+∞上一致连续B.函数f x =x在区间1,+∞上一致连续C.函数f x =sin x在区间-∞,+∞上一致连续D.函数f x =1x在区间0,+∞上一致连续15.(2023·河北张家口·统考二模)已知在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为下底面ABCD上的动点，则()A.当P在对角线BD上运动时，三棱锥A-PB1D1的体积为定值B.当P在对角线BD上运动时，异面直线D1P与B1C所成角可以取到π3C.当P在对角线BD上运动时，直线D1P与平面A1BD所成角可以取到π3D.若点P到棱AA1的距离是到平面BCC1B1的距离的两倍，则点P的轨迹为椭圆的一部分16.(2023·河北·校联考二模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，棱AB的中点为M，点N在正方体的内部及其表面运动，使得MN⎳平面A1BC1，则()A.三棱锥N-A1BC1的体积为定值23B.当MN最大时，MN与BC所成的角为π3C.正方体的每个面与点N的轨迹所在平面所成角都相等D.若DN=2，则点N的轨迹长度为2π17.(2023·山东聊城·统考二模)设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆x-52+y2=r2r>0相切于点M(x0,y0)，且M为AB的中点．()A.当y0=1时，AB的斜率为2B.当y0=2时，AB=8C.当r=5时，符合条件的直线l有两条D.当r=3时，符合条件的直线l有四条18.(2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模)已知函数f(x)=e x-x，g(x)=x-ln x，则下列说法正确的是()A.f(ln x)在(1,+∞)上是增函数B.∀x >1，不等式f (ax )≥f ln x 2 恒成立，则正实数a 的最小值为2eC.若g x =t 有两个零点x 1，x 2，则x 1+x 2<2D.若f x 1 =g x 2 =t (t >2)，且x 2>x 1>0，则ln t x 2-x 1的最大值为1e19.(2023·湖南怀化·统考二模)函数f x =ln x +1，g x =e x -1，下列说法正确的是( )．(参考数据：e 2≈7.39，e 3≈20.09，ln2≈0.69，ln3≈1.10)A.存在实数m ，使得直线y =x +m 与y =f x 相切也与y =g x 相切B.存在实数k ，使得直线y =kx -1与y =f x 相切也与y =g x 相切C.函数g x -f x 在区间23,+∞ 上不单调D.函数g x -f x 在区间23,+∞ 上有极大值，无极小值20.(2023·广东广州·统考二模)已知正四面体A -BCD 的棱长为2，点M ，N 分别为△ABC 和△ABD 的重心，P 为线段CN 上一点，则下列结论正确的是()A.若AP +BP 取得最小值，则CP =PNB.若CP =3PN ，则DP ⊥平面ABCC.若DP ⊥平面ABC ，则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为27π2D.直线MN 到平面ACD 的距离为26921.(2023·广东广州·统考二模)已知双曲线Γ:x 2-y 2=a 2a >0 的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线l 与双曲线Γ的右支交于点B 、C ，与双曲线Γ的渐近线交于点A 、D (A 、B 在第一象限，C 、D 在第四象限)，O 为坐标原点，则下列结论正确的是()A.若BC ⊥x 轴，则△BCF 1的周长为6aB.若直线OB 交双曲线Γ的左支于点E ，则BC ⎳EF 1C.△AOD 面积的最小值为4a 2D.AB +BF 1 的取值范围为3a ,+∞22.(2023·广东佛山·统考二模)已知函数f x =e x -12x 2-1，对于任意的实数a ，b ，下列结论一定成立的有()A.若a +b >0，则f a +f b >0B.若a +b >0，则f a -f -b >0C.若f a +f b >0，则a +b >0D.若f a +f b <0，则a +b <023.(2023·湖北·统考二模)已知抛物线x 2=2py p >0 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD 的中点，且AF =3，点M 是抛物线上BA间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A ，B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的有()A.抛物线焦点F 的坐标为0,32B.过点N 作抛物线的切线，则切点坐标为±32,34C.在△FMN 中，若t MN =MF ，t ∈R ，则t 的最小值为22D.若抛物线在点M 处的切线分别交BT ，AT 于H ，G 两点，则BH ⋅GA =HT ⋅TG三.填空题1.(2023·河北张家口·统考二模)已知抛物线y =x 2-ax -3a ∈R 与x 轴的交点分别为A ,B ,点C 的坐标为0,-3 ,若过A ,B ,C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D 0,b ,则b =.2.(2023·广东佛山·统考二模)有n 个编号分别为1，2，⋯，n 的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是，从第n 个盒子中取到白球的概率是．3.(2023·江苏常州·校考二模)历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年-325年)，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l 表示与椭圆C 的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C 的中心在坐标原点，焦点为F 1(-c ,0),F 2(c ,0)(c >0)，由F 1发出的光经椭圆两次反射后回到F 1经过的路程为8c ．利用椭圆的光学性质解决以下问题：(1)椭圆C 的离心率为．(2)点P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，椭圆在点P 处的切线为l ,F 2在l 上的射影H 在圆x 2+y 2=8上，则椭圆C 的方程为．4.(2023·河北张家口·统考二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点P 2a 2-b 2,0 作直线l 交椭圆C 于M ,N 两点，若PM =32NM ,F 2M =2F 2N ，则椭圆C 的离心率为.5.(2023·广东广州·统考二模)在平面直角坐标系xOy 中，定义d A ,B =x 1-x 2 +y 1-y 2 为A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点之间的“折线距离”.已知点Q 1,0 ，动点P 满足d Q ,P =12，点M 是曲线y =1x 2上任意一点，则点P 的轨迹所围成图形的面积为，d P ,M 的最小值为6.(2023·山东聊城·统考二模)已知曲线C :x 2+xy +y 2=1，过点A (0,-2)的直线交曲线C 于M ，N 两点，O 为坐标原点，则△OMN 的面积的取值范围为．7.(2023·湖南怀化·统考二模)已知实数a ，b ，满足e 2-a =a ，b ln b -1 =e 3，其中e 是自然对数的底数，则ab 的值为.8.(2023·湖南怀化·统考二模)如图，A ,F 分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点和右焦点，过A ,F 作双曲线的同一条渐近线的垂线，垂足分别为A ,F ,O 为坐标原点，若S △OAA:S 梯形AAFF =3:2，则C 的离心率为.9.(2023·广东茂名·统考二模)修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C 且直径MN 平行坝面.坝面上点A 满足AC ⊥MN ，且AC 长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A 到小岛建三段栈道AB 、BD 与BE ，水面上的点B 在线段AC 上，且BD 、BE 均与圆C 相切，切点分别为D 、E ，其中栈道AB 、BD 、BE 和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道ME、DN以及MN ，则需要修建的栈道总长度的最小值为百米.10.(2023·广东湛江·统考二模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥底面ABCD ，E 为棱AB 上任意一点(不包括端点)，F 为棱PD 上任意一点(不包括端点)，且AE AB=DFDP ．已知AB =AP =1，BC =2，当三棱锥C -BEF 的体积取得最大值时，EF 与底面ABCD 所成角的正切值为．11.(2023·河北·校联考二模)已知定义在R 上的偶函数f x 满足f x =f -x +4 ，f 2024 =1e2，若f x -f x >0，则不等式f x +2 >e x的解集为.12.(2023·湖北·统考二模)已知X 为包含v 个元素的集合(v ∈N *，v ≥3)．设A 为由X 的一些三元子集(含有三个元素的子集)组成的集合，使得X 中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称X ,A 组成一个v 阶的Steiner 三元系．若X ,A 为一个7阶的Steiner 三元系，则集合A 中元素的个数为．13.(2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模)已知抛物线y 2=2px (p >0)，圆x -p 22+y 2=1与y 轴相切，直线l 过抛物线的焦点与抛物线交于A ，D 两点，与圆交于B ，C 两点(A ，B 两点在x 轴的同一侧)，若AB=λCD ，λ∈[1,4]，则弦长AD 的取值范围为．14.(2023·广东深圳·统考二模)足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的B 底线宽AB =72码，球门宽EF =8码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得∠EPF 最大，这时候点P 就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点O 处(OA =AB ，OA ⊥AB )时，根据场上形势判断，有OA 、OB 两条进攻线路可供选择.若选择线路OA，则甲带球码时，APO 到达最佳射门位置；若选择线路OB，则甲带球码时，到达最佳射门位置.2023年新高考数学选填压轴题汇编(三十)一.单选题1(2023·河北张家口·统考二模)已知函数f x =2ln x +1 +x -m ，若曲线y =cos x 上存在点x 0,y 0 使得f f y 0 =y 0，则实数m 的取值范围是()A.-∞,ln2B.-1,ln2C.-∞,2ln2D.0,2ln2【答案】D【解析】由题意可得，函数f x 为增函数.若f y 0 >y 0，则f f y 0 >f y 0 >y 0；同理，若f y 0 <y 0，则f f y 0 <f y 0 <y 0，均与题设条件不符.由f f y 0 =y 0可得f y 0 =y 0，且y 0∈0,1 .因此，关于x 的方程2ln x +1 +x -m =x 在0,1 上有解，整理得2ln x +1 -x 2+x =m 在0,1 上有解.设g x =2ln x +1 -x 2+x ,x ∈0,1 ，则g x =2x +1-2x +1为0,1 上的减函数，注意到g 1 =0，故g x ≥0，从而函数g x 在0,1 上单调递增.所以，g x ∈g 0 ,g 1 = 0,2ln2 .因此，实数m 的取值范围是0,2ln2 .故选：D .2(2023·河北·校联考二模)若a =1.1ln1.1,b =0.1e 0.1,c =19，则a ,b ,c 的大小关系为()A.a <b <cB.c <a <bC.b <a <cD.a <c <b【答案】A【解析】设f (x )=e x 1-x ,x ∈0,1 ，则f (x )=e x 1-x +e x -1 =-xe x <0恒成立，所以函数f (x )在0,1 上单调递减，则f 0.1 <f 0 =1，即e 0.1×0.9<1，所以e 0.1<10.9，于是有0.1e 0.1<0.10.9=19，即b <c ；设h (x )=(1+x )ln (1+x )-xe x ，h (x )=ln (1+x )+1-e x (x +1)，x =0时，h (0)=0，设s (x )=h (x )，则s (x )=1x +1-e x (x +2)，x ≥0时，s (x )<0，所以h(x )是减函数，所以h (x )≤0恒成立，所以h (x )在x >0时是减函数，并且h (0)=0，所以x =0.1时，(1+0.1)ln (1+0.1)-0.1e 0.1<0，所以a <b ．综上，a <b <c ．故选：A ．3(2023·山东聊城·统考二模)已知函数f x =12ex 2-a x(a >0且a ≠1)有一个极大值点x 1和一个极小值点x 2，且x 1<x 2，则a 的取值范围为()A.0,1eB.1e ,1C.1,eD.e ,+∞【答案】B【解析】由题意知，x∈(-∞,x1)时，f (x)>0，又f x =ex-a x ln a，当a>1时，x<0时，ex<0,-a x ln a<0，所以f (x)<0，矛盾，故0<a<1，由f x =ex-a x ln a=0有两不同实数根可知y=ex，y=a x ln a有两个不同交点，设过原点与y=a x ln a相切的直线为l，切点为(x0,a x0ln a)，因为y =ln2a⋅a x，所以k=ln2a⋅a x0=a x0ln a-0x0-0，解得x0=1ln a，即k=ln2a⋅a1ln a=e ln2a，如图，所以y=ex与y=a x ln a有两个不同交点则需e>e ln2a，解得1e<a<e，又0<a<1，所以1e<a<1，此时满足极大值点为x1，极小值点为x2，且x1<x2.故选：B4(2023·湖北·统考二模)已知动直线l的方程为1-a2x+2ay-3a2-3=0，a∈R，P3,1，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为()A.0,5B.1,5C.5,+∞D.0,3【答案】B【解析】由1-a2x+2ay-3a2-3=0可得1-a21+a2x+2a1+a2y-3=0，令a=tan θ2，由万能公式可得cosθ=cos2θ2-sin2θ2cos2θ2+sin2θ2=1-tan2θ21+tan2θ2=1-a21+a2，sinθ=2sinθ2cosθ2cos2θ2+sin2θ2=2tanθ21+tan2θ2=2a1+a2，所以直线l的方程为x cosθ+y sinθ-3=0①，由题意可知过原点与直线l垂直的直线方程为x sinθ-y cosθ=0②，①2+②2可得x2+y2=9，即表示点Q的轨迹为圆心为(0,0)半径为3的圆，于是线段PQ长度的取值范围为[r-PO,r+PO]，因为PO=2，所以线段PQ长度的取值范围为1,5，故选：B.5(2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模)在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA=2，AB=2BC =2，二面角P-AB-C的大小为3π4．若三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，则当三棱锥P -ABC的体积最大时，球O的体积为()A.32πB.6πC.82π3 D.714 3π【答案】D【解析】设点P在平面ABC内的射影为H，连接AH，考虑到二面角P-AB-C的大小为3π4，则点H与点C在直线AB的两侧．因为PH⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以PH⊥AB，又PA⊥AB，PA∩PH=P，PA,PH⊂平面PAH，所以AB⊥平面PAH，AH⊂平面PAH，所以∠PAH为二面角P-AB-C的平面角的补角，所以∠PAH=π4，又PA=2，所以PH=AH=1，从而三棱锥P-ABC的高为1．又△ABC的面积S=12AB⋅BC⋅sin∠ABC，所以当AB⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值为1，所以当AB⊥BC时，三棱锥P-ABC的体积最大，因此点C和点P在图中两全等长方体构成的大长方体的体对角线的顶点上．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．因为球O的球心O与△ABC的外接圆的圆心的连线垂直平面ABC，△ABC为AC为斜边的直角三角形，所以其外接圆的圆心为AC的中点，所以球O的球心O在底面ABC内的射影为线段AC的中点，于是设O12,1,z．又A(0,0,0)，P(-1,0,1)，由|OA|=|OP|，得12 2+12+z2=-322+(-1)2+(1-z)2，解得z=32，则球O的半径OA=142，所以球O的体积V=43πR3=4π3×1423=7143π．故选：D.6(2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模)设a =2e ，b =2ln2，c =e 24-ln4则()A.c <a <bB.b <c <aC.c <b <aD.b <a <c【答案】C 【解析】设f x =x ln x x >1 ，f x =ln x -1ln x2，所以f x 在区间1,e ,f x <0,f x 递减；在区间e ,+∞ ,f x >0,f x 递增.a =2e =e ln e=f e ，f 2 =b =2ln2=42ln2=4ln4=f 4 ，c =e 24-ln4=e 22lne 22=f e 22 ，由于1<e <2<e <e 22<4，所以f e >f 2 =f 4 >f e 22，即c <b <a .故选：C7(2023·广东广州·统考二模)已知偶函数f x 与其导函数f x 的定义域均为R ，且f x +e -x +x 也是偶函数，若f 2a -1 <f a +1 ，则实数a 的取值范围是()A.-∞,2B.0,2C.2,+∞D.-∞,0 ∪2,+∞【答案】B【解析】因为f x 为偶函数，则f x =f -x ，等式两边求导可得f x =-f -x ，①因为函数f x +e -x +x 为偶函数，则f x +e -x +x =f -x +e x -x ，②联立①②可得fx =e x -e -x 2-x ，令g x =f x ，则gx =e x +e -x 2-1≥e x ⋅e -x -1=0，且g x 不恒为零，所以，函数g x 在R 上为增函数，即函数f x 在R 上为增函数，故当x >0时，f x >f 0 =0，所以，函数f x 在0,+∞ 上为增函数，由f 2a -1 <f a +1 可得f 2a -1 <f a +1 ，所以，2a -1 <a +1 ，整理可得a 2-2a <0，解得0<a <2.故选：B .8(2023·广东深圳·统考二模)设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1.若点F 2关于l 的对称点P 恰好在椭圆C 上，且F 1P ⋅F 1F 2 =12a 2，则C 的离心率为()A.13B.23C.12D.25【答案】C 【解析】设∠PF 1F 2=θ，由已知可得，PF 1 =F 1F 2 =2c ，根据椭圆的定义有PF 2 =2a -PF 1 =2a -2c .又F 1P ⋅F 1F 2 =12a 2，所以4c 2cos θ=12a 2.在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，PF 22=PF 1 2+F 1F 2 2-2PF 1 ⋅F 1F 2 cos θ，即2a -2c 2=8c 2-8c 2cos θ=8c 2-a 2，整理可得4c 2+8ac -5a 2=0，等式两边同时除以a 2可得，4e 2+8e -5=0，解得，e =12或e =-52(舍去)，所以e =12.故选：C .9(2023·广东佛山·统考二模)已知函数f x =sin 2x +φ φ <π2 ，若存在x 1，x 2，x 3∈0,3π2 ，且x 3-x 2=2x 2-x 1 =4x 1，使f x 1 =f x 2 =f x 3 >0，则φ的值为()A.-π6B.π6C.-π3D.π3【答案】A 【解析】令t =2x +φ，因为x 1，x 2，x 3∈0,3π2 ，所以t 1，t 2，t 3∈φ,3π+φ ，ϕ <π2，因为f x 1 =f x 2 =f x 3 >0，结合y =sin t 的图象(如图所示)，得到t 1+t 2=π，t 2+t 3=3π或t 1+t 2=3π，t 2+t 3=5π,因为x 3-x 2=2x 2-x 1 =4x 1，所以x 2=3x 1，x 3=7x 1，则8x 1+2φ=π20x 1+2φ=3π 解得φ=-π6，此时x 1=π6，x 2=π2，x 3=7π6，满足题意，或8x 1+2φ=3π20x 1+2φ=5π 解得φ=5π6，不符合题意舍去.故选：A .10(2023·广东茂名·统考二模)黎曼函数R x 是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛的应用，R x 在0,1 上的定义为：当x =qp(p >q ，且p ，q 为互质的正整数)时，R x =1p ；当x =0或x =1或x 为0,1 内的无理数时，R x =0，则下列说法错误的是()A.R x 在0,1 上的最大值为12B.若a ,b ∈0,1 ，则R a ⋅b ≥R a ⋅R bC.存在大于1的实数m ，使方程R x =mm +1x ∈0,1 有实数根D.∀x ∈0,1 ，R 1-x =R x【答案】C【解析】设A =x x =qp，(p >q ，且p ,q 为互质的正整数)，B ={x |x =0或x =1或x 时0,1 上的无理数}，对于A 中，由题意，R x 的值域为0,12,13,⋅⋅⋅,1p ,⋅⋅⋅ ，其中p 是大于等于2的正整数，所以A 正确；对于B 中，①若a ,b ∈0,1 ，设a =q p ，b =n m (p ,q 互质，m ,n 互质)，a ⋅b =q p ⋅n m ≥1p ⋅1m，则R a ⋅b ≥R a ⋅R b ；②若a ,b 有一个为0，则R a ⋅b ≥R a ⋅R b =0，所以B 正确；对于C 中：若n 为大于1的正数，则n n +1>12，而R x 的最大值为12，所以该方程不可能有实根，所以C 错误；对于D 中：x =0,1和0,1 内的无理数，则R x =0，R 1-x =0，R x =R 1-x ，若x 为0,1 内的有理数，设x =q p (p ,q 为正整数，qp为最简真分数)，则R x =R 1-x =1p，所以D 正确.故选：C .11(2023·广东湛江·统考二模)对于两个函数h t =e t -1t >12 与g t =ln 2t -1 +2t >12，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为t 1，t 2，则t 2-t 1的最小值为()A.-1B.-ln2C.1-ln3D.1-2ln2【答案】B【解析】设h t 1 =g t 2 =m ，则t 1=1+ln m ，t 2=12e m -2+1，由t >12，得m >e -12，则t 2-t 1=12e m -2+1 -1+ln m =12e m -2-ln m -12，m >e -12，设函数f x =12e x -2-ln x -12，x >e -12，则fbc =12e x -2-1x ，f x 在e -12,+∞ 上为增函数，且f 2 =0，所以当e -12<x <2时，f x <0，f x 单调递减,当x >2时，f x >0,f x 单调递增.故f x min =f 2 =-ln2．故选:B .12(2023·广东湛江·统考二模)当x ，y ∈0,+∞ 时，4x 4+17x 2y +4y 2x 4+2x 2y +y 2<m4恒成立，则m 的取值范围是()A.25,+∞B.26,+∞C.994,+∞D.27,+∞【答案】A【解析】当x ，y ∈0,+∞ 时，4x 4+17x 2y +4y 2x 4+2x 2y +y 2=4x 2+y x 2+4yx 2+y2≤4x 2+y +x 2+4y22x 2+y2=254，当且仅当4x 2+y =x 2+4y ，即y =x 2时，等号成立，所以4x 4+17x 2y +4y 2x 4+2x 2y +y 2的最大值为254．所以m 4>254，即m >25．故选：A .13(2023·河北·校联考二模)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：x 2+y 2=94(a 2+b 2)，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为()A.54B.85C.52D.2105【答案】D【解析】根据对称性不妨设点P 在第一象限，如图所示，圆O：x2+y2=94(a2+b2)，圆心为O0,0，半径为3c2，设PF1=n，PF2=m，点P在双曲线上，PF1⊥PF2，则有n-m=2a，n2+m2=4c2，可得mn=2b2，过O作MN的垂线，垂足为D，O为F1F2的中点，则OD=12PF1=n2，MN=23c22-n2 2，同理，AB=23c22-m2 2，由AB⊥MN，四边形AMBN的面积为12AB⋅MN=12×23c22-m2 2×23c2 2-n2 2=9b2，481c416-m2+n249c24+m2n216=481c416-9c44+b44=81b4，化简得c2=83b2，则有a2=c2-b2=5 3b 2，则C的离心率e=ca=85=2105.故选：D14(2023·江苏常州·校考二模)已知a=sin13，b=32π，c=π9-2-36，则()A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a 【答案】B【解析】∵a=sin13<sinπ33=36，b=32π<36，c=π9-2-36=π9-13+36>36，∴c>a,c>b，对于函数f x =sin xx,x∈0,π2，f x =x cos x-sin xx2，令g x =x cos x-sin x，x∈0,π2，则g x =cos x-x sin x-cos x=-x sin x<0，∴g x 在0,π2上单调递减，∴g x <g0 =0，即f x <0，f x 在0,π2上单调递减，∴f1 >fπ3 ，即sin1>sinπ3π3，∴a=sin13>b=32π，∴c>a>b.故选：B.15(2023·江苏常州·校考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F 1，离心率为e ，直线y =kx (k ≠0)分别与C 的左､右两支交于点M ，N .若△MF 1N 的面积为3，∠MF 1N =60°，则e 2+3a 2的最小值为()A.2B.3C.6D.7【答案】D【解析】连接NF 2,MF 2，有对称性可知：四边形MF 1NF 2为平行四边形，故NF 2 =MF 1 ,NF 1 =MF 2 ，∠F 1NF 2=120°，S △F 1NF 2=S △MF 1N =3，由面积公式得：12NF 1 ⋅NF 2 sin120°=3，解得：NF 1 ⋅NF 2 =4，由双曲线定义可知：F 1N -F 2N =2a ，在三角形F 1NF 2中，由余弦定理得：cos120°=F 1N 2+F 2N 2-4c 22F 1N ⋅F 2N =F 1N -F 2N 2+2F 1N ⋅F 2N -4c22F 1N ⋅F 2N=2F 1N ⋅F 2N -4b 22F 1N ⋅F 2N=-12，解得：F 1N ⋅F 2N =4b 23，所以4b 23=4，解得：b 2=3，故e 2+3a 2=1+3a2+3a 2≥1+23a 2⋅3a 2=7，当且仅当3a2=3a 2，即a 2=1时，等号成立.故选：D16(2023·湖北·统考二模)已知函数f x 及其导函数f x 定义域均为R ，满足f 32+x -f 32-x =2x ，记g (x )=f (x )，其导函数为g x 且g 3-x 的图象关于原点对称，则g 9 +g 92=()A.0B.3C.4D.1【答案】D【解析】由g 3-x 关于原点对称，则g (3-x )关于y 轴对称，且g 3-x =-g 3+x ，所以g (x )关于x =3对称，g (x )关于(3,0)对称，且g (3)=0，又f 32+x +f 32-x =2，即g 32+x +g 32-x =2，则g (x )关于32,1 对称，综上，g (6-x )=g (x )，g (3-x )+g (x )=2，则g (6-x )+g (3-x )=2，所以g 6-32+g 3-32 =g 92 +g 32 =2，而g 32 =1，故g 92 =1，又g (x )-g (3-x )=0，则g (x )关于x =32对称，即g (3-x )=g (x )，所以g x =-g x +3 ，则g 9 =-g 6 =g 3 =0，所以g 9 +g 92=1.故选：D 17(2023·湖南怀化·统考二模)已知球O 的半径为30，球面上有不共面的四个点A ,B ,C ,D ，且AB =214，则四面体ABCD 体积的最大值是()A.146B.9863C.986D.98213【答案】B 【解析】如图所示：取AB 的中点M ，则有OM =30-14=4，设点O 到直线CD 的距离为d 0，点M 到直线CD 的距离为d ，点A 、B 到平面MCD 的距离分别为h 1、h 2，则CD =230-d 20，d ≤d 0+4，则d 0∈(0,30)，所以S △MCD ≤230-d 20⋅(d 0+4)×12=(30-d 20)⋅(d 0+4)2，令f (x )=(30-x 2)(x +4)2，x ∈(0,30)，则f (x )=-4(x +5)(x +4)(x -3)，所以当x ∈(0,3)时，f (x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(3,30)时，f (x )<0，f (x )单调递减；所以当x =3时，f (x )max =f (3)=21×49，所以S △MCD ≤721，所以V ABCD =13S △MCD ⋅(h 1+h 2)≤13S △MCD ⋅AB ≤13×721×214=9863，当且仅当MC =MD =70，且AB ⊥平面MCD 时，取等号，即四面体ABCD 体积的最大值是9863.故选：B .18(2023·广东深圳·统考二模)已知ε>0，x ,y ∈-π4,π4，且e x +εsin y =e ysin x ，则下列关系式恒成立的为()A.cos x ≤cos yB.cos x ≥cos yC.sin x ≤sin yD.sin x ≥sin y【答案】A【解析】构造f x =sin x ex ，x ∈-π4,π4 ，则f x =cos x -sin xe x，当x ∈-π4,π4 时，cos x >sin x ，f x =cos x -sin xe x>0，所以f x =sin x e x 在-π4,π4 单调递增，因为0<e x ，0<e y，当sin x e x +ε=sin y e y >0，e ε>1时，则0<sin x <sin y ,所以sin x e x >sin y ey >0,所以π4>x >y >0y =cos x ，x ∈0,π4 单调递增，所以cos x <cos y ;当sin x e x +ε=sin y e y <0，e ε>1时sin x <sin y <0,所以sin x e x <sin y ey <0,所以-π4<x <y <0,y =cos x ,x ∈-π4,0 单调递减，所以cos x <cos y .故选：A19(2023·广东茂名·统考二模)已知函数f x =2sin x cos x +4cos 2x -1，若实数a 、b 、c 使得af x -bf x +c =3对任意的实数x 恒成立，则2a +b -cos c 的值为()A.12B.32C.2D.52【答案】B【解析】设f x =2sin x cos x +4cos 2x -1=sin2x +2cos2x +1=5sin 2x +φ +1，可得f x +c =5sin 2x +φ+2c +1，其中0<φ<π2，且tan φ=2，因为实数a ,b ,c 使得af x -bf x +c =3对任意的实数x 恒成立，即5a sin 2x +φ -5b sin 2x +φ+2c +a -b =3恒成立，即5a sin 2x +φ -5b sin 2x +φ+2c +a -b -3 =0恒成立，所以5a -b cos2c sin 2x +φ -5b sin2c cos 2x +φ +a -b -3 =0由上式对任意x ∈R 恒成立，故必有a -b cos2c =0⋯①b sin2c =0⋯②a -b -3=0⋯③，若b =0，则由式①知a =0，显然不满足式③，所以b ≠0，所以，由式②知sin2c =0，则cos2c =±1，当cos2c =1时，则式①，③矛盾.所以cos2c =-1，由式①，③知a =-b =32，所以2a +b -cos c =32.故选：B .二.多选题1(2023·江苏常州·校考二模)如图，已知抛物线y 2=4x ，过抛物线焦点F 的直线l 自上而下，分别交抛物线与圆x -1 2+y 2=1于A ,C ,D ,B 四点，则()A.AC⋅BD≥2 B.OF⋅AB≥4 C.OA⋅OB≥5 D.AB⋅AF≥8【答案】BC【解析】由题知，F(1,0)，设直线l为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2)，联立方程x=my+1 y2=4x，消去x得y2-4mx-4=0，所以y1+y2=4m,y1⋅y2=-4，由抛物线的定义知|AF|=x1+p2=x1+1,|BF|=x2+1，因为|AC|=|AF|-1,|BD|=|BF|-1，所以|AC|⋅|BD|=(|AF|-1)(|BF|-1)=x1x2=y214⋅y224=1，故A错误；又AB=x1+x2+2所以OF⋅AB=x1+x2+2=y214+y224+2=y1+y22-2y1y24+2=4m2+4≥4，故B正确；又OA⋅OB=x12+y12⋅x22+y22=x12+4x1⋅x22+4x2=x12x22+4x1x2(x1+x2+4)，由上述知x1x2=1,x1+x2≥2x1x2=2，当x1=x2=1时等号成立，所以OA⋅OB≥5，故C正确；又|AB|⋅|AF|=(x1+x2+2)(x1+1)=x21+x1x2+3x1+x2+2，由上述知x1x2=1，所以x2=1x1，所以|AB|⋅|AF|=x21+3x1+1x1+3，其中x1>0，令f(x)=x2+3x+1x+3，所以f (x)=2x+3-1x2=x+12(2x-1)x2，当x∈0,1 2时，f (x)<0,f(x)单调递减，当x∈12,+∞时，f (x)>0,f(x)单调递增，所以f (x )≥f 12=14+32+2+3=274，所以AB ⋅AF ≥274，故D 错误；故选：BC 2(2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模)在平面直角坐标系中，定义d (P ,Q )=x 1-x 2 +y 1-y 2 为P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 两点之间的“曼哈顿距离”，则下列说法正确的是()A.若点C 在线段AB 上，则有d (A ,C )+d (C ,B )=d (A ,B )B.若A 、B 、C 是三角形的三个顶点，则有d (A ,C )+d (C ,B )>d (A ,B )C.若O 为坐标原点，点B 在直线x +y -22=0上，则d (0,B )的最小值为2D.若O 为坐标原点，点P 满足d (O ,P )=1，则P 所形成图形的面积为2【答案】AD【解析】A 选项：若点C 在线段AB 上，设点C x 0,y 0 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 0在x 1，x 2之间，y 0在y 1，y 2之间，则d (A ,C )+d (C ,B )=x 0-x 1 +y 0-y 1 +x 2-x 0 +y 2-y 0 =x 1-x 2 +y 1-y 2 =d (A ,B )，故A 正确；B 选项：在△ABC 中，d (A ,C )+d (C ,B )=x 0-x 1 +y 0-y 1 +x 2-x 0 +y 2-y 0 ≥x 1-x 2 +y 1-y 2 =d (A ,B )，故B 错误；C 选项：设B x ,y ，则d (0,B )=x +y =x +22-x ≥22，即d (0,B )的最小值为22，C 选项错误；D 选项：由d (O ,P )=x +y =1，则点P 的轨迹如图所示，面积为12×2×2=2，D 选项正确.故选：AD .3(2023·河北·校联考二模)函数f x 与g x 的定义域为R ，且f x g x +2 =4,f (x )g -x =4.若f x 的图像关于点0,2 对称.则()A.f x 的图像关于直线x =-1对称B.2024i =1f k =2048C.g x 的一个周期为4D.g x 的图像关于点0,2 对称【答案】AC【解析】A 选项：由f x g -x =4，得f -x -2 g x +2 =4，又f x g x +2 =4，所以f -x -2 =f x ,f x 的图像关于x =-1对称，A 选项正确；B 选项：由f x 的图像关于点0,2 对称，得f -x +f x =4，由A 选项结论知f x -2 =f -x ，所以f x -2 +f x =4，从而f x -4 +f x -2 =4，故f x =f x -4 ，即f x 的一个周期为4，因为f 0 =2,f 1 +f 3 =f 1 +f -1 =4,f 2 =4-f -2 =4-f 0 =2，所以2024k =1f (k )=506[f (0)+f (1)+f (2)+f (3)]=4048,B 选项错误；C 选项：由f x =f x +4 ，及f x g -x =4，则f x +4 g -x -4 =4，得g -x =g -x -4 ，函数g x 的周期为4,C 选项正确；D 选项：取f x =sin π2x +2,g -x =4sin π2x +2，又g -1 +g 1 =163，与g x 的图像关于点0,2 对称矛盾，D 选项错误，故选：AC .4(2023·江苏常州·校考二模)已知定义域为R 的函数f x ，g x 的最小正周期均为2π，且f x +g x +π =cos x ，g x -f x +π =sin x ，则()A.f 0 =g 0B.f π2+x=g π2-x C.函数y =f x -g x 是偶函数D.函数y =f x g x 的最大值是24【答案】BC【解析】因为f x ，g x 的最小正周期均为2π，f x +g x +π =cos x ，则f x +π +g x +2π =cos x +π ，即f x +π +g x =-cos x ，又g x -f x +π =sin x ，故可得：g x =sin x -cos x 2，g x +π =sin x +π -cos x +π 2=-sin x +cos x2，则f x =cos x -g x +π =cos x -(-sin x +cos x )2=sin x +cos x2；综上所述，f x =sin x +cos x 2, g x =sin x -cos x2；对A ：f 0 =12,g 0 =-12，故A 错误；对B ：f π2+x =sin π2+x +cos π2+x 2=-sin x +cos x 2，g π2-x =sin π2-x -cos π2-x 2=cos x -sin x 2，显然f π2+x =g π2-x ，故B 正确；对C ：f x -g x =sin x +cos x 2-sin x -cos x2=cos x ，又y =cos x 为偶函数，故函数y =f x -g x 是偶函数，C 正确；对D ：y =f x g x =sin x -cos x sin x +cos x 4=-cos2x 4=-14cos2x ，又y =-14cos2x 的最大值为14，故D 错误.故选：BC .5(2023·山东聊城·统考二模)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E ，F ，G 分别是线段BC 1，CD 1，A 1B 1的中点，则()A.DE ⊥BG。

2025届高考数学复习：压轴好题专项(构造函数证明不等式)练习1. （2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）已知函数()()2ln f x x a x =-，R a ∈． (1)若()10f '=，求a ；(2)若()1,e a ∈，()f x 的极大值大于b2e <．2．（2024届全国名校大联考高三上学期第一联考）已知函数()2ln f x x ax =+（a ∈R ）． (1)若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围：(2)设()()3g x x f x =-，1x ，2x 为函数()g x 的两个零点，证明：121x x <．3．（2024届山东省青岛市高三上学期期初调研检测）已知1ea ≥，函数()e ln ln xf x a x a =-+.(1)若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求证：()44f x x ≥-+；(3)若β为()f x 的极值点，点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上.求a .4．（2024届湖南省株洲市第二中学教育集团2高三上学期开学联考）已知函数()21e 12xf x x x =---， (1)证明：当0x >时，()0f x >恒成立； (2)若关于x 的方程()sin 2f x xa x x +=在()0,π内有解，求实数a 的取值范围. 5．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研考试）设方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<.(1)求a 的取值范围；(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分，若选②则该小问满分9分.①证明：12(2)(2)4x x --<；②证明：1231231113e 2x x x x x x +++++<. 6．（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）已知函数()2k f x x x=+，0k ≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()3ln g x x x =-n m ≤<，当13k =-时，证明：()()()()332g m g n f m f n m n -+<-. 7．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研考试）设函数()()ln 1f x a x =+-，已知2x =是函数()()2y x f x =-的极值点.(1)求a ； (2)设函数()()()()22x f x g x x f x -=-+，证明：()1g x >.8．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数())(0)f x x b a =+≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是1y x =-.(1)求a 、b 的值； (2)求证：()f x x <；(3)若函数()2()()g x f x t x x =+-在区间(1,)+∞上无零点，求t 的取值范围.9．（2024届山西省大同市高三上学期质量检测）已知函数2()ln (R)af x ax x a x=--∈． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 的两个极值点分别为1x ，2x ，证明：12|()()|2f x f x a-<．10．（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期开学测试）已知函数()()111ln f x ax a x x=+--+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)求证：n *∀∈N ，)21+⋅⋅⋅++>.参考答案1. （2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）已知函数()()2ln f x x a x =-，R a ∈． (1)若()10f '=，求a ；(2)若()1,e a ∈，()f x 的极大值大于b 2e <．【过程详解】（1）()212()ln ()f x x a x x a x'=-+-⋅，由()10f '=，即202(1)ln1(1)a a --=+，解得1a =． （2）()()(2ln 1)af x x a x x'=--+， 令()2ln 1ag x x x=-+， ()1,e a ∈ ，111(,1e ),a a a∴∈∴<，()21()2ln 11)2ln (10g a a a a a a=--+=-++-<， ()2ln 112ln 0g a a a =-+=>， 22()0ag x x x+'=>在(0,)+∞恒成立， 故()g x 在(0,)+∞递增，而1lg()0,()0g a a <>，01(,)x a a∴∃∈，使得g 0()0,x =令()0f x '=，有1201,,x a x x x =<=故0(0,)x x ∈时()0f x ¢>，0(,)x x a ∈时()0f x '<，(,)x a ∈+∞时()0f x ¢>， 故()f x 在0(0,)x 上递增，在0(,)x a 上递减，在(,)a +∞上递增，∴()f x 极大值2000()()ln ,f x x a x b =->由000()2ln 10,ag x x x =-+=得0002ln ,a x x x =+ 故23004(ln ),b x x <则230028(ln ),ab ax x <01,e 1e x a a<<<< 0e,e a x ∴<<，23233008(ln )8e e 18e ax x ∴<⋅⋅⋅=，328e ,ab ∴<2e <．2．（2024届全国名校大联考高三上学期第一联考）已知函数()2ln f x x ax =+（a ∈R ）． (1)若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围：(2)设()()3g x x f x =-，1x ，2x 为函数()g x 的两个零点，证明：121x x <．【过程详解】（1）若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，即2ln xa x≤-， 令()2ln x u x x =-，所以()()222ln 122ln x x u x x x --'=-=， 所以当0e x <<时，()0u x '<，当e x >时，()0u x '>， 所以()u x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增， 所以()()min 2e eu x u ==-，所以2a e ≤-，即a 的取值范围是2,e ⎛⎤-∞- ⎝⎦．（2）令()0g x =，即22ln 0xx a x--=， 令()22ln x h x x a x =--，则()()()3222ln 121ln 2x x x h x x x x +--'=-=， 令()3ln 1r x x x =+-，所以()2130r x x x'=+>，所以()r x 在()0,∞+上单调递增，又()10r =，所以当01x <<时，()0r x <，所以()0h x '<， 当1x >时，()0r x >，所以()0h x '>，所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增． 不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<， 因为()()120h x h x ==，所以()()22212222222212ln 2ln 1111x x h x h h x h x a a x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭22222112ln x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 设函数()12ln x x x x ϕ=--（1x >），则()()22211210x x x x xϕ-'=+-=>在()1,+∞上恒成立， 所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()222212ln 10x x x x ϕϕ=-->=， 所以()1210h x h x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即()121h x h x ⎛⎫> ⎪⎝⎭．又函数()22ln xh x x a x=--在()0,1上单调递减， 所以12101x x <<<，所以121x x <． 3．（2024届山东省青岛市高三上学期期初调研检测）已知1ea ≥，函数()e ln ln xf x a x a =-+.(1)若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求证：()44f x x ≥-+；(3)若β为()f x 的极值点，点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上.求a .【过程详解】（1）1a =，()e ln xf x x =-，0x >由()11e ln1e f =-=，得切点为()1,e由()1e xf x x'=-，有()1e 1f '=-，即()f x 在点()1,e 处的切线斜率为e 1-，所以()f x 在点()1,e 处的切线方程为：()e 11y x =-+. （2）证明：因为()1e xf x a x '=-(1ea ≥，0x >)，设函数()()g x f x '=，则()21e 0xg x a x '=+>(1e a ≥，0x >)，所以()f x '在()0,∞+上单调递增又因为()212e 02f a '=->，112e2e 1e 2e e 2e 02e a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫'=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以存在1,22e a β⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0f β'=， 即1e a ββ=，1e a ββ=，所以，当()0,x ∈β时，()0f x '<，()f x 在()0,β上单调递减； 当(),x β∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在(),β+∞上单调递增；所以()()1e ln ln 2lnf x f a a ββββββ≥=-+=--令()12ln =--h x x x x ，()()()()14432ln 40x h x x x x x xϕ=--+=+-->， 则()()()2131x x x x ϕ-+'=，()0x ϕ'<解得01x <<，()0x ϕ'>解得1x >，所以，()x ϕ在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； 所以，()()10x ϕϕ≥=，所以，()h x 的图像在44y x =-+的上方，且()h x 与44y x =-+唯一交点为()1,0， 所以，()44f x x ≥-+.（3）圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的圆心坐标为10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r =圆心到直线44y x =-+的距离174d ===， 所以直线44y x =-+为圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的切线，由2211741644x y y x ⎧⎛⎫++=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=-+⎩解得切点坐标为()1,0， 显然，圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭在直线44y x =-+的下方又因为()44f x x ≥-+，且点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上，则点()(),f ββ即为切点为()1,0，所以1β=，1ea =.4．（2024届湖南省株洲市第二中学教育集团2高三上学期开学联考）已知函数()21e 12xf x x x =---， (1)证明：当0x >时，()0f x >恒成立；(2)若关于x 的方程()sin 2f x xa x x +=在()0,π内有解，求实数a 的取值范围. 【过程详解】（1）函数21()e 12xf x x x =---，0x >，求导得()e 1x f x x '=--，令e 1x y x =--，0x >，求导得e 10x y '=->， 则函数()f x '在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f ''>=， 因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f >=， 所以当0x >时，()0f x >恒成立.（2）设sin y x x =-，()0,πx ∈，则1cos 0y x '=->， 则sin y x x =-在()0,π上递增，0y >，即sin 0x x >>， 方程()sin 2f x xa x x +=等价于e sin 10x ax x x ---=，()0,πx ∈， 令()e sin 1xg x ax x x =---，原问题等价于()g x 在()0,π内有零点，由()0,πx ∈，得2sin x x x <， 由（1）知，当12a ≤时，()21e sin 1e 102x xg x ax x x x x =--->--->， 当()0,πx ∈时，函数()y g x =没有零点，不合题意； 当12a >时，由()e sin 1x g x ax x x =---，求导得()()e cos sin 1xg x a x x x '=-+-， 令()()()e cos sin 1x t x g x a x x x '==-+-，则()()e sin 2cos xt x a x x x '=+-，当π[,π)2x ∈时，()0t x '>恒成立，当π(0,)2x ∈时，令()()()e sin 2cos x s x t x a x x x '==+-，则()()e 3sin cos xs x a x x x '=++，因为e 0x >，()3sin cos 0a x x x +>，则()0s x '>，即()t x '在π(0,2上单调递增，又()0120t a '=-<，π2ππ(e 022t a '=+>，因此()t x '在π(0,)2上存在唯一的零点0x ，当()00,x x ∈时，()0t x '<，函数()g x '单调递减，当()0,πx x ∈时，()0t x '>，函数()g x '单调递增，显然()()000g x g ''<=，()ππe π10g a '=+->，因此()g x '在()0,π上存在唯一的零点1x ，且()10,πx x ∈，当()10,x x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()1,πx x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 又()00g =，()()100g x g <=，由（1）知，21e 112x x x x >++>+，则()ππe π10g =-->，所以()g x 在()10,x 上没有零点，在()1,πx 上存在唯一零点，因此()g x 在()0,π上有唯一零点， 所以a 的取值范围是1(,)2+∞.5．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研考试）设方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<.(1)求a 的取值范围；(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分，若选②则该小问满分9分.①证明：12(2)(2)4x x --<；②证明：1231231113e2x x x x x x +++++<. 【过程详解】（1）由题意设()()22e x f x x =-（x ∈R ），则()f x '=()2e xx x -，x ∈R ，令()0f x '=，得0x =或2x =，当0x <或2x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在(),0∞-，()2,+∞上单调递增； 当02x <<时，()0f x '<，所以()f x 在()0,2上单调递减；又()20f =，()04f =，()33e 4f =>，且()()22e 0x f x x =-≥，当x 趋向于+∞时，()f x 也趋向于+∞，又方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<， 等价于直线y a =与()y f x =的函数图像有三个交点， 即04a <<，所以a 的取值范围为()0,4.（2）选①，证明如下：由（1）得：1202x x <<<，则122220x x -<-<-<， 设112t x =-，222t x =-，则1220t t <-<<， 不妨设121t k t =>，则12t kt =（1k >）， 又()()1222122e 2e x x x x a -=-=，即12222212e e t t t t a ++==，故22222222e e 0e kt ta k t t ==>，即222e e kt t k =，所以22ln 1k t k=-，212ln 1k k t kt k ==-，1k >， 则()()()2222121222ln 2ln 22111k x x t t k k ⎛⎫⎫ ⎪⎛⎫⎪--==⋅==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪-⎪⎝⎭⎭，设()l 1n 2x g x x x=-+，1x >， 则()()222121=10x g x x x x -'--=-≤，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，即()()10g x g <=，1>，则0<，即，0>2<，故()()212122241x x t t ⎛⎫ ⎪--==<⎪ ⎪⎪⎝⎭. 选②，证明如下：由（1）得：1202x x <<<，则122220x x -<-<-<， 设112t x =-，222t x =-，则1220t t <-<<， 不妨设121t k t =>，则12t kt =（1k >）， 又()()1222122e 2e x x x x a -=-=，即12222212e e t t t t a ++==，故22222222e e 0e kt ta k t t ==>，即222e e kt t k =，所以22ln 1k t k=-，212ln 1k k t kt k ==-（1k >），则()()()2222121222ln 2ln 22111k x x t t k k ⎛⎫⎫ ⎪⎛⎫⎪--==⋅==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪-⎪⎝⎭⎭1>）， 设()l 1n 2x g x x x=-+，1x >， 则()()222121=10x g x x x x -'--=-≤，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，即()()10g x g <=，1>，则0<，即，0>2<，故()()212122241x x t t ⎛⎫ ⎪--==<⎪ ⎪⎪⎝⎭. 所以()()()12121222244x x x x x x --=-++<，则()12122x x x x <+， 又因为1202x x <<<，所以120x x <，从而()12121221121x x x x x x +⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，故121112x x +<①，下证120x x +<， 有12122ln 2ln 44011k k kx x t t k k+=++=++<--（1k >）， 即证1k >时，()()1ln 21k k k +>-，即()214ln 211k k k k ->=-++， 即证4ln 21k k +>+（1k >）， 设()4ln 1h x x x =++（1x >），则()()()()22211411x h x x x x x -'=-=++，当1x >时，()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增， 则()()12h x h >=，所以120x x +<②，又()()33e 0f f =>，所以得323x <<，设()1x x xϕ=+，（23x <<），则()211x x ϕ'=-，当23x <<时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()2,3上单调递增， 则331103x x +<③， 联立①②③得：123123*********e 042362x x x x x x +++++<++=<<，故1231231113e2x x x x x x +++++<. 6．（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）已知函数()2k f x x x=+，0k ≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()3ln g x x x =-n m ≤<，当13k =-时，证明：()()()()332g m g n f m f n m n -+<-. 【过程详解】（1）解：函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，()32222k x kf x x x x -='-=， 令()0f x '=，则x =①当0k<时，当x <()0f x '<，()f x0x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当0x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；②当0k>时，当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x <<()0f x '<，()f x 单调递减；当x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.综上：当0k <时，单调增区间为⎫⎪⎪⎭，()0,∞+，单调递减区间为⎛-∞ ⎝； 当0k >时，单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为(),0∞-，⎛ ⎝. （2）对任意的m，n ⎫∈+∞⎪⎭，且m n >，令mt n =（1t >），因为()()()()()()()32m n f m f n g m g n -+--()22333311ln 2222m m n m n m n m n n ⎛⎫⎛⎫=-+----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33221133ln 222222n m m m n mn m n m n n=-+-+-+ 323111332ln 22m m m m n m n n n n n mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()332331*********ln (1)2ln 2222n t t t t t n t t t t t ⎛⎫⎛⎫=-+----=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()33211111(1)2ln 33132ln 626t t t t t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥----=-+---- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 321336ln 16t t t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭， 记()32336ln 1h t t t t t =-++-，则()22226311113636320h t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=---'=-+-> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()h t 在()1,+∞单调递增，所以()()10h t h >=，故32336ln 10t t t t-++->，所以()()()()()()()302m n f m f n g m g n -+-->， 故()()()()332g m g n f m f n m n-+<-.7．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研考试）设函数()()ln 1f x a x =+-，已知2x =是函数()()2y x f x =-的极值点.(1)求a ； (2)设函数()()()()22x f x g x x f x -=-+，证明：()1g x >.【过程详解】（1）由题意可知，()()()()22ln 1y x f x x a x =-=-+-，则()2ln 11xy a x a x-'=+-++-，因为2x =是函数()()2ln 1y x a x =-+-的极值点， 所以()ln 120a +-=，解得2a =， 经检验满足题意，故2a =；（2）由（1）得()()ln 3f x x =-，(),3x ∞∈-， 设()()()22ln 3h x x f x x x =-+=-+-，则()12133x h x x x -'=-=--， 当2x <时，203x x ->-，即()0h x '>，所以()h x 在区间(),2-∞单调递增； 当23x <<时，203x x -<-，即()0h x '<，所以()h x 在区间()2,3单调递减， 因此当(),3x ∞∈-时，()()20h x h ≤=，因为()g x 的定义域要求()f x 有意义，即(),3x ∞∈-，同时还要求()2ln 30x x -+-≠，即要求2x ≠，所以()g x的定义域为{|3x x < 且}2x ≠， 要证()()()()212x f x g x x f x -=>-+，因为()20x f x -+<，所以需证()()()22x f x x f x -<-+， 即需证()()23ln 30x x x -+-->，令3x t -=，则0t >且1t ≠，则只需证1ln 0t t t -+>，令()1ln m t t t t =-+，则()ln m t t '=，令()ln 0m t t '==，可得1t =， 所以()0,1t ∈，()0m t '<；()1,t ∈+∞，()0m t '>；所以()m t 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 所以()()10m t m >=，即()1g x >成立.8．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数())(0)f x x b a =+≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是1y x =-.(1)求a 、b 的值； (2)求证：()f x x <；(3)若函数()2()()g x f x t x x =+-在区间(1,)+∞上无零点，求t 的取值范围.【过程详解】（1）()()f x x b '=+由切线方程知()()1110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即()()1110b b +=+=，注意到0a ≠，解得1a =,0b =.（2）由（1）可知()f x x，若要()f x x x =<且注意到0x >，所以只需ln x < 构造函数()ln h x x =()122h x x x '==，令()0h x '=得4x =，所以()h x 、()h x '随x 的变化情况如下表：()0,4 ()4,+∞()h x '+-()h x所以()h x 有极大值()244ln 42ln 0eh =-=<，综上()0h x <，结合分析可知命题得证. （3）由题意分以下三种情形讨论：情形一：注意到当0t ≥且1x >0x >，()10txx -≥，此时有()0g x >，即()g x 在区间(1,)+∞上无零点，符合题意.情形二：对()2()g x x t x x =+-求导得()()21g xt x x '=+-，所以有()11g t '=+；进一步对()()21g x t x x '=++- 求导得()32ln 24x g x t x-''=+，注意到当1t ≤-且1x >时，有20t <，32ln 04x x-< ，进而有()0g x ''<，所以()g x '单调递减，所以()()110g x g t ''<=+≤，因此()g x 单调递减，故()()10g x g <=，即()g x 在区间(1,)+∞上无零点，符合题意.情形三：由（2）可知1x >lnx <，且注意到当10t -<<时有()()()1()21211212g x t x t x t x '=-<+-<++-成立， 所以11(02a g a a -'<-<，此时()110g t '=+>， 所以存在011,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00g x '=，且注意到此时有()32ln 204x g x t x -''=+<成立， 所以()g x 、()g x '随x 的变化情况如下表：()01,x ()0,x +∞()g x ' +-()g x故一方面当0x x =时，()g x 取极大值（或最大值）()0g x ，显然有()()010g x g >=；ln x <可得()()()22()1g x x t x x x t x x x tx t +-<+-=+-，所以有10a g a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，由零点存在定理并结合这两方面可知函数()g x 在区间(1,)+∞上存在零点.综上所述，符合题意的t 的取值范围为(][),10,-∞-⋃+∞.9．（2024届山西省大同市高三上学期质量检测）已知函数2()ln (R)af x ax x a x=--∈． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 的两个极值点分别为1x ，2x，证明：12|()()|f x f x -<． 【过程详解】（1）依题意，222122()(0)a ax x af x a x x x x -+'=-+=>，当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a <<()0f x '>，解得102x a <<或12x a>，令()0f x '<，解得112x a <<，所以()f x在1(0,2a 上单调递增，在11(22a a上单调递减，在)+∞上单调递增；当a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增． （2）不妨设120x x <<，由（1）知，当04a <<时，()f x 在1(0,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()fx的极小值点，所以12()()f x f x >，所以1212|()()|()()f x f x f xf x -=-．由（1）知，122x x =，121x x a+=，则21x xa-==．要证12|()()|f x f x -<1221()())2f x f x x x -<-．因为22121122121112()()()()()ln 222x x xx x f x f x x x a x x a x x x ---+=-+--+⋅2212212111212()2()()ln ln 2x x x x a x x x x x x x x -=-+--=+ 2122112(1)ln 1x x xx x x -=+， 设211x t x =>，2(1)()ln 1t g t t t -=++．所以222414()0(1)(1)g t t t t '==>++， 所以()g t 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g t g >=．所以2112)()()02x x f x f x --+>，即得1221()()()2f x f x x x -<-成立． 所以原不等式成立．10．（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期开学测试）已知函数()()111ln f x ax a x x=+--+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)求证：n *∀∈N ，)21+⋅⋅⋅++>.【过程详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()()221111ax x a f x a x x x --+'=+-=， 当0a ≤时，10ax -<，令()0f x ¢>，解得01x <<，令()0f x '<，解得1x >，所以()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减；当01a <<时，令()0f x ¢>，解得01x <<或1x a >，令()0f x '<，解得11x a <<，所以()f x 在()0,1，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，令()0f x ¢>，解得10x a <<或1x >，令()0f x '<，解得11x a <<，所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在()0,1，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）当0a =时，由（1）可得()()11ln 10f x x f x=--<=，()1x >，因为N n *∈1>，则10<，即11>>所以n ++>-+L L2n =-L2n =-)21=-，即)2ln 1+>L .。