2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第2章函数、导数及其应用 2-6a Word版含解析

[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·安庆二模)若函数y ＝a e x ＋3x 在R 上有小于零的极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，＋∞)B ．(－∞，－3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 答案 B解析 y ＝a e x ＋3x ，求导，y ′＝a e x ＋3， 由若函数y ＝a e x ＋3x 在R 上有小于零的极值点， 则y ′＝a e x ＋3＝0有负根，则a ≠0， 则e x ＝－3a 在y 轴的左侧有交点， ∴0<－3a <1，解得：a <－3，实数a 的取值范围为(－∞，－3)．故选B.2．(2018·太原模拟)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，g (x )≠0，当x <0时，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，且f (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)答案 D解析 ∵当x <0时，f ′(x )·g (x )－f (x )g ′(x )>0，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )>0， ∴当x <0时，f (x )g (x )是增函数，故当x >0时，f (x )g (x )也是增函数．∵f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，∴f (x )g (x )为奇函数，f (x )g (x )的图象关于原点对称， 函数f (x )g (x )的单调性的示意图，如图所示：∵f (－3)＝0，∴f (3)＝0，∴由不等式f (x )g (x )<0，可得x <－3或0<x <3，故原不等式的解集为{x |x <－3或0<x <3}．故选D.3．(2017·冀州月考)函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23 B.43 C.83 D.163答案 C解析 由图象可得f (x )＝0的根为0,1,2，故d ＝0，f (x )＝x (x 2＋bx＋c )，则1,2为x 2＋bx ＋c ＝0的根，由根与系数的关系得b ＝－3，c ＝2，故f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，由图可得x 1，x 2为3x 2－6x ＋2＝0的根，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，故x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝83.故选C.4．(2017·合肥期中)已知a 2＋2a ＋2x ≤4x 2－x ＋1对于任意的x ∈(1，＋∞)恒成立，则( )A ．a 的最小值为－3B ．a 的最小值为－4C ．a 的最大值为2D ．a 的最大值为4答案 A解析 a 2＋2a ＋2x ≤4x 2－x ＋1对于任意的x ∈(1，＋∞)恒成立，转化为a 2＋2a ＋2≤4x －1＋x ＝f (x )的最小值．f ′(x )＝(x ＋1)(x －3)(x －1)2，可得x ＝3时，函数f (x )取得极小值即最小值f (3)＝5. ∴a 2＋2a ＋2≤5，化为a 2＋2a －3≤0， 即(a ＋3)(a －1)≤0，解得－3≤a ≤1. 因此a 的最小值为－3.故选A.5．(2018·兴庆区模拟)设f (x )是定义在R 上的函数，其导函数为f ′(x )，若f (x )＋f ′(x )>1，f (0)＝2018，则不等式e x f (x )>e x ＋2017(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(2017，＋∞)D ．(－∞，0)∪(2017，＋∞)答案 B解析 设g (x )＝e x f (x )－e x ，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]，∵f (x )＋f ′(x )>1，e x >0，∴g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]>0， ∴g (x )是R 上的增函数． 又g (0)＝f (0)－1＝2017， ∴g (x )>2017的解集为(0，＋∞)，即不等式e x f (x )>e x ＋2017的解集为(0，＋∞)．故选B.6．(2017·五华区校级模拟)设函数f (x )＝x (ln x －ax )(a ∈R )在区间(0,2)上有两个极值点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ln 2＋14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋14，12 答案 D解析 f (x )＝x (ln x －ax )，求导f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，由题意，关于x 的方程2ax ＝ln x ＋1在区间(0,2)有两个不相等的实根，则y ＝2ax 与y ＝ln x ＋1有两个交点，由y ＝ln x ＋1，求导y ′＝1x ，设切点(x 0，y 0)，ln x 0＋1x 0＝1x 0，解得x 0＝1，∴切线的斜率k ＝1，则2a ＝1，a ＝12， 则当x ＝2，则直线斜率k ＝ln 2＋12，则a ＝ln 2＋14，∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋14，12.故选D. 7．(2017·江西模拟)若函数f (x )＝a (x －2)e x ＋ln x ＋1x 存在唯一的极值点，且此极值大于0，则( )A ．0≤a <1eB ．0≤a <1e 2C ．－1e <a <1e 2D ．0≤a <1e 或a ＝－1e答案 A解析 f (x )＝a (x －2)e x＋ln x ＋1x ，x >0，∴f ′(x )＝a (x －1)e x＋1x －1x 2＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a e x ＋1x 2，由f ′(x )＝0得到x ＝1或a e x＋1x 2＝0(*)．由于f (x )仅有一个极值点，关于x 的方程(*)必无解， ①当a ＝0时，(*)无解，符合题意， ②当a ≠0时，由(*)得，a ＝－1e x x 2，∴a >0，由于这两种情况都有，当0<x <1时，f ′(x )<0，于是f (x )为减函数， 当x >1时，f ′(x )>0，于是f (x )为增函数， ∴x ＝1为f (x )的极值点， ∵f (1)＝－a e ＋1>0，∴a <1e .综上可得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1e .故选A. 8．(2017·濮阳期末)函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0 答案 A解析 对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，等价于对于区间[－3,2]上的任意x ，都有f (x )max －f (x )min ≤t .∵f (x )＝x 3－3x －1，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)， ∵x ∈[－3,2]，∴函数在[－3，－1]，[1,2]上单调递增，在[－1,1]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (2)＝f (－1)＝1， f (x )min ＝f (－3)＝－19， ∴f (x )max －f (x )min ＝20， ∴t ≥20，∴实数t 的最小值是20.故选A.9．(2018·黄陵县模拟)已知函数y ＝x e x ＋x 2＋2x ＋a 恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1e ＋1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e ＋1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋1，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ 答案 B解析 函数y ＝x e x ＋x 2＋2x ＋a 恰有两个不同的零点， 就是x e x ＋x 2＋2x ＋a ＝0恰有两个不同的实数解， 设g (x )＝x e x ＋x 2＋2x ，则g ′(x )＝e x ＋x e x ＋2x ＋2＝(x ＋1)(e x ＋2)，x <－1，g ′(x )<0，函数是减函数，x >－1，g ′(x )>0，函数是增函数，函数的最小值为g (－1)＝－1－1e ，则－a >－1－1e ，即a <1＋1e .函数y ＝x e x ＋x 2＋2x ＋a 恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e ＋1.故选B.10．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22 答案 D解析 |MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，令h ′(x )＝0，得x ＝22或x ＝－22(舍去)，显然x＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22.故选D.二、填空题11．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞ 解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .要使f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则必须有f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23>0，即29＋2a >0，解得a >－19，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.12．(2017·信阳模拟)已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为________．答案 (－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)解析 由函数图象可知f ′(x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，f ′(x )<0的解集为(－1,1)．由(x 2－2x －3)f ′(x )>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3>0，f ′(x )>0，① 或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3<0，f ′(x )<0， ② 解①得x <－1或x >3； 解②得－1<x <1.∴不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为 (－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)． 故答案为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．13．(2017·七里河模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (3)＝0，且当x >0时，不等式f (x )>－xf ′(x )恒成立，则函数g (x )＝xf (x )＋lg |x ＋1|的零点的个数是________．答案 3解析 定义在R 上的奇函数f (x )满足： f (0)＝0＝f (3)＝f (－3)， 且f (－x )＝－f (x )，又x >0时，f (x )>－xf ′(x )，即f (x )＋xf ′(x )>0， ∴[xf (x )]′>0，函数h (x )＝xf (x )在x >0时是增函数， 又h (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )，∴h (x )＝xf (x )是偶函数；∴x <0时，h (x )是减函数，结合函数的定义域为R ，且f (0)＝f (3)＝f(－3)＝0，可得函数y1＝xf(x)与y2＝－lg |x＋1|的大致图象如图所示，∴由图象知，函数g(x)＝xf(x)＋lg |x＋1|的零点的个数为3个．14．(2015·安徽高考)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.答案①③④⑤解析令f(x)＝x3＋ax＋b，则f′(x)＝3x2＋a.对于①，由a＝b＝－3，得f(x)＝x3－3x－3，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝－1<0，f(x)极小值＝f(1)＝－5<0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；对于②，由a＝－3，b＝2，得f(x)＝x3－3x＋2，f′(x)＝3(x＋1)(x －1)，f(x)极大值＝f(－1)＝4>0，f(x)极小值＝f(1)＝0，函数f(x)的图象与x 轴有两个交点，故x3＋ax＋b＝0有两个实根；对于③，由a＝－3，b>2，得f(x)＝x3－3x＋b，f′(x)＝3(x＋1)(x －1)，f(x)极大值＝f(－1)＝2＋b>0，f(x)极小值＝f(1)＝b－2>0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；对于④，由a＝0，b＝2，得f(x)＝x3＋2，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b ＝0仅有一个实根；对于⑤，由a＝1，b＝2，得f(x)＝x3＋x＋2，f′(x)＝3x2＋1>0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根．B级三、解答题15．(2017·西城区期末)已知函数f(x)＝(x＋a)e x，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a<1时，试确定函数g(x)＝f(x－a)－x2的零点个数，并说明理由．解(1)因为f(x)＝(x＋a)e x，x∈R，所以f′(x)＝(x＋a＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝－a－1.当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下：故f(x)的单调递减区间为(－∞，－a－1)，单调递增区间为(－a －1，＋∞)．(2)结论：函数g(x)有且仅有一个零点．理由如下：由g(x)＝f(x－a)－x2＝0，得方程x e x－a＝x2，显然x＝0为此方程的一个实数解，所以x＝0是函数g(x)的一个零点．当x≠0时，方程可化简为e x－a＝x.设函数F(x)＝e x－a－x，则F′(x)＝e x－a－1，令F′(x)＝0，得x＝a.当x变化时，F(x)与F′(x)的变化情况如下：即F (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(－∞，a )． 所以F (x )的最小值F (x )min ＝F (a )＝1－a .因为a <1，所以F (x )min ＝F (a )＝1－a >0，所以对于任意x ∈R ，F (x )>0，因此方程e x －a ＝x 无实数解．所以当x ≠0时，函数g (x )不存在零点．综上，函数g (x )有且仅有一个零点．16．设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(a 2－1)x ，其中a >0.(1)若函数y ＝f (x )在x ＝－1处取得极值，求a 的值；(2)已知函数f (x )有3个不同的零点，分别为0，x 1，x 2，且x 1<x 2，若对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )>f (1)恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋(a 2－1)，因为y ＝f (x )在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝0.即－(－1)2＋2(－1)＋(a 2－1)＝0.解得a ＝±2，经检验得a ＝2.(2)由题意得f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 2＋x ＋a 2－1＝－13x ·(x －x 1)(x －x 2)， 所以方程－13x 2＋x ＋a 2－1＝0有两个相异的实根x 1，x 2.故Δ＝1＋43(a 2－1)>0，解得a <－12(舍去)或a >12，且x 1＋x 2＝3，又因为x 1<x 2，所以2x 2>x 1＋x 2＝3，故x 2>32>1.①若x 1≤1<x 2，则f (1)＝－13(1－x 1)(1－x 2)≥0，而f (x 1)＝0不符合题意．②若1<x 1<x 2，对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 1≥0，x －x 2≤0，所以f (x )＝－13x (x －x 1)(x －x 2)≥0. 又f (x 1)＝0，所以f (x )在[x 1，x 2]上的最小值为0. 于是对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )>f (1)恒成立的充要条件为f (1)＝a 2－13<0，解得－33<a <33. 综上得12<a <33，即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，33.。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·福州模拟)在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：则y 关于x 的函数关系与下列函数最接近的(其中a ，b 为待定系数)是( )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋b x 答案 B解析 由x ＝0时，y ＝1，排除D ；由f (－1.0)≠f (1.0)，排除C ；由函数值增长速度不同，排除A.故选B.2．(2017·云南联考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系可用图象表示的是( )答案 A解析 由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A ；后三年产量保持不变，总产量直线上升．故选A.3．某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是( )A ．2.4元B ．3元C ．2.8元D ．3.2元答案 B解析 设每本定价x 元(x ≥2)，销售总收入是y 元，则y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×104－x －20.2×4×103·x ＝104·x (9－2x )≥9×104. ∴2x 2－9x ＋9≤0⇒32≤x ≤3.故选B. 4．(2017·南昌期末)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处答案 A解析 设仓库与车站距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，于是y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，∴⎩⎨⎧ 2＝k 110，8＝10k 2，解得k 1＝20，k 2＝45.设总费用为y ，则y ＝20x ＋4x 5≥220x ·4x5＝8. 当且仅当20x ＝4x 5，即x ＝5时取等号．故选A.5．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析 对于A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L ，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A 错误；对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少；对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，所以C 错误；对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．故选D.6．(2017·北京朝阳测试)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e n t ．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a 8，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 D解析 根据题意知12＝e 5n ，令18a ＝a e n t ，即18＝e n t ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.故选D.7．(2016·天津模拟)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( )A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元答案 D解析 设该公司的年收入为x 万元，纳税额为y 万元，则由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ×p %，x ≤280，280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%，x >280， 依题有280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%x＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.故选D.8．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是( )A ．投资3天以内(含3天)，采用方案一B ．投资4天，不采用方案三C ．投资6天，采用方案一D ．投资12天，采用方案二答案 D解析 由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A 正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B 正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C 正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D 错误．故选D.9．(2017·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案 C解析 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <11000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.10．(2017·北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A ．3000元B ．3300元C ．3500元D ．4000元答案 B解析 由题意，设利润为y 元，租金定为3000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )．则y ＝(3000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2900＋50x )·(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝ ⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22， 当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)时，公司获得最大利润．故选B.二、填空题11．(2017·金版创新)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)答案 14a 2解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2. ∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．12．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt＝18a .e －bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.13．(2014·北京高考改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，右图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________．答案 3.75分钟解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2， ∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316， ∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不大于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案 (1)y ＝⎩⎨⎧ 10t ，0≤t ≤0.1，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1，t >0.1 (2)0.6解析 (1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)．由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a 过点(0.1,1)，得1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，解得a ＝0.1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1(t >0.1)．(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．三、解答题15．(2017·济宁期末)已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量增加收益．据估算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，则新增的年销量P ＝4(2－x )2(万件)．(1)写出今年商户甲的收益f (x )(单位：万元)与x 的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？请说明理由．解 (1)由题意可得：f (x )＝[1＋4(2－x )2](x －1)，1≤x ≤2.(2)甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，可得收益为1万元．f ′(x )＝8(x －2)(x －1)＋1＋4(2－x )2＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)，可得当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32时，函数f (x )单调递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，116时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤116，2时，函数f (x )单调递增． ∴x ＝32时，函数f (x )取得极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1； 又f (2)＝1.∴当x ＝32或x ＝2时，函数f (x )取得最大值1(万元)．因此商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，不能获得比往年更大的收益．16．(2017·北京模拟)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f (x )＝a 1x 2－4x ＋6，g (x )＝a 2·3x ＋b 2(a 1，a 2，b 2∈R )．(1)求函数f (x )与g (x )的解析式；(2)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(3)在同一直角坐标系下画出函数f (x )与g (x )的草图，并根据草图比较今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况．解 (1)依题意：由f (1)＝6，解得a 1＝4，所以f (x )＝4x 2－4x ＋6.由⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝6，g (2)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋b 2＝6，9a 2＋b 2＝8， 解得a 2＝13，b 2＝5，所以g (x )＝13×3x ＋5＝3x －1＋5.(2)由(1)知甲厂在今年5月份的利润为f (5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g (5)＝86万元，故有f (5)＝g (5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(3)作函数图象如下：从图中可以看出今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润： 当x ＝1或x ＝5时，有f (x )＝g (x )；当x ＝2,3,4时，有f (x )>g (x )；当x ＝6,7,8,9,10时，有f (x )<g (x )．。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．为了得到函数y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象,可以把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度答案 D解析 y ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1,故它的图象是把函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象向右平移1个单位长度得到的．故选D.2．(2017·山西太原二模)函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的图象大致为( )答案 D解析 函数f (x )＝ln |x －1||1－x |的定义域为(－∞,1)∪(1,＋∞),且图象关于x ＝1对称,排除B,C ；取特殊值,当x ＝12时,f (x )＝2ln 12<0.故选D.3．函数f (x )＝ln (x 2＋1)的图象大致是( )答案 A解析 依题意,得f (－x )＝ln (x 2＋1)＝f (x ),所以函数f (x )为偶函数,即函数f (x )的图象关于y 轴对称,故排除C ；因为函数f (x )过定点(0,0),排除B,D.故选A.4．(2017·乐山模拟)函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示,则f (π)＝( )A ．4B ．2 3C ．2 D. 3 答案 A解析 由函数的图象可得A ＝2,根据半个周期T 2＝12·2πω＝5π12＋π12,解得ω＝2.由图象可得当x ＝－π12时,函数无意义,即函数的分母等于零,即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝0. 再由|φ|<π2,可得φ＝π6, 故函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6,∴f (π)＝4.故选A.5．(2017·北京模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根,则实数k 的取值范围是( )A ．(0,＋∞)B ．(－∞,1)C ．(1,＋∞)D ．(0,1]答案D解析 作出函数y ＝f (x )与 y ＝k 的图象,如图所示： 由图可知k ∈(0,1]．故选D.6．(2018·山东日照一模)现有四个函数①y ＝x sin x ,②y ＝x cos x ,③y ＝x |cos x |,④y ＝x ·2x 的部分图象如下,但顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①答案 A解析 ①y ＝x sin x 在定义域上是偶函数,其图象关于y 轴对称；②y ＝x cos x 在定义域上是奇函数,其图象关于原点对称；③y ＝x |cos x |在定义域上是奇函数,其图象关于原点对称,且当x >0时,其函数值y ≥0；④y ＝x ·2x 在定义域上为非奇非偶函数,且当x >0时,其函数值y >0,且当x <0时,其函数值y <0.故选A.7．(2015·浙江高考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )答案 D解析 解法一：(性质＋特值排除法)该函数的定义域为[－π,0)∪(0,π],显然定义域关于原点对称．函数y ＝x －1x 是奇函数,y ＝cos x 为偶函数,所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x 为奇函数,所以排除A,B ；取x ＝π,则f (π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π<0,故排除C.故选D.解法二：(特值排除法)f (π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcosπ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π<0,故可排除A 、C ；而f (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－1－π·cos(－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1π>0,故排除B.故选D. 8．(2017·达州期末)已知函数f (x )＝x cos x ,f ′(x )是f (x )的导数,同一坐标系中,f (x )和f ′(x )的大致图象是( )答案 C解析 由f (x )＝x cos x ,得 f ′(x )＝cos x －x sin x ,当x ＝0时,f (0)＝0,f ′(0)＝1,排除B,D ；当f ′(x )>0时,f (x )是增函数,曲线是上升的,f ′(x )<0时,f (x )是减函数,曲线是下降的,判断出C 是正确的,排除A.故选C.9．(2018·郑州模拟)函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 D解析 图象法求解．在同一坐标系中,分别作出函数y ＝11－x 与y＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象,y ＝－1x －1的对称中心是(1,0),也是y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的中心,当－2≤x ≤4它们的图象在x ＝1的左侧有4个交点,则x ＝1右侧必有4个交点．不妨把它们的横坐标由小到大设为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7,x 8,则x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2.故选D.10．(2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ,Q 满足条件：①P ,Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ,Q 关于原点对称,则称(P ,Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ,Q )与(Q ,P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln (－x )，x <0有两个“伙伴点组”,则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞,0)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0,＋∞)答案 B解析 依题意,“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上,且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln (－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象,使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时,设切点为(m ,ln m ), 又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ,则km －1＝ln m ,k ＝1m ,解得m ＝1,k ＝1,可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0,－1)点的切线的斜率为1,结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.二、填空题11．(2018·咸阳模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案 5解析 由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1作出函数y ＝f (x )的图象．由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点,y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点．因此函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点有5个． 12．设函数f (x ),g (x )的定义域分别为F ,G ,且FG .若对任意的x∈F ,都有g (x )＝f (x ),则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≤0),若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数,且g (x )是偶函数,则函数g (x )的解析式为________．答案 g (x )＝2|x |解析 画出函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ≤0)的图象关于y 轴对称的这部分图象,即可得到偶函数g (x )的图象,由图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |.13．(2018·南昌大联考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数,当x ∈[0,3)时,f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0,3)上的图象,再将x 轴下方的图象对称到x 轴上方,利用周期为3,将图象平移至区间[－3,4]内,即得f (x )在区间[－3,4]上的图象如图所示,其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5,f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有10个不同的交点,由图象可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.14．(2017·湖北百所重点学校联考)设函数f(x)对任意实数x满足f(x)＝－f(x＋1),且当0≤x≤1时,f(x)＝x(1－x),若关于x的方程f(x)＝kx 有3个不同的实数根,则k的取值范围是________．答案(5－26,1)∪{－3＋22}解析因f(x)＝－f(x＋1),故f(x＋2)＝f(x),即函数f(x)是周期为2的周期函数,画出函数y＝f(x),x∈[0,1]的图象,再借助函数满足的条件f(x)＝－f(x＋1)及周期性,画出函数y＝f(x)的图象如图,易知仅当直线y ＝kx位于l1与l2之间(不包括l1,l2)或与l3重合时满足题意,对y＝x(1－x)求导得y′＝1－2x,y′|x＝0＝1,∴l2的斜率为1.以下求l3的斜率：当1≤x≤2时,易得f(x)＝－f(x－1)＝－(x－1)[1－(x－1)]＝x2－3x＋2,令x2－3x＋2－kx＝0,得x2－(3＋k)x＋2＝0,令Δ＝(3＋k)2－8＝0,解得k＝－3±22,由此易知l3的斜率为－3＋2 2.同理,由2≤x≤3时,f(x)＝－x2＋5x－6,可得l1的斜率为5－2 6.综上,5－26<k<1或k＝－3＋22,故应填(5－26,1)∪{－3＋22}．三、解答题15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．解 (1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知,函数f (x )的单调递增区间为[－1,0],[2,5]． (3)由图象知当x ＝2时,f (x )min ＝f (2)＝－1, 当x ＝0时,f (x )max ＝f (0)＝3. 16．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间,并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．2019版高考数学（文）2019版高考数学（文）解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时,x ≤1或x ≥3,∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3， ∴f (x )的图象如图所示．(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞,1],(2,3),(1,2],[3,＋∞),其中(－∞,1],(2,3)是减区间；(1,2],[3,＋∞)是增区间．(3)由f (x )的图象知,当0<m <1时,f (x )＝m 有四个不相等的实根,所以M ＝{m |0<m <1}．。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知A ＝{x |x ＝n 2，n ∈N }，给出下列关系式：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 4；⑤f (x )＝x 2＋1，其中能够表示函数f ：A →A 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 对⑤，当x ＝1时，x 2＋1∉A ，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确．故选C.2．(2018·吉安四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2(x ≤1)，x 2＋x －2(x >1)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)的值为( )A.1516 B ．89 C ．－2716 D ．18答案 A解析 f (2)＝4，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.故选A.3．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( ) A ．lg 2 B ．lg 32 C ．lg 132 D.15lg 2答案 D解析 令x 5＝t ，则x ＝t15(t >0)，∴f (t )＝lg t15 ＝15lg t ．∴f (2)＝15lg 2.故选D.4．(2017·山西名校联考)设函数f (x )＝lg (1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( )A ．(－9，＋∞)B ．(－9,1)C ．[－9，＋∞)D ．[－9,1)答案 B解析 f [f (x )]＝f [lg (1－x )]＝lg [1－lg (1－x )]，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg (1－x )>0⇒－9<x <1.故选B.5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,1]，则函数F (x )＝f (x ＋a )＋f (2x ＋a )(0<a <1)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1－a 2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1－aC ．[－a,1－a ] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，1－a 2 答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋a ≤1，0≤2x ＋a ≤1⇒－a2≤x ≤1－a 2.故选A. 6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1的值域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 C解析 由于x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，结合函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0,1]上的图象可知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.故选C.7．(2018·黄冈联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3， 解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f [f (－3)]＝f (9)＝log 39＝2.故选B.8．(2018·银川模拟)已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①答案 B解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎨⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选B.9．(2018·铜陵一模)若函数f (x )图象上任意一点P (x ，y )皆满足y 2≥x 2，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝x ＋4x D ．f (x )＝tan x答案 C解析 A 项，当x ＝1时，f (x )＝1－1＝0,02≥12不成立；B 项，当x ＝－1时，f (x )＝1e －1∈(－1,0)，⎝⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立；D 项，当x ＝5π4时，f (x )＝1，12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫5π42不成立；对于C ，f 2(x )＝x 2＋16x 2＋8>x 2，符合题意．故选C.10．(2017·山东模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)答案 C解析 ①当a <23时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)－1＝9a －4,2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．②当23≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1,2f (a )＝23a －1， 故f [f (a )]＝2f (a )．③当a ≥1时，f (a )＝2a >1，f [f (a )]＝22a， 2f (a )＝22a，故f [f (a )]＝2f (a )． 综合①②③知a ≥23.故选C. 二、填空题11．已知x ∈N *，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－35，x ≥3，f (x ＋2)，x <3，其值域设为D .给出下列数值：－26，－1,9,14,27,65，则其中属于集合D 的元素是________．(写出所有可能的数值)答案 －26,14,65解析 注意函数的定义域是N *，由分段函数解析式可知，所有自变量的函数值最终都是转化为大于等于3的对应自变量函数值计算的f (3)＝9－35＝－26，f (4)＝16－35＝－19，f (5)＝25－35＝－10，f (6)＝36－35＝1，f (7)＝49－35＝14，f (8)＝64－35＝29，f (9)＝81－35＝46，f (10)＝100－35＝65.故正确答案应填－26,14,65.12．(2018·厦门一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 解析 当x ≥1时，f (x )＝2x－1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ， ∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12.13．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．答案 1解析 [a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.14．(2018·绵阳二诊)现定义一种运算“⊕”：对任意实数a ，b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是________．答案 (－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}解析 因为(x 2－2x )－(x ＋3)－1＝(x －4)(x ＋1)，所以f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)，x 2－2x ，x ∈(－1，4).作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－k 有两个公共点，结合图象可得－k ＝－1 或2<－k <3或7≤－k <8，所以实数k 的取值范围是k ∈(－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}．三、解答题15．(2018·福建六校联考)已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )(a >0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a 的值．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，4－x >0，解得－2<x <4，∴f (x )的定义域为(－2,4)． (2)f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x ) ＝log a [(x ＋2)(4－x )]，令t ＝(x ＋2)(4－x )，则可变形得t ＝－(x －1)2＋9， ∵0≤x ≤3，∴5≤t ≤9， 若a >1，则log a 5≤log a t ≤log a 9，∴f (x )min ＝log a 5＝－2，则a 2＝15<1(舍去)， 若0<a <1，则log a 9≤log a t ≤log a 5， ∴f (x )min ＝log a 9＝－2， 则a 2＝19，又0<a <1，∴a ＝13. 综上，得a ＝13.16．如果对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2. (1)求f (2)，f (3)，f (4)的值；(2)求f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014)f (2013)＋f (2016)f (2015)＋f (2018)f (2017)的值．解 (1)∵∀x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且 f (1)＝2，∴f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝22＝4， f (3)＝f (1＋2)＝f (1)·f (2)＝23＝8， f (4)＝f (1＋3)＝f (1)·f (3)＝24＝16.(2)解法一：由(1)知f(2)f(1)＝2，f(4)f(3)＝2，f(6)f(5)＝2，…，f(2018)f(2017)＝2，故原式＝2×1009＝2018.解法二：对∀x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝2，令x＝n，y＝1，则f(n＋1)＝f(n)·f(1)，即f(n＋1)f(n)＝f(1)＝2，故f(2)f(1)＝f(4)f(3)＝…＝f(2018)f(2017)＝2，故原式＝2×1009＝2018.。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·江西九江七校联考)幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)x m2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2答案 B解析 由题意知m 2－4m ＋4＝1且m 2－6m ＋8>0⇒m ＝1，故选B.2．(2018·吉林期末)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．a >－14B ．a ≥－14 C ．－14≤a <0 D ．－14≤a ≤0答案 D解析 ①当a ＝0时，函数f (x )＝2x －3为一次函数，是递增函数； ②当a >0时，二次函数开口向上，先减后增，在区间(－∞，4)上不可能是单调递增的，故不符合；③当a <0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴－1a ≥4，解得a ≥－14，又a <0，故－14≤a <0.综合得－14≤a ≤0.故选D.3．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2)解析 由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )图象关于x ＝12对称，又抛物线开口向上，结合图象可知f (0)<f (2)<f (－2)．故选D.4．(2018·聊城检测)若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝－x 2－x －1B ．f (x )＝－x 2＋x －1C ．f (x )＝x 2－x －1D ．f (x )＝x 2－x ＋1答案 D解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x . 故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f (x )＝x 2－x ＋1.故选D.5．(2018·雅安诊断)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③D ．①③解析 因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1，知b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.6．(2018·济宁模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x ≤0)，2(x >0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．4B ．2C ．1D ．3答案 D解析 由解析式可得f (－4)＝16－4b ＋c ＝f (0)＝c ，解得b ＝4. f (－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2(x ≤0)，2(x >0).又f (x )＝x ，则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2. 当x >0时，x ＝2，综上可知有三解．故选D.7．二次函数f (x )的二次项系数为正数，且对任意的x ∈R 都有f (x )＝f (4－x )成立，若f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，则实数x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－2,0)D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)答案 C解析 由题意知，二次函数的开口向上，对称轴为直线x ＝2，图象在对称轴左侧为减函数．而1－2x 2<2,1＋2x －x 2＝2－(x －1)2≤2，所以由f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，得1－2x 2>1＋2x －x 2，解得－2<x <0.故选C.8．已知对任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <2或x >3答案 B解析 f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)．记g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)>0，g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝x 2－5x ＋6>0，g (1)＝x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.故选B. 9．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋ 2 ]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)答案 B解析 由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若有f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]，即－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b <2＋ 2.故选B.10．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1x i＝( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m答案 B解析 由f (x )＝f (2－x )知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象也关于直线x ＝1对称，所以这两函数的交点也关于直线x ＝1对称．不妨设x 1<x 2<…<x m ，则x 1＋x m2＝1，即x 1＋x m ＝2，同理有x 2＋x m－1＝2，x 3＋x m －2＝2，…，又∑mi ＝1x i ＝x m ＋x m －1＋…＋x 1，所以2∑mi ＝1x i＝(x 1＋x m )＋(x 2＋x m －1)＋…＋(x m ＋x 1)＝2m ，所以∑mi ＝1x i＝m .故选B. 二、填空题11．(2017·湖北孝感模拟)函数f (x )＝ax 2－2x ＋1，若y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12内有零点，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，0]解析 f (x )＝ax 2－2x ＋1＝0，可得a ＝－1x 2＋2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12＋1. 若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12内有零点，则f (x )＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12内有解，当－12≤x <0或0<x ≤12时，可得a ＝－1x 2＋2x ≤0.所以实数a 的取值范围为(－∞，0]．12．(2018·九江模拟)已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对x ∈[－3,1]，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4解析 因为f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4， 对称轴x ＝－(a －2)， 对x ∈[－3,1]，f (x )>0恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3,1]的位置关系得：⎩⎪⎨⎪⎧－(a －2)<－3，f (－3)>0或⎩⎨⎧－3≤－(a －2)≤1，Δ<0 或⎩⎪⎨⎪⎧－(a －2)>1，f (1)>0，解得a ∈∅或1≤a ＜4或－12<a <1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4. 13．(2017·北京丰台期末)若f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x－c )(x －a )，其中a ≤b ≤c ，对于下列结论：①f (b )≤0；②若b ＝a ＋c2，则∀x ∈R ，f (x )≥f (b )；③若b ≤a ＋c2，则f (a )≤f (c )；④f (a )＝f (c )成立的充要条件为b ＝0.其中正确的是________．(请填写序号)答案 ①②③解析 f (b )＝(b －a )(b －b )＋(b －b )(b －c )＋(b －c )·(b －a )＝(b －c )(b －a )，因为a ≤b ≤c ，所以f (b )≤0，①正确；将f (x )展开可得f (x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ac ，又抛物线开口向上，故f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 3.当b ＝a ＋c 2时，a ＋b ＋c3＝b ，所以f (x )min ＝f (b )，②正确；f (a )－f (c )＝(a －b )(a －c )－(c －a )·(c －b )＝(a －c )(a ＋c －2b )，因为a ≤b ≤c ，且2b ≤a ＋c ，所以f (a )≤f (c )，③正确；因为a ≤b ≤c ，所以当f (a )＝f (c )时，即(a －c )(a ＋c －2b )＝0，所以a ＝b ＝c 或a ＋c ＝2b ，故④不正确．14．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0 解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0的图象如图所示．设y ＝m 与y ＝f (x )图象交点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3. 由y ＝－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14，得顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.当y ＝14时，代入y ＝2x 2－x ，得14＝2x 2－x ，解得x ＝1－34(舍去正值)，∴x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34，0. 又∵y ＝－x 2＋x 图象的对称轴为x ＝12， ∴x 2＋x 3＝1，又x 2，x 3>0，∴0<x 2x 3<⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322＝14. 又∵0<－x 1<3－14，∴0<－x 1x 2x 3<3－116， ∴1－316<x 1x 2x 3<0. 三、解答题15．(2018·中山月考)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足条件：①f (x )＝f (－2－x )；②函数f (x )的图象与直线y ＝x 相切．(1)求f (x )的解析式； (2)若不等式πf (x )>⎝ ⎛⎭⎪⎫1π2－tx在|t |≤2时恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)∵由①知f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)的对称轴方程是x ＝－1，∴b ＝2a .∵函数f (x )的图象与直线y ＝x 相切，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋bx ，y ＝x ，有且只有一解，即ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等的实根． ∴Δ＝(b －1)2＝0，∴b ＝1，∴2a ＝1，∴a ＝12. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝12x 2＋x . (2)∵π>1，∴πf (x )>⎝ ⎛⎭⎪⎫1π2－tx等价于f (x )>tx －2. ∵12x 2＋x >tx －2在|t |≤2时恒成立等价于一次函数g (t )＝xt －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋2<0在|t |≤2时恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<0，g (－2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4>0，x 2＋6x ＋4>0.解得x <－3－5或x >－3＋ 5.∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－5)∪(－3＋5，＋∞)． 16．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1， 解得a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立． 又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2. ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·重庆测试)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x 3＋3x 2 B ．y ＝e x ＋e －x2 C ．y ＝x sin x D ．y ＝log 23－x3＋x答案 D解析 函数y ＝x 3＋3x 2既不是奇函数，也不是偶函数，排除A ；函数y ＝e x ＋e －x2是偶函数，排除B ；函数y ＝x sin x 是偶函数，排除C ；函数y ＝log 23－x 3＋x 的定义域是(－3,3)，且f (－x )＝log 23＋x3－x ＝－f (x )，是奇函数，D 正确．故选D.2．下列函数中，既是定义域内的偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2|x |C ．f (x )＝log 21|x | D ．f (x )＝sin x答案 C解析 函数f (x )＝x 2在(－∞，0)上单调递减，排除A ；当x ∈(－∞，0)时，函数f (x )＝2|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，0)上单调递减，排除B ；当x∈(－∞，0)时，函数f (x )＝log 21|x |＝－log 2(－x )在(－∞，0)上单调递增，且函数f (x )在其定义域内是偶函数，C 正确；函数f (x )＝sin x 是奇函数，排除D.故选C.3．(2017·唐山统考)f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln (1＋x )．则当x <0时，f (x )＝( )A ．－x 3－ln (1－x )B ．x 3＋ln (1－x )C ．x 3－ln (1－x )D ．－x 3＋ln (1－x )答案 C解析 当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3＋ln (1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln (1－x )]，∴f (x )＝x 3－ln (1－x )．故选C.4．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝( )A ．－0.5B ．0.5C ．－2.5D ．2.5答案 D解析 ∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．∴函数f (x )的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，∴f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.故选D.5．(2017·金版创新)已知函数f (x )在∀x ∈R 都有f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝2x ，则f (2017)等于( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1答案 B解析 由f (x －2)＝－f (x )，得f (x －4)＝－f (x －2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4.所以f (2017)＝f (4×504＋1)＝f (1)＝－f (－1)＝－12.故选B.6．(2018·青岛模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为()A．2 B．1C．－1 D．－2答案 A解析∵f(x＋1)为偶函数，f(x)是R上的奇函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，故4为函数f(x)的周期，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.故选A.7．(2018·襄阳四校联考)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x5－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，则f(2018)＝()A．－2 B．－1C．0 D．2答案 D解析因为当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，所以当x>0时，函数f(x)是周期为1的周期函数，所以f(2018)＝f(1)，又因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)5－1]＝2.故选D.8．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2018)的值为()A．2 B．0C．－2 D．±2答案 A解析∵f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x －1)，∴g(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)＝－g(x)＝－f(x－1)．即f (x ＋1)＝－f (x －1)． ∴f (x ＋2)＝－f (x )．∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴函数f (x )是周期函数，且周期为4. ∴f (2018)＝f (2)＝2.故选A.9．(2017·石家庄模拟)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)答案 A解析 ∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4.故选A. 10．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点所构成的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案 D解析 当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2＋3x ]＝－x 2－3x ，易求得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≥0，－x 2－4x ＋3，x <0，当x 2－4x ＋3＝0时，可求得x 1＝1，x 2＝3；当－x 2－4x ＋3＝0时，可求得x 3＝－2－7，x 4＝－2＋7(舍去)． 故g (x )的零点为1,3，－2－7.故选D. 二、填空题11．(2018·武昌联考)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.答案 ±1解析 ∵f (－x )＝k －2－x 1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x ＋k ，∴f (－x )＋f (x )＝(k －2x )(2x ＋k )＋(k ·2x －1)·(1＋k ·2x )(1＋k ·2x )(2x ＋k )＝(k 2－1)(22x ＋1)(1＋k ·2x )(2x ＋k ). 由f (－x )＋f (x )＝0，可得k 2＝1，∴k ＝±1.12．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．答案 －25解析 ∵f (x )是周期为2的函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即－12＋a ＝110，解得a ＝35，则f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.13．(2017·郑州联考)对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得取定义域内的每一个x 值，都有f (x )＝－f (2a －x )，则称f (x )为准奇函数．给出下列函数：①f (x )＝(x －1)2，②f (x )＝1x ＋1，③f (x )＝x 3，④f (x )＝cos x ，其中所有准奇函数的序号是________．答案 ②④解析 对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得取定义域内的每一个x 值，都有f (x )＝－f (2a －x )，则函数f (x )的图象关于(a,0)对称．对于①，f (x )＝(x －1)2，函数图象无对称中心；对于②，f (x )＝1x ＋1，函数f (x )的图象关于(－1,0)对称；对于③，f (x )＝x 3，函数f (x )的图象关于(0,0)对称；对于④，f (x )＝cos x ，函数f (x )的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称．所以所有准奇函数的序号是②④.14．(2018·太原模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－1，S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则f (a 5)＋f (a 6)＝________.答案 3解析 ∵奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝－f (－x )，∴f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x ＋3)，∴f (x )是以3为周期的周期函数，∵S n ＝2a n＋n ①，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1②，②－①可得a n ＋1＝2a n －1，结合a 1＝－1，可得a 5＝－31，a 6＝－63，∴f (a 5)＝f (－31)＝f (2)＝－f (－2)＝3，f (a 6)＝f (－63)＝f (0)＝0，∴f (a 5)＋f (a 6)＝3.三、解答题15．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)证明：函数f (x )为周期函数；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2018,2018]上的根的个数，并证明你的结论．解 (1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝f (4－x )，f (x )＝f (14－x )⇒f (4－x )＝f (14－x )⇒f (x )＝f (x ＋10)． ∴f (x )为周期函数，T ＝10.(2)∵f (3)＝f (1)＝0，f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0，故f (x )在[0,10]和[－10,0]上均有两个解．从而可知函数y ＝f (x )在[0,2018]上有404个解， 在[－2018,0]上有403个解，所以函数y ＝f (x )在[－2018,2018]上有807个解．16．定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)．(1)判断k 为何值时，f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2－2mx ＋3)>3对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)若f (x )在R 上为奇函数，则f (0)＝0， 令a ＝b ＝0，则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋k ，所以k ＝0. 证明：由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，令a ＝x ，b ＝－x ， 则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，所以f (x )是奇函数．(2)因为f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3. 所以f (mx 2－2mx ＋3)>3＝f (2)对任意x ∈R 恒成立．又f (x )是R 上的增函数，所以mx 2－2mx ＋3>2对任意x ∈R 恒成立，即mx 2－2mx ＋1>0对任意x ∈R 恒成立，当m ＝0时，显然成立；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1. 所以实数m 的取值范围是[0,1)．。

[基础送分提速狂刷练] 一、选择题1．曲线y＝lg x在x＝1处的切线的斜率是()A.1ln 10B．ln 10 C．ln e D.1 ln e答案 A解析因为y′＝1x·ln 10,所以y′|x＝1＝1ln 10,即切线的斜率为1ln 10.故选A.2．(2017·潼南县校级模拟)如图,是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象,则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在(1,3)上f(x)是减函数C．在(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝4时,f(x)取极大值答案 C解析由于f′(x)≥0⇒函数f(x)单调递增；f′(x)≤0⇒函数f(x)单调递减,观察f′(x)的图象可知,当x∈(－2,1)时,函数先递减,后递增,故A错误；当x∈(1,3)时,函数先增后减,故B错误；当x∈(4,5)时函数递增,故C正确．由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值,故D 错误．故选C.3．(2018·上城区模拟)函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示,则f (x )的函数图象可能是( )答案 B解析 由图可得－1<f ′(x )<1,切线的斜率k ∈(－1,1)且在R 上切线的斜率的变化先慢后快又变慢．∴结合选项可知选项B 符合．故选B.4．(2018·昆明调研)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0,m )处有公切线,则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 依题意得f ′(x )＝－a sin x ,g ′(x )＝2x ＋b ,于是有f ′(0)＝g ′(0),即－a sin0＝2×0＋b ,则b ＝0,又m ＝f (0)＝g (0),即m ＝a ＝1,因此a ＋b ＝1.选C.5．(2018·山东烟台期末)若点P 是函数y ＝e x－e －x－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12图象上任意一点,且在点P 处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )A.5π6B.3π4C.π4D.π6 答案 B解析 由导数的几何意义,k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2e x ·e －x －3＝－1,当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1,α∈[0,π),又∵tan α<0,所以α的最小值为3π4.故选B.6．(2017·山西名校联考)若函数f (x )的导函数的图象关于y 轴对称,则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋x 2C ．f (x )＝1＋sin2xD ．f (x )＝e x ＋x答案 C解析 A 选项中,f ′(x )＝－3sin x ,其图象不关于y 轴对称,排除A ；B 选项中,f ′(x )＝3x 2＋2x ,其图象的对称轴为x ＝－13,排除B ；C 选项中,f ′(x )＝2cos2x ,其图象关于y 轴对称；D 选项中,f ′(x )＝e x ＋1,其图象不关于y 轴对称．故选C.7．(2018·河南郑州质检二)已知y ＝f (x )是可导函数,如图,直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线,令g (x )＝xf (x ),g ′(x )是g (x )的导函数,则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率等于－13,∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x ),∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x ),∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3),又由题图可知f (3)＝1,所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎪⎫－13＝0.故选B.8．(2017·辽宁五校联考)已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6,则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A ．4B ．5 C.254 D.132 答案 C解析 ∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6,∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1,∴f ′(－1)＝8,切线方程为y －2＝8(x ＋1),即8x －y ＋10＝0,令x ＝0,得y ＝10,令y ＝0,得x ＝－54,∴所求面积S ＝12×54×10＝254.故选C.9．(2017·青山区月考)函数y ＝f (x )的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是如图所示的一条直线,y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 C解析 由导函数的图象和y ＝f (x )的图象过原点,设f (x )＝ax 2＋bx ,所以f ′(x )＝2ax ＋b ,由图得a >0,b >0,则－b2a <0,4ac －b 24a ＝－b 24a <0,则函数f (x )＝ax 2＋bx 图象的顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，－b 24a 在第三象限．故选C.10．若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切,则a 的值是( )A ．1 B.164 C ．1或164 D ．1或－164 答案 C解析 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时,则k ＝f ′(0)＝2,直线l 方程为y ＝2x . 又直线l 与曲线y ＝x 2＋a 相切,∴x 2－2x ＋a ＝0满足Δ＝4－4a ＝0,解得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时,设切点为P (x 0,y 0),则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0,且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2,①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2,②联立①②解得x 0＝32(x 0＝0舍), 即k ＝－14,则直线l 方程为y ＝－14x .由⎩⎨⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，联立得x 2＋14x ＋a ＝0,由Δ＝116－4a ＝0,得a ＝164,综上,a ＝1或a ＝164.故选C. 二、填空题11．(2017·临川区三模)已知函数f (x )＝sin x －cos x ,且f ′(x )＝2f (x ),则tan2x 的值是________．答案 －34解析 求导得：f ′(x )＝cos x ＋sin x , ∵f ′(x )＝2f (x ),∴cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x ),即3cos x ＝sin x , ∴tan x ＝3,则tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝61－9＝－34.12．设a ∈R ,函数f (x )＝e x＋ae x 的导函数是f ′(x ),且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为 ________．答案 ln 2解析 函数f (x )＝e x ＋a e x 的导函数是f ′(x )＝e x －ae x .又f ′(x )是奇函数,所以f ′(x )＝－f ′(－x ),即e x－ae x ＝－(e －x －a e x ),所以(e 2x ＋1)(1－a )＝0,解得a ＝1,所以f ′(x )＝e x －1e x .令e x －1e x ＝32,解得e x ＝2或e x ＝－12(舍去),所以x ＝ln 2.13．(2018·金版创新)函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1,且f (x )在R 上的导函数f ′(x )＞12,则不等式f (x )＜x ＋12的解集为________．答案 (－∞,1)解析 据已知f ′(x )＞12,可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )－12x ′＝f ′(x )－12＞0,即函数F (x )＝f (x )－12x 在R 上为单调递增函数,又由f (1)＝1可得F (1)＝12,故f (x )＜1＋x 2＝12＋12x ,化简得f (x )－12x ＜12,即F (x )＜F (1),由函数的单调性可得不等式的解集为(－∞,1)．14．(2017·河北石家庄模拟)若对于曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)的任意切线l 1,总存在曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切线l 2,使得l 1⊥l 2,则实数a 的取值范围为________．答案 [－1,2]解析 易知函数f (x )＝－e x －x 的导数为f ′(x )＝－e x －1,设l 1与曲线f (x )＝－e x －x 的切点为(x 1,f (x 1)),则l 1的斜率k 1＝－e x 1－1.易知函数g (x )＝ax ＋2cos x 的导数为g ′(x )＝a －2sin x ,设l 2与曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切点为(x 2,g (x 2)),则l 2的斜率k 2＝a －2sin x 2.由题设可知k 1·k 2＝－1,从而有(－e x 1－1)(a －2sin x 2)＝－1,∴a －2sin x 2＝1e x 1＋1,故由题意知对任意实数x 1,总存在x 2使得上述等式成立,则函数y ＝1e x ＋1的值域是y ＝a －2sin x 值域的子集,则(0,1)⊆[a －2,a ＋2],则⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤0，a ＋2≥1，∴－1≤a ≤2.三、解答题15．(2017·云南大理月考)设函数f (x )＝ax －bx ,曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时,y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2, 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)证明：设P (x 0,y 0)为曲线上的任一点,由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0,y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0), 即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0,从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0,y 0)处的切线与直线x ＝0,y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0,y ＝x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.16．(2018·福建四地联考)已知函数f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5. (1)求函数f (x )的图象在点(3,f (3))处的切线方程；(2)若曲线y ＝f (x )与y ＝2x ＋m 有三个不同的交点,求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5,∴f ′(x )＝x 2－3x ＋2,易求得f ′(3)＝2,f (3)＝132. ∴f (x )的图象在点(3,f (3))处的切线方程是 y －132＝ 2(x －3),即4x －2y ＋1＝0. (2)令f (x )＝2x ＋m ,即13x 3－32x 2＋2x ＋5＝2x ＋m ,得13x 3－32x 2＋5＝m ,设g (x )＝13x 3－32x 2＋5,∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个不同的交点, ∴曲线y ＝g (x )与直线y ＝m 有三个不同的交点, 易得g ′(x )＝x 2－3x ,令g ′(x )＝0,解得x ＝0或x ＝3, 当x <0或x >3时,g ′(x )>0, 当0<x <3时,g ′(x )<0,∴g (x )在(－∞,0),(3,＋∞)上单调递增,在(0,3)上单调递减,又g (0)＝5,g (3)＝12,即g (x )极大值＝5, g (x )极小值＝12,∴可画出如图所示的函数g (x ) 的大致图象,∴实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5.。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知A ＝{x |x ＝n 2，n ∈N }，给出下列关系式：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 4；⑤f (x )＝x 2＋1，其中能够表示函数f ：A →A 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 对⑤，当x ＝1时，x 2＋1∉A ，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确．故选C.2．(2018·吉安四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2(x ≤1)，x 2＋x －2(x >1)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)的值为( )A.1516 B ．89 C ．－2716 D ．18答案 A解析 f (2)＝4，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.故选A.3．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( ) A ．lg 2 B ．lg 32 C ．lg 132 D.15lg 2答案 D解析 令x 5＝t ，则x ＝t15(t >0)， ∴f (t )＝lg t15 ＝15lg t ．∴f (2)＝15lg 2.故选D.4．(2017·山西名校联考)设函数f (x )＝lg (1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( )A ．(－9，＋∞)B ．(－9,1)C ．[－9，＋∞)D ．[－9,1)答案 B解析 f [f (x )]＝f [lg (1－x )]＝lg [1－lg (1－x )]，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg (1－x )>0⇒－9<x <1.故选B.5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,1]，则函数F (x )＝f (x ＋a )＋f (2x ＋a )(0<a <1)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1－a 2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1－aC ．[－a,1－a ] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，1－a 2 答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋a ≤1，0≤2x ＋a ≤1⇒－a2≤x ≤1－a 2.故选A.6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1的值域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 C解析 由于x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，结合函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0,1]上的图象可知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.故选C. 7．(2018·黄冈联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3答案 B解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3， 解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f [f (－3)]＝f (9)＝log 39＝2.故选B.8．(2018·银川模拟)已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①答案 B解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎨⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选B.9．(2018·铜陵一模)若函数f (x )图象上任意一点P (x ，y )皆满足y 2≥x 2，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝x ＋4x D ．f (x )＝tan x答案 C解析 A 项，当x ＝1时，f (x )＝1－1＝0,02≥12不成立；B 项，当x ＝－1时，f (x )＝1e －1∈(－1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立；D 项，当x ＝5π4时，f (x )＝1，12≥⎝⎛⎭⎪⎫5π42不成立；对于C ，f 2(x )＝x 2＋16x 2＋8>x 2，符合题意．故选C.10．(2017·山东模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)答案 C解析 ①当a <23时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)－1＝9a －4,2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．②当23≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1,2f (a )＝23a －1， 故f [f (a )]＝2f (a )．③当a ≥1时，f (a )＝2a >1，f [f (a )]＝22a， 2f (a )＝22a，故f [f (a )]＝2f (a )．综合①②③知a ≥23.故选C. 二、填空题11．已知x ∈N *，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－35，x ≥3，f (x ＋2)，x <3，其值域设为D .给出下列数值：－26，－1,9,14,27,65，则其中属于集合D 的元素是________．(写出所有可能的数值)答案 －26,14,65解析 注意函数的定义域是N *，由分段函数解析式可知，所有自变量的函数值最终都是转化为大于等于3的对应自变量函数值计算的f (3)＝9－35＝－26，f (4)＝16－35＝－19，f (5)＝25－35＝－10，f (6)＝36－35＝1，f (7)＝49－35＝14，f (8)＝64－35＝29，f (9)＝81－35＝46，f (10)＝100－35＝65.故正确答案应填－26,14,65.12．(2018·厦门一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 解析 当x ≥1时，f (x )＝2x－1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ， ∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12. 13．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．答案 1解析 [a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.14．(2018·绵阳二诊)现定义一种运算“⊕”：对任意实数a ，b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是________．答案 (－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}解析 因为(x 2－2x )－(x ＋3)－1＝(x －4)(x ＋1)，所以f (x )＝(x 2－2x )⊕(x ＋3)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)，x 2－2x ，x ∈(－1，4).作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有两个公共点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－k 有两个公共点，结合图象可得－k ＝－1 或2<－k <3或7≤－k <8，所以实数k 的取值范围是k ∈(－8，－7]∪(－3，－2)∪{1}．三、解答题15．(2018·福建六校联考)已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x )(a >0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在区间[0,3]上的最小值为－2，求实数a 的值．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，4－x >0，解得－2<x <4，∴f (x )的定义域为(－2,4)．(2)f (x )＝log a (x ＋2)＋log a (4－x ) ＝log a [(x ＋2)(4－x )]，令t ＝(x ＋2)(4－x )，则可变形得t ＝－(x －1)2＋9， ∵0≤x ≤3，∴5≤t ≤9， 若a >1，则log a 5≤log a t ≤log a 9，∴f (x )min ＝log a 5＝－2，则a 2＝15<1(舍去)，若0<a <1，则log a 9≤log a t ≤log a 5， ∴f (x )min ＝log a 9＝－2， 则a 2＝19，又0<a <1，∴a ＝13. 综上，得a ＝13.16．如果对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且f (1)＝2. (1)求f (2)，f (3)，f (4)的值；(2)求f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014)f (2013)＋f (2016)f (2015)＋f (2018)f (2017)的值．解 (1)∵∀x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且 f (1)＝2，∴f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝22＝4， f (3)＝f (1＋2)＝f (1)·f (2)＝23＝8， f (4)＝f (1＋3)＝f (1)·f (3)＝24＝16.(2)解法一：由(1)知f (2)f (1)＝2，f (4)f (3)＝2，f (6)f (5)＝2，…，f (2018)f (2017)＝2，故原式＝2×1009＝2018.解法二：对∀x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝2，令x ＝n ，y ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2，故f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2018)f (2017)＝2，故原式＝2×1009＝2018.。