人教A版数学必修二4-2-2-3圆与圆的位置关系《直线与圆的方程》的应用配套训练

人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案【学习目标】1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点)2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)【要点梳理夯实基础】知识点1圆与圆位置关系的判定阅读教材P129至P130“练习”以上部分，完成下列问题．1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0≤d＜|r1－r2| ⎭⎬⎫圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程⎩⎨⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[思考辨析学练结合]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切[解析]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．[答案] B知识点2 直线与圆的方程的应用阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”[思考辨析学练结合]一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米[解析]建立如图所示的平面直角坐标系．如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62，∴h＝40.77≈3.5(米)．[答案] B【合作探究析疑解难】考点1 圆与圆位置关系的判定[典例1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[分析]求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k[解答]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，C 2(2a,1)，半径r 1＝4，r 2＝1.∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切；当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交．(3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离．(4)当|C 1C 2|＜3，即a ＜3时，两圆内含．考点2 两圆相交有关问题[典例2] 求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长． [分析] 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2[解答] 设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解， 两式相减得x ＋y －1＝0.因为A ，B 两点的坐标满足 x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[解] 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.考点3 直线与圆的方程的应用探究1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？[分析]从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋(－1)2－2＝722－2.探究2已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．[分析]如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．则点B到AC的距离为202千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－(202)2＝20(千米)．所以B城市处于危险区内的时间为t＝2020＝1(小时)．[典例3] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图4-2-1)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．图4-2-1[分析]建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解．[解答]以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[方法总结]解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤[跟踪练习]3．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|－28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d＞r，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．【学习检测巩固提高】1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.[答案] B2．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m [解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．[答案] B3．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__.[解析]圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．4．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__ [34，＋∞) __. [解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA .设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)． 5．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎨⎧ x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0， 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0， 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ))． ∵圆心C 在公共弦所在直线上，∴4·－(12λ－12)2(1＋λ)＋3·－(16λ－2)2(1＋λ)－2＝0， 解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.人教版高中数学必修二第4章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系课时检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0.解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．[答案] A2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( )A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切[解析] 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)， 半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜|O 1O 2|＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．[答案] B3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b应满足的关系式是()A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.[答案] B4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25[解析]设动圆圆心为P(x，y)，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25.[答案] A5．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝()A．5B．4C．3D．2 2 [解析]设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.[答案] C6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[解析]半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.7．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.[答案] D8．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝0[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．[答案] A9．已知两圆相交于两点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 [解析] 两点A ，B 关于直线x －y ＋c ＝0对称，k AB ＝－4m －1＝－1. ∴m ＝5，线段AB 的中点(3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，∴c ＝－2，∴m ＋c ＝3.[答案] C10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．二、填空题11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝.[解析]两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a的距离d＝|1a|，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a＝1.[答案] 112．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.[解析]C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－513．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是.[解析]∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d＝|C1C2|＝a2＋b2＝4＝2，∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．[答案]外切14．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是.[解析]已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y －2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.[答案](x－2)2＋(y－2)2＝215．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0. [解析](1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，半径r2＝8，∴|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10＝r1＋r2，∴两圆外切．(4)C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．16．求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．[解] 法一：解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0， 得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有(a ＋1)2＋(a －4－3)2 ＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72， 半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 法二：∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.17．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为2(m ＋1)x ＋2(n ＋1)y －m 2－1＝0，由于A 、B 两点平分圆N 的圆周，所以A 、B 为圆N 直径的两个端点，即直线AB 过圆N 的圆心N ，而N (－1，－1)，所以－2(m ＋1)－2(n ＋1)－m 2－1＝0，即m 2＋2m ＋2n ＋5＝0，即(m ＋1)2＝－2(n ＋2)(n ≤－2)，由于圆M 的圆心M (m ，n )，从而可知圆心M 的轨迹方程为(x ＋1)2＝－2(y ＋2)(y ≤－2)．18．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图.(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．[解析](1)连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|P A|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|P A|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|P A|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用课时检测一、选择题1．已知实数x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是() A．30－105B．5－5C．5D．25[解析]x2＋y2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.[答案] A2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB 的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由y－02－0＝x－1－1－1，得x＋y－1＝0.[答案] A3．方程y＝－4－x2对应的曲线是()[解析]由方程y＝－4－x2得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．[答案] A4．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是()A．π4B．3π4C．3π2D．π[解析]数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的1 4.[答案] D5．方程1－x2＝x＋k有惟一解，则实数k的范围是()A．k＝－2B．k∈(－2，2)C．k∈[－1,1)D．k＝2或－1≤k<1[解析]由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝ 2.[答案] D6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线P A、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于()A ．24B ．16C ．8D ．4[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．[答案] C7．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋6 5[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.[答案] D8．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎨⎧ b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)．[答案] D9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．40 6 [解析]圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD的面积为12×AC×BD＝12×10×46＝20 6.[答案] B10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A．4π5B．3π4C．(6－25)πD．5π4[解析]原点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，则d＝45，点C到直线2x＋y－4＝0的距离是圆的半径r，由题知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB中，圆C过原点O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小为25，面积最小为4π5，故选A．[答案] A二、填空题11．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB 的方程是________．[解析] 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为：x2＋y2－10－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，即x＋3y＝0.[答案]x＋3y＝012．已知M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是.[解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y ＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点．[答案] (－3,32]13．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于 .[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．[答案] B 景点在小路的投影处14．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是 .[解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43. [答案] [0，43]三、解答题15．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km. 16．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为A 、B 、P 在此圆上，故有⎩⎨⎧ 182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0.将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6.答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.17．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解析]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：x40＋y30＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.18．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析]以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝16－a2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。

4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系整体设计教学分析学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系,并知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d 与半径r 的关系判断直线与圆的位置关系,但是,在初中学习时,利用圆心与直线的距离d 与半径r 的关系判断直线与圆的位置关系的方法却以结论性的形式呈现.在高一学习了解析几何以后,要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法.解决问题的方法主要是几何法和代数法.其中几何法应该是在初中学习的基础上,结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离d 后,比较与半径r 的关系从而作出判断.适可而止地引进用联立方程组转化为二次方程判别根的“纯代数判别法”,并与“几何法”欣赏比较,以决优劣,从而也深化了基本的“几何法”.含参数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用,也适度地引入课堂教学中,但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的,要控制难度.虽然学生学习解析几何了,但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法,学生仍是似懂非懂,因此应不断强化,逐渐内化为学生的习惯和基本素质. 三维目标1.理解直线与圆的位置关系,明确直线与圆的三种位置关系的判定方法,培养学生数形结合的数学思想.2.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系及会利用直线与圆的位置关系解决相关的问题，让学生通过观察图形,明确数与形的统一性和联系性. 重点难点教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 教学难点:用坐标法判断直线与圆的位置关系. 课时安排 2课时教学过程第1课时 导入新课思路1.平面解析几何是高考的重点和热点内容,每年的高考试题中有选择题、填空题和解答题,考查的知识点有直线方程和圆的方程的建立、直线与圆的位置关系等,本节主要学习直线与圆的关系.思路2.(复习导入)(1)直线方程Ax+By+C=0(A,B 不同时为零).(2)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2,圆心为(a,b),半径为r.(3)圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(其中D 2+E 2-4F ＞0)，圆心为(-2D ,-2E ),半径为21F E D 422-+.推进新课 新知探究 提出问题①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类？ ②在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？③如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？④判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？讨论结果：①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交三种.直线与圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离d 与半径r 的关系图形相交 两个 d ＜r 相切 只有一个 d=r相离没有d ＞r二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系. ④直线与圆的位置关系的判断方法： 几何方法步骤： 1°把直线方程化为一般式,求出圆心和半径. 2°利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离. 3°作判断：当d ＞r 时,直线与圆相离；当d=r 时,直线与圆相切;当d ＜r 时,直线与圆相交. 代数方法步骤： 1°将直线方程与圆的方程联立成方程组. 2°利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程. 3°求出其判别式Δ的值. 4°比较Δ与0的大小关系,若Δ＞0,则直线与圆相离；若Δ=0,则直线与圆相切;若Δ＜0,则直线与圆相交.反之也成立. 应用示例思路1例1 已知直线l ：3x+y-6=0和圆心为C 的圆x 2+y 2-2y-4=0,判断直线l 与圆的位置关系.如果相交,求出它们的交点坐标.活动:学生思考或交流,回顾判断的方法与步骤,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价;方法一,判断直线l 与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系. 解法一:由直线l 与圆的方程,得⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-+)2(.042)1(,06322y y x y x消去y,得x 2-3x+2=0,因为Δ=(-3)2-4×1×2=1＞0,所以直线l 与圆相交,有两个公共点.解法二：圆x 2+y 2-2y-4=0可化为x 2+(y-1)2=5,其圆心C 的坐标为(0,1),半径长为5,圆心C 到直线l 的距离d=2213|1603|+-+⨯=105＜5.所以直线l 与圆相交,有两个公共点.由x 2-3x+2=0,得x 1=2,x 2=1.把x 1=2代入方程①,得y 1=0;把x 2=1代入方程①,得y 2=3.所以直线l 与圆相交有两个公共点,它们的坐标分别是(2,0)和(1,3).点评:比较两种解法,我们可以看出,几何法判断要比代数法判断快得多,但是若要求交点,仍需联立方程组求解.例2 已知圆的方程是x 2+y 2=2,直线y=x+b,当b 为何值时,圆与直线有两个公共点,只有一个公共点没有公共点.活动:学生思考或交流,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价.我们知道,判断直线l 与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解,或依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.反过来,当已知圆与直线的位置关系时,也可求字母的取值范围,所求曲线公共点问题可转化为b 为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+bx y y x ,222有两组不同实数根、有两组相同实根、无实根的问题.圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点的问题,可转化为b 为何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题.解法一:若直线l ：y=x+b 和圆x 2+y 2=2有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点,则方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+bx y y x ,222有两个不同解、有两个相同解、没有实数解,消去y,得2x 2+2bx+b 2-2=0,所以Δ=(2b)2-4×2(b 2-2)=16-4b 2.所以,当Δ=16-4b 2＞0,即-2＜b ＜2时,圆与直线有两个公共点；当Δ=16-4b 2=0,即b=±2时,圆与直线只有一个公共点；当Δ=16-4b 2＜0,即b ＞2或b ＜-2时,圆与直线没有公共点.解法二：圆x 2+y 2=2的圆心C 的坐标为(0,0),半径长为2,圆心C 到直线l:y=x+b 的距离d=2||11|0101|22b b =+-⨯+⨯-.当d ＞r 时,即2||b ＞2,即|b|＞2,即b ＞2或b ＜-2时,圆与直线没有公共点;当d=r 时,即2||b =2,即|b|=2,即b=±2时,圆与直线只有一个公共点；当d ＜r 时,即2||b ＜2,即|b|＜2,即-2＜b ＜2时,圆与直线有两个公共点.点评：由于圆的特殊性,判断圆与直线的位置关系,多采用圆心到直线的距离与半径的大小进行比较的方法,而以后我们将要学习的圆锥曲线与直线位置关系的判断,则需要利用方程组解的个数来判断. 变式训练已知直线l 过点P(4,0),且与圆O ：x 2+y 2=8相交,求直线l 的倾斜角α的取值范围. 解法一：设直线l 的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,因为直线l 与圆O 相交,所以圆心O 到直线l 的距离小于半径, 即1|4|2+-k k ＜22,化简得k 2＜1,所以-1＜k ＜1,即-1＜tanα＜1.当0≤tanα＜1时,0≤α＜4π；当-1＜tanα＜0时,43π＜α＜π.所以α的取值范围是［0,4π)∪(43π,π).解法二：设直线l 的方程为y=k(x-4),由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,8),4(22y x x k y ,消去y 得(k 2+1)x 2-8k 2x+16k 2-8=0. 因为直线l 与圆O 相交,所以Δ=(-8k 2)2-4(k 2+1)(16k 2-8)＞0,化简得k 2＜1.(以下同解法一) 点评:涉及直线与圆的位置关系的问题,常可运用以上两种方法.本题若改为选择题或填空题,也可利用图形直接得到答案.思路2例1 已知圆的方程是x 2+y 2=r 2,求经过圆上一点M(x 0,y 0)的切线方程.活动:学生思考讨论,教师提示学生解题的思路,引导学生回顾直线方程的求法,既考虑通法又考虑图形的几何性质.此切线过点(x 0,y 0),要确定其方程,只需求出其斜率k,可利用待定系数法(或直接求解).直线与圆相切的几何特征是圆心到切线的距离等于圆的半径,切线与法线垂直. 解法一:当点M 不在坐标轴上时,设切线的斜率为k,半径OM 的斜率为k 1, 因为圆的切线垂直于过切点的半径,所以k=-11k . 因为k 1=00x y 所以k=-00y x .所以经过点M 的切线方程是y-y 0=-00y x(x-x 0). 整理得x 0x+y 0y=x 02+y 02.又因为点M(x 0,y 0)在圆上,所以x 02+y 02=r 2.所以所求的切线方程是x 0x+y 0y=r 2.当点M 在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适用.解法二:设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当P 与M 不重合时,△OPM 为直角三角形,OP 为斜边,所以OP 2=OM 2+MP 2,即x 2+y 2=x 02+y 02+(x-x 0)2+(y-y 0)2.整理得x 0x+y 0y=r 2.可以验证,当P 与M 重合时同样适合上式,故所求的切线方程是x 0x+y 0y=r 2. 解法三:设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当点M 不在坐标轴上时,由OM ⊥MP 得k OM ·k MP =-1,即00x y ·xx yy --00=-1,整理得x 0x+y 0y=r 2.可以验证,当点M 在坐标轴上时,P 与M 重合,同样适合上式,故所求的切线方程是x 0x+y 0y=r 2.点评:如果已知圆上一点的坐标,我们可直接利用上述方程写出过这一点的切线方程. 变式训练求过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r 2上一点M(x 0,y 0)的圆的切线方程.解:设x 0≠a,y 0≠b,所求切线斜率为k,则由圆的切线垂直于过切点的半径,得k=by a x k CM---=-001,所以所求方程为y-y 0=by a x ---00(x-x 0),即(y-b)(y 0-b)+(x-a)(x 0-a)=(x 0-a)2+ (y 0-b)2.又点M(x 0,y 0)在圆上,则有(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2.代入上式,得(y-b)(y 0-b)+(x-a)(x 0-a)=r 2.当x 0=a,y 0=b 时仍然成立,所以过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r 2上一点M(x 0,y 0)的圆的切线方程为(y-b)(y 0-b)+(x-a)(x 0-a)=r 2.例2 从点P(4,5)向圆(x －2)2＋y 2=4引切线,求切线方程.活动:学生思考交流,提出解题的方法,回想直线方程的求法,先验证点与圆的位置关系,再利用几何性质解题.解:把点P(4,5)代入(x －2)2＋y 2=4,得(4－2)2＋52=29＞4,所以点P 在圆(x －2)2＋y 2=4外.设切线斜率为k,则切线方程为y －5=k(x －4),即kx －y ＋5－4k=0.又圆心坐标为(2,0),r=2.因为圆心到切线的距离等于半径,即1|4502|2+-+-k k k =2,k=2021. 所以切线方程为21x －20y ＋16=0.当直线的斜率不存在时还有一条切线是x=4.点评:过圆外已知点P(x,y)的圆的切线必有两条,一般可设切线斜率为k,写出点斜式方程,再利用圆心到切线的距离等于半径,写出有关k 的方程.求出k,因为有两条,所以应有两个不同的k 值,当求得的k 值只有一个时,说明有一条切线斜率不存在,即为垂直于x 轴的直线,所以补上一条切线x=x 1. 变式训练求过点M(3,1),且与圆(x-1)2+y 2=4相切的直线l 的方程. 解:设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0, 因为圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2, 所以22)1(|13|-++-k k k =2,解得k=-43. 所以切线方程为y-1=-43(x-3),即3x+4y-13=0. 当过点M 的直线的斜率不存在时,其方程为x=3,圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2,故直线x=3也符合题意.所以直线l 的方程是3x+4y-12=0或x=3.例3 (1)已知直线l ：y=x+b 与曲线C ：y=21x -有两个不同的公共点,求实数b 的取值范围；(2)若关于x 的不等式21x -＞x+b 解集为R ,求实数b 的取值范围.图1解:(1)如图1(数形结合),方程y=x+b 表示斜率为1,在y 轴上截距为b 的直线l ； 方程y=21x -表示单位圆在x 轴上及其上方的半圆, 当直线过B 点时,它与半圆交于两点,此时b=1,直线记为l 1； 当直线与半圆相切时,b=2,直线记为l 2.直线l 要与半圆有两个不同的公共点,必须满足l 在l 1与l 2之间(包括l 1但不包括l 2), 所以1≤b ＜2,即所求的b 的取值范围是［1,2).(2)不等式21x -＞x+b 恒成立,即半圆y=21x -在直线y=x+b 上方, 当直线l 过点(1,0)时,b=-1,所以所求的b 的取值范围是(-∞,-1). 点评:利用数形结合解题,有时非常方便直观. 知能训练本节练习2、3、4. 拓展提升圆x 2+y 2=8内有一点P 0(-1,2),AB 为过点P 0且倾斜角为α的弦. (1)当α=43π时,求AB 的长； (2)当AB 的长最短时,求直线AB 的方程. 解:(1)当α=43π时,直线AB 的斜率为k=tan 43π=-1,所以直线AB 的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+1.解法一：(用弦长公式)由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=,8,122y x x y 消去y,得2x 2-2x-7=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=1,x 1x 2=-27, 所以|AB|=2)1(1-+|x 1-x 2|=2·212214)(x x x x -+=2·)27(41-⨯-=30.解法二：(几何法)弦心距d=21,半径r=22,弦长|AB|=230218222=-=-dr . (2)当AB 的长最短时,OP 0⊥AB,因为k OP0=-2,k AB =21,直线AB 的方程为y-2=21(x+1), 即x-2y+5=0.课堂小结(1)判断直线与圆的位置关系的方法:几何法和代数法. (2)求切线方程. 作业习题4.2 A 组1、2、3.设计感想本节课是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的,是为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课.本节的主题是直线和圆,在解析几何中,直线与圆的关系是一个非常重要的知识点,可以对学生的思维有一个很好的锻炼,将几种重要的数学思想灌输给学生.首先,一开始的复习提问全面又突出重点,特别是“初中学习的如何判断直线和圆的位置关系？”这个问题,为学生思考提供了很好的引导.其次对于例题的选择有很高的要求,好的例题是一个好教案的重要保证.在例题的设计方面,本教案共分为三个层次来一步步的推进,让学生由浅入深,从思维容量上层层递进,对学生的思考和分析都有很好的引导作用,通过思路1的例题1、2对直线与圆的几种位置关系作了巩固,是每个学生都必须也能够掌握的.但这几题虽是基础题也并不是平淡无奇的题,它印证了判定的条件和结论在一定条件下是可以转化的.通过思路2的例题1、2,对圆的切线方程的求法进行了说明和总结.这个知识点与“直线与圆”联系起来,而且同时又渗透了数形结合的思想.让学生通过具体的练习,通过自主地思考、研究,来体会数学思想对我们解题和研究的作用.例题3的设计给学生留下了讨论的空间,不仅将与直线与圆有关的各知识点联系了起来,而且还通过各知识点之间的联系、综合应用,组织学生一起思考起来,对应用的加强更是体现了“分类活动,激发潜能”的基本要求.。

圆与方程4．2直线、圆的位置关系4．2.2圆与圆的位置关系4．2.3直线与圆的方程的应用[目标] 1.能根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系；2.能解决两圆相切、两圆相交的有关问题；3.能够利用直线与圆的关系解决简单的实际问题．[重点] 圆与圆位置关系的判断；两圆相切、相交的有关问题．[难点] 两圆相切、相交的有关问题．要点整合夯基础典例讲练破题型课堂达标练经典课时作业知识点一 圆与圆的位置关系[填一填]1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有5种：和 ．外切和内切统称为 ．外离、外切、相交、内切 内含 相切2．圆与圆位置关系的判定(1)几何法若圆C 1与圆C 2的半径分别为r 和R ，两圆圆心距为d ，则当d <|R －r |时，两圆 ；当d ＝|R －r |时，两圆 ；当|R －r |<d <R ＋r 时，两圆 ；当d ＝R ＋r 时，两圆 ；当d >R ＋r 时，两圆 ．内含 内切 相交 外切 外离(2)代数法设两圆方程分别为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0， x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，联立方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，方程组有两组不同的实数解⇔两圆 ，有 实数解⇔两圆相切，无实数解⇔两圆 ．相交 一组 外离或内含[答一答]1．如果两个圆没有公共点，那么它们一定外离；如果两个圆只有一个公共点，那么它们一定外切，这种说法是否正确？提示：这种说法不正确．如果两个圆没有公共点，那么它们外离或内含，这两种位置关系统称为相离；如果两个圆只有一个公共点，那么它们外切或内切，这两种位置关系统称为相切．2．两圆的公切线条数与两圆位置关系有何联系？能否根据公切线条数判断两圆位置关系？提示：两圆不同的位置关系对应着不同的公切线条数，因此可以由公切线的条数判断两圆的位置关系，即当两圆内含、内切、相交、外切、外离时，分别对应的公切线条数为0、1、2、3、4，反之亦成立．知识点二 用直线与圆的方程解决实际问题的步骤[填一填]1．从实际问题中 几何图形；2．建立平面直角坐标系，用 表示问题中的几何元素，将几何问题转化为代数问题；3．通过代数运算，解决 ；4．将结果“翻译”成 并作答．提炼 坐标和方程 代数问题 几何结论[答一答]3．用坐标法解决实际应用问题注意什么问题？提示：(1)建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系，要尽可能使所涉及的点在坐标轴上．(2)在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围．(3)最后一定要把数学结论还原为实际意义．知识点三 用坐标方法解决几何问题的“三步曲”[填一填]1．建立 的平面直角坐标系，用 表示问题中的几何元素，将几何问题转化为 问题；2．通过代数运算，解决 ；3．将 “翻译”成几何结论．适当 坐标和方程 代数 代数问题 代数运算结果[答一答]4．用坐标法解决几何问题体现了什么思想方法？提示：坐标法实际上是用代数的方法解决几何问题，体现了数形结合的数学思想方法．类型一圆和圆的位置关系问题[例1]已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2：(1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含．[解]对圆C1，C2的方程，配方可得圆C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，圆C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1.所以C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1，所以|C1C2|＝(a－2a)2＋(1－1)2＝a.(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切，当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．(2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交．(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆相离．(4)当|C1C2|<3，即a<3时，两圆内含．判断两圆的位置关系有几何法和代数法两种，几何法比代数法简便，因此解题时常用几何法，用几何法判断两圆位置关系的步骤如下：(1)将两圆的方程化为标准方程.(2)求出两圆的圆心距d和半径r1，r2.,(3)根据d与|r1－r2|、r1＋r2的大小关系作出判断.[变式训练1]圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切线的条数是()DA.1B.2C.3D.4解析：两圆的圆心距d＝(－2－2)2＋(2＋5)2＝65，半径r1＝1，r2＝4，所以d>r1＋r2，所以两圆相离，故有4条公切线，故选D.类型二两圆相交问题[例2]已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0相交于两点．(1)求两圆的公共弦所在直线的方程；(2)求两圆的公共弦长．[解] 解法1：圆C 1与圆C 2的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0，①x 2＋y 2－4x －4y －2＝0，②相减得x ＋2y －1＝0，即x ＝1－2y .③把③代入①并整理得y 2－1＝0.解得y ＝1或y ＝－1，代入③得x ＝－1或x ＝3.因此圆C 1与圆C 2相交于A (－1,1)，B (3，－1)两点．(1)两圆的公共弦所在的直线即为直线AB ，方程为y －1－1－1＝x －(－1)3－(－1)，即x ＋2y －1＝0. (2)两圆的公共弦长|AB |＝42＋22＝2 5.解法2：(1)设两圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0，x 2＋y 2－4x －4y －2＝0.两式相减得x ＋2y －1＝0.此方程即为过A ，B 两点的直线方程．所以两圆的公共弦所在直线的方程为x ＋2y －1＝0.(2)圆C1可化为(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，圆C1的圆心为(－1，－4)，半径长r1＝5.C1(－1，－4)到直线x＋2y－1＝0的距离d＝105＝2 5.则弦长|AB|＝2r21－d2＝2 5.(1)两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．[变式训练2](1)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0的公共弦长为23，则a的值为()A.1B.±1C.3D.±2解析：由题意知，圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0的公共弦所在的直线为2ay－2＝0，而圆心(0,0)到2ay－2＝0的距离为d＝|－2|(2a)2＝1|a|，所以22＝(3)2＋(1|a|)2，解得a＝±1.B(2)圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程为 ，公共弦长为 .解析：联立两圆的方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减并化简，得x －2y ＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程．x －2y ＋4＝0 25设两圆相交于A ，B 两点，则A ，B 两点满足方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2. 所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.类型三直线与圆方程的实际应用[例3]已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为2.5 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为多少？[解]以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆方程为x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入x2＋y2＝16(y≥0)得：y＝16－2.72＝8.71>2.5，即在离中心线2.7 m处，隧道高度高于货车的高度，所以货车能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝16－a2，所以货车要正常驶入该隧道，最大高度为16－a2m.利用直线与圆的方程解决实际问题的一般步骤是：(1)认真审题，明确题意；(2)建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)把代数结果还原为实际问题的结果.[变式训练3]一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，以正东方向为x轴正向建立平面直角坐标系(如下图)，其中取10 km为单位长度．则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9.港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)．则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离为d＝|－28|42＋72＝2865，半径r＝3.因为d>r，所以直线与圆相离．所以轮船不会受到台风的影响．类型四坐标法的应用[例4]如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且AB⊥CD，E为垂足．利用坐标法证明E是CD的中点．[证明] 如图所示，以O 为原点，以直径AB 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设⊙O 的半径为r ，|OE |＝m ，则⊙O 的方程为x 2＋y 2＝r 2，设C (m ，b 1)，D (m ，b 2)．则有m 2＋b 21＝r 2，m 2＋b 22＝r 2，即b 1，b 2是关于b 的方程m 2＋b 2＝r 2的根，解方程得b ＝±r 2－m 2，不妨设b 1＝－r 2－m 2，b 2＝r 2－m 2，则CD 的中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ，r 2－m 2－r 2－m 22， 即(m,0)．故E (m,0)是CD 的中点，即E 是CD 的中点．坐标法解决几何问题，一般建系时要坚持如下原则：(1)若有两条互相垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴；(2)充分利用图形的对称性；(3)让尽可能多的点落到坐标轴上，或关于坐标轴对称；(4)关键点的坐标易于求得.[变式训练4]直角△ABC的斜边为定长m，以斜边的中点O为圆心，作半径为n2(n<m)的圆，分别交BC于P、Q两点，求证|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．证明：如下图，以O为原点，以直线PQ为x轴，建立直角坐标系．于是有B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－m 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 2，0，P －n 2，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n 2，0. 设A (x ，y )，由已知，点A 在圆x 2＋y 2＝m 24上，则AP 2＋AQ 2＋PQ 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋n 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －n 22＋y 2＋n 2＝2x 2＋2y 2＋32n 2＝m 22＋32n 2(定值)．1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋4y＝0的位置关系是()DA.相离B.外切C.内切D.相交解析：圆O1的圆心为(1,0)，半径r1＝1，圆O2的圆心为(0，－2)，半径r2＝2，|O1O2|＝5，r1＋r2＝3，r2－r1＝1，所以两圆相交．2．已知圆A，圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为()AA.6 cm或14 cmB.10 cmC.14 cmD.无解解析：圆A与圆B相切包括内切与外切，∴10＝4＋r或10＝r－4，即r＝6或14.3．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()CA.21B.19C.9D.－11解析：圆C1的圆心是(0,0)，半径长r1＝1.圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心C2(3,4)，半径长r2＝25－m.由两圆外切，得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋25－m＝5，所以m＝9.4.如右图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的直径为13米． 解析：设圆心为O ，半径为r ，则由勾股定理得，OB 2＝OD 2＋BD 2，即r 2＝(r －4)2＋62，解得r ＝132，所以拱桥的直径为13米．5．已知圆M ：x 2＋y 2＝10和圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －14＝0.求过两圆交点且面积最小的圆的方程．解：设两圆交点为A ，B ，则以AB 为直径的圆就是所求的圆．直线AB 的方程为x ＋y －2＝0.两圆圆心连线的方程为x －y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －y ＝0，得圆心坐标为(1,1)．圆心M(0,0)到直线AB的距离为d＝2，弦AB的长为|AB|＝2(10)2－(2)2＝42，所以所求圆的半径为2 2.所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8.其中几何法较简便易行、便于操作．2．直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识的用坐标法解决几何问题．用坐标法解决平面几何问题的思维过程：温示提馨请做：课时作业28PPT 文稿（点击进入）。

421直线与圆的位置关系、教学目标1、知识与技能(1)理解直线与圆的位置的种类；(2)禾U用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；(3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.2、过程与方法设直线I : ax by ^0，圆C : x2 y2 Dx Ey ^0，圆的半径为r，圆心(-D,--)到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：2 2(1)当d r时，直线I与圆C相离；(2)当d =r时，直线I与圆C相切；(3)当d :：: r时，直线I与圆C相交；3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.二、教学重点、难点：重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.难点：用坐标法判直线与圆的位置关系.三、教学设想422圆与圆的位置关系一、教学目标1、知识与技能(1)理解圆与圆的位置的种类；(2)利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；(3)会用连心线长判断两圆的位置关系.2、过程与方法设两圆的连心线长为I，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:(1)当I F七时，圆0与圆C2相离；(2)当I汀「2时，圆5与圆C2外切；(3)当|r i 一辽|：：： I ：：： r i ■辽时，圆C i与圆C2相交；(4)当I =|r i十|时，圆C i与圆C2内切;(5)当l ：打1 一「2丨时，圆C与圆C2内含;3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.二、教学重点、难点：重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系.三、教学设想4・2・2直线与圆的方程的应用（两个课时）一、教学目标1、知识与技能（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题.2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力.二、教学重点、难点：重点与难点：直线与圆的方程的应用.三、教学设想教学设计案例。

第四章4．2直线、圆的位置关系4．2．2圆与圆的位置关系4．2．3直线与圆的方程的应用课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．已知0＜r＜2＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是()A．外切B．相交C．外离D．内含解析：选B设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．圆x2＋y2＝r2的圆心O(0,0)，圆心距|OO′|＝12＋(－1)2＝2.显然有|r－2|＜2＜2＋r.所以两圆相交．2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有() A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选B因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以内公切线的条数为2条．3．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m等于()A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m，解得m＝9.4．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过( )A ．1.4米B ．3.0米C ．3.6米D ．4.5米解析：选C 可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得OD ＝OC 2－CD 2＝3.6(米)，故选C.5．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0解析：选B 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线，而以PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x＋3y －1＝0，故选B.6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则实数a ＝ .解析：由已知，两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y ＝1a ，利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 1＝22－(3)2＝1，解得a ＝1.答案：17．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为 ．解析：AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2，又C 1(3,0)，C 2(0,3)，C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，即线段AB 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝08．点P 在圆O ：x 2＋y 2＝1上运动，点Q 在圆C ：(x －3)2＋y 2＝1上运动，则|PQ |的最小值为 ．解析：如图所示．设连心线OC 与圆O 交于点P ′，与圆C 交于点Q ′，圆O 的半径为r 1，圆C 的半径为r 2，当点P 在P ′处，点Q 在Q ′处时|PQ |最小，最小值为|P ′Q ′|＝|OC |－r 1－r 2＝1.答案：19．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，求以圆C 1与圆C 2的公共弦为直径的圆的方程．解：由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0. ∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1， 圆心C 1(－2,0)，C 2(－1，－1)， ∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2，即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)． 又圆心C 1(－2,0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离d ＝|－2－0|2＝2， ∴所求圆的半径r ＝(3)2－(2)2＝1， ∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.10．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．此时DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 利用圆的几何性质，将题目转化为求两圆相交的公共弦所在直线的方程．设点P (3,1)，圆心C (1,0)，又切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形P ACB 的外接圆圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，半径长为12(3－1)2＋(1－0)2＝52，∴此圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54 ①.又圆C ：(x －1)2＋y 2＝1 ②，①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．2．若圆x 2＋y 2＝r 2与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0有公共点，则r 满足的条件是( )A ．r ＜5＋1B ．r ＞5＋1C ．|r －5|＜1D ．|r －5|≤1解析：选D 由x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，圆心距(－1)2＋22＝ 5.∵两圆有公共点，∴|r －1|≤5≤r ＋1，∴5－1≤r ≤5＋1，即－1≤r －5≤1，∴|r －5|≤1.3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5解析：选D 由圆(x ＋2)2＋y 2＝5，可知其圆心为(－2,0)，半径为 5.设点(－2,0)关于直线x －y ＋1＝0对称的点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －0x ＋2＝－1，x －22－y ＋02＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴所求圆的圆心为(－1，－1)．又所求圆的半径为5，∴圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5.4．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )A ．5B ．1C ．35－5D ．35＋5解析：选C 圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4,2)，半径长r 1＝3；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C 2(－2，－1)，半径长r 2＝2，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.5．若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长为 ．解析：连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5， ∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4. 答案：46．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是 ．解析：设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.答案：x 2＋y 2－3x ＋y －1＝07．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险地区，城市B 在A 地正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为 ．解析：如图所示，以A 为原点，正东和正北方向为x 轴、y 轴正方向，则B (40,0)．台风中心在直线y ＝x 上移动．则问题转化成以点B 为圆心，30 km 为半径的圆与直线y ＝x 相交的弦长就是B 处在危险区内台风中心走过的距离．则圆B 的方程为(x －40)2＋y 2＝302，直线y ＝x 被圆B 截得弦长为CD ＝2·302－⎝ ⎛⎭⎪⎫4022＝20(km)．故B 城市处于危险区的时间为t ＝2020＝1(h)． 答案：1 h8．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解：(1)设圆O 1、圆O 2的半径分别为r 1，r 2， ∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴r 2＝|O 1O 2|－r 1＝(0－2)2＋(－1－1)2－2 ＝2(2－1)，∴圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2.(2)由题意，设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 23，圆O 1，O 2的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程，为4x ＋4y ＋r 23－8＝0.∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|0－4＋r 23－8|42＋42＝4－⎝⎛⎭⎪⎫2222＝2，解得r 23＝4或20.∴圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。