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的夹角为
与
β = (b1 , b2 ,L , bn )′
θ = arccos
[α , β ]
α β
故
α β 由于 [ ， ] ≤ α β
−1≤
[α, β]
α β
≤1
从 夹 θ总 有 义 ， 范 是 ∈[0 π] 而 角 是 意 的 其 围 θ ， 。
四、两个向量的距离
规定n维向量 规定 维向量
α = (a1 , a 2 , L, a n )′
(3)[λα , β ] = [α , λβ ] = λ[α , β ]
注意：结合律的使用要小心。 1 1 1 0 1 例如： 例如： β = 1 A = 1 2 3 α = 0 0 0 1 0 0 则
(α β ) A ≠ α ( β A)
1 α 1′ 2 α1 = M 1 α ′ α 2 n n
−1
交组，且不含零向量，则A可逆，且
A −1
证明：
计算可得 A A = E
三、标准正交组
如果一个正交向量组全部由单位向量组成，就 称其为标准正交向量组，简称标准正交组
可以验证， 1 , α 2 , α 3 是标准正交组。 α
解
−72 −72 = (−1,13, −1,3)′ − (3, −5,1, −1)′= (5,3,1,1)′ 36 ˆ β 3 = α 3 − α 3( β1 ) − α 3 ( β ) = α 3 − [α 3 , β1 ] β1 − [α 3 , β 2 ] β 2 ˆ 2 [ β1 , β1 ] [β2 , β2 ] 36 36 = (7, −3,5,5)′ − (3, −5,1, −1)′ − (5,3,1,1)′ 36 36
β
=
定义
β cosθ α α
2
[ β ,α ] α = α [α ,α ]
α0
θ
β −γ
γ
α
[β,α] Pαβ = α rj [α,α] ˆ 并 记 简 Pαβ = β(α) rj
规 n 向 β到（ ≠ 0 的 影 向 ） 定维 量 α α ） 投 （ 量 为
例 设 α = 2 −11 −3 ′ （，， ），β = 432 −1 ′ 求ˆ α）。 ， （， ，）， β ， （
1
2
−L −
[ β r −1 , β r −1 ]
[α r , βr −1 ]
βr −1
再标准化
e1 =
e2 =
β1
1
β1
β2
β2
L
er = 1
βr
βr
例
把向量组S正交化
α1 = (3, −5,1 −1 ′ α2 = (−1 , −1 ′ α3 = (7, −3,5,5)′ , ) ,13 ,3)
命题1 命题
设 和 是 维 量 α ≠ ） β α） β到 的 影 α β ｎ 向 （ ０ ，ˆ 是 α 投 ， （ 则 －ˆ 与 正 。 α 交 β β
α （）
证明
ˆ , α ] = ( β ′ − [ β , α ] α ′)α [ β − β (α )
[α , α ] [ β ,α ] = β ′α − α ′α [α ,α ]
α i′α j = 0
A′A = (α i′α j ) s×s
i≠ j
i, j = 1, 2,L s
2
α 1 A′A = αi 2 i = j α i′α j = i≠ j 0 注：此命题的逆命题也成立。
O
2 αs
命题3 如果方阵
A = (α1 , α 2 , L , α n ) 的列向量构成正
=0,i ≠ j i, j =1 ,L s. 0,i ,2 ,
α 2 = ( 8,10, −5, −6 )′
是正交向两组
α1 = ( 5, 6,8,10 )′
α 3 = (10, −8, 6, −5 )′
命题2 如果矩阵A的列向量构成正交组，则 A′A是对角矩阵
证明
设 A = An×s = (α1 α 2 L α s ) 满足
= [α i ,α ] − [α ,α i ] = 0
定理1
设 １ α ，， m是 性 关 向 组 则 量 α， ２L α 线 无 的 量 ， 向 组
β＝ １ １ α,
ˆ β2 =α2 −α2(β ) , L ,
1
ˆ βm =αm −αm(β ) −αm(β ) −L− ˆm(β ˆ α
1
2
m− ) 1
β [α， ] = ab1 +a2b2 +Lanbn = ∑abi 1 i
i= 1
n
对应分量 乘积的和
α = 5, − 3, 1, −1)′ ,β = 1, 2, − 2, −4)′ ， [α β] （ （ 求 ，
（ [α，β ] = 5 ×1 + -3 × 2) + 1× (−2) + (−1) × (−4) = 1
第四章 向量的内积与二次型
4.1 4.2 4.3 4.4 向量的内积 正交向量组与正交矩阵 实对称矩阵 二次型
第一节 向量的内积
4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 向量的内积 向量的模 两个向量的夹角 两个向量的距离
一、向量的内积
设n维向量α = a1 , a2 , L an )′ ,β = b1 , b2 , L bn )′ ， （ （ 规定α 与β的内积为
向量内积 与矩阵乘 法的联系
b1 b2 （ [α，β ] = α ′β = a1 , a2 , L an ) M b n
运算规律
(1)[α , β ] = [ β , α ] (2)[α , β1 + β 2 ] = [α , β 1 ] + [α , β 2 ]
= [ β ,α ] − [ β ,α ] = 0
α，， n 的 零 交 量 ， 命题2 设 １L αm是 维 非 正 向 组 α是
与 i正 ， =1L m α 交 i , , .
证明
1
任 n 向 ， 向 α −α(α ) −L α(α 意维 量 则 量 ˆ −ˆ
m)
ˆ ˆ [α i , α − α (α1 ) − L − α (α m ) ]
解
[ β，α ] α （α） = [α，α ] 2 × 4 + − 1） 3 + 1× 2 + − 3） − 1） （ × （ × （ = （2， 11， 3） − ，− ′ 2 2 2 2 2 + − 1） + 1 + − 3） （ （ ˆ β
4 2 2 10 = （2， 11， 3）= ( , − , , −2)′ − ，− ′ 15 3 3 3
⇔ α + β
2
2
+ 2 [α , β ] = α + β
2
2
⇔ [α , β ] = 0
注：此命题是勾股定理的推广
二、正交向量组
如果n维向量组 如果 维向量组α1 , α 2 , L , α s 中的向量两两正交 就称该向量组为正交向量组，简称正交组。 就称该向量组为正交向量组，简称正交组。 正交组 ⇔ i′αj α 例 如
是标准正交组，称为基本向量组
α = ( a1 , a2 ,L an )′
α = a1ε 1 + a 2 ε 2 + L + a n ε n
命题4 如果矩阵A的列向量构成标准正交组，则 A′A = E 说明：实际上，这是命题 的推论 的推论。 说明：实际上，这是命题2的推论。
向量γ 是向量β 到α的投影 α γ = kα 0 = β cosθ α
第二节 正交向量组与正交矩阵
4.2.1 正交向量组 4.2.2 正交矩阵
一、 正交向量
垂直的概念 的推广
若 [α , β ] = 0, 则称α 与β 正交
α = (a1 , a2 ,L an )′
β = (b1 , b2 ,L bn )′
α 与β 正交 ⇔ a1b1 + a2b2 + L + anbn = 0
是正交向量组，且向量组
β1,L βl ,
与
α1,Lαl等 ， ≤l ≤ m , 价 １ .
如果令：
ηi =
1
βi
βi (i = 1, 2,L , m)
等价的标准正交向量组。 则 η 1 ,η 2 ,L ,η m 是与 α 1 ,α 2 ,L,α m等价的标准正交向量组。 从线性无关组 α 1 ,α 2 ,L,α m 导出正交向量组
1 2 2 ′ α1 = , , 3 3 3 2 1 2 ′ α2 = , , − 3 3 3 2 2 1 ′ α3 = , − , 3 3 3
在 Rn 中
ε1 = 1，， , 0） （ 0L ′ ε2 = （0,1, , ） L0′
L
′ εn = （0,0, ,1） L
[α2, β1] β β2 =α2 − 1
[β , β ] 1 1
[α3, β1] β −[α3, β2 ] β β3 =α3 − 1 2
[β , β ] 1 1 [β2, β2]
βr = α r
[α r , β1 ] β − [α r , β2 ] β −
[ β1 , β1 ]
1
[β2 , β2 ]
的距离为
与
β = (b1 , b2 ,L , bn )′
α − β = (a1 − b1 ) 2 + (a 2 − b2 ) 2 + L + (a n − bn ) 2
例
设 α = (2 1 − 3) 求 [α , β ]
