八年级数学下册 专题 构造三角形的中位线课件 (新版)浙教版

A
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D
C
D
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A E
F
B
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C
B
C
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形有三条中位线
探索学习
合作学习
剪一刀，将一张三角形纸片剪成 一张三角形纸片和一张梯形纸片 .
B
（1）要保证剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片， 剪痕的位置有什么要求？（比如像这样） （2）若要使△ADE与梯形DBCE能拼成平行四边形， 还要有什么要求？ （3）要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形， 可将其中的三角形作怎样的图形变换？ D
A
A
E
D
C
D
E
A E
F
B
C
B
C
三角形的中位线与第三边有什么关系?
三角形的中位线平行且等于第三边的一半
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
1 求证： DE // BC 2
证明：如图，以点E为旋转中心，把⊿ADE绕点E， 按顺时针方向旋转180゜，得到⊿CFE 得到⊿CFE，⊿ADE≌⊿CFE. ∴∠ADE=∠F，AD=CF，DE=EF ∴AB∥CF 又∵BD=AD=CF, ∴四边形BCFD是平行四边形
A E H
证明：如图，连接AC
D G
F C
∵EF是△ABC的中位线 EF// 1 AC 2 1 同理得： GH// AC 2 GH//EF ∴四边形EFGH是平行四边形
B
①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 ②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线
合作学习
从例题中你能得到什么结论？
顺次连接四边形各边中点的 线
练一练: 如图，已知△ABC，D、E、F分 别是BC、AB、AC边上的中点。 B E D

又∵E 是 BC 的中点，∴DE 是△BCF 的中位线，∴DE∥AB. (2)∵DE 是△BCF 的中位线，∴DE＝12BF.
又∵AC＝AF，∴BF＝AB－AF＝AB－AC.∴DE＝12(AB－AC).
反思
在三角形中，若有一边中点和倍分关系，常构造三角形的 中位线来解题，这正是常说的“遇中点想中位线”.
【AB＝2BC＝2a，∴AC＝ 3a.
∵DE 是△ABC 的中位线，∴CE＝ 23a. ∵CF＝12BC＝12a，∴FE＝a，∴∠FEC＝30°，∴∠AEM＝30°＝∠A，∴EM＝ AM， ∴△FMB 的周长＝BF＋FE＋EM＋BM ＝【B答F案＋】FE＋92aAM＋MB＝BC＋CF＋FE＋AB＝92a.
∴DE＝12BF＝12(AB＋AF)＝12(AB＋AC).
反思
三角形的中位线定理是一个倍分定理，在解决倍分问题 时，常用它将线段加倍或减半.
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【例 2】 如图 4-5-2，在△ABC 中，AB＞AC，AD 平分∠BAC，CD⊥AD 于点 D，E 是 BC 的中点，连结 DE.求证： (1)DE∥AB.
(2)DE＝12(AB－AC).
图 4-5-2
(例 2 解)
【解析】 (1)如解图，延长 CD 交 AB 于点 F.
∵AD⊥CF，AD 平分∠BAC，∴AC＝AF，CD＝FD.
学习指要
知识要点
1.三角形的中位线的定义： 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
重要提示
1.三角形的中位线定理是非常重要的一个定理，它的结论既有 两条线段之间的位置关系(平行)，又有两条线段之间的数量关 系(1∶2).

符号语言
如图所示， , , 是 的中位线.
三角形的中位线定理
内容
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
符号语言
如图所示， 为 的中位线, ，且 .
应用
（1）位置关系：证明两直线平行.（2）数量关系：证明线段的相等或倍分关系.
辨析 三角形的中位线与三角形的中线的区别与联系
① ；
② ；
③
教材深挖中点四边形教材第99页例题中的四边形 是通过连结四边形 各边的中点形成的，这样的四边形称为中点四边形，并且一定是平行四边形，与四边形 的形状无关.
任意四边形的中点四边形都是平行四边形
典例1 如图， 对角线 ， 相交于点 ， 是 的中点，连结 ，若 , , 则 的周长是( )
第4章 平行四边形
4.5 三角形的中位线
学习目标
1.了解三角形的中位线的概念.2.了解三角形的中位线定理.3.会用三角形的中位线定理解决一些简单问题.
知识点 三角形的中位线及三角形的中位线定理 重点
三角形的中位线
内容
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
点 ， 分别是 ， 的中点.
B
A. B. C. D.
[解析] ， ， 分别是 ， ， 的中点， ， ，∴四边形 的周长 .

A
A. B. C. D.
[解析] ∵四边形 是平行四边形， . 是 的中点， 是 的中位线， ， 的周长 .
本节知识归纳
考点 利用三角形的中位线定理计算
典例2 [2022·丽水中考] 如图，在 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点．若 ， ，则四边形 的周长是( )
三角形的中位线
三角形的中线
图示

本节知识归纳
考点 利用三角形的中位线定理计算
典例2[2022·丽水中考]如图，在中，，，分别是，，的中点．若，，则四边形的周Байду номын сангаас是()
B
A.B.C.D.
[解析]，，分别是，，的中点，，，∴四边形的周长.
第4章 平行四边形
4.5 三角形的中位线
学习目标
1.了解三角形的中位线的概念.2.了解三角形的中位线定理.3.会用三角形的中位线定理解决一些简单问题.
知识点 三角形的中位线及三角形的中位线定理 重点
三角形的中位线
内容
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
点，分别是，的中点.
符号语言
如图所示，,,是的中位线.
①；
②；
③
教材深挖中点四边形教材第99页例题中的四边形是通过连结四边形各边的中点形成的，这样的四边形称为中点四边形，并且一定是平行四边形，与四边形的形状无关.
任意四边形的中点四边形都是平行四边形
典例1如图，对角线，相交于点，是的中点，连结，若,,则的周长是()
A
A.B.C.D.
[解析]∵四边形是平行四边形，.是的中点，是的中位线，，的周长.
图示
区别
连结三角形两边中点的线段.如线段.
连结三角形一个顶点与它对边中点的线段.如线段.
.
联系
三角形的中位线与第三边上的中线互相平分.如的中位线与其中线互相平分.
敲黑板
与三角形中位线有关的结论
（1）三角形有三条中位线.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成4个全等的小三角形，每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.如图，点,,分别是三角形三边,,的中点,则

教学课件
数学 八年级下册 浙教版
第一页，共十一页。
第4章 平行四边形
4.5 三角形的中位线
第二页，共十一页。
AF是△ABC的中线 A
我们把DE叫△ABC的中位线
定义：连结三角形 两边中点的线段
叫做三角形的中位线.
D
E
注意
三角形的中位线和三角形的中线
B
F
C 不同
第三页，共十一页。
区分三角形的中位线和中线：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
已知：在△ABC 中，DE是△ABC的中位线. 求证：DE ∥ BC，且DE= BC1 .
2
证明：以点E为旋转中心，把 ADE绕点E,按顺
时针方向旋转180°，得 CEF，则D，E，F在同
一直线上，DE=EF，且 ADE CFE.
ADE F，AD CF，
_____cm,面积是__
试一试你们的眼力，比一比你们的猜想，看下面的一段文字.
（1）请每一个同学任意画一个四 边形ABCD，取各边中点E，F， G， H，再连结EF，FG，GH，HE，试 判断四边形的形状.
（2）同组伙伴的猜想与你一致吗？
2
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的2倍或一半
第六页，共十一页。
学以致用 已知：如图 ，在ΔABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的 中点.
（1）指出图中有几个平行四边形？ （2）图中与ΔDEF全等的三角形有哪几个？ （3）若ΔABC的周长为6cm,面积为12cm2,则ΔDEF的周长是
三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段.
三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段 理解三角形的中位线的定义的两层含义:

• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/16
谢谢观看
又可得CF=BE,CF//BE
所以四边形BCFE是平行四边形
B
C
则有DE//BC,DE= 1 EF= 1 BC
22
三角形中位线定理：三角形中位线平行于 第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理有两个结论： （1）表示位置关系------平行于第三边；
（2）表示数量关系------等于第三边的一半。
应用时要具体分析，需要哪一个就用哪一个。
【例题】求证：顺次连结四边形四条边的中点，
所得的四边形是平行四边形。
AH
D
证明： 连结AC
∵AH=HD，CG=GD
E
G
∴HG//AC，HG= 1 AC
（三角形中位线定理2）
B
F
C 同理：
已知：在四边形ABCD中， EF//AC，EF=
E、F、G、H分别是AB、 AC

它们有什么共同的地方呢？
字母不能在分母上，字母不能在根号里
这些代数式是由数字与字母，字母与字母相乘得 到的
单项式：由数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式
单独的一个数或字母也叫单项式。
倍 如：2 、 -1 、 a
你觉得单项式中对
速
课 判断：下列各式是不是单项式
字母有什么要求？
时 学 -ab 练
3 xy 2 4
几次几项式: 二次三项式
单项式和多项式统称整式.
1.下列代数式中，哪些是整式?哪些是单项式？哪些 是多项式？
x ,s, 1,2 x y ,( 1 2 0 % )x ,a b ,2 a b ,2 a b .
解2 属：t于属单x 于 项整y 式式的的有有：：2 x， x,2 (1x + y 2, 0( %1 )- x2 ,0 % 2) ax b,2 a b 3 ,2 a 3 b
（1） 顺次连结平行四边 形各边中点所得的四边形是 _________？
（2）顺次连结矩形各边中点 所得的四边形是_______？
平行四边形
菱形
（3）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是________？
矩形
想一想
（4）顺次连结正方 形各边中点所得的四 边 形 是 ___________ ？
（5）顺次连结梯形各边 中点所得的四边形是 ______________？
M
D
A
N
F
B
E
C
三角形中位线定理应用：
⑴定理为证明平行关系提供了新的工具 ⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或 一半 提供了一个新的途径
方法点拨：
在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线 ①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 ②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线

专题 构造三角形的中位线
[方法归纳]中点的用途很广，构造三角形的中位线是常用方法之一． 一、连结两点构造三角形的中位线 1．如图，四边形 ABCD 中，∠A＝90°，AB＝3 3，AD＝3，点 M，N 分别为线段 BC，AB 上的动点(含端点，但点 M 不与点 B 重合)，点 E，F 分 别为 DM，MN 的中点，则 EF 长度的最大值为__3__.
二、取中点构造三角形的中位线 2．如图，在四边形 ABCD 中，AC⊥BD，垂足为点 O，BD＝12，AC＝ 16，点 E，F 分别为 AB，CD 的中点，求 EF 的长．
解：取 BC 的中点 M，连结 EM，FM，设 EM 交 BD 于点 G， FM 交 AC 于点 H，易知 EM，FM 分别是△ABC 和△BCD 的中位线， ∴EM＝12AC＝8，EM∥AC，FM＝12BD＝6，FM∥BD， ∴四边形 OGMH 是平行四边形， ∴∠EMF＝∠BOC＝90°，∴EF＝ EM2＋FM2＝10
(2)由(1)知，△ABG≌△MBG 及△ACH≌△NCH， 所以 AB＝BM＝9 cm，AC＝CN＝14 cm.又因为 BC＝18 cm， 所以 BN＝BC－CN＝18－14＝4(cm)，MC＝BC－BM＝18－9＝9(cm)． 从而 MN＝18－4－9＝5(cm)，∴GH＝12MN＝52cm
4．如图，在△ABC 中，点 O 是 BC 边的中点，点 D 是 AC 边上的一点，
5．如图所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CF相交于点O，AG⊥BE于点G，AH⊥CF于点H.
点＝6E0°解是，：A求D如的图OE中，的点连长，结度直B．线D，O取E 交BDBA的的中延点长H线，于连点结 GE，H，若OAHB，＝CD＝5，∠OEC 四55(55专 (四四专(四5四(5四(专(专5四5四(四四专51111111． ． ． ． ．． ． ． ．)))))))、题、、题、、、题题、、、、题求 求 求 求 求 求 求如如如如如 如如如如利 利 利 利 利 利 利 利 利 利证证证证证证证图图图图图 图图图图用构 用用构用用用构构用用用用构：：：：：：：所所所所所 所所所所角造 角角造角角角造造角角角角造GGGGGGG示示示示示 示示示示HHHHHHH平三 平平三平平平三三平平平平三，，，，， ，，，，∥∥∥∥∥∥∥分角 分分角分分分角角分分分分角BBBBBBB△△△△△ △△△△线形 线线形线线线形形线线线线形CCCCCCCAAAAAAAAA；；；；；；；与的 与与的与与与的的与与与与的BBBBBBBBBCCCCCCCCC垂中 垂垂中垂垂垂中中垂垂垂垂中中中中中中 中中中中线位线线位线线线位位线线线线位，，，，， ，，，，构线 构构线构构构线线构构构构线∠∠∠∠∠∠∠∠∠造造造造造造造造造造AAAAAAAAABBBBBBBBB中中中中中中中中中中CCCCCCCCC位位位位位位位位位位，，，，， ，，，，线线线线线线线线线线∠∠∠∠∠∠∠∠∠AAAAAAAAACCCCCCCCCBBBBBBBBB的的的的的 的的的的平平平平平 平平平平分分分分分 分分分分线线线线线 线线线线BBBBBBBBBEEEEEEEEE，，，，， ，，，，CCCCCCCCCFFFFFFFFF相相相相相 相相相相交交交交交 交交交交于于于于于 于于于于点点点点点 点点点点OOOOOOOOO，，，，， ，，，，AAAAAAAAAGGGGGGGGG⊥⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥BBBBBBBBBEEEEEEEEE于于于于于 于于于于点点点点点 点点点点GGGGGGGGG，，，，， ，，，，AAAAAAAAAHHHHHHHHH⊥⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥CCCCCCCCCFFFFFFFFF于于于于于 于于于于点点点点点 点点点点HHHHHHHHH.........

四、利用角平分线与垂线构造中位线 5．如图所示，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CF相交于点O ，AG⊥BE于点G，AH⊥CF于点H. (1)求证：GH∥BC； (2)若AB＝9 cm，AC＝14 cm，BC＝18 cm，求GH的长．
解：(1)分别延长 AG，AH 交 BC 于点 M，N，在△ABM 中， 由已知，BG 平分∠ABM，BG⊥AM，所以△ABG≌△MBG(ASA)， 故点 G 是 AM 的中点．同理可证△ACH≌△NCH(ASA)， 故点 H 是 AN 的中点，所以 GH 是△AMN 的中位线， 从而 HG∥MN，故 GH∥BC
(2)由(1)知，△ABG≌△MBG 及△ACH≌△NCH， 所以 AB＝BM＝9 cm，AC＝CN＝14 cm.又因为 BC＝18 cm， 所以 BN＝BC－CN＝18－14＝4(cm)，MC＝BC－BM＝18－9＝9(cm)． 从而 MN＝18－4－9＝5(cm)，∴GH＝12MN＝52cm
三、先连结两点再取中点构造中位线 3．如图，在四边形 ABCD 中，AD＝BC，点 E，F 分别是 DC，AB 的中 点，直线 EF 分别与 BC，AD 的延长线相交于点 G，H.求证：∠AHF＝∠BGF.
解：连结 AC，取 AC 的中点 M，连结 EM，FM.易知有 EM＝12AD， EM∥AD，FM＝12BC，FM∥BC，∴∠AHF＝∠MEF， ∠BGF＝∠MFE，∵AD＝BC，∴EM＝FM，、取中点构造三角形的中位线 2．如图，在四边形 ABCD 中，AC⊥BD，垂足为点 O，BD＝12，AC＝ 16，点 E，F 分别为 AB，CD 的中点，求 EF 的长．
解：取 BC 的中点 M，连结 EM，FM，设 EM 交 BD 于点 G， FM 交 AC 于点 H，易知 EM，FM 分别是△ABC 和△BCD 的中位线， ∴EM＝12AC＝8，EM∥AC，FM＝12BD＝6，FM∥BD， ∴四边形 OGMH 是平行四边形， ∴∠EMF＝∠BOC＝90°，∴EF＝ EM2＋FM2＝10

H
求证：四边形EFGH是平行四边形.
D
证明：如图，连接AC
E
G
∵EF是△ABC的中位线
E F/ / 1
2 同理得：
A G
C H/
/
1
A
C
2
B
F
C
GH//EF ∴四边形EFGH是平行四边形
温馨提示：
①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形
②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线
想一想
（1） 顺次连结平行四边 形各边中点所得的四边形是 _________？
求证：DE// 1 BC
2
证法三：延长DE到点F，使EF=DE，
A
连结AF、CF、CD
D
E
∵AE=EC∴DE=EF
F∴四边形ADCF是平行四边形
∴AD∥=FC
B
C 又D为AB中点，∴DB∥=FC
所以，四边形BCFD是平行四边形
A D
B
F
G E
C
证法四：如图，过E作AB的平行线交BC 于F，自A作BC的平行线交FE于G ∵AG∥BC ∴∠EAG=∠ECF ∴△AEG≌△CEF ∴AG=FC，GE=EF 又∵AB∥GF，AG∥BF ∴四边形ABFG是平行四边形 ∴BF=AG=FC，AB=GF 又∵D为AB中点，E为GF中点， ∴DB∥=EF ∴四边形DBFE是平行四边形 ∴DE∥BF，即DE∥BC，DE=BF=FC 即DE=1/2BC
3、为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选 一点A,再分别找出线段AB，AC的中点D、E，若测出 DE=15m，就能求出池塘BC的长吗？
C E A
B D
例1、顺已次知连：接如四图边，形在四各边边形中AB点CD的中线，段E、组F、成G一、H个分平别