2017-2018学年高中数学北师大版必修四习题 课下能力提升(二十三) Word版 含答案

课下能力提升(二十一) 平面向量数量积的坐标表示一、选择题1．若向量a ＝(1，2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4 B.π6C.π4D.3π42．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋x b 与－b 垂直，则x 的值为( )A ．－25 B.233C.323D ．2 3．已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A. 5 B.10C ．5D ．254．已知AB ＝(4,2)，＝(k ，－2)，若△ABC 为直角三角形，则k 等于( )A ．1B ．6C ．1或6D ．1或2或6二、填空题5．(安徽高考)设向量a ＝(1，2m )，b ＝(m ＋1，1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________．6．(新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________．7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________．8．已知a ＝(1，3)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋λb ，若a 和c 的夹角是锐角，则λ的取值范围是________．三、解答题9．已知向量a 是以点A (3，－1)为始点，且与向量b ＝(－3，4)垂直的单位向量，求a 的终点坐标．10．已知△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD .(1)求证：AB ⊥AC ；(2)求点D 和向量AD 的坐标；(3)设∠ABC ＝θ，求cos θ.答案1．解析：选C 因为2a ＋b ＝(2，4)＋(1，－1)＝(3，3)，a －b ＝(0，3)，所以|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝（2a ＋b ）·（a －b ）|2a ＋b ||a －b |＝（3，3）·（0，3）32×3＝22， 又θ∈[0，π]，所以θ＝π4. 2．解析：选A ∵a ＋x b ＝(3，4)＋x (2，－1)＝(3＋2x ，4－x )，－b ＝(－2，1)，且(a ＋x b )⊥(－b )，∴－2(3＋2x )＋(4－x )＝0，得x ＝－25. 3．解析：选C 法一：设b ＝(x ，y )，则a ·b ＝2x ＋y ＝10 ①，又a ＋b ＝(x ＋2，y ＋1)，|a ＋b |＝52，∴(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝50 ②①与②联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0. ∴|b |＝x 2＋y 2＝5.法二：由|a ＋b |＝52得a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，即5＋20＋b 2＝50 ∴b 2＝25|b |＝5.4．解析：选C 当A ＝90°时，AC ⊥AB ，则4k －4＝0，k ＝1；当B ＝90°时，AB ⊥，又BC ＝AC －AB ＝(k －4，－4)∴4(k －4)＋2×(－4)＝0解得k ＝6；当C ＝90°时，AC ⊥，则k (k －4)＋(－2)×(－4)＝0即k 2－4k ＋8＝0，无解．故k ＝1或6.5．解析：由题意知，a ＋c ＝(3，3m )，(a ＋c )·b ＝3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12， 即a ＝(1，－1)，|a |＝12＋（－1）2＝ 2. 答案： 26．解析：本题考查平面向量的数量积运算，意在考查考生的运算求解能力．根据数量积b·c ＝0，把已知两向量的夹角转化到两向量数量积的运算中．因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a·b ＝12，由b·c ＝0得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2. 答案：27．解析：本题主要考查向量的基本知识及运算．由题意，将b ·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b 整理，得t a ·b ＋(1－t )＝0，又a ·b ＝12，所以t ＝2. 答案：27．解析：设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)．又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②解①②得x ＝－79，y ＝－73. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 8．解析：由条件得，c ＝(1＋λ，3＋λ)，从而 ⎩⎪⎨⎪⎧a ×c ＝1＋λ＋3（3＋λ）>0，1＋λ1≠3＋λ3，⇒λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞) 9．解：∵b 是直线y ＝－43x 的方向向量，且a ⊥b . ∴a 是直线y ＝34x 的方向向量． ∴可设a ＝λ(1，34)＝(λ，3λ4)． 由|a |＝1，得λ2＋916λ2＝1. 解得λ＝±45， ∴a ＝(45，35)或a ＝(－45，－35)． 设a 的终点坐标为(x ，y )则⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝45，y ＋1＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－45，y ＋1＝－35.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝195，y ＝－25，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115，y ＝－85. ∴a 的终点坐标是(195，－25)或(115，－85)． 10．∴5(x ＋1)＝5(y ＋2)，② 由①②解得x ＝72，y ＝52，故D 点坐标为(72，52)，。

课下能力提升(五)正弦函数的图像一、选择题1．函数y＝1－sin x,x∈［0，2π]的大致图像是( ）2．下列各组函数图像相同的是( )A．y＝sin x与y＝sin（x＋π）B．y＝sin错误!与y＝sin错误!C．y＝sin x与y＝－sin xD．y＝sin(x＋2π）与y＝sin x3．方程x2＝sin x的根的个数是( )A．0 B．1C．2 D．34．函数y＝－3sin x＋2的最小值为（）A．2 B．－1C．－2 D．5二、填空题5．点错误!在函数f（x）＝a sin x的图像上，则f错误!＝________．6．函数y＝sin ｜x|，x∈[－π,π］的图像与直线y＝错误!有________个不同的交点．7．若函数y＝错误!sin x错误!的图像与直线y＝－错误!围成一个封闭的平面图形，则这个图形的面积是________．8．在[0，2π］上,满足sin x≥错误!的x的取值范围是________．三、解答题9．画函数y＝2sin x－1，x∈［0,2π］的简图．10．求方程lg x＝sin x实根的个数．答案1．解析：选B y＝sin x错误!y＝－sin x错误!y＝1－sin x.2．解析：选D ∵sin(x＋2π)＝sin x,∴y＝sin（x＋2π)与y＝sin x的图像相同．3．解析：选C在同一平面直角坐标中画出y＝x2与y＝sin x的图像，由图可知有两个交点．4．解析：选B 因为sin x的最大值为1,所以y＝－3sin x＋2的最小值为－3＋2＝－1。

5．解析:∵错误!＝a sin 错误!＝错误!a∴a＝2，f（x）＝2sin x,∴f(错误!)＝2sin 错误!＝2.答案：26．解析：数形结合知有4个交点．答案:47．解析：作出图形（如图)由图形可知，所求面积为错误!＝π。

答案:π8．解析：如下图，在同一坐标系内作出［0,2π］上y＝sin x和y＝错误!的图像，知满足sin x≥错误!的x的取值范围是错误!。

课下能力提升(十二) 三角函数的简单应用一、选择题1．为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( ) A ．98π B.1972πC.1992π D ．100π 2. 如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝53．一简谐运动的图像如图，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时加速度最大 4．下表是某城市2011年月平均气温(单位：°F).若用x 表示月份，y 表示平均气温，则下面四个函数模型中最合适的是( ) A ．y ＝26cosπ6x B ．y ＝26cos π（x －1）6＋46C ．y ＝－26cos π（x －1）6＋46D ．y ＝26cos π6x ＋46 二、填空题5．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于________．6. 如图是一弹簧振子做简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子的振动函数的一个解析式为________．7．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，做上下自由振动．已知它们在时间t (s)离开平衡位置的位移s 1和s 2 cm 分别由下列两式确定：s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π6；s 2＝10cos 2t .则在时间t ＝2π3时，s 1与s 2的大小关系是________．8. (江苏高考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________． 三、解答题9．如图，表示电流Ι与时间t 的关系式Ι＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图像．(1)试根据图像写出Ι＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)若函数Ι＝A sin(ωt ＋φ)在任意一段1100秒的时间内能同时取最大值A 和最小值－A ，那么正整数ω的最小值为多少？10．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是在某港口某季节每天的时间与水深关系表：(1) (2)一条货船的吃水深(船底与水面的距离)为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？答案1．解析：选B 由4914T ≤1，得T ≤4197，即2πω≤4197，ω≥1972π.2. 解析：选A 依题意A ＝3，且水轮每15 s 转一圈，故周期T ＝15，ω＝2πT ＝2π15.3．解析：选B 周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s ，故A 错； 由题中图像可知，振幅为5 cm ，故B 正确； 在最高点时，速度为零，加速度最大，故C ，D 错．4．解析：选C 由数据得到，从1月到7月是上升的趋势，只有C 满足要求． 5．解析：因为周期T ＝2πg l，所以g l ＝2πT＝2π， 则l ＝g4π2.答案：g 4π26. 解析：设函数的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)(t ≥0) 由图像知A ＝2，T ＝2×(0.5－0.1)＝0.8(s)， 所以ω＝2π0.8＝52π，∴y ＝2sin(52πx ＋φ)．又52π×0.1＋φ＝π2，所以φ＝π4. 所以函数解析式为y ＝2sin(52πt ＋π4)(t ≥0)．答案：y ＝2sin(52πt ＋π4)(t ≥0)7．解析：当t ＝2π3时，s 1＝－5，s 2＝－5，∴s 1＝s 2. 答案：s 1＝s 28．解析：由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2，又函数图像经过点(π3，0)，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为ƒ(x )＝2sin(2x ＋π3)，所以ƒ(0)＝2sin π3＝62.答案：629. 解：(1)由题图可知A ＝300，T ＝160－(－1300)＝150，所以ω＝2πT ＝100π.又因为(1150，0)在函数图像上，所以1150×100π＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝13π＋2k π，k ∈Z ，所以Ι＝300sin(100πx ＋13π)；(2)依题意有T ≤1100，即2πω≤1100.所以ω≥200π，又因为ω∈N ＋，所以ω的最小正整数为629.10．解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，通过画草图可知用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h (A >0，ω>0)来刻画水深与时间之间的对应关系．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋h ＝7.5，－A ＋h ＝2.5，T ＝12，解得A ＝2.5，h ＝5，φ＝π6.∴这个港口的水深与时间的关系可用 y ＝52sin π6x ＋5近似描述． (2)货船需要的安全水深为5＋1.25＝6.25米， 所以y ≥6.25时就可以进港，令 52sin π6x ＋5＝254⇒sin π6x ＝12. 在区间[0，12]内，π6x ＝π6或者π6x ＝π－π6，解得x ＝1或x ＝5.由周期性可得在[12，24]内x ＝13或x ＝17，∴货船可以在1时进港，早晨5时出港；或在中午13时进港，下午17时出港，每次在港口停留4小时.。

课下能力提升(二十四) 化简、证明问题一、选择题1．已知tan α＝2.则错误!＋错误!＝（)A．1 B．2C。

错误!D．±22．若错误!〈x〈π，则错误!＋错误!的值是( ）A．0 B．－1C．2 D．－23．若sin2θ＋cos4θ＝1，则sin θ－cos θ＝（)A．1 B．±1C。

错误!D．±错误!4．已知tan α－错误!＝－错误!，则错误!＝( ）A。

错误!B．－错误!C。

错误!D．－错误!二、填空题5．（1＋tan2θ）cos2θ＝________．6．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则化简错误!＋错误!的结果是________．7．若cos α＋2sin α＝－错误!，则tan α＝________．8．化简错误!＝________．三、解答题9．若sin αtan α<0，化简错误!＋错误!. 10．证明：错误!－错误!＝错误!。

答案1．解析：选C 错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.2．解析：选A ∵错误!<x<π,∴原式＝错误!＋错误!＝－1＋sin xsin x＝0。

3．解析：选B 由sin2θ＋cos4θ＝1，得cos4θ＝1－sin2θ＝cos2θ.∴cos4θ－cos2θ＝0，cos2θ（cos2θ－1)＝0。

∴cos2θsin2θ＝0，sin θcos θ＝0，∴(sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝1.故sin θ－cos θ＝±1. 4．解析：选A ∵tan α－错误!＝错误!－错误!＝错误!＝－错误!，∴1－sin αcos α＝错误!，∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

5．解析:原式＝cos2θ＋tan2θcos2θ＝cos2θ＋sin2θ＝1.答案:16．解析：由题意知，角α是第二或第四象限的角．则原式＝错误!＋错误!＝0。

答案：07．解析：由已知可得(cos α＋2sin α）2＝5，即4sin2α＋4sin αcos α＋cos2α＝5(sin2α＋cos2α），∴tan2α－4tan α＋4＝0，∴tan α＝2。

课下能力提升(八）正切函数的定义正切函数的图像与性质一、选择题1．已知θ是第二象限角，则( )A．tan错误!＞0 B．tan错误!＜0C．tan错误!≤0 D．tan错误!的符号不确定2．函数y＝2tan错误!的定义域是（)A.错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!3．函数y＝tan(sin x）的值域是（）A。

错误! B.错误!C．[－tan 1，tan 1］D．［－1，1］4．函数f（x）＝错误!在区间［－π，π]内的大致图像是下列图中的( )二、填空题5．若tan x≥－3，则x的取值范围是________．6．函数y＝lg(tan x)的单调增区间是________．7．函数y＝sin x与y＝tan x的图像在错误!上交点个数是________．8．已知函数y＝2tan错误!，则函数的对称中心是________．三、解答题9．已知f(x）＝a sin x＋b tan x＋1，f错误!＝7，求f错误!。

10．已知函数f(x)＝x2＋2x tan θ－1，x∈[－1，错误!],其中θ∈错误!。

（1）当θ＝－错误!时，求函数f(x)的最大值与最小值；（2）求θ的取值范围，使y＝f(x）在区间[－1，错误!］上是单调函数．答案1．解析:选A ∵θ是第二象限角，∴错误!是第一或第三象限角，∴tan错误!＞0.2．解析：选B 由2x－错误!≠kπ＋错误!，k∈Z，解得x≠错误!＋错误!，k∈Z.3．解析：选C ∵－1≤sin x≤1，∴－错误!<－1≤sin x≤1〈错误!。

∵y＝tan x在(－错误!,错误!)上是增加的．∴y∈[－tan 1，tan 1]．4．解析：选C f(x）＝错误!＝错误!＝错误!5．解析:作出y＝tan x，x∈错误!的图像，如图所示．令y＝－3，得x＝－π3，∴在(－错误!，错误!)中满足不等式tan x≥－错误!的x的取值范围为错误!.由正切函数周期性，可知：原不等式的解集为错误!(k∈Z)．答案:错误!（k∈Z)6．解析：函数y ＝lg （tan x )有意义,则tan x >0,∴函数的增区间为(k π，k π＋π2)（k ∈Z )． 答案：错误!（k ∈Z ）7．解析：在x ∈错误!时，tan x >sin x ，x ∈错误!时，tan x <sin x ,所以y ＝sin x 与y ＝tan x 在错误!上只有一个交点(0，0）．答案:18．解析:y ＝2tan 错误!＝－2tan 错误!.∵y ＝tan x 的对称中心为错误!，∴令12x －错误!＝错误!，得x ＝k π＋错误!，k ∈Z . ∴y ＝2tan 错误!的对称中心为错误!，k ∈Z 。

课下能力提升(一)周期现象角的概念的推广一、选择题1．－435°角的终边所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若α是第二象限的角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝457°＋k×360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k×360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k×360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k×360°，k∈Z}4．已知α是第四象限角，则α2是()A．第一或第三象限角B．第二或第三象限角C．第一或第四象限角D．第二或第四象限角二、填空题5．与2 011°终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．6．设集合M＝{α|α＝－36°＋k×90°，k∈Z}，N＝{α|－180°<α<180°}，则M∩N＝________．7．若角α与β的终边互相垂直，则α－β＝________．8．终边落在阴影部分的角的集合是________．三、解答题9．已知角α的终边与60°角的终边相同，写出满足条件的角α的集合S，并求出这个集合中在－360°～360°范围内的角．10. 如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，∠AOx＝45°.点P从点A出发，按逆时针方向匀速地沿此圆周旋转．已知P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到出发点A，求角θ，并判定其所在的象限．答案1．解析：选D设与－435°角终边相同的角为α，则α＝－435°＋k×60°，k∈Z，当k ＝1时，α＝－75°，∵－75°角为第四象限角，∴－435°角的终边在第四象限．2．解析：选A法一：取特值α＝120°，则180°－120°＝60°，是第一象限角．法二：180°－α＝－α＋180°，α是第二象限角，而－α与α关于x轴对称，故－α是第三象限角，再逆时针旋转180°，得－α＋180°，位于第一象限，如下图．3．解析：选C 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{}α|α＝－457°＋k ×360°，k ∈Z＝{}α|α＝263°＋k ×360°，k ∈Z .4．解析：选D 如下图，带4的标号在第二、四象限，故α2是第二或第四象限角．5．解析：与2 011°终边相同的角为2 011°＋k ×360°，k ∈Z .当k ＝－5时，211°为最小正角；当k ＝－6时，－149°为绝对值最小的角．答案：211° －149°6．解析：对于M ，当k ＝－1时，α＝－126°；当k ＝0时，α＝－36°；当k ＝1时，α＝54°；当k ＝2时，α＝144°.故M ∩N ＝{}－126°，－36°，54°，144°.答案：{}－126°，－36°，54°，144°7．解析：∵角α与β的终边互相垂直，∴角α与β＋90°或β－90°的终边相同．即α＝β＋90°＋k ×360°或α＝β－90°＋k ×360°，k ∈Z .∴α－β＝±90°＋k ×360°，k ∈Z .答案：±90°＋k ×360°，k ∈Z8．解析：在－180°～180°范围内，阴影部分表示－45°≤α≤120°，故所示的角的集合为{α|－45°＋k ×360°≤α≤120°＋k ×360°，k ∈Z }．答案：{}α|－45°＋k ×360°≤α≤120°＋k ×360°，k ∈Z9．解：与60°角的终边相同的角的集合为S ＝{α|α＝60°＋k ×360°，k ∈Z }，当k ＝0时，α＝60°；当k ＝－1时，α＝60°－360°＝－300°.所以，集合S 在－360°～360°范围内的角为60°，－300°.10. 解：由题意，得14θ＋45°＝45°＋k ×360°，k ∈Z ，则θ＝k ·180°7，k ∈Z . ∵180°<2θ＋45°<270°，∴67.5°<θ<112.5°，。

课下能力提升(二十三) 求 值 问 题一、选择题1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α的值为 ( ) A ．－2 2 B ．2 2 C ．－24 D.242．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α＝( ) A.34 B ．－34 C.43 D ．－433．若sin α，cos α是方程3x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根．则实数m 的值为( ) A ．－12 B.56C ．－12或56 D.124．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2 二、填空题5．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________．6．已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________． 7．已知A 为三角形内角，且sin A cos A ＝－18，则cos A －sin A ＝________．8．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ＝________． 三、解答题9．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1，2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |，0<θ<π，求θ的值．10．已知3sin α＋cos α＝0，求下列各式的值： (1)3cos α＋5sin αsin α－cos α；(2)sin 2α＋2sin αcos α－3cos 2α.答案1．解析：选A 由已知得cos α＝13.∵α∈(－π2，0)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－232，∴tan α＝sin αcos α＝－232×3＝－2 2.2．解析：选A 由a ∥b 得，sin α3＝cos α4.∴sin αcos α＝34＝tan α. 3．解析：选A 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝－2m ，sin αcos α＝2m ＋13，∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α， ∴(－2m )2＝1＋23(2m ＋1)，即12m 2－4m －5＝0. 解m ＝－12或56.m ＝56时，Δ＝36m 2－12(2m ＋1)<0，∴m ＝－12.4．解析：选A 由条件可得tan α＋33－tan α＝5.解得tan α＝2.∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25. 5．解析：∵sin θ<0，tan θ>0，∴θ是第三象限角， ∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.答案：－356．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得cos 2α＝15.又α∈(π，3π2)，因此cos α＝－55.答案：－557．解析：(cos A －sin A )2＝1－2sin A cos A ＝1－2×(－18)＝54.∵0<A <π，sin A cos A <0，∴sin A >0，cos A <0. ∴cos A －sin A <0，∴cos A －sin A ＝－52. 答案：－528．解析：sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2(sin θcos θ)2＝59，∴(sin θcos θ)2＝29.∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0. ∴sin θ cos θ＝23. 答案：239．解：(1)∵a ∥b ，∴2sin θ－(cos θ－2sin θ)＝0， 即4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)∵|a |＝|b |，∴sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5. 展开得sin 2θ＋cos 2θ－4sin θcos θ＋4sin 2θ＝5. 把sin 2θ＝1－cos 2θ代入并整理， 得cos θ(sin θ＋cos θ)＝0. ∴cos θ＝0或tan θ＝－1.又θ∈(0，π)， ∴θ＝π2或θ＝3π4.10．解：法一：由已知得，cos α＝－3sin α. (1)3cos α＋5sin αsin α－cos α＝－9sin α＋5sin αsin α＋3sin α＝－4sin α4sin α＝－1.(2)sin 2α＋2sin αcos α－3cos 2α＝sin 2α＋2sin α(－3sin α)－3(－3sin α)2＝－32sin 2α.由⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－3sin α，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝110. ∴sin 2α＋2sin αcos α－3cos 2α＝－32×110＝－165.法二：由已知，得sin αcos α＝－13，∴tan α＝－13.(1)3cos α＋5sin αsin α－cos α＝3＋5×sin αcos αsin αcos α－1＝3＋5tan αtan α－1＝3－53－13－1＝－1.(2)sin 2α＋2sin αcos α－3cos 2α ＝sin 2α＋2sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α＋2tan α－3tan 2α＋1 ＝（－13）2＋2×（－13）－3（－13）2＋1＝－165.。

课下能力提升(二) 弧 度 制一、选择题1．下列命题中，真命题是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角2．α＝－2 rad ，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为( )A.14π3 B ．－14π3 C.7π18 D ．－7π184．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋（－1）k ×π2，k ∈Z ，B ＝{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }，则集合A 与B 之间的关系为( )A ．AB B ．A BC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅二、填空题5．在半径为2的圆内，弧长为2π3的圆心角的度数为________． 6．终边落在直线y ＝x 上的角的集合用弧度表示为S ＝________．7．已知θ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋（－1）k ×π4，k ∈Z ，则角θ的终边所在的象限是________． 8．已知扇形的面积为25，圆心角为2 rad ，则它的周长为________．三、解答题9．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．10. 如图，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．答案1．解析：选D 由弧度制定义知D 正确．2．解析：选C ∵－π<－2<－π2，∴α的终边落在第三象限，故选C. 3．解析：选B 显然分针在1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了213周，其弧度数为－(2π×73)＝－14π3rad. 4．解析：选C 对于集合A ，当k ＝2n (n ∈Z )时，x ＝2n π＋π2，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，x ＝2n π＋π－π2＝2n π＋π2∴A ＝B ，故选C.5．解析：设所求的角为α，角α＝2π32＝π3＝60°. 答案：60°6．解析：S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝5π4＋2k π，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪{α|α＝π4＋(2k ＋1)π，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋n π，n ∈Z .答案：{α|α＝π4＋n π，n ∈Z } 7．解析：当k 为偶数时，α＝2n π＋π4，终边在第一象限；当k 为奇数时，α＝(2n ＋1)π－π4＝2n π＋34π，终边在第二象限． 答案：第一、二象限8．解析：设扇形的弧长为l ，半径为r ，则由S ＝12αr 2＝25，得r ＝5，l ＝αr ＝10， 故扇形的周长为20.答案：209．解：(1)图①中，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )； 以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )． ∴阴影部分内的角的集合为{α|－2π3＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z }． (2)图②中，以OA 为终边的角为π3＋2k π，k ∈Z ； 以OB 为终边的角为2π3＋2k π，k ∈Z . 不妨设右边阴影部分所表示集合为M 1，左边阴影部分所表示集合为M 2，则M 1＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }， M 2＝{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }． ∴阴影部分所表示的集合为：M 1∪M 2＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }∪{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }＝ {α|2k π<α<π3＋2k π或2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }． 10．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t s ，则t ×π3＋t ×|－π6|＝2π，所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s .如图，设第一次相遇点为C ，第一次相遇时已运动到终边在π3×4＝4π3的位置，则x c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4×12＝－2，y c ＝－42－22＝－23，所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3， Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.。

课下能力提升(六) 正弦函数的性质一、选择题1．函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( )A ．在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减少的B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的 C ．在[0，π]上是增加的，在[－π，0]上是减少的D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减少的 2．函数y ＝|sin x |的最小正周期是( )A ．2πB ．πC.π2 D.π4 3．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°4．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( ) A ．－12 B.12C ．－32 D.32二、填空题5．y ＝a ＋b sin x 的最大值是32，最小值是－12，则a ＝________，b ＝________． 6．函数y ＝11＋sin x的定义域是________． 7．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1，(x ∈R )．若f (a )＝2，则f (－a )的值为________．8．函数f (x )＝3sin x －x 的零点个数为________．三、解答题 9．求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域．10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |. (1)画出这个函数的图像；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；(3)指出这个函数的单调增区间．答案1．解析：选B 由正弦函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的图像，可知它在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的． 2．解析：选B 画出函数y ＝|sin x |的图像，易知函数y ＝|sin x |的最小正周期是π.3．解析：选C ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，又∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增加的， ∴sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.4．解析：选D ∵f (x )的最小正周期为π，∴f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32. 5．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋|b |＝32，a －|b |＝－12，得a ＝12，b ＝±1. 答案：12±1 6．解析：要使11＋sin x有意义，则有1＋sin x ≠0. ∴x ≠－π2＋2k π，k ∈Z 答案：{x |x ≠－π2＋2k π，k ∈Z }． 7．解析：∵f (a )＝2，∴a 3＋sin a ＋1＝2.∴a 3＋sin a ＝1.∴f (－a )＝(－a )3＋sin (－a )＋1＝－(a 3＋sin a )＋1＝－1＋1＝0.答案：0 8．解析：由f (x )＝0得sin x ＝x 3画出y ＝sin x 和y ＝x3的图像如右图，可知有3个交点，则f (x )＝3sin x －x 有3个零点．答案：39．解：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6. 则当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，y 最大为2， 当x ＋π3＝5π6即x ＝π2时，y 最小为1. ∴函数y ＝2sin(x ＋π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是[1，2]． 10．解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]（k ∈Z ）0，x ∈[2k π－π，2k π）（k ∈Z ）. 其图像如图所示．(2)由图像知函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π.(3)由图像知函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )．。