高三一轮复习苏教版必修4三角函数及三角恒等变换、正余弦定理导学案

三角函数1．了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sin ϕω+=x A y 的简图，理解ϕω、A 、的物理意义．5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx ，arccosx ，arctanx 表示角．6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．第1课时 任意角的三角函数一、角的概念的推广1．与角α终边相同的角的集合为 ．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．4．象限角是指： ．5．区间角是指： ．6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．8．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ .二、任意角的三角函数9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；10．三角函数的符号与角所在象限的关系：1213的正弦线、余弦线、正切线．－ ＋ －+cos x , ＋ ＋ －－sin x ,－ ＋ ＋－tan x ,x y O xy O x y O2α,2α ,3α的终边所在位置.解： ∵α是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k ∈Z ），∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.（2）∵k·180°+45°＜2α＜k·180°+90°（k ∈Z ），当k=2n （n ∈Z ）时，n·360°+45°＜2α＜n·360°+90°；当k=2n+1（n ∈Z ）时，n·360°+225°＜2α＜n·360°+270°.∴2α是第一或第三象限的角.（3）∵k·120°+30°＜3α＜k·120°+60°（k ∈Z ），当k=3n （n ∈Z ）时，n·360°+30°＜3α＜n·360°+60°；当k=3n+1（n ∈Z ）时，n·360°+150°＜3α＜n·360°+180°；当k=3n+2（n ∈Z ）时，n·360°+270°＜3α＜n·360°+300°.∴3α是第一或第二或第四象限的角.变式训练1：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k ∈Z ），60°+k·120°＜3α＜90°+k·120°.①当k=3m(m ∈Z )时，可得60°+m·360°＜3α＜90°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第一象限.②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得180°+m·360°＜3α＜210°+m·360°（m ∈Z ).故3α的终边在第三象限.③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得300°+m·360°＜3α＜330°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限.综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥23;(2)cos α≤21-.解：（1）作直线y=23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2k π+3π≤α≤2k π+32π，k ∈Z .（2）作直线x=21-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα.变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）.解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥21.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k （k ∈Z ）.（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43,∴-23＜sinx ＜23.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影),∴x ∈（k π-3π,k π+3π）（k ∈Z ).例3. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值.解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),则x=4t,y=-3t,r=5)3()4(2222=-+=+t t y x |t|,当t ＞0时，r=5t, sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x , tan α=4343-=-=t t x y ; 当t ＜0时，r=-5t,sin α=5353=--=t t r y , cos α=5454-=-=t t rx , tan α=4343-=-=t t x y . 综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=43-; t ＜0时，sin α=53,cos α=-54,tan α=43-.变式训练3：已知角θ的终边经过点P ()(0),sin m m m θ≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值．解：由题意，得0,4r m m ==≠∴= 故角θ是第二或第三象限角．当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ． (1) 若α3π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；(2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓。

高三数学总复习 正弦定理和余弦定理教案教学目标：1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式． ②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形．③能解决与三角形有关的实际问题．教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解．②将实际问题转化为解斜三角形．教学过程一、基础回顾1、正余弦定理正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ；c 2＝a 2＋b 2－2abcosC2、变形式①a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；(其中R 是△ABC 外接圆半径)②a ∶b ∶c ＝sinA ：sinB ：sinB③cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3、三角形中的常见结论(1) A ＋B ＋C ＝π.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB.(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)； ② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R； ③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)； ④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)． 二、基础自测1、在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．2、在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝________．3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2bcosC ，则此三角形一定是________三角形．4、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则∠C＝________．5、在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13，则△ABC 的面积为________．三、典例分析例1 (2013·惠州模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 解：(1)由正弦定理，得asin B ＝bsin A ，又asin Asin B ＋bcos 2A ＝2a ，∴bsin 2A ＋bcos 2A ＝2a ，即b ＝2a ，因此b a ＝ 2. (2)由c 2＝b 2＋3a 2及余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（1＋3）a 2c， (*) 又由(1)知，b ＝2a ，∴b 2＝2a 2，因此c 2＝(2＋3)a 2，c ＝2＋3a ＝3＋12 a. 代入(*)式，得cos B ＝22， 又0＜B ＜π，所以B ＝π4. 规律方法：1．运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标．若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理．2．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．例2、(2013·合肥模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A 2，cos 2A)，且m ·n ＝72. (1)求角A 的大小； (2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A2，cos 2A )， ∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3. 又∵m ·n ＝72， ∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12. ∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3，∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc . ① 又∵b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝3， 于是a ＝b ＝c ＝3，即△ABC 为等边三角形．规律方法：判定三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化．无论使用哪种方法，不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．例3、(2012·课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acos C ＋3asin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c.解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，则sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C . 所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin(A －π6)＝12. 又0<A <π，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. ① 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.② 由①②联立，得b ＝c ＝2.四、练习 变式练习1：(2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsin A ＝3acos B.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．变式练习2：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状五、作业布置六、板书设计1、正余弦定理2、变形式3、三角形中常用结论典例分析七、教学反思。

第1课时 §3.1.1 两角和与差的余弦【教学目标】 一、知识与技能：1．掌握两点间的距离公式及其推导； 2．掌握两角和的余弦公式的推导；3．能初步运用公式()C αβ±来解决一些有关的简单的问题 二、过程与方法经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系；三、情感态度价值观：用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用 教学重点难点：两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导 【教学过程】 一．复习回顾1．数轴两点间的距离公式：12MN x x =-．2．点(,)P x y 是α终边与单位圆的交点，则sin ,cos y x αα==． 二、新课讲解：1．两点间的距离公式及其推导设111222(,),(,)P x y P x y 是坐标平面内的任意两点，从点12,P P 分别作x 轴的垂线1122,P M P M ，与x 轴交于点1122(,0),(,0)M x M x ；再从点12,P P 分别作y 轴的垂线 1122,PN P N ，与y 轴交于点1122(0,),(0,)N y N y ．直线11PN 与22P M 相交于点Q ，那么11221PQ M M x x ==-， 21221QP N N y y ==-． 由勾股定理，可得2221212PP PQ QP =+2212x x y y =-+- 222121()()x x y y =-+-∴12PP =2．两角和的余弦公式的推导在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作角,αβ与β-，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点1P ，终边交⊙O 于点2P ；角β的始边为2OP ，终边交⊙O 于点3P ；角β-的始边为1OP ，终边交⊙O 于点4P ，则点1234,,,P P P P 的坐标分别是1(1,0)P ，2(cos ,sin )P αα，3(cos(),sin())P αβαβ++，4(cos(),sin())P ββ--，1324PP P P =，∴22[cos()1]sin ()αβαβ+-++22[cos()cos ][sin()sin ]βαβα=--+--得：22cos()αβ-+22(cos cos sin sin )αβαβ=-- ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-．（()C αβ+） 3．两角差的余弦公式在公式()C αβ+中用β-代替β，就得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （C αβ-）说明：公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。

１．常用的公式变形（１）由（sin α±cos α）２＝sin２α＋cos２α±２sin αcos α＝１±sin ２α.（２）由（sin α±cos α）２＝１±sin ２α⇒错误!（３）tan α±tan β＝tan（α±β）（１∓tan αtan β）；cos２α＝错误!，sin２α＝错误!.（４）sin α±cos α＝错误!sin错误!.２．几个常用的恒等变换（１）万能代换：sin α＝错误!；cos α＝错误!；tan α＝错误!.（２）恒等式：tan 错误!＝错误!＝错误!.[小题体验]１．计算：cos２错误!—错误!＝________.解析：原式＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!２．已知sin错误!＝错误!，sin错误!＝错误!，则tan x＝________.解析：因为sin错误!＝错误!，sin错误!＝错误!，两式展开相加得２sin x cos 错误!＝错误!，１两式相减得２cos x sin 错误!＝—错误!，２１２两式相除得tan x＝—7．答案：—7１．在三角函数式化简时，要结合三角函数的性质进行考虑，易出现符号的差错．２．三角恒等变换时，选择合适的公式会简化化简过程．易出现公式的不合理使用．[小题纠偏]１．（２0１9·镇江调研）已知x∈错误!，且sin ２x＝错误!，则sin x—cos x＝________.解析：∵x∈错误!，∴sin x＜cos x，又sin ２x＝错误!，∴sin x—cos x＝—错误!＝—错误!＝—错误!.答案：—错误!２．已知sin 错误!—cos 错误!＝—错误!，４５0°＜α＜５４0°，则tan 错误!＝________.解析：已知等式两边平方得sin α＝错误!，又４５0°＜α＜５４0°，所以cos α＝—错误!，所以tan 错误!＝错误!＝２．答案：２错误!错误![题组练透]１．化简：错误!＝________.解析：原式＝错误!＝２错误!cos α.答案：２错误!cos α２．化简：错误!（0＜θ＜π）．解：原式＝错误!＝cos错误!·错误!＝错误!.因为0＜θ＜π，所以0＜错误!＜错误!，所以cos错误!＞0，所以原式＝—cos θ.[谨记通法]１．三角函数式的化简要遵循“三看”原则２．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．错误!错误![锁定考向]研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．常见的命题角度有：（１）给值求值；（２）给角求值；（３）给值求角．[题点全练]角度一：给值求值１．（２0１8·启东中学高三测试）已知函数f（x）＝cos x（sin x＋cos x）—错误!，若f（α）＝错误!，则cos错误!＝________.解析：法一：f（x）＝cos x（sin x＋cos x）—错误!＝sin x cos x＋cos２x—错误!＝错误!sin ２x＋错误!—错误!＝错误!sin ２x＋错误!cos ２x＝错误!sin错误!，因为f（α）＝错误!，所以sin错误!＝错误!，所以cos错误!＝cos错误!＝sin错误!＝错误!.法二：f（x）＝cos x（sin x＋cos x）—错误!＝sin x cos x＋cos２x—错误!＝错误!sin ２x＋错误!—错误!＝错误!sin ２x＋错误!cos ２x，因为f（α）＝错误!，所以sin ２α＋cos ２α＝错误!，所以cos错误!＝cos 错误!cos ２α＋sin 错误!sin ２α＝错误!（cos ２α＋sin ２α）＝错误!×错误!＝错误!.答案：错误!角度二：给角求值２．化简：sin ５0°（１＋错误!tan １0°）＝________.解析：sin ５0°（１＋错误!tan １0°）＝sin ５0°错误!＝sin ５0°×错误!＝sin ５0°×错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝１．答案：１角度三：给值求角３．若sin ２α＝错误!，sin（β—α）＝错误!，且α∈错误!，β∈错误!，则α＋β＝________.解析：因为α∈错误!，所以２α∈错误!，因为sin ２α＝错误!，所以２α∈错误!.所以α∈错误!且cos ２α＝—错误!，又因为sin（β—α）＝错误!，β∈错误!，所以β—α∈错误!，cos（β—α）＝—错误!，所以cos（α＋β）＝cos[（β—α）＋２α]＝cos（β—α）cos ２α—sin（β—α）sin ２α＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!，又α＋β∈错误!，所以α＋β＝错误!.答案：错误![通法在握]三角函数求值的类型及解题策略（１）“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（２）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．（３）“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定[演练冲关]１．已知cos错误!＝错误!，则cos错误!＝________.解析：∵cos错误!＝sin错误!＝错误!，∴cos错误!＝１—２sin２错误!＝１—２×错误!２＝错误!.答案：错误!２．错误!＝________.解析：原式＝错误!＝错误!＝—错误!.答案：—错误!３．已知α∈错误!，tan错误!＝错误!，那么sin ２α＋cos ２α＝________.解析：由tan错误!＝错误!，知错误!＝错误!，所以tan ２α＝—错误!.因为２α∈错误!，所以sin ２α＝错误!，cos ２α＝—错误!.所以sin ２α＋cos ２α＝—错误!.答案：—错误!错误!错误![典例引领]１．（２0１9·睢宁模拟）已知函数f（x）＝错误!cos x cos错误!＋sin２x—错误!.（１）求函数f（x）的单调递增区间；（２）若x∈错误!，f（x）＝错误!，求cos ２x的值．解：（１）函数f（x）＝错误!cos x cos错误!＋sin２x—错误!＝错误!sin x cos x＋错误!—错误!＝sin 错误!，令２kπ—错误!≤２x—错误!≤２kπ＋错误!，k∈Z，得kπ—错误!≤x≤kπ＋错误!，k∈Z，故函数f（x）的单调递增区间为错误!，k∈Z.（２）∵x∈错误!，∴２x—错误!∈错误!，又f（x）＝sin错误!＝错误!，∴cos错误!＝错误!＝错误!，∴cos ２x＝cos错误!＝cos错误!cos错误!—sin错误!sin错误!＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.２．已知函数f（x）＝５sin x cos x—５错误!cos２x＋错误!（其中x∈R），求：（１）函数f（x）的单调区间；（２）函数f（x）图象的对称轴和对称中心．解：（１）因为f（x）＝错误!sin ２x—错误!（１＋cos ２x）＋错误!＝５错误!＝５sin错误!，由２kπ—错误!≤２x—错误!≤２kπ＋错误!（k∈Z），得kπ—错误!≤x≤kπ＋错误!（k∈Z），所以函数f（x）的单调增区间为错误!（k∈Z）．由２kπ＋错误!≤２x—错误!≤２kπ＋错误!（k∈Z），得kπ＋错误!≤x≤kπ＋错误!（k∈Z），所以函数f（x）的单调减区间为错误!（k∈Z）．（２）由２x—错误!＝kπ＋错误!（k∈Z），得x＝错误!＋错误!（k∈Z），所以函数f（x）的对称轴方程为x＝错误!＋错误!（k∈Z）．由２x—错误!＝kπ（k∈Z），得x＝错误!＋错误!（k∈Z），所以函数f（x）的对称中心为错误!（k∈Z）．[由题悟法]三角恒等变换在研究三角函数性质中的２个注意点（１）三角函数的性质问题，往往都要先化成f（x）＝A sin（ωx＋φ）＋b的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．（２）要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期．[即时应用]（２0１9·南通中学检测）已知函数f（x）＝cos２错误!，g（x）＝１＋错误!sin ２x.（１）设x＝x0是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，求g（２x0）的值；解：（１）f（x）＝cos２错误!＝错误!，∵x＝x0是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，∴２x0＋错误!＝kπ（k∈Z），∴２x0＝kπ—错误!（k∈Z），∴g（２x0）＝１＋错误!sin ４x0＝１＋错误!sin错误!＝错误!.（２）h（x）＝f（x）＋g（x）＝错误!＋１＋错误!sin ２x＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!sin错误!，∵x∈错误!，∴２x＋错误!∈错误!，∴sin错误!∈错误!，∴h（x）＝错误!＋错误!sin错误!∈错误!.即函数h（x）在错误!上的值域为错误!.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１8·东台期末）已知α∈（0，π），tan α＝２，则cos ２α＋cos α＝________.解析：由α∈（0，π），tan α＝２＝错误!，得α为锐角，结合sin２α＋cos２α＝１，可得sin α＝错误!，cos α＝错误!，∴cos ２α＋cos α＝２cos２α—１＋cos α＝２×错误!—１＋错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·苏州高三期中调研）已知tan错误!＝２，则cos ２α＝________.解析：cos ２α＝sin错误!＝２sin错误!cos错误!＝错误!＝错误!＝—错误!.答案：—错误!３．（２0１8·通州期末）已知cos错误!＝错误!，则sin错误!＝________.解析：∵cos错误!＝错误!，∴sin错误!＝sin错误!＝cos错误!＝２cos２错误!—１＝２×错误!２—１＝—错误!.答案：—错误!解析：原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!５．已知tan（３π—x）＝２，则错误!＝________.解析：由诱导公式得tan（３π—x）＝—tan x＝２，故错误!＝错误!＝错误!＝—３．答案：—３6．（２0１9·宜兴检测）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足４cos２错误!—cos ２（B＋C）＝错误!，则角A的大小为________．解析：由４cos２错误!—cos ２（B＋C）＝错误!，得２（１＋cos A）—cos ２（π—A）＝错误!，化简得４cos２A—４cos A＋１＝0，解得cos A＝错误!，∵0＜A＜π，故A＝错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１8·金陵中学检测）已知sin错误!＝cos错误!，则cos ２α＝________.解析：因为sin错误!＝cos错误!，所以错误!cos α—错误!sin α＝错误!cos α—错误!sin α，即错误!sin α＝—错误!cos α，所以tan α＝错误!＝—１，所以cos ２α＝cos２α—sin２α＝错误!＝错误!＝0．答案：0２．（２0１9·苏州中学模拟）已知α∈错误!，sin错误!＝错误!，则tan ２α＝________.解析：由sin错误!＝—cos α＝错误!，可得cos α＝—错误!.又α∈错误!，∴sin α＝错误!，tan α＝错误!＝—错误!，∴tan ２α＝错误!＝错误!.３．（２0１8·通州期中）计算：tan ２0°＋tan ４0°＋错误!tan ２0°·tan ４0°＝________.解析：tan ２0°＋tan ４0°＋错误!tan ２0°tan ４0°＝tan 60°（１—tan ２0°tan ４0°）＋错误!tan ２0°tan ４0°＝错误!—错误!tan ２0°tan ４0°＋错误!tan ２0°tan ４0°＝错误!.答案：错误!４．已知tan α，tan β是方程x２＋３错误!x＋４＝0的两根，且α，β∈错误!，则α＋β＝________.解析：由题意得tan α＋tan β＝—３错误!＜0，tan αtan β＝４＞0，所以tan（α＋β）＝错误!＝错误!，且tan α＜0，tan β＜0，又α，β∈错误!，故α，β∈错误!，所以α＋β∈（—π，0），所以α＋β＝—错误!.答案：—错误!５．（２0１9·如东中学月考）已知cos错误!＝错误!，错误!≤α≤错误!，则cos错误!＝________.解析：∵错误!≤α≤错误!，cos错误!＝错误!＞0，∴错误!＜α＋错误!≤错误!，∴sin错误!＝—错误!＝—错误!，∴sin α＝sin错误!＝错误!sin错误!—错误!cos错误!＝—错误!，cos α＝—错误!＝—错误!，∴cos ２α＝２cos２α—１＝—错误!，sin ２α＝２sin αcos α＝错误!，则cos错误!＝错误!cos ２α—错误!sin ２α＝—错误!.答案：—错误!6．已知cos（α＋β）＝错误!，cos（α—β）＝错误!，则tan αtan β的值为________．解析：因为cos（α＋β）＝错误!，所以cos αcos β—sin αsin β＝错误!.１因为cos（α—β）＝错误!，所以cos αcos β＋sin αsin β＝错误!.２１＋２得cos αcos β＝错误!.２—１得sin αsin β＝错误!.答案：错误!7．若tan α＋错误!＝错误!，α∈错误!，则sin错误!＝________.解析：由tan α＋错误!＝错误!，得错误!＋错误!＝错误!，所以错误!＝错误!，所以sin ２α＝错误!.因为α∈错误!，所以２α∈错误!，所以cos ２α＝—错误!.所以sin错误!＝sin ２αcos 错误!＋cos ２αsin 错误!＝错误!×错误!＝—错误!.答案：—错误!8．（２0１9·南京模拟）若tan α＋错误!＝错误!，α∈错误!，则sin错误!＋２cos错误!cos２α的值为________．解析：∵tan α＋错误!＝错误!，α∈错误!，∴tan α＝３或tan α＝错误!（舍去），则sin错误!＋２cos错误!cos２α＝sin ２αcos错误!＋cos ２αsin错误!＋错误!·错误!＝错误!sin ２α＋错误!cos ２α＋错误!＝错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!＝错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＋错误!＝0．答案：09．（２0１8·南通调研）已知sin错误!＝错误!，α∈错误!.求：（１）cos α的值；（２）sin错误!的值．解：（１）因为α∈错误!，所以α＋错误!∈错误!，又sin错误!＝错误!，所以cos错误!＝—错误!＝—错误!＝—错误!.所以cos α＝cos错误!＝cos错误!cos 错误!＋sin错误!sin 错误!＝—错误!×错误!＋错误!×错误!＝—错误!.（２）因为α∈错误!，cos α＝—错误!，所以sin ２α＝２sin αcos α＝２×错误!×错误!＝—错误!，cos ２α＝２cos２α—１＝２×错误!２—１＝—错误!.所以sin错误!＝sin ２αcos 错误!—cos ２αsin 错误!＝错误!×错误!—错误!×错误!＝—错误!.１0．（２0１9·扬州调研）已知cos错误!＝错误!，α∈错误!.（１）求sin α的值；（２）若cos β＝错误!，β∈（0，π），求cos（α—２β）的值．解：（１）∵cos错误!＝错误!，α∈错误!，∴sin错误!＝错误!＝错误!，∴sin α＝sin错误!＝sin错误!cos错误!—cos错误!sin错误!＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.（２）由（１）知cos α＝错误!＝错误!，∵cos β＝错误!，β∈（0，π），∴sin β＝错误!＝错误!，∴cos ２β＝２cos２β—１＝—错误!，sin ２β＝２sin βcos β＝２×错误!×错误!＝错误!，∴cos（α—２β）＝cos αcos ２β＋sin αsin ２β＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·启东高三测试）若sin ２α＝２cos错误!，则sin ２α＝________.解析：因为sin ２α＝２cos错误!，所以sin２２α＝４cos２错误!，即sin２２α＝４×错误!，所以sin ２２α＝２（１＋sin ２α），解得sin ２α＝１±错误!，显然sin ２α＝１＋错误!不成立，所以sin ２α＝１—错误!.答案：１—错误!２．化简：cos错误!cos错误!cos错误!cos错误!cos错误!＝________.解析：原式＝—cos错误!cos错误!cos错误!cos错误!cos 错误!＝—错误!＝—错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!３．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（—３，错误!）．（１）求sin ２α—tan α的值；（２）若函数f（x）＝cos（x—α）cos α—sin（x—α）sin α，求函数g（x）＝错误!f错误!—２f２（x）在区间错误!上的值域．解：（１）因为角α的终边经过点P（—３，错误!），所以sin α＝错误!，cos α＝—错误!，tan α＝—错误!.所以sin ２α—tan α＝２sin αcos α—tan α＝—错误!＋错误!＝—错误!.（２）因为f（x）＝cos（x—α）cos α—sin（x—α）sin α＝cos x，x∈R，所以g（x）＝错误!cos错误!—２cos２x＝错误!sin ２x—１—cos ２x＝２sin错误!—１，因为0≤x≤错误!，所以—错误!≤２x—错误!≤错误!.所以—错误!≤sin错误!≤１，所以—２≤２sin错误!—１≤１，故函数g（x）＝错误!f错误!—２f２（x）在区间错误!上的值域是[—２,１]．。

第六节 正弦定理、余弦定理[最新考纲] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦、余弦定理在△ABC 中，假设角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，那么 定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R .a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(3)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin A＝2R .cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．[常用结论]1．在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 2．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .3．内角和公式的变形(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C . 4．角平分线定理：在△ABC 中，假设AD 是角A 的平分线，如图，那么AB AC ＝BDDC.一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，假设sin A ＞sin B ，那么A ＞B .( ) (3)在△ABC 的六个元素中，任意三个元素可求其他元素． ( )(4)当b 2＋c 2－a 2＞0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2＜0时，△ABC 为钝角三角形．( )[答案](1)× (2)√ (3)× (4)× 二、教材改编1．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，那么b＝( )A ．2B ．1 C. 3D. 2D [由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A ＝sinπ4sinπ6＝22×2＝ 2.]2．在△ABC 中，假设a ＝18，b ＝24，A ＝45°，那么此三角形有( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定B [∵b sin A ＝24sin 45°＝122， ∴122＜18＜24，即b sin A ＜a ＜b . ∴此三角形有两解．]3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，那么这个三角形的形状为．等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ， 所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]4．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，那么△ABC 的面积等于． 23 [因为23sin 60°＝4sin B，所以sin B ＝1，所以 B ＝90°，所以AB ＝2，所以S △ABC ＝12×2×23＝2 3.]考点1 利用正、余弦定理解三角形问题 解三角形的常见题型及求解方法(1)两角A ，B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝π及a sin A ＝b sin B ＝csin C，可先求出角C 及b ，再求出c .(2)两边b ，c 及其夹角A ，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，先求出a ，再求出角B ，C . (3)三边a ，b ，c ，由余弦定理可求出角A ，B ，C . (4)两边a ，b 及其中一边的对角A ，由正弦定理a sin A ＝bsin B可求出另一边b 的对角B ，由C ＝π－(A ＋B )，可求出角C ，再由a sin A ＝c sin C 可求出c ，而通过a sin A ＝bsin B 求角B 时，可能有一解或两解或无解的情况．(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A －b sinB ＝4c sinC ，cos A ＝－14，那么bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC .①求A ；②假设2a ＋b ＝2c ，求sin C . (1)A [∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ， ∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－4c 2＋b 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴bc＝6.应选A.](2)[解] ①由得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.②由①知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24. 解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．[教师备选例题](2018·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． [解](1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6， 可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a ＜c ，故cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17，所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .b sin A ＋a cosB ＝0，那么B ＝.3π4 [∵b sin A ＋a cos B ＝0，∴a sin A ＝b－cos B.由正弦定理，得－cos B ＝sin B ，∴tan B ＝－1.又B ∈(0，π)，∴B ＝3π4.] 2．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝7，BC 边上中线AD ＝72，那么BC ＝.9 [设BD ＝DC ＝x ，∠ADC ＝α，∠ADB ＝π－α，在△ADC 中，72＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2x ×72cos α，①在△ABD 中，42＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2x ×72cos(π－α)，②①＋②得x ＝92，∴BC ＝9.]3．(2019·某某模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°.(1)求边长a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．[解](1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos 120°＝a 2＋a ＋22－a ＋422a a ＋2，即a 2－a －6＝0，所以a ＝3或a ＝－2(舍去)，所以a ＝3.(2)法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由三角形的面积公式得 12ab sin∠ACB ＝12c ×CD ， 所以CD ＝ab sin∠ACBc ＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin∠ACB ＝7sin 120°，即sin A ＝3314，在Rt△ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.考点2 与三角形面积有关的问题 三角形面积公式的应用原那么(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)[一题多解]设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．[解](1)由条件可得tan A ＝－3，A ∈(0，π)，所以A ＝2π3，在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，或c ＝4.(2)法一：如图，由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6， 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1，又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3. 法二：由余弦定理得cos C ＝27， 在Rt△ACD 中，cos C ＝ACCD，所以CD ＝7，所以AD ＝3，DB ＝CD ＝7， 所以S △ABD ＝S △ACD ＝12×2×7×sin C ＝7×37＝ 3.法三：∠BAD ＝π6，由余弦定理得cos C ＝27，所以CD ＝7，所以AD ＝3，所以S △ABD ＝12×4×3×sin∠DAB ＝ 3.(1)假设一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)假设三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)假设求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．[教师备选例题]△ABC 的面积为33，AC ＝23，BC ＝6，延长BC 至D ，使∠ADC ＝45°. (1)求AB 的长； (2)求△ACD 的面积．[解](1)因为S △ABC ＝12×6×23×sin∠ACB ＝33，所以sin∠ACB ＝12，∠ACB ＝30°或150°，又∠ACB ＞∠ADC ，且∠ADC ＝45°，所以∠ACB ＝150°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝12＋36－2×23×6cos 150°＝84，所以AB ＝84＝221.(2)在△ACD 中，因为∠ACB ＝150°，∠ADC ＝45°， 所以∠CAD ＝105°，由正弦定理得CD sin∠CAD ＝ACsin∠ADC ， 所以CD ＝3＋3，又∠ACD ＝180°－150°＝30°，所以S △ACD ＝12AC ·CD ·sin∠ACD ＝12×23×(3＋3)×12＝33＋12. 1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .假设b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，那么△ABC 的面积为．63 [法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.]2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)假设△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．[解](1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)．所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.考点3 判断三角形的形状 判断三角形形状的2种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，那么△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定B [由正弦定理得sin B cosC ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1， 即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．][母题探究]1．(变条件)本例中，假设将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． [解]∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin(A －B )＝0. 又A ，B 为△ABC 的内角． ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．2．(变条件)本例中，假设将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．[解] ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0＜C ＜π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ， 故△ABC 为等边三角形．在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的X 围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b＋c －a )＝3bc ，那么△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形word- 11 - / 11 C ．等边三角形 D ．钝角三角形C [因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝a c.所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.所以△ABC 是等边三角形．]2．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，假设a sin B ＋bsin A＝2c ，那么△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 C [因为a sin B ＋b sin A ＝2c ，所以由正弦定理可得sin A sin B ＋sin B sin A ＝2sin C ，而sin A sin B＋sin B sin A ≥2sin A sin B ·sin B sin A＝2，当且仅当sin A ＝sin B 时取等号．所以2sin C ≥2，即sin C ≥1.又sin C ≤1，故可得sin C ＝1，所以C ＝90°.又因为sin A ＝sin B ，所以A ＝B .故三角形为等腰直角三角形．应选C.]。

第三章三角恒等变换本章复习整体设计知识网络教学分析三角函数及其三角恒等变换不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后继内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一．切实掌握三角函数的基本变换思想是复习掌握好本章的关键．三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用，而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛．解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径——变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用．在本章的学习中，化归的数学思想和方法被多次运用，有了化归思想，就可以理解三角恒等式推导和变形的思路．在本节课的教学中，可以先组织学生自己回顾在本章教学中所学到的知识，自己绘制本章内容的结构框架图，梳理本章的知识体系，构建学生的知识结构．三角公式是三角变换的基本依据，在三角恒等变换的复习中，可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式及万能公式．通过对这些公式的探求，使学生学会预测变换的目标、选择变换的公式、设计变换的途径，帮助学生进一步提高推理能力和运算能力．学完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，三角函数又具有较强的渗透力，切实提高三角函数的综合能力是复习好本章的保证．因此，我们可以通过整合，将三角函数，平面向量结成一个知识板块来复习，并进行三角与向量相融合的综合训练，这样更有利于学生对平面向量、三角函数及三角恒等变换的深刻理解及运用．三维目标1．通过复习全章知识方法，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．并能正确地运用上述公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值、证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题．2．掌握简单的三角恒等变换的基本思想方法，并结合向量解决一些基本的综合问题．3．通过三角恒等变换体会数学的逻辑性的特征，进一步理解数学的化归思想、方程思想和代换意识，认识事物之间是相互依存、互相联系的．学会用联系和发展的观点认识事物，培养学生学会思考问题的方法，培养他们勇于探索创新的精神，磨练学生的意志．重点难点教学重点：和角公式、差角公式、倍角公式及其灵活应用．教学难点：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等变换中的综合运用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接导入)在第一章三角函数的基础上，我们又一起探究学习了第3章三角恒等变换的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力与运算能力．现在我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，请同学们画出本章的知识框图，由此进入复习．思路2.(问题导入)本章学习了几个公式？推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变换与代数式的变换有什么相同点？有什么不同点？分析三角函数式的特点对提高三角恒等变换的能力有什么帮助？通过学生解决这些问题展开全章的复习．推进新课知识巩固让学生回忆本章的学习过程：利用向量推导了两角差的余弦公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式．并进一步探究了积化和差、和差化积、万能公式、半角公式等几个三角恒等式．经历并体验了数学的发现与创造过程，体会了向量与三角函数与三角恒等变换公式之间的密切联系．学习了三角变换的基本方法，提高了我们的运算能力及逻辑推理能力．本章的公式关系见下表：教师始终注意通过恰时恰点的问题的提出，引导学生用类比、联系、化归的观点来理解这些公式的逻辑关系，认识公式的特点，联想与代数运算的相同与不同之处；三角恒等变换是代数式恒等变换的推广和发展；进行三角恒等变换，除了要熟练运用代数恒等变换的各种方法，还要抓住三角本身的特点，领会和掌握最基本最常见的变换．教师要引导学生明确三角变换不仅是三角函数式的结构形式变换，而且还有角的变换，以及不同三角函数之间的变换，使学生领悟有关公式在变换中的作用和用法，学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路．并让学生体会到通过三角恒等变换的探究训练，能大大提高他们的推理能力和运算能力．教师与学生一起归纳总结常见的变换有：(1)公式变换，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βα＋β，1＝tan αtan β＋tan α＋tan βα＋β， 1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α等．(2)角的变换，如α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；π4－α＝π2－(π4＋α)；π6＋α＝π2－(π3－α)等． 还需熟练掌握一些常见的式子： 如：sinx±cosx＝2sin(x±π4)，sinx±3cosx ＝2sin(x±π3)等． 对于化简，有两种常见的形式，(1)未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式；(2)根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式，以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变换、函数变换等各种变换．对于证明，它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明．(1)无条件恒等式的证明，需认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用．(2)有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件，需认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用，证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法．应用示例思路1例1(1)化简tan2Atan(30°－A)＋tan2Atan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)；(2)已知α为锐角，且tan α＝12，求sin2αcos α－sin αsin2αcos2α的值． 活动：本例是一个三角函数化简求值问题，属于给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值．关键是正确运用三角变换公式及常用思想方法，探索已知式与欲求式之间的差异和联系的途径和方法．教师可以大胆放手，让学生自己独立探究，必要时给予适时的点拨引导．但要让学生明白，从高考角度来看，关于三角函数求值问题是个重要题型、命题热点，一直备受高考的青睐．因为三角函数求值问题能综合考查考生三角变换、代数变形的基本运算能力和灵活运用公式、合理选用公式、准确选择解题方向的思维能力，且题目的答案可以简单明了．并让学生明了解决这些问题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式．比如在本例的(1)中，首先应想到将倍角化为单角这一基本的转化方法．教师还应点拨学生思考，求三角函数式的值必须明确求值的目标．一般来说，题设中给出的是一个或某几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题设中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式．如本例的(2)中，目标是弦且是和差角，而条件是切且是单角．在学生探讨向目标转化的过程中，由于视角不同，思考方式不同，学生会有多种解法，教师应鼓励学生一题多解，对新颖解法给予表扬．解：(1)∵tan(90°－2A)＝tan[(30°－A)＋(60°－A)]＝－＋－1－－－，∴tan(30°－A)＋tan(60°－A)＝tan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]． ∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝tan2Atan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]＋t an(30°－A)tan(60°－A) ＝1－tan(30°－A)tan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝1.(2)原式＝2sin αcos αcos α－sin α2sin αcos αcos2α＝sin α2cos 2α－12sin αcos αcos2α＝cos2α2cos αcos2α＝12cos α.∵tan α＝12，又α∈(0，π2)，即2sin α＝cos α，又由sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝25.∴sin2αcos α－sin αsin2αcos2α＝54. 点评：本两题主要回顾了和差、二倍角公式的使用，及三角函数化简求值题目的一般解法；由于公式本身就是等式，所以从方程观点出发进行变形也是一种行之有效的变形办法．由此产生逆变公式、整体变换公式等方法的灵活运用，本例的两种解法其实质是一样的．学生解决完后，教师应抓住这最佳时机，留出一定的时间让学生反思、领悟解决问题所用到的化归等数学思想方法．例2已知α、β∈(0，π4)，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值．活动：本题属于给值求角，综合性强，有一定的难度，教师应在学生探究中适时给予恰当的点拨：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论，即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，如本例，联想条件的形式，确定目标选用和角的正切．这点要提醒学生在解题过程中细细体会，领悟其要领，掌握其实质．解：∵3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，∵α、β∈(0，π4)，∴0<α＋β<π2.∴cos (α＋β)≠0，cos α≠0.∴tan(α＋β)＝2tan α.由4tan α2＝1－tan 2α2，得4tan α21－tan 2α2＝1，即得2tan α＝1. 代入tan(α＋β)＝2tan α，得tan(α＋β)＝1.又0<α＋β<π2，∴α＋β＝π4. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．思路2例题 已知θ∈(π2，π)，2cos 2θ－sin θcos θ－sin 2θ＝0，求tan θ和sin(2θ＋π3)的值． 活动：本题主要训练同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能，是一道较为综合的题目．本题能较全面地考查到三角函数的重要公式，有多种解题的切入口，通过探究，学生可从中体会不同的数学思想方法，本题解题思路清晰，运算过程不繁杂，不必运用特殊的解题技巧．本题基本解法是常规的因式分解法，也可运用方程的思想，通过换元先解一个一元二次方程，还可以运用三角函数的定义来解题．可说是一道较为简单、考查全面的好题，教师可完全放给学生自己探究，必要时给以点拨．解：∵2cos 2θ－sin θcos θ－sin 2θ＝0，∴cos θ≠0.∴上式两边同除以cos 2θ，得tan 2θ＋tan θ－2＝0.解得tan θ＝－2.〔∵θ∈(π2，π)，∴舍去tan θ＝1〕 ∴sin(2θ＋π3)＝sin2θcos π3＋cos2θsin π3＝sin θcos θ＋32(2cos 2θ－1) ＝sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ－32＝tan θ＋3tan 2θ＋1－32＝－4＋3310. 点评：三角函数的解法多样，教师应鼓励学生一题多解，如本题中，可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－2cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ、cos θ的值，再代入得解，也是一种不错的思路. 变式训练 已知函数f(x)＝sin 2x ＋2sinxcosx ＋3cos 2x ，x∈R ，求：(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x 的取值集合； (2)函数f(x)的单调增区间．解：(1)方法一：∵f(x)＝1－cos2x 2＋sin2x ＋＋2＝2＋sin2x ＋cos2x ＝2＋2sin(2x ＋π4)， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k∈Z )时，f(x)取得最大值2＋ 2. 因此，f(x)取得最大值时自变量x 的取值集合是{x|x ＝k π＋π8，k∈Z }． 方法二：∵f(x)＝(sin 2x ＋cos 2x)＋sin2x ＋2cos 2x＝1＋sin2x ＋1＋cos2x ＝2＋2sin(2x ＋π4)， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k∈Z )时，f(x)取得最大值2＋ 2. 因此，f(x)取得最大值时自变量x 的取值集合是{x|x ＝k π＋π8，k∈Z }． (2)f(x)＝2＋2sin(2x ＋π4)， 由题意，得2k π－π2≤2x＋π4≤2k π＋π2(k∈Z )，即k π－3π8≤x≤k π＋π8(k∈Z )． 因此，f(x)的单调增区间是[k π－3π8，k π＋π8](k∈Z ). 知能训练课本复习题1～4.作业课本复习题5、6、7.课堂小结1．先由学生总结归纳本节所复习的知识及数学思想方法，明确三角恒等变换所涉及的公式主要是和角公式、差角公式、倍角公式以及万能公式，这些公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数学和许多其他学科中都有广泛的应用，必须熟练掌握，并搞清这些公式的逻辑关系和推导公式过程中所涉及的数学思想方法．2．教师强调，对一些公式不仅会用，还会逆用、变形用．三角函数是三角变换的对象，在进行三角恒等变换时，要认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子的结构特征，以便使用恰当的变形手段，巧妙地解决问题．设计感想1．本节为全章复习课，教案设计的指导思想是：通过设计的教学程序，引导学生对全章，甚至对涉及前两章的相关内容进行全面的复习整合，在掌握数学知识的同时，深刻领悟数学思想方法，提高他们分析问题、解决问题的能力．2．本章在新课程中的位置是承上启下，前有三角函数，后有解三角形，所以三角函数式的恒等变形是解决有关三角问题的重要环节，蕴含着丰富的数学思想方法，教师在指导学生复习时要引导学生深刻领悟这一点．3．三角函数公式众多，教学时要充分体现新课标的“以学生发展为本”的新理念，让学生亲自探究体验，切忌被动学习、死记硬背、机械地训练．在指导学生运用三角公式进行三角变换时，注意点拨学生从三角函数名称和角的差异双角度去综合分析，再从差异的分析中决定三角公式的选取，不可生搬硬套．备课资料一、三角函数式的化简、求值与证明求值、化简、证明是三角变换的中心内容，在高考中出现的三角变换大题，多数都是求值、化简类型．其解法的依据是三角恒等变换公式及代数中恒等变换知识，如配方法、消元法、因式分解、比例性质、判别式法、待定系数法等．化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用．常用方法是：化异名函数为同名函数，化异角为同角，化异次为同次，切化弦，特殊角与特殊值的三角函数互化．对于三角公式要记忆准确(在理解基础上)，并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性．求值可分为给角求值、给值求值、给值求角三部分．给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数；给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而使问题获解；给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性．三角恒等式的证明，包括条件恒等式和无条件恒等式两种．无条件等式的证明，常用综合法、分析法、转换命题法、同一法等，证明的形式有化繁为简，左右归一等，无论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明突破口；有条件的等式证明，常常先观察条件及欲证式中左、右两边三角函数式的区别与联系，灵活使用条件，变形得证，证明方法主要是基本量法和消去法．在三角变换中，要自觉地运用化归的思想、方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、换元的思想去处理问题．二、备用习题1．函数y ＝cos 4x －sin 4x 的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π2．函数y ＝12＋sinx ＋cosx的最大值是( ) A.22－1 B.22＋1 C ．1－22 D ．－1－22 3．若θ∈(π4，π2)，sin2θ＝116，则cos θ－sin θ的值为( ) A.34 B ．－34C ．－154 D.1544．函数y ＝2sinx(sinx ＋cosx)的单调递减区间是( )A ．[2k π－π8，2k π＋7π8]，k∈ZB ．[2k π＋7π8，2k π＋15π8]，k∈ZC ．[k π－π8，k π＋5π8]，k∈ZD ．[k π＋3π8，k π＋7π8]，k∈Z5．求函数y ＝sin2xcosx 1－sinx的值域． 6．化简：f(x)＝cos 2x ＋cos 2(60°＋x)＋cos 2(120°＋x)．参考答案：1．B 2.B 3.C 4.D5．解：y ＝sin2xcosx 1－sinx ＝2sinxcos 2x 1－sinx ＝－sin 21－sinx ＝2sinx(1＋sinx)，sinx≠1，∴y＝2sin 2x ＋2sinx ＝2(sinx ＋12)2－12. 令t ＝sinx ，则t∈[－1,1)，∴y＝2(t ＋12)2－12. ∴当t∈[－1,1)时，y∈[－12，4)． 6．解：f(x)＝1＋cos2x2＋1＋＋2＋1＋＋2 ＝32＋12[cos2x －cos(60°－2x)＋cos(240°＋2x)] ＝32＋12[cos2x －12cos2x －32sin2x －12cos2x ＋32sin2x] ＝32. (设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(直接导入)请同学们回忆上一节复习的内容，教师点出，上一节我们一起复习了本章的三角函数公式，以及它们之间的内在联系，这一节我们将通过例题分析，继续探讨三角函数应用问题，重点是复习与向量有关的一些综合问题．思路2.(问题导入)教师开始就提出以下问题让学生探究，(1)不查表求sin 220°＋cos 280°＋3cos20°cos80°的值．(2)已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值．学生专心解决问题的探究过程就已展开了新课． 推进新课 知识巩固教师打出幻灯，根据上节复习的知识方法，请解答以下一组考试题：1．设α、β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π42．已知a ＝(sin α－cos α，2 007)，b ＝(sin α＋cos α，1)，且a ∥b ，则tan2α－1cos2α等于( )A ．－2 007B ．－12 007C ．2 007 D.12 0073．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－74．若α、β∈(0，π2)，cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12，则cos(α＋β)的值等于________．5．已知tan(π4＋θ)＋tan(π4－θ)＝4，且－π<θ<－π2，求sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ的值．活动：由学生自己独立完成，对找不到思路的学生教师可给予适时的点拨，上述1～4都是2007、2006年的高考或模拟题．从中可看出，三角函数的化简、求值及恒等式的证明是三角变换的基本问题，各市地在高考中都有所体现，在考查三角公式的掌握和运用的同时，还注重考查思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算推理能力．特别是三角求值，需充分利用公式变形，而公式变形过程中可以充分体现数学思想和观点，充分体现数学公式的转化和简化功能，使学生深刻理解数学公式的本质，所以，高考三角求值题倍受命题人的青睐，使得成为出题频率较多的题型，但其难度较小．如以上几例，让学生在探究中体会怎样选择有用的公式，或其变形式．答案：1.C 注意选用α＋β的余弦．2．C 需利用向量平行的条件对已知进行转化，然后把所求式子切化弦，通分后再利用倍角公式化单角来解决．3．A 利用同角三角函数的基本关系式可求得余弦值，然后利用和角的正切公式解决． 4．－12 先确定角的范围，－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，可得α－β2＝π6，α2－β＝－π6，∴α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)＝π3，α＋β＝2π3，cos(α＋β)＝－12. 5．解：由tan(π4＋θ)＋tan(π4－θ)＝4，得π4＋θπ4＋θ＋π4－θπ4－θ＝π4＋θ＋π4－θπ4＋θπ4－θ＝1π4cos θ2－π4sin θ2＝2cos 2θ－sin 2θ＝4，则cos 2θ＝34. ∵－π<θ<－π2，∴cos θ＝－32，sin θ＝－12，sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ＝14－2×32×12－34＝－1＋32. 应用示例思路1例1若cos(π4－x)＝－45，5π4<x<7π4，求sin2x －2sin 2x1＋tanx.活动：本例题是一道综合型的中档题目，具有很好的训练价值，其变形式子在多处的高考试题中都有所体现．教师引导学生探讨题目中的已知条件与所求式子的角的关系，寻找解决问题的突破口．如转化为已知一个角(π4－x)的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题．这样可以将所求式子化简，使其出现(π4－x)这个角的三角函数．教师要鼓励学生多视角观察，以探求更多的解题思路，从中比较最优解法．解：sin2x －2sin 2x 1＋tanx＝－cosx ＋sinx＝－cosx ＋sinx＝sin2x·1－tanx 1＋tanx ＝sin2xtan(π4－x)＝cos(π2－2x)tan(π4－x)＝[2cos 2(π4－x)－1]tan(π4－x)．∵5π4<x<7π4，∴－3π2<π4－x<－π.又∵cos(π4－x)＝－45，∴sin(π4－x)＝35，tan(π4－x)＝－34.∴原式＝(2×1625－1)×(－34)＝－21100.点评：在解答某些三角函数的求值问题时，要能够合理地利用公式，引导学生观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用，这里就是应用了正切和角公式的逆用，而且还是很重要的一步.变式训练已知cos α－sin α＝325，(1)求m ＝15sin2αα＋π4的值；(2)若函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝3对称，且f(－1)＝320，试求f(m)的值．解：(1)由已知cos α－sin α＝325，得cos(α＋π4)＝35.又因为sin2α＝－cos(π2＋2α)＝1－2cos 2(α＋π4)＝725，所以m ＝15sin2αα＋π4＝7.(2)由题意，函数f(x)的图象关于直线x ＝3对称， 因此，f(3＋x)＝f(3－x)，所以f(m)＝f(7)＝f(3＋4)＝f(3－4)＝f(－1)＝320.例2已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α的值．活动：本题是2002年高考试卷解答题的第一题，但常解常新．虽然综合性很强，但试题难度并不大，对学生的逻辑思维能力和运算能力有很好的训练价值．本题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能．按照较易题的要求来考查三角函数的重点知识．教师大胆放手让学生探究，必要时适时的给予点拨，鼓励学生一题多解．解答本题常出现的失误有：(1)记错三角公式，如“cos2α＝2sin 2α－1”等；(2)解题中未能及时消去相同的项以简化运算，如将原式化为关于sin α的四次方程，造成运算烦琐，或不能得到结果；(3)用一个算式去除等式两边时，未先确认这个算式不等于零，推理不严密；(4)恒等变形中，移项时符号出错或合并同类项时系数出错，导致解题结果错误．可以此来检查学生的掌握程度．解：方法一：由倍角公式，sin2α＝2sin αcos α，cos2α＝2cos 2α－1，得 4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝2α(2sin 2α＋sin α－1)＝2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0，∵α∈(0，π2)，∴sin α＋1≠0，cos 2α≠0.∴2sin α－1＝0，即sin α＝12.∴α＝π6.∴tan α＝33.方法二：由题设得sin 22α＋sin2αcos α－2cos 2α＝0，即(sin2α＋2cos α)(sin2α－cos α)＝0.∵α∈(0，π2)，∴sin2α＋2cos α≠0.∴sin2α－cos α＝0.∵cos α≠0，∴2sin α－1＝0，即sin α＝12.∴α＝π6.∴tan α＝33.方法三：由题设得sin 22α＋sin2αcos α－2cos 2α＝0，将其看成关于sin2α的一元二次方程，得sin2α＝－cos α±cos 2α＋8cos 2α2＝－cos α±3cos α2，∴sin2α＝－2cos α或sin2α＝cos α.∵α∈(0，π2)，∴sin2α≠－2cos α.∴sin2α＝cos α(以下同方法二)．点评：本题是考查三角函数的综合题，能抓住“二倍角公式”和“同角三角函数关系式”这两个知识重点，把它们有机地组合在一起．解题过程运用“换元法”等基本数学方法，体现方程思想，在考查基础知识和基本技能的同时达到考查数学思想方法的目标. 变式训练已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈(π2，π)，a ·b ＝25，求52sin2α－α＋π42cos2α2的值．解：∵a ·b ＝cos2α＋sin α(2sin α－1)＝2cos 2α－1＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.又∵α∈(π2，π)，∴cos α＝－45.∴cos(α＋π4)＝－7210.∴52sin2α－α＋π42cos2α2＝52×2×35－45＋28210－45＋1＝－10 2.例3已知函数f(x)＝2asin 2x －23asinxcosx ＋a ＋b(a≠0)的定义域为[0，π2]，值域为[－5,1]，求常数a 、b 的值．活动：本题是一道经典三角综合题，属于结合三角函数性质运用的综合性中档题目．教师引导学生思考，对于涉及三角函数值域等性质的问题，首先应考虑将函数化为一个角一种函数形式，本题通过降次，逆用二倍角公式后，形成了y ＝asinx ＋bcosx 型的函数，再应用y ＝asinx ＋bcosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a ，需引起学生的高度重视．首先通过三角恒等变形，将函数化成一个角一种函数形式，然后注意函数定义域对确定函数的值域的影响，可让学生独立探究，教师适时点拨．解：f(x)＝a(1－cos2x)－3asin2x ＋a ＋b ＝－a(cos2x ＋3sin2x)＋2a ＋b ＝－2asin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，∵x∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]．∴－12≤sin(2x＋π6)≤1.因此，由f(x)的值域为[－5,1]，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a>0，－－12＋2a ＋b ＝1，－2a×1＋2a ＋b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－2a×1＋2a ＋b ＝1，－－12＋2a ＋b ＝－5.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.点评：解题运用通性通法，不追求特殊解题技巧，是一道难度合适的试题．解完后教师及时引导学生进行反思，注意体会解决本题用到的数学思想方法.思路2例1已知tan(α＋π4)＝－12，π2<α<π，(1)求tan α的值；(2)求sin2α－2cos 2α2α－π4的值．活动：本题作为济南市的一模统考题，位置在六道解答题的第一题，由此可看出三角函数化简求值题的难度属于容易题，整个三角题目的高考难度也如此．因此在平时指导学生训练时教师要控制好这个难度．根据正切和角公式，由本题条件易得正切值，再将所求式子化简求值即可．对于本题的探究解答，可完全留给学生自己完成，教师只需在关键地方对部分学生给予指导点拨．解：(1)由tan(α＋π4)＝－12，π2<α<π，得1＋tan α1－tan α＝－12，解之，得tan α＝－3.(2)sin2α－2cos 2α2α－π4＝2sin αcos α－2cos 2αsin α－cos α＝2cos α，∵π2<α<π，且tan α＝－3，∴cos α＝－1010，即原式的值为－105. 点评：解这类求值题一定要在化简上多下些功夫，至于究竟化简到什么程度，这要具体结合题目条件而定．学生解完后教师要引导学生进行反思，并要求学生书写规范，思路清晰，解答过程简洁流畅.变式训练已知α为第二象限角，且sin α＝1213，求π4－αα＋5π2的值．解：∵sin(2α＋5π2)＝sin[π2＋(2π＋2α)]＝cos(2π＋2α)＝cos2α，∴原式＝π4－αα＋5π2＝cos π4cos α＋sin π4sin αcos2α＝22α＋sin αcos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝2α－sin α.∵α为第二象限角，且sin α＝1213，∴cos α＝－1－sin 2α＝－513.∴原式＝－13234.例2设向量a ＝(1＋cos α，sin α)，b ＝(1－cos β，sin β)，c ＝(1,0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2＝π6，求sinα－β4的值．活动：本题是一道经典试题，多次多处用作试题，题目基础性强且难度不大，题干结构优美，主要考查向量及运算、三角函数公式变换的有关知识，以及综合探究问题和解决问题的能力．教师先让学生探究思路，寻找解题方向，适时的点拨学生．思考过程要从角、三角函数种类、式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳．可由已知找到θ1、θ2与α、β关系，由θ1－θ2＝π6，求得α－β2，进而求得sin α－β2的值．解：a ＝2cos α2(cos α2，sin α2)，b ＝(2sin 2β2，2sin β2cos β2)＝2sin β2(sin β2，cos β2)，∵α∈(0，π)，β∈(π，2π)，∴α2∈(0，π2)，β2∈(π2，π)．故|a |＝2cos α2，|b |＝2sin β2，cos θ1＝a ·c |a ||c |＝2cos2α22cosα2＝cos α2，∴θ1＝α2.cos θ2＝b ·c |b ||c |＝2sin2β22sinβ2＝sin β2＝cos(β2－π2)．∵0＜β2－π2＜π2，∴θ2＝β2－π2.又θ1－θ2＝π6，∴α2－β2＋π2＝π6.∴α－β2＝－π3.∴sin α－β4＝sin(－π6)＝－12. 点评：本题的关键是找到角的关系，教师不要直接给出解答，让学生自己探究发现，因为学生学习数学应当是以积极的心态调动原有的认知和经验，尝试解决新问题、理解新知识的有意义的过程．解完后让学生反思：计算两条向量的夹角问题与三角函数有关，故向量可。

教案：高中数学——正弦定理、余弦定理及应用教案编写者：教学目标：1. 理解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 掌握正弦定理、余弦定理的应用方法；3. 能够运用正弦定理、余弦定理解决实际问题。

教学重点：1. 正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 正弦定理、余弦定理的应用方法。

教学难点：1. 正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用。

教学准备：1. 教师准备PPT、教案、例题及练习题；2. 学生准备笔记本、文具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生回顾正弦、余弦函数的定义及图像；2. 提问：如何利用三角函数解决几何问题？引出正弦定理、余弦定理的学习。

二、正弦定理（15分钟）1. 讲解正弦定理的定义：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等；2. 解释正弦定理的几何意义：三角形任意一边的长度等于这一边所对角的正弦值乘以对边的长度；3. 举例说明正弦定理的应用方法，如已知三角形两边和一边的对角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握正弦定理的应用。

三、余弦定理（15分钟）1. 讲解余弦定理的定义：在一个三角形中，各边的平方和等于两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍；2. 解释余弦定理的几何意义：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍；3. 举例说明余弦定理的应用方法，如已知三角形两边和它们的夹角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握余弦定理的应用。

四、应用练习（15分钟）1. 给学生发放练习题，要求学生在纸上完成；2. 学生在纸上完成练习题，教师巡回指导；3. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。

1. 回顾本节课学习的正弦定理、余弦定理的定义及应用；2. 强调正弦定理、余弦定理在解决几何问题中的重要性；3. 提醒学生课后复习巩固，做好预习准备。

教学反思：本节课通过讲解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义，让学生掌握了这两个重要定理的应用方法。

高中数学第三章三角恒等变换3.3 几个三角恒等式导学案苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章三角恒等变换3.3 几个三角恒等式导学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章三角恒等变换3.3 几个三角恒等式导学案苏教版必修4的全部内容。

3。

3 几个三角恒等式课堂导学三点剖析1。

三角函数恒等式应用举例【例1】 运用三角函数变换证明tan 2α=ααααcos 1sin sin cos 1+=-. 思路分析：由于角不一致，首先应统一角度，即运用倍角公式设法将tan2α变成角α的三角函数.证明：tan 2α=2cos2sin αα =αααααsin cos 12cos2sin 22sin 22-=. tan 2α=2cos2sin αα=.cos 1sin 2cos 22cos 2sin 22ααααα+= ∴tan 2α=αααcos 1sin sin cos 1+=-a 成立。

温馨提示这组公式的结构特征是用cosα与sinα表示2α的正切值,可称为半角公式. 2．三角函数变换的应用【例2】 将下列各式化简为Asin(ωx+φ）的形式：（1）cosx —sinx ；(2）3sinx+3cosx ；(3)3sinx-4cosx;（4)asinx+bcosx(ab≠0).思路分析：本题主要考查两角和（差）的正余弦公式的恒等变形。

解：（1）cosx —sinx=-（sinx-cosx ） =2-(22sinx-22cosx) =2-（sinxcos 4π-cosxsin 4π） =2-sin(x —4π).本题化简结果不唯一,也可这样变换：cosx —sinx=2(22cosx —22sinx ） =2（sinxcos 43π+cosxsin 43π）=2sin （x+43π).（2)3sinx+3cosx=23(23sinx+21cosx ） =23（sinxcos 6π+cosxsin 6π) =23sin(x+6π).(3)3sinx —4cosx=5（53sinx 54-cosx ）令cosφ=53,φ为第一象限角，则sinφ=54。