2015-2016学年北京市铁路二中高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
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2015-2016学年北京市铁路二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择．（共10个小题，共40分）1．（4分）已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|0＜x＜c，其中c＞0}．若A∪B=B，则c的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，2]D．[2，+∞）2．（4分）已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣ C．D．3．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．16B．16+16C．32D．16+324．（4分）以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0 B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0 5．（4分）如果直线x+ay+3=0与直线ax+4y+6=0互相平行，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣2或26．（4分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．7．（4分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++=，||=||，则•等于（）A．B．C．3 D．8．（4分）若函数f（x）=2sinx（x∈[0，π]）在点P处的切线平行于函数g（x）=2•（+1）在点Q处的切线，则直线PQ的斜率（）A．1 B．C．D．29．（4分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，且满足=．若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，平面四边形OACB面积的最大值是（）A．B．C．3 D．10．（4分）方程，当x∈[﹣2，4]时，所有根的和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案直接填在答题纸的横线上．11．（5分）复数的虚部为．12．（5分）（x+cosx）dx=．13．（5分）若函数则不等式的解集为．14．（5分）已知，若，则实数k的值，若，则实数k的值．15．（5分）已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：其中真命题是．①若f（x1）=﹣f（x2），则x1=﹣x2；②f（x）的最小正周期是2π；③在区间[﹣，]上是增函数；④f（x）的图象关于直线x=对称．16．（5分）若关于a，b的代数式f（a，b）满足：（1）f（a，a）=a；（2）f（ka，kb）=k•f（a，b）；（3）f（a1+a2，b1+b2）=f（a1，b1）+f（a2，b2）；（4），则f（1，0）+f（2，0）=；f（x，y）=．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（13分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知b2+c2﹣a2=bc （1）求角A的值；（2）若a=，cosC=，求边c的长．18．（13分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．19．（14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．20．（13分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为常数，且a＞0．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=垂直，求a的值；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为，求a的值．21．（13分）已知函数（1）当a=2时，求函数y=f（x）的极值；（2）如果函数g（x）=f（x）﹣2x在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围；（3）当a＞0时，讨论函数y=f（x）零点的个数．22．（14分）记函数f（x）在区间D上的最大值与最小值分别为max{f（x）|x ∈D}与min{f（x）|x∈D}．设函数f（x）=，1＜b＜3．g （x）=f（x）+ax，x∈[1，3]．（1）若函数g（x）在[1，3]上单调递减，求a的取值范围；（2）若a∈R．令，h（a）=max{g（x）|x∈[1，3]}﹣{g（x）|x∈[1，3]}．记d（b）=min{h（a）|a∈R}．试写出h（a）的表达式，并求min{d（b）|b∈（1，3）}；（3）令k（a）=max{g[f（x）]|x∈l}﹣min{g[f（x）]|x∈l}（其中l为g[f（x）]的定义域）．若l恰好为[1，3]，求b的取值范围，并求min{k（a）|a∈R}．2015-2016学年北京市铁路二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择．（共10个小题，共40分）1．（4分）已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|0＜x＜c，其中c＞0}．若A∪B=B，则c的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，2]D．[2，+∞）【解答】解：∵A={x|log2x＜1}，∴A={x|0＜x＜2}，由已知若A∪B=B，得A⊆B，∴c≥2．故选：D．2．（4分）已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：∵sina=，∴cos（π﹣2a）=﹣cos2a=﹣（1﹣2sin2a）=﹣．故选：B．3．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．16B．16+16C．32D．16+32【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，棱锥的底面边长为4，故底面面积为16，棱锥的高为2，故侧面的高为：2，则每个侧面的面积为：=4，故棱锥的表面积为：16+16，故选：B．4．（4分）以下有关命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0 B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0【解答】解：A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确，B．由x2﹣3x+2=0得x=1或x=1，则“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，故B 正确，C．若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误，D．命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，正确故D 正确．故错误的是C，故选：C．5．（4分）如果直线x+ay+3=0与直线ax+4y+6=0互相平行，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣2或2【解答】解：∵直线x+ay+3=0与直线ax+4y+6=0平行，∴=≠，∴a=﹣2，故选：B．6．（4分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数的图象可知，﹣1＜b＜0，a＞1，则g（x）=a x+b为增函数，当x=0时，y=1+b＞0，且过定点（0，1+b），故选：C．7．（4分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++=，||=||，则•等于（）A．B．C．3 D．【解答】解：∵，∴，∴．∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．∵，∴=1，|BC|=2，|AC|=，故∠ACB=．则，故选：C．8．（4分）若函数f（x）=2sinx（x∈[0，π]）在点P处的切线平行于函数g（x）=2•（+1）在点Q处的切线，则直线PQ的斜率（）A．1 B．C．D．2【解答】解：函数y=2sinx （x∈[0，π]），∴y′=2cosx，﹣2≤y′≤2，g′（x）=≥2，此时x=1，∵函数y=2sinx （x∈[0，π]）在点P处的切线与函数g（x）=2•（+1）在点Q处切线平行，∴y′=g′（x）=2，可得P（0，0），Q（1，），∴直线PQ的斜率k PQ==，故选：C．9．（4分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，且满足=．若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，平面四边形OACB面积的最大值是（）A．B．C．3 D．【解答】解：∵△ABC中，=，∴sinBcosA+cosBsinA=sinA，即sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC=sinA，∴A=C，又b=c，∴△ABC为等边三角形；∴S OACB=S△AOB+S△ABC=|OA|•|OB|sinθ+×|AB|2×=×2×1×sinθ+（|OA|2+|OB|2﹣2|OA|•|OB|cosθ）=sinθ+（4+1﹣2×2×1×cosθ）=sinθ﹣cosθ+=2sin（θ﹣）+，∵0＜θ＜π，∴﹣＜θ﹣＜，∴当θ﹣=，即θ=时，sin（θ﹣）取得最大值1，∴平面四边形OACB面积的最大值为2+=．故选：A．10．（4分）方程，当x∈[﹣2，4]时，所有根的和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：由，得2sinπx=，设y=2sinπx和y=，作出两个函数的图象，则两个函数都关于点（1，0）对称，由图象可知两个函数共有8个交点，它们两两关于点（1，0）对称，不妨设关于x对称的两个零点的横坐标分别为x1，x2，则，即x1+x2=2，∴所有8个零点之和为4（x1+x2）=4×2=8，故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案直接填在答题纸的横线上．11．（5分）复数的虚部为﹣2．【解答】解：复数===﹣2i的虚部为﹣2．故答案为：﹣2．12．（5分）（x+cosx）dx=．【解答】解：（x2+sinx）|=故答案为：．13．（5分）若函数则不等式的解集为[﹣3，1] ．【解答】解：①由．②由．∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1，故答案为：[﹣3，1]．14．（5分）已知，若，则实数k的值﹣或0，若，则实数k的值或0．【解答】解：，可得=（3+4k，2+k）.=（﹣5k，2k）若，可得﹣5k（2+k）=2k（3+4k），解得k=﹣，或k=0．若，可得﹣5k（3+4k）+2k（2+k）=0．则实数k=，或k=0．故答案为：﹣或0；或0．15．（5分）已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：其中真命题是③④．①若f（x1）=﹣f（x2），则x1=﹣x2；②f（x）的最小正周期是2π；③在区间[﹣，]上是增函数；④f（x）的图象关于直线x=对称．【解答】解：函数f（x）=cosxsinx=sin2x，因为它是奇函数，又是周期函数，所以①不正确；函数的周期是π，所以②不正确；③在区间[﹣，]上是增函数；正确；④f（x）的图象关于直线x=对称．当x=时f（x）取得最小值，是对称轴，所以正确．故答案为：③④16．（5分）若关于a，b的代数式f（a，b）满足：（1）f（a，a）=a；（2）f（ka，kb）=k•f（a，b）；（3）f（a1+a2，b1+b2）=f（a1，b1）+f（a2，b2）；（4），则f（1，0）+f（2，0）=0；f（x，y）=y．【解答】解：令k=2得：f（2a，2b）=2 f（a，b），∵，∴f（2a，2b）=f（2b，a+b）=f（b+b，a+b），∴2 f（a，b）=f（a，b）+f（b，b）2f（a，b）=f（a，b）+f（b，b）=f（a，b）+b∴f（a，b）=b，∴f（1，0）+f（2，0）=0+0=0，f（x，y）=y．故答案为0；y．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（13分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知b2+c2﹣a2=bc （1）求角A的值；（2）若a=，cosC=，求边c的长．【解答】解：（1）由余弦定理可得：cosA===，结合0＜A＜π，可解得A=．（2）由已知可得：sinC===，根据正弦定理可得：c===．18．（13分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．则．（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域．∴即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是．（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次．随机变量X的可能值为0，30，60，90，120．；；；；．所以，随机变量X的分布列为：其数学期望．19．（14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG．因为PA∥BE，且PA=4，BE=2，所以BE∥AG且BE=AG，所以四边形BEGA为平行四边形．所以EG∥AB，且EG=AB．因为正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，所以EG∥CD，且EG=CD．所以四边形CDGE为平行四边形．所以CE∥DG．因为DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD．（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），所以=（4，4，﹣4），=（4，0，﹣2），=（0，4，﹣4）．设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），所以，可得．令x=1，则，所以=（1，1，2）．设PD与平面PCE所成角为α，则sinα=|cos＜，＞|=|=||=．．所以PD与平面PCE所成角的正弦值是．（Ⅲ）依题意，可设F（a，0，0），则，=（4，﹣4，2）．设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则．令x=2，则，所以=（2，，a﹣4）．因为平面DEF⊥平面PCE，所以•=0，即2++2a﹣8=0，所以a=＜4，点．所以．20．（13分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为常数，且a＞0．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=垂直，求a的值；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为，求a的值．【解答】解：f′（x）=+=﹣=（x＞0）（4分）（1）因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=垂直，所以f'（1）=﹣2，即1﹣a=﹣2，解得a=3．（6分）（2）当0＜a≤1时，f'（x）＞0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为增函数∴f（x）min=f（1）=a﹣1．∴a﹣1=，a=，不合（8分）当1＜a＜2时，由f'（x）=0得，x=a∈（1，2）∵对于x∈（1，a）有f'（x）＜0，f（x）在[1，a]上为减函数，对于x∈（a，2）有f'（x）＞0，f（x）在[a，2]上为增函数，∴f（x）min=f（a）=lna．∴lna=，a=，（11分）当a≥2时，f'（x）＜0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为减函数，∴f（x）min=f（2）=ln2+﹣1，∴ln2+﹣1=，a=3﹣2ln2，不合．综上，a的值为．（13分）21．（13分）已知函数（1）当a=2时，求函数y=f（x）的极值；（2）如果函数g（x）=f（x）﹣2x在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围；（3）当a＞0时，讨论函数y=f（x）零点的个数．【解答】解：∵函数，∴f′（x）=，（1）a=2，f′（x）=，f′（x）==0，x=，f′（x）=＞0，x，f′（x）=＜0，0＜xf（x）在（0，）单调递减，（，+∞）单调递增，∴函数y=f（x）的极小值为f（）=2ln+2=2﹣2ln2．（2）g（x）=f（x）﹣2x=alnx﹣2x，函数g（x）=f（x）﹣2x在（0，+∞）上单调递减，g′（x）=﹣2=＜0，﹣2x2+ax﹣1＜0，x＞0恒成立，a＜2x，x＞0，∵2x≥2，x=等号成立a（3）f′（x）=，x＞0，a＞0=0，x=，＞0，x＞，＜0，0＜x＜，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，f（x）的最小值f（）=a（1﹣lna）当a（1﹣lna）=0，即a=e时，y=f（x）零点的个数为1．当a（1﹣lna）＜0，即a＞e时，y=f（x）零点的个数为2当a（1﹣lna）＞0，即0＜a＜e时，y=f（x）零点的个数为022．（14分）记函数f（x）在区间D上的最大值与最小值分别为max{f（x）|x ∈D}与min{f（x）|x∈D}．设函数f（x）=，1＜b＜3．g （x）=f（x）+ax，x∈[1，3]．（1）若函数g（x）在[1，3]上单调递减，求a的取值范围；（2）若a∈R．令，h（a）=max{g（x）|x∈[1，3]}﹣{g（x）|x∈[1，3]}．记d（b）=min{h（a）|a∈R}．试写出h（a）的表达式，并求min{d（b）|b∈（1，3）}；（3）令k（a）=max{g[f（x）]|x∈l}﹣min{g[f（x）]|x∈l}（其中l为g[f（x）]的定义域）．若l恰好为[1，3]，求b的取值范围，并求min{k（a）|a∈R}．【解答】解：（1），（2分）∵函数g（x）在[1，3]上单调递减，∴，∴a＜0（4分）（2）①当0≤a≤时，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（1）=a+2b﹣1，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（b）=ab+b，此时，h（a）=a+b﹣ab﹣1②当时，max{g（x）|x∈[1，3]}=g（3）=3a+b，min{g（x）|x∈[1，3]}=g（b）=ab+b，此时，h（a）=3a﹣ab，故h（a）=，（2分）因h（a）在[0，]上单调递减，在[，1]单调递增，故d（b）=min{h（a）|a∈R}=h（）=，（4分）故当b=2时，得min{d（b）|b∈（1，3）}=．（6分）（3）（ⅰ）当x∈（b，3]时，f（x）=b，g[f（x）]=ab+b（ⅱ）当，即x=b时，g[f（x）]=ab+b（ⅲ）当时，即（*），（3分）①若2b﹣3＞1即b＞2，由（*）知x∈[2b﹣3，b），但此时I=[2b﹣3）∪{b}∪（b，3]≠[1，3]，所以b＞2不合题意．②若2b﹣3≤1即b≤2，由（*）知x∈[1，b），此时I=[1，b））∪{b}∪（b，3]=[1，3]，故1＜b≤2，（5分）且g[f（x）]=于是，当a≤0时，k（a）=（ab+b）﹣（2ab+b﹣a）=（1﹣b）a 当a＞0时，k（a）=（2ab+b﹣a）﹣（ab+b）=（b﹣1）a即k（a）=（7分）从而可得当a=0时，min{k（a）|a∈R}=0．（8分）第21页（共21页）。
