【原创】江苏省建陵高级中学2013—2014学年高三理科数学附加题：训练22]

江苏省建陵高级中学2013-2014学年高中数学 1.4 计数应用题导学案（无答案）苏教版选修2-3一：学习目标不同地分配方案种数有种名教师，则不同地分配方案共有种不同职务，那地有多少个？思考：在上例中，大于人中必须既有男生又姓名：中任何两名女生不能相邻，则共有种不同地正中间，两校地运动员不能相邻，则所有不同地排法种数为种.在正中间，两校地运动员不能相邻，则所有不同地排法种数为种版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.b5E2R。

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建陵中学2014届高三年级考前热身训练数学Ⅰ一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1. 已知集合{ln(3)}A x y x ==-,则A N = ▲ ． 2．若复数(1)(2)i i m -+是纯虚数，则实数m 的值为 ▲3．某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、200，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为m的样本，已知每位学生被抽到的概率都为0.2，则m = ▲ ．4．已知直线1:210,l x y --=直线{}2:10,,1,2,3,4l ax by a b -+=∈， 则直线1l 与直线2l 没有公共点的概率为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ． 6．水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R 的小球,它和下 面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是 ▲ ． 7. 函数23()nnf x x -=（n Z ∈）是偶函数，且()y f x =在(0,)+∞上是减函数，则n = ▲ .8. 已知函数()()⎪⎫⎝⎛<>>∈+=200πϕωϕω，，，A R x x sin A x f 的部分图象如图所 示，则ϕ= ▲ .9. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>y =,它的一个焦点在抛物线224y x =则双曲线的方程为 ▲ .10. 设等比数列{}n a 的前n 项和223n n S a -=⋅+}{n b 的前n 项和221n T n n b =-+-，则+b a 11. ABC ∆中，0120C ∠=,1CA CB ==,12CD CA =,13AE AB =，则BD CE ⋅= .12．已知点A （﹣3，0），B （0，3），若点P 在圆x 2+y 2﹣2x=0上运动，则△PAB 面积 的最小值为 ▲ ． 13．定义：{}123min ,,,,n a a a a 表示123,,,,n a a a a 中的最小值．()f x ={}2min ,5,21x x x x ---，对于任意的n *∈N ，均有 (1)(2)(21)(2)()f f f n f n kf n +++-+≤成立，则常数k 的取值范围是 ▲ .110223Pr int I While I I I S I End While S←<←+←+14．已知函数()f x 满足()12,f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭当[]1,3x ∈时，()ln ,f x x =若在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，函数()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本小题满分14分)已知向量m =(1，1)，向量n 与向量m 的夹角为43π,且m ·n =-1. (1)求向量n ；(2)设向量a =(1，0)，向量b =(cos x ,2cos 2(2x 3-π)),其中0<x <32π，若n ·a =0, 试求｜n +b ｜的取值范围．16. （本小题满分14分）如图，空间几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，直角梯形ADFE 所在平面与面ABCD 垂直，且AE ⊥AD ，EF //AD ，其中P ，Q 分别为棱BE ，DF 的中点．（1）求证：BD ⊥CE ；（2）求证：PQ ∥平面ABCD ．17. （本小题满分14分）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加;②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%;③报销的医疗费用不得超过8万元.(1)请你分析该单位能否采用函数模型()20.0548y x x =++作为报销方案;A B C DE F P Q(2)若该单位决定采用函数模型2ln y x x a =-+(a 为常数)作为报销方案,请你确定 整数a 的值.(参考数据:ln 20.69,ln10 2.3≈≈)18. （本小题满分16分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别是)0,(1c F -、)0,(2c F ，离心率为12，椭圆上的动点P 到直线2:a l x c=的最小距离为2，延长2F P 至Q 使得2||2F Q a =，线段1F Q上存在异于1F 的点T 满足10PT TF =. （1）求椭圆的方程；（2）求点T 的轨迹C 的方程；（3）求证：过直线2:a l x c=上任意一点必可以作两条直线与T 的轨迹C 相切，并且过两切点的直线经过定点. 19．（本小题满分16分）设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且513334,9.a a S +==数列{}n b 的前n 项和为,n T 满足1.n n T b =-（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）写出一个正整数,m 使得19m a +是数列{}n b 的项； （3）设数列{}n c 的通项公式为,nn n a c a t=+问：是否存在正整数t 和()3k k ≥，使得123,,c c c xyO1F 2F PQT l成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对(),t k ；若不存在，请说明理由。

实战演练·高三数学附加分20套江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 、CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若PC ＝98，OP ＝12，求PD 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知曲线C ：xy ＝1，若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222对应的变换将曲线C 变为曲线C′，求曲线C′的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C 的方程为 ρ＝2acos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 1、x 2、x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知点A(1，2)在抛物线Γ：y 2＝2px 上．(1) 若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB 、BC 、CA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3，求1k 1－1k 2＋1k 3的值； (2) 若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB 、BC 、CD 、DA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值．23. 设m 是给定的正整数，有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )中a i ＝2或－2(1≤i ≤2m)．(1) 求满足“对任意的k(k ∈N *，1≤k ≤m)，都有a 2k －1a 2k＝－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ；(2) 若对任意的k 、l(k 、l ∈N *，1≤k ≤l ≤m)，都有| i ＝2k －12la i |≤4成立，求满足“存在k(k ∈N *，1≤k ≤m)，使得a 2k －1a 2k≠－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数B.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN ＝2AM.求证：AB ＝2AC.B. (选修4-2：矩阵与变换)设二阶矩阵A 、B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，求B －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z均为正数，求证：xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1) 求S＝32的概率；(2) 求S的分布列及数学期望E(S)．23.记1，2，…，n满足下列性质T的排列a1，a2，…，a n的个数为f(n)(n≥2，n∈N*)．性质T：排列a1，a2，…，a n中有且只有一个a i>a i＋1(i∈{1，2，…，n－1})．(1) 求f(3)；(2) 求f(n)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A 、B 、C 、D 、E ，求证：AB·CD ＝BC·DE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知a 、b ∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3所对应的变换T M 把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a 、b.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求点M ⎝⎛⎭⎫2，π6关于直线θ＝π4的对称点N 的极坐标，并求MN 的长．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 、y 、z 均为正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正四棱锥PABCD 的侧棱长与底边长都为32，点M 、N 分别在PA 、BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13. (1) 求证：MN ⊥AD ；(2) 求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．23.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ＝0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．(1) 求概率P(ξ＝0)；(2) 求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A、B、C、D四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角三角形ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，若△ABC面积S＝34AD·AE，求∠BAC的大小．B. (选修4-2：矩阵与变换)求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002M⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1成立的矩阵M.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O、B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM＝PB，当P变化时，求动点M轨迹的长度．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a、b、c均为正数，且a＋2b＋4c＝3.求1a＋1＋1b＋1＋1c＋1的最小值，并指出取得最小值时a、b、c的值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线．(1) 分别求出凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数；(2) 猜想凸n边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明．23.从集合M＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取三个元素构成子集{a，b，c}．(1) 求a、b、c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；(2) 记a、b、c三个数中相邻自然数的组数为ξ(如集合{3，4，5}中3和4相邻，4和5相邻，ξ＝2)，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，等腰梯形ABCD 内接于圆O ，AB ∥CD.过点A 作圆O 的切线交CD 的延长线于点E.求证：∠DAE ＝∠BAC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 112对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点(1，1)，求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫23，π6，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，求点P 到直线l 的距离．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x≥1，y≥1，求证：x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在三棱锥PABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2a，点O、D分别是AB、PB的中点，PO⊥AB，连结CD.(1) 若PA＝2a，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；(2) 若二面角APBC的余弦值的大小为55，求PA.23. 设集合A、B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．(1) 若M＝{a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对(A，B)的个数；(2) 若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，求所有不同的有序集合对(A，B)的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，已知AB 是圆O 的直径，圆O 交BC 于点D ，过点D 作圆O 的切线DE 交AC 于点E ，且DE ⊥AC.求证：AC ＝2OD.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 32 1的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)求经过极坐标为O(0，0)、A ⎝⎛⎭⎫6，π2、B ⎝⎛⎭⎫62，π4三点的圆的直角坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知正数a 、b 、c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知曲线C ：y 2＝2x －4.(1) 求曲线C 在点A(3，2)处的切线方程； (2) 过原点O 作直线l 与曲线C 交于A 、B 两不同点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．23已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1·(1＋a n )＝1.(1) 试计算a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2) 猜想|a n ＋1－a n |与115⎝⎛⎭⎫25n －1(其中n ∈N *)的大小关系，并证明你的猜想．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的一条直径，C 、D 是圆O 上不同于A 、B 的两点，过B 作圆O 的切线与AD 的延长线相交于点M ，AD 与BC 相交于N 点，BN ＝BM.求证：(1) ∠NBD ＝∠DBM ；(2) AM 是∠BAC 的角平分线．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1的一个特征根为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值；(2) 求A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝532＋2cos θ，y ＝72＋2sin θ(θ为参数)，以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点⎝⎛⎭⎫3，π3为圆心，且过点⎝⎛⎭⎫2，π2的圆．(1) 求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； (2) 求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c>0.求证： (1) abc ≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知直线l ：y ＝2x －4与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，T(t ，0)(t>0且t ≠2)为x 轴上任意一点，连结AT 、BT 并延长与抛物线C 分别相交于A 1、B 1.(1) 设A 1B 1斜率为k ，求证：k·t 为定值；(2) 设直线AB 、A 1B 1与x 轴分别交于M 、N ，令S △ATM ＝S 1，S △BTM ＝S 2，S △B 1TN ＝S 3，S △A 1TN ＝S 4，若S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，求t 的值．23如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝π2，顶点C 1在底面△ABC 内的射影是点B ，且AC ＝BC ＝BC 1＝3，点T 是平面ABC 1内一点．(1) 若T 是△ABC 1的重心，求直线A 1T 与平面ABC 1所成的角；(2) 是否存在点T ，使TB 1＝TC 且平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1？若存在，求出线段TC 的长度；若不存在，说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝5，属于特征值λ＝5的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换为(－2，4)，求矩阵M .22. (本小题满分10分)已知直线l 的极坐标方程是ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝42，圆M 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ是参数)．(1) 将直线的极坐标方程化为普通方程； (2) 求圆上的点到直线l 上点距离的最小值．23. (本小题满分10分)如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP ＝m.(1) 若m ＝1，求异面直线AP 与BD 1所成角的余弦；(2) 是否存在实数m ，使直线AP 与平面AB 1D 1所成角的正弦值是13若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．24. (本小题满分10分)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次．在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次．某同学在A 处的命中率为p ，在B 处的命中率为q.该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为X 0 2 3 4 5 Pp 1p 2p 3p 4p 5(1) 若p ＝0.25，p 1＝0.03，求该同学用上述方式投篮得分是5分的概率；(2) 若该同学在B 处连续投篮3次，投中一次得2分，用Y 表示该同学投篮结束后所得的总分．若p<23q ，试比较E(X)与E(Y)的大小．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角△ABC 的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．若∠C ＝50°，求∠DEF 的度数．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b (其中a ＞0，b ＞0)，若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a ＋b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c 均为正数，求证：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某品牌汽车4S 店经销A 、B 、C 三种排量的汽车，其中A 、B 、C 三种排量的汽车依次有5、4、3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．(1) 求该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率；(2) 记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望．23. 已知点A(－1，0)，F(1，0)，动点P 满足AP →·AF →＝2|FP →|.(1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M 、N ，问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，求矩阵M 的特征值，并任选择一个特征值，求其对应的特征向量．22.(本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π3，半径R ＝2，试判断圆C 是否通过极点，并求圆C 的极坐标方程．23. (本小题满分10分)如图，已知四棱锥SABCD的底面是边长为4的正方形，顶点S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别是2、1.又P是SC的中点，E是BC上一点，CE＝1，SO＝3，过O在底面内分别作AB、BC垂线Ox、Oy，分别以Ox、Oy、OS为x、y、z轴建立空间直角坐标系．(1) 求平面PDE的一个法向量；(2) 问在棱SA上是否存在一点Q，使直线BQ∥平面PDE？若存在，请给出点Q在棱SA上的位置；若不存在，请说明理由．24.(本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4y，在直线y＝－1上任取一点M，过M作抛物线C的两条切线MA、MB.(1) 求证：直线AB过一个定点，并求出这个定点；(2) 当弦AB中点的纵坐标为2时，求△ABM的外接圆的方程．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.(1) 求证：四边形ACBE 为平行四边形； (2) 若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1) 求矩阵A ；(2) 若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x 、y 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某中学有4位学生申请A、B、C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．(1) 求恰有2人申请A大学的概率；(2) 求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．23.设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n∈N*，有f(n)∈Z；②任意m、n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2) 求f(n)的表达式．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB ＝AD ，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CD AB ＝ABBE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：(1) 圆的普通方程； (2) 圆的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．(1) 求甲同学至少有4次投中的概率；(2) 求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．23.设S n ＝C 0n －C 1n －1＋C 2n －2－…＋(－1)m C m n －m ，m 、n ∈N *且m ＜n ，其中当n 为偶数时，m ＝n2；当n 为奇数时，m ＝n －12. (1) 证明：当n ∈N *，n ≥2时，S n ＋1＝S n －S n －1；(2) 记S ＝12 014C 02 014－12 013C 12 013＋12 012C 22 012－12 011C 32 011＋…－11 007C 1 0071 007，求S 的值．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上的一点，过D 作直线DP ∥CA ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P.求证：△PAE ∽△BDE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝1及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1且M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，求矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A(1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3.【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝12AB ，点E 是棱AB 上一点且AEEB ＝λ.(1) 证明：D 1E ⊥A 1D ；(2) 若二面角D 1ECD 的大小为π4，求λ的值．23. 设数列{a n }共有n(n ≥3，n ∈N )项，且a 1＝a n ＝1，对每个i(1≤i ≤n －1，i ∈N )，均有a i ＋1a i ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2. (1) 当n ＝3时，写出满足条件的所有数列{a n }(不必写出过程)；(2) 当n ＝8时，求满足条件的数列{a n }的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD ·EC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1(k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a 、k 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A(2，0)、B(0，23)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 面积的最大值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在正四棱锥PABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M 、N 分别在线段PA 和BD 上，BN ＝13BD.(1) 若PM ＝13PA ，求证：MN ⊥AD ；(2) 若二面角MBDA 的大小为π4，求线段MN 的长度．23. 已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1，S 2，S 3，…，集合S k 中所有元素的平均值记为b k .将所有b k 组成数组T ：b 1，b 2，b 3，…，数组T 中所有数的平均值记为m(T)．(1) 若S ＝{1，2}，求m(T)；(2) 若S ＝{a 1，a 2，…，a n }(n ∈N *，n ≥2)，求m(T)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，以边AC 上的点O 为圆心，OA 为半径作圆，与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，EC 与圆O 交于点D ，连结AD 并延长交BC 于P ，已知AE ＝EB ＝4，AD ＝5，求AP 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知点M(3，－1)绕原点逆时针旋转90°后，且在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02b 对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求a 、b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)如图，在极坐标系中，设极径为ρ(ρ＞0)，极角为θ(0≤θ＜2π)．圆A 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点C 在极轴的上方，∠AOC ＝π6.△OPQ 是以OQ 为斜边的等腰直角三角形，若C为OP 的中点，求点Q 的极坐标．D. (选修4-5：不等式选讲)已知不等式|a－2|≤x2＋2y2＋3z2对满足x＋y＋z＝1的一切实数x、y、z都成立，求实数a的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Axyz中，已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B、D、B1分别在x、y、z轴上，B1A＝3，P是侧棱B1B上的一点，BP＝2PB1.(1) 写出点C1、P、D1的坐标；(2) 设直线C1E⊥平面D1PC，E在平面ABCD内，求点E的坐标．23.如图，圆周上有n个固定点，分别为A1，A2，…，A n(n∈N*，n≥2)，在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n.(1) 写出a2，a3，a4的值；(2) 写出a n的表达式，并用数学归纳法证明．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F.求证：△DEF ∽△EAF.B. (选修4-2：矩阵与变换)若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0－1 2把直线l ：x ＋y －2＝0变换为另一条直线l′：x ＋y －4＝0，试求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P(0，1)，曲线C 的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求PA·PB 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x ＞0，y ＞0，a ∈R ，b ∈R .求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋by x ＋y 2≤a 2x ＋b 2y x ＋y .【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F(1，0)，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N 为平面内的动点，且满足PM →·PF →＝0，PM →＋PN →＝0.(1) 求动点N 的轨迹C 的方程；(2) 设点Q 是直线l ：x ＝－1上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS 、QT ，切点分别为S 、T ，设切线QS 、QT 的斜率分别为k 1、k 2，直线QF 的斜率为k 0，求证：k 1＋k 2＝2k 0.23.各项均为正数的数列{x n }对一切n ∈N *均满足x n ＋1x n ＋1＜2.证明：(1) x n ＜x n ＋1； (2) 1－1n＜x n ＜1.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝10，ED ＝3，求BC 的长．B. (选修42：矩阵与变换) 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1) 求实数a 、b 的值；(2) 若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cost ，y ＝2sint (t 为参数)，曲线C 在点(1，3)处的切线为l.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)设x 、y 、z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求证：x ＋y ＋z ＝3147.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一批产品需要进行质量检验，质检部门规定的检验方案是：先从这批产品中任取3件作检验，若3件产品都是合格品，则通过检验；若有2件产品是合格品，则再从这批产品中任取1件作检验，这1件产品是合格品才能通过检验，否则不能通过检验，也不再抽检；若少于2件是合格品，则不能通过检验，也不再抽检．假设这批产品的合格率为80%，且各件产品是否为合格品相互独立．(1) 求这批产品通过检验的概率；(2) 已知每件产品检验费为125元，并且所抽取的产品都要检验，记这批产品的检验费为ξ元，求ξ的概率分布及数学期望．23.已知数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝3n －19，b n ＝2n .将{a n }与{b n }中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{c n }．(1) 试写出c 1，c 2，c 3，c 4的值，并由此归纳数列{c n }的通项公式； (2) 证明你在(1)所猜想的结论．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为圆O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F.求证：△PDF ∽△POC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2c d (c 、d 为实数)．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4，0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.(1) 求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；(2) 求二面角BAB1C平面角的余弦值．23.在数列{a n}中，已知a1＝20，a2＝30，a n＋1＝3a n－a n－1(n∈N*，n≥2)．(1) 当n＝2，3时，分别求a2n－a n－1a n＋1的值，并判断a2n－a n－1a n＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；(2) 求出所有的正整数n，使得5a n＋1a n＋1为完全平方数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直平分线．已知AB ＝6，CD ＝25，求线段AC 的长度．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求ad －bc 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A 、B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求线段AB 的最小值．。

2014省数学高考附加题强化试题1班级得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换假设点A 〔2，2〕在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B 〔－2，2〕，求矩阵M 的逆矩阵．C.选修4 - 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y 〔α为参数〕，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.D.选修4－5：不等式选讲 函数2222()()()()()3a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+〔,,a b c 为实数〕的最小值为m ，假设23a b c -+=，求m 的最小值．[必做题] 第22、23题,每题10分,计20分.22、如图，正四棱锥P ABCD -中，2,AB PA =，AC 、BD 相交于点O ，求：〔1〕直线BD 与直线PC 所成的角；〔2〕平面PAC 与平面PBC 所成的角23、设数列{}n a 满足2111,n n a a a a a +==+，{}* | |2R N n M a n a =∈∈，≤．〔1〕当(,2)a ∈-∞-时，求证：a ∉M ；〔2〕当1(0,]4a ∈时，求证：a M ∈；〔3〕当1(,)4a ∈+∞时，判断元素a 与集合M 的关系，并证明你的结论．省数学高考附加题强化试题2班级得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换成点(1,1)--与(0,2)-．求矩阵M ；C ．选修4—4：坐标系与参数方程假设两条曲线的极坐标方程分别为=l 与=2cos(θ+π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲求函数()212f x x x =+-[必做题] 第22、23题,每题10分,计20分.22．〔本小题10分〕口袋中有)(*N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．假设307)2(==X P ，求〔1〕n 的值； 〔2〕X 的概率分布与数学期望．23．〔本小题10分〕曲线1:(0)C y x x=>，过1(1,0)P 作y 轴的平行线交曲线C 于1Q ，过1Q 作曲线C 的切线与x 轴交于2P ，过2P 作与y 轴平行的直线交曲线C 于2Q ，照此下去，得到点列12,,P P ⋅⋅⋅，和12,,Q Q ⋅⋅⋅，设||n n n P Q a =*1|()n n n Q Q b n N +=∈．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕求证：1222n nn b b b -++⋅⋅⋅+>-；省数学高考附加题强化试题3班级得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每题10分,计20分.B ．〔选修4—2：矩阵与变换〕矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3cd ，假设矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．C ．〔选修4—4：坐标系与参数方程〕曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，求直线l 被曲线C 截得的线段长度.D ．〔选修4－5：不等式选讲〕设z y x ,,为正数，证明：()()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥．[必做题] 第22、23题,每题10分,计20分.22．〔本小题总分值10分〕某中学选派40名同学参加世博会青年志愿者效劳队〔简称“青志队〞〕，他们参加活动的次数统计如表所示．(Ⅰ)从“青志队〞中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率； (Ⅱ)从“青志队〞中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ．23．〔本小题总分值10分〕 设函数(,)1(0,0)x m f x y m y y ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭. 〔1〕当3m =时，求(6,)f y 的展开式中二项式系数最大的项；〔2〕假设31240234(4,)a a a a f y a y y y y =++++且332a =，求40i i a =∑； 〔3〕设n 是正整数，t 为正实数，实数t 满足(,1)(,)nf n m f n t =，求证：7(2010,)f f t >-．省数学高考附加题强化试题4班级得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每题10分,计20分.B ．〔选修4—2：矩阵与变换〕在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A B C D ，其中(1,1)A ，(1,1)B -，(1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --．〔1〕求出矩阵M ；〔2〕确定点D 及点'C 的坐标．C ．〔选修4—4：坐标系与参数方程〕{(,),,A x y x y m ααα===+为参数}，{(,)3,3,B x y x t y t t ==+=-为参数}，且A B ≠∅，数m 的取值围．D ．〔选修4－5：不等式选讲〕,,a b c R ∈，证明不等式：〔1〕66622218227a b c a b c ++≥； 〔2〕22249236a b c ab ac bc ++≥++．[必做题] 第22、23题,每题10分,计20分.22．〔本小题总分值10分〕如下图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且PA ∥平面BDM ．⑴求证：M 为PC 中点；⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．23．〔本小题总分值10分〕抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ．⑴求p 的值；⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有一样的切线．假设存在，求出点C 的坐标；假设不存在，请说明理由．AP B C D M第22题图省数学高考附加题强化试题5班级得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每题10分,计20分.B ．〔选修4—2：矩阵与变换〕求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90︒后所得的曲线方程．C ．〔选修4—4：坐标系与参数方程〕 求圆心为36C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为3的圆的极坐标方程.D ．〔选修4－5：不等式选讲〕c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cb ac b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。

高三数学纠错练习7
1.已知全集},3,2,1,0{=U 集合},3,2,1{},1,0{==B A 则=B A C U )(__ ___.
2. 已知向量(12,2)a x =-,()2,1b -=,若→
→b a //,则实数x =__ ____.
3.当且仅当n r m ≤≤时,两圆4922=+y x 与()002586222>=-+--+r r y x y x 有公共点,则m n -的值为 .
4.将函数()y f x =的图象上的每一点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标变为原来的2倍， 然后把所得的图象上的所有点沿x 轴向左平移π2
个单位，这样得到的曲线和函数 2sin y x =的图象相同，则函数()y f x =的解析式为 ．
5.已知函数221,0,()2,x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--⎪⎩
≤0.若实数m )1,0(∈，则函数()()g x f x m =-有 个零点.
6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11233,4,2,a a a a =且成等差数列，则32
S S -
等于 . 7.设)(x f 是定义在R 上的偶函数,当0<x 时,x e x x f +=)( (e 为自然对数的底数), 则)2(ln f 的值为 . 8.已知O 为△ABC 的外心，,120,2,20=∠=
=BAC a
AC a AB 若AC AB AO βα+=， 则βα+的最小值为 ．。

2013高三数学理科模拟试题附加答案以下是xx为大家整理的关于《2013高三数学理科模拟试题附加答案》的文章，供大家学习参考！第一部分选择题（共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合≤ ≤ , ≤ ≤ ，则（）2. 计算：（）A． B．- C. 2 D. -23. 已知是奇函数，当时，，则（）A. 2B. 1C.D.4. 已知向量 ,则的充要条件是（）A． B． C． D．5. 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是（）6. 已知函数，则下列结论正确的是（）A. 此函数的图象关于直线对称B. 此函数的值为1C. 此函数在区间上是增函数D. 此函数的最小正周期为7. 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的值为31，则等于（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知、满足约束条件，若，则的取值范围为（）A. [0，1]B. [1，10]C. [1，3]D. [2，3]第二部分非选择题（共100分）二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9. 已知等比数列的公比为正数，且，则 = .10. 计算 .11. 已知双曲线的一个焦点是（），则其渐近线方程为 .12. 若 n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 .13. 已知依此类推，第个等式为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的只算前一题得分。

14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C上的点到直线3 -4 +4=0的距离的值为15.（几何证明选讲选做题）如图，⊙O的直径AB＝6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA＝30°，PC＝_____________三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

FED 1C 1B 1B CDA 1A建陵中学2013—2014学年度上学期高三年级第一次质量检测数学试题注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合}{|1A x x =≤，}{|0B x x =>，则A B =___▲___.2．已知)0,2(πα-∈，53cos =α，则=+)4tan(πα ▲ ． 3．设复数z 满足i 12i z =+（i 为虚数单位），则||z =___▲___.4．已知)2,1(=→a ，)log ,2(2mb -=→，若→→→→=⋅b a b a ，则正数m 的值等于 ▲ ．5．样本数据18，16，15，16，20的方差2s ＝___▲___.6．已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率为2，则m 的值为 ___▲___． 7．根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为___▲___.8．已知函数n my x =,其中,m n 是取自集合{1,2,3}的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为___▲___．9．已知实数x ，y 满足不等式组0,0,26,312x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤，则2z x y =+的最大值是 ▲ ．10．已知函数2,0,()2,0x x f x x x x -⎧=⎨->⎩≤，则满足()1f x <的x 的取值范围是___▲___． 11．如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =，113CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3：2，则三棱锥E B -和F ABD -的体积比E BCDF ABDV V --= __▲__.12．已知P 是直线l ：40(0)kx y k ++=>上一动点，PA ，PB 是圆C：T ←1i ←3While T <10T ←T +i i ←i +2 End WhilePrint iEFABCDP2220x y y +-=的两条切线，切点分别为A ，B ．若四边形PACB 的最小面积为2，则k = ▲ ．13．设函数22(0)()log (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，函数[()]1y f f x =-的零点个数为 ▲ ．14．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为___▲___. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，,,a b c 分别是角A ，B ，C所对的边，且a =3b =，sin 2sin C A =． （1）求边c 的值； （2）求sin(2)3A π-的值．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，AB ，1BC =，,E F 分别是,AB PC 的中点，DE PA ⊥．（Ⅰ）求证：EF平面PAD ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．17．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足：121,(0),a a a a ==>数列{}n b 满足：*2()n n n b a a n N +=∈ （1）若数列{}n a 是等差数列，且345b =，求a 的值及数列{}n a 通项公式； （2）若数列{}n a 的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（本小题满分16分）已知向量33(cos,sin )22a x x = ，(cos ,sin )22x x b = -，且0,2x π⎡⎤∈ ⎢⎥⎣⎦， 求：（1）a b ∙及a b +； （2）若()2f x a b a b λ=∙-+的最小值是32-，求λ的值.19．（本小题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线1l 排，在路南侧沿直线2l 排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通．已知60AB m =，80BC m =，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90︒的角为α． （Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式；（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α．20．（本小题满分16分） 已知函数2()ln ,af x x a x=+∈R ． （1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值．l 2l 1数学 （ 附加题） 2013.10注意事项：1．本试卷共2页，满分40分，考试时间30分钟．2．请将解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 21．【选做题】解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）已知矩阵A =2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B =1125-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵1-A B ．姓名 学号 线 答 题 ）C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为225ρ=，曲线C '的极坐标方程为4cos ρθ=．试求曲线C 和C '的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）某舞蹈小组有2名男生和3名女生．现从中任选2人参加表演，记X 为选取女生的人数，求X 的分布列及数学期望．23．（本小题满分10分）如图（1），等腰直角三角形ABC 的底边4AB =，点D 在线段AC 上，DE ⊥AB 于E ，现将ADE ∆沿DE 折起到PDE ∆的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB ⊥DE ； （Ⅱ）若PE ⊥BE ，直线PD 与平面PBC 所成的角为030，求PE 长．一卷数学参考答案及评分标准 2013.10一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．(0,1] 2．71-34．161 5．3.2 6．3 7．9 8．139．425 10．(1,1- 11．3212．2 13．2 14．54二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分） 解：（1）根据正弦定理，A a C c sin sin =，所以522sin sin ===a a ACc ……………… 5分 （2）根据余弦定理，得5522cos 222=-+=bc a b c A ……………………… 7分于是55cos 1sin 2=-=A A ……………………… 8分 从而54cos sin 22sin ==A A A ……… 10分，53sin cos 2cos 22=-=A A A ……12分所以3343sin2cos 3cos2sin )32sin(-=-=-πππA A A …………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点G ，连,AG FG ，因为F 、G 分别为PC 、PD 的中点， 所以FG ∥CD ，且12FG CD =． ……… 2分又因为E 为AB 中点，所以AE ∥CD ，且所以AE ∥FG ，AE FG =．故四边形AEFG 为平行四边形． … 5分 所以EF ∥AG ，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，故EF ∥平面PAD ． ……… 7分 （Ⅱ）设ACDE H =，由AEH ∆∽CDH ∆及E 为AB 中点得12AG AE CG CD ==， 又因为AB =，1BC =，所以AC =，13AG AC ==．所以AG AB AE AC ==，又BAC ∠为公共角，所以GAE ∆∽BAC ∆． 所以90AGE ABC ∠=∠=︒，即DE AC ⊥． ……… 10分 又DE PA ⊥，PAAC A =，所以DE ⊥平面PAC ． ……… 12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． …… 14分 17．解 （1）因为{}n a 是等差数列，1d a =-， 1(1)(1)n a n a =+--…………2分[12(1)][14(1)]45a a +-+-=，解得3a =或74a -=（舍去），…………5分 21n a n =-．……………7分（2）因为{}n a 是等比数列，q a =，1n n a a -=，2n n b a =．…………9分 当1a =时，1n b =，n S n =；…………11分当1a ≠时， 222(1)1n n a a S a -=-．………………………14分18. （本小题满分16分）解：(1)x xx x x 2cos 2sin 23sin 2cos 23cos=⋅-⋅=⋅ …………………………2分 x x x x x 222cos 22cos 22)2sin 23(sin )23cos 23(cos ||=+=-++=+……… 6分x b a x x cos 2||],1,0[cos ],2,0[=+∴∈∴∈π………………………………8分⑵2221)(cos 2)(,cos 42cos )(λλλ---=-=x x f x x x f 即 ………………… 10分.1cos 0],2,0[≤≤∴∈x x π①当0<λ时，当且仅当0cos =x 时，)(x f 取得最小值－1，这与已知矛盾；11分②当λλ=≤≤x cos ,10当且仅当时时，)(x f 取得最小值221λ--，由已知得21,23212=-=--λλ解得；13分③当1cos ,1=>x 当且仅当时λ 时，)(x f 取得最小值λ41-，由已知得3142λ-=- 解得85=λ，这与1>λ相矛盾，15分综上所述，21=λ为所求.………… 16分 注意：没分类讨论扣2分19．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）如图，过E 作EM BC ⊥，垂足为M ，由题意得4(0tan )3MEF αα∠=≤≤，故有60tan MF α=，60cos EF α=，8060tan AE FC α+=-．………………… 4分 所以60(8060tan )12cos W αα=-⨯+⨯ … 5分 sin 18060120cos cos ααα=-+ sin 28060cos αα-=-． ………… 8分（Ⅱ）设sin 2()cos f ααα-=（其中0040,tan )23πααα<=≤≤，则22cos cos (sin )(sin 2)12sin ()cos cos f αααααααα----'==．………… 10分令()0f α'=得12sin 0α-=，即1sin 2α=，得6πα=． ………… 11分列表所以当6α=时有max ()f α=min 80W =+ 15分答：排管的最小费用为80+6πα=． ……… 16分20．（本小题满分16分） 解：（1）∵2()ln a f x x x =+，∴212()af x x x'=-．……………………1分 ∵()f x 在[2,)+∞上是增函数，l 2l 1∴212()af x x x'=-≥0在[2,)+∞上恒成立，即a ≤2x 在[2,)+∞上恒成立．………………… 4分令()2xg x =，则a ≤[]min (),[2,)g x x ∈+∞．∵()2xg x =在[2,)+∞上是增函数，∴[]min ()(2)1g x g ==． ∴1≤a ．所以实数a 的取值范围为(,1]-∞． …………………7分 （2）由（1）得22()x af x x -'=，[1,]x e ∈．①若21a <，则20x a ->，即()0f x '>在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是增函数．所以()min(1)23f x f a ===⎡⎤⎣⎦，解得32a =（舍去）． ………………10分 ②若12a e ≤≤，令()0f x '=，得2x a =．当12x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,2)a 上是减函数，当2a x e <<时，()0f x '>，所以()f x 在(2,)a e 上是增函数． 所以()()min2ln(2)13f x f a a ==+=⎡⎤⎣⎦，解得22e a =（舍去）．……………13分③若2a e >，则20x a -<，即()0f x '<在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是减函数． 所以()()min 213af x f e e ==+=⎡⎤⎣⎦，所以a e =．综上所述，a e =． …………………16分附加题21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B ．选修4—2：矩阵与变换解：设矩阵A 的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ………………… 1分 即22a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦， …………… 4分 故1,0,0,12a b c d ====，从而A 的逆矩阵为1-A =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦． ……… 7分所以1-A B =10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1125-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=112225⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦． …… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由225ρ=得曲线C 的直角坐标方程为2225x y +=． …………… 2分由4cos ρθ=得曲线C '的直角坐标方程为22(2)4x y -+=． …… 5分曲线C 表示以()0,0为圆心，5为半径的圆；曲线C '表示以()2,0为圆心，2为半径的圆．因为两圆心间距离2小于两半径的差5-2=3， ………… 8分 所以圆C 和圆C '的位置关系是内含． ……………10分…………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）依题意，X 所有取值0，1，2． P （X=0）=，P （X=1）==，P （X=2）==．X 的分布列为：EX=．，，的法向量∴是面∵∴，即，或的长为。

江苏省2013届高考数学附加题专项测试题(1)江苏高考考试说明中附加题圆锥曲线与方程中抛物线为B 级要求，2011年、2012年高考中均没有考查，预测2013年高考中可能会考查；(2)江苏高考考试说明附加题中对空间向量与立体几何是B 级要求，2009年、2010年、2012年高考没有考查，2011年高考考查空间角的概念，求线段的长.预测2013年高考会考[典例1]在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求过焦点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；(3)设过点M (m,0)(m >0)的直线交抛物线C 于D ，E 两点，ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f (m )，求f (m )关于m 的表达式．[解] (1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2＝2px .因为点A (2,2)在抛物线C 上，所以p ＝1.因此，抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)可得焦点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x ＋y －12＝0.(3)法一：设点D 和E 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，直线DE 的方程是y ＝k (x －m )，k ≠0.将x ＝yk ＋m 代入y 2＝2x ，有ky 2－2y －2km ＝0，解得y 1,2＝1±1＋2mk 2k.由ME ＝2DM ，知1＋1＋2mk 2＝2(1＋2mk 2－1)， 化简得k 2＝4m，因此DE 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 24(1＋2mk 2)k 2＝94(m 2＋4m )． 所以f (m )＝32m 2＋4m (m >0)．法二：设D ⎝⎛⎭⎫s 22，s ，E ⎝⎛⎭⎫t22，t ， 由点M (m,0)及ME ＝2DM得 12t 2－m ＝2⎝⎛⎭⎫m －s 22，t －0＝2(0－s )．因此t ＝－2s ，m ＝s 2，所以 f (m )＝DE ＝ ⎝⎛⎭⎫2s 2－s 222＋(－2s －s )2 ＝32m 2＋4m (m >0)．本小题主要考查直线、抛物线方程及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力． [演练1](2012·徐州信息卷)过直线x ＝－2上的动点P 作抛物线y 2＝4x 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)若切线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值； (2)求证：直线AB 恒过定点．证明：(1)不妨设A (t 21，2t 1)(t 1>0)，B (t 22，2t 2)(t 2<0)，P (－2，m )．因为y 2＝4x ，所以当y >0时，y ＝2x ，y ′＝1x，所以k 1＝1t 1.同理k 2＝1t 2.由k 1＝2t 1－m t 21＋2＝1t 1，得t 21－mt 1－2＝0. 同理t 22－mt 2－2＝0.所以t 1，t 2是方程t 2－mt －2＝0的两个实数根． 所以t 1t 2＝－2.所以k 1k 2＝1t 1t 2＝－12为定值．(2)直线AB 的方程为y －2t 1＝2(t 2－t 1)t 22－t 21(x －t 21)， 即y ＝2t 1＋t 2x ＋2t 1－2t 21t 1＋t 2，即y ＝2t 1＋t 2x ＋2t 1t 2t 1＋t 2，由于t 1t 2＝－2，所以直线方程化为y ＝2t 1＋t 2(x －2)，所以直线AB 恒过定点(2,0)． [典例2](2012·泰州期末)如图，在三棱锥P —ABC 中，平面ABC ⊥平面APC ，AB ＝BC ＝AP ＝PC ＝2，∠ABC ＝∠APC ＝90°.(1)求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值；(2)若动点M 在底面三角形ABC 上，二面角M －P A －C 的余弦值为31111，求BM 的最小值．[解] (1)取AC 中点O ，∵AB ＝BC ，∴OB ⊥OC . ∵平面ABC ⊥平面APC ， 平面ABC ∩平面APC ＝AC ， ∴OB ⊥平面P AC . ∴OB ⊥OP .以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系． ∵AB ＝BC ＝P A ＝2，∴OB ＝OC ＝OP ＝1.从而O (0,0,0)，B (1,0,0)，A (0，－1,0)，C (0,1,0)，P (0,0，1)，∴BC ＝(－1,1,0)，PB ＝(1,0，－1)，AP＝(0,1,1)．设平面PBC 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，由BC ·n 1＝0，PB ·n 1＝0得方程组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，x －z ＝0.取n 1＝(1,1,1)，∴cos 〈AP ，n 1〉＝AP·n 1| AP ||n 1|＝63.设P A 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈AD ，n 1〉|＝63.∴直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值为63. (2)由题意平面P AC 的法向量n 2＝(1,0,0)．设平面P AM 的法向量为n 3＝(x ，y ，z )，M (m ，n,0)．∵AP ＝(0,1,1)，AM＝(m ，n ＋1,0)，又∵AP ·n 3＝0，AM ·n 3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，mx ＋(n ＋1)y ＝0，取n 3＝⎝⎛⎭⎫n ＋1m ，－1，1.∴cos 〈n 2，n 3〉＝n 2·n 3|n 2||n 3|＝n ＋1m ⎝⎛⎭⎫n ＋1m 2＋2＝31111.∴⎝⎛⎭⎫n ＋1m 2＝9.∴n ＋1＝3m 或n ＋1＝－3m (舍去)．∴AM＝(m,3m,0)． 又AB＝(1,1,0)，∴cos 〈AM ，AB 〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(m ，3m ，0)·(1，1，0)10m 2·2＝255.则sin 〈AM ，AB 〉＝53，∴d ＝AB ·55＝105.∴B 点到AM 的最小值为垂直距离d ＝105.考查空间向量在立体几何中的应用，求出平面的法向量是解题的关键． [演练2](2012·苏北四市二模)在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AB 的中点，点P 在平面A 1B 1C 1D 1中，D 1P ⊥平面PCE .(1)试求：线段D 1P 的长；(2)直线DE 与平面PCE 所成角的正弦值．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，E (2,1,0)，C (0,2,0)．设P (x ，y,2)，则1D P＝(x ，y,0)， EP＝(x －2，y －1,2)， EC＝(－2,1,0)．因为D 1P ⊥平面PCE ，所以D 1P ⊥EP .D 1P ⊥EC .所以1D P ·EP＝0，1D P ·EC ＝0， 故⎩⎪⎨⎪⎧ x (x －2)＋y (y －1)＝0，－2x ＋y ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍去)或⎩⎨⎧x ＝45，y ＝85.即P ⎝⎛⎭⎫45，85，2，所以1D P ＝⎝⎛⎭⎫45，85，0，所以D 1P ＝1625＋6425＝455.(2)由(1)知，DE＝(2,1,0)，1D P ＝⎝⎛⎭⎫45，85，0，1D P ⊥平面PEC ，设DE 与平面PEC 所成角为θ，1D P 与DE 所成角为α，则sin θ＝|cos α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1D P ·DE | 1D P ||DE |＝1655·8025＝45. 所以直线DE 与平面PEC 所成角的正弦值为45.[专题技法归纳](1)抛物线与直线的位置关系中重点考查顶点在原点的抛物线与过焦点的直线的位置关系，熟练掌握抛物线的几何性质，利用几何性质解决问题较为简单；(2)空间向量与立体几何主要考查向量的坐标表示、向量运算、平面的法向量、空间角及距离的计算．对于点的位置的探索问题，可以利用向量共线定理设元确定．1.(2012·苏北四市三模)在三棱锥S —ABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点，侧棱SA 和底面成45°角．(1) 若D 为侧棱SA 上一点，当SDDA 为何值时，BD ⊥AC ；(2) 求二面角S —AC —B 的余弦值大小．解：以O 点为原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系．因为△ABC 是边长为23的正三角形，又SA 与底面所成角为45°，所以∠SAO ＝45°.所以SO ＝AO ＝3.所以O (0,0,0)，C (3，0,0)，A (0,3,0)，S (0,0,3)，B (－3，0，0)．(1)设AD ＝a ，则D ⎝⎛⎭⎫0，3－22a ，22a ，所以BD ＝⎝⎛⎭⎫3，3－22a ，22a ，AC ＝(3，－3,0)．若BD ⊥AC ，则BD·AC ＝3－3⎝⎛⎭⎫3－22a ＝0，解得a ＝22，而AS ＝32，所以SD ＝ 2.所以SD DA ＝222＝12.(2)因为AS ＝(0，－3,3)，BC＝(23，0,0)．设平面ACS 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 1·AC ＝(x ，y ，z )·(3，－3，0)＝3x －3y ＝0，n 1·AS＝(x ，y ，z )·(0，－3，3)＝－3y ＋3z ＝0， 令z ＝1，则x ＝3，y ＝1，所以n 1＝(3，1,1)． 而平面ABC 的法向量为n 2＝(0,0,1)， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋(3)2·1＝15，显然所求二面角的平面角为锐角， 故所求二面角的余弦值的大小为55.2.(2012·镇江5月)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .(1)若λ＝1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值； (2)若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值．解：(1)不妨设正方体的棱长为1，以DA ，DC ，1DD为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .则A (1,0,0)，O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫14，14，12， 于是DE ＝⎝⎛⎭⎫14，14，12，1CD ＝(0，－1,1)． 由cos 〈DE ，1CD 〉＝DE ·1CD | DE|·| 1CD |＝36. 所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为36. (2)设平面CD 1O 的向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧12x 1－12y 1＝0，－y 1＋z 1＝0，取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1， 即m ＝(1,1,1)．由D 1E ＝λEO ，则E ⎝⎛⎭⎫λ2(1＋λ)，λ2(1＋λ)，11＋λ，DE ＝⎝⎛⎭⎫λ2(1＋λ)，λ2(1＋λ)，11＋λ.又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝0，λx 22(1＋λ)＋λy 22(1＋λ)＋z 21＋λ＝0，取x 2＝2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2,0，λ)． 因为平面CDE ⊥平面CD 1O ，所以m ·n ＝0，得λ＝2.3.(2012·南通密卷)如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，N 是BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足1A P ＝λ11A B.(1)当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？(2)若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，试确定点P 的位置． 解：(1)以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A —xyz ，则N ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P (λ，0,1)，则PN ＝⎝⎛⎭⎫12－λ，12，－1， 平面ABC 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，则sin θ＝|cos 〈PN ，n 〉|＝|PN·n || PN ||n |＝1⎝⎛⎭⎫λ－122＋54. 于是问题转化为二次函数求最值，而θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，当θ最大时，sin θ最大，所以当λ＝12时，sin θ最大，θ也最大．(2)已知给出了平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，即可得到平面ABC 的一个法向量为n ＝1AA ＝(0,0,1)，设平面PMN 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，MP ＝⎝⎛⎭⎫λ，－1，12. 由⎩⎨⎧m ·NP ＝0，m ·MP ＝0，得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫λ－12x －12y ＋z ＝0，λx －y ＋12z ＝0，解得⎩⎨⎧y ＝2λ＋13x ，z ＝2(1－λ)3x .令x ＝3，得m ＝(3,2λ＋1,2(1－λ))，于是由 |cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n|＝|2(1－λ)|9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2＝22，解得λ＝－12，故点P 在B 1A 1的延长线上，且|A 1P |＝12.4．(2012·泰州期末)对称轴为坐标轴，顶点在坐标原点的抛物线C 经过两点A (a,2a )，B (4a,4a )(其中a 为正常数)．(1)求抛物线C 的方程；(2)设动点T (m,0)(m >a )，直线AT ，BT 与抛物线C 的另一个交点分别为A 1，B 1，当m 变化时，记所有直线A 1B 1组成的集合为M ，求证：集合M 中的任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上．解：(1)当抛物线焦点在x 轴上时， 设抛物线方程y 2＝2px ，∵⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＝2pa ，16a 2＝8pa ，∴p ＝2a . ∴y 2＝4ax .当抛物线焦点在y 轴上时，设抛物线方程x 2＝2py ，∵⎩⎪⎨⎪⎧16a 2＝8pa ，a 2＝4pa ，方程无解，∴抛物线不存在． 综上抛物线C 的方程为y 2＝4ax .(2)设A 1(as 2,2as )，B 1(at 2,2at )，T (m,0)(m >a )． ∵k TA ＝kTA 1，∴2a a －m ＝2as as 2－m ，∴as 2＋(m －a )s －m ＝0.∵(as ＋m )(s －1)＝0，∴s ＝－m a，∴A 1⎝⎛⎭⎫m 2a ，－2m . ∵k TB ＝kTB 1，∴4a 4a －m ＝2atat 2－m.∵2at 2＋(m －4a )t －2m ＝0，∴(2at ＋m )(t －2)＝0. ∴t ＝－m 2a.∴B 1⎝⎛⎭⎫m 24a ，－m . ∴直线A 1B 1的方程为y ＋2m ＝－2m ＋m m 2a －m 24a ⎝⎛⎭⎫x －m 2a . ∵直线的斜率为－4a3m 在(a ，＋∞)单调，∴集合M 中的直线必定相交．∵直线的横截距为－m 22a 在(a ，＋∞)单调，纵截距为－2m3在(a ，＋∞)单调，∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上．5．(2012·常州)已知斜率为k (k ≠0)的直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且交抛物线于A ，B 两点．设线段AB 的中点为M .(1)求点M 的轨迹方程；(2)若－2<k <－1时，点M 到直线l ′：3x ＋4y －m ＝0(m 为常数，m <13)的距离总不小于15，求m 的取值范围．解：(1)焦点F (1,0)，直线AB 方程为y ＝k (x －1)， 因为k ≠0，所以x ＝yk ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y k ＋1，y 2＝4x得y 2－4ky －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，显然Δ>0恒成立，则y 0＝y 1＋y 22＝2k .又x 0＝y 0k ＋1，消去k ，得y 20＝2(x 0－1)， 所以点M 的轨迹方程为y 2＝2(x －1)． (2)由(1)知，点M ⎝⎛⎭⎫2k2＋1，2k . 因为m <13，所以d ＝15⎪⎪⎪⎪6k 2＋8k－m ＋3＝15⎝⎛⎭⎫6k 2＋8k －m ＋3. 由题意，得15⎝⎛⎭⎫6k 2＋8k －m ＋3≥15，m ≤6k 2＋8k ＋2对－2<k <－1恒成立． 因为－2<k <－1时，6k 2＋8k ＋2的最小值是－23，所以m ≤－23.6．(2012·南通密卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点为F 的抛物线x 2＝4y 上有两个动点A ，B ，且满足AF ＝λFB， 过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M .(1)求：OA ·OB的值； (2)证明：FM ·AB为定值．解：(1)设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 224， ∵焦点F (0,1)，∴AF ＝⎝⎛⎭⎫－x 1，1－x 214，FB ＝⎝⎛⎭⎫x 2，x 224－1.∵AF ＝λFB，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2，1－x 214＝λ⎝⎛⎭⎫x 224－1，消λ，得x 1⎝⎛⎭⎫x 224－1＋x 2⎝⎛⎭⎫1－x 214＝0. 化简整理得(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1x 24＋1＝0. ∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＝－4.∴y 1y 2＝x 214·x 224＝1.∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3.(2)证明：抛物线方程为y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴过抛物线A ，B 两点的切线方程分别为 y ＝12x 1(x －x 1)＋x 214和y ＝12x 2(x －x 2)＋x 224， 即y ＝12x 1x －x 214和y ＝12x 2x －x 224.联立解出两切线交点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，－1. ∴FM ·AB ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，－2·⎝⎛⎭⎫x 2－x 1，x 22－x 214 ＝x 22－x 212－x 22－x 212＝0(定值).7.(2012·淮阴联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,1)，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足k OP ＋k OA ＝k P A .(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ＝λOA ，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得△PQA 和△P AM 的面积满足S △PQA ＝2S △P AM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)设点P (x ，y )为所求轨迹上的任意一点，则由kOP ＋k OA ＝k P A得，y x ＋1－1＝y －1x ＋1，整理得轨迹C 的方程为y ＝x 2(x ≠0且x ≠－1)．(2)设P (x 1，x 21)，Q (x 2，x 22)，由PQ＝λOA 可知直线PQ ∥OA ，则k PQ ＝k OA ，故x 22－x 21x 2－x 1＝1－0－1－0，即x 2＝－x 1－1. 直线OP 方程为y ＝x 1x .①直线QA 的斜率为(－x 1－1)2－1－x 1－1＋1＝－x 1－2，∴直线QA 方程为y －1＝(－x 1－2)(x ＋1)， 即y ＝－(x 1＋2)x －x 1－1.②联立①②，得x ＝－12，∴点M 的横坐标为定值－12.由S △PQA ＝2S △P AM ，得到QA ＝2AM ，因为PQ ∥OA ， 所以OP ＝2OM ，由PO ＝2 OM，得x 1＝1，∴P 的坐标为(1,1)．∴存在点P 满足S △PQA ＝2S △P AM ，P 的坐标为(1,1)．8.(2012·徐州一模)如图，过抛物线C ：y 2＝4x 上一点P (1，－2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)求y 1＋y 2的值；(2)若y 1≥0，y 2≥0，求△P AB 面积的最大值．解：(1)因为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线C ： y 2＝4x 上，所以A ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2， k P A ＝y 1＋2y 214－1＝4(y 1＋2)y 21－4＝4y 1－2， 同理k PB ＝4y 2－2，依题有k P A ＝－k PB ， 所以4y 1－2＝－4y 2－2，即y 1＋y 2＝4.(2)由(1)知k AB ＝y 2－y 1y 224－y 214＝1，设AB 的方程为 y －y 1＝x －y 214，即x －y ＋y 1－y 214＝0，P 到AB 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪3＋y 1－y 2142，AB ＝2⎪⎪⎪⎪y 214－y 224＝2|y 1－y 2|＝22|2－y 1|，所以S △P AB ＝12×⎪⎪⎪⎪3＋y 1－y 2142×22|2－y 1|＝14|y 21－4y 1－12||y 1－2|＝14|(y 1－2)2－16||y 1－2|， 令y 1－2＝t ，由y 1＋y 2＝4，y 1≥0，y 2≥0，可知－2≤t ≤2.S △P AB ＝14|t 3－16t |，因为S △P AB ＝14|t 3－16t |为偶函数，只考虑0≤t ≤2的情况，记f (t )＝|t 3－16t |＝16t －t 3，f ′(t )＝16－3t 2>0，故f (t )在[0,2]是单调增函数，故f (t )的最大值为f (2)＝24，故S △P AB 的最大值为6.回顾2009～2012年的高考考题，附加题选做(四选二)中分别考查几何证明选讲、极坐标与参数方程、矩阵与变换、不等式选讲这四个内容，要求考生从中选择两个来完成，每题10分，难度不是很大，但是要求考生对所学知识点熟练掌握.[典例1](2012·江苏高考)如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连结AC ，AE ，DE .求证：∠E ＝∠C .[解] 证明：如图，连结AD .∵AB 是圆O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. ∴AD ⊥BD . 又∵BD ＝DC ，∴AD 是线段BC 的中垂线． ∴AB ＝AC . ∴∠B ＝∠C .又∵D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点， ∴∠B ＝∠E . ∴∠E ＝∠C .(1)本题利用中间量代换的方法证明∠E ＝∠C ，一方面考虑到∠B 和∠E 是同弧所对圆周角相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到∠B ＝∠C .(2)本题还可连结OD ，利用三角形中位线来证明∠B ＝∠C . [演练1](2012·泰州期末)已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB ，FC .(1)求证：FB ＝FC ；(2)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝33，求AD 的长．解：(1)证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC . ∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ， ∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC . (2)∵AB 是圆的直径，∴∠ACD ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠D ＝30°.在Rt △ACB 中，∵BC ＝33，∠BAC ＝60°，∴AC ＝3. 又在Rt △ACD 中，∠D ＝30°，AC ＝3，∴AD ＝6. [典例2](2012·江苏高考)已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 3412 －12，求矩阵A 的特征值．[解] ∵A －1A ＝E ，∴A ＝(A －1)－1.∵A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 34 12 －12，∴A ＝(A－1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321.∴矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.由矩阵A 的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A ，从而可求出矩阵A 的特征值． [演练2](2012·泰州期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .解：由题意得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1，∵AX ＝B ，∴X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1. [典例3](2012·江苏高考)在极坐标中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．[解] ∵圆C 圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，∴在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1.∴圆C 的圆心坐标为(1,0)． ∵圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， ∴圆C 的半径为PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1.∴圆C 经过极点，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.求圆的方程的关键是求出圆心坐标和圆的半径． [演练3](2012·南通二模)在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与圆C 2相切，求实数a 的值．解：C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝8， 圆心C 1(2,2)，半径r 1＝2 2. C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2， 圆心C 2(－1，－1)，半径r 2＝|a |. ∴圆心距C 1C 2＝3 2.两圆外切时，C1C2＝r1＋r2＝22＋|a|＝32，a＝±2；两圆内切时，C1C2＝|r1－r2|＝|22－|a||＝32，a＝±5 2.综上，a＝±2或a＝±5 2.[典例4](2012·江苏高考)已知实数x，y满足：|x＋y|<13，|2x－y|<16，求证：|y|<518.[证明]∵3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|<13，|2x－y|<16，∴3|y|<13＋16＝56.∴|y|<518.解决本题的关键是用(x＋y)和(2x－y)表示y.[演练4](2012·南通二模)已知x，y，z均为正数．求证：xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.证明：因为x，y，z都为正数，所以xyz＋yzx＝1z⎝⎛⎭⎫xy＋yx≥2z.同理，可得yzx＋zxy≥2x，zxy＋xyz≥2y.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.[专题技法归纳](1)几何证明选讲主要考查直线与圆的相切关系，弦切角定理是沟通角的桥梁，解决与圆有关的线段问题常利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理，并结合三角形相似等知识；(2)矩阵与变换主要考查变换、矩阵的特征值与特征向量、逆矩阵、二阶矩阵的乘法；(3)极坐标与参数方程主要考查参数方程与普通方程的互化及应用参数方程求最值、范围等问题；(4)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号化为不含绝对值的不等式，其过程体现了分类讨论思想的应用．1.(2012·苏北四市三模)如图，圆O 的直径AB ＝4，C 为圆周上一点，BC ＝2，过C 作圆O 的切线l ，过A 作l 的垂线AD 分别与直线l ，圆O 交于点D ，E ，求线段AE 的长．解：在Rt △ABC 中，因为AB ＝4，BC ＝2，所以∠ABC ＝60°， 因为l 为过C 的切线，所以∠DCA ＝∠CBA ， 所以∠DCA ＝∠ABC ＝60°.又因为AD ⊥DC ，所以∠DAC ＝30°.在△AOE 中，因为∠EAO ＝∠DAC ＋∠CAB ＝60°，且OE ＝OA ， 所以AE ＝AO ＝12AB ＝2.2.如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O上一点，AE ＝AC ，求证：∠PDE ＝∠POC .证明：因AE ＝AC ，AB 为直径， 故∠OAC ＝∠OAE .所以∠POC ＝∠OAC ＋∠OCA ＝∠OAE ＋∠OAC ＝∠EAC .又∠EAC ＝∠PDE ，所以∠PDE ＝∠POC .3．(2012·扬州期末)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 26的特征值和特征向量． 解：f (λ)＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)，由f (λ)＝0，可得λ1＝7，λ2＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧(7＋1)x －4y ＝0，－2x ＋(7－6)y ＝0 可得属于λ1＝7的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12. 由⎩⎪⎨⎪⎧(－2＋1)x －4y ＝0，－2x ＋(－2－6)y ＝0 可得属于λ1＝－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1. 4．(2012·南通二模)已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 5β.解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－1＝λ2－2λ－3.令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得它们对应的一个特征向量分别为 α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. 令β＝m α1＋n α2，所以求得m ＝4，n ＝－3.M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2)＝4(λ51α1)－3(λ52α2)＝4·35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3(－1)5⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤975969.5．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.解：∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 121，∴A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 243.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A 2α＝β⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2y 4x ＋3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2.6．已知P (x ，y )是椭圆x 24＋y 2＝1上的点，求M ＝x ＋2y 的取值范围．解：∵x 24＋y 2＝1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)∴设P (2cos θ，sin θ)．∴M ＝x ＋2y ＝2cos θ＋2sin θ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∴M ＝x ＋2y 的取值范围是[－22，2 2 ]．7．(2012·泰州期末)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋1(t 为参数)，求直线l被曲线C 截得的线段长度．解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x 2＋y 2－6y ＝0，即x 2＋(y －3)2＝9， 它表示以(0,3)为圆心，3为半径的圆． 直线方程l 的普通方程为y ＝3x ＋1， 圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|3－1|3＋1＝1，故直线l 被曲线C 截得的线段长度为232－12＝4 2.8．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (1)求直线l 的倾斜角；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB .解：(1)设直线l 的倾斜角为θ，则⎩⎨⎧cos θ＝12，sin θ＝32且θ∈[0，π)，∴θ＝π3，即直线l 的倾斜角为π3.(2)l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22， ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4的直角坐标方程为 ⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y －222＝1， ∴圆心⎝⎛⎭⎫22，22到直线l 的距离d ＝64， ∴AB ＝102. 9．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －y ＋1|的最大值． 解：法一：|x －y ＋1|＝|(x －1)－(y －2)|≤|x －1|＋|y －2|≤2. 当且仅当x ＝2，y ＝3或x ＝0，y ＝1时，取等号． ∴|x －y ＋1|的最大值为2. 法二：∵|x －1|≤1，∴0≤x ≤2. ∵|y －2|≤1，∴1≤y ≤3. ∴－3≤－y ≤－1. ∴－2≤x －y ＋1≤2. ∴|x －y ＋1|的最大值为2.10．若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值．解：因为正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，所以⎝⎛⎭⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥(1＋1＋1)2，即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1， 当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，原式取最小值1.回顾2009～2012年的考题，离散型随机变量的概率分布与数学期望是考查的重点，但考查难度不大，考查的重点是根据题意分析写出随机变量的分布列.求解过程往往和排列、组合和概率相结合.数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在数学证明中有着广泛的应用.[典例1](2012·江苏高考)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．[解] (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱． 因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2， 其中距离为2的共有6对， 故P (ξ＝2)＝6C 212＝666＝111， P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611.所以随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 P (ξ)411611111则其数学期望E (ξ)＝1×611＋2×111＝6＋211.本题考查概率分布、数学期望等基础知识．解题的关键是确定ξ的取值． [演练1](2012·扬州期末)口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X .(1)若取到红球再放回，求X 不大于2的概率； (2)若取出的红球不放回，求X 的概率分布与数学期望． 解：(1)∵P (X ＝1)＝37，P (X ＝2)＝3×472＝1249，∴P ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝3349.(2)∵X 可能取值为1,2,3,4,5，P (X ＝1)＝A 13A 17＝37，P (X ＝2)＝A 14A 13A 27＝27，P (X ＝3)＝A 24A 13A 37＝635，P (X ＝4)＝A 34A 13A 47＝335，P (X ＝5)＝A 44A 13A 57＝135.∴X 的概率分布列为：X 1 2 3 4 5 P3727635335135∴E (X )＝1×37＋2×27＋3×635＋4×335＋5×135＝2.即X 的数学期望是2. [典例2]已知△ABC 的三边长为有理数． (1)求证：cos A 是有理数；(2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数． [证明] (1)由AB ，BC ，AC 为有理数及余弦定理知 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC是有理数．(2)用数学归纳法证明cos nA 和sin A ·sin nA 都是有理数． ①当n ＝1时，由(1)知cos A 是有理数，从而有sin A·sin A＝1－cos2A也是有理数．②假设当n＝k(k≥1)时，cos kA和sin A·sin kA都是有理数．当n＝k＋1时，由cos(k＋1)A＝cos A·cos kA－sin A·sin kA，sin A·sin(k＋1)A＝sin A·(sin A·cos kA＋cos A·sin kA)＝(sin A·sin A)·cos kA＋(sin A·sin kA)·cos A，由①及归纳假设，知cos(k＋1)A与sin A·sin(k＋1)A都是有理数．即当n＝k＋1时，结论成立．综合①②可知，对任意正整数n，cos nA是有理数．本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力．[演练2](2012·常州)已知正项数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝1＋a n1＋a n(n∈N*)．用数学归纳法证明：a n<a n＋1(n∈N*)．证明：当n＝1时，a2＝1＋a11＋a1＝32，a1<a2，所以n＝1时，不等式成立；假设当n＝k(k∈N*)时，a k<a k＋1成立，显然a k>0. 则当n＝k＋1时，a k＋2－a k＋1＝1＋a k＋11＋a k＋1－a k＋1＝1＋a k＋11＋a k＋1－⎝⎛⎭⎫1＋a k1＋a k＝a k＋1－a k(1＋a k)(1＋a k＋1)>0，所以n＝k＋1时，不等式成立．综上所述，不等式a n<a n＋1(n∈N*)成立．[典例3](2012·盐城二模)某班级共派出n＋1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队．入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有E n种排法；入场后，又需从男生(含男生甲)和女生中各选一名代表到主席台服务，共有F n种选法．(1)试求E n和F n；(2)判断ln E n和F n的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明．[解](1)由题意知E n＝A n n·A n n＝(n！)2，F n ＝C 1n ＋1·C 1n ＝n (n ＋1)．(2)因为ln E n ＝2ln n ！，F n ＝n (n ＋1)，所以ln E 1＝0<F 1＝2，ln E 2＝ln 4<F 2＝6，ln E 3＝ln 36<F 3＝12，…，因此猜想；当n ∈N *时都有ln E n <F n ，即2ln n ！<n (n ＋1)．下面用数学归纳法证明2ln n ！<n (n ＋1)(n ∈N *)． ①当n ＝1时，该不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即2ln k ！<k (k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，2ln(k ＋1)！＝2ln(k ＋1)＋2ln k ！<2ln(k ＋1)＋k (k ＋1)，要证当n ＝k ＋1时不等式成立，只要证2ln(k ＋1)＋k (k ＋1)≤(k ＋1)(k ＋2)，即只要证ln(k ＋1)≤k ＋1.令f (x )＝ln x －x ，x ∈(1，＋∞)，因为f ′(x )＝1－x x <0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递减，从而f (x )<f (1)＝－1<0，而k ＋1∈(1，＋∞)， 所以ln(k ＋1)≤k ＋1成立，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 综合①②，当n ∈N *时，都有ln E n <F n .本题考查排列组合等基础知识，考查数学归纳法的应用以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．这类问题以排列组合为主线，利用数学归纳法进行推理．利用导数研究函数的单调性证明ln(k ＋1)<k ＋1是关键．[演练3](2012·扬州期末)已知p (p ≥2)是给定的某个正整数，数列{a n }满足：a 1＝1，(k ＋1)a k ＋1＝p (k －p )a k ，其中k ＝1，2,3，…，p －1.(1)设p ＝4，求a 2，a 3，a 4； (2)求a 1＋a 2＋a 3＋…＋a p . 解：(1)由(k ＋1)a k ＋1＝p (k －p )a k ， 得a k ＋1a k ＝p ×k －pk ＋1，k ＝1,2,3，…，p －1， 即a 2a 1＝－4×4－12＝－6，a 2＝－6a 1＝－6； a 3a 2＝－4×4－23＝－83，a 3＝16； a 4a 3＝－4×4－34＝－1，a 4＝－16. (2)由(k ＋1)a k ＋1＝p (k －p )a k ， 得a k ＋1a k ＝p ×k －pk ＋1，k ＝1,2,3，…，p －1，即a 2a 1＝－p ×p －12，a 3a 2＝－p ×p －23，…， a ka k －1＝－p ×p －(k －1)k ，以上各式相乘得a k a 1＝(－p )k －1×(p －1)(p －2)(p －3)…(p －k ＋1)k ！， ∴a k ＝(－p )k －1×(p －1)(p －2)(p －3)…(p －k ＋1)k ！＝(－p )k －1×(p －1)！k ！(p －k )！＝(－p )k －1p ×p ！k ！(p －k )！＝－(－p )k －2×C k p ＝－1p 2C k p (－p )k，k ＝1,2,3，…，p . ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a p＝－1p 2[C 1p (－p )1＋C 2p (－p )2＋C 3p (－p )3＋…＋C p p (－p )p ] ＝－1p2[(1－p )p －1]．[专题技法归纳]离散型随机变量的概率分布与数学期望是建立在传统的概率问题的基础之上的内容，高考新课程对这一内容的考查是B 级要求，常以实际应用题的形式出现，与数学建模能力的考查结合在一起，考查学生的数学应用意识以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．解决这一类问题，一定要注意认真审题，不仅要能在弄清题意的基础上，迅速地寻找出正确的解题思路，还要能够规范地表述解题的过程．这些，需要在复习中引起足够的重视，注意做好针对性的训练，力求做到求解这一类问题时能够得心应手、准确无误．1．有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一排组成.第一排 明文字符ABCD密码字符 11 12 13 14 第二明文字符 E F G H 密码字符21222324排 第三排明文字符 M N P Q 密码字符1234设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数． (1)求P (ξ＝2)；(2)求随机变量ξ的分布列和它的数学期望．解：(1)密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1,2列分别总是1,2，即只能取表格第1,2列中的数字作为密码．∴P (ξ＝2)＝2343＝18.(2)由题意可知，ξ的取值为2,3,4三种情形．若ξ＝3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1,2,3或1,2,4.∴P (ξ＝3)＝2(22A 132C 23＋1)43＝1932. P (ξ＝4)＝A 13＋A 22＋A 23A 2243＝932. ∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 P181932932∴E (ξ)＝2×18＋3×1932＋4×932＝10132.A BED2.用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．(1)求恰有两个区域用红色鲜花的概率；(2)记花圃中红色鲜花区域的块数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望E (ξ)． 解：(1)设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”， 如图，当区域A 、D 同色时，共有5×4×3×1×3＝180种； 当区域A 、D 不同色时，共有5×4×3×2×2＝240种； 因此，所有基本事件总数为：180＋240＝420种．又因为A 、D 为红色时，共有4×3×3＝36种；B 、E 为红色时，共有4×3×3＝36种；因此，事件M 包含的基本事件有：36＋36＝72种．所以P (M )＝72420＝635.(2)随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 P6352335635所以E (ξ)＝0×635＋1×2335＋2×635＝1.3．(2012·南通二模)某射击运动员向一目标射击，该目标分为3个不同部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)若射击4次，每次击中目标的概率为13且相互独立．设ξ表示目标被击中的次数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(2)若射击2次均击中目标，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求事件A 发生的概率．解：(1)依题意知ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，13，ξ的分布列： ξ 0 1 2 3 4 P168132812481881181数学期望E (ξ)＝0×1681＋1×3281＋2×2481＋3×881＋4×181＝43.(2)法一：设A i 表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1,2,3. B i 表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”，i ＝1,2,3. 依题意，知P (A 1)＝P (B 1)＝0.1，P (A 2)＝P (B 2)＝0.3， A ＝A 1B 1∪A 1B 1∪A 1B 1∪A 2B 2，所求的概率为 P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 2B 2) ＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2) ＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28. 即事件A 发生的概率为0.28.法二：记“第一部分至少击中一次”为事件C ，“第二部分被击中二次”为事件D ， 则P (C )＝C 120.1×0.9＋0.1×0.1＝0.19， P (D )＝0.3×0.3＝0.09. P (A )＝P (C )＋P (D )＝0.28.即事件A 发生的概率为0.28.4.(2012·南通二模)已知函数f (x )＝(2x ＋1)ln(2x ＋1)－a (2x ＋1)2－x (a >0)．(1)若函数f (x )在x ＝0处取极值，求a 的值；(2)如图，设直线x ＝－12，y ＝－x 将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域(不含边界)，若函数y ＝f (x )的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围；(3)比较32×43×54×…×2 0122 011与23×34×45×…×2 0112 012的大小，并说明理由． 解：(1)f (x )＝(2x ＋1)ln(2x ＋1)－a (2x ＋1)2－x (a >0)， f ′(x )＝2ln(2x ＋1)－4a (2x ＋1)＋1. ∵f (x )在x ＝0处取极值， ∴f ′(0)＝－4a ＋1＝0. ∴a ＝14⎝⎛⎭⎫经检验a ＝14符合题意. (2)因为函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞， 且当x ＝0时，f (0)＝－a <0. 又直线y ＝－x 恰好通过原点，所以函数y ＝f (x )的图象应位于区域Ⅳ内， 于是可得f (x )<－x ，即(2x ＋1)ln(2x ＋1)－a (2x ＋1)2－x <－x . ∵2x ＋1>0，∴a >ln (2x ＋1)2x ＋1.令h (x )＝ln (2x ＋1)2x ＋1，∴h ′(x )＝2－2ln (2x ＋1)(2x ＋1)2.令h ′(x )＝0，得x ＝e －12.∵x >－12，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－12，e －12时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；x ∈⎝⎛⎭⎫e －12，＋∞时，h ′(x )<0，h (x )单调递减．∴h max (x )＝h ⎝⎛⎭⎫e －12＝1e .∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. (3)由(2)知，函数h (x )＝ln (2x ＋1)2x ＋1在x ∈⎝⎛⎭⎫e －12，＋∞时单调递减， 函数p (x )＝ln xx 在x ∈(e ，＋∞)时单调递减．∴ln (x ＋1)x ＋1<ln xx ， ∴x ln(x ＋1)<(x ＋1)ln x . ∴ln(x ＋1)x <ln x (x＋1)，即(x ＋1)x <x (x＋1)．∴令x ＝3,4，…，2011，则43<34,54<45，…，2 0122 011<2 0112 012，又32×43<23×34， 所以32×43×54…×2 0122 011<23×34×45…×2 0112 012.5．(2012·通州期末)求证：对于任意的正整数n ，(2＋3)n 必可表示成 s ＋s －1的形式，其中s ∈N *.证明：由二项式定理可知，(2＋3)n ＝C 0n 2n (3)0＋C 1n 2n －1(3)1＋C 2n 2n －2(3)2＋…＋C n n 20(3)n，设(2＋3)n ＝x ＋3y ＝x 2＋3y 2， 而若有(2＋3)n ＝a ＋b ，a ，b ∈N *， 则(2－3)n ＝a －b ，a ，b ∈N *，∵(a ＋b )·(a －b )＝(2＋3)n ·(2－3)n ＝1， ∴令a ＝s ，s ∈N *，则必有b ＝s －1.∴(2＋3)n 必可表示成s ＋s －1的形式，其中s ∈N *.6．若(x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n ，其中n ∈N *. (1)求a 0及S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ；(2)试比较S n 与(n －2)2n ＋2n 2的大小，并说明理由． 解：(1)取x ＝1，则a 0＝2n ； 取x ＝2，则a 0＋a 1＋…＋a n ＝3n ， ∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －2n . (2)要比较S n 与(n －2)2n ＋2n 2的大小， 即比较3n 与(n －1)2n ＋2n 2的大小， 当n ＝1时，3n >(n －1)2n ＋2n 2； 当n ＝2,3时，3n <(n －1)2n ＋2n 2； 当n ＝4,5时，3n >(n －1)2n ＋2n 2， 猜想：当n ≥4时，3n >(n －1)2n ＋2n 2. 下面用数学归纳法证明：①由上述过程可知，n ＝4时结论成立， ②假设当n ＝k ，(k ≥4)时结论成立，即3k>(k－1)2k＋2k2，两边同乘以3得3k＋1>3[(k－1)2k＋2k2]＝k2k＋1＋2(k＋1)2＋[(k－3)2k＋4k2－4k－2]，而(k －3)2k＋4k2－4k－2＝(k－3)2k＋4(k2－k－2)＋6＝(k－3)2k＋4(k－2)(k＋1)＋6>0，所以3k＋1>()(k＋1)－12k＋1＋2(k＋1)2，即n＝k＋1时结论也成立．由①②知当n≥4时，3n>(n－1)2n＋2n2成立．综上所述，当n＝1时，S n＞(n－2)2n＋2n2；当n＝2,3时，S n＜(n－2)2n＋2n2；当n≥4时，S n＞(n－2)2n＋2n2.7．设二项展开式C n＝(3＋1)2n－1(n∈N*)的整数部分为A n，小数部分为B n.试用二项式定理推导A n和B n.解：因为C n＝(3＋1)2n－1＝C02n－1(3)2n－1＋C12n－1(3)2n－2＋…＋C2n－22n－13＋C2n－12n－1，①而(3－1)2n－1＝C02n－1(3)2n－1－C12n－1(3)2n－2＋…＋C2n－22n－13－C2n－12n－1，②①—②得：(3＋1)2n－1－(3－1)2n－1＝2(C12n－1·(3)2n－2＋C32n－1(3)2n－4＋…＋C2n－12n－1)∈N*. 而0<(3－1)2n－1<1，所以A n＝(3＋1)2n－1－(3－1)2n－1，B n＝(3－1)2n－1. 8．(2012·苏北四市一模)已知a n＝(1＋2)n(n∈N*)．(1)若a n＝a＋b2(a，b∈Z)，求证：a是奇数；(2)求证：对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得a n＝k－1＋k.证明：(1)由二项式定理，得a n＝C0n＋C1n2＋C2n(2)2＋C3n(2)3＋…＋C n n(2)n，所以a＝C0n＋C2n(2)2＋C4n(2)4＋…＝1＋2C2n＋22C4n＋…，因为2C2n＋22C4n＋…为偶数，所以a是奇数．(2)由(1)设a n＝(1＋2)n＝a＋b2(a，b∈Z)，则(1－2)n＝a－b2，所以a2－2b2＝(a＋b2)(a－b2)＝(1＋2)n(1－2)n＝(1－2)n.当n为偶数时，a2＝2b2＋1，存在k＝a2，使得a n＝a＋b2＝a2＋2b2＝k＋k－1，当n为奇数时，a2＝2b2－1，存在k＝2b2，使得a n＝a＋b2＝a2＋2b2＝k－1＋k，综上，对于任意n∈N*，都存在正整数k，使得a n＝k－1＋k.。

2014江苏省数学高考附加题强化试题1班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．C.选修4 - 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.D.选修4－5：不等式选讲 已知函数2222()()()()()3a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+（,,a b c 为实数）的最小值为m ，若23a b c -+=，求m 的最小值．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22、如图，正四棱锥P ABCD -中，2,AB PA ==AC 、BD 相交于点O ，求：（1）直线BD 与直线PC 所成的角；（2）平面PAC 与平面PBC 所成的角23、设数列{}n a 满足2111,n n a a a a a +==+，{}* | |2R N n M a n a =∈∈，≤．（1）当(,2)a ∈-∞-时，求证：a ∉M ；（2）当1(0,]4a ∈时，求证：a M ∈；（3）当1(,)4a ∈+∞时，判断元素a 与集合M 的关系，并证明你的结论．江苏省数学高考附加题强化试题2班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换成点(1,1)--与(0,2)-．求矩阵M ；C ．选修4—4：坐标系与参数方程若两条曲线的极坐标方程分别为ρ =l 与ρ =2cos(θ+π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲求函数()f x =[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题10分）口袋中有)(*N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．若307)2(==X P ，求（1）n 的值； （2）X 的概率分布与数学期望．23．（本小题10分）已知曲线1:(0)C y x x=>，过1(1,0)P 作y 轴的平行线交曲线C 于1Q ，过1Q 作曲线C 的切线与x 轴交于2P ，过2P 作与y 轴平行的直线交曲线C 于2Q ，照此下去，得到点列12,,P P ⋅⋅⋅，和12,,Q Q ⋅⋅⋅，设||n n n PQ a =*1|()n n n Q Q b n N +=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：1222n n n b b b -++⋅⋅⋅+>-；江苏省数学高考附加题强化试题3班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3cd ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.D ．（选修4－5：不等式选讲）设z y x ,,为正数，证明：()()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题满分10分）某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．(Ⅰ)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率； (Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ．23．（本小题满分10分） 设函数(,)1(0,0)xm f x y m y y ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭.（1）当3m =时，求(6,)f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）若31240234(4,)a a a a f y a y y y y =++++且332a =，求4i i a =∑；（3）设n 是正整数，t 为正实数，实数t 满足(,1)(,)n f n m f n t =，求证：7(2010,)f f t >-．江苏省数学高考附加题强化试题4班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A B C D ，其中(1,1)A ，(1,1)B -，(1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --．（1）求出矩阵M ；（2）确定点D 及点'C 的坐标．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）{(,),,A x y x y m ααα===+为参数}，{(,)3,3,B x y x t y t t ==+=-为参数}，且A B ≠∅，求实数m 的取值范围．D ．（选修4－5：不等式选讲）已知,,a b c R ∈，证明不等式：（1）66622218227a b c a b c ++≥； （2）22249236a b c ab ac bc ++≥++．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题满分10分）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且PA ∥平面BDM ．⑴求证：M 为PC 中点；⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．23．（本小题满分10分）已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ．⑴求p 的值；⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省数学高考附加题强化试题5班级姓名得分A PB C D M 第22题图21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90︒后所得的曲线方程．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程） 求圆心为36C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为3的圆的极坐标方程.D ．（选修4－5：不等式选讲）已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cb ac b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。

M高三数学理科附加题训练221．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵21n A m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征根为2λ=，它对应的一个特征向量为12α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求m 与n 的值； （2）求1A -．2．（本小题满分10分）己知直线42:-=x y l 与抛物线:C x y 42=相交于,A B 两点，(),0(0T t t >且2t ≠）为x 轴上任意一点，连接,AT BT 并延长与抛物线C 分别相交于11,A B ． （1）设11A B 斜率为k ，求证：k t ⋅为定值； （2）设直线11,AB A B 与x 轴分别交于,M N ，令111234,,,ATM BTM B TN A TN S S S S S S S S ∆∆∆∆====，若1234,,,S S S S 构成等比数列，求t 的值．3．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）MN己知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为2cos 272sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点3π⎫⎪⎭为圆心，且过点)2,2(π的圆．（1）求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； （2）求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．4．（本小题满分10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆为直角三角形，2ACB π∠=，顶点1C 在底面ABC ∆内的射影是点B ，且13AC BC BC ===，点T 是平面1ABC 内一点． （1）若T 是1ABC ∆的重心，求直线1A T 与平面1ABC 所成角；（2）是否存在点T ，使1TB TC =且平面11TAC ⊥平面11ACC A 度，若不存在，说明理由．。