(完整版)概率论与数理统计课程第一章练习题及解答

第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。

（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。

（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。

（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。

（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。

（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。

（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。

（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。

（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。

（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。

概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

概率论与数理统计习题第一章习题1-1（P 7）1．解：（1）}18,4,3{，⋯=Ω （2）}1|),{22<+=Ωy x y x （ (3) {=Ωt |ｔ},10N t ∈≥（本题答案由经济1101班童婷婷提供） ２．ＡＢ 表示只有一件次品，-A 表示没有次品，-B 表示至少有一件次品。

（本题答案由经济1101班童婷婷提供） 3．解：（1）A 1∪A 2=“前两次至少有一次击中目标”;（2）2A =“第二次未击中目标”; （3）A 1A 2A 3=“前三次均击中目标”;（4）A 1⋃A 2⋃A 3=“前三次射击中至少有一次击中目标”; （5）A 3-A 2=“第三次击中但第二次未击中”; （6）A 32A =“第三次击中但第二次未击中”; （7）12A A =“前两次均未击中”; （8）12A A =“前两次均未击中”;（9）(A 1A 2)⋃(A 2A 3)⋃(A 3A 1)=“三次射击中至少有两次击中目标”.（本题答案由陈丽娜同学提供）４.解： (1)ABC(2)ABC(3) ABC (4) A B C(5) ABC (6) AB BC AC (7) A B C (8) (AB) (AC) (BC)（本题答案由丁汉同学提供）５.解： (1)A=BC(2)A =B C（本题答案由房晋同学提供）习题1-2（P 11）6.解：设A=“从中任取两只球为颜色不同的球”,则:112538P(A)=/15/28C C C =（本题答案由顾夏玲同学提供）7.解： (1)组成实验的样本点总数为340C ,组成事件(1)所包含的样本点数为 12337C C ,所以P 1=12337340C C C ⋅ ≈0.2022 (2)组成事件(2)所包含的样本点数为33C ,所以P 2=33340C C ≈0.0001(3)组成事件(3)所包含的样本点数为337C ，所以 P 3=337340C C ≈0.7864 (4)事件（4）的对立事件，即事件A=“三件全为正品”所包含的样本点数为337C ，所以P 4=1-P(A)=1-337340C C ≈0.2136(5)组成事件(5)所包含的样本点数为2133373C C C ⋅+，所以P 5=2133373340+C C C C ⋅ ≈0.01134 （本题答案由金向男同学提供）8.解：(1)组成实验的样本点总数为410A ,末位先考虑有五种选择，首位除去0，有8种选择。

概率论与数理统计习题 第一章 概率论的基本概念习题1-1 设C B A ,,为三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列各事件.（1）A 发生，B 与C 不发生， （2）A 与B 都发生，而C 不发生，（3）C B A ,,中至少有一个发生，（4）C B A ,,都发生，（5）C B A ,,都不发生， （6）C B A ,,中不多于一个发生， （7）C B A ,,中不多于两个发生， （8）C B A ,,中至少有两个发生，解（1）A 发生，B 与C 不发生表示为C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生表示为C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生表示为A+B+C （4）A ，B ，C 都发生，表示为ABC（5）A ，B ，C 都不发生，表示为C B A 或S － (A+B+C)或C B A ⋃⋃（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生，相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。

故 表示为：C A C B B A ++。

（7）A ，B ，C 中不多于二个发生相当于C B A ,,中至少有一个发生。

故表示为ABC C B A 或++（8）A ，B ，C 中至少有二个发生。

相当于AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。

故表示为AB +BC +AC习题1-2 设B A ,为两事件且6.0)(=A P ，7.0)(=B P ，问（1）在什么条件下)(AB P 取得最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下)(AB P 取得最小值，最小值是多少？解 由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）.从而由加法定理得P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B )(*)（1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6，（2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。

概率论与数理统计补充习题第一章 随机事件与概率一、思考题1、概率研究的对象是什么？2、随机现象是否就是没有规律的现象？随机现象的特点是什么？3、概率是刻画什么的指标？4、概率的公理化定义的意义是什么？5、第一章的主要内容是什么？二、填空题1、填出下列事件的关系（1）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中恰有一件是废品”为 .（2）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至少有一件是废品” 为 .（3）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至多有一件是废品” 为 .2、某人用步枪射击目标5次，i A =（第i 次击中目标 ），i B =（5次射击中击中目标i 次）（i =0，1，2，3，4，5），用文字叙述下列事件，并指出各对事件之间的关系.（1）、 51=i iA 为 . 51=i i B为 . 51=i i A 与 51=i i B 的关系为 .（2）、 52=i iA 为 . 52=i i B为 . 52=i i A 与 52=i i B 的关系为 .（3）、 21=i i A 与 53=i iA 的关系为 .（4）、 21=i iB 与 53=i i B 的关系为 .三、选择题1、下列各式中正确的有（ ）.（A ）、A ∪B =（A-AB ）∪B （B ）、若A ∪C=B ∪C 则A=B（C ）、若P （A ）≥P （B ）则A ⊃B2、若事件A 和B 互斥，且P （A ）≠0，P （B ）≠0，则（ ）.（A ）、A 和B 互斥（B ）、A 和B 不互斥 （C ）、P （A-B ）=P （A ）（D ）、P （A-B ）=P （A ）-P （B ） 3、若当事件A 和B 同时发生时，事件C 必发生，则（ ）.（A ）、P （C ）≤P （A ）+P （B ）-1（B ）、P （C ）≥P （A ）+P （B ）-1 （C ）、P （C ）=P （AB ） （D ）、P （C ）=P （A +B ）4、设0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A |B )=1-P (A |B )，则事件A 和B （ ）.（A ）、互斥 （B ）、对立 （C ）、独立 （D ）、不独立5、设0<P (B )<1，P [(A 1∪A 2)|B ]=P (A 1|B )+P (A 2|B )，则（ ）.（A ）、P [(A 1∪A 2)|B ]=P (A 1|B )+P (A 2|B ) （B ）、P (A 1B ∪A 2B )=P (A 1B )+P (A 2B )（C ）、P (A 1∪A 2)=P (A 1|B )+P (A 2|B ) （D ）、P (B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2)6、设事件A 和B 满足P （B |A ）=1，则（ ）.（A ）、A ⊃B （B ）、A ⊂B （C ）、P （B |A ）=0 （D ）、P （AB ）=P （A ）7、对于任意二事件A 和B ，则（ ）.（A ）、若Φ≠AB ，则A 、B 一定独立 （B ）、若Φ≠AB ，则A 、B 有可能独立（C ）、若Φ=AB ，则A 、B 一定独立 （D ）、若Φ=AB ，则A 、B 一定不独立8、将一枚硬币独立的掷两次，引进事件如下：=1A {第一次出现正面} =2A {第二次出现正面}=3A {正反各出现一次} =4A {正面出现两次} 则事件（ ）.（A ）、1A 、2A 、3A 相互独立 （B ）、 2A 、3A 、4A 相互独立（C ）、1A 、2A 、3A 两两独立 （D ）、 2A 、3A 、4A 两两独立四、计算题1、P (A )=0.5，P (B )=0.3（1）、若B ⊂A ，求P (A ∪B )、P (A |A ∪B )（2）、若A、B互斥，求P(A B)（3）、若A与B互相独立，求P(A-B)、P(A-B|B)2、设事件A和B相互独立，P(A)=0.5，P(A∪B)=0.8，计算：（1）、P(A B) （2）、P(A∪B).3、P(A)=0.4，P(A∪B)=0.8，求P(B|A).4、设10件产品中有4件是次品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是次品，求另一件是合格品的概率.5、甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.65，现已知目标被命中，求甲命中目标的概率.6、把4个球随机放入4个盒子中，求空盒子数分别为0，1，2，3的概率.7、甲、乙、丙分别有球为甲：3白2红、乙：全红、丙：红白各半，三人各随意拿出一球，然后甲从取出的球中随意取回一个，求甲的红球数增加的概率.8、在所有五位随机整数中（含以0开头的数字），任取一个整数，求下列事件的概率.（1）、恰有一个数字出现两次；（2）、最大的数字为6；（3）、五个数字恰好严格单增.9、从1，2，…，9这9个数字中，有放回地取三次，每次取一个，求下列事件的概率：（1）、A1：3个数字全不同；（2）、A2：3个数字没有偶数；（3）、A3：3个数字中最大数字为6；（4）、A4：3个数字形成一个单调（严格）数列；（5）、A5：3个数字之乘积能被10整除.10、每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收.假设由于检验有误，一件正品被误检为次品的概率为2%，而一件次品被误检为正品的概率为5%.求一箱产品通过验收的概率.11、一个枪室里有10支枪，其中6支经过校正，命中率可达0.8，另外4支尚未校正，命中率仅为0.5.（1）、从枪室里任取一支枪，独立射击三次.求三次均命中目标的概率；（2）、从枪室里任取一支枪，射击一次，然后放回，如此连续三次，结果三次均命中目标，求取出的三支枪中有二支是校正过的概率.12.、设有来自三个地区的各10名，15名和25名的报名表.其中女生的报名表分别为3份，7份和5份.随机的取一个地区的报名表，从中先后抽出两份, 抽到哪个地区的报名表的可能性相等.求：（1）、先抽到的一份是女生表的概率p .（2）、已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q .第一章补充习题答案一、思考1、答：随机现象的统计规律性.2、答：不然.随机现象具有不确定性，即试验之前不能确定哪一个事件发生.随机现象也具有确定性，即在相同条件下，随着试验的次数增多，事件A发生的频率越来越接近一个常数p，随机现象的这一性质，称为频率稳定性，也称统计规律性. 正是随机现象这一确定性，说明了一次试验时随机事件A发生的可能性大小——概率，是一定值.因此才有《概率论》.3、答：概率是测度随机事件发生的可能性大小的指标.4、答：其给出了一个指标是否有资格作为概率的评价标准.5、答：第一章首先给出了描述随机现象结果的术语：随机事件，介绍随机事件的关系与运算，使得复杂事件可以通过简单事件来描述，并为概率计算提供方便.给出了概率定义以及概率的基本关系式（性质、条件概率、乘法公式、全概与逆概公式），为概率计算打下基础.介绍了古典概型.其本身具有应用价值，也为掌握事件关系与练习概率计算搭了舞台.二、填空1、（1）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中恰有一件是废品”为 互斥 .（2）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至少有一件是废品” 为 对立 .（3）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至多有一件是废品” 为 后者包含前者 .2、（1）、51=i i A 为 至少击中一次 . 51=i i B 为至少击中一次 . 51=i i A 与 51=i i B 的关系为 相等 .（2）、 52=i iA 为 后四次中至少击中一次 . 52=i i B 为 至少击中两次 . 52=i i A 与 52=i i B的关系为 不相等 .（3）、21=i i A 与 53=i i A 的关系为 没有必然联系 . （4）、 21=i iB 与 53=i i B 的关系为 互斥 .三、选择题1、（A ）2、（C ）证明 ()()()()()P A B P A AB P A P AB P A -=-=-=反例：（B ） 即B =A A =B ，A 、B 互斥、A 与B 仍互斥.（A ） A 与B 非互斥（D ）P （B ）≠0，显然不成立.3、（B ）证明 AB C ⊂， P (AB )≤P (C )P (A+B )=P (A )+P (B )-P (AB )≤1; P (AB )≥P (A )+P (B )-1，所以P (C )≥P (A )+P (B )-1。

（完整版）概率论与数理统计课程第一章练习题及解答概率论与数理统计课程第一章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中对的打“√”错的打“×” ）1、若1()P A =，则A 与任一事件B 一定独立。

（√）2、概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。

（√）3、样本空间是随机现象的数学模型。

（√）4、试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。

（×）5、试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。

（×）6、实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。

（√）7、若S 为试验E 的样本空间，12,,,n B B B L 为E 的一组两两互不相容的事件，则称12,,,n B B B L 为样本空间S 的一个划分。

（×）8、若事件A 的发生对事件B 的发生的概率没有影响，即()()P B A P B =，称事件A 、B 独立。

（√） 9、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立，则其中任意(2)k k n ≤≤个事件也是相互独立的。

（√）10、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立，则将12,,,n B B B L 中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n 个事件仍相互独立。

（√）二、单选题1．设事件A 和B 相互独立，则()P A B =U （ C ）A 、()()P A PB + B 、()()P A P B +C 、1()()P A P B -D 、1()()P A P B -2、设事件A 与B 相互独立，且0()1,0()1P A P B <<<<，则正确的是（ A ）A 、A 与AB +一定不独立 B 、A 与A B -一定不独立C 、A 与B A -一定独立D 、A 与AB 一定独立3、设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则（ B ）A 、1()()()P C P A PB ≤+- B 、1()()()PC P A P B ≥+-C 、()()P C P AB =D 、()()P C P A B =U4、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电，以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（）A 、(1)0{}T t ≥B 、(2)0{}T t ≥C 、(3)0{}T t ≥D 、(4)0{}T t ≥分析事件(4)0{}T t ≥表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度0t ；事件(3)0{}T t ≥表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，即(3)0{}E T t =≥，选C 。

习题1-21. 选择题(1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ⊃,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生.(C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生.解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).(2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C =, 本题应选(D).2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}；(4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n +=}.3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生；(2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生;(6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABCABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A BC .4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)23A A ； (6)12A A .解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.习题1-31. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ).(A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+.(C)()()()P AB P A P B =. (D)()()()P A P AB P AB =+.解 由文氏图易知本题应选(D).(2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ).(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件.(C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C).○2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解 因 ()1()1()()()()P AB P AB P A P B P AB P AB =-=--+=, 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =-3. 已知()0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B =, 求()P AB .解 由公式()()()()P A B P A P B P AB =+-知()0.3P AB =. 于是()()()0.1.P AB P A P AB =-=4. 设A , B 为随机事件,()0.7P A =,()0.3P A B -=, 求()P AB . 解 由公式()()()P A B P A P AB -=-可知,()0.4P AB =. 于是()0.6P AB =.5. 设A , B 是两个事件, 且()0.6P A =, ()0.7P B =.问: (1) 在什么条件下()P AB 取到最大值, 最大值是多少？ (2) 在什么条件下()P AB 取到最小值, 最小值是多少？解 ()()()()P AB P A P B P A B =+-=1.3()P A B -.(1) 如果A B B =, 即当A B ⊂时, P B A P =)( ()B =0.7, 则()P AB 有最大值是0.6 .(2) 如果)(B A P =1，或者A B S =时, ()P AB 有最小值是0.3 .6. 已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =, 1()()12P AC P BC ==, 求A , B , C 全不发生的概率.解 因为ABC AB ⊂,所以0()P ABC P AB ≤≤（）=0, 即有()P ABC =0. 由概率一般加法公式得()()()()()()()()7.12P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+= 由对立事件的概率性质知A ,B , C 全不发生的概率是5()()1()12P ABC P A B C P AB C ==-=.习题1-41. 选择题在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( )．(A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品. (C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为113225C C C ⨯, 没有一等品的概率为023225C C C ⨯, 将两者加起即为0.7. 答案为（D ）.2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.解 (1) 恰有1件次品的概率是12545350C C C ;(2) 恰有2件次品的概率是21545350C C C ; (3 )至少有1件次品的概率是1-03545350C C C ; (4) 至多有1件次品的概率是03545350C C C +12545350C C C ; (5) 至少有2件次品的概率是21545350C C C +30545350C C C .3. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：(1) 两个球均为白球的概率；(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率； (3）至少有一个黑球的概率.解 从9个球中取出2个球的取法有29C 种，两个球都是白球的取法有24C 种，一黑一白的取法有1154C C 种，由古典概率的公式知道(1) 两球都是白球的概率是2924C C ;(2)两球中一黑一白的概率是115429C C C ;(3)至少有一个黑球的概率是12924C C -.4. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和小于65;(2) 两数之积小于14;(3) 以上两个条件同时满足;(4) 两数之差的绝对值小于12的概率.解 设X , Y 为所取的两个数, 则样本空间S = {(X , Y )|0<X , Y <1}.,(1) P {X +Y <65}=1441172550.68125-⨯⨯=≈;(2) P {XY <14}=11411111ln 40.64444dx x⨯+=+≈⎰;(3) P {X +Y <65, XY <14} =0.2680.932110.2680.932516161()()5545x dx dx x dx x ⨯+-++-⎰⎰⎰≈0.593. (4) 解 设x , y 为所取的两个数, 则样本空间Ω = {(x , y )|0<x , y <1}, 记A = {(x , y )|(x , y )∈S , |x -y |<12}. 参见图1-1.图1-1 第2题样本空间故 111123222()14AS P A S Ω-⨯⨯⨯===, 其中 S A , S Ω分别表示A 与Ω的面积.习题1-51. 选择题(1) 设随机事件A , B 满足P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( )(A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件. (C) AB B =. (D)()()P AB P B =.解 由条件概率定义可知选(D).(2) 设A , B 为两个随机事件, 且0()1P A <<, 则下列命题正确的是( ).(A) 若()()P AB P A =, 则A , B 互斥.(B) 若()1P BA =, 则()0P AB =.(C) 若()()1P AB P AB +=, 则A , B 为对立事件. (D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件.解 由条件概率的定义知选（B ）．2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取一个数, 记为Y ,求P {Y =2}. 解 解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4}=41×(0+21+31+41)=4813. 3. 口袋中有b 个黑球、r 个红球, 从中任取一个, 放回后再放入同颜色的球a 个. 设B i ={第i 次取到黑球}, 求1234()P B B B B .解 用乘法公式得到)|()|()|()()(32142131214321B B B B P B B B P B B P B P B B B B P =.32ar b ar a r b r a r b a b r b b +++⋅++⋅+++⋅+=注意, a = 1和a = 0分别对应有放回和无放回抽样.4. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但它显然不能看作三人射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A 表示“飞机在一次三人射击中被击落”, 则(0,1,2,3)i B i =表示“恰有i 发击中目标”.i B 为互斥的完备事件组. 于是没有击中目标概率为0()0.60.50.30.09P B =⨯⨯=, 恰有一发击中目标概率为1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,恰有两发击中目标概率为2()0.40.50.30.60.50.70.40.50.70.41P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,恰有三发击中目标概率为3()0.40.50.70.14P B =⨯⨯=.又已知 0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P A B P A B P A B P A B ====, 所以由全概率公式得到 3()()(|)0.360.20.410.60.1410.458.iii P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑5. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球.(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率.解 (1)以A 表示“取得球是白球”，i H 表示“取得球来至第i 个箱子”,i =1,2,3. 则P (i H )=13, i =1,2,3, 123115(|),(|),(|)528P A H P A H P A H ===. 由全概率公式知P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=12053. (2) 由贝叶斯公式知 P (2|H A )=222()()(|)20()()53P AH P H P A H P A P A ==6. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%,22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查.(1) 求这件产品是次品的概率;(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？解 设A 表示“取到的是一件次品”, i B (i =1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”. 易知,123,,B B B 是样本空间S 的一个划分, 且122()0.4,()0.38,()0.22P B P B P B ===，12(|)0.04,(|)0.03P A B P A B ==,3(|)0.05P A B =.(1) 由全概率公式可得112233()(|)()(|)()(|)()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++0.40.040.380.030.220.050.0384.=⨯+⨯+⨯=.(2) 由贝叶斯公式可得111(|)()0.40.045(|)()0.038412P A B P B P B A P A ⨯===,222(|)()0.380.0319(|)()0.038464P A B P B P B A P A ⨯===,333(|)()0.220.0555(|)()0.0384192P A B P B P B A P A ⨯===.习题1-61. 选择题(1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成立的是( ).(A) A , B 相互独立. (B) A , B 不相互独立.(C) A , B 互为对立事件. (D) A , B 不互为对立事件. 解 用反证法, 本题应选(B).(2) 设事件A 与B 独立, 则下面的说法中错误的是( ).(A) A 与B 独立. (B) A 与B 独立.(C)()()()P AB P A P B =. (D) A 与B 一定互斥.解 因事件A 与B 独立, 故AB 与,A 与B 及A 与B 也相互独立. 因此本题应选(D). (3) 设事件A 与 B 相互独立, 且0<P (B )<1, 则下列说法错误的是( ).(A)(|)()P A B P A =. (B) ()()()P AB P A P B =.(C) A 与B 一定互斥. (D)()()()()()P A B P A P B P A P B =+-.解 因事件A 与B 独立, 故AB 与也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).2．设A , B 是任意两个事件, 其中A 的概率不等于0和1, 证明P (B |A )=)(A B P 是事件A 与B 独立的充分必要条件.证 由于A 的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在.充分性. 因事件A 与B 独立, 知事件A 与B 也独立, 因此()(),()()P B A P B P B A P B ==,从而()()P B A P B A =.必要性. 已知()()P BA PB A =, 由条件概率公式和对立事件概率公式得到()()()()()1()()P AB P AB P B P AB P A P A P A -==-,移项得[]()1()()()()(),P AB P A P A P B P A P AB -=-化简得 P (AB )=P (A )P (B ), 因此A 和B 独立.3. 设三事件A , B 和C 两两独立, 满足条件：,ABC =∅1()()()2P A P B P C ==<, 且9()16P A B C =,求()P A .解 根据一般加法公式有()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+.由题设可知 A , B 和C 两两相互独立,,ABC =∅ 1()()()2P A P B P C ==<, 因此有2()()()[()],()()0,P AB P AC P BC P A P ABC P ====∅=从而29()3()3[()]16P AB C P A P A =-=,于是3()4P A =或1()4P A =, 再根据题设1()2P A <, 故1()4P A =.4． 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为p (0<p <1), 求此人第4次射击时恰好第2次命中目标的概率.解 “第4次射击恰好第2次命中” 表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有一次命中目标. 由独立重复性知所求概率为1223(1)C p p -.5. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为0.8. 求：(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率；(2) 恰有一人命中目标的概率； (3) 目标被命中的概率.解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是(1) ()()()0.70.80.56;P AB P A P B ==⨯=(2) ()()0.70.20.30.80.38;P AB P AB +=⨯+⨯= (3)()()()()()0.70.80.560.94.P A B P A P B P A P B =+-=+-=总 习 题 一1. 选择题：设,,A B C 是三个相互独立的随机事件, 且0()1P C <<, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ).(A)A B 与C . (B)AC 与C .(C) A B -与C . (D) AB 与C .解 由于A , B , C 是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正确..2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率.解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为9551910099396⨯=⨯.(1) 抽得一件为正品，一件为次品的概率为95559519.10099198⨯+⨯=⨯3. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有21的产品是第一家工厂生产的, 其它二厂各生产41. 又知第一、第二家工厂生产的产品中有2%是次品, 第三家工厂生产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取一件 产品, 求取到的是次品的概率.解 从此箱中任取一件产品, 必然是这三个厂中某一家工厂的产品. 设A ={取到的产品是次品},B i ={取到的产品属于第i 家工厂生产}, i =1, 2, 3. 由于B i B j =∅(i ≠j, i , j =1, 2, 3)且B 1∪B 2∪B 3=S , 所以B 1, B 2, B 3是S 的一个划分. 又 P (B 1)=21, P (B 2) =41, P (B 3)=41, P (A | B 1)=1002, P (A | B 2)=1002, P (A | B 3)=1004,由全概率公式得P (A )=P (B 1)P (A |B 1)+P (B 2)P (A |B 2)+P (B 3)P (A | B 3)=100441100241100221⨯+⨯+⨯=0.025. 4. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功, 则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某日调整后试生产, 发现第一个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？解 设A ={设备调整成功}, B ={产品合格}. 则全概率公式得到()()(|)()(|)0.750.90.250.30.75P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=.由贝叶斯公式可得()0.750.9(|)0.9()0.75()(|)()P AB P A B P B P A P B A P B ⨯====.5. 将两份信息分别编码为A 和B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少？解 以D 表示事件“将信息A 传递出去”，以D 表示事件“将信息B 传递出去”，以R 表示事件“接收到信息A ”,以R 表示事件“接收到信息B ”.已知21()0.02,()0.01,(),()33P R D P R D P D P D ====.由贝叶斯公式知()()()196()()197()()()()P R D P D P DR P D R P R P R D P D P R D P D ===+.。

概率论与数理统计第1章习题详解一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ??； (4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C BA ??； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ??；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ??； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ； (8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ?? ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

第一章概率论的基本概念1.写出下列随机试验的样本空间.⑴纪录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分).解S={%=OJ…,100% 其中〃为小班人数.n⑵同时掷三颗骰子，纪录三颗骰子点数之和;解:S={3,4,…，18}.⑶生产产品直到得到10件正品为止，纪录生产产品的总件数;解：S={10, 11, 12,…(4)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品，停止检查, 纪录检查的结果.解:S={00, 100,0100,0101, 1010,0110, 11009011151011, 1101, 111091111)9 其中。

表示次品，1表示正品.(5)在单位圆内任意取一点，纪录它的坐标；解:S={(x, y)∣x2+y2<l}.(6)将一尺之梗成三段，观看各段的长度.解：S={(x, y, z)k>09γ>09z>0, x+y+z=l},其中.χ z 分别表示第一、二、三段的长度.2.设A, B,C为三大事,用A,昆。

的运算关系表示下列各大事.(1)A发生,3与。

不发生；解表示为：ABC 或A—(A3+A。

或A—(3uC)∙(2)A,3都发生，pre不发生；解表示为:48。

或A5-A3C或48-C(3)4 B, C中至少有一个发生；解：表示为：A+3+C(4)A,民。

都发生；解：表示为:ABC(5)A,B,C都不发生；解：表示为：ABC^i S- (A+B+C)^A U B U C(6)4民C中不多于一个发生；解：即人民。

中至少有两个同时不发生相当于了反BC,入。

中至少有一个发生.故表示为：AB+BC+AC.(7)A, B, C中不多于三个发生；解：相当于：A瓦。

中至少有一个发生.故表示为：4+豆+。

或砺.(8)A, B, C中至少有二个发生.解:相当于:A民BC, AC中至少有一个发生.故表示为：AB+BC+AC.3.设4 3是两大事且P(A)=0∙6, P(3)=0.7.问：(1)在什么条件下尸(AB)取得最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下尸(A5) 取得最小值，最小值是多少？解:⑴由于P(A3)=P(A)+P⑹-P(Au8),且P(A)<P(3)≤尸(Auδ),所以当AuB时,P(Au3)=P(B), P(A3)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6.⑵当A^J B=S时,P(A3)取到最小值，最小值为P(AB)=0.6+0.7-l=0.3.4.设A,民。