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12-04-11高二数学(理)《三个正数的算术—几何平均不等式》(课件)

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三个正数的算术—几何平均不等式 课件

三个正数的算术—几何平均不等式 课件

3
证明：因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3 xy2 >0，1＋
3
3
3
x2＋y≥3 xy2>0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3 xy2·3 x2y＝
9xy.当且仅当x＝y＝1时取等号．
类型3 利用平均不等式解决实际问题 [典例3] 如图所示，把一块边长为a的正方形铁皮 的各角切去大小相同的小正方形，再把它沿着虚线折起 做成一个无盖的铁盒，问切去的正方形边长是多少时， 盒子的体积最大？
4．若a，b，c都是正数且a＋b＋c＝6，则abc的最大
值为( )
A．2
B．27
C．8
D．3
解析：因为a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝6，
所以abc≤a＋3b＋c3＝633＝8，
当且仅当a＝b＝c＝2时“＝”成立．
答案：C
5．若0<x<1，则函数y＝x4(1－x2)的最大值是
________，此时x＝________．
＝3－2x，即x＝43时，等号成立，
所以ymax＝217. (2)因为x>1，所以x－1>0， y＝x＋（x－4 1）2＝12(x－1)＋12(x－1)＋（x－4 1）2＋1≥
3
3
12（x－1）·12（x－1）·（x－4 1）2
＋1＝4，当且仅当
1 2
(x－1)＝12(x－1)＝（x－4 1）2，即x＝3时，等号成立．
a＋3b＋c＝－1，3
3
abc＝
3，故(1)不正确．
(2)由定理3，知等号成立的条件是a＝b＝c.故(2)不
正确．
(3)由定理3知(3)正确． (4)必须a1，a2，…，an都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×

课件2：3. 三个正数的算术——几何平均不等式

课件2：3. 三个正数的算术——几何平均不等式

4.
(2)ab＋bc＋acba＋bc＋ac＝3＋bac2＋abc2 ＋acb2 ＋bac2＋cba2＋acb2 ≥3＋ 6 6 bac2·abc2·acb2 ·bac2·abc2·acb2 ＝9，
当且仅当 a＝b＝c 时取等号． 故最小值为 9.
【例 3】 用一张钢板制作一个容积为 4 m3 的无盖长方体
证明 (1)∵a，b，c∈R＋，
a＋b＋c≥33 abc，1a＋1b＋1c≥3 3 a1bc， ∴(a＋b＋c)1a＋1b＋1c≥9. 当且仅当 a＝b＝c 时，取等号．
(2)∵(a＋c b＋1)＋(b＋a c＋1)＋(c＋b a＋1)
＝(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a ＝12[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
规律技巧 (1)应用均值不等式这个定理证明不等式时，若 不等式已具备“一正、二定、三相等”，直接证明即可，若不具 备条件，要适当的恒等变形后再应用定理证明．
(2)连续多次应用均值不等式定理时，要注意前后等号成立 的条件是否保持一致．
【变式训练 1】 设 a，b，c∈R＋，求证： (1)(a＋b＋c)1a＋1b＋1c≥9； (2)a＋c b＋b＋a c＋c＋b a≥32.
2．应用均值不等式应注意的条件 用均值不等式求函数的最大(小)值，像用基本不等式求最 值一样，三个必要条件一定要满足，一正(各项的值为正，可在 题设中找到)、二定(各项的和或积为定值，这往往需要变形， 凑出和或积为定值)、三相等(即取等号的条件，只要验证就行 了)．在这三个条件中，定值决定着均值不等式应用的可能性， 它需要一定的灵活性和变形技巧，因此，这是解题成功的关键 也是难点．

三个正数的算术-几何平均不等式 课件

三个正数的算术-几何平均不等式 课件
三个正数的算术—几何平均不等式
1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果a1，a2，a3∈R＋，则：a1＋a32＋a3叫做这 3 个
正数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几__何__平_均__数_； (2)三个正数基本不等式：a1＋a32＋a3≥3 a1a2a3. 语言表述：三个正数的__算__术____平均数不小于它们的
___几__何___平均数． 练习 1：若已知 a1＝3，a2＝9，a3＝27 则a1＋a32＋a3＝
____1_3___，3 a1a2a3＝____9____， 则有：a1＋a32＋a3____≥____3 a1a2a3.
2．n 个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，…，an∈R＋，n＞1 且 n∈N＋则： a1＋a2＋n …＋an叫做这 n 个正数的算术平均数，
2．(1)几何平均数 (2)算术 几何 练习2： ≥
设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)(a2＋ b2＋c2)≥9abc.
证明：因为 a，b，c 为正数， 所以 a＋b＋c≥33 abc， a2＋b2＋c2≥33 a2b2c2， 将上述两个同向不等式相乘得
(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥93 a3b3c3＝9abc， 即(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc.
设 a1，a2，a3，a4 为正数， 求证：a1＋a2＋4 a3＋a4≥4 a1a2a3a4， 当且仅当 a1＝a2＝a3＝a4 时，等号成立．
证明：若 a1＝a2＝a3＝a4，则上式左＝a1，右＝a1. 故所需证不等式中等号成立． 若 a1，a2，a3，a4 不全相等，则不妨设 a1≠a2，于是 a1＋a2＞2 a1a2＞0， a3＋a4≥2 a3a4＞0， 故 a1＋a2＋a3＋a4＞2( a1a2＋ a3a4)

人教版高中数学选修四教学课件-三个正数的算术-几何平均不等式

人教版高中数学选修四教学课件-三个正数的算术-几何平均不等式

题型一 题型二 题型三 题型四
解:∵y=x(1-x2),
∴y2=x2(1-x2)2=2x2(1-x2)(1-x2)·12. ∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,
∴y2≤12
2������2+1-������2+1-������2 3
3 = 247.
当且仅当 2x2=1-x2,即 x=
3 3
时,等号成立.
拆成
������2 2
和
������2 2
两个数,这样可满足不等式成立的条件,若
这样变形:y=
4 ������4
+
������2
=
4 ������4
+
������2 4
+
3 4
������2,
虽然满足了乘积是定值这个要求,但“三相等”这个要求就无法实现
了,这是因为取等号的条件是
4 ������4
=
������2 4
【例3】 如图,在一张半径是2 m的圆桌的正中央上空挂一盏电
灯.大家知道,灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小;挂得太低,桌子
的边缘处仍然是不亮的.由物理学可知,桌子边缘一点处的亮度E和
电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比,而和这一
点到光源的距离r的平方成反比,即 E=������
sin������ ������2
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 1】
求函数
y=
3 16
������2
+
3 ������
(x>0)的最小值.
解:∵x>0,∴y=
3 16
������2

三个正数的算术-几何平均不等式 课件

三个正数的算术-几何平均不等式 课件

若 a2b 为常数，a＋b 型通常拆成a＋a＋b(平均拆分)再利用平 22
均不等式．
用算术—几何平均不等式解决实际问题
【例2】 一块正方形铁皮边长为a，从它的四个角各剪去 一个边长为x的正方形，把它余下的铁皮做一个无盖水箱，则x 为多少时，水箱的容积最大？
【解题探究】 根据已知条件建立关系式，再根据结构合 理配凑，利用平均不等式．
均不等式．
用算术—几何平均不等式证明不等式
【 例 3 】 设 a ， b ， c ∈ R ＋ ， 求 证 ： (a ＋ b ＋ c)·a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a≥92.
【解题探究】 即证 2(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a≥9， 注意到(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝2(a＋b＋c)，所以只需将左边配 凑即可．
【解析】∵a，b，c∈R＋， 2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)， ∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥33 a＋bb＋cc＋a. 又a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a≥3 3 a＋1 b·b＋1 c·c＋1 a， ∴(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋c＋1 a≥92， 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
三个正数的算术—几何平均不等式
1．如果 a，b，c∈R＋，那么 a3＋b3＋c3≥__3_a_b_c_，当且仅 当__a_＝__b_＝__c__时等号成立．
2．如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥__3__a_b_c__，当且仅 当__a_＝__b_＝__c__时等号成立．
用算术—几何平均不等式求最值
【解析】设无盖水箱的容积为 V，∵0＜x＜a2，则 V＝x(a
－
2x)2
＝
x(a
－
2x)(a

高二数学(理)第五节《三个正数的算术-几何平均不等式》(课件)

高二数学(理)第五节《三个正数的算术-几何平均不等式》(课件)
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期 年上学期
例1.已知 、y、z∈R+, 求(x+y+z)3≥27xyz. 已知x、 、 ∈ 已知
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期 年上学期
已知a、 、 例2.已知 、b、c ∈R+, 求证 已知
a b c b c a (1)( + + )( + + ) ≥ 9 b c a a b c (2)(a + b + c)(a + b + c ) ≥ 9abc.
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期 年上学期
均值不等式： 均值不等式： 二元均值不等式： 二元均值不等式： 当且仅当a=b时, 若a, b>0, 则 a + b ≥ ab ，当且仅当 时 等号成立； 等号成立； 2 三元均值不等式： 三元均值不等式：若a, b, c>0, 则 a +b+c 3 当且仅当a=b=c时, 等号成立 时 等号成立; ≥ abc，当且仅当 3 n元均值不等式：若a1, a2, …an>0, 则 元均值不等式： 元均值不等式 a1 +…+ an n 当且仅当a ≥ a1 … an ，当且仅当 1=…=an … n 等号成立； 时, 等号成立；
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2010年上学期 年上学期
均值不等式： 均值不等式： 二元均值不等式： 二元均值不等式： 当且仅当a=b时, 若a, b>0, 则 a + b ≥ ab ，当且仅当 时 等号成立； 等号成立； 2 三元均值不等式： 三元均值不等式：若a, b, c>0, 则 a +b+c 3 当且仅当a=b=c时, 等号成立 时 等号成立; ≥ abc，当且仅当 3

三个正数的算数-几何平均不等式课件


[解题过程] (1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥33 abc>0，
从而(a＋b＋c)2≥93 a2b2c2>0.
又a12＋b12＋c12≥3 3 a2b12c2>0，
∴a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2≥3 3
13 a2b2c2·9
a2b2c2＝27，
பைடு நூலகம்
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
用平均不等式解应用题
如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏 电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小； 挂得太低了，桌子的边缘处仍然是不亮的．
从物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到桌子边 缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点到光源的 距离 r 的平方成反比．即 E＝ksirn2θ.这里 k 是一个和灯光强度有 关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度 h，才能使桌子边 缘处最亮？
三个正数的算术—几何平均不等式
1．重要不等式 定理 1 如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab，当且仅当_a_＝__b_ 时，等号成立． 2定．理基2本不如等果式a>0，b>0，那么__a_＋2__b_≥___a_b____，当且仅当 a＝b 时，等号成立．
(1)算术—几何平均：如果 a，b 都是正数，我们就称a＋2 b为 a，b 的算术平均， ab为 a，b 的几何平均．
即 tan2θ＝12，tanθ＝ 22， ∴h＝2tanθ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大．
定理3、4的理解
应用三个正数的算术—几何平均值不等式时还可能用到下
面的重要不等式链：
1a＋b13＋1c≤3 abc≤a＋3b＋c≤
a2＋b2＋c2 3.

三个正数的算数几何平均不等式ppt课件

a2 b2 2 | ab |; a2 b2 c2 ab bc ca; (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 2 ab a b 2(a2 b2 ) 等.
29
3
所以y=(1-3x)2·x= 1 (1-3x)·(1-3x)·6x
6
1 (1 3x 1 3x 6x )3 4 ,当且仅当1-3x=1-3x=6x,
6 即x=
1 9
3
81
时等号成立,此时ymax=
4 81 .
16
2.因为x>1,所以x-1>0,
y

x

x
4
12

1 2
x
1
n 2

32 n2
,
所以
n

32 n2

n 2

n 2

32 n2

33
n 2

n 2

32 n2

6.
当且仅当n=4时等号成立.
12
3.若a>b>0,则a+
b
1
a
b

的最小值为_________.
【解析】因为a>b>0,所以a-b>0,
所以
a

1
ba
b


a

b

b

1
ba
x2 2
又∵ x2 2 ≥2 ,又∵函数 y t 1 在 t 1, 时是减函数.
t
∴当 x 0 时,函数 y x2 2 1 取得最小值 3 2 .
x2 2

三个正数的算术-几何平均不等式课件


点评：不等式的证明方法比较多．关键是从式子的 结构入手进行分析．多联想定理3的形式以便用好它．
1．已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.又 a＋b＋c＝1，∴3 abc
≤13，∴3 1 ≥3， abc
∴a1＋1b＋1c≥3 3 a1bc≥9.
即原不等式成立．
题型二 利用定理3求函数的最值
例 2 已知 x∈R＋，求函数 y＝x(1－x2)的最大值． 分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即 y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1
－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×12，求出最值后再开方．
解析：∵y＝x(1－x2)， ∴y2＝x2(1－x2)2＝12×2x2(1－x2)(1－x2)≤122x2＋1－3x2＋1－x23＝247. 当且仅当 2x2＝1－x2，即 x＝ 33时等号成立． ∴y≤2 9 3. ∴ymax＝2 9 3.
语 言 表 述 ： 三 个 正 数 的 __算__术____ 平 均 数 不 小 于 它 们 的 ___几__何___平均数．
思考 1 若已知 a1＝3，a2＝9，a3＝27，则a1＋a32＋a3＝___1_3____，
3 a1a2a3＝_____9___.
则有：a1＋a32＋a3___>_____3 a1a2a3.
2．n 个正数的算术—几何平均不等式． (1)如果 a1，a2，…，an∈R＋，n＞1 且 n∈N*，则a1＋a2＋n …＋an叫
做这
n
n
个正数的算术平均数，
a1a2…an叫做这
n
个正数的_几__何__平__均_．数
(2)基本不等式：a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an(n∈N*，ai∈R

课件1：3. 三个正数的算术——几何平均不等式


≥
3 abc，
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
即：三个正数的算术平均 不小于 它们的几何平均．
2．基本不等式的推广
淘出优 秀的你
对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均 不小于
它们的几何平均，即a1＋a2＋n …＋an ≥ n a1a2…an，当且仅当
a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
设用料成本为 y 元，则 y＝30πr2＋40πrh. ∵桶的容积为π2，∴πr2h＝2π.∴rh＝21r.
淘出优 秀的你
∴y＝30πr2＋2r0π＝10π3r2＋1r＋1r≥10π×33 3， 当且仅当 3r2＝1r时，
3
3
即 r＝
39时等号成立，此时 h＝
9 2.
故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应为339米，
3 高为 29米．
淘出优 秀的你
用平均不等式求解实际问题
例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道， 灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小； 挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
淘出优 秀的你
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点 到光源的距离 r 的平方成反比．
若这样变形：y＝x44＋x2＝x44＋x42＋34x2，虽然满足了乘积 是定值这个要求，但“三相等”不能成立，因为x44＝x42＝34x2 时 x 无解，不能求出 y 的最小值．
利用平均不等式求最值
淘出优 秀的你
例 1 已知 x∈R＋，求函数 y＝x(1－x2)的最大值．
【思路探究】为使数的“和”为定值，可以先平方，即 y2 ＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×12，求出最 值后再开方．
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性质8: 同正开方法则: 如果a>b>0, 那 么 n a n b (n∈N, n≥2);
湖南长郡卫星远程学校 制作 12 2012年上学期
2. 重要不等式与基本不等式：
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
2. 重要不等式与基本不等式：
(1)a b 2ab(a、b R)
1 sin x 1 3
2012年上学期
C . f ( x ) log 1 x log x
3
湖南长郡卫星远程学校
D . f ( x ) lg( x 1) log x 1 10
制作 12
训练2. 已知球的半径为R, 球内接 圆柱的底面半径为r, 高位h, 则r和h为 何值时, 内接圆柱的体积最大？
制作 12
2012年上学期
性质4: 可乘性: 如果a>b, c>0, 那么 ac>bc; 如果a>b, c<0, 那么ac<bc;
性质5: 同向可加性: 如果a>b, c>d那么 a+c>b+d; 性质6: 同向均正可乘法则: 如果a>b>0, c>d>0, 那么ac>bd; 性质7: 同正乘方法则: 如果a>b>0, 那 么an>bn(n∈N, n≥2);
2 2
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
2. 重要不等式与基本不等式：
(1)a b 2ab(a、b R)
2 2
( 2)
ab 2

ab (a、b R )

湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
2. 重要不等式与基本不等式：
(1)a b 2ab(a、b R)
三个正数的算术—几何平均不等式
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
1. 不等式的基本性质:
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
1. 不等式的基本性质: 性质1: 对称性: 如果a>b, 那么b<a; 如果b<a, 那么a>b, 即a>b b<a;
制作 12
2012年上学期
三元均值不等式：若a, b, c>0, 则
abc 3
3
abc ,
当且仅当a=b=c时, 等号成立;
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
三元均值不等式：若a, b, c>0, 则
abc 3
3
abc ,
当且仅当a=b=c时, 等号成立;
n元均值不等式：若a1, a2, …an>0, 则
2 2
( 2)
ab 2

2
ab (a、b R )
ab 2

( 3)
a b
2

(a、b R )
2
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
2. 重要不等式与基本不等式：
(1)a b 2ab(a、b R)
2 2
( 2)
ab 2

2
ab (a、b R )
ab 2
2

1. 不等式的基本性质: 性质1: 对称性: 如果a>b, 那么b<a; 如果b<a, 那么a>b, 即a>b b<a; 性质2: 传递性: 如果a>b, b>c, 那么 a>c, 即a>b, b>c a>c; 性质3: 可加性: 如果a>b, 那么 a+c>b+c;
湖南长郡卫星远程学校 制作 12 2012年上学期
性质4: 可乘性: 如果a>b, c>0, 那么 ac>bc; 如果a>b, c<0, 那么ac<bc;
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
性质4: 可乘性: 如果a>b, c>0, 那么 ac>bc; 如果a>b, c<0, 那么ac<bc;
性质5: 同向可加性: 如果a>b, c>d那么 a+c>b+d;
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
湖南长郡卫星远程学校 制作 12 2012年上学期
探究2：请证明：当a, b, c∈R+, 那 么
abc 3
3
abc
, 当且仅当a=b=c时,
等号成立。
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
湖南长郡卫星远程学校
a1 an n
n
a1 an
，当且仅当a1=…
制作 12 2012年上学期
=an时, 等号成立；
湖南长郡卫星远程学校
例1.已知x、y、z∈R+, 求(x+y+z)3≥27xyz
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
例2.已知a、b、c ∈R+, 求证
(1)( a b b c c a )( b a
( 3)
a b
2

(a、b R )
2 ( 4) a b
2

ab 2

ab (a、b R )

2
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（当且仅当a=b时, 不等式中等号成立）
制作 12 2012年上学期
探究1: 已知a、b、c∈R+, 那么
a3+b3+c3≥3abc, 当且仅当a=b=c时,
等号成立。
参考公式:
2

c b
2

a c
)9
2
( 2)( a b c )( a b c ) 9abc
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例3.求函数 y 2 x
2
3 x
的最小值。
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例4.如图, 把一块边长是a的正方形铁
片的各角切去大小相同的小正方形, 再把
它的边沿着虚线折转做成一个无
盖方底的盒子, 向切去的正
方形边长是多少时, 才能使 盒子的容积最大？
x
y
湖南期
训练1. 已知 R , 下列函数中 最小 x ,
值为2的是( ) A. f ( x ) x 2
2
1 x 2
2
B . f ( x ) sin x
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性质4: 可乘性: 如果a>b, c>0, 那么 ac>bc; 如果a>b, c<0, 那么ac<bc;
性质5: 同向可加性: 如果a>b, c>d那么 a+c>b+d; 性质6: 同向均正可乘法则: 如果a>b>0, c>d>0, 那么ac>bd; 性质7: 同正乘方法则: 如果a>b>0, 那 么an>bn(n∈N, n≥2);
Q
h 2
R
r
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如图, 树顶A离地面a m, 树上另一点
B离地面b m, 在离地面c m的C处看此树,
离此树多远时看A、B的视角最大？ A
B
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C
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《考一本》P7-P9
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1. 不等式的基本性质: 性质1: 对称性: 如果a>b, 那么b<a; 如果b<a, 那么a>b, 即a>b b<a; 性质2: 传递性: 如果a>b, b>c, 那么 a>c, 即a>b, b>c a>c;
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( 3)
a b
2

(a、b R )
2 ( 4) a b
2

ab 2

ab (a、b R )

2
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2. 重要不等式与基本不等式：
(1)a b 2ab(a、b R)
2 2
( 2)
ab 2

2
ab (a、b R )
ab 2
2

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性质4: 可乘性: 如果a>b, c>0, 那么 ac>bc; 如果a>b, c<0, 那么ac<bc;
性质5: 同向可加性: 如果a>b, c>d那么 a+c>b+d; 性质6: 同向均正可乘法则: 如果a>b>0, c>d>0, 那么ac>bd;
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