2017年人教版九年级数学上册：二次函数试题

九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷-人教版（含答案）考试范围:全章综合测试 参考时间:120分钟 满分:120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.对于函数y ＝5x 2，下列结论正确的是（ ）A . y 随x 的增大而增大B . 图象开口向下C .图象关于y 轴对称D .无论x 取何值，y 的值总是正的 【答案】C .详解：a ＝5＞0，开口向上，对称轴为y 轴，在y 轴左侧，y 随x 的增大而减小，在y 轴的右侧， y 随x 的增大而增大，当x ＝0时，y ＝0. 故A 错，B 错，C 对，D 错，∴答案选C . 2.二次函数y ＝x 2－4x 的图象的对称轴是（ ）A . x ＝4B . x ＝－4C . x ＝－2D . x ＝2 【答案】D .详解：a ＝1，b ＝－4，由对称轴公式，对称轴为x ＝－2ba＝2，故选D . 3.二次函数y ＝2(x ＋1)2－3的图象的顶点坐标是（ ）A . (1，3)B . (－1，3)C . (1，－3)D .(－1，－3) 【答案】D .详解：知识点：抛物线的顶点式为y ＝a (x －h )2＋k ，顶点坐标为(h ，k ).4.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价. 若设平均每次降价的 百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A . y ＝2a (x －1) B . y ＝2a (1－x ) C . y ＝a (1－x 2) D . y ＝a (1－x )2 【答案】D .详解：第一次降价后的价格为a (1－x )元，第二次降价后的价格为a (1－x )2，故选D . 5.用配方法将函数y ＝x 2－2x ＋2写成y ＝a (x －h )2＋k 的形式是（ ）A . y ＝(x －1)2＋1B . y ＝(x －1)2－1C . y ＝(x －1)2－3D . y ＝(.x ＋1)2－1 【答案】A .详解：y ＝x 2－2x ＋2＝(x 2－2x ＋1)＋1＝(x －1)2＋1，故选A .6.把抛物线y ＝2x 2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，所得 的抛物线的函数表达式为（ ）A . y ＝2(x －1)2－2B . y ＝2(x ＋1)2－2C . y ＝－2(x －1)2－2D . y ＝－2(.x ＋1)2－2 【答案】C .详解：原抛物线的顶点为(0，0)，旋转180°后，开口向下，顶点为(0，0)，两次平移后的 顶点为(1，－2)，故答案为y ＝－2(x －1)2－2.7. 在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－14x2＋bx＋c的一部分(如图)，其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（）A. y＝－14x2＋34x＋1 B. y＝－14x2＋34x－1C. y＝－14x2－34x＋1 D. y＝－14x2－34x－1【答案】A.详解：依题意，点B的坐标为(0，1)，点A的坐标为(4，0)，把A( 4，0)，B(0，1)代入y＝－14x2＋bx＋c，解得b＝34，c＝1，故选A.另法：由B(0，1)，可排除B、D，根据“左同右异”的规律，可排除C.8.抛物线y＝ax2－2ax＋c经过点A(2，4)，若其顶点在第四象限，则a的取值范围为（）A. a＞4B. 0＜a＜4C. a＞2D. 0＜a＜2【答案】A.详解：把A(2，4)代入，得c＝4，∴y＝ax2－2ax＋4＝a(x－1)2＋4－a，顶点为(1，4－a)，∵顶点在第四象限，∴4－a＜0，∴a＞4.9.飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数解析式是y＝60t－32t2，飞机着陆至停下来共滑行（）A. 20米B. 40米C. 400米D. 600米【答案】D.详解：配方得y＝－32(t－20)2＋600，∴当t＝20时，y取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来.10. 如图，抛物线y＝－2x2＋mx＋n与x轴交于A、B两点. 若线段AB的长度为4，则顶点C到x轴的距离为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C.详解：令y＝0，得－2x2＋mx＋n＝0，解得x＝284m m n ±+.∴AB＝|x1－x2|＝282m n+=4，∴m2＋8n＝64.∴244ac ba-＝24(2)4(2)n m---＝288m n+＝8，故答案选C.二、填空题(每小题3分，共18分)11.抛物线y ＝2x 2－4的顶点坐标是___________. 【答案】(0，－4).详解：a ＝2，b ＝0，c ＝－4，开口向上，对称轴为y 轴，顶点为(0，－4).12. 若方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解为x 1＝－2，x 2＝4，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为______. 【答案】直线x ＝1. 详解：x ＝242-+＝1. 13.如图，抛物线y ＝a (x －2)2＋k (a 、k 为常数且a ≠0)与x 轴交于点A 、B 两点， 与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴与抛物线交于点D . 若点A 坐标为 (－2，0)，则OBCD的值为_________. 【答案】32.详解：抛物线的对称轴为x ＝2，C 在y 轴上，∴CD ＝4.又∵A (－2，0)，∴B (6，0)，∴OB ＝6. ∴6342OB CD ==. 14.如图，Rt △OAB 的顶点A (－2，4)在抛物线y ＝ax 2上，将Rt △OAB 向右 平移得到△O 1AB 1，平移后的O 1A 1与抛物线交于点P ，若P 为线段A 1O 1 的中点，则点P 的坐标为________. 【答案】P (2，2).详解：把A (－2，4)代入y ＝ax 2得a ＝1，∴y ＝x 2. ∵A (－2，4)，∴点A 1的纵坐标为4， ∵P 为O 1A 1的中点，∴点P 的纵坐标为2， 把y ＝2代入y ＝x 2，得x ＝±2. 取x ＝2，∴P (2，2).15.下列关于二次函数y ＝x 2－2mx ＋1(m 为常数)的结论： ①该函数的图象与函数y ＝－x 2＋2mx 的图象的对称轴相同； ②该函数的图象与x 轴有交点时，m ＞1；③该函数的图象的顶点在函数y ＝－x 2＋1的图象上；④点A (x 1，y 1)与点B (x 2，y 2)在该函数的图象上，若x 1＜x 2，x 1＋x 2＜2m ，则y 1＜y 2· 其中正确的结论是________________(填写序号). 【答案】①③.详解：对于①，根据对称轴公式，两抛物线对称轴均为x ＝m ，故①正确； 对于②，Δ＝b 2－4ac ＝4m 2－4≥0，∴m ≥1或m ≤－1，故②错； 对于③，y ＝x 2－2mx ＋1的顶点为(m ，－m 2＋1)，显然③正确； 对于④，抛物线的开口向上，对称轴为x ＝m ，∵x 1＋x 2＜2m ，∴122x x +＜m ，P O 1A 1B 1又∵x1＜x2，∴点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，∴y1＞y2，故④错；综上，正确的有①③.16.如图，抛物线y＝x2＋2x与直线y＝2x＋1交于A、B两点，与直线x＝2交于点D，将抛物线沿着射线AB方向平移25个单位. 在整个平移过程中，点D经过的路程为___________.【答案】738.详解：平移前，D(2，8)，∴直线AB的解析式为y＝2x ＋1，∴抛物线沿射线AB方程平移25个单位时，相当于抛物线向右平移了4个单位，向上平移了2个单位. ∵原抛物线顶点为M(－1，－1)，平移后的顶点为M′(3，1)，平移后的抛物线为y＝(x－3)2＋1，此时D′(2，2)，直线MM′的解析式为y＝12x－12，平移过程中，抛物线的顶点始终在y＝12x－12上，设顶点为(a，12a－12)，－1≤a≤3，抛物线的解析式为y＝(x－a)2＋12a－12，当x＝2时，y＝(2－a)2＋12a－12＝a2－72a＋72，即在平移过程中，抛物线与直线x＝2的交点的纵坐标为y＝a2－72a＋72，∵y＝a2－72a＋72＝(a－74)2＋716，∴当a＝74时，点D到达最低点，此时D(2，716)当a＝3时，y＝(x－3)2＋1，此时D(2，2)；观察图形，可知点D的运动路径为D(2，8)→D(2，716)→D(2，2)，路径长为(8－716)＋(2－716)＝738.三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1) y＝x2－4x＋6；(2) y＝－4x2＋4x.【答案】(1) y＝x2－4x＋6＝x2－4x＋4＋2＝(x－2)2＋2，开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，2).(2) y＝－4x2＋4x＝－4(x2－x)＝－4(x2－x＋14－14)＝－4(x－12)2＋1，yxM‘MBAD2O开口向下，对称轴为x ＝12，顶点坐标为(12，1).18.(8分)二次函数的最大值为4，其图象的对称轴为x ＝2，且过点(1，2)，求此函数的解析式. 【答案】∵函数的最大值为4，图象的对称轴为x ＝2， ∴可设函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋4，把(1，2)代入，得：a (1－2)2＋4＝2，解得a ＝－2， ∴函数的解析式为y ＝－2(x －2)2＋4.19.(8分)二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 图象上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表： (1)求二次函数的表达式；(2)画出二次函数的示意图，结合函数图象， 直接写出y ＜0时自变量x 的取值范围. 【答案】(1) 把(0，3)，(1，0)代入y ＝x 2＋bx ＋c ， 得：310c b c =⎧⎨++=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋3；(2) 函数的图象如图所示，由图象，可知当1＜x ＜3时，y ＜0.20.(8分)二次函数的图象与直线y ＝x ＋m 交于x 轴上一点A (－1，0)， 图象的顶点为C (1，－4). (1)求这个二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x 轴交于另一点B ，与直线 y ＝x ＋m 交于另一点D ，求△ABD 的面积. 【答案】(1)∵图象的顶点为C (1，－4)，可设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2－4， 把(－1，0)代入，得：4a －4＝0，∴a ＝1. ∴抛物线的解析式为y ＝(x －1)2－4， 即y ＝x 2－2x －3.(2)令y ＝0，得x 2－2x －3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3. ∴B (3，0). 把A (－1，0)代入y ＝x ＋m ，得m ＝1，∴y ＝x ＋1. 联立2123y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得1110x y =-⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩，∴D (4，5). ∵A (－1，0)，B (3，0)，∴AB ＝4，x… 0 1 2 3 … y … 3 0 －1 0 …yx123O∴△ABD 的面积S ＝12×4×5＝10.21.(8分)如图，抛物线y ＝－12x 2＋52x －2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C . (1)求△ABC 各顶点的坐标及△ABC 的面积；(2)过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D . 若点P 在线段AB 上以 每秒1个单位长度的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在线 段CD 上以每秒1.5个单位长度的速度由点D 向点C 运动，问： 经过几秒时，PQ ＝AC ?【答案】(1)令y ＝0，得－12x 2＋52x －2＝0，得x 1＝1，x 2＝4. ∴A (1，0)，B (4，0).令x ＝0，得y ＝－2，∴C (0，－2).△ABC 的面积为S ＝12AB ·OC ＝12×3×2＝3.(2) 设经过t 秒后，PQ ＝AC . 则AP ＝t ，P (1＋t ，0) 抛物线的对称轴为x ＝2.5，∵C (0，－2)，∴D (5，－2). DQ ＝1.5t ，∴CQ ＝5－1.5t ，∴Q (5－1.5t ，－2).过P 作PH ⊥CQ 于H ，则PH ＝OC ，∵PQ ＝AC ，∴HQ ＝OA ＝1. 即|(1＋t )－(5－1.5t )|＝1，化简得|2.5t －4|＝1，解得t ＝2或65.所以，经过2秒或65秒时，PQ ＝AC .22. (10分)如图，有一面长为a m 的墙，利用墙长和30m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形 花圃，设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2. (1)当a ＝10时；①求S 与x 的关系式，并写出自变量x 的取值范围； ②如果要围成面积为48m 2的花圃，AB 的长是多少m ? (2)求长方形花圃的最大面积.【答案】(1) ①AB ＝CD ＝x ，BC ＝30－3x ， ∴S ＝x (30－3x )＝－3x 2＋30x ， 由0＜BC ≤a ，得0＜30－3x ≤10，∴203≤x ＜10. ② 令S ＝48，得－3x 2＋30x ＝48，即x 2－10x ＋16＝0，H30－3xxxx解得：x ＝8或2(舍)，∴AB 的长为8m . (2) S ＝－3x 2＋30x ＝－3(x －5)2＋75， ∵0＜30－3x ≤a ，∴10－3a≤x ＜10.∵抛物线开口向下，对称轴为x ＝5，1°当10－3a≤5时，即a ≥15，此时当x ＝5时，S 取得最大值75；2°当10－3a＞5，即0＜a ＜15，此时S 随x 的增大而减小，则当x ＝10－3a 时，S 的最大值为10a －13a 2.答：当a ≥15时，长方形花圃的最大面积为75m 2；当0＜a ＜15，长方形花圃的最大面积为(10a －13a 2)m 2.23.(10分)某小区内超市在“新冠肺炎”疫情期间，两周内标价为10元/斤的某种水果，经过两次 降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同. (1)求该种水果每次降价的百分率；(2)①从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的 相关信息如表所示：已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x (天)的利润为y (元)， 求y 与x (1≤x ＜15)之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大.②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于330元，请直接写出结果. 【答案】(1) 设该种水果每次降价的百分率为x ，依题意，得： 10(1－x )2＝8.1，解得x ＝0.1或1.9(舍去). 答：该种水果每次降价的百分率为10%.(2) ① 当1≤x ＜9时，第一次降价后的价格为10(1－10%)＝9(元)， ∴y ＝(9－4.1)(80－3x )－(40＋3x )＝－17.7x ＋352，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝1时，y 取得最大值为334.3(元)； 当9≤x ＜15时，第二次降价后的价格为8.1(元)，∴y ＝(8.1－4.1)(120－x )－(3x 2－64x ＋400)＝－3x 2＋60x ＋80＝－3(x －10)2＋380， 图象的开口向下，当x ＝10时，y 取得最大值为380(元)＞334.3(元).时间x (天) 1≤x ＜9 9≤x ＜15 售价(元/斤) 第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤) 80－3x 120－x 储存和损耗费用(元)40＋3x3x 2－64x ＋400综上，第10天时销售利润最大. ②7天.提示：当1≤x ＜9时，y ＝－17.7x ＋352≥330，解得x ≤220177， ∵x 为正整数，∴x ＝1；当9≤x ＜15时，y ＝－3(x －10)2＋380≥330，解得10－563≤x ≤10＋563， ∵x 为正整数，9≤x ＜15，∴x ＝9，10，11，12，13，14，共6天； 1＋6＝7，故一共有7天.24.(12分)直线y ＝kx ＋k ＋2与抛物线y ＝12x 2交于A 、B 两点(A 在B 的左侧). (1)直线AB 经过一个定点M ，直接写出M 点的坐标；(2)如图1，点C (－1，m )在抛物线上，若△ABC 的面积为3，求k 的值；(3)如图2，分别过A 、B 且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于点P ，求OP 的最小值. 【答案】(1) M (－1，2)；提示：y ＝k (x ＋1)＋2， 直线AB 过定点，令x ＋1＝0， 得y ＝2，∴定点为M (－1，2). (2) 过C 作CD ∥y 轴交AB 于D ，把C (－1，m )代入y ＝12x 2，得C (－1，12).把x ＝－1代入y ＝kx ＋k ＋2，得D (－1，2)， ∴CD ＝2－12＝32.联立2212y kx k y x =++⎧⎪⎨=⎪⎩，得x 2－2kx －(2k ＋4)＝0， 设点A 、B 的横坐标分别为a 、b ，则a 、b 为上述方程的根， ∴a ＋b ＝2k ，ab ＝－(2k ＋4).∵△ABC 的面积为3，由铅垂法，得12CD (b －a )＝3，即12×32(b －a )＝3，∴b －a ＝4. 两边平方，得(a ＋b )2－4ab ＝16，∴(2k )2＋4(2k ＋4)＝16， 整理，得：k 2＋2k ＝0，解得k ＝0或－2. (3) 设点A 、B 的横坐标分别为a 、b ，则a ≠b . 由(2)，a ＋b ＝2k ，ab ＝－(2k ＋4)，∴设直线P A 的解析式为y ＝px ＋q ，联立212y px qy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得 x 2－2px －2q ＝0，D∵P A 与抛物线只有唯一公共点，∴上述方程有两个相等的实数根(x 1＝x 2＝a )， 由根与系数的关系，得a ＋a ＝2p ，a ·a ＝－2q ，∴p ＝a ，q ＝－12a 2.∴直线P A 的解析式为y ＝ax －12a 2.同理，直线PB 的解析式为y ＝bx －12b 2.联立221212y ax a y bx b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得x ＝2a b +＝k ，y ＝2ab ＝－(k ＋2). ∴P (k ，－k －2).∴OP 2＝k 2＋(－k －2)2＝2k 2＋4k ＋4＝2(k ＋1)2＋2， 当k ＝－1时，OP 2.。

一、选择题1．函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋a ，在第一象限内y 随x 的减小而减小，则它们在同一直角坐标系中的图象大致位置是（ ）A ．B ．C ．D ．2．设函数()()12y x x m =--，23y x=，若当1x =时，12y y =，则（ ） A ．当1x >时，12y y < B ．当1x <时，12y y > C ．当0.5x <时，12y y <D ．当5x >时，12y y >3．下列函数关系式中，属于二次函数的是（ ） A ．21y x =+ B ．21y x x=+C ．()()221y x x x=+-- D ．21y x =-4．已知关于x 的二次函数y=（x-h ）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h ，则h 的值为（ ） A ．32B ．32或2 C ．32或6 D ．32或2或6 5．若()14,A y -，()21,B y -，()30,C y 为二次函数2(2)3y x =-++的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y <=B ．312y y y =<C ．312 y y y <<D ．123y y y =<6．已知二次函数()()2y x p x q =---，若m ，n 是关于x 的方程()()20x p x q ---=的两个根，则实数m ，n ，p ，q 的大小关系可能是（ ）A ．m ＜p ＜q ＜nB ．m ＜p ＜n ＜qC ．p ＜m ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜n7．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（ ）A ．13米 B ．12米 C ．25米 D ．35米 8．要在抛物线()4y x x =-上找点(),P a b ，针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下（ ）甲：若5b =，则点P 的个数为0 乙：若4b =，则点P 的个数为1 丙：若3b =，则点P 的个数为1 A ．甲乙错，丙对 B ．甲丙对，乙错C ．甲乙对，丙错D ．乙丙对，甲错9．表格对应值：x1 2 3 4 2ax bx c ++ 0.5-512.522判断关于x 的方程2ax bx c ++=的一个解x 的范围是（ ）A ．01x <<B ．12x <<C ．23x <<D ．34x <<10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y ax b =+的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．11．已知点1(1,)y -，(,)23y ，31(,)2y 在函数22y x x m =++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >>12．如图，以直线1x =为对称轴的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（ ）．A ．23x <<B ．34x <<C ．45x <<D ．56x <<二、填空题13．在ABC 中，A ∠，B 所对的边分别为a ，b ，30C ∠=︒．若二次函数2()()()y a b x a b x a b =+++--的最小值为2a-，则A ∠=______︒． 14．二次函数223y x =的图象如图所示，点0A 位于坐标原点，点1A ，2A ，3A ，…，2013A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，2013B 在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若011A B A △，122A B A △，233A B A △，…，201220132013A B A △都为等边三角形，则201220132013A B A △的边长=________．15．如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y ＝﹣13x 2，桥下的水面宽AB 为6m ，当水位上涨2m 时，水面宽CD 为_____m （结果保留根号）．16．把函数y ＝（x ﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为_____．17．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为21 3.258y x =-+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道．18．将抛物线y ＝2（x ﹣1）2+3绕着点A （2，0）旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为_____．19．定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：()3,0B 、()1,3C -都是“整点”．抛物线()2220y ax ax a a =++->与x 轴交于点M ，N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a 的取值范围是_______．20．在平面直角坐标系xOy 中，函数y=x 2的图象经过点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点，若﹣4＜x 1＜﹣2，0＜x 2＜2，则y 1 ______y 2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）三、解答题21．某超市销售一种牛奶，进价为每箱36元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售100箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x 元（x 为正整数），每月的销量为y 箱．（1）写出y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围；（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？22．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△ACM 的周长最短？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 23．阅读下列材料：我们知道，一次函数y kx b =+的图象是一条直线，而y kx b =+经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式0Ax By C ++=（A 、B 、C 是常数，且A 、B 不同时为0）.如图1，点()P m n ,到直线l ：0Ax By C ++=的距离（d ）计算公式是：22A mB n Cd A B⨯+⨯+=+．例：求点()1,2P 到直线51126y x =-的距离d 时，先将51126y x =-化为51220x y --=，再由上述距离公式求得()()()225112222113512d ⨯+-⨯+-==+-． 解答下列问题：如图2，已知直线443y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线245y x x =-+上的一点()3,2M ．（1）请将直线443y x =--化为“0Ax By C ++=”的形式； （2）求点M 到直线AB 的距离；（3）抛物线上是否存在点P ，使得PAB △的面积最小？若存在，求出点P 的坐标及PAB △面积的最小值；若不存在，请说明理由．24．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过原点，点11,8⎛⎫ ⎪⎝⎭和动点P 都是该抛物线上点．（1）求该抛物线的解析式．（2）若y 轴上点()0,A m ，()()0,0B m m ->，//BC x 轴，过点P 作PC BC ⊥于C ，设点(),P x y 满足AP PC =，求m 的值．25．某片果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y (千克)与增种果树x (棵)之间的函数关系如图所示． （1）求每棵果树产果y (千克)与增种果树x (棵)之间的函数关系式； （2）设果园的总产量为w (千克)，求w 与x 之间的函数表达式；（3）试说明（2）中总产量w (千克)随增种果树x (棵)的变化而变化的情况，并指出增种果树x 为多少棵时获得最大产量，最大产量w 是多少？26．为了在体育中考中取得更好地成绩，小明积极训练.在某次试投中，实心球经过的路线是如图所示的抛物线的一部份.已知实心球出手处A 距离地面的高度是169米，当实心球运行的水平距离为3米时，达到最大高度259米的B 处，实心球的落地点为C .（1）如图，已知AD CD于D，以D为原点，CD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系，点B的坐标为________；（2）小明此次投掷的成绩是多少米？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】先根据二次函数y＝ax2的增减性确定出 a >0，然后判断出二次函数的开口方向，再根据一次函数的性质确定出一次函数图象经过的象限与 y 轴的交点，然后判断即可．【详解】解：∵函数y＝ax2在第一象限内y随x的减小而减小，∴a＞0，∴y＝ax2的图象经过原点且开口方向向上，y＝ax＋a经过第一三象限，且与y轴的正半轴相交．A．二次函数开口向上，一次函数与y轴的负半轴相交，不符合题意B．二次函数开口向上，一次函数与y轴的正半轴相交，符合题意C．二次函数开口向下，一次函数与y轴的负半轴相交，不符合题意D．二次函数开口向下，一次函数与y轴的正半轴相交，不符合题意故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，是基础题，根据二次函数的增减性确定出a 是正数是解题的关键．2．D解析：D【分析】当y1＝y2，即（x﹣2）（x﹣m）＝3x，把x＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m）＝3，则m＝4，画出函数图象即可求解．【详解】解：当y1＝y2，即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x， 把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3， ∴m ＝4，∴y 1＝（x ﹣2）（x ﹣4）， 抛物线的对称轴为：x ＝3，如下图：设点A 、B 的横坐标分别为1，5，则点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，从图象看在点B 处，即x ＝5时，y 1＞y 2， 故选：D ． 【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．3．D解析：D 【分析】利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】A 、21y x =+是一次函数，故A 不符合题意；B 、2y x =+1x不是二次函数，故B 不符合题意； C 、()()2222122y x x x x x x x =+--=+--=-，此函数是一次函数，故C 不符合题意；D 、21y x =-是二次函数，故D 符合题意； 故答案为：D ． 【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．4．C解析：C 【分析】依据二次函数的增减性分1≤h≤3、h ＜1、h ＞3三种情况，由函数的最小值列出关于h 的方程，解之可得． 【详解】∵()2=+3y x h -中a=1＞0，∴当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大； ①若1≤h≤3，则当x=h 时，函数取得最小值2h ，即3=2h ， 解得：h=32； ②若h ＜1，则在1≤x≤3范围内，x=1时，函数取得最小值2h ， 即()2132h h -+=， 解得：h=2＞1（舍去）；③若h ＞3，则在1≤x≤3范围内，x=3时，函数取得最小值2h ， 即()2332h h -+=， 解得：h=2（舍）或h=6， 综上，h 的值为32或6， 故选C ． 【点睛】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握分类讨论思想和二次函数的增减性是解题的关键．5．B解析：B 【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向下，对称轴为2x =-，故点()14,A y -与点()30,C y 关于对称轴对称，即13y y =，再根据点()21,B y -与点()30,C y 在对称轴右侧，y 随x 增大而减小即可得出结论． 【详解】解：二次函数2(2)3y x =-++的图象开口向下，对称轴为2x =-， ∴点()14,A y -与点()30,C y 关于对称轴对称， ∴13y y =，∵点()21,B y -与点()30,C y 在对称轴右侧，y 随x 增大而减小， ∴23y y >， ∴312y y y =<， 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，根据二次函数解析式得到对称轴是解题的关键．6．A解析：A 【分析】根据二次函数图象性质和一元二次方程的知识结合已知条件，可以得到结论：m 、n 一定是一个最大、一个最小，而p 、q 一定介于m 、n 之间，从而解答本题． 【详解】解：∵二次函数的解析式是()()2y x p x q =--- ∴1a =∴该二次函数的抛物线开口向上∵m 、n 是关于x 的方程()()20x p x q ---=的两个根 ∴当x m =或xn =时，0y =∵当x p =或x q =时，2y =-∴m 、n 一定是一个最大、一个最小，而p 、q 一定介于m 、n 之间． 故选：A 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点情况和一元二次方程根的关系、二次函数图象性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的图象性质解答．7．C解析：C 【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，通过已知线段长度求出A(1，0)B(-1,O)，由二次函数的性质确定y ＝ax 2－a ，利用PQ ＝EF 建立等式，求出二次函数中的参数a ，即可得出EF 的值． 【详解】解：如图，令P 下方的点为H ，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，则A(1，0)B(-1,O)， 设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c ∴抛物线的对称轴为x=0，则2ba-＝0，即b ＝0．∴y ＝ax 2 +c ．将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ．∴y ＝ax 2－a ．∵OH ＝2×15×12＝0.2，则点H 的坐标为（-0.2，0） 同理可得：点F 的坐标为（-0.6，0）．∴PH ＝a×(-0.2)2-a ＝－0.96aEF ＝a×(-0.6)2-a ＝－0.64a ．又∵PQ ＝EF ＝1－（－0.96a ）＝－0.64a∴1＋0.96a ＝－0.64a ． 解得a ＝58-．∴y ＝58-x 2＋58． ∴EF ＝（58-）×（-0.6）２＋58＝25． 故选：C ．【点睛】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．8．C解析：C【分析】求出抛物线的顶点坐标为（2，4），由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：y=x （4-x ）=-x 2+4x=-（x-2）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），∴在抛物线上的点P 的纵坐标最大为4，∴甲、乙的说法正确；若b=3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．9．B解析：B【分析】利用x =1和x =2所对应的函数值可判断抛物线y=ax 2+bx +c 与x 轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间，则根据抛物线于x 轴的交点问题可判断关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a≠0）的一个解x 的范围．【详解】解：∵x =2时，y =5，即ax 2+bx +c ＞0；x =1时，y =-0.5，即ax 2+bx +c ＜0，∴抛物线y=ax 2+bx +c 与x 轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间，∴关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的一个解x 的范围是1＜x ＜2．故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．10．C解析：C【分析】根据二次函数图象，知道开口和对称轴，判断a 、b 的符号，再进行判断一次函数的图象．【详解】解：根据二次函数图象知：开口向下，则0a < 故一次函数从左往右是下降趋势．对称轴再y 轴左边，故02b a-< 即得：0b < 故一次函数交y 轴的负半轴． 则一次函数y ax b =+图象便为C 选项故本题选择C ．【点睛】本题属于二次函数与一次函数的综合，关键在意找到系数的正负．11．C解析：C【分析】由抛物线222(1)1y x x m x m =++=++-，可知抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，然后根据各点到对称轴的结论可判断y 1，y 2，y 3的大小．【详解】∵222(1)1y x x m x m =++=++-，∴抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，又∵点（(,)23y 离对称轴最远，点1(1,)y -在对称轴上，∴231y y y >>．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．12．C解析：C【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴1x =，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．【详解】∵二次函数2y ax bx c =++的对称轴为1x =，而对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围是32x -<<-，∴右侧交点横坐标的取值范围是45x <<．故选：C ．【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．二、填空题13．75【分析】根据二次函数的性质当时y 有最小值为由此得到=整理得a=b 从而将问题转化为等腰三角形底角计算问题【详解】∵ab 是的边∴a+b ＞0；∴有最小值且当x=时取得最小值y=根据题意得=整理得a=b解析：75【分析】 根据二次函数的性质，当1x 2=-时，y 有最小值为534a b -+，由此得到534a b -+=2a -，整理得a=b ，从而将问题转化为等腰三角形底角计算问题. 【详解】∵a ，b 是ABC 的边，∴a+b ＞0；∴2()()()y a b x a b x a b =+++--有最小值，且当x=()12()2a b a b +-=-+时，取得最小值， y=534a b -+，根据题意，得534a b -+=2a -， 整理，得a=b ， ∴ABC 是等腰三角形，∵30C ∠=︒， ∴180180307522C A -∠-∠===︒， ∴∠A 的度数为75︒，故填75.【点睛】本题考查了二次函数的最小值，等腰三角形的判定和性质，灵活利用二次函数的最小值构造等式是解题的关键.14．2013【分析】分别过B1B2B3作y 轴的垂线垂足分别为ABC 设A0A1=aA1A2=bA2A3=c 则AB1=aBB2=bCB3=c 再根据所求正三角形的边长分别表示B1B2B3的纵坐标逐步代入抛物线解析：2013【分析】分别过B 1，B 2，B 3作y 轴的垂线，垂足分别为A 、B 、C ，设A 0A 1=a ，A 1A 2=b ，A 2A 3=c ，则AB 1=32a ，BB 2=32b ，CB 3=32c ，再根据所求正三角形的边长，分别表示B 1，B 2，B 3的纵坐标，逐步代入抛物线y=23x 2中，求a 、b 、c 的值，得出规律． 【详解】分别过1B ，2B ，3B 作y 轴的垂线，垂足分别为A 、B 、C ，设01A A a =，12A A b =，23A A c =，由勾股定理则22101032AB A B AA a =-=，232BB b =，332CB c =， 1111312233AA AB a a ==⨯=，则13,22a B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 2231233BA BB b b ==⨯=，则23,2b B b a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭， 33312233CA c c ===，则33,2c B a b ⎫++⎪⎪⎝⎭， 在正011A B A △中，13,2a B ⎫⎪⎪⎝⎭，代入223y x =中，得223234a a =⨯，解得1a =，即011A A =， 在正122A B A △中，23,12b B ⎫+⎪⎪⎝⎭，代入223y x =中，得2231234b b +=⨯，解得2b =，即122A A =， 在正233A B A △中，33,32c B c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭， 代入223y x =中，得2233234c c ⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭，解得3c =，即233A A =， …，依此类推由此可得201220132013A B A △的边长2013=．故答案为：2013.【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．勾股定理应用，掌握探究规律题的解题方法，关键是根据正三角形的性质用边长表示抛物线上点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．15．2【分析】首先求出B 点纵坐标进而得出D 点纵坐标即可求出D 点横坐标进而得出CD 的长【详解】解：由题意可得：当AB ＝6m 则B 点横坐标为3故此时y ＝﹣×32＝﹣3当水位上涨2m 时此时D 点纵坐标为：﹣3+2解析：3【分析】首先求出B 点纵坐标，进而得出D 点纵坐标，即可求出D 点横坐标，进而得出CD 的长．【详解】解：由题意可得：当AB ＝6m ，则B 点横坐标为3，故此时y ＝﹣13×32＝﹣3， 当水位上涨2m 时，此时D 点纵坐标为：﹣3+2＝﹣1，则﹣1＝﹣13x 2， 解得：x ＝3故当水位上涨2m时，水面宽CD为．故答案为：【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，求出D点横坐标是解题关键．16．y＝（x﹣2）2+2【分析】根据原二次函数的解析式可得原抛物线的顶点进而可得新抛物线的顶点根据平移不改变二次项的系数利用顶点式可得新函数解析式【详解】∵二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为解析：y＝（x﹣2）2+2【分析】根据原二次函数的解析式可得原抛物线的顶点，进而可得新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数利用顶点式可得新函数解析式．【详解】∵二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．故答案为y＝（x﹣2）2+2．【点睛】本题考查了二次函数的平移问题；用到的知识点为：平移不改变二次项的系数；二次函数的平移，看顶点的坐标平移即可，用顶点式较简便．17．不能【分析】根据题意将x=2代入求出相应的y值然后与车高比较大小即可解答本题【详解】解：将x=2代入y=-x2+325得y=-×22+325=275∵275＜3∴该车不能通过隧道故答案为：不能【点睛解析：不能．【分析】根据题意，将x=2代入求出相应的y值，然后与车高比较大小即可解答本题．【详解】解：将x=2代入y=-18x2+3.25，得y=-18×22+3.25=2.75，∵2.75＜3，∴该车不能通过隧道，故答案为：不能．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．18．y＝﹣2(x﹣3)2﹣3【分析】由题意根据抛物线的顶点变换规律得到新抛物线解析式的顶点坐标进而由此写出旋转后的抛物线所对应的函数表达式即可【详解】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点为（13）设绕解析：y＝﹣2(x﹣3)2﹣3【分析】由题意根据抛物线的顶点变换规律得到新抛物线解析式的顶点坐标，进而由此写出旋转后的抛物线所对应的函数表达式即可．【详解】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+3的顶点为（1，3），设绕着点A（2，0）旋转180°得到（x，y），∴12x+＝2，32y+＝0，解得x＝3，y＝﹣3，∴绕着点A（2，0）旋转180°得到（3，﹣3），故旋转后的抛物线解析式是y＝﹣2（x﹣3）2﹣3．故答案为：y＝﹣2(x﹣3)2﹣3．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．19．1＜a≤2【分析】画出图象找到该抛物线在MN之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界利用与y交点位置可得a的取值范围【详解】解：抛物线y＝ax2＋2ax＋a−2（a＞0）化为顶点解析：1＜a≤2【分析】画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得a的取值范围．【详解】解：抛物线y＝ax2＋2ax＋a−2（a＞0）化为顶点式为y＝a（x＋1）2−2，∴函数的对称轴：x＝−1，顶点坐标为（−1，−2），∴M和N两点关于x＝−1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（−1，0），（−1，−1），（−1，−2），（−2，0），如图所示：∵当x＝0时，y＝a−2，∴−1＜a−2≤0，当x＝1时，y＝4a−2＞0，即：120 420aa--≤-⎧⎨⎩＜＞，解得1＜a≤2，故答案为：1＜a≤2．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，利用函数图象确定与y轴交点位置是本题的关键．20．＞【分析】根据二次函数的性质即可求解【详解】解：由y=x2可知∵a=1＞0∴抛物线的开口向上∵抛物线的对称轴为y轴∴当x＞0时y随x的增大而增大∵-4＜x1＜-20＜x2＜2∴2＜-x1＜4∴y1＞解析：＞【分析】根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：由y=x2可知，∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵-4＜x1＜-2，0＜x2＜2，∴2＜-x1＜4，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质．当a＞0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a＜0，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；三、解答题21．（1）10010y x =+，1≤x ≤24，且x 为整数；（2）超市定价为53元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2890元．【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每月多销售10箱，由每箱降价x 元，多卖10x ，据此可以列出函数关系式；（2）由利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，求出最大值．【详解】解：（1）根据题意，得：y ＝100+10x ，由60﹣x ≥36得x ≤24，∴1≤x ≤24，且x 为整数；（2）设所获利润为W ，则W ＝（60﹣x ﹣36）（10x +100）＝﹣10x 2+140x +2400＝﹣10（x ﹣7）2+2890，∵此二次函数的二次项系数小于0，∴函数开口向下，有最大值，∴当x ＝7时，W 取得最大值，最大值为2890，此时售价为60-7=53（元），答：超市定价为53元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2890元．【点睛】本题主要考查二次函数应用，由利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键．22．（1）223y x x =--；（2）存在，M （1，﹣2）【分析】（1）把A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 可求出a 、b 、c 的值，即可确定二次函数关系式；（2）由对称可知，直线BC 与直线x ＝1的交点就是要求的点M ，求出直线BC 的关系式即可．【详解】解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 得，09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得，123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的关系式为223y x x =--；（2）抛物线223y x x =--的对称轴为212x -=-=， ∵点M 在对称轴x ＝1上，且△ACM 的周长最短，∴MC +MA 最小，∵点A 、点B 关于直线x ＝1对称，∴连接BC 交直线x ＝1于点M ，此时MC +MA 最小，设直BC 的关系式为y ＝kx +b ，∵B （3，0），C （0，﹣3），∴303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，13k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的关系式为3y x =-，当x ＝1时，132y =-=-，∴点M （1，﹣2），∴在抛物线的对称轴上存在一点M ，使得△ACM 的周长最短，此时M （1，﹣2）．【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握抛物线解析式的方法和利用轴对称的性质解决线段和最短问题．23．（1）43120x y ++=；（2）点M 到直线AB 的距离为6；（3）存在，413,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，△PAB 面积最小值为656． 【分析】（1）根据题意可直接进行化简；（2）根据题中所给公式可直接进行代值求解；（3）设点()2,45P a a a -+，根据题意可得点P 到直线AB 的距离，然后根据三角形面积计算公式可得2327422PAB Sa a =-+，最后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】 解：（1）由443y x =--可得：43120x y ++=； （2）由公式22A m B n Cd A B ⨯+⨯+=+()3,2M 可得：点M 到直线AB的距离为：3065d ===； （3）存在点P ，使△PAB 的面积最小，理由如下：设点()2,45P a a a -+，则有：点P 到直线AB的距离为：238275a a d -+==，由图像可得当y>0时，x 的值为全体实数，∴238270a a -+>，∵直线443y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴当x=0时，y=-4，当y=0时，x=-3， ∴()()3,0,0,4A B --，∴5AB =， ∴22132734654222236PAB S AB d a a a ⎛⎫=⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭， ∴当43a =时，△PAB 的面积最小，即为656PAB S =， ∴此时点P 的坐标为413,39⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质及点到直线的距离公式，关键是根据题中所给点到直线的距离公式进行分析和求解问题即可．24．（1）218y x =；（2）m=2 【分析】（1）运用待定系数法求解即可；（2）分别求出PC ，PA 的长，根据PC=PA 列方程求解即可．【详解】解：（1）由于该抛物线经过原点（0，0），对称轴为y 轴，∴c=0，b=0∴该抛物线的解析式为2y ax =，把点（1，18）代入得，18a = ∴该抛物线的解析式为218y x =； （2）∵()0,A m ，B(0，-m)，P(x ，y)且//BC x 轴，PC BC ⊥，P 在抛物线上，∴C （x ，-m ），P （x ，21x 8） ∴PC=218x m + 作AM ⊥PC 于M ，则222PA AM PM =+∴221()8PA x x m =+- ∵PA=PC ∴22PA PC =即2222211()()88x m x x m +=+-整理得，2202m x x -= ∴2(1)02m x -= ∵0x ≠∴102m -= 解得，m=2．【点睛】 此题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，求出PC ，PA 的长是解答此题的关键．25．（1）1802y x =-+；（2）215048002w x x =-++ ；（3）当x=50时，w 的最大值为6050．【分析】（1）由图像可得坐标()()12,74,28,66，设y kx b =+，然后代入求解即可；（2）根据（1）及题意可直接进行求解；（3）由（2）及二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1））由图像可得坐标()()12,74,28,66，则设y kx b =+，把点()()12,74,28,66代入得：12742866k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1280k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴1802y x =-+； （2）由（1）及题意得：()()16060802w x y x x ⎛⎫=+⋅=+⋅-+ ⎪⎝⎭215048002x x =-++； （3）由（2）得：()221150480050605022w x x x =-++=--+， ∴102a =-<，开口向下，对称轴为直线50x =， ∴当50x ≤时，y 随x 的增大而增大，当50x ≥时，y 随x 的增大而减小，∴当50x =时，w 取最大，最大值为6050．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．26．（1）253,9B ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）8米 【分析】（1）根据题意直接写出坐标即可；（2）求出二次函数表达式，求C 点横坐标即可；【详解】（1）坐标系253,9B ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）设抛物线的表达式为225(3)(0)9y a x a =-+≠ 由抛物线经过点160,9A ⎛⎫ ⎪⎝⎭得21625(3)99a =-+解得19a =-2125(3)99y x =--+ 0y =时，18x =，22x =-（舍） 答：小明此次投掷的成绩是8米【点睛】此题考查利用二次函数解决实际问题，理解函数定义是关键。

人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试题（含答案）一、单选题1．下列函数中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ．22(1)y x x =--B ．(2)y x x =-+C ．21y x=D ．2x y =2．若函数2221()m m y m m x --=+是二次函数，则m 的值是（ ） A ．2B ．-1或3C ．-1D ．33．已知二次函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣x +a 2﹣1图象经过原点，则a 的取值为（ ） A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝﹣1D ．无法确定4．苹果熟了，从树上落下所经过的路线s 与下落的时间t 满足s=212gt （g 是不为0的常数），则s 与t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若二次函数y=ax 2+1的图象经过点（-2，0），则关于x 的方程a （x-2）2+1=0的实数根为（ ） A ．1x 0=，2x 4= B ．1x 2=-，2x 6= C ．132x =，25x 2=D ．1x 4=-，2x 0=6．由二次函数22(3)1y x =-+可知（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为3x =- C ．其最大值为1D ．当3x <时，y 随x 的增大而减小7．二次函数y ＝﹣2x 2+4x +1的图象如何平移可得到y ＝﹣2x 2的图象（ ） A ．向左平移1个单位，向上平移3个单位 B ．向右平移1个单位，向上平移3个单位 C ．向左平移1个单位，向下平移3个单位 D ．向右平移1个单位，向下平移3个单位8．如果二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，那么（ ）A ．a 0,b 0,c 0<>>B ．0,0,0a b c >>>C ．0,0,0a b c ><<D ．0,0,0a b c >><9．已知函数y ＝kx 2﹣7x ﹣7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．74k >-B ．74k ≥-C ．74k ≥-且k ≠0D ．74k >-且k ≠010．根据表格中代数式ax 2+bx +c ＝0与x 的对应值，判断方程ax 2+bx +c ＝0（其中a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的一个根x 的大致范围是（ ）x 6.17 6.18 6.19 6.20 ax 2+bx +c ﹣0.03﹣0.010.020.06A ．6＜x ＜6.17B ．6.17＜x ＜6.18C ．6.18＜x ＜6.19D ．6.19＜x ＜6.2011．老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，3）；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x 轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足函数关系式5550y x =-+，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（ ） A ．90元，4500元 B ．80元，4500元 C ．90元，4000元 D ．80元，4000元二、填空题13．若二次函数y ＝（m +2）23mx -的图象开口向下，则m ＝______．14．点P （m ，n ）在以y 轴为对称轴的二次函数y =x 2+ax +4的图象上，则m -n 的最大值为_________．15．抛物线223(0)y ax ax a =--≠与x 轴交于两点，分别是()0m ,，(),0n ，则m n +的值为_______．16．如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则关于x 的方程20ax bx c --=的解为______．17．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A ，B 两点，拱桥最高点C 到AB 的距离为8m ，24m AB =，D ，E 为拱桥底部的两点，且//DE AB ，若DE 的长为36m ，则点E 到直线AB 的距离为______．三、解答题18．已知抛物线y =ax 2-2ax -6+a 2（a ≠0） （1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其对应的函数的解析式．19．已知二次函数2y x px q +=+的图象经过(0,1),(2,1)A B -两点． （1）求,p q 的值．（2）试判断点(1,2)P -是否在此函数的图象上．20．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为区域ABCD 的面积为y m 2． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？21．已知二次函数2123y x x =--的图像与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y轴交于点C ，顶点为D ．（1）求点A 、B 、D 的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图像； （2）设一次函数()20y kx b k =+≠的图像经过B 、C 两点，请直接写出满足12y y <的x 的取值范围．22．已知，如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（﹣1，0），点C （0，5），另抛物线经过点（1，8），M 为它的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求①MCB 的面积．23．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y ＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45．(1)求一次函数的表达式；(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？24．国庆期间，某商场销售一种商品，进货价为20元/件，当售价为24元/件时，每天的销售量为200件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件．设销售单价为x（元/件）（x≥24），每天销售利润为y（元）．（1）直接写出y与x的函数关系式为：；（2）若要使每天销售利润为1400元，求此时的销售单价；（3）若每件小商品的售价不超过36元，求该商场每天销售此商品的最大利润．参考答案1．BA . 22(1=)2+1y x x x =---是一次函数，不合题意；B ． 2(2)=2y x x x x =-+--是二次函数，合题意；C ． 21y x =不是二次函数，不合题意； D ． 2x y =不是函数，不合题意； 故选：B . 2．D根据题意得：22212m m m m ⎧+≠⎨--=⎩解得：m=3． 故选：D ． 3．C解：①二次函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣x +a 2﹣1 的图象经过原点， ①a 2﹣1＝0， ①a ＝±1， ①a ﹣1≠0， ①a ≠1， ①a 的值为﹣1． 故选：C 4．B 解：由21,2s gt =可得：s 是t 的二次函数，且函数图像经过原点，图像的开口向上， 所以：A 错误，B 正确，,C D 错误， 故选：.B 5．A解：①二次函数y=ax 2+1的图象经过点（-2，0）， ①4a+1=0，①a=-14，①方程a （x-2）2+1=0为：方程-14（x-2）2+1=0，解得：x 1=0，x 2=4，故选：A ． 6．D解：22(3)1y x =-+，∴抛物线开口向上，对称轴为3x =，顶点坐标为(3,1)， ∴函数有最小值1，当3x <时，y 随x 的增大而减小， 故选：D ． 7．C解：二次函数y ＝﹣2x 2+4x +1的顶点坐标为（1，3），y ＝﹣2x 2的顶点坐标为（0，0）， 只需将函数y ＝﹣2x 2+4x +1的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位即可． 故选：C ． 8．C解：①图象开口方向向上， ①a ＞0；①图象的对称轴在y 轴的右边上， ①2ba-＞0， ①a ＞0， ①b ＜0；①图象与y 轴交点在y 轴的负半轴上， ①c ＜0；①a ＞0，b ＜0，c ＜0． 故选：C ． 9．B解：当0k =时，函数为77y x =--，为一次函数，与x 轴有交点，符合题意； 当0k ≠，函数为277y kx x =--，为二次函数， 因为图像与x 轴有交点所以，2(7)470k ∆=-+⨯≥，解得74k ≥-且0k ≠综上，74k ≥-故选B 10．C解：①当x =6.18时，y =-0.01＜0；当x =6.19时，y =0.02＞0，①当x 在6.18＜x ＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax 2+bx +c =0，①方程ax 2+bx +c =0（其中a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的一个根x 的大致范围为6.18＜x ＜6.19． 故选：C ． 11．C解：①抛物线过（1,0），对称轴是x ＝2，① 30b 22a a b ++=⎧⎪⎨-=⎪⎩ ，解得a ＝1，b ＝－4，①y ＝x 2－4x ＋3，当x ＝3时，y ＝0，所以小华正确， 当x ＝4时，y ＝3，小彬正确， a ＝1，小明也正确，抛物线被x 轴截得的线段长为2，已知过点(1,0)，则可得另一点为(－1,0)或(3,0)，所以对称轴为y 轴或x ＝2，此时答案不唯一，所以小颖也错误， 故答案为：C ． 12．B解：设每月总利润为w ， 依题意得：(50)w y x =-(5550)(50)x x =-+- 2580027500x x =-+-25(80)4500x =--+50-<，此图象开口向下，又50x ≥，∴当80x =时，w 有最大值，最大值为4500元．故选：B ． 13．5①y ＝（m +2）23m x -是二次函数，①m 2-3=2， 解得：5m =± ①二次函数y ＝（m +2）23m x -的图象开口向下，①m +2＜0， ①2m <-，52>-，52--， ①5m =- 故答案为：5-14．154-解：二次函数y =x 2+ax +4以y 轴为对称轴 02a∴-= ，即0a = ， ∴ 二次函数解析式为24y x =+ ，点P （m ，n ）在二次函数y =x 2+ax +4的图象上， 24n m ∴=+ ，()2221154424m n m m m m m ⎛⎫∴-=--=---=--- ⎪⎝⎭ ，∴ m -n 的最大值为154-． 故答案为：154-． 15．2解：①抛物线y =ax 2-2ax -3与x 轴交于两点，分别是（m ，0），（n ，0）， ①2.2am n a-+=-=． 故答案是：2． 16．12x =-，21x =解：①抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，①方程组2y ax y bx c ⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，即关于x 的方程20ax bx c --=的解为12x =-，21x =． 故答案为x 1=-2，x 2=1． 17．10m解：根据题意，以C 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B （12，﹣8）， 设该抛物线的表达式为y =ax 2，将B （12，﹣8）代入，得：﹣8=a ·122， 解得：a =118-， ①该抛物线的表达式为y =118-x 2， 当x =18时，y =118-×182=﹣18，①E （18，﹣18）， ①点E 到直线AB 的距离为﹣8﹣（﹣18）=10m ，故答案为：10m ．18．（1）222226(1)6y ax ax a a x a a =--+=-+--， ∴对称轴为直线1x =；（2）由题可知，当抛物线顶点在x 轴上时， 260a a --=， (3)(2)0a a -+=，解得：3a =或2a =-，当3a =时，函数解析式为2363y x x =-+； 当2a =-时，函数解析式为2242y x x =-+-． 19．解：（1）把A （0，1），B （2，-1）代入y =x 2+px +q ，得1421q p q =⎧⎨++=-⎩， 解得：31p q =-⎧⎨=⎩，①p ，q 的值分别为-3，1；（2）把x =-1代入y =x 2-3x +1，得y =5， ①点P （-1，2）不在此函数的图象上． 20．解：（1）设BC 的长度为x m ，则AB =13（40﹣x ）m ，则矩形区域ABCD 的面积y =13x （40﹣x ）=﹣13x 2+403x ；（2）①y =﹣13x 2+403x =13-（x ﹣20）2+4003 ，①当x =20时，y 有最大值，最大值是4003m 2． 21．解：（1）令y=0时，则有2023x x -=-，解得：121,3x x =-=， ①()1,0A -；()3,0B ；由二次函数2123y x x =--可得顶点式为()2114y x =--， ①()1,4D -，图像如图所示：（2）由题意画出直线()20y kx b k =+≠的图像，如图所示，则由图像可得：当12y y <时，03x <<．22．（1）①A （﹣1，0），C （0，5），（1，8）三点在抛物线y=ax 2+bx+c 上， ①058a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解方程组，得145a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故抛物线的解析式为y=﹣x 2+4x+5；（2）①y=﹣x 2+4x+5=﹣（x ﹣5）（x+1）=﹣（x ﹣2）2+9，①M （2，9），B （5，0），设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，550b k b =⎧⎨+=⎩，解得,15k b =-⎧⎨=⎩则直线BC 的解析式为：y=﹣x+5.过点M 作MN①y 轴交BC 轴于点N ，则①MCB 的面积=①MCN 的面积+①MNB 的面积=12MN OB ⋅． 当x=2时，y=﹣2+5=3，则N （2，3），则MN=9﹣3=6， 则165152MCB S =⨯⨯=． 23．(1)解：根据题意，得65557545k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1120k b =-⎧⎨=⎩， ①所求一次函数的表达式为y =-x +120；(2)解：W =(x -60)•(-x +120)=-x 2+180x -7200=-(x -90)2+900，①抛物线的开口向下，①当x ＜90时，W 随x 的增大而增大，①60≤x ≤60×（1+45%），①60≤x ≤87，①当x =87时，W 有最大值，此时W =-(87-90)2+900=891．答：销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． 24．解：（1）由题意得：y 与x 的函数关系式为：()()2202001024106408800y x x x x =---=-+-⎡⎤⎣⎦；故答案为2106408800y x x =-+-；（2）由题意得：21064088001400x x -+-=，解得：1230,34x x ==；答：此时的销售单价为30元或34元．（3）由()2210640880010321440y x x x =-+-=--+可得100-<， ①该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线32x =，①每件小商品的售价不超过36元，①当32x =时，该商场每天销售此商品的利润为最大，最大值为1440； 答：该商场每天销售此商品的最大利润为1440元．。

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第22章检测题时间：120分钟满分:120分一、选择题(每小题3分，共30分）1．下列函数中是二次函数的是（B）A．y＝3x－1 B．y＝3x2－1C．y＝(x＋1）2－x2 D．y＝x3＋2x－32．若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝（x－2）2＋k，则b,k的值分别为( D）A．0，5 B．0，1 C．－4,5 D．－4，13．在平面直角坐标系中,将抛物线y＝x2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为( B )A．y＝（x＋2)2＋2 B．y＝(x－2)2－2C．y＝（x－2)2＋2 D．y＝(x＋2）2－24．若（2，5)，（4，5）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的两个点，则它的对称轴是( C）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝45．（2016·广州）对于二次函数y＝－错误!x2＋x－4,下列说法正确的是（B）A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时,y有最大值－3C．图象的顶点坐标为(－2，－7) D．图象与x轴有两个交点6．同一坐标系中，一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2＋a的图象可能是( C）7．(2016·绍兴）抛物线y＝x2＋bx＋c（其中b，c是常数）过点A(2，6），且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3）有交点,则c的值不可能是（A）A．4 B．6 C．8 D．108．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，∠OBC＝45°，则下列各式成立的是（B）A．b－c－1＝0 B．b＋c＋1＝0C．b－c＋1＝0 D．b＋c－1＝09．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表：x－1013y－1353下列结论:①ac＜0;②当x＞1时，y的值随x的增大而减小；③3是方程ax2＋(b－1)x＋c ＝0的一个根；④当－1＜x＜3时，ax2＋(b－1）x＋c＞0。

人教版九年级上册数学第二十二章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，正三角形ABC的边长为3+ ，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D，E，F在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为（）A. B. C.3 D.2、已知二次函数y＝2 x2＋9x+34，当自变量x取两个不同的值x1、x2时，函数值相等，则当自变量x取x1＋x2时的函数值与（）A.x＝1时的函数值相等B.x＝0时的函数值相等C.x＝时的函数值相等D.x＝－时的函数值相等3、抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）A.（2，1）B.（0，1）C.（1，0）D.（1，2）4、已知抛物线与x轴交于点A，B两点（A在原点O左侧，B 在原点O右侧），与y轴交于点C，若OC=OB，则点A的横坐标为（）A. B. C. D.-25、二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论①②③④（m为任意实数）其中不正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个6、抛物线可以由抛物线平移而得到，下列平移正确的是（）.A.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位7、抛物线y=（x-2）2+3的对称轴是（）A.直线x=-3B.直线x=-2C.直线x=2D.直线x=38、二次函数的顶点坐标为（-1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（）．A. B. C. D.关于的方程无实数根9、抛物线y＝x2﹣x+m与x轴至少有一个公共点，则m的取值范围是（）A.mB.m＞C.m≤D.m＜10、对于二次函数的图象，下列说法正确的是（）A.开口向下B.对称轴C.顶点坐标是D.与轴有两个交点11、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B （0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）A.ab＜0B.一元二次方程ax 2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间 C.a＝ D.点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y212、已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m 的取值范围是（）A.m=﹣1B.m=3C.m≤﹣1D.m≥﹣113、抛物线y=3 ＋5的顶点坐标是（）A.（－2，5）B.（－2，－5）C.（2，5）D.（2，－5）14、向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒15、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a，b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=﹣2时，x 的值只能取2；⑤当﹣1＜x＜5时，y＜0．其中正确的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题(共10题，共计30分)16、二次函数的顶点坐标是________．17、如图，抛物线关于点B的中心对称得________。

人教版九年级数学二次函数测试题（含答案）一、单选题（共25题；共50分）1.已知函数y=x2﹣2mx+2016（m为常数）的图象上有三点：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），其中x1=﹣+m，x2= +m，x3=m﹣1，则y1、y2、y3的大小关系是（）A. y1＜y3＜y2B. y3＜y1＜y2C. y1＜y2＜y3D. y2＜y3＜y12.抛物线y= （x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（）A. （2，3）B. （2，﹣3）C. （﹣2，3）D. （﹣2，﹣3）3.抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A. （3，1）B. （3，﹣1）C. （﹣3，1）D. （﹣3，﹣1）4.抛物线y=3(x-5)2+2的顶点坐标为（）A. （2 ，5）B. （-5 ，2）C. （5 ，2）D. （-5 ，-2）5.抛物线y =x2–2x –3 的对称轴和顶点坐标分别是( )A. x =1，(1，-4)B. x =1，(1，4)C. x=-1，(-1，4)D. x =-1，(-1，-4)6.抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A. （3，1）B. （3，﹣1）C. （﹣3，1）D. （﹣3，﹣1）7.抛物线y＝(x－2)2＋3的对称轴是（）．A. 直线x＝2B. 直线x＝3C. 直线x＝－2D. 直线x＝－38.二次函数的图象的顶点坐标是（）A. （－1，3）B. （1，3）C. （1，－3）D. （－1，－3）9.如果将抛物线向左平移2个单位，那么所得抛物线的表达式为A. B. C. D.10.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A. y=﹣2x2B. y=2x2C. y=﹣0.5x2D. y=0.5x211.（2015•潍坊）已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 412.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y= x的图象如图所示，则方程ax2+（b－）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A. 小于0B. 等于0C. 大于0D. 不能确定13.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（）A. y=（x+2）2+2B. y=（x﹣2）2﹣2C. y=（x﹣2）2+2D. y=（x+2）2﹣214.将抛物线y=2x2的图象先向右平移4个单位，再向下平移3个单位所得的解析式为（）A. y=2（x-3）2+4B. y=2（x+4）2-3C. y=2（x-4）2+3D. y=2（x-4）2-315.二次函数y= （x﹣2）2﹣1图象的顶点坐标是（）A. （﹣2，﹣1）B. （2，﹣1）C. （﹣2，1）D. （2，1）16.抛物线的对称轴为（）A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线17.定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．如：min={1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1．则min{x2﹣1，﹣2}的值是（）A. x2﹣1B. 2C. ﹣1D. ﹣218.二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（）A. x=4B. x=﹣4C. x=2D. x=﹣219.抛物线y=3（x﹣2）2+3的顶点坐标为（）A. （﹣2，3）B. （2，3）C. （﹣2，﹣3）D. （2，﹣3）20.抛物线y=(x-2)2+1是由抛物线影响y=x2平移得到的，下列对于抛物线y=x2的平移过程叙述正确的是（）A. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位21.二次函数的图象的顶点坐标是（）A. (l,-3)B. (-1,3)C. (-1,-3)D. (1,3)22.二次函数y=ax2+bx+a（a≠0）的最大值是零，则代数式|a|+ 化简结果为（）A. aB. 1C. ﹣aD. 023.抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A. （3，1）B. （3，﹣1）C. （﹣3，1）D. （﹣3，﹣1）24.二次函数y=(x-1)2+2，y的最小值是（）A. -2B. 2C. 1D. -125.将抛物线y=3x2经过怎样的平移可得到抛物线y=3(x-1)2+2( )A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位二、填空题（共10题；共10分）26.若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为________．27.请写出一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的抛物线的解析式________．28.写出一个抛物线开口向下，与y轴交于（0，2）点的函数表达式________．29.抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是________．30.二次函数y=x2﹣4x+6的最小值为________．31.写出一个二次函数解析式，使它的图象的顶点在y轴上：________．32.二次函数y=x2+4x+5中，当x=________时，y有最小值．33.二次函数y=3（x﹣2）2+4的最小值是________．34.已知二次函数，当x________时，随的增大而减小．35.将抛物线y=(x+2)2-3的图像向上平移5个单位,得到函数解析式为________ ．三、解答题（共2题；共10分）36.某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.问如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？37.学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形。

初三数学二次函数测试附详细答案一、选择题：（把正确答案的序号填在下表中，每题3分，共24分）1．（3分）与抛物线y=﹣x2+3x﹣5的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（）C D22225．（3分）直角坐标平面上将二次函数y=﹣2（x﹣1）2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其27．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（）8．（3分）（2008•长春）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（）C D二、填空题：（每空2分，共50分）9．（10分）已知抛物线y=x2+4x+3，请回答以下问题：（1）它的开口向_________，对称轴是直线_________，顶点坐标为_________；（2）图象与x轴的交点为_________，与y轴的交点为_________．10．（6分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过第二、三、四象限，则a_________0，b_________0，c_________ 0．11．（4分）抛物线y=6（x+1）2﹣2可由抛物线y=6x2﹣2向_________平移_________个单位得到．12．（2分）顶点为（﹣2，﹣5）且过点（1，﹣14）的抛物线的解析式为_________．13．（2分）对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为_________．14．（2分）抛物线y=﹣2x2+4x+1在x轴上截得的线段长度是_________．15．（2分）抛物线y=x2+（m﹣2）x+（m2﹣4）的顶点在原点，则m=_________．16．（2分）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+m的顶点在x轴上方，则m_________．17．（2分）已知二次函数y=（m﹣1）x2+2mx+3m﹣2，则当m=_________时，其最大值为0．18．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是a_________0，b2﹣4ac_________0．19．（8分）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C （0，﹣3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点．（1）二次函数的解析式为_________；（2）当自变量x_________时，两函数的函数值都随x增大而增大；（3）当自变量_________时，一次函数值大于二次函数值；（4）当自变量x_________时，两函数的函数值的积小于0．20．（2分）已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴的交点都在原点的右侧，则点M（a，c）在第_________象限．21．（4分）已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，那么b=_________．三、解答题：（每题13分，共26分）22．（13分）某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价（x）定为多少元时，才能使每天所赚的利润（y）最大并求出最大利润．23．（13分）如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上．（1）求△ABC中AB边上的高h；（2）设DG=x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树．初三数学二次函数测试题参考答案与试题解析一、选择题：（把正确答案的序号填在下表中，每题3分，共24分）1．（3分）与抛物线y=﹣x2+3x﹣5的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（）C Dx的二次项系数是﹣的二次项系数是﹣，2x=2225．（3分）直角坐标平面上将二次函数y=﹣2（x﹣1）2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其27．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（）＞＜﹣＜8．（3分）（2008•长春）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=2kx 2﹣x+k 2的图象大致为（ ）CD的图象经过二、四象限，∴=＜二、填空题：（每空2分，共50分）9．（10分）已知抛物线y=x 2+4x+3，请回答以下问题：（1）它的开口向 上 ，对称轴是直线 x=﹣2 ，顶点坐标为 （﹣2，﹣1） ； （2）图象与x 轴的交点为 （﹣1，0）（﹣3，0） ，与y 轴的交点为 （0，3） ．，顶点坐标（﹣，=10．（6分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过第二、三、四象限，则a＜0，b＜0，c≤0．﹣＞11．（4分）抛物线y=6（x+1）2﹣2可由抛物线y=6x2﹣2向左平移1个单位得到．12．（2分）顶点为（﹣2，﹣5）且过点（1，﹣14）的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x﹣9．13．（2分）对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为y=﹣3x2+6．=0=014．（2分）抛物线y=﹣2x2+4x+1在x轴上截得的线段长度是．﹣=故答案为15．（2分）抛物线y=x2+（m﹣2）x+（m2﹣4）的顶点在原点，则m=2．16．（2分）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+m的顶点在x轴上方，则m＞﹣1．=，且17．（2分）已知二次函数y=（m﹣1）x2+2mx+3m﹣2，则当m=时，其最大值为0．时，有最大值，，且，．故答案为：．时，有最小值时，有最大值18．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是a＜0，b2﹣4ac＜0．19．（8分）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C （0，﹣3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点．（1）二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）当自变量x＞1时，两函数的函数值都随x增大而增大；（3）当自变量0＜x＜3时，一次函数值大于二次函数值；（4）当自变量x＜﹣1时，两函数的函数值的积小于0．x==120．（2分）已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴的交点都在原点的右侧，则点M（a，c）在第三象限．，，即可确定﹣﹣，，21．（4分）已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，那么b=﹣4．，三、解答题：（每题13分，共26分）22．（13分）某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价（x）定为多少元时，才能使每天所赚的利润（y）最大并求出最大利润．23．（13分）如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上．（1）求△ABC中AB边上的高h；（2）设DG=x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树．=AB××=，=，，＞＜﹣）x=2.4 BE===1.8参与本试卷答题和审题的老师有：HLing；zcx；zhangCF；leikun；lanyan；zxw；王岑；137-hui；zhqd；nhx600；lanchong；冯延鹏；WWF；sd2011；zhjh；gsls；shenmeng；zhehe；蓝月梦；hbxglhl；CJX；张长洪；KBBDT2010（排名不分先后）菁优网2014年10月6日。

人教版数学九年级上册第22章二次函数测试题（时间：120分钟分值：100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．a＜0 B．b2﹣4ac＜0C．当﹣1＜x＜3时，y＞0 D．﹣2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列五个结论中：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞0；③2a﹣b＜0；④abc＜0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点的坐标为（，1），下列结论：①c＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b=0；④4ac﹣b2＞4a，其中错误的是（）A．①B．②C．③D．④4．如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），对于下列结论：①2a+b=0；②abc＜0；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．6．（3分）若y=mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数，则（）A．m，n，p均不为0B．m≠0，且n≠0C．m≠0D．m≠0，或p≠07．（3分）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．8．（3分）下列抛物线的顶点坐标为（0，1）的是（）A．y=x2+1B．y=x2﹣1C．y=（x+1）2D．y=（x﹣1）2 9．（3分）二次函数y=﹣x2+2x的图象可能是（）。

一、选择题1．已知()()()112233,,,,,x y x y x y 是抛物线245y x x =--+图像上的任意三点，在以下哪个取值范围中，分别以1y 、2y 、3y 为长的三条线段不一定能围成一个三角形的是（ ） A ．5122x -<< B ．7122x -<<- C ．30x -<< D ．41x -<<-2．()11,y -()20,y ()34,y 是抛物线22y x x c =-++上三点的坐标，则1y ，2y ，3y 之间的大小关系为（ ） A ．123y y y << B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y << 3．二次函数(2)(3)y x x =--与x 轴交点的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图是函数y ＝x 2+bx+c 与y ＝x 的图象，有下列结论：（1）b 2﹣4c ＞0；（2）b+c+1＝0；（3）方程x 2+（b ﹣1）x+c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝3；（4）当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．一次函数y cx b =-与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（ ）A ．26B ．3C ．6D ．427．已知抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表，给出下列结论：①抛物线y =ax 2+bx +c 经过原点；②2a +b =0；③当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2；④若点P （m ，n ）在该抛物线上，则am 2＋bm ≤a +b ．其中正确结论的个数是（ ）x… ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 0 3 …A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 8．如图为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，与x 轴交点为()()3,0,1,0-，则下列说法正确的有（ ）①a ＞0 ②20a b +=③a b c ++＞0 ④当1-＜x ＜3时，y ＞0A ．1B ．2C ．3D ．49．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（ ）A ．13米B ．12米C ．25米D ．35米 10．抛物线2(3)y a x k =++的图象如图所示．已知点()15,A y -，()22,B y -，()36.5,C y -三点都在该图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．231y y y >> 11．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2(1)y x =-+上的三点，1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >> 12．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）A ．0.8mB ．1.6mC ．2mD ．2.2m 13．函数()20y ax a a =-≠与()0y ax a a =-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．14．关于抛物线223y x x =-+-，下列说法正确的是（ ）A ．开口方向向上B ．顶点坐标为()1,2-C ．与x 轴有两个交点D ．对称轴是直线1x =-15．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所尔，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）A ．0ac >B ．方程20ax bx c ++=的两根是1213x x =-=， C ．20a b -=D ．当x>0时，y 随x 的增大而减小．二、填空题16．抛物线y ＝﹣12（x +1）2+3的顶点坐标是_____． 17．已知函数223y x x =--，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是______．18．高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动，运动员会利用不同的高尔夫球杆将高尔夫球打进球洞，从而使其在优美的自然环境中锻炼身体，并陶冶情操. 如图，某运动员将一只高尔夫球沿某方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线. 如果不考虑空气阻力等因素，小球的飞行高度 h （单位：米）与飞行时间 t （单位：秒）之间满足函数关系2205h t t =- .则小球从飞出到落地瞬间所需的时间为________秒.19．设A （﹣1，y 1），B （0，y 2），C （2，y 3）是抛物线y ＝﹣x 2+2a 上的三点，则y 1，y 2，y 3由小到大关系为_____．20．如图，抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），点C 为抛物线上任意一点．．．．（不与A ，B 重合），BD 为ABC 的AC 边上的高线，抛物线顶点E 与点D 的最小距离为1，则抛物线解析式为______．21．小明从如图所示的二次函数()20y ax bx c a =++≠图象中，观察得出了下面五条信息：①32a b =；②240b ac -=；③ 0ab >；④0a b c ++<；⑤20b c +>．你认为正．确．信息的有_______________．（请填序号）22．如图，是一座拱形桥的竖直截面图，水面与截面交于AB 两点，拱顶C 到AB 的距离为4m ，AB=12m ，DE 为拱桥底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到AB 的距离为5cm ，则DE 的长度为______________ m ．23．已知二次函数()232y x m x m =-+-+的顶点在y 轴上，则其顶点坐标为___________．24．在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()24y a x k =-+与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且//AB x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为_____．25．2251=-+-y x x 的图象不经过__________象限；26．如图，抛物线2y x 与直线y x =交于O ，A 两点，将抛物线沿射线OA 方向平移42个单位．在整个平移过程中，抛物线与直线3x =交于点D ，则点D 经过的路程为______．三、解答题27．已知二次函数21y x mx n =++的图象经过点()3,1P -，对称轴是直线1x =-．（1）求m ，n 的值；（2）如图，一次函数2y x b =+的图象经过点P ，与二次函数的图象相交于另一点B ，请求出点B 的坐标，并观察图象直接写出12y y ≥的x 的取值范围．28．已知二次函数21122y x kx k =++-． （1）求证：不论k 为任何实数，该二次函数的图象与x 轴总有公共点；（2）若该二次函数的图象与x 轴有两个公共点A ，B ，且A 点坐标为()3,0，求B 点坐标．29．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x … 3-2- 1- 0 1 … 2y ax bx c =++ …52 4 92 4 m … 根据以上列表，回答下列问题：（1）直接写出c ，m 的值；（2）求此二次函数的解析式．30．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x m =-+的图象过点()1,3A ，且与x 轴交于点B ．（1）求m 的值和点B 的坐标；（2）若二次函数2y ax bx =+图象过A ，B 两点，直接写出关于x 的不等式2ax bx x m +>-+的解集．。