关于格矩阵行列式的若干计算问题研究

-!行列式的若干计算技巧与方法内容摘要1. 行列式的性质2.行列式计算的几种常见技巧和方法2.1 定义法2.2 利用行列式的性质2.3 降阶法2.4 升阶法（加边法）2.5 数学归纳法2.6 递推法3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法3.1 拆行（列）法3.2 构造法3.3 特征值法4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.2 “爪”字型行列式4.3 “么”字型行列式4.4 “两线”型行列式4.5 “三对角”型行列式4.6 范德蒙德行列式5. 行列式的计算方法的综合运用5.1 降阶法和递推法5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式5.3 构造法和套用范德蒙德行列式1.2 行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变．即nna a a a a a a a a a a a a a a a a an2n1n22212n12111nnn2n12n 22211n 1211. 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即nnn2n1in i2i1n11211k k k a a a a a a a a ak nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211.性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即11121111211112111221212121212.n n nn n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M KK K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n21212111211nnn n in i i ini i na a a a a a a a a a a a21212111211=0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即nn n n kn k k kn in k i k i n a a a a a a ca a ca a ca a a a a2121221111211nnn n kn k k ini i na a a a a a a a a a a a21212111211. 性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号.即nn n n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a21212111211=-nnn n in i i kn k k na a a a a a a a a a a a21212111211.性质7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即00000nn1-n n,n2n1n 11-n ,11211 a a a a a a a a.2、行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244 ！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41 j ，那么011 j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41 j 的项，同理只须考虑1,2,3432 j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而64321 ，所以此项取正号．故004003002001000=241413223144321 a a a a .2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nna a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000 ，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a2211321333231222111000000 . 例2 计算行列式nn nn b a a a a a b a a a a21211211n 111D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的 1 倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的 1 倍分别加到第2,3…（1n ）行上去，可得121n 11210000D 000n n na a ab b b b bKK M M M O M K.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n nn n212121. 解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i212121n Dmx x x m x x x m x n n n n i i2221111mm x x m x n n i i0000121m x m n i i n 11. 2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式 2122123123122121321D n n n n n n n n n nn. 解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D nn n 1111120022200021321n n111100011000011132122n n n21211 n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n n a a a a a a a. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321n na a a a nn n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111 .2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解． 2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a x x x x n n n.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D 12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了 1-n k 1k 个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nn B A B C A • 0， nn nn nnnn nn B A B C A • 0.例7 解行列式b bb aaa a n D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得00000D n b aa aa00000021n b aa aa n•00021n ba n21n 2 n ab n .2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110. 解：使行列式D 变成1 n 阶行列式，即111010110110101110011111D. 再将第一行的 1 倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111. 从第二列开始，每列乘以 1 加到第一列，得：10010000010000011111)1n D（1n 11n .2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式cos 211cos 200000cos 210001cos 210001cosn D . 解:用数学归纳法证明. 当1 n 时， cos 1 D . 当2 n 时，2cos 1cos 2cos 211cos 22D .猜想， n D n cos .由上可知，当1 n ，2 n 时，结论成立．假设当k n 时，结论成立．即： k D k cos .现证当1 k n 时，结论也成立．当1 k n 时，cos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1k D .将1 k D 按最后一行展开，得cos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k• k k10cos 21001cos 21001cos 11kk1cos 2 k k D D .因为k D k cos ， sin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k ，所以1 k D 1cos2 k k D Dsin sin cos cos cos cos 2k k k sin sin cos cos k k 1cos k .这就证明了当1 k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即： n D n cos . 2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021 n n n cD bD aD .则作特征方程02 c bx ax .① 若0 ，则特征方程有两个不等根，则1211 n n n Bx Ax D ． ② 若0 ，则特征方程有重根21x x ，则 11 n n x nB A D ．在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1 n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n.解：按第一列展开，得21209 n n n D D D .即020921 n n n D D D ．作特征方程02092 x x .解得5,421 x x .则1154 • • n n n B A D .当1 n 时，B A 9； 当2 n 时，B A 5461 . 解得25,16 B A ，所以1145 n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法 3.1 拆行（列）法 3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a110010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nnn nn n a a a a a a a a a a a a a a a上面第一个行列式的值为1，所以nnn n a a a a a a a 1101000010011D 13321111 n D a .这个式子在对于任何 2 n n 都成立，因此有111 n n D a Dn n n a a a a a a D a a 2112112211111ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1 n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1 n 阶的范德蒙德行列式，得nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111. 将 x f 按第1 n 列展开，得n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1 ，其中，1n x的系数为n n n n n n D D A 11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1n x的系数为ni j j in x xx x x 121 .故有ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法 3.3.1 概念及计算方法设n ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A 21 .故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式． 3.3.2 例题解析例13 若n ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．证明：因为n A21 ，则A 可逆 n i i n 2,1000A 21 .即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法 4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000 ,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a2211321333231222111000000 . 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，n nnc a c a c a a b b b2211012，nnn b b b a a c a c a c2101122，121122a b b b c a c a c a nn n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i 列元素乘以ia 1后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221ni i n aa a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式 4.3.1 概念形如nnn b b b a a c a c a c211122，n nn a b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b2211012，0111222a c b a c b a c b a nn n，1021122c a c a b a b c a b nn n，nnna c a c a cb b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nn n，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1 n a 消去1 n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1 n 阶行列式nn n b b b D 1111111111.解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111• ni i nn n b 121111ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式 4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nnn n a b b b a b a00000000D 12211 . 解：按第一列展开，得122111221100010000 n n n nn n b b a b b a b b a a Dn n n b b b a a a 211211 .4.5 “三对角”型行列式 4.5.1 概念形如ba ab b a ab b a abb a ab b a 10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式． 4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab b a ab b a abb a ab b a n100000000000100000100000D. 解：按第一列展开，得ba ab b a b a ab b a abb a ab D b a n n10000010000100000D 121 n n abD D b a . 变形，得211D n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ， 从而利用上述递推公式得211D n n n n aD D b aD n n n n b aD D b aD D b 122322 .故nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D 12211121 n n n n b ab b a a 11 .4.6 Vandermonde 行列式 4.6.1 概念形如113121122322213211111 n nn n n n n a a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式． 4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得 11113121122322213211111i j j i n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1 n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1 n 阶的范德蒙德行列式，得nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111. 将 x f 按第1 n 列展开，得n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1 ，其中，1n x的系数为n n n n n n D D A 11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1n x的系数为ni j j in x xx x x 121 ,故有ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用． 5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012Dn . 分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1n阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D n n n D D . 即211D n n n n D D D .∴12312211 D D D D D D n n n n . ∴111111 n n n n D D D121 n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D解：从第一行开始，依次用上一行的 1 倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111D .再由范德蒙德行列式，得4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D .5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1 n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1 n 阶的范德蒙德行列式，得nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111. 将 x f 按第1 n 列展开，得n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1 ，其中，1n x的系数为n n n n n n D D A 11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1n x的系数为ni j j in x xx x x 121 .故有：ni j j in n x xx x x D 121 .。

关于行列式计算方法的探讨
行列式计算是数学中的一个重要而又复杂的定义，以下就行列式计
算的方法做一次探讨。

1. 首先，什么是行列式？
行列式是由多个矩阵相乘后得出的一个值，其中每个矩阵的尺寸必须
相同。

它可以用来表示数学方程中各个变量之间的关系，以及在矩阵
几何中计算面积或体积等。

2. 如何计算行列式？
计算行列式的具体过程，主要包括分解法、内角法和三角形法。

其中，分解法是将复杂的行列式展开、化简成简单的行列式才能计算。

分解
法又可分为拉格朗日分解法和主元分解法，二者的思想基本相同，具
体操作上有较大的区别。

内角法是将复杂的行列式用三角函数及其变
换角度后分解成简单行列式，从而转化为非常熟悉的三角形，最终将
复杂的行列式分解成一系列简单次数累加的行列式来计算。

3. 行列式计算的优势
由于行列式的应用广泛，计算效率高，可以极大的节省计算时间，这
是不可否认的。

此外，行列式计算法还有三个可取之处：首先，行列
式可以用来建模各种实际问题，由此确定解析解及其解析步骤，帮助
用户进行具体的解答；其次，该计算法有着更高的效率，即使是更复
杂的行列式也能获得高效的解法；最后，它能够使用更少的计算步骤
以及资源，从而更快得到更准确的结果。

综上，行列式计算是一项极其重要的数学知识，理解它的计算方法，不仅有助于更好的掌握数学原理，同时也可以节省大量的计算时间和资源。

行列式不同计算方法的比较研究行列式是线性代数中的重要概念，它可以用来描述矩阵的性质、求解方程组以及计算变换的效果。

在数学的学习和实际应用中，行列式的计算是一个非常常见的问题。

不同的行列式计算方法有着各自的特点和适用范围，本文将从代数余子式展开、三角形行列式和拉普拉斯展开等几种常见的行列式计算方法进行比较研究，以帮助读者更好地理解行列式计算方法的差异和适用情况。

一、代数余子式展开代数余子式展开是计算行列式的一种常见方法，它利用代数余子式和行列式的性质来逐步简化行列式的计算过程。

对于一个n阶行列式而言，代数余子式展开的公式可以表示为：|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} + \cdots + a_{1n}A_{1n}a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素，A_ij表示相应元素的代数余子式，它的计算公式为：A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}M_ij表示去掉第i行第j列的剩余元素构成的(n-1)阶矩阵的行列式。

由此可见，代数余子式展开的计算过程是逐步将行列式转化为更小阶的行列式，并利用其性质简化计算。

代数余子式展开的优点在于其计算过程相对直观，容易理解和掌握。

但当行列式的阶数较大时，代数余子式展开的计算过程会相当复杂，需要大量的计算步骤和耐心。

代数余子式展开不适用于特殊的行列式，比如对称矩阵、三对角矩阵等形式特殊的矩阵，此时需要采用其他更适合的方法来计算行列式。

二、三角形行列式三角形行列式是一种通过行变换将矩阵转化为上（下）三角形矩阵后直接计算行列式的方法。

对于一个n阶行列式而言，通过一系列的行变换，可以将矩阵A转化为一个上三角形矩阵U，此时行列式的计算变得十分简单，可以直接通过对角元素的乘积来得到行列式的值。

三、拉普拉斯展开在计算行列式的值时，拉普拉斯展开需要将行列式展开为一系列的子行列式，并根据它们的性质逐步简化计算过程。

这种方法的优点在于能够通过行列式的性质来简化计算，特别是对于特殊形式的矩阵，比如对称矩阵、三对角矩阵等，拉普拉斯展开可以通过行列式的性质来减少计算步骤和简化计算过程。

中南民族大学毕业论文(设计)学院: 数学与统计学学院专业: 统计学年级:2008 题目: 行列式计算的若干方法学生姓名: 曹金金学号:08067005指导教师姓名: 汪宝彬职称:讲师2012年4月30日中南民族大学本科毕业论文（设计）原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担.作者签名：年月日目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)1 引言 (2)2.1排列 (2)2.2行列式的定义 (2)2.2.1 二阶、三阶行列式 (2)2.2.2 n阶行列式的定义 (3)2.2.3 几种特殊的行列式的定义 (3)2.3 行列式的基本性质 (5)3几种常见的行列式的计算方法 (6)3.1利用行列式定义直接计算 (6)3.2 利用行列式的性质计算 (6)3.3 三角化法 (7)3.4 降阶法 (8)3.5利用范德蒙德行列式求解 (10)3.6 数学归纳法 (11)3.7 拆项法 (12)3.8析因子法 (13)3.9 加边法(升阶法) (13)3.10递推公式法 (14)3.11超范德蒙行列式法 (15)3.12利用分块计算行列式 (16)4 结论 (16)致谢 (17)参考文献 (17)行列式计算的若干方法摘要：在线性代数中,行列式的求解是非常重要的. 本文首先介绍行列式的定义与性质；然后通过实例给出了计算行列式的几种方法.从文中可以看出，选择合适的计算方法可有效的计算行列式.关键词：行列式；性质；计算方法Some Methods of Determinant CalculationAbstract: Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paperwe first introduce the definition and properties of determinant. Then several methods of the calculation are given by some examples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant.Key words: determinant; property; the calculation methods1 引言行列式最早出现在十六世纪关于线性方程组的求解问题，时至今日行列式的应用却远不如此，它在消元法，矩阵论，坐标变换，多重积分中的变量替换，解行星运动的微分方程组，二次型有广泛应用，其中行列式的计算是个重要问题.利用行列式的性质与计算方法的技巧较易地解决初等数学中的一些较繁与较难解决的问题, 如运用行列式分解因式, 证明等式与不等式, 以及在几何方面的应用, 从而体现用高等数学理论与方法解决初等数学问题的优越性.线性代数在各门学科中占据着重要地位，在大多数的理工科专业都开设这个课程，是所有理工科的基础学科，而行列式在线性代数里是最为基础且最重要的一章.行列式是研究线性代数的有力手段和重要工具，主要应用在线性方程组、二次型、矩阵的计算求解中，例如求解线性方程组、求矩阵的秩、判断向量线性相关、求矩阵的特征值等.许多实际和理论问题归结为行列式计算.因此，行列式尤为重要，跟其他理工学科相辅相成，然而行列式的计算往往是极为复杂的，求解行列式的算法要比解线性方程组的算法要少得多，所以在实际运用中，我们要掌握各种计算行列式的方法，寻求最优算法来计算行列式，从而解决各种实际问题.行列式计算的基本思想：对于某些特殊的行列式可以直接利用行列式的定义计算.对于一般的行列式，我们主要有下面两种计算思想：①利用行列式的性质进行行列式的初等变换,将其划为上(或下)三角形行列式,进而得到结果.②利用行列式按行(列)展开定理进行降阶和递推.在典型的计算过程中一般两种方法同时应用,先利用性质化出尽可能多的零元素,然后再利用行(列)展开定理降阶,化为低阶行列式进行计算.本文将介绍行列式的定义以及性质，通过介绍行列式计算的基本方法——利用行列式定义直接计算、利用行列式的性质计算、三角形化法、降阶法、利用特殊行列式、数学归纳法、拆项法、析因子法、加边法、递推法、超范德蒙行列式法等.再应用实例计算行列式，理论和应用相结合，较全面的介绍行列式的几种计算方法.2 行列式的定义及性质[1][8]2.1排列定义 1 由n 个不同自然数n ,,2,1 组成的一个有序数组称作为n 级排列，n 级排列的总数为(1)(2)21!n n n n ⋅-⋅-⋅⋅=定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它们就为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列. 2.2行列式的定义 2.2.1 二阶、三阶行列式行列式是代数式的简要记号，如下：1112112212212122a a a a a a a a =- （2-1）111213212223112233122331132132313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++322311332112312213a a a a a a a a a --- （2-2）分别是二阶、三阶行列式，两式的左端表示行列式的记号，右端是行列式的全面展开式.行列式的元素有两个下标，分别称为行标和列标.如32a 表示该元素位于第3行、第2列.从上面的二级行列式和三级行列式的定义中可以看出，行列式的结果都是由一些乘积的代数和，而且每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列中的元素组成，并且所有的展开式恰好是由所有这种可能的乘积组成.每一项乘积所带的符号是由排列的逆序数奇偶性原则决定的（当排列的逆序数为偶排列时，在三级行列式的展开式定义中，该项带有正号，当排列的逆序数为奇排列时，在三级行列式的展开式定义中，该项带有正号）.2.2.2 n 阶行列式的定义 12121112121222()12!12(1)n nn n p p p p p np n n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑ （2-3）其中∑!n 表示对所有n 阶排列np p p 21 的种数进行相加，共有!n p n =项2.2.3 几种特殊的行列式的定义在行列式计算中，往往会将行列式转换成具有特殊形式的行列式，再进行计算，因此熟悉和掌握这些特殊行列式及其计算公式对提高计算行列式的技巧和效率是非常重要的.（1）上(下)三角行列式等于它主对角线元素的乘积.nn nnnn a a a a a a a a a221122211211= ；nn nn n n a a a a a a a a a 121121222111=. （2-4）（2）对角行列式等于它的主对角线元素的乘积，nn nna a a a a a22112211=. （2-5）（3）副对角线下(上)边的元素全为0的行列式()()11,212112221112111n n n n n n n a a a a a a a a a---=； （2-6）()()1122,1212,11121.nn n n n n n n n n nna a a a a a a a a ---=- （2-7）（4）n 阶范德蒙德行列式()2≥n()∏≤<≤-----=ni j j i n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a 1113121122322213211111（2-8） 称为范德蒙德（Vandermonde ）行列式，其中∏表示连乘.范德蒙德行列式的特点：① 第一行全为1； 第二行的各个数各不相同； 后一行与前一行对应列的比值等于第二行对应列的元素; ② 范德蒙德行列式为零的充要条件是12,,n a a a 这n 个数中至少有两个相同.（5）箭形行列式设n j a jj ,,3,2,0 =≠，则n n n j jj j j nnnn a a a a a a a a a a a a a a a a a 3322211111331322121131211000000⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=. （2-9） 若存在某个或某些对角元()20≥=k a kk 可对k 行进行降阶处理，箭形行列式有以下几个形式：这几个形式的都可类似方法化为三角行列式进行计算.（6）分块上(下)三角行列式等于它的主对角线上各方阵的行列式的乘积分块上三角行列式，又称为上块(准)三角行列式：kk kkkk A A A A A A A A A221122211211=. （2-10）其中对角块ii A det 为i n 阶行列式，且n nki i=∑=1，n 为行列式的阶，特别地，当2=k ，11=n ，12-=n n 时成立：nnn nnnn nna a a a a a a a a a a a222211222211211=分块下三角行列式，又称为下块(准)三角行列式：kk kkk k A A A A A A A A A 221121221211=. （2-11）（7）分块对角方阵的行列式等于主对角线上各方阵的行列式的乘积kk kkA A A A A A22112211=. （2-12）2.3 行列式的基本性质性质1 行列式的行与列对应互换得到的新行列式，记作,T T D D D = （2-13） 性质2 任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号.性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式. 推论 两行（或两列）元素对应相同或者有一行（或列）全为零的行列式，其值为零. 性质4 行列式中若有两行（或两列）对应元素成比例，其值为零 性质5 行变换s t λγγ+与列变换s t c c λ+行列式的值不变.性质6下列行列式成立111211112111121'''''''''11222'''''''''12212121212nn n s s s s s sn s s s s s snn n nn n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a aaaaaaa a a a a a a a a +++=+ （2-14）3几种常见的行列式的计算方法3.1利用行列式定义直接计算 例1计算行列式00100210000n D n n=-解: n D 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=. （3-1）该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=- （3-2）3.2 利用行列式的性质计算例2一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= （3-3）则称n D 为反对称行列式，证明奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式n D 可表示为121311223213233123000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '= （3-4）12131121311223212232132331323312312300000(1)0(1)0n n n nn n n n n n nnnnnna a a a a a a a a a a a D a a a a a a D a a a a a a ------=-=---=---- 当n 为奇数时，得n nD D =-，因而得0n D = 3.3 三角化法[2]运用行列式的性质把行列式变换成位于主对角线一侧的所有元素全等于零，这样得到的行列式等于主对角线上元素的乘积，对于次对角线上的情形，行列式的值等于()()121n n --与次对角线上所有元素的乘积.例3计算行列式xa a a a xaa D aa ax=解：把每行均加至第一行, 提出公因式(1)x n a +-,再把第一行的-a 倍分别加到第二行至第n 行,得111111111[(1)][(1)][(1)]()n ax a ax aD x n a aa x a x n a xn a x a x ax aaaa x --=+-=+-=+----例4计算n 阶行列式1232341112121n n D n n n n n =---解：利用性质7对行列式做变换，依次将第i 行乘()1-加到第1+i 行()1,,2,1 --=n n i ，再将第n ,,3,2 列全加到第1列.得()112323211110111111101111111111n n n n n nn D n nn n +--==---- 按()2111+=n n a 展开，得()11111112111n n n n D n n-+=--再将1-n 阶行列式的第1行乘()1-加到其余各行后，将第2,,2,1-n 列全加到第1-n 列，得()11111112nn nn nn n D nnn----+==--，根据副对角线下三角为零的行列式，得()()()()()()()()()12122221111122n n n n n n n n n n n D n n -----++=---=-⨯3.4 降阶法[2][3]就是把一个阶行列式化简为个阶行列式，然后以此类推，直到把阶行列式化为若干个2阶行列式来计算.特别需要注意的是，按行或列展开时一定要使某一行或某一列含有充分多的零元素，这样才能有效减少运算量. （1）一般降阶法n 阶行列式D 等于它的任一行（列）各元素与其对应代数余子式乘积的和，即1,1,2,,nij ij j D a A i n ===∑或1,1,2,,nij ij i D a A j n ===∑. （3-5）行列式按一行（列）展开能将高阶行列式转化为若干低阶行列式计算，称为降级法.这是一种计算数字行列式的常用方法.值得注意的是，在使用时应先利用行列式的性质，将某行（列）元素尽可能多的变成零，然后再展开，计算才能更方便，对一些特殊构造的行列式可利用拉普拉斯定理降阶计算.此法中由于n 级行列式D 的第i 行构成的k 级子式kn C 个，所以对一般行列式能降阶却不能减少计算量.例5 计算n 阶行列式0000000n x y x y D x y y x=分析：该行列式的元素分布规律来看，可以用直接递推降阶法，找出1n D -，再依次递推出其他项，最终可求出n D .解：根据行列式展开定理，将n D 按第一行展开，则000000000000000000000000n n x y y y x x x D xy x y x y x y x y xyxyx=-=-将后面的行列式按第一列展开，则()()100000110000nn n n n n y xy D x yy x y y xy+=--⨯=+-（2）递推降阶法设n 阶行列式ijn nD a ⨯=，欲求其值，由于交换行列式的两行（列），行列式只改变符号，故110a ≠，现在令11A a =，()12131n B a a a =，21311n a a M a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2223232n n n nn a a aa N a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦递推降阶法可分为直接递推和间接递推.直接递推关键是找出一个关于1n D -的代数式来表示n D ，依次从123n D D D D →→→→逐级递推便可以求出n D 的值.间接递推即借助于行列式中元素的对称性，交换行列式构造出关于n D 和1n D -的方程组，从而消去1n D -就可以解得n D .例6 计算n 阶行列式0000000n a xa a a a yx D y x yx+-=-- 解：将n D 按第n 列展开可得()11111nn n n n yx yxD x D a x D ay x y+-----=+-=+-， 整理得，12111221;;.n n n n n n D x D ay D x D ay D x D ay -----=+=+=+将这1-n 个式子两边分别同乘以22,,,,1-n x x x 后，再相加得11221n n n n n D x D ayay x ayx----=++++而1D a x =+则()1221n n n n n n D x a x x y xy y ----=+++++这道例题也可以直接用一般的降阶法直接展开，一般降阶法和递推降阶法之间是没有很明确的界定，往往在计算行列式中，是两种方法融汇结合的.如果一个行列式的元素分布上比较有规律，则可以设法找出n 阶行列式n D 与低级行列式的关系依次类推，将行列式按行(列)展开，达到降阶的目的，最后将低阶行列式计算即可.3.5利用范德蒙德行列式求解[4][12]例7计算行列式1222211221212121122111111n n nn n n n n n n nx x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=++++++解：把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式 1222212111112111()n n i j j i nn n n nx x x D x x x x x x x x ≤≤≤---==-∏例8 计算n+1 阶行列式 122111111111122122222222122111111111nn n n nn n n n n n n n n nn n n n n n n n a a b a b a b b a a b a b a b b D a a b a b a b b ---------++++++++=解：从第i 行提取公因子ni a (i=1,2,…,n+1)就可以得到转置n+1 阶范德蒙行列式2111112111112122222122221211111211111111n n n n n n nn n n ii n n n n n n n n n n n n b b b b a a a a b b b b D aa a a ab b b b a a a a ----=-++++-++++=∏求解得111=()nj ni i i j i n jib b D a a a =≤≤≤+-∏∏3.6 数学归纳法[1][4]一般是采用不完全归纳法，先分析猜想出行列式值的规律，得到一般性结论，然后再利用数学归纳法证明结论的正确性.行列式nD 的特点是主对角线上元素含有三角函数,并且几近相同，沿主对角线两侧的元素全是1.例9计算0001001n D αβαβαβαβαβ++=+分析：221D αβαβαβ-=+=-，33222D αβααββαβ-=++=-，，所以猜想11n n n D αβαβ++-=-所以考虑用数学归纳法证明原行列式的值等于猜想值.证明：当1n =时命题成立. 假设1n k ≤-时命题成立. 当n k =时，将k D 按第一列展开()()2000010010000000101k K D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ-++++=+-++++级()()111112k k k k k k k k D D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ--++-----=+-=+⋅-⋅=--- 当n k =时命题成立，对n N ∀∈有：11n n n D αβαβ++-=-，证明猜想值成立.3.7 拆项法[2][5]就是利用行列式的性质，将行列式拆成若干个较容易计算的行列式，再分别计算.例10行列式n xm m m m mx m m mD mmxmm m m m m x-=------的特点是主对角线的元素全部是x ，上三角与下三角的元素分别是m 和m -,二者互为相反数.此类行列式常用拆分法来计算.11100011()11n n x m m m m x m m m m mm m m mxm m m D m mm m m mxm m x mm m m mmx m m m mxm m x m D m m mxm m m mm---=--+--------=-+------1112220020()00201()()n n n x m m m mx m m m x m D m x mm mmmmx m D m x m ---++=-++----=-++1[()()]2n n n D x m x m =++- （3-6）根据行列式的性质，行列式的行列互换时行列式的值不变，得11()()n n n D x m D m x m --=+-- （3-7） 由式子（3-6），（3-7）消去1n D -，得1[()()]2n n n D x m x m =++-3.8析因子法[4][10]所谓析因子法, 就是当行列式0D =时, 求得方程的根, 从而将行列式转化为其因子和积, 这样会大大减少计算量.该方法适用于主对角线上含x 多项式的题型. 例11计算行列式2112312-23=23152319x D x -解：由行列式的定义知D 为x 的4次多项式.当1x =±时，1、2行相同，有0D =，1x ∴=±是D 的根. 当2x =±时，1、2行相同，有0D =，2x ∴=±是D 的根. 故D 有四个一次因式，1,1,2, 2.x x x x +-+- 设(1)(1)(2)(2)D a x x x x =+-+-令0x =则11231223==-1223152319D ， 即1(1)2(2)12. 3.a a ⋅⋅-⋅⋅-=-∴=-3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=-+-+-3.9 加边法(升阶法)[2][4]加边升阶法是将所要计算的n 阶行列式适当地添加一行一列（或m 行m 列）得到一个新的1n +（或n m +）阶行列式，保持行列式的值不变，但要所得的1n +（n m +）阶行列式较易计算，加边法的一般做法是：1111111212212111000nn nn n n nnn nna a a a a a a a a a a a a a =或1111111212221211100nnn n n nnnn nna ab a a a a b a a a a b a a = （3-8）特殊情况取121n a a a ====或121n b b b ====例12计算行列式1111111111111111aa Db b+-=+-解：1111111110111111110111111111111111101111a a a D a b b bb ++-==-++--2211111100010001000100a a ab b b-=--=---3.10递推公式法[3][10]递推公式法就是先将行列式表示两个(或几个)低阶同型的行列式的线性关系式, 再用递推关系及某些低阶( 2 阶, 1阶)行列式的值求出D的值.该方法适用于行(列) 中0 较多的或主对角线上、下方元素相同的题型.例13计算行列式9500495049095049n D = 解：112150049594920549n n n n n D D D D ----=-=-该二阶齐次线性递归式的特征方程为2920x =-x ，其根为4、5，既有11254(5)n n n n D D D D ----=-，于是有2221232154(5)==4(5)4(6145)4n n n n n n n D D D D D D ------=--=-=同理有2221232145(4)==5(4)5(6136)5n n n n n n n D D D D D D ------=--=-=所以，115=4,45.n n n n n n D D D D ----= 联立两式的11=54.n n n D ++- 3.11超范德蒙行列式法[3][9]超范德蒙行列式法就是考察n+ 1阶范德蒙行列式()f x , 利用行列式n D与()f x 某元素余子式的关系计算行列式的方法.该方法适用于nD 具有范德蒙行列式形式的题型.例14 计算行列式(超范德蒙德行列式)12222122221212111nnn n n n n nn n nx x x x x x D x x x x x x ---=解：考察1n +阶范德蒙德行列式12222212121111112121111()()()()().nnn i j j i nn n n n n n n n nnx x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ≤≤≤----==----∏显然n D 就是行列式()f x 中元素1n x -的余子式,1M n n +.即,1,1M n n n n n D A ++==-（,1n n A +为代数余子式）.又由f(x)的表达式（及根与系数的表达式）知，f(x)中1n -x 的系数为121()().n ijj i nx x x x x ≤≤≤-+++-∏即,112,11211()().()().n n n i j n n n i j j i nj i nA x x x x x D x x x x x ++≤≤≤≤≤≤=-+++-=+++-∏∏3.12利用分块计算行列式[11]分块矩阵是行列式计算中的一个重要方法，这个计算方法就是通过分块矩阵的行（列）的初等变换将它化成准三角行列式，从而可以将它化成较低阶行列式的乘积，再根据分块矩阵的公式进行计算求出行列式的值.例15计算5阶行列式00000000021212154321543215e e d d c c b b b b b a a a a a D = 解：先对行列式中的行列转换得()000000012154321543212121325c c b b b b b a a a a a e ed d D ⨯-=由公式（2-10）式，得0054354321215==b b b a a a e e d d D .4 结论行列式的计算方法灵活多变，但万变不离其宗，在计算时一定要仔细观察其类型特点，恰当运用行列式计算的常用方法及技巧，一切便可迎刃而解.选择行列式计算方法最主要的还是看行列式元素分布的规律，例如用范德蒙德行列式计算时，要注意行列式中元素的分布要与范德蒙德行列式有所相似，才能对行列式进行转换变成范德蒙德行列式计算，否则盲目的进行转换不仅不能使行列式计算更快捷反而会使计算更繁杂.所以要按不同的情况进行选择：（1）对于阶数较低的行列式可以直接用定义、性质或是化三角法进行计算；（2）而阶数较高的行列式可以进行降阶递推计算，或者进行拆分计算.当然在选择这些计算方法时不一定是一种方法独立进行计算，也可以是多种方法的综合计算，例如可以对行列式进行降阶，再根据性质展开递推出行列式的结果；也可能先对行列式进行加边升阶再递推降阶计算.有时对于一个行列式也可以有很多种计算方法计算.因此，要对行列式的性质和定理等相关的基础非常的熟悉，了解各种行列式计算方法的不同，才能针对不同的行列式选择最适合的计算方法.利用高等数学理论与方法解决初等数学问题具有很强的优越性.可以利用行列式的性质与计算方法的技巧较易地解决了初等数学中的一些较繁与较难解决的问题. 本文较全面的介绍行列式的几种计算方法，然而行列式的计算方法很多，无法一一列举，本文只介绍了其中一部分.致谢四年的读书生涯在这个季节即将画上句号.首先，我要感谢大学以来的老师们，是他们传授了我很多知识，带我走进了数学这个神奇的领域，同时也交给了我很多学习方法，使我受益匪浅；其次，感谢这篇论文所涉及的各位学者，本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者研究成果的帮助和启发，我将很难完成本片论文的写作.在此，尤其要感谢我的论文指导老师—汪宝彬老师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的进行论文的修改与改进，谢谢老师！参考文献[1]王萼芳. 石生明. 《高等数学》[M ] . 高等教育出版社, 2003.[2]万广龙.《行列式的计算方法与技巧》[J].大庆师范学院数学科学学院,2005.[3]黄璞生,赵冰,赵生久.《线性代数题解手册》[M].北京:机械工业出版社,2004.[4]黄光谷.《高等代数辅导与习题解答》[M].武汉:华中科技大学出版社,2005.[5]张学茂.《行列式计算的几种新方法》[J]. 江苏泰州师范高等学校, 2008.[6]杨家骐.《高等代数在初等数学中的应用》[M]. 济南: 山东教育出版社, 1992.[7]齐成辉.《求解行列式的方法和技巧》[J].陕西师范大学学报(自然科学版)，2003.[8]徐胜林，孙平.《几类特殊行列式的求解方法》[J].高等函授学报(自然科学版)，2002.[9]同济大学数学系.《线性代数》[M].北京：高等教育出版社，2007.[10]蒋银山.《行列式的计算》，[J].广东外语外贸大学南国商学院教师，2009.[11]陈文华.《计算行列式的几种特殊方法》[J]．保山师专学报，2009.[12]毛纲源.《线性代数解题方法技巧归纳》(第二版)[M].华中科技大学出版社，2000.17。

矩阵的行列式和逆矩阵的计算矩阵在数学中是一个重要的概念，广泛应用于统计学、物理学、工程学等领域。

对于矩阵的行列式和逆矩阵的计算，是矩阵理论与实践中的核心问题。

在本篇文章中，我们将对这两个问题进行详细的讨论。

1.行列式的定义在介绍矩阵的行列式之前，我们需要了解矩阵的基本概念。

矩阵是一个由m行n列元素组成的数表，用记号A=(aij)表示。

其中，i表示行号，j表示列号，aij为矩阵A的第i行第j列的元素。

矩阵的行和列分别称为行向量和列向量。

例如，下面是一个3行2列的矩阵：A = [1 2;3 4;5 6]行列式是一个与矩阵有关的数，在矩阵中扮演着重要的角色。

设A为一个n阶矩阵，由n行n列的元素组成，其行列式记作|A|，定义如下：当n=1时，|A|=a11;当n>1时，|A|=∑(-1)i+jaij|Mij|，其中Mij为划去第i行第j列后得到的n-1阶矩阵的行列式。

值得注意的是，行列式只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列顺序无关。

此外，矩阵的行列式有以下重要性质：（1）|A|=|AT|，即矩阵和其转置矩阵的行列式相等；（2）若矩阵A中某一行或某一列的元素全为0，则|A|=0；（3）若矩阵A的两行或两列成比例，则|A|=0。

2.行列式的计算方法在实际应用中，我们需要通过一定的方法来计算矩阵的行列式。

下面介绍两种常用的行列式计算方法。

（1）按行（列）展开法按行展开法是一种实际应用最广泛的行列式计算方法。

具体步骤如下：①选取矩阵的一行（列），将其展开成n个代数余子式的和，即：a11A11+a12A12+...+a1nAn1。

其中，aij为第一行（列）的元素，Ai1, Ai2, ..., Ain为它们对应的代数余子式。

②对于每个Ai1, Ai2, ..., Ain，依次递归使用按行展开法，将其展开成n-1个代数余子式的和。

③不断递归使用上述步骤，最终得到一个由每个代数余子式的积和求和得到的表达式，即为所求行列式。

探索行列式与矩阵运算的关系行列式与矩阵运算的关系一直是线性代数中的重要内容之一。

在本文中，我们将探索行列式与矩阵运算之间的密切联系，从而更深入地理解它们之间的关系。

不局限于一般的解释，我们将通过具体的例子和证明来说明这种联系。

1. 行列式的定义与性质行列式是一个数，它是由矩阵中元素所构成的代数式。

举个例子，对于一个 2x2 的矩阵 A = [a11 a12; a21 a22]，其行列式记作 |A| 或det(A)，可以通过以下公式计算：|A| = a11 * a22 - a21 * a12行列式有很多独特的性质，例如行列式与矩阵的转置、求逆、相乘等操作有关联。

在计算行列式时，我们可以利用这些性质来简化运算，提高效率。

2. 矩阵的运算及其关系矩阵是由一系列数按照规则排列形成的数学结构。

矩阵的运算包括加法、减法、乘法等操作。

现在我们来看看矩阵与行列式运算之间的关系。

2.1 矩阵乘法与行列式对于两个矩阵 A 和 B，它们的乘积 AB 可以按照以下公式计算： AB = [c11 c12; c21 c22]其中 c11 = a11 * b11 + a12 * b21，c12 = a11 * b12 + a12 * b22，c21 = a21 * b11 + a22 * b21，c22 = a21 * b12 + a22 * b22。

这与行列式的计算公式非常相似，可以观察到矩阵乘法中的每个元素与行列式中的每一项对应。

2.2 矩阵转置与行列式矩阵的转置是将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。

行列式在转置后的矩阵中保持不变。

换句话说，如果 A 是一个矩阵，那么 |A| =|A^T|。

2.3 矩阵求逆与行列式对于一个可逆矩阵 A，它的逆矩阵记作 A^(-1)，满足 A * A^(-1) = I，其中 I 是单位矩阵。

矩阵的逆与行列式之间存在下列关系：如果|A| ≠ 0，则 A 是可逆矩阵；反过来，如果 A 是可逆矩阵，则|A| ≠ 0。

浅谈行列式计算的若干方法数学组 内蒙古乌海市第二中学 姓名：赵军指导教师：韩新权（二中校长）、崔璨（二中副校长）、李同勋、秦玉颖、（乌海市名师） 职称：副高、中教高级、中教高级、中教高级摘要:关于行列式的计算，有多种方法,其中常用的有以下９种: 1.按照行列式的性质将其化成上三角（下三角或反三角）法 2.按照一行（列）展开公式法 3.利用范得蒙行列式计算 4.利用拉普拉斯定理 5.递推公式法 6.加边法 7.归纳法 8．拆项法９．分离线性因子法.根据行列式的不同结构适当运用以上方法进行变换,从而得出所求行列式的值. 关键词：行列式 方法 变换前言对于行列式的计算,国外的一些著名的数学家如:克兰姆,拉普拉斯,范得蒙等有着深入的理论研究,而行列式对于方程组的求解,矩阵的研究起着重要的作用.因此,我们有必要进行行列式的研究.然而会计算行列式是最基本的要求.行列式根据其结构形式的不同计算方法也不尽相同,在这里,我仅列出以下九种比较常用的计算行列式的方法.一.按照行列式的性质将行列式化成上三角(下三角或反三角)法此法是利用行列式的性质,将一个一般的行列式化成上三角(下三角或反三角)的形式进行计算.所谓上三角(下三角)是指行列式对角线左下角元素都是零(右上角元素都是零).然后利用行列式的定义计算出结果. 例1: 求行列式1211432321-=n n nd解:由此行列式的结构,不难看出,其行和相等.故d = 12212)1(1432)1(1322)1(--++-+n n n n n n n n n n n =121114313212)1(-+n n n n 0000000000111102)1(13212)1(0000000001111013212)1(n n n n n n n n n n n n n n n nn n n ----+-+=-----+=212)2)(1(22)1()1()1(2)1())(1()1(2)1(-----+--+=---+=n n n n n n n n n n n n n12)1(21)1(--+-=n n n n n 二.按照一行(列)展开利用行(列)展开,有以下原则:1.n 阶行列式n a A =的某一行（列）的元素与另外一行列的对应元素的代数余子 式的乘积之和等于0.即 02211=+⋅⋅⋅++kn in k i k i A a A a A a (k i ≠)2.行列式ij A a =的某一行（列）的元素与其代数余子 式的乘积之和等于A 的值. 即 A A a A a A a kn in k i k i =+⋅⋅⋅++2211 (k i =) 例2: 计算行列式:41571604144013222521702123----=d 解:d 中第5列零元较多,应从这一列入手,第2行乘以2-加到第5行,得：532204144013222521702123-----=d 按d 中第5列展开得：53224144132221232)1(52-----⋅-=+d 53204140132021252----按第1列展开得:108053241413210=--=d 值得注意的是,运用这种方法计算行列式时只有在该行或列的元素有较多的零是才能起到减少计算量的作用.同时,由例2不难发现,经过“化零”和按行(列)展开后,原来的5阶行列式化成了4阶,4阶又化成3阶,其阶数在下降,因此,我们又把这种方法成为降阶法.三.利用范得蒙行列式计算所谓范得蒙行列式是指如下的行列式:∏≤<≤-----==nj i i jn nn n n n n a aa a a a a a a a a a a a d 111312112232221321)(1111(此行列式的证明方法详见参考文献]2[) 例3: 计算行列式:222244441111a b c d a b c d a b c d[2(1)+1]解: 观察发现:此行列式类似于范得蒙行列式为了得到一个范得蒙行列式,现添加3333,,,d c b a设：44444333332222211111)(xd c b a x d c b a x d c b a xd c ba x d = 显然 444422221111d c b a d c b adc b a为3x 的余子式，即3x 的系数 的相反数，由范得蒙行列式知:()()()()()()()()()()()d x b a c a d a c b d b d c x a x b x c x d =----------所以,3x 的系数为()()()()()()()a b c d b a c a d a c b d b d c -+++------故原行列式等于()()()()()()()a b c d b a c a d a c b d b d c +++------注意: 利用范得蒙行列式计算时,首先应观察其结构,并利用行列式的性质将其向范得蒙行列式转化,从而求得结果.四.运用拉普拉斯定理在利用行列式的一行(列)展开式时,我们可以发现计算行列式可以按某一行(列)展开进行计算,由此,我们便提出这样的一个疑问:能不能根据行列式的某一个K 阶子式展开呢?回答是肯定的.拉普拉斯经过对行列式的深入研究,最终发现此方法可行,并给出了严格的证明. 拉普拉斯定理]1[: 在n(n>1)阶行列式中,任取K(n K <≤1)行(列),则行列式的值等于位于这K 行(列)构成的一切K 阶子式与它们对应的代数余子式乘积的和.例4: 计算2 n 阶行列式aba b a b b a b a ba d n000000000000000000002= 解:根据拉普拉斯定理,在n d 2中按第一行与第2n 行展开,得22212120000000)1(-+++-=n n n na b a b b a b a ab ba d 右端22-n 阶行列式的结构与n d 2完全一样,于是22222)(--=n n d b a d在与n d 2同型的22-n 阶行列式22-n d 中,按第一行和第22-n 行展开有422222)(--=n n d b a d 如此继续下去得：22222)(--=n n d b a d 42222)(--=n d b a n b a )(22-==五. 递推公式法递推法是数学中常用的一种方法，运用递推法计算行列式的行列式有以下规律：按照行列式的某一行（列）展开，会产生阶数比原行列式低但却与原行列式有着相同类型的新的行列式，以此逐层降阶，最终求的结果. 例5: 计算n 阶行列式xz yx zyx D n +++=111， zy x =其中解:按第一行展开得：2121)1()1(-----+=-+=n n n n n xD D x yzD D x Dn n n n n n n x x x z yx xD D xD D x D D =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=-==-=------)1(11)()(2122211 由上式得: n n n n nn n x x x D x xD x D D ++++==++=+=--- 432121)()(n n x x x x +++++=-121需要注意的是,用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构,如果没有的话,很难找出递推关系式,从而不能使用此方法六. 加边法]3[所谓加边法，是指把一个n 阶行列式通过增加一行一列，变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果。

矩阵行列式计算矩阵行列式是线性代数中的重要概念之一，它在求解线性方程组和矩阵运算中有广泛的应用。

本文将对矩阵行列式的概念和计算方法进行详细介绍，并探讨其在实际问题中的具体应用。

首先，我们来了解矩阵行列式的定义。

给定一个n×n的矩阵A=[aij]，其中aij表示矩阵A的第i行第j列的元素，则其行列式记作det(A)或|A|。

对于2×2矩阵，行列式的计算公式为：det(A)=a11*a22-a12*a21。

而对于更高阶的矩阵，可以使用行列式的余子式和代数余子式进行计算。

接下来，我们将详细介绍矩阵行列式的计算方法。

对于3×3矩阵A=[aij]，可以使用代数余子式来计算行列式。

首先，我们计算矩阵A的代数余子式，记作Aij=(-1)^(i+j)Mij，其中Mij是去掉矩阵A的第i行和第j列后形成的2×2矩阵的行列式。

然后，我们可以通过det(A)=a11A11+a12A12+a13A13来计算矩阵A的行列式。

对于更高阶的矩阵，我们可以将其转化为较低阶矩阵的行列式来计算。

例如，对于4×4矩阵A，可以将其转化为3×3矩阵的形式：det(A)=a11A11-a12A12+a13A13-a14A14。

其中A11是去掉矩阵A的第1行和第1列后形成的3×3矩阵的行列式，A12是去掉矩阵A的第1行和第2列后形成的3×3矩阵的行列式，以此类推。

矩阵行列式在线性方程组的求解中起着重要的作用。

对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个n×n的矩阵，x和b是n维列向量。

我们可以通过计算矩阵A的行列式来判断方程组是否有解以及解的唯一性。

具体来说，当det(A)≠0时，方程组有唯一解。

当det(A)=0时，方程组可能有无穷多解或者无解。

此外，矩阵行列式还可以用于计算矩阵的逆。

给定一个可逆矩阵A （即det(A)≠0），我们可以使用伴随矩阵的方法来计算A的逆矩阵。

关于行列式计算方法的进一步探讨引言行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的,它不论是在线性代数，多项式理论还是微积分中都有广泛应用，所以掌握行列式的计算是十分必要的. 为此，我在查阅部分参考资料的基础上,结合自己的学习实践,对行列式的计算总结了二十一种方法.常规做法都是用行列式的性质和相关定理来求解.以下是对一些典型类型的行列式的计算，以拓宽行列式的解题思路，下面依次说明其求解方法和过程.1.定义法n 阶行列式的定义展开式式中包含!n 项,当n 较大时，利用定义进行计算就会很麻烦，只有当行列式中0比较多时考虑利用定义算行列式，这样可以大大减少行列式展开的项数.例1计算000100002000010n n -.解 根据行列式的定义，行列式展开式的每一项都是n 个元素的乘积，这些元素来自行列式不同的行和不同的列，由于行列式中只有一个非零项!)1(21n n n =⋅-⋅ ，这一项的逆序数为1-n ，有计算可得!)1(1n D n n --=.2.化三角形法化三角形法主要是利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式.虽然每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式.但当行列式阶数较高时,计算往往较为复杂.因此,在许多情况下,总是先利用行列式的性质将其作某种变形,再将其化为三角形行列式.上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积.例2 计算行列式 12311212332125113311231------=n n n n n n n n n n A .解 首先将行列式的第一行乘以()1-加到第n ,,3,2 行,再将其第1,2,,1, -n n 列通过相邻两列互换依次调为第n ,,2,1 列,则得()()()!110200132100001002000200010001231)1(12121-=-=---=----n n n n n n n A n n n n）（.3.降阶法可利用按一行(列)展开定理降低n 阶行列式的阶数并且使得行列式的计算较为简便的方法称为降阶法.降阶比较适合于行列式中某行或列中零元素比较多时.例3 计算行列式 nA 222232222222221=.解 首先应考虑A 能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以()2-加到第n ,,3,2 行,数字反而复杂了,要使行列式尽可能多的出现“0”项,将该行列式的第一行乘以()1-加到第n ,,3,2 行,得2001010100012221-=n A.上式仍不是上（下）三角形行列式，我们可以用降阶法，注意第二行除了第一项是1， 后面的项都是0，我们按第二行展开，得()!2221222--=-=n n A. 4.加边法加边法就是将原来的行列式添加一行一列,且其值不变,所得的新行列式更容易求出其值.该方法适用于除主对角线上元素外,各行（或列）对应的元素分别相同的类型.例4 计算行列式nn n na a a a a a a a a a a a a a a a D 321321321321111+++=. 解 利用加边法将行列式添加一行一列，使其值保持不变.则有nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a D +++=1010101321321321321=1100101000111321---n a a a a =10001000001013211n ni ia a a a a ∑=+=∑=+ni i a 11=n a a a a +++++ 3211.加边法最大的特点是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就可以大大减少计算量.5.分解行列法(拆项法)如果行列式某行(列)是两行(列)之和,将行列式分解为两行列式的和,然后再利用性质进行计算.即分解行列法.例5 计算 nn n nn n n x n x x x n x x x n x x D ααααααααα+++++++++=212222111211212121.解 将行列式n D 分解为若干行列式的和,则当2>n 时,每个行列式至少有两列成比例,故0=n D ；当1=n 时，1111x D α+=.当2=n 时，()()212121112212222112112222112121αααααααααα--=+=++++=x x x x x x x x x x D .则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=--=+=.2,0,2),2)((,1,1212111n n x x n x D n ααα6.分解法利用矩阵乘积的性质可把行列式分解成若干个行列式乘积的方法称为分解法.如果矩阵A 分解为m A A A A A 321=，其中i A 都是n 阶方阵),,2,1(m i =,则.321m A A A A A =例6 计算行列式nn nn n n n nn n n nn n n nnn nn nn nnn n nn nn n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b a D ------------------=111111111111111111221122222212121121211111. 解 首先用以前学过的公式化简行列式，然后再进行计算.由于 )1)(1()(11122111111--++++-=-n n n b a b a b a b a b a ， 则有∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=-=-=-=-==1010211121022101210110211011n k knk n n k k k n n k k k n n k k nk n k k k n k k k n k k n k n k k k n k k k n b a b abab abab ab a b a b aD=112112222121121222211211111.111------n nn n n n n n n n n n b b b b b b b b b a a a a a a aaa=∏≤≤≤--nj i i j i jb b a a1))((.7.拆元法把某一行或列的元素写成两个数的和的形式，再利用行列式的性质将其写成两个行列式的和，以简化计算.例7 计算行列式xm m m m xmm m mx m mm mxD n ------=.解xm m m m xmm m m xm mm m x D n ------=xm m m m xmm m m x m mm mm------=xm m mm xmmm m x m mm m mx -------+11)()(---++=n n D m x m x m (1)由于n nD D =' ，即将n D 中的m 换成m -，行列式的值不变，故 11)()(--++--=n n n D m x m x m D (2)（1））（m x +⨯122)()()(--++=+n n n D m x m x m D m x（2）)(m x -⨯122)()()(--+--=-n n n D m x m x m D m x则])()[(21)()()()(n n n n n m x m x m x m x m x m m x m D --+=--+-++=.8.析因子法所谓析因子法就是当行列式为零时,求得方程的根,从而将行列式转化为其因子的积,这样会大大减少计算量,该方法适用于主对角线上含多项式的类型.对于一个n 次多项式,当最多找到r 个因子使其行列式值为零时,就要把它画成一个r 次多项式与一个r n -次多项式的乘积.但一般找到的使其行列式为零的个数与行列式的次数相差太多时，不适用本方法.例8 计算 1321121311321+++=x n x n x n D n.解 令(),n D x f =当1,,2,1-=n i 时，()0=i f ，即()()()1,,2,1+---n x x x 是()x f 的因子且它们互质.故()∏-=-11n i i x 是()x f 的因子，比较1-n x的系数知()=x f ()n n i D i x =-∏-=11.9.分块矩阵法我们学习了矩阵的分块，知道一个矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00通过分块若能化为对角矩阵或下（上）三角矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛B C A 0,那么行列式BA 00=BCA 0B A ⋅=，其中阶可逆矩分别是r s B A ,,s r C ⨯是阶矩阵，r s ⨯是0阶矩阵.可以看出，这样可以把r s +阶行列式的计算问题，通过矩阵分块转换为较低阶的s 阶和r 阶行列式计算问题，下面先根据上面的途径给出计算公式.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=rr r rsr r s sr s ss s r s b b c c b b c c d d a a d d a a G1111111111111111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B C D A ， 其中，B A ,分别是s 阶和r 阶的可逆矩阵，s r C ⨯是阶矩阵, r s D ⨯是阶矩阵,则有下面公式成立.C DB A B B CD A G 1--⋅==或C D B A BC DA G 1A --⋅==. 下面推导公式，事实上当0≠A 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----B C D A E DB E D BCA D A B C D A E A E000111⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-B C CDB A 01. 上面两式两边同时取行列式即可得出上面的公式.例9计算 8710650143102101=D . 解法1 0440440043102101871650143102101===原式. 若用前面介绍的公式则可以直接得出结果.解法2 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8765B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001C ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321D ， 则有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001'A ,由公式知原行列式⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-⋅==-432110011001876510011D CA B A B CD A 04444432187651==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=，这道题目还有一个特点，那就是C A =,如果我们把公式变形， 即D ACA AB D CA B A D CA B A BC DA 111)(----=-=-⋅=. 当C A =时CD AB D CAA AB D ACA AB -=-=---11.所以当C A =时CD AB BC DA -=, 这类题就可以直接写出答案了.解法3 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8765B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001C ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321D . 因为C A =，所以原行列式0432187654321100187651001=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=CD AB .10.递推法应用行列式的性质,把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的线性关系式,这种关系式称为递推关系.根据递推关系式及某个低阶初始行列式的值,便可递推求得所给行列式的值,这种计算行列式的方法称为递推法.注意 用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构，如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法. （1） 1-=n n kD D 类例10 计算行列式 2n D =d cd c b a ba.解 将2n D 按第1行展开可得()0100122cd dc b a bab dc d c b a b a aD n n+-+=()()阶阶2222---=n n dcdc b a ba bcdc d c b a b a ad22--=n D bc ad ）（.所以 422222)()(---=-=n n n D bc ad D bc ad D n n bc ad D bc ad )()(22-=-==- . （2） 2211--+=n n n D k D k D 类例11 计算带形行列式1111n D αβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=++.解 将n D 按第一行展开可得，211)(111)(----+=+++-+=n n n n D D D D αββαβααββααββααβαββα所以12()n n n D D D αβαβ--=+-，112n n n n D D D D αβαβ----=-， 112()n n n n D D D D αβα----=-，223()n n D D βα--=- …………332()n D D βα-=-.2233311αββαβαβααββααββα+++=+++=D αββαβααββα++=++=2221D 323βα=-D D333132()n n n n n D D D D αβαβββ----=-==，同理可得 1n n n D D βα--=，联立解得 1n nn D αβαβ--=-，因此 11n n n D αβαβ++-=-.11.构造代数方程组法当所求行列式是由几个元素组成的,若用曾经求解过的行列式作系数行列式,构造一个n 元线性方程组,所求行列式中可作为线性方程组解的组成部分.例12 计算 n nn nn n n n nnn a a a a a a a a a a a a D21222212222121111---=. 解 如果使用常规的方法,解这道题是非常复杂的,而且困难的是因为n D 不是范德蒙行列式,若我们用刚刚介绍的代数方程组法求解这道题就变得十分容易了,因为n D 类似于范德蒙行列式,我们构造一个n 阶的范德蒙行列式()∏≤<≤----==nj i i jn nn n n n a aa a a a a a a a a D 1112112222121111.于是当j i a a ≠时，比值DD n是线形方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---.,,121212221111211nn n n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 的解中的n x 值，又这个方程组x t x t x t n n n =-----121 可以看作是()是未知数t 有n 个根：n a a a ,,,21 .于是由高次方程与系数的关系有n n a a a x +++= 21， 因此，()()∏≤<≤-+++==nj i i jn n n a aa a a D x D 121 .12.数学归纳法数学归纳法多用于证明题.用数学归纳法计算n 阶行列式，需要对同结构的低阶行列式进行计算,从中发现规律并得出一般性结论,然后用归纳法证明其正确性.例13 证明αααααn cos cos 2100cos 210001cos 21001cos = .证明 第二数学归纳法.2=n 时,ααcos 211cos 2=D =αα2cos 1cos 22=-.结论成立.假设对级数小于n 的行列式,结论成立,则21cos 2---=n n n D D D α,由假设αααααααsin )1sin(cos )1cos(])1cos[()2cos(2-+-=--=-=-n n n n D n ,代入前一式得]sin )1sin(cos )1[cos()1cos(cos 2αααααα-+---=n n n D n=αααααn n n cos sin )1sin(cos )1cos(=---. 故对一切自然数n 结论成立.13.辅助行列式法辅助行列式法应用条件：行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同.解题程序1）在行列式D 的各元素中加上一个相同的元素x ，使新行列式*D 除主对角线外，其余元素均为0；2）计算*D 的主对角线各元素的代数余子式);,,2,1(n i A ii = 3)∑-*-=nij ij A x D D 1 .例14 求下列n 阶行列式的值.111212112111 n n n D n ---=.解 在n D 的各元素上加上(1)-后，则有n n n n n nn n)1()1(000101001000)(D 2)1(-⋅-=---=-* ，又(1)1212,11(1)(1)n n n n n n A A A n ---====-⋅- ，其余的为零.故 ∑=*+=nj i ij n n A D D 1,)(=∑=+--+-⋅-ni i n i nn n A n 11,2)1()1()1(=12)1(2)1()1()1()1()1(----⋅⋅-+-⋅-n n n nn n n n n=1)1(2)1()1(--⋅--n n n n . 若知道辅助行列式法的解题程序，用此法就可轻松地解出此题.但根据该行列式的特点，我们也可以用加边法，把大部分元素化为零，再化为三角形行列式也可轻易解出该行列式.14.利用拉普拉斯展开法拉普拉斯定理的四种特殊情形1）0nn nn mm mnmmA ABC B =⋅2）0nn nm nn mm mm A C A B B =⋅3）0(1)nn mnnn mm mmmnA AB BC =-⋅ 4）(1)0nm nn mn nn mm mmC A A B B =-⋅例15 计算n 阶行列式n D ,其中aba b ab ab aa a a D nββββββββββββλ=.解 如果从第三行开始每一行都减去第二行,再从第三列开始每一列都加上第二列， 使行列式种更多的元素为零.先按上述分析对行列式进行变换βββββββββλ------=a aa a a a ab aa a a D n00000000βββββββλ----+-=a a a n a b aaaan00000000)2()1()2()2(2200000)2(1-⨯-⨯---⋅-+-=n n a a a n a ba n ββββλ）（2)()]1()2([--⋅---+=n a n ab n a ββλλ.15.利用范德蒙行列式例16 计算行列式1+n D ,其中111)()1()()1(1111---+----=n n n nnnn n a a a n a a a D .解 该行列式与范德蒙行列式类似,我们可以先利用行列式的性质把它变成范德蒙行列式在进行计算.通过相邻两行的交换,先把最后一行交换至第一行（交换n 次）,再将新的最后一行交换至第二行（交换1-n 次）继续下去,经过2/)1(-n n 次交换以后,原行列式变成范德蒙行列式.由范德蒙行列式的性质得nn n n n n n a a a na a a D )()1(1111)1(2)1(1-----=++=∏∏≤<≤≤<≤--=----ni j ni j n n j i j a i a 002)1()()]()[()1(.推论 （超范德蒙行列式法）超范德蒙行列式法就是考察1+n 阶范德蒙行列式)(x f ,利用行列式n D 与)(x f 中某一元素余子式的关系来计算行列式的方法.这种方法适用于n D 具有范德蒙行列式形式的题型.例17 计算行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=. 解 1+n 阶范德蒙行列式为)(x f =∏≤<≤-------=ni j j i n n nn nn n n n nnx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 12121112112222121)()())((111由分析知n D 就是行列式)(x f 中元素1-n x 的余子式1,+n n M ，即1,1,++-==n n n n n A M D （1,+n n A 为代数余子式）， 又由)(x f 的表达式及根与系数关系知)(x f 中1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+++-ni j j in x xx x x 121 .即1,+n n A =()()∏≤<≤-+++-ni j j in x xx x x 121 .所以 =n D ()()∏≤<≤-+++ni j j in x xx x x 121 .16.利用矩阵行列式公式引理 设A 为n m ⨯型矩阵，B 为m n ⨯型矩阵，n E ，m E 分别表示n 阶，m 阶单位矩阵，则有)det()det(AB E BA E m n ±=±.例18 计算下行列式的值.ba a a a ab a a a a a b a a a a a b a n n n n n ++++=321321321321D .解 令矩阵 A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=b a a a a a b a a a a a b a a a a a b a n n n n321321321321则可得A ),,,(11121321321321321n n n n n n n a a a bE a a a a a a a a a a a a a a a a bE⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n C B bE ⨯⨯+=11.其中 ()n n T n a a a C B ,,,,)1,,1,1(2111 ==⨯⨯， 那么根据上面所提到的引理可得111D ⨯⨯-+=+=n n n n n B C b b BC bE .又()∑=⨯⨯=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ni i n n n a a a a B C 12111111，故)(11b a bD ni i n n +=∑=-.17.利用方阵特征值与行列式的关系例19 计算下行列式的值 ba a a a ab a a a a a b a a a a a ba D n n n n n ++++=321321321321.解 令矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++=b a a a a a ba a a a ab a a a a a ba A n n n n321321321321⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a bE321321321321n n A bE +=，显然 ,n bE 的n 个特征值为b b b ,,, .而n A 的n 个特征值为0,,0,0,1∑=ni i a .故A 的特征值为11,,,,-=∑+n ni i b b b a b .由矩阵特征值与对应行列式的关系知)(11∑=-+==ni i n n b a bA D .18.乘以已知行列式例 20 计算行列式abc db a dc cd a bd c b aD ------=4. 解 直接计算这种行列式比较困难.所给行列式易于利用行列式乘法公式求得4424D D D '=，再确定4D 的符号即可求出4D .根据行列式的乘法公式有 4424D D D '==abc db a dc cd a b d c b a------ab c d b a d c cd a b d c b a ------=22222222222222220000000d c b a d c b a d c b a d c b a ++++++++++++=42222)(d c b a +++,所以4D = 22222)(d c b a +++±.根据行列式的定义可知,4D 的展开式中有一项为444332211)1234()1(a a a a a =-τ，故4D = 22222)(d c b a +++.19.递推方程组方法例21 求行列式的值xz zzy x z zyy x zyy y xD n = . (3) 解 从）（1的行列式的第一列减第二列，第二列减第三列，…，第1-n 列减第n 列，得,00000000000xxz y y x y y x x z y y x x z y y x D n -------=(4)上面的行列式按第一行展开，有两项，一项是)(y x -乘一个1-n 阶行列式，这个1-n 阶行列式和（4）中的n 阶行列式的构造相同，即上述展开的第一项可表示为1)(--n D y x ；展开的另一项是111)1(1)()()1(00000000000)1(--+-+-=--=-------n n n n n z x y x z y x z x z y x x z y x xz y故递推式,)()(11---+-=n n n z x y D y x D （5）若y z =，则上式化为,)()(11---+-=n n n y x y D y x D （6）类似地有;)()(;)()(223221y x y D y x D y x y D y x D n n n -+-=-+-=---又))((2y x y x xy yx x xy y yx D +-==--=. 故可对（4）式递推计算如下：11)()(---+-=n n n y x y D y x D=(y x -)[]122)()()(----+-+-n n n y x y y x y D y x =1332)(2])()[()(----+-+--n n n y x y y x y D y x y x =133)(3)(---+-n n y x y D y x])1([)()()2())(()()()2()(112122y n x y x y x y n y x y x y x y x y n D y x n n n n n -+-=--++--=--+-==-----上面得到原行列式当y z =时的值.下面讨论y z ≠的情形.把（5）的行列式的z y 与对调，这相当于原行列式的行与列互换，这样的做法，行列式的值不变.于是z y 与对调后，1,-n n D D 的值不变，这时（5）式变为11)()(---+-=n n n y x z D z x D （7）从（5）与（7）（递推方程组）消去1-n D ，即（3）式乘以z x -，（5）乘以)(y x -，相减得n n n y x z z x y D y x z x )()()]()[(---=---)()()(y z zy y x z z x y D nn n ≠----=当注: 当y z =时，行列式n D 也可以用极限计算zy y x z z x y nn y z ----→)()(lim(固定y ) 1)()(lim 1----⋅-=-→nn y z y x z x n y (用罗必达法则)])1([)()()(1y n x y x y x y x ny nn n -+-=-+-=-又行列式n D 当y z =时可以用余式定理来做.推广 其实上述行列式我们仅仅能看见主对角线相等的情况，那么对于主对角线不等的我们更进一步考虑用函数来解决.()()()()()x x x x x f ba a bfb af x bbba xb baa xb aa a x D n n--=--==1321其中，b a ≠. 证明 作()xx xb xb xb x a x x x b xb x a x a x x xb x a xa x a xx x D n ++++++++++++++++=321. 可见()()())(,b f b D a f a D =-=-，又据行列式的性质，可知()x D 是x 的一次多项式，所以可令()d cx x D +=，又因D D d ==)0(，所以)()(),()(b f D cb b D a f D ca a D =+-=-=+-=-.故()()ba a bfb af D --=.20.导数在计算行列式中的应用1.行列式的求导法则定理1 设)(x f ij （n j i ,,2,1, =）为可导函数，则有行列式求导法则)()()()(11111x f Vf M Mf V x f M M x f V x f dxdnn n in i n =∑=ni nn n in i n x f Vf M M f dx dV x f dx dM Mx f Vx f 111111)()()()(. 即行列式的导数是数个项之和，其项数等于行列式的阶数，第一项是把原行列式的第一行（或第一列）的各元变成相应的导数，其余各行（或列）不变。

⾏列式的若⼲解法讲解⾏列式的若⼲解法⼀、定义法注意到“上下三⾓形”⾏列式的值等于对⾓线元素的乘积，由⾏列式的定义可直接计算元素⾮常稀疏或本⾝就是上下三⾓形式的简单⾏列式．例1 nn D n 000000100200100-=计算⾏列式　.解：　n D 不为零的项⼀般表⽰为！１ｎ－１n a a a a nn n n =--1122 ,故!)1(2)2)(1(n D n n n ---=.⼆、⾏列式在初等变换下的性质⾏列式经初等⾏变换和初等列变换，⾏列式值的变化有⼀定规律： 1．⾏列式的⾏列互换（即⽅阵转置），⾏列式不变； 2．互换⾏列式中的两⾏或者两列，⾏列式反号；3．⾏列式中某⾏各元同时乘以⼀个数等于⾏列式乘以这个数；4．⾏列式中某⾏（列）各元同时乘以⼀个数，加到另外⼀⾏（列）上，⾏列式不变； 5．⾏列式的某两⾏或者某两列成⽐例，⾏列式为零；6．⾏列式的某⼀列或者某⼀⾏可以看成两列或两⾏的和时，⾏列式可拆成另两个⾏列式的和；7．⾏列式各⾏或各列若线性相关，⾏列式为零．⼀些特征明显的⾏列式可以直接⽤⾏列式的性质求解．例 2 ⼀个n 阶⾏列式ij n a D = 的元素满⾜,,,2,1,,n j i a a ji ij =-=则称为反对称⾏列式，证明：奇阶数⾏列式为零.证明：由　ji ij a a -=知ii ii a a -=，即n i a ii ,2,1,0==.故⾏列式可表⽰为000321323132231211312 nn nn nn n a a a a a a a a a a a a D ------= , 由⾏列式的性质'A A =，000)1(0000321323132231211312321323132231211312 nn n n nnn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D -------=------=()n n D 1-=. 为奇数时，得当n ,　n n D D -=因⽽得0=n D .三、⾼斯消元法由⾏列式的定义，计算⼀般n 阶⾏列式的值的复杂度为(!)O n ，对n ≥4的⾮稀疏⽅阵并不实⽤，因此有必要寻找更好的⽅法．⽤⾏（列）初等变换将⽅阵化为上（下）三⾓形状，是计算⾏列式的基本⽅法．原则上，每个⾏列式都可利⽤⾏列式在初等变换下的性质化为三⾓形⾏列式．这个变换过程可⽤解线性⽅程组的算法（⾼斯消元法）严格描述，其复杂度为3()O n ，由原来的指数阶复杂度降低到了多项式阶复杂度．例3 计算⾏列式2101044614753124025973313211----------=D . 解：这是⼀个阶数不⾼的数值⾏列式，通常将它化为上（下）三⾓⾏列式来计算．()()()()()()()()()()2313214315412311231112310010202041020410010202153021530022200222D +---?----------------- ()()()()()()43523421-12-31112310204-10304100-10-200102001-12000100022-200026+++---------()()524112310204112(1)(1)(6)12 001020001000006+----=-?---=----．四、⾏列初等变换成上下三⾓形式但对于阶数⾼的⾏列式，⾼斯消元法仍然有着较⾼的复杂度，且仅适⽤于数值⾏列式的计算，难以推⼴到含参数⾏列式．因此，对元素排列较有规律的⾏列式，应利⽤⾏列式的性质将其变形成三⾓形⾏列式，⽽不是直接使⽤解线性⽅程组的⾼斯消元法．例4 计算n 阶⾏列式a b b b b a bb D bb ab b b ba=. 解：这个⾏列式的特点是每⾏（列）元素的和均相等，根据⾏列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，⾏列式不变，得ab b b abb b a b b b b n a ab b b n a b abbn a b b a b n a b b b b n a D1111])1([)1()1()1()1( -+=-+-+-+-+=[]])(])1([00000001)1(1---+=----+=n b a b n a ba b a b a bb b b n a.五、Laplace 展开法Laplace 展开的四种特殊情形： 1）0nn nn mm mn mm A A B C B =? 2）0nn nm nn mm mm A C A B B =?3）0(1)nn mn nn mm mmmnA AB BC =-? 4）(1)0nm nn mn nn mm mmC A A B B =-?应⽤⾏列式的Laplace 展开，把⼀个n 阶⾏列式表⽰为具有相同结构的较低阶⾏列式（⽐如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性递推关系式．根据递推关系式及某个低阶初始⾏列式（⽐如⼆阶或⼀阶⾏列式）的值，便可递推求得所给n 阶⾏列式的值，这种计算⾏列式的⽅法称为递推法．［注意］⽤此⽅法⼀定要看Laplace 展开后的⾏列式是否具有较低阶的相同结构．如果没有的话，即很难找出递推关系式，从⽽不能使⽤此⽅法．例5 证明如下⾏列式：0001000101n D αβαβαβαβαβαβ++=++11,n n n D αβαβαβ++-=≠-证明　：其中［分析］虽然这是⼀道证明题，但我们可以直接求出其值，从⽽证之．此⾏列式的特点是：除主对⾓线及其上下两条对⾓线的元素外，其余的元素都为零，这种⾏列式称“三对⾓”⾏列式．从⾏列式的左上⽅往右下⽅看，即知1n D -与n D 具有相同的结构．因此可考虑利⽤递推关系式计算．证明：按第1列展开，再将展开后的第⼆项中n-1阶⾏列式按第⼀⾏展开有：12n n n D D D αβαβ=－－（＋）－这是由D n-1 和D n-2表⽰D n 的递推关系式．若由上⾯的递推关系式从n 阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上⾯的递推关系式是由n-1阶和n-2阶⾏列式表⽰n 阶⾏列式，因此，可考虑将其变形为：11212n n n n n n D D D D D D αβαββα－－－－－－＝－＝（－）或 11212n n n n n n D D D D D D βααβαβ－－－－－－＝－＝（－）现可反复⽤低阶代替⾼阶，有：23112233422221[()()](1)n n n n n n n n n n nD D D D D D D D D D αβαβαβαβαβαβαβααββ-+--+=－－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）＝＝（－）=同样有：23112233422221[()()](2)n n n n n n n n n n nD D D D D D D D D D βαβαβαβαβααβαββαβα-+--+=－－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）＝＝（－）=因此当αβ≠时由（1）（2）式可解得：11n n n D αβαβ++-=-证毕．例6 计算⾏列式 x a a a a a x xx D n n n +---=--1232100000100001. ［分析］对⼀时看不出从何下⼿的⾏列式，可以先对低阶情况求值，利⽤不完全归纳法寻找出⾏列式的猜想值，再⽤数学归纳法给出猜想的证明．解：当2=n 时，21221222)(1a x a x a a x x a x a x D ++=++=+-=假设k n =时，有k k k k k k a x a x a x a x D +++++=---12211则当1+=k n 时，把1+k D 按第⼀列展开，得11221111)(+---++++++++=+=k k k k k k k k k a a x a x a x a x x a xD D 12111k k k k k x a x a x a x a +-+=+++++由此，对任意的正整数n ，有n n n n n n a x a x a x a x D +++++=---12211 .六、加边法有时为了计算⾏列式，特意把原⾏列式加上⼀⾏⼀列再进⾏计算，这种计算⾏列式的⽅法称为加边法．当然，加边后所得的⾼⼀阶⾏列式要较易计算．加边法适⽤于某⼀⾏（列）有⼀个相同的字母，也可⽤于其列（⾏）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况．加边法的⼀般做法是：1111111111121221222121111100000n n nn n n n n n nnn nnnn nna a a a a ab a a a a D a a b a a a a a a b a a === 特殊情况取121n a a a ==== 或 121n b b b ====加边法能否顺利应⽤，关键是观察每⾏或每列是否有相同的因⼦．例7 计算n 阶⾏列式：21121221221221212111n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=+［分析］我们先把主对⾓线的数都减1，这样我们就可明显地看出第⼀⾏为x 1与x 1,x 2,…, x n 相乘，第⼆⾏为x 2与x 1,x 2,…, x n 相乘，……，第n ⾏为x n 与 x 1,x 2,…, x n 相乘．这样就知道了该⾏列式每⾏有相同的因⼦x 1,x 2,…, x n ，从⽽就可考虑此法．解：111121221121221222121212121211(1,,)(1,,)110110001010011101001001001i i i i nn n n n n n nn nin i ni i n i n r x r c x c i n x xx x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x +++==+=-+=+-=+-+-+=+∑∑对⾏列式各⾏（列）和相等，且除对⾓线外其余元素都相同的⾏列式，在“加边法”的框架下，有针对此种问题的特殊解法．1）在⾏列式D 的各元素中加上⼀个相同的元素x ，使新⾏列式*D 除主对⾓线外，其余元素均为0；2）计算*D 的主对⾓线各元素的代数余⼦式(1,2,)ii A i n =;i j D D xA==-∑例8 .求下列n 阶⾏列式的值：111211212111n n n D n --=-解：在n D 的各元素上加上(1)-后，则有：(1)2*0002020()(1)(1)20n n n n n n D n n ---==---⼜(1)1212,11(1)(1)n n n n n n A A A n ---====-?-，其余的为零．(1)2*,1,11(1)(1)1()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n nnnn n ij i n i i j i n n n n nn n n n D D A n A n n n n --+==-----∴=+=-?-+=-?-+-??-=-?-∑∑［点评］诸如此类的特殊⾏列式称为“范式”，常见的范式还有“鸡⽖”（除第⼀⾏、第⼀列、主对⾓线外全为零）、反对称⽅阵等，这些范式都有“专⽤”的解法．掌握这些范式，不仅是为了更容易求出满⾜这些范式的⾏列式的值，更是为了给解⼀般⾏列式提供变换的⽬标和⽅向，争取把⼀般⾏列式变换到这些已知容易求解的范式．如果不知道这些范式，就只能盲⽬的寻找各种变成“最终范式”——上下三⾓⾏列式的变换⽅式，从⽽加⼤了解题的难度．七、拆⾏（列）法由⾏列式的性质知道，若⾏列式的某⾏（列）的元素都是两个数之和，则该⾏列式可拆成两个⾏列式的和，这两个⾏列式的某⾏（列）分别以这两数之⼀为该⾏（列）的元素，⽽其他各⾏（列）的元素与原⾏列式的对应⾏（列）相同，利⽤⾏列式的这⼀性质，有时较容易求得⾏列式的值．例9 设n 阶⾏列式：1112121222121n n n n nna a a a a a a a a =且满⾜,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=对任意数b ，求n 阶⾏列式111212122212?n n n n nn a b a b a b a b a b a b a b a ba b++++++=+++[分析]该⾏列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有⼀个数是常数b ，显然⽤拆⾏（列）法．可以⾸先举⼀些例⼦进⾏试验，发现待求⾏列式总是等于1，因此求值问题转化为证明问题，对解题过程更有启发．注意到条件中给出了⼀个反对称⽅阵的⾏列式，但暂时不知道该如何应⽤，在解题过程中要时刻注意题⽬条件．解：1112111121121212222122222212122n n n n n n n n n nn n n nn n nn a b a b a b a a b a b b a b a b a b a b a b a a b a b b a b a b D a b a ba b a a b a b b a ba b++++++++++++++==+++++++11121111121212222122221212111n n n n n n n n nn n nn n nn a a a b a b a b a a a a a b a b a b a a ba a ab a b a b a a ++++=++++11121111121212222122221212111111n n n n n n n n nnn nnn nna a a a a a a a a a a a a ab ba a a a a a a =+++21111nni i i i b A b A ===+++∑∑,11nij i j b A ==+∑A ⼜令＝111212122212n n n n nna a a a a a a a a ,,1,2,,i j j ia a i j n=-=且 ':1,A A A ∴==-有且 11A A A A A A=＊－－＊由＝得：1''11()()()A A A A A ---===-=-＊＊⼜（） *A ∴也为反对称矩阵⼜(,1,2,,)ij A i j n =为*A 的元素1,10nij i j A ==∴=∑有从⽽知：1,111nn ij i j D bA ===+=∑［点评］求解到中途时，发现待解⾏列式的⼀部分变成了⼀个新⾏列式的代数余⼦式之和的形式，很容易联想到伴随⽅阵与逆矩阵⾏列式的关系，此时应⽤题⽬中反对称⽅阵的条件、转置⽅阵的性质，易得结论．此题也提醒我们在解⾏列式时，应注意与后续章节（如矩阵）的关联．⼋、多项式法如果⾏列式D 中有⼀些元素是变数x （或某个参变数）的多项式，那么可以将⾏列式D 当作⼀个多项式f(x)，然后对⾏列式施⾏某些变换，求出f(x)的互素的⼀次因式，使得f(x)与这些因式的乘积g(x)只相差⼀个常数因⼦C ，⽐较f(x)与g(x)的某⼀项的系数，求出C 值，便可求得D=Cg(x)．具体地说，若⾏列式中存在两个同时含变量x 的⾏（列），若x 等于某⼀数a 1时，使得两⾏相同，根据⾏列式的性质，可得D=0．那么x -a 1便是⼀个⼀次因式．由此便可找出⾏列式（多项式）的若⼲因式．如果⾏列式的最⾼次数与这些因式乘积的次数相等，那么⾏列式与这些因式的乘积便成⽐例（只差⼀个常数因⼦）．例10 求如下⾏列式的值：12121123123n nn n x a a a a x a a D a a a a a a a x+=[分析] 根据该⾏列式的特点，当.1,2,,i x a i n ==时，有10n D +=．但⼤家认真看⼀下，该⾏列式D n+1是⼀个n+1次多项式，⽽这时我们只找出了n 个⼀次因式.1,2,,i x a i n -=,那么能否⽤多项式法呢？我们再仔细看⼀下，每⾏的元素的和数都是ni i a x =+∑，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式1ni i a x =+∑，这样⾏列式的次数就降了⼀次．解：1211221211232312323111()11ni n i nn ini nn n i i nn i n i ni i a xa a a a a a a xxa a xa a D a x a a a a x a a a a a xa xa a x==+===++=122'123231111n nn n a a a x a a D a a a a a x+=显然当：.1,2,,i x a i n ==时，'10n D +=．⼜'1n D +为n 次多项式．'112()()()n n D C x a x a x a +∴=---设⼜'1n D +中x 的最⾼次项为nx ，系数为1，∴C=1'112()()()n n D x a x a x a +∴=---因此得：'111121()()()()()nn i n i ni n i D a x D a x x a x a x a ++===+=+---∑∑九、Vandermonde ⾏列式法范德蒙⾏列式：1232222123111111231111()n n i j j i nn n n n nx x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----=-∏例11 计算n 阶⾏列式11112222(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211111n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=-+-+-11112222(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211111n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=-+-+-解显然该题与范德蒙⾏列式很相似，但还是有所不同，所以先利⽤⾏列式的性质把它化为范德蒙⾏列式的类型．先将的第n ⾏依次与第n-1⾏，n-2⾏，…,2⾏，1⾏对换，再将得到到的新的⾏列式的第n ⾏与第n-1⾏，n-2⾏，…,2⾏对换，继续仿此作法，直到最后将第n ⾏与第n-1⾏对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n （n-1）/2次⾏对换后，得到(1)2222211111111121(1)(1)(2)(1)(1)(2)(1)n n n n n n n n n n n a n a n a aD a n a n a a a n a n a a ----------+-+-=--+-+--+-+-上式右端的⾏列式已是范德蒙⾏列式，故利⽤范德蒙⾏列式得：n m n m E AB E BA211(1)[()()](1)()nn n n n j i nj i nD a n i a n j i j --≤<≤≤<≤=--+--+=--∏∏［分析］从某种意义上说，范德蒙⾏列式也是上⽂中提到的⼀种“范式”，很多类似多项式乘积的⾏列式都与范德蒙⾏列式存在某种关联．例12 计算如下⾏列式的值：12312341345121221n n n n D n n n -=--[分析]显然若直接化为三⾓形⾏列式，计算很繁，所以我们要充分利⽤⾏列式的性质．注意到从第1列开始；每⼀列与它⼀列中有n-1个数是差1的，根据⾏列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，⼀直到第⼀列乘以－1加到第2列．然后把第1⾏乘以－1加到各⾏去，再将其化为三⾓形⾏列式，计算就简单多了．解：11(2,,)(2,,)11111111111211111000311100010000001000020011(1)20002000011(1)()2i in n i n r r i n r r n n n D n n n n n n nn n n n n n nn nn n n nn n n n ===+--=-----++----+=-----+=-()(1)(2)12(1)12(1)(1)12n n n n n n n -----?-+=??-[问题推⼴]本题中，显然是1,2，…，n-1,n 这n 个数在循环，那么如果是a 0,a 1,…,a n-2,a n-1这n 个⽆规律的数在循环，⾏列式该怎么计算呢？把这种⾏列式称为“循环⾏列式”．从⽽推⼴到⼀般，求下列⾏列式：0121101223411230(,0,1,,1)n n n n i a a a a a a a a D a c i n a a a a a a a a ---??=∈=-解：令 0121223411230n n n a a a a aa a a A a a a a a a a a ---=⾸先注意，若u 为n 次单位根（即u n=1），则有：1011110212123111120101120112123011101(1,n n n n n n n n n n n n nn n n n n n a a u a u u a a u a u A u u u u a a u a uu a a u a u a a u a u a u a u a u a u a u a u a u a -----+-----------??++++++????? ==∴=??++++++++++++=++++这⾥⽤到等）12011122111201111()1()()n n n n n n n n n u a a u a u u u u a u u f u f u a a u a u u u --------=+++++=?=+++其中2122cossin 1,1(0)1,,,,n k n k kw w k n w w w ππ-=∴=≠<<设+i 为n 次本原单位根有:于是：互异且为单位根()2011(1)01101011001111,(0,1,,1)(,,,)(,,,)((),(),,())()(,,,)(j jj n n j i j j n n n n n w w j n w w w w w w A w f w w Aw Aw Aw Aw f w w f w w f w w f w w w w f w -------??==-=?=?===记：⽅阵则由上述知：故）122(1)0111(1)(1)1111(,,,)11n n n n n n w w w w w w w ww w ------??==显然为范德蒙⾏列式110A (1)()()(1)()()n n n w w w f f w f w A w A D f f w f w --∴≠==?∴==??从⽽有：⼜例12中，循环的⽅向与该推⼴在⽅向上相反所以例12与11122n n n n a a a a a a D a a a ---=相对应(1)(2)'21n n n n D D --⽽与只相差（－）个符号(1)(2)'1201,121(1)2(1)()(),,)(1,2,,)1,()123(1)12n n n n n k n n n D f f w f w a a a n u w f u u u nu f n -----+ ==≠=++++=+++=即得：=(-1)从⽽当（时对单位根总有：21()()1()1n f u uf u u u u n nnf u u-∴-=++++-=--∴=-1211111()1,11(1)111 n n k n k n k k x x w x x x x x w n--=-=-=-=++++-=-==∏∏⽽⼜令则有：＋＋＋(1)(2)'12(1)(2)1221(1)1211(1)2(1)12(1)()()(1)111()()2111(1)(1)2(1)1(1)21(1)2n n n n n n n n n n n n k k n n nn n n D f f w f w n n n w wwn n nw n n nn n ----------=---=+=----+-=-+-=+=-?∏从⽽有：(-1)(-1)与例12的答案⼀致．［点评］例12本⾝并不困难，但在“循环⾏列式”的推⼴中，运⽤了多项式单位根的相关理论，是⽐较难以想到的．由上述问题的求解可知，⾏列式的求值有时需要综合利⽤多种⽅法，上例就⽤到了Vandermonde ⾏列式和多项式理论．⼗、矩阵理论法有些⾏列式通过“矩阵”⼀章与⾏列式相关的某些等式，可以快速求解．引理：设A 为n m ?型矩阵，B 为m n ?型矩阵，n E ，m E 分别表⽰n 阶，m 阶单位矩阵，则有det()det()n mE BA E BA =证明：00n n n m m m E A E E AB A B E B E E λλ-= ??? ?-两边取⾏列式得： 00nn nn n m m m m mE A E E A E AB AE AB E BE B E BE E λλλλ-===--n E AB λ=- ⼜11n n nm m m E E A E A BE B BA E E λλλλ-? ?= ? ?-+同样两边取⾏列式有：11n n n nmmmmE E A E A E AE BBA E E λλλλλ-==-+()11nn m n m m m E BA E E BA E BA λλλλλλλ-=-+=-=- 得证．那么对于,A B 分别是n m ?和m n ?矩阵，0λ≠能否得到：n m n m E AB E BA λλλ-+=+答案是肯定的．证：00n n n m m m E A E E AB A B E B E E λλ-+-= ?-∴有：nn mE AE AB BE λλ-=+ ⼜ 11n nnm m m E E A E A BE B BA E E λλλλ-?? ? ?= ? ?+1E λλλλλ--∴=+=+ n m n m E AB E BA λλλ-∴+=+即得：对,A B 分别为n m ?和m n ?矩阵，0λ≠时，有：n m nmE AB E BA λλλ-=则当1λ=时，有：nmE AB E BA =∴引理得证．例13 计算如下⾏列式的值：1231231233123n n n n n a b a a a a a b a a D a a a b a a a a a a b ++=++解：令矩阵1231231233123n n n n a b a a a a a ba a A a a ab a a a a a a b++=++则可得：()123123121233123n n n n na a a a a a a a A bE bE a a a a a a a a a a a a ?? ? ?=+=+ ? ???11n n n bE B C ??=+ 其中 ()()1112111,,,,Tn n n B C a a a ??==那么根据上⾯所提到的引理可得：111n n n n n D bE BC b b C B -??=+=+⼜ ()11121111,,,n n n n i i C B a a a a ??=?? ? ?== ? ???∑可得：11()nn n i i D b a b -==+∑［点评］例13还可⽤加边法解决，不过这⾥的解法显然更简洁，且其中蕴含的理论更深刻．⼗⼀、⾼等数学法有些⾏列式可以看成函数，运⽤⾼等数学的求导、积分等⽅法解决．例14 求下列⾏列式的值：...........................n x y y y z x y yD z z x y z z z x=解：把n D 看作是x 的函数（即x 的n 次多项式），记作()n D x ，按Taylor 公式在z 处展开：()2'()''()()()()()()...1!2!!n n n n n n D z D z D z D x D z x z x z n =+-+-++，则 ......()=.....................n zy y y z z y yD z z z z y z z z z将()n D z 第⼀列减去第⼆列，第⼆列减去第三列，……，第n-1列减去第n 列，则有0..,00...0()............y z y y D z z y y z--=- 故有1()()k k D z z z y -=-，1,2,...,k n = （*）将()n D z 对x 求导，结果是n 个⾏列式之和，⽽每个⾏列式是由()n D x 对每⼀⾏求导⽽其余各⾏不变得到的．例如，对第⼀⾏求导得到100...0........................z x y yz z x y z z z x将上述⾏列式按第⼀⾏展开，得到1()n D x -．类似地，对任意的第k ⾏求导，同样得到1()n D x -．因此1'()()n n D x nD x -=．类似地有12'()(1)()n n D x n D x --=-，……，21'()2()D x D x =，1'()1D x =（由于1()D x x =）取x z =处地导数，由（*）得1'()()n n D z nz z y -=-，2''()(1)()n n D z n n z z y -=--，……，(1)()(1)...2n nD z n n z -=-，()()(1)...1!n n D z n n n =-=代⼊Taylor 展开式，得12!()()()()...()1!!n n n n n n D x z z y z z y x z x z n --=-+--++- 当y z =时，上式简化为1()0...0()()n n n D x ny x y x y -=+++-+-1()[(1)]n x y x n y -=-+-当y z ≠时，上式简化为1()[()()()...()]()1!n n n n n z n y D x z y z y x z x z x z z y z y-=-+--++----- [()()]()n n z y z y x z x z z y z y=-+----- ()()n n z x y y x z z y---=-总结⾏列式问题变化多端，但⽅法和范式只有若⼲种．对于正常难度的问题，⾸先运⽤初等变换的⽅式看能否容易地变成各种已知解法的“范式”；若不易求出，则应对低阶情况下的⾏列式进⾏试验，尝试找出规律，再⽤数学归纳法证明，或利⽤初等变换、多项式法等，向结论“靠拢”．。

矩阵与行列式的基本运算与性质矩阵和行列式是线性代数中重要的数学工具，它们在各个领域都有广泛的应用。

本文将探讨矩阵与行列式的基本运算和性质，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、矩阵的定义与基本运算矩阵是由m行n列元素组成的矩形数组，通常用大写字母表示。

矩阵中的元素可以是实数或复数。

一个m×n的矩阵可以表示为：A = [aij]m×n其中，aij表示第i行第j列的元素。

矩阵的基本运算包括加法、减法和数乘。

对于两个相同维度的矩阵A和B，它们的加法和减法定义如下：A +B = [aij + bij]m×nA -B = [aij - bij]m×n对于一个矩阵A和一个实数k，数乘定义如下：kA = [kaij]m×n二、矩阵的乘法与转置矩阵的乘法是一种比较复杂的运算，需要符合一定的规则。

对于一个m×n的矩阵A和一个n×k的矩阵B，它们的乘积AB定义如下：AB = [cij]m×k其中，cij = a1j*b1i + a2j*b2i + ... + anj*bni。

需要注意的是，矩阵的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。

矩阵的转置是指将矩阵的行变为列，列变为行。

一个m×n的矩阵A 的转置记为AT，其定义如下：(A^T)ij = Aji转置操作可以改变矩阵的维度，即如果A是一个m×n的矩阵，则AT是一个n×m的矩阵。

三、行列式的定义与性质行列式是一个与矩阵相关的数值。

对于一个n阶方阵A，其行列式记为|A|或det(A)，它的定义如下：|A| = a11a22...ann + a12a23...a(n-1)n + ... + (－1)^(n+1)an1a2...a(n-1)行列式有一些基本的性质，包括以下几点：性质1：如果矩阵的某一行或某一列都是0，则其行列式的值为0。

性质2：如果矩阵的两行或两列相等，则其行列式的值为0。

行列式不同计算方法的比较研究行列式是线性代数中的重要概念，它在代数、几何和物理等领域都有着重要的应用。

行列式的计算方法有很多种，每种方法都有其独特的优势和适用范围。

本文将对行列式不同计算方法进行比较研究，分析它们各自的特点和适用情况，为读者提供更全面的行列式计算方法选择参考。

一、行列式的定义在开始比较不同的计算方法之前，我们先来回顾一下行列式的定义。

二、行列式的计算方法1. 代数余子式法代数余子式法是计算行列式的经典方法，也是最直接的方法之一。

根据行列式的定义，我们可以通过求解余子式和代数余子式来计算行列式的值。

具体步骤是：选取矩阵的某一行或某一列，计算每个元素对应的余子式，然后利用代数余子式的定义进行计算得到行列式的值。

这种方法的优点是原理简单，适用范围广泛，并且可以灵活地选择计算的行或列；缺点是当矩阵较大时，计算量较大，容易出现精度问题。

2. 拉普拉斯展开法3. LU分解法LU分解法是一种将行列式转化为上、下三角矩阵相乘的方法。

它的基本思想是将原矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过LU分解后的矩阵来求解行列式的值。

具体步骤是：将原矩阵A进行LU分解，然后通过对角线元素的乘积得到行列式的值。

这种方法的优点是可以减少计算量，特别适用于大规模矩阵的行列式求解；缺点是LU分解过程中可能会出现数值精度问题，影响行列式计算的准确性。

4. 特征值法以上介绍了四种计算行列式的经典方法，它们各自有着不同的特点和适用范围。

接下来，我们将对这四种方法进行比较研究，分析它们在计算效率、计算精度等方面的优劣。

三、不同计算方法的比较研究1. 计算效率在计算效率方面，代数余子式法和拉普拉斯展开法都需要进行大量的代数余子式计算，当矩阵规模较大时，计算量会呈指数级增长，因此效率较低。

LU分解法和特征值法都是通过对矩阵进行变换来减少计算量，特别适用于大规模矩阵的行列式求解。

在计算效率方面，LU分解法相对特征值法更加简单高效。

矩阵的行列式计算矩阵的行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个标量值，用于描述矩阵的性质和重要参数。

矩阵的行列式计算方法有多种，其中最常用的方法是利用定义式，即通过对矩阵的每一行（或每一列）进行展开求和的方式计算行列式的值。

矩阵的行列式计算方法可以通过递推关系来理解和推导。

对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)，具体展开计算过程如下：1. 当n=1时，矩阵为一个标量，其行列式的值即为该标量本身。

2. 当n>1时，我们选择一行或一列，通常选择第一行或第一列，作为展开的基准。

对于第i行（或第i列），可以将矩阵A拆分为A(i0)和A(i·)两部分，其中A(i0)是去除第i行（或第i列）的子矩阵，A(i·)是由矩阵A的其余行（或列）组成的子矩阵。

3. 根据定义式，可得到行列式的展开式：det(A) = a1j * det(A(10)) + a1j+1 * det(A(11)) + ... + a1n *det(A(1n))，其中ajk为第一行（或第一列）的第k个元素。

4. 继续递推展开子矩阵的行列式，直至展开到n=1的情况，即可得到行列式的值。

对于较大的矩阵，直接利用定义式计算行列式的值会变得非常繁琐。

在实际计算中，可以利用矩阵的性质和定理来简化计算过程。

例如，对于三阶方阵A = [a,b,c; d,e,f; g,h,i]，可以使用Sarrus 法则来计算行列式的值：det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh。

另外，还有一些其他计算行列式的方法，如性质法则、拉普拉斯展开法、高斯消元法等。

这些方法在具体计算过程中有一定的优势和适用场景，可以根据具体问题选择合适的方法。

除了行列式的计算方法，矩阵的行列式还具有一些重要的性质和应用。

其中，最重要的性质包括：1. 任意矩阵的转置矩阵与原矩阵的行列式相等。

2. 矩阵的行列式与其伴随矩阵的行列式相等。

矩阵求逆和矩阵行列式的计算方法矩阵是一种在数学和计算机科学中广泛应用的数学工具。

在应用数学和工程学中，矩阵常常被用来表示和解决线性方程组的问题。

矩阵求逆和行列式计算是矩阵理论中的两个重要问题，本文将着重讨论这两个问题的计算方法。

1. 矩阵求逆的概念矩阵求逆是对于给定的n阶矩阵A，寻找一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是n阶单位矩阵。

如果矩阵A存在逆矩阵B，那么矩阵A就是可逆矩阵。

矩阵求逆是矩阵理论中的一个经典问题，也是非常重要的一个问题。

2. 矩阵求逆的计算方法矩阵求逆的计算方法有很多种，其中比较常用的是伴随矩阵法和高斯消元法。

2.1 伴随矩阵法：所谓伴随矩阵法就是利用矩阵的伴随矩阵来计算矩阵的逆。

设A=(aij)是一个n阶矩阵，则A的伴随矩阵是指一个矩阵，其元素Aij的值为Aij的代数余子式乘上(-1)的(i+j)次幂。

例如，对于一个3阶矩阵A=(aij)，它的伴随矩阵C=(cij)的元素为：c11= (-1)2(a22a33-a23a32)c12= (-1)3(a21a33-a23a31)c13= (-1)2(a21a32-a22a31)c21= (-1)3(a12a33-a13a32)c22= (-1)4(a11a33-a13a31)c23= (-1)3(a11a32-a12a31)c31= (-1)2(a12a23-a13a22)c32= (-1)3(a11a23-a13a21)c33= (-1)2(a11a22-a12a21)如果A的行列式不为0，则矩阵A的逆矩阵就是A的伴随矩阵C除以A的行列式det(A)，即B=C/det(A)。

2.2 高斯消元法：高斯消元法是一种求解线性方程组的方法。

对于一个n*n的矩阵A和它的逆矩阵B=[bij]，以及n维的向量b，考虑求解线性方程组Ax=b，则有下面的高斯消元法：（1）增广矩阵A|b->[A|b]。

（2）对[A|b]矩阵进行初等行变换，使得[A|b]变成上三角矩阵[U|c]。

行列式的计算方法和解析论文行列式是线性代数中重要的概念，其在矩阵理论、向量空间等方面有广泛的应用。

行列式的计算方法包括拉普拉斯展开、按行（列）展开、递推法等。

行列式的计算方法在不同的场景下有不同的适用性，下面将详细介绍行列式的计算方法及其应用，并从一篇经典的解析论文中探讨行列式在数学研究中的作用。

一、行列式的计算方法1.拉普拉斯展开法：拉普拉斯展开法是求行列式的一种常用的计算方法。

假设A是一个n阶方阵，其中元素用a_ij表示，对于任意一个a_ij，可以通过展开该元素所在的行和列的其他元素来计算行列式的值。

拉普拉斯展开法的基本原理是递归地求解子行列式的值，直到得到一个1阶行列式。

例如，对于一个3阶行列式A=，a_11a_12a_13a_21a_22a_2a_31a_32a_3可以通过拉普拉斯展开法按第一行展开来计算行列式的值：A，=a_11*，A_11，-a_12*，A_12，+a_13*，A_1=a_11*(a_22*a_33-a_23*a_32)-a_12*(a_21*a_33-a_23*a_31)+a_13*(a_21*a_32-a_22*a_31)其中，A_11，表示去掉第一行第一列元素的2阶子行列式，以此类推。

2.按行（列）展开法：按行（列）展开法是求行列式的另一种计算方法。

通过选择其中一行（列），将行列式扩展为若干个较小阶的子行列式，最终递归地计算行列式的值。

按行展开和按列展开所得到的计算表达式相同，只是展开的方式不同而已。

例如，对于一个3阶行列式A=，a_11a_12a_13a_21a_22a_2a_31a_32a_3可以通过按第一行展开来计算行列式的值：A，=a_11*，A_11，-a_12*，A_12，+a_13*，A_1=a_11*(-1)^(1+1)*(a_22*a_33-a_23*a_32)-a_12*(-1)^(1+2)*(a_21*a_33-a_23*a_31)+a_13*(-1)^(1+3)*(a_21*a_32-a_22*a_31)其中，(-1)^(i+j)是代数余子式。

高等代数中的行列式与矩阵关系与计算方法高等代数中的行列式与矩阵：关系与计算方法高等代数是现代数学的一门重要学科，其中行列式与矩阵是其核心内容之一。

本文将介绍行列式与矩阵的关系以及计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。

1. 行列式的概念与性质行列式是一个方阵所具有的一个标量值。

对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|，其定义如下：det(A) = a₁₁·a₂₂·...·aₙₙ - a₁₂·a₂₁·...·aₙₙ₋₁ +a₁₃·a₂₃·...·aₙₙ₋₂ - ... + (-1)^(n+1)·a₁ₙ·a₂ₙ₋₁·...·aₙ₁其中，aᵢₙ代表矩阵A的第i行第j列的元素。

行列式具有以下性质：- 若矩阵A的两行或两列互换，则行列式的值变号。

- 若矩阵的某一行（列）元素全为0，则其行列式的值为0。

- 若矩阵的某行（列）有两个元素相同，则其行列式的值为0。

- 若矩阵的某行（列）是另一行（列）的倍数，则其行列式的值为0。

- 两个矩阵进行加减运算时，其行列式的值也分别相加减。

2. 矩阵的概念与性质矩阵是由数字按照矩形排列而成的数表，常用来表示线性方程组和线性变换。

一个矩阵由m行n列的元素构成，记作A =[aᵢₙ]ᵢ₌₁₋₁,...,m ₋ j₌₁,...,n。

矩阵具有以下性质：- 矩阵的行数与列数分别称为其阶数。

- 若两个矩阵的对应元素相等，则这两个矩阵相等。

- 矩阵的加法与减法满足交换律和结合律。

- 矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律。

- 矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换，记作Aᵀ。

3. 行列式与矩阵的关系行列式与矩阵之间有着紧密的联系。

一个方阵A的行列式可以用它的元素构成的矩阵来表示，即：|A| = det(A) = [a₁₁, a₁₂, ..., a₁ₙ][a₂₁, a₂₂, ..., a₂ₙ][..., ..., ..., ...][aₙ₁, aₙ₂, ..., aₙₙ]其中，aᵢₙ代表矩阵A的第i行第j列的元素。

1行列式的基本理论1.1行列式定义定义 行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数之和为偶数符号为正，逆序数之和为奇数符号为负。

这一定义可以写成()()121212111212122212121n nnn j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑,这里12nj j j ∑表示对所有n 级排列求和.1.2行列式的性质1、行列式的行列互换，行列式不变；nnn nn n nnn n n na a a a a a a a a a a a a a a a a a 212221212111212222111211=2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；nnn n in i i kn k k nnn n n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a2121211121121212111211-= 3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；nnn n in i i nnn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a 212111211212111211= 4、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；02121211121121212111211==nnn n in i i in i i nnnn n ini i in i i na a a a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a a a a5、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。

nnn n nnnn n n n n nnnn n n n na a a c c c a a a a a ab b b a a a a a ac b c b c b a a a212111211212111221221111211+=+++ 6、把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

昆明学院2010 届毕业设计（论文）设计（论文）题目行列式的计算方法研究姓名学号 S006054127所属系数学系专业年级数学与应用数学2006级数学<1>班指导教师2010年 5 月摘要在线性代数中，行列式是个函数。

在本质上，行列式描述的是在n维空间中一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。

行列式的概念出现的根源是解线性方程组。

本论文首先，对行列式的计算方法进行总结，并对计算方法进行举例。

其次，n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法。

最后，值得注意的是，在同一个行列式有时会有不同的求解方法，这就要根据行列式的特点选择适当的方法了。

关健词：行列式计算方法方法举例AbstractIn linear algebra, the determinant is a function.In essence, the determinant dimensional space described in a linear transformation.The formation of "parallel polyhedron" and "volume".The concept of the root of the determinant there is solution of linear equations.The paper on the summary of the calculation of the determinant and the calculation method for example.n-order determinant have many the calculation methods,Fewer non-zero elements Can be calculated using the definition(1.In accordance with the start of a column or a row. 2.Full expansion.). More determinant of the nature of the calculation is to use.In particular, observe the characteristics of the subject request,Flexible Selection Method.It is to be noted that In the same determinant sometimes will have different methods for solving. Here are some commonly used methods and illustrate with examples.Keywords:Determinant Calculation motheds illustrate with examples目录前言 (1)第一章普遍法求行列式1.1利用行列式的定义直接计算 (2)1.2利用行列式的性质计算 (2)1.3化为三角形行列式 (3)1.3.1直接化为阶梯型 (3)1.3.2相同去项化上三角形 (4)第二章特殊法求行列式2.1降阶法（按行（列）展开法） (5)2.1.1先简后展 (5)2.1.2 按第一行（列）展开 (6)2.2 递（逆）推公式法 (7)2.2.1等差数列递推 (7)2.2.2“一路直推” (9)2.2.3对角递推 (9)2.3利用德蒙行列式 (11)2.3.1变形德蒙行列式 (11)2.3.2 系数德蒙行列式 (12)2.3.3利用行列式性质凑德蒙行列式 (13)第三章其他方法求行列式3.1加边法（升阶法） (14)3.1.1“0”和“字母”加边 (14)3.1.2“0”和“1”加边 (14)3.2 数学归纳法 (16)3.2.1第一数学归纳法 (16)3.2.2第二数学归纳法 (17)3.2.3猜测归纳法 (17)3.3拆开法 (19)3.3.1对角拆开 (19)3.3.2按行（列）拆 (19)参考文献.............................................................................................21. 辞. (22)前言在线性代数中，行列式是一个函数，其定义域为的矩阵A，值域为一个标量，写作)det(A。

分块矩阵行列式计算的若干方法摘要:矩阵是线性代数中研究的重要对象，也是数字计算中的一个重要工具，矩阵运算具有整体性和简洁性的特点。

我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律。

为了研究问题的需要，适当的对矩阵进行分块，把一个大矩阵看成是由一些小矩阵块为元素组成的，这样可使矩阵的结构看的更清楚，表达和运算更简便的特点。

矩阵分块的思想在线性代数证明以及应用中是十分有用的。

运用矩阵分块的思想，可使解题更简洁，思路更开阔。

本文就将分块矩阵的思想运用到行列式的计算当中来，利用分块矩阵来计算行列式，并且得出一些简便的方法。

借助准三角形分块矩阵的行列式值的结果简化高阶行列式的计算。

例如，本文讨论了利用分块矩阵计算行列式的︱H ︱=BC DA 方法，即（1）当矩阵A 或B 可逆时；（2）当矩阵A=B,C=D 时；（3）当A 与C 或者B 与C 可交换时；（4）当矩阵H 被分成两个特殊矩阵的和时等一些方法去探究分块矩阵行列式计算求值的若干方法。

关键词:分块矩阵；准三角形分块矩阵；可逆矩阵；行列式；计算；单位矩阵Several Measures Of Block Matrix In ComputingDeterminantZhouxu(Hunan Normal University Mathematics and Applied Mathematics Grade 2004)Abstract ：Matrix is the important object which in the linear algebra studies, isalso a important tool in the digital computation . The matrix operation with integrity and simplicity of the characteristics. We should pay attention to some special rules of the matrix operation fully.In order to study the issue of the need, we carries on the piecemeal suitably to the matrix,regard a big matrix as some small ones,which integrate it, This will enable the matrix structure more clearly,with the characteristics of expression and computing easier.The thought of dividing matrix into blocks is very important in proving and applying the linear e the thought of dividing matrix to blocks can help us to solve problems more pithily and think methods more widely.This thesis uses the blocking matrix method into the calculation of determinant,tries to solve the linear equations . Severa1 more general results are proved through the way aided by the result of the determinants for quasi-triangle piece matrices ，which does not change the nature of the determinnts ，For example, this article discussed the methods of computing ︱H ︱=BC DA with using block matrix. That is:(1)A andB are invertible matrixes;(2)A=B and C=D;(3)AC=CA or BC=CB;(4)matrix H is divided into two particular matrix , And some other ways to explore block matrix determinant for Calculating its valueKey words ：block matrix; quasi —triangle piece matrices ；inverse matrices ；determinants ； computation ；unit matrix1．引言1.1矩阵分块的意义在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。

行列式计算的若干方法总结
吕淑君
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2016(000)022
【摘要】行列式作为高等代数的一个基本概念,它的计算是高等代数中的难点、重点,行列式的计算方法多种多样,特别是高阶行列式的计算,学生在学习过程中,普遍存在很多困难,难于掌握.行列式的几种常见计算方法有：定义法、化三角形法、升阶法、降阶法、数学归纳法、递推法等,可根据不同的行列式选取适当的方法求解.【总页数】2页(P6-7)
【作者】吕淑君
【作者单位】甘肃畜牧工程职业技术学院,甘肃武威733006
【正文语种】中文
【中图分类】G623.503
【相关文献】
1.一个n阶行列式的若干种计算方法
2.抽象行列式计算方法总结
3.线性代数教学中高阶行列式若干计算方法探究
4.关于格矩阵行列式的若干计算问题研究
5.若干类型行列式计算方法
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