最全的能被特殊数7、11、13等整除的数的判别法

被7、11、13、17整除数的特征我在写完“我愿意这样讲被3整除数的特征”一文并把草稿给网友看完之后，对方提议可以讲一讲被7、11等整除数的特征。

这里我就讲一讲，但我不想就事论事地把所有细节都说到，而是根据我的理解，说说重点。

自然，我这里说的都是我个人水平之内能说明白而且认为对于这个主题来说重要的。

小学只讲怎样判断被2、3、5整除，而且好像也没有讲其中的道理。

于是很多人最终也不知道道理，特别是被3整除的问题。

关于这一问题我已经在上文讲过就不再重复，本文重点讲一下被11整除的判断方法。

判断能否整除，其实是数论里“同余”概念的应用。

这里总的思想是用一个比较好判断的数代替原来的不好判断的数，基本的理论依据是：两个数a、b都能被c整除，则a、b的和与差都能被c整除；如果a和b有且只有一个能被c整除，则其和、差都不能被c整除。

当然，如果a、b都不能被c整除，则其和、差是否能被c整除是不确定的。

在研究过程中我们可以先观察若干数据，初步归纳出“猜想”，然后进行证明。

这里提到的“归纳”，是从个别到一般的推理方法。

很多数论问题，包括很多复杂、深入的问题，都是从归纳现象开始研究的。

对推理方法感兴趣的读者可以自己找逻辑入门教材来学习“归纳法”。

这里只说一点：观察和归纳给出了研究方向，但这是不严格的，所以必须要进行证明——能够通过证明的就成为定理，被否定了的猜想无论看上去多么美丽都要放弃，暂时证明不了的就只能成为“悬案”。

下面我们给出判断能否被11整除数的方法，观察和归纳的步骤就略去了，但不代表不重要：方法一：去掉数字的最后一位，用剩下的数减去所去掉的数字，剩余部分如果能被11整除，原来的数就能被11整除，反之则不能。

例如836，用83减去6得到77，易判断77是11的倍数，所以836亦是11的倍数。

证明：以三位数为例，设原来的数为abc，即100a+10b+c，去掉最后一位并减去后得到10a+b-c。

（前面带下划线的abc表示这个三位数从高位到低位分别是a、b、c，不代表三个字母相乘，本来习惯是在字母上面划线，但因为公众号排版的限制，只好在下面划线）因为100a+10b+c=(110a+11b)-(10a+b-c)，而(110a+11b)的两项有公因式11，一定能被11整除，所以根据前面提到的理论，(10a+b-c)如果能被11整除，原来的数就一定能被11整除；反之，如果(10a+b-c)不能被11整除，原来的数也一定不能被11整除。

数的整除的综合运用（一）【大海传功】 数的整除特征1．末位系：2，5；4，25；8，125能否被2或5整除是看末一位 能否被4或25整除是看末两位 能否被8或125整除是看末三位2．和系：3，9，99⑴能否被3或9整除是看数字之和是否为3或9的倍数这个数除以3或9的余数等于这个数的数字之和除以3或9的余数 弃九法⑵能否被99整除是从这个数的末位开始，两位一段，看这些数段的和能否被99整除3．差系：7，11，13 能否被7，11，13整除规律是把这个数的末三位与末三位之前的数作差(大减小)，看这个差是否为7，11，13的倍数能否被11整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)是否为11的倍数这个差除以余几就代表这个数除以11余几(注：计算余数时必须是奇数位的数字和去减偶数位的数字和)4．拆分系：72＝8×9，12＝3×4，1001＝7×11×13……【例1】(★★★)在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数。

⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？【例2】()★★★要使15ABC 6能被36整除，而且所得的商最小，那么A 、B 、C 分别是多少？【例3】()★★★ 某个七位数1993能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？【例4】(★★★)★在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除。

那么这三个数字的和是_______。

【例5】()★★从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？1【例6】(★)★★下图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。

第二排的四个数填完后，再依次填第三、四、五排，第五排中的数A 的末尾共有多少个0？【例7】() ★★★★右图的方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方格中的数。

能被3、7、11、13、17、19、23 等整除的数的特征能被11 整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数（包括0）,那么,原来这个数就一定能被11 整除. 例如:判断491678能不能被11 整除.奇位数字的和9+6+8=23 偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11 整除. 这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11 的10倍,20倍,30 倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除，那么,原来这个数就一定能被11 整除.又如:判断583 能不能被11 整除.用583减去11的50倍（583-11X 50=33）余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11 整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a,总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a^ 0,a为整数，则a|0.（2）能被 2 整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）能被 3 整除的数的特征若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

（4）能被 4 整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4 整除，则这个数能被4 整除。

（5）能被 5 整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（6）能被 6 整除的数的特征若一个整数能被2 和3 整除，则这个数能被6 整除。

（7）能被7 整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2 倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13- 3X 2= 7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613-9X2 = 595 , 59-5 X 2= 49,所以6139是7的倍数，余类推。

被7、11、13、17、19整除的数的特征之杨若古兰创作这个成绩从分歧的视角观察，可能会得到分歧的答案.也就是说，判断一个数能否被7、11、13整除，有很多方法，但最基础最经常使用的是：一个多位数的末三位数与末三位之前的数字所构成的数之差，如果能被7、11、13整除，那么，这个多位数就必定能被7、11、13整除．比方，能被13整除的数的特征是，一个多位数的末三位数与末三位之前的数字所构成的数之差，如果能被13整除，那么，这个多位数就必定能被13整除．例如：判断383357能不克不及被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位之前的数字所构成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，是以，383357也必定能被13整除．这个方法也同样适用于判断一个数能不克不及被7或11整除．如：283679的末三位数字是679，末三位之前数字所构成的数是283，679－283=396，396能被11整除，是以，283679就必定能被11整除．仍以原数为例，末三位数字与前两数字的差是396，396不克不及被7整除，是以，283697就必定不克不及被7整除．还有一个方法是比较经常使用的：由于7×11×13＝1001，是以，能被1001整除的数，能够同时被7、11、和13整除.第二讲例8就用到这个结论.其余的方法都没那么经常使用，但很多，比方：能被11整除的数的特征把一个数由右侧向右边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数(包含0)，那么，本来这个数就必定能被11整除.例如：判断491678能不克不及被11整除. 奇位数字的和9+6+8=23 ；偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11，是以，491678能被11整除.这类方法叫“奇偶位差法”.能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除.如果数字仍然太大不克不及直接观察出来，就反复此过程.如：判断1284322能不克不及被13整除. 128432+2×4=128440 ，12844+0×4=12844，1284+4×4=1300 ，1300÷13=100 ，所以，1284322能被13整除.能被17整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除.如果数字仍然太大不克不及直接观察出来，就反复此过程.例如：判断1675282能不克不及被17整除.167528-2×5=167518 ，16751-8×5=16711 ，1671-1×5=1666 ，166-6×5=136到这里如果你仍然观察不出来，就继续…… 6×5=30，此刻个位×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除.能被19整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除.如果数字仍然太大不克不及直接观察出来，就反复此过程.。

被7、11、13、17、19整除的数的特征这个问题从不同的视角观察，可能会得到不同的答案。

也就是说，判断一个数能否被7、11、13整除，有很多方法，但最基础最常用的是：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7、11、13整除，那么，这个多位数就一定能被7、11、13整除．比如，能被13整除的数的特征是，一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被13整除，那么，这个多位数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．这个方法也同样适用于判断一个数能不能被7或11整除．如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．仍以原数为例，末三位数字与前两数字的差是396，396不能被7整除，因此，283697就一定不能被7整除．还有一个方法是比较常用的：因为7×11×13＝1001，因此，能被1001整除的数，能够同时被7、11、和13整除。

第二讲例8就用到这个结论。

其余的方法都没那么常用，但很多，比如：能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数(包括0)，那么，原来这个数就一定能被11整除。

例如：判断491678能不能被11整除。

奇位数字的和9+6+8=23 ；偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11，因此，491678能被11整除。

这种方法叫“奇偶位差法”。

能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

若一个整数得个位数字截去，再从余下得数中,减去个位数得2倍，如果差就是7得倍数，则原数能被7整除•如果差太大或心算不易瞧出就是否7得倍数，就需要继续上述r截尾、倍大、相减、验差J得过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133就是否7得倍数得过程如下:13—3x2=7，所以1 33就是7得倍数;又例如判断6 1 3 9就是否7得倍数得过程如下:61 3 —9x2=5 9 5,59- 5x2 = 49,所以6139就是7得倍数，余类推。

能被9整除得数得规律规律:能被9整除得数，这个数得所有位上得数字得与一定能被9 整除。

能被1 1整除得数得规律若一个整数得奇位数字之与与偶位数字之与得差能被11整除，则这个数能被11整除.11得倍数检验法：去掉个位数，再从余下得数中, 减去个位数，如果差就是1 1得倍数，则原数能被11整除。

如果差太大或心算不易瞧出就是否1 1得倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减.验差J得过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断13 2就是否1 1得倍数得过程如下:13—2=11,所以I 32就是11得倍数;又例如判断1 09 0 1就是否1 1得倍数得过程如下：1 090- 1 =1 0 8 9 ,1 08 -9=9 9,所以10901就是11得倍数，余类推.相当于1000除以1 3余一1,那么1000 ^2除以13余1 （即—1得平方），1 000人3除以13余,所以对一个位数很多得数（比如：51 578 953 2 7 0）,从右向左每3位隔开从右向左依次加、减，27 0 -9 5 3+578-51=-156能被13整除，则原数能被13整除什么样得数能被7与1 1与1 3整除？？？有什么规律就是分开来得三个问题还就是同时被这三个整除?若一个整数得个位数字截去，再从余下得数中，减去个位数得2倍，如果差就是7得倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易瞧岀就是否7得倍数，就需要继续上述「截尾、倍大.相减.验差J得过程，直到能清楚判断为止。

被7、11、13整除快速判断法
判断一个数能否被7整除，有两种方法：①割尾法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

割尾法：证明过程：设p=a1+a 2*10+a3*10^2+...+a(n-1)*10^(n-1)+an*10^n q=a2+a3*10 +...+a(n-1)*10^(n-2)+an*10^(n-1)-2a1 2p+q=21(a2+a3*10 +...+an*10^(n-1)) 又因为21=7*3，所以若p是7的倍数,那么可以得到q是7的倍数②末三法：这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（反过来也行）能被7、11、13整除。

这个数就能被7、11、13整除。

例如：1005928 末三位数：928，末三位之前：1005 1005-928=77 因为7 | 77，所以7|1005928 末三法，简略证明：设一个数为ABCDEF=ABC×1000+DEF=AB C×1001-ABC+DEF=ABC×7×13×11-(ABC-DEF),由此可见只要ABC-DEF能被7整除，则ABCDEF能被7整除。

6522。

一、特殊数字的整除。

1、能被3、9整除的数：数位之和能被3、9整除（注意消倍）。

例：76935、3165493能否被3整除?例：1349982、367594737能否被9整除？2、能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

3、能被7整除的数：1）割尾法。

故133可以被7整除。

2）将它三位三位截断后，奇数段之和减去偶数段之和的差的绝对值能被7整除。

例如判断1798638345能否被7整除？3）末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差绝对值能被7整除。

例如判断69272、13275能否被7整除？4、能被11整除的数：1）割尾法。

若将一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的1倍，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。

如果差太大或心算不易看出是否为11的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如判断6259能否被11整除？2）将它三位三位截断后，奇数段之和减去偶数段之和的差的绝对值能被11整除。

例如判断55138028、44142405能否被11整除？3）该数的奇数位数字和减去偶数位数字和所得的差的绝对值能被11整除。

例如判断55138028、44142405能否被11整除？4）注意：奇数位数首位单独为一节。

5）末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差绝对值能被11整除。

例如判断44528能否被11整除？5、能被13整除的数：1）末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

例如判断5005、73853能否被13整除？2）将它三位三位截断后，奇数段之和减去偶数段之和的差的绝对值能被13整除。

例如判断106736097、57157059能否被13整除？3）逐次去掉最后一位数字并加上末位数字的4倍后能被13整除。

7、11、13的整除判定法则华图教育邹维丽在公务员考试数学运算这部分中，不少题目通过适当运用数的整除性质就可快速选出答案，这就要求考生对数的整除判断法则要熟练掌握。

下面我们先给出一些特殊数的整除判定基本法则：一、能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或5）整除的数，末位数字能被2（或5）整除；能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；一个数被2（或5）除得的余数，就是其末位数字被2（或5）除得的余数一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数二、能被3、9 整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。

一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。

三、能被7 整除的数的数字特性能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。

能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。

四、能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。

能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。

五、能被13 整除的数的数字特性能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。

从上述表述中，我们发现7、11、13有一个相同的整除判断法则，就是判断其末三位与剩下的数之差，那么，为什么7、11、13有相同的整除判断法则呢？事实上，这一规律源自经典分解1001=7×11×13。

下面我们利用1001=7×11×13来证明能被7整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7整除。

设abcd为超过三位的数，其中b, c, d分别为百位数、十位数、个位数，则abcd a bcd=+，1000为了凑出1001，我们将1000a写成1001a a-，于是我们有=+=-+=+-100010011001()abcd a bcd a a bcd a bcd a因为1001能被7整除，所以，若bcd a-能被7 整除，则上式右边能被7整除，。

快速判断⼀个数能不能被7、11、13整除（转载）数字21趣谈——兼谈快速判断⼀个数能不能被7、11、13整除我们知道，整数被2 , 3 , 4 , 5 , 8 , 9或11整除的特点易掌握，什么样的数能被7整除？这可是⼀个难题，下⾯，我将介绍⼀些关于整数被7整除的有趣⽽⼜有⽤的知识。

先从3×7=21谈起。

有⼀个道理是很明显的。

如果有⼀个整数的末位数是1，这个数⼜⽐21⼤的话，我们将这个数减去21，得数（它的末位数肯定是0）如果能被7整除，先前那个数肯定也能被7整除；如果得数不能被7整除，先前那个数肯定也不能被7整除，即在这种情况下，判断得数能不能被7整除，最末位上的0可以舍去不管。

如果给定的整数的末位数不是1，⽽是其他数，也可以依此类推，例如给定整数末位数是6，我们可将此数减去21×6=126，也即先从该整数中去掉末位数 6，再从所余数中减去6×2=12。

由此我们得到⼀个⼀般原则：去掉末位数，再从剩下的数中减去去掉的末位数的2倍。

以考查15946能不能被7整除为例，去掉末位数6，再计算1594-2×6得1582，此时，如果1582能被7整除，则115946就能被7整除；如果1582不能被7整除，则15946就不能被7整除。

继续对1582⽤此法判断可得154，再作⼀次就得7，由于最后得到的是7（或7的倍数），故知15946能被7整除。

这是⼀种简捷可靠的判断⼀个整数能不能被7整除的⽅法，我们称它为“去⼀减⼆法”，它的意思就是前⾯说的：去掉末位⼀个数，再从剩下的数中减去去掉的数的2倍。

再举⼀个例⼦，让我们来考查841945是否能被7整除。

我们将逐次⽤“去⼀减⼆法”。

结果写出来（末位数是0时可以将0舍去）便是：841945→84184→841→82→4。

故知841945不能被7整除。

实际解题时，只需⼼算就⾏了，不必将上⾯的式⼦逐个写出，解题中也可以随机应变地运⽤⼀些技巧，例如，如果⼀眼就看出末位两位或前两位数是 14，35，56，84，91等7的倍数时，可以直接舍去，如841945→1945→184→1，⽴即就可以断定841945不能被7整除。