8.1 直线的方程复习课

D
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(3)过两点A(2，3)、B(3，4)的直线l的斜率等于___ 1 ，倾斜 角等于____. 45°
不存在 (4)过两点A(2，3)、B(2，4)的直线l的斜率______ ，倾
90° 斜角等于____.
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2.直线的方程 (1)若直线l过点A(1，1)，倾斜角为60°，则直线l的点斜式方程 1 3( x 1) 为y _____________ ，直线l的斜截式方程为 y____________ 3 x 1 ，直 3 线l的一般式方程为________________. 3x y 3 1 0 (2)若直线l过点A(2，3)和B(3，6)，则该直线的截距式方程为 ___. A
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（1）当m=-1时，直线AB的方程为x=-1； 当m≠-1时，直线AB的斜率 1 k . 由点斜式可得其方程为 m 1 1 化简得x-（m+1）y+3+2m=0. y2 （x 1 ） , m 1 在这个方程中，若m=-1， 则方程化简为x+1=0，即x=-1. 所以直线AB的方程为x-（m+1）y+2m+3=0.
所以已知直线的倾斜角的取值范围
5 是［0， ］［ ，） . 6 6

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5.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R)， 若直线 l 不经过第二象限，则实数 a 的取值范围 是 (-∞,-1］ . 将直线l的方程化为y=-(a+1)x+a-2. 因为直线l不经过第二象限， -(a+1)>0 a-2≤0 -(a+1)=0 a-2≤0,
02 42 所以 得a=4. ， a2 02
若A，B，C共线，则kAB=kAC，
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4.直线 xcos 3 y 2 0 的倾斜角的取值范 5 ［0， ］［ ，） 围是__________________.
6 6
3 3 已知直线的斜率 k cos ［ ， ］ . 3 3 3 5 3 当k ［ , ） ; ［ ,0 ）时,倾斜角 6 3 3 当 k ［0， ］ . ［0， ］ 时， 6 3
______________ 不能表示垂直于 y-y ______________ x 轴的直线 0=k（x-x0） ______________
y y1 x x1 不能表示垂直于 ______________ y x2 x1 坐标轴的直线 ______________ 2 y1 ______________
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2.一条直线l过点A(3,2)，且它的倾斜角是直线y=x的倾斜角 的2倍，则此直线的方程是_____.
x=3
因为直线y=x的倾斜角为45°， 所以直线l的倾斜角是90°. 又直线l过点A(3，2)，故其方程为x=3.
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3. 若三点 A（ 2 ， 2 ）， B （ a ,0 ）， C（ 0 ， 4）共线，则a的值为______.4
直线与圆的方程
第一课时 直线的方程
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1.（1）倾斜角：当直线l与x轴相交时 ，我们取x轴作为基准，______________ x轴正向与直线l
向上方向之间所成的角 α 叫做直线l的倾斜 _____________________
角.当直线和x轴平行或重合时，规定直线 的倾斜角为_______. 0° 因此，直线的倾斜角 的取值范围为______________. ［0°，180°) （2）斜率：当直线的倾斜角α≠90°时 ，该直线的斜率k=______ ；当直线的倾斜 tanα 角等于90°时，直线的斜率________. 不存在
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已知直线l过点M(1，1)，且与x轴的 正半轴交于 A 点，与 y 轴的正半轴交于 B 点，O是坐标原点.求：
(1)当|OA|+|OB|取得最小值时，直线l 的方程；
(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时，直 线l的方程.
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(1)依题意，设直线l的方程为 x y 1 (a>0,b>0)， a b 则|OA|=a,|OB|=b. 1 1 因为直线l过点M(1,1),所以 a b 1 ， 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)( 1 1 ) a b b a b a =2 2 2 4 ， a b a b 当且仅当 b a ,即a=b=2时,|OA|+|OB| a b 取得最小值4. 所以直线l的方程为x+y-2=0
所以直线l的方程为y-1=(-1)(x-1)，即x+y-2=0.
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题型3：直线方程的应用
某房地产公司要在荒地 ABCDE ( 如图 )上 划出一块长方形地面(不改变方位)建造一幢商 业住宅.已知BC=70 m，CD=80 m，DE=100 m， EA =60 m，问如何设计才能使住宅楼占 地面积最大？并求出最大面积(精确到1 m2).
(1)依题意，设直线l的方程为 x y 1 (a>0,b>0)， a b 则|OA|=a,|OB|=b. 2 1 因为直线l过点M(2，1)，所以 1 . a b 2 1 2 ，得ab≥8. 由 1 2 a b ab
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1 1 所以S△AOB= · |OA|· |OB|= ab≥4， 2 2 2 1 1 当且仅当 ，即a=4,b=2时， a b 2 △AOB的面积取得最小值4. x y 所以直线l的方程为 1 ， 4 2 即x+2y-4=0.
y y A. x 1 B. x 1 3 3 x x C. y 1 D. y 1 3 3
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题型1：求直线的方程 已知两点A（-1，2），B（m,3）. （1）求直线AB的方程； 倾斜角θ的取值范围.
3 ［ 1，3 1］ , 求直线AB的 （2）若实数 m 3
所以
或
解得a≤-1. 即实数a的取值范围是(-∞,-1］.
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1.直线的斜率
（1）直线的倾斜角的取值范围是___. C
A. ［0°，90°］
B. ［0°，90°）
C. ［0°，180°） D. ［0°，180°］
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（2）直线l与x轴相交时，其倾斜角是___. A. 直线l与x轴所成的角 B. 直线l向上的方向与x轴所成的角 C. 直线l与x轴正向所成的角 D. 直线l向上的方向与x轴的正向所成的角
2
2.过两点P1（x1,y1），P2（x2,y2）（x1≠x2）的直线的斜率
y2 y1 k x2 x1 公式__________.
不存在 ，此时直线的倾斜角 若x1=x2，则直线的斜率___________ 为90°. 3.直线方程的五种形式
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名称
方程
适用范围
斜截式
点斜式 两点式
______________ 不能表示垂直于 ______________ x 轴的直线 y=kx+b ______________
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(2)设直线l的斜率为k.
由题意知k<0. 因为直线l过点M(1，1)， 所以直线l的方程为y-1=k(x-1). 1 当y=0时，得A点的坐标是(1- ,0); k 当x=0时，得B点的坐标是(0,1-k).
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1 1 2 2 因为|MA| =(1-1+ k ) +1=1+ 2 ， k |MB|2=1+(1-1+k)2=1+k2, 1 2 2 2 所以|MA| +|MB| =2+(k + 2 ) k 1 2 ≥ 2 2 k 2 4 ， k 1 当且仅当k2= 2 ，即k=-1时，|MA|2+|MB|2 k 取得最小值4.
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(2)设直线l的斜率为k. 由题意知k<0. 因为直线l过点M(2，1)， 所以直线l的方程为y-1=k(x-2). 1 当y=0时，得A点的坐标是(2- ,0); k 当x=0时，
1 2 2 2 (2 2 ) 1 2 (1 1 2k ) k 1 1 2 2 4(1 2 )(1 k ) 2 2 k 2 k k
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1 k . m 1
【评注】求直线的方程时，容易忽略 与坐标轴平行的直线，尤其是斜率不存在 的情况，因此，求解时要特别关注这一点.
求分别满足下列条件的直线l的方程.
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求分别满足下列条件的直线l的方程.
(1)直线l过点A(0，2)，它的倾斜角的正弦 3 值为 ; (1)设直线l的斜率为k,倾斜角为α, 3 4 则由sinα= ，得cosα=〒 ， 5 sin 3 5 所以k=tanα= . cos 4 3 由点斜式得直线l的方程为y-2=〒 x， 4 即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.
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题型 2 ：用基本不等式解直线的方 程问题 已知直线 l 过点 M (2 ， 1) ，且与 x 轴 的正半轴交于A点，与y轴的正半轴交于 B点，O是坐标原点，求： (1)当△AOB的面积取得最小值时， 直线l的方程； (2) 当 | MA |· | MB | 取得最小值时，直 线l的方程.
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(2)直线 l过点 A(-2， 4)，分别交 x轴、 y轴 1 于B、C两点，且满足 BA AC . 2 (2)设直线l的方程为xa+yb=1，
则B(a,0),C(0,b), BA ( 2 a ,4), AC (2, b 4) . 2(-2-a)=2 a=-3 1 由BA AC 得 解得 8=b-4, b=12. 2 x y 所以直线l的方程为 1 ， 3 12 即4x-y+12=0.
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名称
方程
适用范围
截距式
一般式
_________________ 不能表示垂直于坐 x y 1 _________________ 标轴的直线和过原 __________________ a b 点的直线 ________________ Ax+By+C=0 __________________ （A、B不全为0） __________________ ____________ 所有直线