巧用构造法解题

高中数学构造法求解题技巧高中数学构造法是一种解题思路和技巧，它通过构造适当的数学结构，使得问题的求解变得更加简单明了。

构造方法在高中数学中应用广泛，可以用于解决各类题型，包括代数题、几何题、概率题等等。

一、构造法的基本思想构造法是一种通过建立合适的数学结构，简化问题的解决方法和步骤的思想。

通过构造一些符合题意的数学对象，我们可以发现一些规律，从而提供问题的解答方式。

二、构造法的常见技巧1.构造等差数列或等比数列在解决一些代数问题时，我们可以尝试构造一个等差数列或者等比数列。

通过构造这样的数列，我们可以找到其中的规律，从而解决问题。

2.构造图形在解决几何问题时，我们可以尝试构造一个与原图形相似或者关联的图形。

通过构造这样的图形，我们可以将复杂的几何问题简化为一些基本的几何性质，从而解决问题。

3.构造排列组合在解决一些概率问题和组合问题时，我们可以尝试构造排列组合。

通过构造排列组合，我们可以得到一些计算公式或者规律，从而解决问题。

4.构造方程组在解决一些代数问题时，我们可以尝试构造一个方程组。

通过构造这样的方程组，我们可以得到一些方程之间的关系，从而解决问题。

5.构造递推公式在解决一些数列问题时，我们可以尝试构造一个递推公式。

通过构造递推公式，我们可以找到数列中的规律，从而解决问题。

三、构造法的实例分析1.构造等差数列例题：有一些连续的整数，它们的和是45，这些整数中最小的是多少？解析：我们可以假设这些连续的整数的首项是x，公差是1，那么这些整数的和可以表示为：x+(x+1)+(x+2)+...+(x+n)=45。

通过求和公式，我们可以得到(x+45)/(n+1)=45，进一步化简得到x=15-n。

我们可以发现，当n=30时，x=15-n=0，此时连续整数中的最小值为0。

2.构造图形例题：在平面直角坐标系中，有一条线l过点(0, 0)和(1, 2)，线l与x轴、y轴以及x=y共同围成一个三角形，求这个三角形的面积。

试论高中数学解题中运用构造法的措施在高中数学学习中，构造法是一种重要的解题方法之一，它在许多领域中发挥了巨大的作用。

可以说，掌握好构造法，对于学生在数学解题中有很大的帮助。

下面就来探讨一下高中数学解题中使用构造法的措施。

一、采取递推法在数学考试中，我们经常会遇到这样的问题：要求某个数列的第n项，而这个数列的前若干项并已经给出。

这时，我们可以采用构造法中的递推思想，对每一项进行递推求解。

比如某个数列的第n项可以表示为前两项之和，我们就可以从第一项开始一步步往后递推，得出第n项的值。

二、利用图形构造在几何问题中，构造法是非常常见的方法，特别是一些需要证明的几何定理。

通过巧妙的构造，我们可以将问题转化为更易于理解和证明的形式，如构造中垂线、平行线、垂线平分线段等。

结合图形构造和勾股定理、相似三角形等几何定理可以较容易地得到结论。

三、运用等价转化法等价转化法是构造法中比较常用的一种方法，它利用等式关系转化问题的形式，使其更易于处理。

在解方程、不等式等问题时，我们可以通过对原式进行恰当的等式变形，将其转换为更加简单的形式，从而得到问题的解。

这种方法可以大大降低解题的难度，提高解题效率。

四、利用枚举法在一些组合问题中，我们需要找出所有的方案，此时可以采取构造法中的枚举思想，列举所有的可能性，并分别进行计算，最终得到问题的解。

通过枚举法，我们可以不漏解，不误判，有效地切实地解决问题。

五、注意相似、对称性质在一些特殊的问题中，常常会涉及到相似、对称等性质，此时我们可以运用这些性质，利用构造法来解决问题。

在三角形的内心、垂心等特殊点的构造中，对称性质和相似性质是非常重要的，运用好这些性质可以简化问题，使解题更加容易。

在高中数学解题过程中，构造法是一种非常重要的解题方法，能够帮助我们快速解决问题，提高课堂成绩和考试成绩。

通过采用递推法、利用图形构造、运用等价转化法、利用枚举法和注意相似、对称性质等措施，我们可以更好地应用构造法解决问题，提升数学解题的能力和水平。

巧用构造法解不等式问题河南省渑池高级中学 丁二虎数学中有许多相似性，如数式相似，图形相似，命题结论的相似等，利用这些相似性，通过构造辅助模型，促进转化，以期不等式得到证明。

可以构造函数、方程、数列、向量、复数和图形等数学模型，针对欲证不等式的结构特点，选择恰当的模型，将不等式问题转化为上述数学模型问题，顺利解决不等式的有关问题。

一、根据不等式特征，构造恰当的初等函数，再根据函数单调性、奇偶性等特征来证明不等式。

例 1 证明：对于任意的,,(0,1),x y z ∈不等式(1)(1)(1)1x y y z z x ⋅-+⋅-+⋅-<成立。

证明 设()(1)(1),f x y z x y z z =--⋅+⋅-+显然该函数是以x 为主元的一次函数。

当(0,1)x ∈时，()f x 是单调函数，且(0)(1)(1)11,f y y z z y z =-⋅+=-⋅-+< (1)1 1.f y z =-⋅<所以，当(0,1)x ∈时，()f x 的最大值小于1，即(1)(1)(1)1x y y z z x ⋅-+⋅-+⋅-<例2 如果(1x y =，那么0x y +=证明 构造函数()lg().f x x x R =+∈可以证明函数()f x 在R 上是奇函数且 单调递增。

2(1,x x y +=()()lg(lg(f x f y x y ∴+=+lg (x y ⎡⎤=⎣⎦=lg1=0 ()(),()(),f x f y f x f y x y ∴=-=-=-即所以即0x y +=通过构造函数，利用函数单调性和奇偶性，把一些看似与函数无缘的问题转化为函数问题来解决，思路灵活新颖，简洁巧妙，可出奇制胜。

二、有些不等式分析可知它与数列有关，可构造出相应的数列，再利用数列的单调性来研究。

例 3 证明不等式2(1)(1)(22n n n n n ++<+<对所有正 整数n 成立。

应用“构造法”巧解数学问题例析河北省隆化县职业中学 曹瑞民（068150）构造法是初中数学的一种重要的数学方法，利用构造法可以巧妙的解决数学中的很多难题。

一、构造矛盾，巧证几何题例1、 求证：两条角平分线相等的三角形是等腰三角形。

证明：如图1，已知∆ABC ，BD 、CE 分别是ACB ABC ∠∠,的平分线。

BD=CE ，要证AB=AC 。

假设AB ,AC ≠不妨设AB>AC,则有ACB ∠>ABC ∠ A因而ACE ∠>ABD ∠构造ECF ∠=ABD ∠. F设CF 分别交AB 、BD 于G ，则CEF BFG ∆≈∆。

E G D 即BF ：CF=BG ：CE但BF>CF ∴BG>CE B C BD>BG ∴ BD>CE (图1)这显然与已知BD=CE 相矛盾，故AB ≠AC 的假设不成立，而必有AB=AC 。

二、构造对偶式，巧求非对称式的值例2、设x 21x 是方程x 2＋5x ＋2=0的两根，不解方程；求21x x 的值。

分析：21x x 是非对称式，构造其对偶式12x x （即将21x x 中的2,1x x 互换位置）以后，组合成对称式再进行运算。

22124)5(2)(11,221212212122211221=--=-+=+=+∴==x x x x x x x x x x y y y x x y x x 则解：设即2y 2－21y ＋2=0,解之得 4175212,1±=y 三、构造方程，巧解几何最值问题例2、 如图2，平行四边形MNPQ 的一边在ABC ∆的边BC 上， A 另两个顶点分别在AB ，AC 上。

M H N 求证：平行四边形MNPQ 的面积的最大值为ABC ∆面积的一半。

分析：题设中出现两个相关图形——平行四边形，三角形；结论是证明面积最值问题，面积问题自然联想到作高AG ， 与两个图形面积有关的元素有四个：MN 、HG 、BC 、AG 。

学会使用构造法，巧解初中几何题
辅助线在几何的解题中应用非常广泛，在解题时，正确的添加辅助线，可以挖掘题目中隐藏的条件，让我们在解题的过程中，有一种“柳暗花明”的感觉，不知同学们是否有过这种体会？
今天我分享一种辅助线的作法——构造法，那么什么是构造法呢？我想就是根据题目中的已知条件，构造成我们熟悉的图形，如含30º角的直角三角形、等腰三角形、等边三角形等。

再利用这些特殊图形的相关结论、性质对问题进行求解。

下面结合例题进行详细讲解
例1.构造等腰三角形
如图，AB//CD，∠1=∠2，E是BC的中点。

求证：AD=AB+CD。

证明:延长DE与AB的延长线交于点F
∵AB//CD，∠1=∠2
∴∠2=∠F=∠1，∠EBF=∠DCE
又∵E是BC的中点
∴CE=BE
∴△DCE≌△FBE(AAS)
∴D C=BF
∵∠1=∠2
∴AD=AF=AB＋BF
∴AD=AB＋CD
[思路小结]
根据题意，要求不在同一条直线上的线段和相等，我们必须将线段转化到同一条直线上，再证明相等就容易多了。

本题就是利用构造法，通过作辅助线构造一个等腰三角形，利用等腰三角形两个底角相等，那么底角所对应的边也相等的性质，将三个线段转化到一条线段，再求解。

例2.构造30º的直角三角形
[思路小结]
通过作辅助线延长CD至E，使DE=DC，连接BE；构造直角三角形，证明△BDE≌△ADC，BE=AC，∠E=∠ACD=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BE=2BC，最后得AC=2BC.
例3.构造等边三角形。

在线分享文档解码专训一：巧用构造法求几种特殊角的三角函数值名师点金：对于30°、45°、60°角的三角函数值，我们都可通过定义利用特殊直角三角形三边的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像15°、22.5°、67.5°等一些特殊角的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用数形结合思想进行巧算．巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值 1．求sin 15°，cos 15°，tan 15°的值．巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值2．求tan 22.5°的值．巧用折叠法求67.5°角的三角函数值3．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，求出67.5°角的正切值．(第3题)巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°、72°角的三角函数值4．求sin 18°，cos 72°的值．巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值5．求sin 75°，cos 75°，tan 75°的值．用科技让复杂让每个人平等地提升自己 解码专训二：巧用三角函数解学科内综合问题名师点金：锐角三角函数体现着一种新的数量关系——边角关系，锐角三角函数解直角三角形，既是相似三角形及函数的延续，又是继续学习三角形的基础，利用三角函数可解决与学科内的一次函数、反比例函数、相似三角形，一元二次方程等综合问题，也会应用到后面学习的圆的内容中，它的应用很广泛．)利用三角函数解与函数的综合问题1．如图，直线y ＝kx －1与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，tan ∠OCB ＝12.(1)求点B 的坐标和k 的值；(2)若点A(x ，y)是第一象限内的直线y ＝kx －1上的一个动点，在点A 的运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x 的函数关系式．(第1题)2．如图，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过线段OA 的端点A ，O 为原点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，点B 的坐标为(2，0)，tan ∠AOB ＝32.(1)求k 的值；(2)将线段AB 沿x 轴正方向平移到线段DC 的位置，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象恰好经过DC 的中点E ，求直线AE 对应的函数关系式；(3)若直线AE 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，请你探索线段AN 与线段ME 的数量关系，写出你的结论，并说明理由．(第2题)利用三角函数解与方程的综合问题3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．利用三角函数解与相似的综合4．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一点，连接FE并延长交BC的延长线于点G，连接BF，BE，且BE⊥FG. 地提升自己(1)求证：BF＝BG；(2)若tan∠BFG＝3，S△CGE＝63，求AD的长．(第4题)解码专训三：应用三角函数解实际问题的四种常见问题名师点金：在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键．定位问题1．(2014·贺州)如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．(1)求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离；(结果精确到0.1海里)(2)求海轮在B处时与灯塔C的距离(结果保留整数)．(参考数据：sin 55°≈0.819，cos 55°≈0.574，tan 55°≈1.428，tan 42°≈0.900，tan 35°≈0.700，tan 48°≈1.111)(第1题)坡坝问题2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE ＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F 处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度.(结果精确到1米，参考在线分享文档 数据：2≈1.414，3≈1.732) (第2题)测距问题3．一条东西走向的高速公路上有两个加油站A ，B ，在A 的北偏东45°方向上还有一个加油站C ，C 到高速公路的最短距离是30千米，B ，C 间的距离是60千米，想要经过C 修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P 到B ，C 的距离相等，请求出交叉口P 到加油站A 的距离．(结果保留根号)测高问题4．(2015·盐城)如图所示，一幢楼房AB 背后有一台阶CD ，台阶每层高0.2米，且AC ＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE ＝10米．现有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳．(3取1.73)(1)求楼房的高度约为多少米？(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫能否还可以晒到太阳？请说明理由．(第4题)解码专训四：利用三角函数解判断说理问题名师点金：利用三角函数解答实际中的“判断说理”问题：其关键是将实际问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型，运用解直角三角形的知识来解决实际问题．航行路线问题1．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．(第1题)工程规划问题2．A，B两市相距150千米，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心、45千米为半径的圆，tanα＝1.627，tanβ＝1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接A，B两市的高速公路．问连接A，B两市的高速公路会穿过风景区吗？请说明理由．(第2题)航行拦截问题3．(2015·荆门)如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离(结果不取近似值)．(第3题)台风影响问题用科技让复杂地提升自己4．如图所示，在某海滨城市O 附近海面有一股强台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200 km 的海面P 处，并以20 km /h 的速度向北偏西65°的PQ 方向移动，台风侵袭的范围是一个圆形区域，当前半径为60 km ，且圆的半径以10 km /h 的速度不断扩大． (1)当台风中心移动4 h 时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到________km ；当台风中心移动t(h )时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到____________km ；(2)当台风中心移动到与城市O 距离最近时，这股台风是否会侵袭这座海滨城市？请说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)(第4题)解码专训五：解直角三角形中常见的热门考点名师点金：本章主要学习直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，锐角三角函数值，解直角三角形，以及解直角三角形的实际应用，重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容．直角三角形的性质1．(2014·宁波)如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3，点H 是AF 的中点，那么CH 的长是( )A ．2.5B .5C .322D ．2(第1题)让每个人平等 (第2题)2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB于点E ，且CD ＝2，DE ＝1，则BC 的长为________．锐角三角函数的定义3．如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB 的值是________．(第3题)(第4题)4．如图，在矩形ABCD 中，E 为边CD 上一点，沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 点处，若AB ＝3，BC ＝5，则tan ∠EFC 的值为________．5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝15，AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线于D 点，垂足为E ，求sin ∠CAD 的值．(第5题)特殊角的三角函数值及其计算在线分享文档让每个人平等地提升自己6．在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，那么sin A 等于( )A .12B .22C .32D ．17．若等腰三角形底边与底边上的高的比是23，则顶角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°8．计算：(cos 60°)－1÷(－1)2 016＋|2－8|－22＋1×(tan 30°－1)0.解直角三角形(第9题)9．如图是教学用的直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为( )A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm (第10题)10．(2014·大庆)如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，F 是DA 延长线上一点，G 是CF 上一点，且∠ACG ＝∠AGC ，∠GAF ＝∠F ＝20°，则AB ＝________． 11．(2014·临沂)如图，在▱ABCD 中，BC ＝10，sin B ＝910，AC ＝BC ，则▱ABCD 的面积是________．(第11题)解直角三角形的实际应用12．(2015·南京)如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO＝45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km/h和36 km/h，经过0.1 h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO＝58°，此时B处距离码头O 多远？(参考数据：sin58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)(第12题)三角函数与学科内的综合13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP＝a.(1)当点P在线段BC上时(点P与点B，C都不重合)，试用含a的代数式表示CE的长；(2)当a＝3时，连接DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；(3)当tan∠PAE＝12时，求a的值．(第13题)地提升自己用科技让复杂的世界变简单解直角三角形中思想方法的应用a ．转化思想14．如图所示，已知四边形ABCD ，∠ABC ＝120°，AD ⊥AB ，CD ⊥BC ，AB ＝303，BC ＝503，求四边形ABCD 的面积．(要求：用分割法和补形法两种方法求解)(第14题)b ．方程思想15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，sin B ＝35，点D 是BC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，CD ＝DE ，AC ＋CD ＝9，求BE ，CE 的长．(第15题)16．(中考·泰州)如图，为了测量山顶铁塔AE 的高，小明在27 m 高的楼CD 底部D 测得塔顶A 的仰角为45°，在楼顶C 测得塔顶A 的仰角为36°52′.已知山高BE 为56 m ，楼的底部D 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin 36°52′≈0.60，tan 36°52′≈0.75)的世界变简单让每个人平等地提升自己 (第16题)答案解码专训一1．解：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∠C ＝90°，延长CA 到D ，使AD ＝AB ，则∠D ＝15°，设BC ＝a ，则AB ＝2a ，AC ＝3a ，∴AD ＝2a ，CD＝(2＋3)a.在Rt △BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2＝a 2＋（7＋43）a 2＝(6＋2)a.∴sin 15°＝sin D ＝BC BD ＝a （6＋2）a ＝6－24； cos 15°＝cos D ＝CD BD ＝（2＋3）a （6＋2）a＝6＋24； tan 15°＝tan D ＝BC CD ＝a （2＋3）a＝2－ 3.(第1题)(第2题)2．解：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，延长CA 到D ，使DA ＝AB ，则∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝a ，则AB ＝2a ，∴AD ＝2a ，DC ＝(2＋在线分享文档用科技让复杂的世界变简单让每个人平等地提升自己1)a ，∴tan 22.5°＝tan D ＝BC CD ＝a （2＋1）a＝2－1. 3．解：∵将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，∴AB ＝BE ，∠AEB ＝∠EAB ＝45°，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，∴AE ＝EF ，∠EAF ＝∠EFA ＝45°÷2＝22.5°，∴∠FAB ＝67.5°. 设AB ＝x ，则AE ＝EF ＝2x ， ∴tan ∠FAB ＝tan 67.5°＝FB AB ＝2x ＋x x＝2＋1.(第4题)4．解：如图，作△ABC ，使∠BAC ＝36°，AB ＝AC ，使∠ABC 的平分线BD 交AC 于D 点，过A 作AE ⊥BC 于E 点，设BC ＝a ，则BD ＝AD ＝a ，由△ABC ∽△BCD 可得：AB BC ＝BC CD ，∴AB a ＝a AB －a ， 即AB 2－a·AB －a 2＝0，∴AB ＝5＋12a(负根舍去)，∴sin 18°＝sin ∠BAE ＝BE AB ＝5－14.∴cos 72°＝cos ∠ABE ＝BE AB ＝5－14.(第5题)5．解：方法1：利用第1题的图形求解．方法2：如图，作△ABD ，△ACD ，使得DC ＝DA ，∠DAB ＝30°，过点A 作AD ⊥BC 于D ，过B 作BE ⊥AC 于E ，则∠BAE ＝75°，设AD ＝DC ＝a ，则AC ＝2a ，BD ＝33a ，AB ＝233a ，∴BC ＝BD ＋CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋1a.则CE ＝BE ＝BC·sin 45°＝6＋326a ，∴AE ＝AC －CE ＝32－66a ，∴sin 75°＝sin ∠BAE ＝cos 75°＝cos ∠BAE ＝AE AB ＝6－24，tan 75°＝tan ∠BAE ＝BE AE ＝2＋ 3.解码专训二1．解：(1)把x ＝0代入y ＝kx －1，得y ＝－1，∴点C 的坐标是(0，－1)，∴OC ＝1.在Rt △OBC 中，∵tan ∠OCB ＝OB OC ＝12，∴OB ＝12.∴点B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 把B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的坐标代入y ＝kx －1，得12k －1＝0.解得k ＝2. (2)由(1)知直线AB 对应的函数关系式为y ＝2x －1，所以△AOB 的面积S 与x 的函数关系式是S ＝12OB·y ＝12×12(2x －1)＝12x －14.2．解：(1)∵点B 的坐标为(2，0)，tan ∠AOB ＝32，∴A 点的坐标为(2，3)，∴k ＝6.(2)易知点E 的纵坐标为32，代入y ＝6x 中，得点E 的横坐标为4，即点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，32，∵直线AE 过点A(2，3)，E ⎝⎛4，32，∴易得直线AE 对应的函数关系式为y ＝－34x ＋92. (3)结论：AN ＝ME.理由：在y ＝－34x ＋92中，令y ＝0可得x ＝6，令x ＝0可得y ＝92. ∴点M(6，0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92. 方法一：延长DA 交y 轴于点F ，则AF ⊥ON ，且AF ＝2，OF ＝3，∴NF ＝ON －OF ＝32.根据勾股定理可得AN ＝52.∵CM ＝6－4＝2，EC ＝32，∴根据勾股定理可得EM＝5 2，∴AN＝ME.方法二：连接OE，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF＝2，∵S△EOM ＝12OM·EC＝12×6×32＝92，S△AON＝12ON·AF＝12×92×2＝92，∴S△EOM＝S△AON.∵AN和ME边上的高相等，∴AN＝ME.3．解：∵a，b是方程x2－mx＋2m－2＝0的根，∴a＋b＝m，ab＝2m－2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得a2＋b2＝c2，即a2＋b2＝52.∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝25，即m2－2(2m－2)＝25.解得m1＝7，m2＝－3.∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长，∴a＋b＝m＞0.即m＝－3不合题意，舍去．∴m＝7.当m＝7时，原方程为x2－7x＋12＝0.解得x1＝3，x2＝4.不妨设a＝3，b＝4，则∠A是最小的锐角，∴sin A＝ac＝35.即Rt△ABC中较小锐角的正弦值为3 5.4．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCG＝90°，∵点E是CD 的中点，∴DE＝CE.∵∠DEF＝∠CEG，∴△EDF≌△ECG，∴EF＝EG.∵BE⊥FG，∴BE是FG的中垂线，∴BF＝BG.(2)解：∵BF＝BG，∴∠BFG＝∠G，∴tan∠BFG＝tan G＝3，设CG＝x，则CE＝3x，∴S△CGE ＝32x2＝63，解得x＝23(负值舍去)，∴CG＝23，CE＝6，又易得EC2＝BC·CG，∴BC＝63，∴AD＝6 3.解码专训三1．解：(1)过C作AB的垂线，垂足为D，根据题意可得：∠ACD＝42°，∠BCD＝55°.设CD＝x海里，在Rt△ACD中，tan 42°＝ADCD，则AD＝x·tan 42°海里，在Rt△BCD中，tan 55°＝BDCD，则BD＝x·tan 55°海里．∵AB＝80海里，在线分享文档用科技让复杂的世界变简单让每个人平等地提升自己∴AD ＋BD ＝80海里，∴x·tan 42°＋x·tan 55°＝80，解得x ≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C 的最短距离约是34.4海里；(2)在Rt △BCD 中，cos 55°＝CD BC ，∴BC ＝CD cos 55°≈60(海里)，答：海轮在B 处时与灯塔C 的距离约是60海里．2．解：在Rt △ABE 中，∠BEA ＝90°，∠BAE ＝45°，BE ＝20米，∴AE ＝20米． 在Rt △BEF 中，∠BEF ＝90°，∠F ＝30°，BE ＝20米，∴EF ＝BE tan 30°＝2033＝203(米)． ∴AF ＝EF －AE ＝203－20≈20×1.732－20＝14.64≈15(米)．答：AF 的长度约是15米．3．解：分两种情况： (1)如图(1)，在Rt △BDC 中，CD ＝30千米，BC ＝60千米．sin B ＝CD BC ＝12，∴∠B ＝30°.∵PB ＝PC ，∴∠BCP ＝∠B ＝30°. ∴在Rt △CDP 中，∠CPD ＝∠B ＋∠BCP ＝60°，∴DP ＝CD tan ∠CPD＝30tan 60°＝103(千米)． 在Rt △ADC 中，∵∠A ＝ 45°，∴AD ＝DC ＝30千米．∴AP ＝AD ＋DP ＝(30＋103)千米． (第3题)(2)如图(2)，同法可求得DP ＝103千米，AD ＝30千米．∴AP ＝AD －DP ＝(30－103)千米．故交叉口P 到加油站A 的距离为(30±103)千米．用科技让复杂让每个人平等地提升自己点拨：本题运用了分类讨论思想，针对P 点位置分两种情况讨论，即P 可能在线段AB 上，也可能在BA 的延长线上．(第4题)4．解：(1)当α＝60°时，在Rt △ABE 中，∵tan 60°＝BA AE ＝BA 10，∴BA ＝10 tan 60°＝103≈10×1.73＝17.3(米)．即楼房的高度约为17.3米．(2)当α＝45°时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下：如图，假设没有台阶，当α＝45°时，从点B 射下的光线与地面AD 的交点为点F ，与MC 的交点为点H. ∵∠BFA ＝45°，∴tan 45°＝BA AF ＝1. 此时的影长AF ＝BA ≈17.3米，所以CF ＝AF －AC ≈17.3－17.2＝0.1(米)，∴CH ＝CF ＝0.1米，∴楼房的影子落在台阶MC 这个侧面上．∴小猫仍能晒到太阳．解码专训四 1．解：若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．理由如下：过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D.依题意，知AB ＝24×3060＝12(海里)，∠CAB ＝90°－60°＝30°，∠CBD ＝90°－30°＝60°.在Rt △DBC 中，tan ∠CBD ＝tan 60°＝CD BD ， ∴BD ＝33CD. 在Rt △ADC 中，tan ∠CAD ＝tan 30°＝CD AD ，∴AD ＝3CD.又∵AD ＝AB ＋BD ，在线分享文档用科技让复杂让每个人平等地提升自己∴3CD ＝12＋33CD ，得CD ＝63海里．∵63＞9，∴若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．技巧点拨：将这道航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型．该货船有无触礁危险取决于岛C 到航线AB 的最短距离与9海里的大小关系，因此解决本题的关键在于求岛C 到航线AB 的距离．2．解：不会穿过风景区．理由如下：过C 作CD ⊥AB 于点D ，根据题意得：∠ACD ＝α，∠BCD ＝β，则在Rt △ACD 中，AD ＝CD·tan α，在Rt △BCD 中，BD ＝CD·tan β.∵AD ＋DB ＝AB ，∴CD·tan α＋CD·tan β＝AB ，∴CD ＝AB tan α＋tan β＝1501.627＋1.373＝1503＝50(千米)．∵50＞45，∴连接A ，B 两市的高速公路不会穿过风景区．(第3题)3．解：如图，过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过C 作AB 的垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E ＝∠F ＝90°，拦截点D 处到公路的距离DA ＝BE ＋CF.在Rt △BCE 中，∵∠E ＝90°，∠CBE ＝60°，∴∠BCE ＝30°，∴BE ＝12BC ＝12×1 000＝500(米)；在Rt △CDF 中，∵∠F ＝90°，∠DCF ＝45°，CD ＝1 000米，∴CF ＝22CD ＝5002(米)． ∴DA ＝BE ＋CF ＝(500＋5002)米，即拦截点D 处到公路的距离是(500＋5002)米．4．解：(1)100；(60＋10t)(2)过点O 作OH ⊥PQ 于点H.在Rt △POH 中，∠OHP ＝90°，∠OPH ＝65°－(90°－70°)＝45°，OP ＝200 km ，∴OH ＝PH ＝OP·sin ∠OPH ＝200×sin 45°＝1002≈141(km )．设经过t h 时，台风中心从P 移动到H ，台风中心移动速度为20 km /h ，此时，受台风侵袭的圆形区域半径应为60＋10×52≈131(km )．台风中心在整个移动过程中与城市O 的最近距离OH ≈141 km ，而台风中心从P 移动到H 时受侵袭的圆形区域半径约为131 km ，131 km ＜141 km ，因此，当台风中心移动到与城市O 距离最近时，城市O 不会受到台风侵袭．解码专训五1．B 点拨：连接AC ，CF ，根据正方形性质分别求出AC ，CF 的长，由∠ACD ＝∠GCF ＝45°，得∠ACF ＝90°，然后利用勾股定理求出AF 的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．2.4333.224.435．解：设AD ＝x ，则BD ＝x ，CD ＝x －3，在Rt △ACD 中，(x －3)2＋(15)2＝x 2，解得x ＝4， ∴CD ＝4－3＝1 ∴sin ∠CAD ＝CD AD ＝14. 6．B 7.C8．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1÷1＋22－2－22＋1×1＝2＋22－2－(22－2) ＝2.9. C 10.6 11.181912．解：设B 处距离码头Ox km ，在Rt △CAO 中，∠CAO ＝45°，∵tan ∠CAO ＝COAO ， ∴CO ＝AO·tan ∠CAO ＝(45×0.1＋x)·tan 45°＝(4.5＋x) km ，在Rt △DBO 中，∠DBO ＝58°，∵DC ＝DO －CO ， ∴36×0.1＝x·tan 58°－(4.5＋x)， ∴x ＝36×0.1＋4.5tan 58°－1≈36×0.1＋4.51.60－1＝13.5.因此，B 处距离码头O 大约13.5 km .13．解：设CE ＝y ，(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝4，BC ＝AD＝5，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°.∵BP ＝a ，CE ＝y ，∴PC ＝5－a ，DE ＝4－y ，∵AP ⊥PE ，∴∠APE ＝90°，∠APB ＋∠CPE ＝90°，∵∠APB ＋∠BAP ＝90°，∴∠CPE ＝∠BAP ，∴△ABP ∽△PCE ，∴BP CE ＝ABPC ，∴y ＝－a 2＋5a 4，即CE ＝－a 2＋5a 4.(2)四边形APFD 是菱形，理由如下：当a ＝3时，y ＝－32＋5×34＝32，即CE＝32，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BF ，∴△AED ∽△FEC ，∴AD CF ＝DECE ，∴CF ＝3，∴PF ＝PC ＋CF ＝5.∴PF ＝AD ，∴四边形APFD 是平行四边形，在Rt △APB 中，AB ＝4，BP ＝3，∠B ＝90°，∴AP ＝5＝PF ， ∴四边形APFD 是菱形．(3)根据tan ∠PAE ＝12可得APPE ＝2，易得△ABP ∽△PCE ，∴BP CE ＝AB PC ＝AP PE ＝2，得a y ＝45－a ＝2或a y ＝4a －5＝2，解得a ＝3，y ＝1.5或a ＝7，y ＝3.5.∴a ＝3或7.14．解法1：如图①所示，过点B 作BE ∥AD 交DC 于点E ，过点E 作EF ∥AB 交AD 于点F ，则BE ⊥AB ，EF ⊥AD.∴四边形ABEF 是矩形．∴∠CBE ＝120°－90°＝30°，∠D ＝180°－120°＝60°.在Rt △BCE 中，BE ＝BC cos ∠CBE ＝503cos 30°＝50332＝100，EC ＝BC·tan ∠CBE ＝503×tan 30°＝503×33＝50. 在Rt △DEF 中，DF ＝EF tan D ＝AB tan 60°＝3033＝30.∴AD ＝AF ＋DF ＝BE ＋DF ＝100＋30＝130. ∴S四边形ABCD ＝S梯形ABED ＋S △BCE ＝12(AD ＋BE)·AB ＋12BC·EC ＝12×(130＋100)×303＋12×503×50＝4 700 3.用科技让复杂的世界变简单让每个人平等地提升自己(第14题)解法2：如图②所示，延长DA ，CB 交于点E ，则∠ABE ＝180°－∠ABC ＝60°，∠E ＝90°－∠ABE ＝30°. 在Rt △ABE 中，AE ＝AB·tan 60°＝303×3＝90， BE ＝AB cos 60°＝30312＝60 3.∴CE ＝BE ＋BC ＝603＋503＝110 3.在Rt △DCE 中，DC ＝CE·tan 30°＝1103×33＝110. ∴S四边形ABCD ＝S △DCE －S △ABE＝12DC·CE －12AB·AE ＝12×110×1103－12×303×90＝4 700 3.点拨：求不规则图形的面积要将其转化为直角三角形或特殊的四边形的面积来求．可适当添加辅助线，把不规则四边形分割为直角三角形和直角梯形求解；还可通过补图，把不规则四边形转化为直角三角形求解．15．解：∵sin B ＝35，∠ACB ＝90°，DE ⊥AB ，∴sin B ＝DE DB ＝AC AB ＝35.设DE ＝CD ＝3k(k ＞0)，则DB ＝5k. ∴CB ＝8k ，AC ＝6k ，AB ＝10k. ∵AC ＋CD ＝9，∴6k ＋3k ＝9.解得k ＝1. ∴DE ＝3，DB ＝5，∴BE ＝DB 2－DE 2＝52－32＝4. 过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则CF ∥DE ，∴DE CF ＝BE BF ＝BD BC ＝58，∴CF ＝245，BF ＝325，∴EF ＝BF －BE ＝125.在Rt △CEF 中，CE ＝CF 2＋EF 2＝1255. 16．解：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F.(第16题)设塔高AE＝x m，由题意得EF＝BE－CD＝56－27＝29(m)，AF＝AE＋EF＝(x＋29)m. 在Rt△AFC中，∠ACF＝36°52′，AF＝(x＋29)m，则CF＝AFtan36°52′≈x＋290.75＝43x＋1163(m)，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，AB＝(x＋56)m，则BD＝AB＝(x＋56)m，∵CF＝BD，∴x＋56≈43x＋1163，解得x≈52.答：该铁塔的高AE约为52 m.用科技让复杂。

妙用构造法,巧解数学题有时我们在学习数学时会遇到很多棘手的数学题目，很容易把时间浪费在攻克难题上。

因此，我们应该学会妙用构造法巧解数学题。

1. 了解数学考试的核心知识在运用构造法来巧解数学题之前，我们应该要特别注意，自己了解数学考试的核心知识。

我们要掌握一定的基本理论及其它的配套知识，甚至是一些联系因果的定理，以便能够更好的构造出符合要求的模型。

2.明确目标在开始运用构造法解数学题之前，我们首先要明确目标，具体地说，对要求给出的数学问题要进行分析，弄清楚问题，把握关键点，以及大致方法，有了问题的清晰认识之后，就可以采取进一步的措施来实现目标了。

3.分析数学题并寻找对应的构造法我们需要根据问题的性质，判断出问题的类型，比如：几何中的角度判断、三角形求边长和角度等等。

然后再从问题的特点出发，寻求构造法来实现目的，要做到这一点，我们可以先画出图形，根据图形来分析问题，并寻找对应的解决办法。

4.利用构造法注意事项在采用构造法来解决数学问题时，我们特别要引起注意，避免出现构造出来的图形出现错误，因为很多时候，只是因为图形的错误，会导致整个问题的结果出错。

此外，我们在构造出正确的图形后，要根据理论知识，对构造出来的图形进行精确分析，以便得到最终结果。

总结起来，妙用构造法巧解数学题，需要注意以下几点：1. 了解数学考试的核心知识；2. 明确目标；3. 分析数学题并寻找对应的构造法；4. 利用构造法时注意事项。

只有在了解了数学考试的核心知识之后，明确了目标，分析出数学题的性质，寻求出对应的构造法，并且在构造出正确的图形后精确分析，根据考试的要求来及时解决问题，才能妙用构造法巧解数学题。

思路探寻运用构造法解答数学问题，需观察与分析命题条件与结论中数学元素的名称、结构、关系，发现其与学过的某些数学知识之间的关联，构造与命题相匹配的数学模型，以使命题转化，最终解题.构造法的核心是构造新的数学模型，要不断尝试将问题与方程、函数、图形等建立联系，构造出新的数学关系.一、构造直线的斜率直线的斜率是直线的一个重要特征.直线的斜率公式为k =f ()x 1-f ()x 2x 1-x 2()x 1≠x 2，该公式揭示了直线上两点的坐标之间的关系.在解答函数、平面几何、平面向量问题时，我们可以将有关两点的纵坐标之差、横坐标之差的式子看作直线的斜率，利用直线斜率的性质和意义解题.一般地，当k >0时，直线呈上升趋势；当k <0时，直线呈下降趋势.例1.已知函数f (x )=log 2(x +1),a >b >c >0，比较f ()a a ,f ()b b ,f ()c c的大小.解：f ()a a =f ()a -f ()0a -0,f ()b b =f ()b -f ()0b -0,f ()c c =f ()c -f ()0c -0，则上述三式可看作定点()0,0与函数f (x )图象上的点()a ,f ()a ，()b ,f ()b ，()c ,f ()c 连线的斜率，而f (x )=log 2(x +1)的导函数为f ′(x )=1(x +1)ln 2，即切线的斜率，所以f ′(a )>f ′(b )>f ′(c )，所以f ()a a <f ()b b <f ()c c.我们将要比较的三个分式变形，构造出新模型f ()x x =f ()x -0x -0，即可将其视为定点()0,0与函数f (x )图象上的点()x ，f ()x 连线的斜率，结合导函数的几何意义和直线的升降趋势，就能快速比较出三个分式的大小.二、构造直线我们知道y =kx +b ，ax +by +c =0均可表示直线，因此在解答二元一次方程、不等式、函数问题时，可根据解题需求将二元一次式看成是直线的方程，从而构造出直线.通过讨论直线、点之间的位置关系，寻找到图形中的特殊点或特殊位置，从而迅速找到解题的突破口.例2.已知实数x ,y 满足x ||x +y ||y =1，求||x +y +2的取值范围.解：当x <0，y <0时，x ||x +y ||y =1不成立，则x ||x +y ||y =ìíîïïx 2+y 2=1()x ≥0,y ≥0，x 2-y 2=1()x >0,y <0，-x 2+y 2=1(x <0,y >0)，画出如图所示的图形.则曲线上的点(x ,y )到直线x +y +2=0的距离为d x +y +2>1，故|x +y +2的取值范围为2d .而直线x +y +2=0与曲线渐近线x +y =0平行，其距离为1，则圆弧上的点到直线x +y +2=0的最大距离为2，则||x +y +2的取值范围为（2，22].我们将x +y +2=0看作直线的方程，画出其图形，通过数形结合，确定直线到曲线的最大距离和最小距离，从而求得目标式的最值.三、构造函数函数的概念、图象、性质是解答代数问题的重要工具.当解答代数问题受阻时，我们可将代数式或其中某一部分看作一个新函数，通过研究新函数的概念、图象、性质，求得问题的答案.例3.设函数f (x )=()x +12+sin x x 2+1的最大值为M ，最小值为m ，求M +m 的值.解：由f (x )=1+2x +sin x x 2+1可得f (x )-1=2x +sin x x 2+1，设g ()x =2x +sin x x 2+1，则g ()-x =-2x -sin x x 2+1=-g ()x ，所以g ()x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，故g ()x max =M -1,g ()x min =m -1,可得M -1+m -1=0即M +m =2.总之，构造法是解答高中数学问题的重要方法，但构造法较为灵活.同学们要善于观察、分析元素之间的内在联系，在“需求”和“可求”之间搭建解答问题的“桥梁”，运用构造法，快速找到解答问题的切入点.（作者单位：上海市朱家角中学）x +y +2=0y =-xx |x |+y |y |=1yx111O45。