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偏导数和全微分的关系在微积分学中，偏导数和全微分是两个重要的概念。
它们在物理、工程、经济学等领域中有广泛的应用。
本文将探讨偏导数和全微分的关系，以及它们在实际问题中的应用。
一、偏导数的定义偏导数是指函数在某一点处关于其中一个自变量的变化率。
设函数 $f(x_1,x_2,cdots,x_n)$ 在点$(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)$ 处连续，则 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数为：$$frac{partial f}{partial x_i}=lim_{Delta x_ito0}frac{f(x_1^0,x_2^0,cdots,x_i^0+Delta x_i,cdots,x_n^0)-f(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)}{Delta x_i}$$其中 $Delta x_i$ 是 $x_i$ 的增量。
二、全微分的定义全微分是指函数在某一点处的微小变化量。
设函数$f(x_1,x_2,cdots,x_n)$ 在点 $(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)$ 处连续，则 $f$ 在该点的全微分为：$$df=frac{partial f}{partial x_1}dx_1+frac{partialf}{partial x_2}dx_2+cdots+frac{partial f}{partialx_n}dx_n$$其中 $dx_i$ 是 $x_i$ 的微小增量。
三、偏导数和全微分的关系对于一个多元函数 $f(x_1,x_2,cdots,x_n)$，偏导数和全微分之间有以下关系：$$df=frac{partial f}{partial x_1}dx_1+frac{partialf}{partial x_2}dx_2+cdots+frac{partial f}{partialx_n}dx_n$$全微分 $df$ 可以看作是各个偏导数的线性组合。
这个公式可以被看作是对 $f$ 的微小变化的一种描述。
![[理学]第13章 偏导数与全微分](https://img.taocdn.com/s1/m/e8450b31ff00bed5b9f31dcc.png)
453第十三章 偏导数与全微分引言：从本章开始引入多元函数的微分理论。
即将一元函数 的导数和微分的概念推广到多元函数，形成多元函数的偏导数和微分，并进一步研究多元函数的微分性质及其在几何上的应用。
§1 偏导数和全微分的基本概念1、 偏导数一元函数导数引入背景和意义：切线、速度――－函数的变 化率。
以二元函数为例引入多元函数的相关概念。
在区域D 上给定 二元函数f(x,y)，任取点p(x,y),考察在此点自变量的改变所引起的函数的变化。
先考虑一种最简单的情形：单个变量的变化所引起的函数的改变。
不妨仅考虑只在x 方向上发生改变，设改变量为x ∆，即变量由点p(x,y)变到点q(,x x y +∆),，则引起的函数的改变量为),(),(y x f y x x f u x -∆+=∆，由于这一改变量是仅由一个变量x 而不是所有变量的变化所引起的，因而称为偏增量或关于x 的偏增量。
类似，可以定义关于y 的偏增量),(),(y x f y y x f u y -∆+=∆。
现在，考虑这些偏增量关于相应变量的变化率，类似一元函数的导数的概念，给出如下定义。
定义1.1 若 x u x x ∆∆→∆0lim ＝0(,)(,)lim x u x x y u x y x∆→+∆-∆存在，称此极限为),(y x f 在点p(x,y)关于x 的偏导数， 记为x u ∂∂|p 或 x f ∂∂|p。
454注： 由定义可知，注意到极限的唯一性，),(y x f 在点p(x,y)关于x 的偏导数是点p(x,y)的函数，因此，也记为 x u (p)=(,)x u x y 或x f (p)=(,)x f x y .简写为x u 、x f 。
类似可以定义关于y 的偏导数y u ，y f 。
注：偏导数的含义：仅考虑一个变量的改变对函数增量的变化率。
如对三元函数u=f(x,y,z),可以定义三个偏导数，即0(,,)(,,)(,,)lim x x u x x y z u x y z u x y z x∆→+∆-=∆ 0(,,)(,,)(,,)limy x u x y y z u x y z u x y z y ∆→+∆-=∆ 0(,,)(,,)(,,)lim z x u x y z z u x y z u x y z z∆→+∆-=∆ 类似，可以推广至任意n 元函数。
第十六章 偏导数与全微分§1偏导数与全微分概念这部分要掌握的1、 连续、偏导数、可微三个概念的定义；2、 连续、偏导数、可微三个概念之间的关系；二元函数的连续、偏导数、可微的概念都是用极限定义的，不同的概念对应不同的极限，切勿混淆。
考虑函数),(y x f 在),(00y x 点的情形，则它们分别为：),(y x f 在点),(00y x 连续定义为： ),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→),(y x f 在点),(00y x 存在偏导数定义为： 000000),(),(lim),(0x x y x f y x f y x f x x x --=→ 或 x y x f y x x f y x f x x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000000000),(),(lim),(0y y y x f y x f y x f y y y --=→ 或 yy x f y y x f y x f y y y ∆-∆+=→),(),(lim ),(0000000),(y x f 在点),(00y x 可微定义为：0),(),(),(),(lim22000000000=∆+∆∆-∆--∆+∆+→∆→∆yx yy x f x y x f y x f y y x x f y x y x因此，要讨论),(y x f 点),(00y x 的可微性，首先要求),(00y x f x ，),(00y x f y 。
这三个概念之间的关系可以用下图表示（在),(00y x 点）在上述关系中，反方向均不成立。
下面以)0,0(),(00=y x 点为例，逐一讨论。
4⇒2 ，4⇒3 例1：⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,00 ,),(222222y x y x y x xy y x f这是教材中的典型例题，0)0,0()0,0(==y x f f 均存在，但),(y x f 在)0,0(点不可微，且),(lim 0y x f y x →→不存在，即),(y x f 在)0,0(点不连续。
