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复变函数与积分变换
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§1.1 复 数
1. 复数的概念
形如 z a ib 或 z a bi 的数称为复数。 i称为虚单位,即满足 i2 1 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 a Re z, b Im z. •当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； •当且仅当a=b=0时,z就是实数0； •当虚部b≠0时,z叫做虚数； •当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集.
复数的指数形式
z rei
例1.1 求arg(-3-i4). 解： Arg(-3-i4)= arg(-3-i4)+2k, k=0,±1,±2,…. 点-3-i4位于第三象限
(4) 4 arg(3 i 4) arctan π arctan π (3) 3
4 Arg(3 i 4) arctan (2k 1) π, 3
复数的乘方
z n (r (cos i sin )) n r n (cos i sin ) n r n (cos n i sin n ) r n ein .
z z
n
n
r=1时，得棣莫拂(de百度文库Moivre)公式
(cos i sin ))n cos n i sin n
3 i 2eiπ / 6
复数乘法的几何意义
z1 r1 (cos1 i sin 1 ), z2 r2 (cos2 i sin 2 ).
z1 z2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 r2 ((cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) i(sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 )) r1r2 (cos(1 2 ) i sin(2 2 ))
Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
z1 z1 z1 z2 , Argz1 Arg Argz2 , z2 z2
z1 z1 z1 , Arg Argz1 Argz2 . z2 z2 z2
两个复数的商的模等于它们模的商，商的幅角 等于被除数的幅角与除数的幅角的差.
4. 复数的三角表示和复数的方根
复平面C的不为零的点 z x iy 极坐标 (r, ) : x r cos , y r sin
r z,
是正实轴与从原点O到z的射线的 夹角，称为复数z的幅角，记为 Argz
满足条件 π π 的幅角称为Argz的主值，记为 =argz，于是有=Argz=argz+2k, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos+isin)
复数的开方 设是 z rei 已知的复数，n为正整数，则称满足方程 n z 的所有的复数为z的n次方根，并且记为 n z .
设 ei
n nein rei
1 1 1) Re z ( z z ), Im z ( z z ). 2 2i z z 2)( z w) z w, zw z w, ( ) ( w 0). w w 3) zw z w . z 4) z . w w 5) z z .
复数的模和共轭复数的性质
Re z z Re z Im z , Im z z Re z Im z .
3. 复数的运算 复数的运算，有关复数的模和共轭 复数的性质
z1 a ib, z2 c id 加法 z1 z2 (a c) i(b d )
减法
z1 z2 (a c) i(b d )
乘法
z1 z2 ac ibc iad i 2bd (ac bd ) i(bc ad )
z zz
2
除法
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
k=0,±1,±2,….
iπ z e 例1.2 计算
解： eiπ cos π i sin π 1
例1.3 把复数 3 i 表示成三角形式和指数形式.
3 解：r 3 1 2, cos . 2
3 i 对应的点在第一象限
π arg( 3 i ) 6
π π 3 i 2 cos i sin 6 6
如果两个复数的实部和虚部分别相等,称这两个复数相等.
2. 复数的向量表示和复平面 复数可用点z(a,b)表示 用直角坐标系表示的复数 的平面称为复平面，x轴叫 做实轴，y轴叫做虚轴. 实轴上的点表示实数；除 了原点外，虚轴上的点表 示纯虚数. 当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两 个复数叫做互为共轭复数. z a ib z a ib
任一实数的共轭复数仍是它本身.
在复平面上,复数 z a ib 还可以用由原点引向点z 的向量Oz 来表示,这种表示方式建立了复数集C与平面 向量 Oz 所成的集合的一一对应（实数0与零向量对 应）.向量 Oz 的长度称为复数z的模，记为 |z|或r .
2 2 r a b 0 z
z1z2 r1ei1 r2ei2 r1r2ei (1 2 ) .
z1z2 rr 1 2 z1 z2
Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
两个复数相乘，积的模等于各复 数的模的积，积的幅角等于这两 个复数的幅角的和.
z1z2 rr 1 2 z1 z2