(完整)必修5解三角形知识点和练习题(含答案),推荐文档

【译文】玉露凋伤枫树林，——白露凋伤了漫山遍野的枫林，巫山巫峡气萧森。

——巫山巫峡的气象满目萧瑟阴森。

江间波浪兼天涌，——峡中的江水波涛滚滚汹涌连天，塞上风云接地阴。

——塞上风云漫卷密布天地一片阴沉。

丛菊两开他日泪，——秋菊已开两度回想他日再流泪，孤舟一系故园心。

——孤舟靠岸系绳也系着我游子的故园心。

寒衣处处催刀尺，——深秋季节处处都在为游子征夫赶制寒衣，白帝城高急暮砧。

——傍晚白帝城头传来急促的捶布声。

【译文】群山万壑赴荆门，——千山万壑逶迤不断奔赴荆门山，生长明妃尚有村。

——这里遗留有生长明妃的香溪村。

一去紫台连朔漠，——一别汉宫便与北方荒漠连一起，独留青冢向黄昏。

——最后只留下青冢向着漠漠黄昏。

画图省识春风面，——画工曾经辨识昭君美丽的面容，（却因一己私欲致使昭君嫁匈奴），环佩空归月夜魂。

——只有死后魂灵徒然在月夜归来。

千载琵琶作胡语，——千年以来琵琶弹奏的胡地乐曲，分明怨恨曲中论。

——还分明倾诉着她内心的怨恨情。

【译文】风急天高猿啸哀，-- 风急天高猿猴啼叫显得十分悲哀，渚清沙白鸟飞回。

-- 水清沙白的河洲上空鸟儿在盘旋。

无边落木萧萧下，-- 无边无际的树木萧萧地飘下落叶，不尽长江滚滚来。

-- 望不到头的长江水滚滚奔腾而来。

万里悲秋常作客，-- 悲对秋景感慨万里漂泊常年为客，百年多病独登台。

-- 一生当中疾病缠身今日独上高台。

艰难苦恨繁霜鬓，-- 历尽了艰难苦恨白发长满了双鬓，潦倒新停浊酒杯。

-- 穷困潦倒偏又暂停了浇愁的酒杯向量知识点的归纳一、知识梳理：（1）本章要点梳理：1.向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”，特别注意：)(21→→+ACAB表示△ABC的边BC的中线向量.向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），||AB表示A、B两点间的距离；以、为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量+、-（或-）.2.理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义。

必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题(数学教研组)一、知识点总结1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C=== （R:外接圆半径） 或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =.结论：①定理：在三角形中，α、β为其内角，则α≤β⇔sin sin αβ≤，等号当且当α=β时成立。

②判断三角形大小关系时，可以利用如下原理：sin A ＞ sin B ⇔ A ＞ B ⇔ a ＞ bcos cos A B A B >⇔<⇔a < b③三角形的面积公式： ∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3．利用正弦定理和余弦定理分别能解决的问题：（1）正弦定理：1、已知两角和一边（如A 、B 、c ），由A +B +C =π求C ，由正弦定理求a 、b .(ASA 或AAS)2、已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况.(SSA)（2）余弦定理：1、已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C .(SSS)2、已知两边和夹角（如a 、b 、C ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C =π，求另一角.(SAS)主流思想：利用正、余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 6. 求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解； （4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。

必修五：解三角形知识点一：正弦定理和余弦定理1.正弦定理a b c:si nAsin B si nC J'或变形：a: b:c s iri A:sin B:sin CcosAb 2 2 c2a2bc2 222a2 2b c2bccos AcosB ac b2acb 22 2 a c2accosBcosCb 2 2 a 2 c2 c 2 2 b a 2 •余弦定理：2bacosC 或2ab3. （ 1）两类正弦定理解三角形的问题： 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题： 1、已知三边求三角•2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4•判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式运算 女口. sin(A B) sinC,cos(A B)A B C ABC AB C sincos ,cossin ,ta n cot — 2 2 22 225 •解题中利用 ABC 中A B C，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的cosC, tan(A B) tanC,1.若ABC 的三个内角满足si nA:si nB:si nC 5:11:13，贝U ABC 是( )A. 锐角三角形B•钝角三角形C.直角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形•2 .在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a2b=2,sinB+cosB= 、 2 ,则角A的大小为( )A - B. _ C - D.—2 3 463.在厶ABC中，a 7,b 4、.3,c.13 ,则最小角为A—B、一 C 、— D 、364124.已知ABC中，AB 4, AC 3, BAC60，则BC ()A. 13B. 13C.5D.10 5•在锐角ABC中，若C 2B，则c的范围（）bA. 2, 3 B . 3,2 C . 0,2 D. 2,26.在ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知a2b2c2-、°ab，则C （）23A. 2B.4C.3D.47.在厶ABC中，A60o,b16,面积S220 .. 3，则cA 10、6 B、75C、55D、4 98.在厶ABC中，（a c)(a c) b(b c), 则AA 30o B、60o C、120o D、150o9.已知ABC中，AB 4,BAC45AC 3.2则ABC的面积为cosB b10.在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cosC 2a c ,则角B的大小为11.已知锐角三角形的边长分别是23 x，则x的取值范围是A、1 X 5 B 、、5 x ^13 C 、0 x .5 D 、13x512 . ABC中，AB 1,BC 2则角C的取值范围是__________________知识点二：判断三角形的形状问题C1.在ABC 中，若cos A cos B sin2—，则ABC 是（）2A.等边三角形B •等腰三角形C .锐角三角形D.直角三角形A、一定是直角三角形C、可能是锐角三角形tan A3. 已知在△ABC中，tan B a b4. 在ABC 中，若cosA cosBA .等腰直角三角形5. 在△ ABC 中，若2cosBsinA = sinC,y^ ABC 的形状一定是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形6. △ ABC 中，B 60°, b2 ac,则厶ABC - -定是( )A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形7. 若(a+b+c)(b+c —a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么△ ABC 是()A .直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形 D . 等腰直角三角形8.在厶ABC中，已知2ab c2sin A sin BsinC，试判断厶ABC的形状。

高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)第一部分必修五三角函数知识点整理第一章解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sinB ...........................A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ?外接圆的直径)2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6. 答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC → 的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析设三边长分不为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a 2－2a 22·a ·3a ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a 2＋3a 2－a 22·2a ·3a ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 所以三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数别确定解析由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinA a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分不为A ，B 的对边)，这么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析依照正弦定理，原式可化为2R ? ??a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满脚ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析由a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴c osC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32. ∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35解析由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的歪坡，它的倾歪角为20°，现要将倾歪角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32km 解析如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2解析在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22? ????32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A 13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析由B ＝A ＋60°，得 sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. 又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA. 即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0，∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析设b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝XXX ，试推断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA 2sinB ，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B.(2)∵a ＝XXX ，由a 2＝b(b ＋c)，得XXX 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b.又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满脚2sin(A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32. 19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分不是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝ 3.。

第一章 解三角形一、选择题1．在ABC 中，(1) b 2a sin B ;(2) (a b c)(b ca)(22) bc , (3) a 3 2 , c 3, C300 ;(4) sin Bcos A;则可求得角 A 450 的是（）baA ．（ 1）、（ 2）、（ 4）B ．（ 1）、（ 3）、（4）C ．（2）、（ 3）D ．（ 2）、（ 4）2．在ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A ． b 10 ， A 45 ， C 70B ． a 60 ， c 48 ， B 60C ． a 14 ， b 16 ， A 45D ． a 7 ， b5 ， A 803．在ABC 中，若 b c2 1， C45 ， B30 ，则（ ）A ． b 1, c2 ；B ． b2, c 1；C ． b2, c 12 ； D ． b 12, c222224．在△ ABC 中，已知 cos A53）13 ， sin B，则 cosC 的值为（5A.16 或 56 B. 16C . 56D. 1665 656565655．如果满足 ABC60 ， AC 12 ， BC k 的△ ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是（）A ． k 8 3B ． 0 k 12C ． k 12D ． 0 k 12 或 k 8 3二、填空题6．在ABC 中， a5， A 60o ， C15 ，则此三角形的最大边的长为．7．在ABC 中，已知 b 3 ， c3 3 ， B 30 ，则 a __．8．若钝角三角形三边长为a 1 、 a 2 、 a 3 ，则 a 的取值范围是．9．在△ ABC 中， AB=3 ，BC=13 ， AC=4 ，则边 AC 上的高为10. 在 △ ABC 中，（ 1）若 sinC sin(B A) sin 2A ，则 △ ABC 的形状是.（ 2）若 sinA= sin B sin C，则 △ ABC 的形状是.cos B cosC三、解答题11. 已知在ABC中 , cos A 6 , a, b, c分别是角A, B,C所对的边 .3(Ⅰ )求tan2A；(Ⅱ )若sin( B) 2 2 , c 2 2 ,求ABC 的面积.2 3解 :12. 在△ABC中，a, b,c分别为角A、、C的对边，a2c2b28bc ，a=3,△ABC的面积为6，B5D 为△ ABC 内任一点，点 D 到三边距离之和为 d。

C . a=1,b=2,/ A=100C . b=c=1, / B=45解三角形3. ( 1)两类正弦定理解三角形的问题： 1已知两角和任意一边，求其他的两边及一角•2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角 (2)两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角•2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4•判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 . 5•解题中利用 ABC 中A B C ，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算, 如：sin(A B) si nC,cos(A B) cosC, tan (A B) tanC,sin~ cosC,cos — sinC.tanA^ cotC .、1>A ABC 中,a-1,b-、3/ A-30 °，则/ B 等于( )A . 60°B . 60° 或 120°C . 30° 或 150°D . 120°2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )a b—— 2R 或变形sinC sin A sin B 2a2 2b c 2bccosA b 2 2 2 a c2accosB 或 2 c2 2 b a2bacosCa:b: c sinA:sin B:sin CcosAb 22c 2a2bccosB a 22 c b 22accosC b 22 a 2c2ab1正弦定理2 •余弦定理:A. a-1,b-2 ,c=3 B . a-1,b- . 2 ，/A-30 °C. a=1,b=2,/ A=100 C. b=c=1, / B=453、在锐角三角形ABC中，有5、设A、B、C为三角形的三内角，且方程(sinB —sinA)x2+(sinA —sinC)x +(sinC —sinB)=0有等根，那么角BD .不定的高度AB等于asin sin A .si n(asin cosC .sin( )a sinB .cos(31a=5'b=4^os(A —"3?则cosC=A为厶ABC的一个内角，且sinA+cosA=—,则厶ABC 是12三角形•9、在厶ABC中，若S A ABC4 (a2+b2—c2),那么角/ C=A . cosA>sinB 且cosB>sinAC. cosA>sinB 且cosB<sinA4、若(a+b+c)(b+c —a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,A .直角三角形C.等腰三角形B . cosA<sinB 且cosB<sinAD . cosA<sinB 且cosB>sinA那么△ ABC是( ) B .等边三角形D .等腰直角三角形B>60 °C. B<60°D. B w 60°6、满足A=45 ° ,c=、..6 ,a=2 的厶ABC的个数记为m,则a m的值为7、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是BB ),则A点离地面sina cos sincos( )10、在4 ABC 中,11、在4 ABC中，求分别满足下列条件的三角形形状：①B=60 ° ,b2=ac; ②b2tanA=a2tanB;— sin A sin B 金，2“ 2 2③sinC= ④(a2—b2)sin(A+B)=(a 2+b2)sin(A —B).cosA cosB12.在△ ABC中，已知内角A —,边BC 2, 3 •设内角B x，周长为y .(1)求函数y f(x)的解析式和定义域；(2)求y的最大值.13 .在VABC中，角A, B,C对应的边分别是a, b,c，若sin A 丄，si nB2求a: b: c14.在VABC中a,b,c分别为A, B, C的对边，若2sinA(cosB cosC) 3(sinB sinC),(1)求A的大小；(2)若a . 61,b c 9，求b和c的值。

第一章 解三角形1、正弦定理：在C 中， a 、 b 、 c 分别为角 、 、 C 的对边， R 为 C 的外接圆的半径，则有： a b c 2R ．sin sin sinC2、正弦定理的变形公式：① a2Rsin ， b 2Rsin ， c 2Rsin C ；② sin a ， sin bc2R ， sin C ；2R 2R③ a : b : c sin :sin :sin C ；④a b c a b csinsin C sinsin．sinsin C注意： 正弦定理主要用来解决两类问题： 1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。

（一解、 两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知 a 、b 、 A （ A 为锐角）求B 。

具体的做法是： 数形结合思想画出图：法一：把 a 扰着 C 点旋转，看所得轨迹以 AD 有无交点：当无交点则 B 无解、 C当有一个交点则 B 有一解、当有两个交点则B 有两个解。

a法二：是算出 CD=bsinA, 看 a 的情况： bbsinA当 a<bsinA ，则 B 无解 当 bsinA<a ≤ b, 则 B 有两解AD当 a=bsinA 或 a>b 时， B 有一解注：当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。

3、三角形面积公式：SC1bcsin1 ab sin C 1acsin．2224、余弦定理：在C 中，有 a 2b 2c 2 2bc cosc 2a 2b 2 2ab cosC， b 2 a 2 c 2 2ac cos ，．5、余弦定理的推论：b 2c 2a 2cos2bc ，a 2 c 2b 2cos2ac ，a 2b 2c 2cosC2ab ．6、如何判断三角形的形状：设 a 、b、 c 是 C 的角、、 C 的对边，则：①若 a2b2c2，则 C90o；②若a2b2c2，则 C90o；③若a 2b22，则 C90o．B cA7、正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,但不能到达，在岸边选取相距 3 千米的C、D两点，O O O并测得∠ ACB=75,∠ BCD=45,∠ADC=30,O、B、 C、 D在同一平面内) ，求两目标C D∠ADB=45(A A、 B 之间的距离。

高中数学必修5(人教B版)第一章解三角形1.2知识点总结含同步练习题及答案
高中数学必修5(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章解三角形 1.2 应用举例
一、学习任务
能用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
二、知识清单
解三角形的应用
三、知识讲解
1.解三角形的应用
描述：利用正弦定理、余弦定理解决实际测量中的一些问题．
例题：为了测量两山顶 M ， N 间的距离，飞机沿水平方向在 A ， B 两点进行测量， A ，
B ， M ，
N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和
A ，
B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②
用文字和公式写出计算 M ， N 间的距离的步骤．解：
方案一：
①需要测量的数据有：
A 点到 M ，N 点的俯角α1 ，β1 ，
B 点到 M ，N 点的俯角α2 ，β
2 ；
A ，
B 间的距离 d （如图所示）．
②第一步：计算 AM ．由正弦定理，得。

高二数学期末复习专题——解三角形复习要点a b c1．正弦定理: 2sin A sin B sin CR或变形：a : b:c sin A : sin B : sin C .2 2 2a b c 2bc cos A2 2 2b ac 2ac cos B2 2 2c b a 2ba cos C 或cos AcosBcosC2 2 2b c a2bc2 22a c b2ac2 22b a c2ab2．余弦定理：.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形。

5．解题中利用ABC 中A B C ，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin( A B) sin C, cos( A B) cosC ,tan( A B) tan C,A B C A B C A B . Cs i n c o s , c o s s i n , t a n c o t2 2 2 2 2 21一．正、余弦定理的直接应用：1、ΔABC 中,a=1,b= 3,∠A=30°,则∠B 等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°2、在ΔABC 中，角A, B,C 对应的边分别是a,b,c ，若1sin A ,2sin3B ，求2a :b :c3、在ΔABC 中，若SΔABC= 14(a2+b2－c2),那么角∠C=______.2+b2－c2),那么角∠C=______.4．若△ABC 的周长等于20，面积是10 3，A＝60°，则BC 边的长是（）A．5 B．6 C．7 D．85．在△ABC 中，C－A＝π 1 ，sinB＝3. 2(1)求sinA 的值；(2)设AC＝6，求△ABC 的面积．6．在△ABC 中，若(a b c)( a b c) 3ac ，且tan A tan C 3 3 ，AB 边上的高为4 3 ，求角A, B,C 的大小与边a,b,c 的长2二．判断三角形的形状7、在锐角三角形ABC 中，有（）A．cosA>sinB 且cosB>sinA B．cosA<sinB 且cosB<sinAC．cosA>sinB 且cosB<sinA D．cosA<sinB 且cosB>sinA8、若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9、钝角ΔABC 的三边长分别为x,x+1,x+2，其最大角不超过120°则实数x 的取值范围是：10. 已知a、b、c分别是ABC 的三个内角 A 、B 、C 所对的边3（1）若ABC 面积S ABC , 2, 60 ,求a、b 的值；c A 2（2）若a ccos B ，且b c s in A ，试判断ABC 的形状．3三．测量问题11．在 200 m 高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为 30°，60°，则塔高为()A. 400 400 3 200 3 200 3 mB. 3 mC. 3 mD. 3 m12．测量一棵树的高度，在地面上选取给与树底共线的A 、B 两点，从 A 、B 两点分别测得树尖的仰角为 30° ，45° ，且 AB=60 米，则树的高度为多少米？ 11.如图，四边形 ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝ CD ＝2，则该四边形的面积等于 ( )A. 3B ．5 3C ．6 3D ．7 312.一缉私艇发现在北偏东 45 方向, 距离 12 mile 的海面上有一走私船正以 10 mile/h 的速度沿东偏南 15 方向逃窜.缉私艇的速度为 14 mile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船 , 缉私艇应沿北偏东 45 的方向去追 , 求追北 及所需的时间和 角的正弦值 .C东BA13.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路 a 经过三个景点 A 、B 、C.景区管委会又开发了风景优美的景点 D.经测量景点 D 位于景点 A 的北偏东 30°方向上 8 km 处，位于景点 B 的正北方向，还位于景点 C 的北偏西 75°方向上，已知 AB ＝5 km. (1)景区管委会准备由景点 D 向景点 B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素， 求出这条公路的长； (2)求景点 C 和景点 D 之间的距离．4四．正、余弦定理与三角函数，向量的综合应用16、设A、B、C 为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x 2+(sinA－sinC)x +(sinC －sinB)=0 有等根，那么三边a,b,c的关系是17．在Rt △ABC 中，0C 90 ，则sin A s in B 的最大值是_______________。

高二数学期末复习专题——解三角形复习要点1．正弦定理:2sin sin sin ab c R A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形。

5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-s i n c o s ,c o s s i n ,t a n c o t222222A B C A B C A B C+++===.一．正、余弦定理的直接应用：1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°2、在ΔABC 中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，若1sin ,2A =3sin 2B =，求::a b c 3、在ΔABC 中，若S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 4．若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则BC 边的长是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．6．在△ABC 中，若()()3a b c a b c ac ++-+=，且tan tan 33A C +=+，AB 边上的高为43，求角,,A B C 的大小与边,,a b c 的长二．判断三角形的形状7、在锐角三角形ABC 中，有 （ ）A ．cosA>sinB 且cosB>sinA B ．cosA<sinB 且cosB<sinAC ．cosA>sinB 且cosB<sinAD ．cosA<sinB 且cosB>sinA8、若(a+b+c)(b+c －a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9、钝角ΔABC 的三边长分别为x,x+1,x+2，其最大角不超过120°则实数x 的取值范围是：10.已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边（1）若ABC ∆面积,60,2,23︒===∆A c S ABC 求a 、b 的值； （2）若B c a cos =，且A c b sin =，试判断ABC ∆的形状．三．测量问题11．在200 m 高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( ) A.4003 m B.40033 m C.20033 m D.2003 m12．测量一棵树的高度，在地面上选取给与树底共线的A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且AB=60米，则树的高度为多少米？13.如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A.3 B ．53 C ．63 D ．7314.一缉私艇发现在北偏东 45方向,距离12 mile 的海面上有一走私船正以10 mile/h 的速度沿东偏南 15方向逃窜.缉私艇的速度为14 mile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东α+ 45的方向去追,求追及所需的时间和α角的正弦值.15.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点A 、B 、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D .经测量景点D 位于景点A 的北偏东30°方向上8 km 处，位于景点B 的正北方向，还位于景点C 的北偏西75°方向上，已知AB ＝5 km.(1)景区管委会准备由景点D 向景点B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求景点C 和景点D 之间的距离． 四．正、余弦定理与三角函数，向量的综合应用 16、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么三边a,b,c 的关系是17．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。

第一章 解三角形一、知识点总结 1．正弦定理:()2,sin sin sin a b cC R R A B ===为三角形外接圆的半径变形：例（1）(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.322.余弦定理：例（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值_（3）2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________．3.面积公式例（4）△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 4.射影定理（了解）：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA5.三角形中的常用结论：2sin ,2sin ,2sin sin =,sin ,sin 222::sin :sin :sin ++=2sin sin sin sin +sin +sin sin sin sin A B C a b a R A b R B c R C a b cA B C R R R a b c A B Ca b c a b cR A B A B C C C A B c >===⎫⎪⎬==>⇔>>⇔>>⎪⎭====边角互化（大角对大边：）①②③④2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2⎧+-=⎪⎪+-⎪⇒=⎨⎪⎪+-=⎪⎩b c a A bc a c b B ac b a c C ab 111222∆===ABC a b c S ah bh ch 111sin sin sin =2224ABC abc S ab C bc A ac B R ∆===或(1),(+>-<a b c a b c 即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）二、常见题型 1、解三角形利用正弦定理：①已知两角和任意一边(AAS 、ASA )，求其他的两边及一角（只有一解） ②已知两边和其中一边的对角(SSA )，求其他边角（无解，一解，两解） 利用余弦定理：①已知三边(SSS )求三角（只有一解）②已知两边及夹角(SAS )，求第三边和其他两角（只有一解）③已知两边和其中一边的对角(SSA )，求其他边角（无解，一解，两解） 已知“SSA ”利用正弦定理与余弦定理求解的区别：(2)sin sin cos cos ∆>⇔>⇔>⇔<ABC A B a b A B A B在中，(3)222sin()sin ,cos()cos tan()tan ,sin cos ,cos sin ,2222A B CA B C A B C A B C A B C A B C A B A B C C πππ+++=⇒⇒=-+=+=-+=-+=-++==三角形中的诱导公式：，A.32或 3B.32或34C.3或34D. 32、判断三角形形状或求值方法一：确定最大角（只要知道三边的关系，就可以利用余弦定理的推论求出角） 方法二：边化角（统一化成角）方法三：角化边（统一化成边）❖常见的形式：例（6）ABC ∆中，若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ∆的形状例 (7) 在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ＝43，试判断三角形的形状．3、构成三角形三边的问题2222222sin ,2sin ,2sin ,2cos sin sin sin 2sin sin cos a R A b R B c R C a b c bc A A B C B C A====+-⇒=+-⋅①常用公式：222222222sin ,sin ,sin ,222cos ,cos ,cos ,222a b cA B C R R R b c a a c b a b c A B C bc ac ab ===+-+-+-===①常用公式：sin =sin ()(sin sin +22)sin 2=sin 2()()2A B A B k k A B A B A B αβαβπαπβππ⇒=⎫⎪=⇔==-+⎬⇒=+=⎪⎭②常见结论：等腰三角形原理：或等腰三角形或直角三角形2222222222222229090a b c A a b c A a b c b a c c a b>+⇒>=+⇒=⎧<+⎪<+⇒⎨⎪<+⎩②常见结论：(钝角三角形)(直角三角形)锐角三角形cos cos ()()cos cos cos cos ()sin 2sin cos ())()3,sin 2sin cos ()a Ab B a bc A B C b a C A B C a b c b c a bc A B C =====+++-==①等腰三角形或直角三角形②等边三角形③直角三角形④等腰三角形⑤（且等边三角形21,,1()2.a a a a +-【例8】设为钝角三角形的三边，求实数考虑最大角为钝角和两边之和大于取值范围第三边的4、周长面积问题（记得同时利用两个公式：余弦定理和完全平方公式）5、正、余弦定理的综合应用【例11】在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，a =tan tan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A B C π++=这个特殊性：,sin()sin ,sincos 22A B CA B C A B C π++=-+==；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

高二数学期末复习专题一一解三角形复习要点1 .正弦定理:sin Absin B sin C2R或变形：a: b:2.余弦定理:2ab22cb22 ab22c2c2a2bc cos A2ac cos B2ba cos CcosCc sin A:si2 2 2b c a2bc2 2 .2a c b2ac2 2 2b a ccos Acos B2abB:sin C .5 .解题中利用ABC 中A C ,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算, 如：sin( A B) sin C, cos(A B) cosC, tan(A B) tanC,. A sin -----2B Ccos— ,cos2B .C , A B sin ,tan -2 2 cotC.23. (1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角(2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角.2 、已知两边和他们的火角，求第三边和其他两角4. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形。

一. 正、余弦定理的直接应用：1、A ABC^ ,a=1,b= J3, / A=30°,则Z B 等丁（）A. 600 B . 600或120° C. 30°或150° D. 120°2、在^ ABC中，角A,B,C对应的边分别是a,b,c,若sin A 1, sin B 史，求2 2a: b: c3、在△ ABC^,若 $AB=1（a 2+b2— c2）,那么角 / C= .4 ----------4、若z\ABC勺周长等丁20,面积是10寸3, A= 60°,贝UBC边的长是（）A. 5B. 6 C . 7 D. 85、在z\AB" C-A=m，sin B= 1.2 3⑴ 求sin A的值；（2）设AJ媚，求△ ABC的面积.6. 在△ ABC中，若(a b c)(a b c) 3ac,且tan A tanC 3 右,AB 边上的高为4x/3,求角A,B,C的大小与边a,b,c的长二. 判断三角形的形状7、在锐角三角形ABC中，有( )A. cosA>sinB 且cosB>sinAB. cosA<sinB 且cosB<sinAC. cosA>sinB 且cosB<sinAD. cosA<sinB 且cosB>sinA8、若(a+b+c)(b+c — a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,那么△ ABC是 ( )A.直角三角形B .等边三角形C .等腰三角形D .等腰直角三角形9、钝角△ ABC的三边长分别为x,x+1,x+2，其最大角不超过120°贝U实数x的取值围是：10、已知a、b、c分别是ABC的三个角A、B、C所对的边.......... ― 3 ....................1 若ABC 面积S ABC—,c 2,A 60 ,求a、b 的值；2(2)若a ccosB，且b csinA，试判断ABC的形状.A.400 m3B. 曾mC.罕m33D. 200 m 312.测量一棵树的高度，在地面上选取给与树底共线的A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为300 ,45° ,且AB=60米，则树的高度为多少米? 13.如图，四边形 ABCD 中，ZB=Z C= 120° , AE 4, BJ CD 』* =2,则该四边形的面积等丁（ ）A. ；;3B.邛 C . 6014.一缉私艇发现在北偏东45方向，距离12 mile 的海面上有一走私船正以10 mile/h 的速度沿东偏南15方向逃窜.缉私艇的速度为14 mile/h,若要在最短的时间追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45 的方向去追，求追及所需的时间 和角的正弦值.15.如图，某市郊外景区一条笔直的公路 a 经过三个景点A 、8 C.景区管委会乂 开发了风景优美的景点D .经测量景点D 位丁景点A 的北偏东30°方向上8 km 处,三. 测n 问题11 .在200 m 高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为 30° , 60° ,贝U 塔高为（）B 2位丁景点B的正北方向，还位丁景点C的北偏西750方向上，已知A『5 km.(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不北考虑其他因素，求出这条公路的长；⑵ 求景点C和景点D之间't D 75・的距离. /四. 正、余弦定理与三角函数，向n的综合应用16、设A B C 为三角形的三角，且方程(sinB — sinA)x 2+(sinA - sinC)x +(sinC —sinB)=0 有等根，那么三边a,b,c 的关系是17 .在Rt △ ABC中，C 900，贝U sin Asin B 的最大值是18.在△ AB C中，Z C 是钝角，设x sinC,y sin A sin B, z cos A cosB，则x, y, z的大小关系是______________________________3 19. △ ABC^，角A, B,C的对边分别为a, b,c，已知a, b, c成等比数列，cosB -.4(I)求的值；(U)设BABC 3,求a c的值。