2018_2019学年度八年级数学上册第11章三角形11.1与三角形有关的线段同步练习新版新人教版

第十一章 11.1.3三角形的稳定性
知识点：三角形的稳定性
三角形三条边确定后,三角形的形状和大小就确定不变了,这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有着广泛的应用.比如,房屋的人字梁具有三角形的结构,它坚固稳定;大桥钢架、输电线支架、索道支架等都采用三角形结构.这都是三角形的稳定性的应用.
四边形没有稳定性,也就是说四边形的四条边长确定后,不能确定它的形状,它的各个角的大小也可以改变,四边形的不稳定性也有广泛的应用,如活动衣架、伸缩尺等.有时为了克服四边形的不稳定性,如在门框未安好之前,先在门框上斜着钉一根木条,使它不变形,如图.
考点：三角形稳定性的应用
【例】如图所示,建高楼时常需要用塔吊来吊建筑材料,而塔吊的上部都是三角形结构,这是应用了三角形的哪个性质?答: .
解:三角形的稳定性.
点拨:因为塔吊的上部是三角形结构,所以这是运用了三角形的稳定性.故填三角形的稳定性.。

第十一章三角形11.1.2 三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性【知识与技能】(1)会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线，并理解它们的含义.(2)通过画图，了解三角形的三条高所在的直线交于一点；三角形的三条中线交于一点——三角形的重心；三角形的三条角平分线交于一点.(3)了解三角形的稳定性.【过程与方法】经历折纸、画图等实践活动，认识三角形的高、中线与角平分线.【情感态度与价值观】培养学生的动手实践能力.(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.(2)了解三角形的三条高所在的直线、三条中线与三条角平分线分别交于一点.(3)了解三角形的稳定性.(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.(2)了解三角形的三条高所在的直线、三条中线与三条角平分线分别交于一点.(3)了解三角形的稳定性.多媒体课件、直角三角尺、硬纸条、钉子教师提出：同学们，我们以前学习过“过一点画已知直线的垂线”，谁能说一说是怎样画的？(教师可让几名同学到黑板上演示一下，其他学生在作业本上画.教师要注意强调画法的规X性)教师进一步提出问题：过三角形的一个顶点如何画三角形的高？这节课我们就来研究这个问题(教师板书）探究1：三角形的高教师让学生动手画出一个锐角三角形的高，然后找学生描述三角形的高的画法与定义.教师总结三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高.如图11-1.2-1，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，所以AD是△ABC的一条高.教师引导学生注意垂直符号的书写.接着，教师提出问题：想一想，一个三角形有几条高？然后教师要求学生动手画三个不同的三角形，即锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，要求学生作出它们的高，最后同学间进行交流.教师点评学生的作法后出示投影(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形以及它们的高，如图11-1.2-2)，并出示结论：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高.教师继续让学生观察：每个三角形的三条高有什么位置关系？小组之间进行讨论、交流，然后归纳结果：锐角三角形的三条高在三角形的内部，相交于一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形的内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条高在三角形的内部，三条高不相交，但三条高所在的直线相交于三角形外一点.教师进一步让学生练习：教材P5练习第1题.探究2：三角形的中线教师提问：你能画一条线段将三角形的面积平分吗？教师先让学生思考、尝试，再引出这条线段就是三角形的另一条特殊的线段——三角形的中线.教师紧接着指出三角形的中线的定义：连接三角形顶点和对边中点的线段叫作三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分，最后教师点评并说明：中线可以把这个三角形分成两个等底等高的三角形，所以这两个三角形的面积相等.接着让学生任意画出一个三角形，画出这个三角形的三条中线，然后分析这三条中线的位置关系，同桌之间互相讨论、交流.(教师多让几位同学发言，分别指出他们画出的是什么样的三角形，这样三角形的任意性就有了)师生共同总结：任意三角形的三条中线都交于一点，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.教师出示几何语言表述：(由中线推线段相等)如图11-1.2-3，AD是△ABC的边BC上的中线(已知)，所以BD=DC=12BC或BC=2BD=2DC或D为BC的中点.图11-1.2-3(由线段相等推中线)如图11-1.2-3，因为BD=DC=12BC或BC=2BD=2DC或D 为BC的中点(已知)，所以线段AD为边BC上的中线(三角形的中线的定义).最后教师将这部分知识进行归纳：(1)一个三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，相交于一点.(2)三角形的中线是一条线段.(3)三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.探究3：三角形的角平分线教师指出三角形的角平分线的定义，然后仿照三角形的高或中线的教学过程，安排学生画一画，并相应地提出类似的问题.学生动手操作，然后交流、探讨，师生共同归纳总结：(1)一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，相交于一点.(2)三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线.最后教师强调：三角形的高、中线、角平分线都是线段.教师出示例题：如图11-1.2-4，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线.(1)画出△BED中BD边上的高;(2)若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离.教师带领学生进行分析，让学生自主完成第(1)问，教师给出第(2)问的规X解答过程.分析：(1)△BED是钝角三角形，BD边上的高在BD边的延长线上.(2)先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，结合题意可求得△BED的面积，再求出点E到BC 边的距离即可.解：(1)如图11-1.2-5，EF即为△BED中BD边上的高.(2)因为AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，S△ABC=60,所以S△BED=12S△ABD=14S△ABC=15.因为BD=5，所以EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6，即点E到BC边的距离为6.教师进一步让学生练习：教材P5练习第2题.探究4：三角形的稳定性教师把学生分成四人一组，发给他们三X硬纸条、三枚钉子，分组合作探究实验.教师出示实验(投影)：如图11-1.2-6，把三X硬纸条用钉子钉成一个三角形，然后扭动它，它的形状会改变吗？这说明什么问题？(教师巡回检查，并指导，指定个别同学归纳结论)师生共同总结：三角形具有稳定性.教师让学生举手发言：在现实生活中，三角形的稳定性有哪些方面的应用呢？举例子说明. (对于学生的发言，只要符合实际，教师都要给予肯定)图11-1.2-7表示其中的一些例子.教师接着类比三角形的方法，与学生一起探究四边形、五边形是否具有稳定性，并且寻找使四边形、五边形具有稳定性的方法，最后师生共同总结：三角形的稳定性是三角形特有的性质，除三角形以外的多边形都不具有稳定性，要使其稳固，可以引入三角形.三角形在生产、生活中应用很广，有很多需要稳定的东西都制成三角形的形状.教师进一步让学生练习：教材P7练习.1.三角形的高、中线、角平分线的定义及画法.2.运用三角形的高、中线、角平分线可得到相等的线段和相等的角.3.三角形具有稳定性，多边形不具有稳定性.。

人教版八年级数学上册11.1与三角形有关的线段知识点归纳由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

顶点是A、B、C的三角形记为△ABC，读作“三角形ABC”，线段AB、BC、CA是△ABC的三边，∠A、∠B、∠C是△ABC的内角。

△ABC的三边除了可以用AB、BC、CA来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示。

顶点A所对的边用a表示，顶点B所对的边用b表示，顶点C所对的边用c表示。

三角形的顶点也可以用其它大写字母表示，例如△DEF，其读法和写法也以此类推。

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

三边都相等的三角形叫做等边三角形。

三角形按边的相等关系可以这样分类：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

从三角形的一个端点向它的对边作一条垂线，三角形的顶点和它对边垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。

在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。

三角形其中一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三角形的高、中线、角平分线都是线段。

三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

锐角、钝角、直角三角形的三条中线、三条角平分线、三条高（1）锐角、钝角、直角三角形的三条中线：（2）锐角、钝角、直角三角形的三条角平分线：（3）锐角、钝角、直角三角形的三条高：当三角形三边的长度都确定时，这个三角形的面积和形状就已经完全确定，这个性质叫做三角形的稳定性。

三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形等图形具有不稳定性。

第十一章 11.1.2三角形的高、中线与角平分线知识点1：三角形的中线三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线,如图.表示法:1.AD是△ABC的边BC上的中线.2. BD=DC=BC.注意:①三角形的中线是线段;②三角形三条中线全在三角形的内部,并且三条中线相交于三角形内部一点;③三角形三条中线的交点叫做三角形的重心;④三角形的任一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形.知识点2：三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线,如图.表示法:1. AD是△ABC的∠BAC的平分线.2. ∠1=∠2=∠BAC.注意:①三角形的角平分线是线段;②三角形三条角平分线全在三角形的内部;③三角形三条角平分线交于三角形内部一点;④由三角形的角平分线可以得到角之间的相等关系和2倍关系.知识点3：三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,如图.表示法:1. AD是△ABC的边BC上的高线.2. AD⊥BC于点D.3. ∠ADB=∠ADC=90°.注意:①三角形的高是线段;②锐角三角形的三条高都在三角形的内部,三条高的交点也在三角形内部;钝角三角形有两条高落在三角形的外部,一条在三角形内部,三条高所在的直线交于三角形外一点;直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边,另一条在三角形内部,它们交点是直角顶点;③三角形的三条高或其所在的直线相交于一点;④当已知三角形三条高的交点在三角形的内部时,则说明三角形一定是锐角三角形;三条高的交点在三角形的一个顶点处时,则说明三角形一定是直角三角形;当三角形三条高的交点在三角形的外部时,则该三角形一定是钝角三角形.考点1：三角形的高、中线与角平分线的判定【例1】如图,在△ABC中,∠BAD=∠CAD,AE=CE,AG⊥BC,垂足为点G,AD与BE相交于点F,试指出AD、AF分别是哪个三角形的角平分线?BE、DE分别是哪个三角形的中线?AG是哪些三角形的高？解:AD、AF分别是△ABC、△ABE的角平分线;BE、DE分别是△ABC、△ADC的中线;AG是△ABC、△ABD、△ACD、△ABG、△ACG、△ADG的高.点拨:首先要抓住特殊线段的数量关系,因为∠BAD=∠CAD,所以AD是∠BAC的平分线,AF是∠BAE 的平分线等.其次要抓住特殊线段的位置关系,即它们都过三角形的一个顶点,以及它对边上的一点,这样就能确定是哪个三角形的特殊线段了.考点2：三角形中线的应用【例2】有一块三角形优良品种试验基地,如图所示,由于引进四个优良品种进行对比试验,需将这块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种以上的划分方案供选择.(画图说明)解:方案1:如答图 (1),在BC上取D、E、F,使BD=ED=EF=FC,连接AE、AD、 AF.(1) (2)(3)方案2:如答图 (2),分别取AB、BC、CA的中点D、E、F,连接DE、EF、DF.方案3:如答图 (3),分别取BC的中点D,CD的中点E,AB的中点F,连接AD、AE、DF.点拨:可根据中线所分的两个三角形的面积相等以及三角形的面积公式的特征,先分为两个面积相等的三角形,然后再依次等分.。

第十一章　三角形 11.1　与三角形有关的线段 11.1.1　三角形的边学习目标 1.了解三角形的概念,会用符号语言表示三角形. 2.通过具体的实践活动理解三角形三边的不等关系.学习过程 一、自主学习 问题 1:观察下面的图片,你能找到哪些我们熟悉的图形?问题 2:在小学,我们学过三角形,你了解三角形的哪些性质? 二、深化探究 探究 1:观察三角形的构成,探索三角形的概念 问题 1:你能画出一个三角形吗?问题 2:结合你画的三角形,说明三角形是由什么组成的? 问题 3:下面的几个图形都是由三条线段组成的,它们都是三角形吗?问题 4:什么叫三角形?探究 2:自主学习三角形的表示方法及分类 阅读教材第 2 页到第 3 页探究前内容,回答下列问题. 问题 1:如图回答以下问题: (1)在三角形中,什么叫边?什么叫内角?什么叫顶点? (2)三角形有几条边?有几个内角?有几个顶点? (3)如何用符号表示三角形 ABC? (4)如何用小写字母表示三角形 ABC 的三条边?问题 2:如果将三角形分类,按照边的关系分可以分成几类?按照角的关系又如何分类呢?问题 3:如图,找出图中的三角形,用符号表示出来,并指出 AB,AD,CD 分别是哪个三角形的边.探究 3:通过观察实践,理解三角形三边关系 问题 1:任意画一个△ABC,假设有一只小虫从点 B 出发,沿三角形的边爬到点 C,它有几条线路 可以选择?各条线路的长一样吗?问题 2:联系三角形的三边,从问题 1 中你可以得到怎样的结论? 问题 3:用三条长度分别为 5,9,3 的线段能组成一个三角形吗?为什么? 三、练习巩固 练习 1:三角形是指( ) A.由三条线段所组成的封闭图形 B.由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D.由三条线段首尾顺次相接组成的图形 练习 2:图中有几个三角形?用符号表示这些三角形.练习 3.有三根木棒的长度分别为 3 cm,6 cm 和 4 cm,用这些木棒能否围成一个三角形?为什么?练习 4:用一条长 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边的 2 倍,那么各边的长是多少? (2)能围成有一边的长为 4 cm 的等腰三角形吗?为什么?四、深化提高 练习 1:下面各组数中作为线段长不能构成三角形的一组是( ) A.0.2,0.6,0.7 B.5k,7k,10k(k>0) C.m-a,m,m+a(m>a,m>0,a>0) D.22,22,33 练习 2:小明想要钉一个三边长都是整数的三角形,现在他只有两根分别长 4 cm 和 5 cm 的木 条,那么第三根木条的长度可以是多少?(写出所有可能结果)练习 3:平面上有四个点 A,B,C,D,用它们作顶点可以组成几个三角形?参考答案 一、自主学习问题 1:三角形、四边形等. 问题 2:三条边;三个内角;具有稳定性;三角形的内角和是 180°. 二、深化探究 探究 1: 问题 1:能 问题 2:三角形是由三条线段组成的. 问题 3:只有第(1)个是三角形,其他的都不是. 问题 4:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 探究 2: 问题 1:组成三角形的三条线段都叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简 称三角形的角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点.三角形有三条边、三个内角、三个顶点.三角 形 ABC 用符号表示为△ABC.△ABC 的边 AB 为∠C 所对的边,可以用顶点 C 的小写字母 c 表示,同样, 边 AC 可用 b 表示,边 BC 可用 a 表示. 问题 2:三角形按照“有几条边相等”可以分为:{ 等边三角形 等腰三角形 三角形 不等边三角形也可以按照边的相等关系分为:{ { 不等边三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形三角形三角形按照角的关系可以分为:{直角三角形锐角三角形 三角形 钝角三角形 问题 3:图中共有三个三角形,分别是△ABC,△ABD,△ADC,其中 AB 既是△ABC 的边,也是△ABD 的边,AD 既是△ABD 的边,也是△ADC 的边,CD 是△ADC 的边. 探究 3: 问题 1:小虫从点 B 出发沿三角形的边爬到点 C 有 2 条线路: (1)从 B→C,即线段 BC 的长; (2)从 B→A→C,即线段 BA 与线段 AC 长之和:BA+AC. 经过测量可得 BA+AC>BC,所以这两条线路的长不一样. 根据“两点的所有连线中,线段最短”,说明 BA+AC>BC. 问题 2:三角形两边的和大于第三边. 问题 3:用三条长度分别为 5,9,3 的线段不能组成一个三角形,因为 5+3<9. 三、练习巩固 答案:1.C 2.共有 5 个三角形.分别是:△ABC,△BCD,△BCE,△ABE,△CDE. 3.能,因为 3+4>6. 4.解:(1)设底边长为 x cm,则腰长 2x cm. x+2x+2x=18, 解得 x=3.6. 所以,三边长分别为 3.6 cm,7.2 cm,7.2 cm. (2)因为长 4 cm 的边可能是腰,也可能是底边,所以需要分情况讨论. 如果长 4 cm 的边为底边,设腰长为 x cm,则 4+2x=18, 解得 x=7. 如果长 4 cm 的边为腰,设底边长为 x cm,则 2×4+x=18, 解得 x=10. 因为 4+4<10,出现两边的和小于第三边的情况,所以不能围成腰长是 4 cm 的等腰三角形. 由以上讨论可知,可以围成一边长是 4 cm 的等腰三角形. 四、深化提高 练习 1:C 练习 2:解:第三根木条的长度可以是 2 cm,3 cm,4 cm,5 cm,6 cm,7 cm,8 cm. 练习 3:解:由于题中并没有说明这四个点是否在同一条直线上,所以要分情况讨论. (1)四点共线时,不能组成三角形. (2)三点共线时,可以组成三个三角形. (3)任意三点都不共线时,可以组成四个三角形.。

11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边预习要点1．三角形的概念由三条的而构成的平面图形叫三角形。

2．三角形的表示在上图中，线段AB，BC，CA是三角形的；点A，B，C是三角形的；∠A，∠B，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

是A，B，C的三角形，记作，读作“”。

△ABC的三边，有时也用a，b，c来表示。

顶点A所对的边BC用表示，顶点B所对的边AC用表示，顶点C所对的边AB用表示。

3．如图，图中共有三角形（）A．4个B．5个C．6个D．8个4．如图，以BC为边的三角形有（）A．3个B．4个C．5个D．6个5．三角形的三边关系（1）三角形两边的和第三边( 即a+b>c或a+c>b或b+c>a )。

（2）推论：三角形两边的差第三边。

6．（2016•岳阳）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cmC．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm7．（2016•长沙）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．6 B．3 C．2 D．11同步小题12道一．选择题1．（2016春•安徽月考）至少有两边相等的三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．锐角三角形2．如图，共有三角形的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．63．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（）A．B．C．D．4．（2016•重庆校级三模）下列四组数分别是三条线段的长度，能构成三角形的是（）A．1，1，2 B．1，3，4 C．2，3，6 D．4，5，85．（2016•如东县一模）如果一个三角形的两边长分别为2和5，则此三角形的第三边长可能为（）A．2 B．3 C．6 D．76．（2016•拱墅区一模）已知△ABC的三边长都是整数，且AB=2，BC=6，则△ABC的周长可能是（）A．12 B．14 C．16 D．17二．填空题7．如图，△ABC中，AB与BC的夹角是，∠A的对边是，∠A、∠C的公共边是．8．如图，一共有条线段，有个三角形．9．（2016春•抚州校级期中）在△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，那么BC长的取值范围是．10．（2016春•工业园区期中）已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b-c|+|a-b-c|-|a-b+c|= ．三．解答题11．已知三角形的三条边为互不相等的整数，且有两边长分别为7和9，另一条边长为偶数．（1）请写出一个三角形，符合上述条件的第三边长．（2）若符合上述条件的三角形共有a个，求a的值．12．四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 交点O ．求证：AC+BD ＞12 （AB+BC+CD+DA ）．证明：在△OAB 中有OA+OB ＞AB 在△OAD 中有______， 在△ODC 中有______， 在△______中有______，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB ＞AB+BC+CD+DA 即：______，即：AC+BD ＞12 （AB+BC+CD+DA ）11.1.2 三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性预习要点 1．三角形的高从的顶点A 向它所对的边BC 所在画，垂足为D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。

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11。

1.3三角形的稳定性◇教学目标◇【知识与技能】了解三角形的稳定性以及三角形的稳定性在实际生活中的应用。

【过程与方法】培养动手操作、归纳概括能力,提高运用知识解题的能力,训练思维的灵活性。

【情感、态度与价值观】感受生活中数学的美学价值,体会生活中处处有数学，体验学习数学的乐趣.◇教学重难点◇【教学重点】三角形的稳定性.【教学难点】三角形稳定性的应用.◇教学过程◇一、情境导入三角形在我们日常生活中应用广泛，仔细观察上面一组图片,你知道有些物体的形状做成三角形的原因吗?三角形形状的物体有什么作用？二、合作探究探究点1三角形的稳定性典例1如图,一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是（）A.垂线段最短B。

两点之间线段最短C.两点确定一条直线D.三角形的稳定性[解析］观察图可发现图中窗钩构造了一个三角形AOB,根据三角形稳定性,可得答案.［答案]D变式训练如图所示是一个起重机的示意图,在起重架中间增加了很多斜条,它所运用的几何原理是（）A.三角形两边之和大于第三边B。