2017年春季学期新人教B版高中数学选修1-1导学案：2.1.1椭圆及其标准方程 Word版

椭圆及其标准方程（第一课时）教学设计一、教材及学情分析本节课是《全日制普通高级中学教科书（选修1-1）·数学》（人民教育出版社B版教材）第二章第一节第一课时《椭圆及其标准方程》。

在必修2第二章中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，在选修1-1第二章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。

由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。

本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。

因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。

根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持。

二、教学目标分析按照教学大纲的要求，根据教材分析和学情分析，确定如下教学目标：1．知识与技能目标：①理解椭圆的定义。

②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高运算能力。

2．过程与方法目标：①学生经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法。

②初步学会坐标化的方法求动点轨迹方程，经历运用数学思想方法分析和解决问题的过程。

3．情感态度价值观目标：①学生通过活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思等活动，促进学生形成研究氛围和合作意识②学生经历知识的形成过程教学，从而知其然并知其所以然，体会前人探索的艰辛过程与创新的乐趣③通过对椭圆定义的严密化，初步体验扎实严谨的科学作风④经历椭圆方程的化简,增强战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美三、重、难点重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用关键：含有两个根式的等式化简四、教法分析新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。

《椭圆及其标准方程》教学设计及反思河北乐亭第一中学刘丽凤教学目标：（一）知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．（二）能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．（三）情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．教学难点：椭圆标准方程的推导．教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．教学过程（一）设置情景，引出课题:1．对椭圆的感性认识通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆2．通过动画设计，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹。

提问：点M运动时，F1、F2移动了吗？点M按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？下面请同学们在绘图板上作图，思考绘图板上提出的问题：1．在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？3．当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？（二）研讨探究，推导方程1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？2、研讨探究问题：如图已知焦点为的椭圆，且=2c,对椭圆上任一点M，有，尝试推导椭圆的方程。

思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？将各组学生的讨论方案归纳起来评议，选定以下两种方案，由各组学生自己完成设点、列式、化简。

方案一方案二列式：∴化简：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？）两边平方，得：即两边平方，得：整理，得：令，则方程可简化为：整理成：指出：方程叫做椭圆的标准方程，焦点在轴上，焦点是讨论：如果以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，焦点是，椭圆的方程又如何呢？让按照另外方案推导椭圆标准方程的同学发言并演示动画进行讨论得出：为椭圆的另一标准方程，而其他建系方案得出的椭圆方程没有标准方程形式简单．引导学生思考：已知椭圆标准方程，如何判断焦点位置？讨论得出：看，的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上．选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出=1，同样也有a2－c2 = b2 b > 0 。

教学设计教学目标：1．知识与技能:①理解椭圆的定义，并掌握椭圆的两种标准方程。

②能够根据椭圆的标准方程确定焦点所在坐标轴和焦点坐标，并求三个参数③能够根据给定条件求椭圆的标准方程2．过程与方法:根据本节课的内容和学生的实际水平，通过观察普片和模拟实验让学生理解椭圆曲线的形成过程，进而归纳出椭圆曲线的定义，通过这一过程体会数形结合、分类讨论、方程思想等数学思想方法的运用，使学生经历由具体到一般的推理过程。

3情感态度价值观:通过对椭圆曲线定义和方程的学习，激发学生对于圆锥曲线的学习兴趣，提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．教学重点与难点：重点：椭圆的定义的内涵与特征，椭圆的标准方程实际应用。

难点：椭圆标准方程的推导过程，以及椭圆定义在实际问题中的灵活应用和根据题设条件求椭圆的方程。

教法：新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，按照“创设情境——学生活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思——巩固提高”的程序设计教学过程，并以多媒体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人．教学准备：()()22222222-+=-ac x a y a a c ()222-= >0a c b b 22221(0)y x a b a b +=>>22221(0)x y a b a b +=>>22221(0)y x a b a b+=>>2213624x y +=x (23,0)221144169x y +=y (0,5)222211x y m m +=+y (0,1)22231x y --=-x 6(0)62212516x y +=2214x y m +=的取 值范围是 题型二：求椭圆的标准方程例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）两个焦点坐标分别是12(3,0),(3,0)F F - ，椭圆上一点P 与两个焦点的距离的和等于8（2）两个焦点分别是12(0,4),(0,4)F F -，并且椭圆经过巩固椭圆定义掌握两种类型的椭圆方程的异同和根据标准方程判断焦点位置的方法。

第二章 圆锥曲线与方程 §2.1 椭 圆2.1.1 椭圆及其标准方程 课时目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．1．椭圆的概念：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于________(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．当|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|时，轨迹是__________，当|PF 1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时__________轨迹．2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为________________，焦点坐标为________________，焦距为________；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________．一、选择题1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段2．椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( ) A ．32 B ．16 C ．8 D ．43．椭圆2x 2＋3y 2＝1的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫0，±66 B ．(0，±1) C ．(±1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫±66，0 4．方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，－1) B ．(－3，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－3,1)5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32，则该椭圆的方程是( ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 6．设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形二、填空题7．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．8．P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的点，F 1和F 2是该椭圆的焦点，则k ＝|PF 1|·|PF 2|的最大值是______，最小值是______．9．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米．三、解答题10．根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.11．已知点A (0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM |＝|PA |，求动点P 的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．813．如图△ABC 中底边BC ＝12，其它两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．。

椭圆及其标准方程（一）商丘市实验中学张永平一、教学目标1．知识目标：掌握椭圆的定义，能正确推导椭圆的标准方程．2．能力目标：通过引导学生亲自动手尝试画椭圆，让学生发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义, 培养学生的动手能力、合作学习能力以及运用所学知识解决实际问题的能力．3．情感目标（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣（2）通过椭圆标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”二、重点、难点重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想．难点：椭圆标准方程的推导与化简．三．教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．四．教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．五、教学过程（一）创设情境，认识椭圆．材料1：对椭圆的感性认识通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆引入课题：椭圆及其标准方程．（设计意图：利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆）（二）动手实验，亲身体会．1．教师演示，引出研究思路．教师将一圆形的呼啦圈朝一方向用力压或拉，变成一椭圆形状的呼啦圈，以说明圆和椭圆的密切关系，点明可以像学习圆一样来学习椭圆．思考：在圆的学习中我们知道：平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？（设计意图：对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生研究椭圆．）2．学生分组试验．1取一条细绳；2把细绳的两端用图钉固定在板上的两点、；3用铅笔尖（）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形是什么？（教师巡视指导，展示学生成果）3分析实验，得出规律．1在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？2在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？4改变绳子长度与两定点距离的大小，轨迹又是什么？学生总结规律： 轨迹为椭圆； 轨迹为线段 ； 轨迹不存在．（设计意图：在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一来是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备．）（三）总结归纳，形成概念．定义：平面内，到两个定点、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．（在归纳椭圆定义的过程中，教师根据学生回答的情况，不断引导他们逐步加深理解并完善椭圆的定义，在引导中突出体现“常数”及“常数”的范围等关键词与相应的特征）问：椭圆定义还可以用集合语言如何表示？（设计意图：通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力）（四）合理建系，推导方程．1复习求曲线的方程的基本步骤：⑴建系；⑵设点；⑶列式；⑷化简；（5）证明（可省略）（由学生回答，不正确的教师给予纠正．）2如何选取坐标系？【学情预设】学生可能会建系如下几种情况：方案一：把F 1、F 2建在轴上，以F 1F 2的中点为原点；方案二：把F 1、F 2建在轴上，以F 1为原点；1212||||||MF MF F F 1212||||||MF MF F F 1212||||||MF MF F F 12F F )22(221c a a MF MF >=+方案三：把F 1、F 2建在轴上，以F 1F 2与轴的左交点为原点；方案四：把F 1、F 2建在轴上，以F 1F 2的中点为原点；教师折椭圆，学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁？学生讨论，经过比较确定方案一（设计意图：积极鼓励学生用不同建系方法，让他们充分暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或老师强加给的方法．）3．推导标准方程．选取建系方案,让学生动手，尝试推导按方案一：以过、的直线为轴，线段的垂直平分或线为轴，建立平面直角坐标系．设，点为椭圆上任意一点，则 （称此式为几何条件）， ∴ 得（实现集合条件代数化），（想一想：下面怎样化简？）（１）教师为突破难点，进行引导设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，得 ．（2）的引入．由椭圆的定义可知，, ∴．让点运动到轴正半轴上（如图2），由学生观察图形直观获得，的几何意义，进而自然引进，此时设，于是得， 两边同时除以，得到方程：（称为椭圆的标准方程）． （3）建立焦点在轴上的椭圆的标准方程．要建立焦点在轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何做？ 方法1：按步骤列出方程，利用两方程结构的异同（结构相同，只是字母，交换了位置），直接得到方程． 方法2：（视情况决定讲与否预设）借助于化归思想，抓住图1（前面方程推导时用过）与图3的联系关于)0(221>=c c F F ),(y x M {}a MF MF M P 221=+=()()a y c x y c x 22222=++++-)()(22222222c a a y a x c a -=+-c a 22>220a c ->222c a b -=222222b a y a x b =+()222210x y a b a b+=>>图2直线对称即可化未知为已知，将已知的焦点在轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在轴上的椭圆的标准方程．只需将图1沿直线翻折即可转化成图3；图1 图34教师应用多媒体，把其它建系得出的方程展示给学生，相比之下，其它的建系方式得到的方程不够简洁 （设计意图：椭圆的标准方程的导出，先放手给学生尝试，教师协从指导．再展示学生结果；教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用；利用类比对称，化归的思想得出焦点在轴上的标准方程，避免重复的繁杂计算．）4．归纳概括，掌握特征．（1）椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1；（2）椭圆标准方程中三个参数 , , 的关系：；（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定（五）尝试应用，范例教学．例 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：已知椭圆的两个焦点坐标（4，0），（-4,0）椭圆上一点到两焦点的距离和等于10，求椭圆的标准方程 变式1：若将上题焦点改为（0,4），（0，-4），结果如何？变式2：若将上题改为两焦点的距离为8，椭圆上一点到两焦点距离和等于10，结果如何？（六）回顾反思，归纳提炼1椭圆定义；2椭圆标准方程；3解题思想方法．（七）课后作业，巩固提高．（八）板书设计：一．椭圆的定义 三例题四小结x y =y x=222c a b -=)0(>>b a )22(221c a a MF MF >=+二．椭圆的标准方程 五作业焦点在轴上： 焦点在轴上； ()222210x y a b a b+=>>()222210y x a b a b +=>>。

《椭圆及其标准方程》教学设计澄江一中董家明一、教学目标1．知识与技能目标：（1）理解椭圆的定义（2）掌握椭圆的标准方程及推导过程，并在化简方程的过程中提高学生的运算能力2．过程与方法目标：（1）经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，提高学生的归纳概括能力（2）巩固求动点轨迹方程的完整步骤3．情感态度价值观目标：（1）充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生观察、思考、探究、合作、归纳，促进合作意识（2）通过对椭圆定义的严密描述，培养学生求实严谨的科学作风（3）通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的品质并体会数学的简洁美、对称美二、教学重、难点1．重点：理解椭圆的定义、掌握椭圆的标准方程及推导过程2．难点：椭圆标准方程的推导与化简三、教法与学法1．教法设计：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果→归纳总结2．学法设计：自主探究、合作交流3．教具准备：多媒体课件、细绳、白纸、笔四、教学过程设计一 引入新课“同学们知道平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，那么平面内到两个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢？请同学们拿出画图工具以小组为单位画图，看看能得到什么样的图形？” 二 讲授新课 1．归纳椭圆的定义椭圆：我们把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距在归纳定义时，再次强调定义要满足两个条件：①任意一点到两个定点的距离的和等于常数；②常数大于12||F F 2．推导椭圆的方程：（1）回顾用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤：建系设点、写出满足某种条件的动点的集合、列出方程、化简方程、证明等价性（2）回顾建立适当直角坐标系的一般原则：以已知直线为坐标轴，兼顾图形的对称性这里我们以经过椭圆两焦点12,F F 所在的直线为x 轴，以线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy设(),M x y 为椭圆上任意一点，动点M 与两个焦点12F F 、的距离之和为()20a a >，焦距为()20c c >，则()()12,0,0F c F c -．根据椭圆的定义，椭圆就是集合: {}122A M MF MF a =+=2a =化简上述方程：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号方法：移项后两次平方去掉根号()222222.2()44(),x c a a x c y a x c y +==++=--+222222224222,22,a cx a x a cx a c a y a a cx c x =--++=-+()()222222222222222221.ac x a y a a c x y a c a c a a c -+=-+=-=--2引导学生分析的几何意义，令b 得到焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>（3）、对于焦点在轴上椭圆的标准方程的处理为避免重复劳动，进行繁琐的化简，我们按以下方法进行处理：方法：先让学生猜想方程的形式，一般来说会有部分学生能说出正确答案，学生猜想后我再给出正确答案即：只需把焦点在轴上的标准方程中的、的位置对换，得到焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为()222210y x a b a b+=>>具体过程让学生在课后自己推导（作业） 三 例题分析例1：判定下列椭圆的焦点在哪条轴上？并指明a 、b ，写出焦点坐标。

1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义；3．掌握椭圆的标准方程．※ 学习探究： 取一条定长的细绳，把它的两尖，这时笔尖画出的轨迹是一个____________．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？【思考】移动的笔尖（动点）满足的几何条件是_____________________在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．【定义】我们把平面内______________________（_______）的点的轨迹叫做椭圆， 这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的_______ ．【反思】若将常数记为2a ，为什么122a F F >？当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ． 【试试】已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >． 【标准方程】【例1】 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴ 4,1a b ==，焦点在x 轴上； ⑵4,a c ==焦点在y 轴上； ⑶10,a b c +==．【变式】方程214x ym+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．【例2】已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．【变式】椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．※ 动手试试练1 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是________练2 ．方程219x ym-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．练3．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）． A ．椭圆 B ．圆 C ．无轨迹 D ．椭圆或线段或无轨迹练4如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是____练5椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是 ______________。

2017-2018学年高中数学人教B版选修1-1全册同步学案目录1.1.1 命题1.1.2 量词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的几何性质（一）2.1.2 椭圆的几何性质（二）2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2 双曲线的几何性质2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的几何性质第二章末复习提升3.1.1 函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数3.1.3 导数的几何意义3.2.1常数与幂函数的导数-3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则3.3.1 利用导数判断函数的单调性3.3.2 第1课时利用导数研究函数的极值3.3.2 第2课时利用导数研究函数的最值3.3.3导数的实际应用第三章末复习提升1．1命题与量词1．1.1命题[学习目标] 1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假．[知识链接]在初中，我们已学过许多数学命题，当时是如何定义命题的，你能举出一些例子吗？答判断一件事情的句子叫命题．如：有两边相等的三角形是等腰三角形．[预习导引]1．命题的概念在数学中，我们常常碰到许多用语言、符号或式子表达的语句，其中能判断真假的陈述句叫做命题．2．命题的真假判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.要点一命题的判断例1下列语句是命题的是()A．x－1＝0B．2＋3＝8C．你会说英语吗？D．这是一棵大树答案B解析A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．规律方法并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小明的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题．因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假．跟踪演练1判断下列语句是否是命题．(1)求证3是无理数．(2)x2＋2x＋1≥0.(3)你是高二的学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果．(5)一个正整数不是质数就是合数．(6)若x∈R，则x2＋4x＋7＞0.(7)x＋3>0.解(1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题．要点二命题真假的判断例2判断下列命题的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；(2)如果x∈N，则x3>x2成立；(3)如果m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．解(1)假命题．反例：1≠4,5≠2，但1＋5＝4＋2.(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．(3)真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．规律方法要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在证明时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．跟踪演练2下列命题：①如果xy＝1，则x、y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④如果ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．答案①④解析①④是真命题，②四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，③平行四边形不是梯形.1．下列语句不是命题的有()①2<1；②x<1；③如果x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．A．0个B．1个C．2个D．3个答案B解析①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题．2．下列命题中的真命题是()A．互余的两个角不相等B．相等的两个角是同位角C．如果a2＝b2，则|a|＝|b|D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角答案C解析由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的．3．命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是________________，结论是________________．答案函数为y＝2x＋1该函数是增函数4．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是________．答案4解析①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x，y中一个为零，另一个不为零时，|x|＋|y|≠0；③当c＝0时不成立；④菱形的对角线互相垂直．矩形的对角线不一定垂直．1.根据命题的意义，能判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“如果p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“如果p，则q”的形式，大前提应保持不变，且不写在条件p中．1.1.2量词[学习目标] 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.3.知道全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．[知识链接]下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)至少有一个x∈Z，使2x＋1是整数．答：语句(1)、(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“至少有一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)、(4)是命题．[预习导引]1．全称量词和全称命题(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题．即是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题．其形式为“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词和存在性命题(1)存在量词短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)存在性命题含有存在量词的命题，叫做存在性命题．即是陈述某集合M的有些元素x具有某种性质的命题，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．要点一全称量词与全称命题例1试判断下列全称命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋2>0；(2)∀x∈N，x4≥1；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．(3)由于∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题．规律方法判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素都成立．判断全称命题为假时，可以用反例进行否定．跟踪演练1判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，x2＋1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．解(1)2是素数，但2不是奇数．所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．(2)∀x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.所以，全称命题“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”是真命题． (3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数．所以，全称命题“对每一个无理数x ，x 2也是无理数”是假命题． 要点二 存在量词与存在性命题 例2 判断下列命题的真假： (1)∃x ∈Z ，x 3<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)有一个实数α，tan α无意义．(4)∃x ∈R ，cos x ＝π2.解 (1)∵－1∈Z ，且(－1)3＝－1<1， ∴“∃x ∈Z ，x 3<1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)真命题，当α＝π2时，tan α无意义.(4)∵当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，而π2>1，∴不存在x ∈R ，使cos x ＝π2，∴原命题是假命题．规律方法 存在性命题是含有存在量词的命题，判定一个存在性命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可． 跟踪演练2 判断下列存在性命题的真假： (1)有一个实数x ，使x 2＋2x ＋3＝0； (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线； (3)有些整数只有两个正因数．解 (1)由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在．所以，存在性命题“有一个实数x ，使x 2＋2x ＋3＝0”是假命题．(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题． (3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．要点三 全称命题、存在性命题的应用例3 (1)对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立．求实数m 的取值范围； (2)存在实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 有解，求实数m 的取值范围． 解 (1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≥－2，又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立， ∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)． (2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]．又∵∃x ∈R ，sin x ＋cos x >m 有解， ∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．规律方法 有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别． 跟踪演练3 (1)已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围；(2)若命题p ：1－sin2x ＝sin x －cos x 是真命题，求实数x 的取值范围．解 (1)关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∴实数a 的取值范围为[74，＋∞)．(2)由1－sin2x ＝sin x －cos x ，得sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ＝sin x －cos x ， ∴(sin x －cos x )2＝sin x －cos x ， 即|sin x －cos x |＝sin x －cos x ， ∴sin x ≥cos x .结合三角函数图象，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，此即为所求x 的取值范围．即p ：∀x ∈[2k π＋π4，2k π＋5π4](k ∈Z )，有1－sin2x ＝sin x －cos x 是真命题．1．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x ，x >0；④对于任意实数x,2x ＋1是奇数．下列说法正确的是( ) A ．四个命题都是真命题 B ．①②是全称命题 C ．②③是存在性命题 D ．四个命题中有两个假命题 答案 C解析 ①④为全称命题；②③为存在性命题；①②③为真命题；④为假命题． 2．下列命题中，不是全称命题的是( ) A ．任何一个实数乘以0都等于0 B ．自然数都是正整数 C ．每一个向量都有大小D ．一定存在没有最大值的二次函数 答案 D解析 D 选项是存在性命题．3．下列存在性命题是假命题的是( ) A ．存在x ∈Q ，使2x －x 3＝0 B ．存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0 C ．有的素数是偶数 D ．有的有理数没有倒数 答案 B解析 对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0恒成立．4．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题： (1)凸n 边形的外角和等于2π. (2)有一个有理数x 满足x 2＝3. (3)对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.解 (1)∀x ∈{x |x 是凸n 边形}，x 的外角和是2π. (2)∃x ∈Q ，x 2＝3.(3)∀α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1.1.判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是根据命题涉及的意义去判断，命题中有的含有全称量词和存在量词，有的不含全称量词和存在量词，一定要抓实质，不能看表面．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；要确定一个全称命题是假命题，举出一个反例即可．3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题．1．2基本逻辑联结词1．2.1“且”与“或”[学习目标] 1.理解逻辑联结词“且”、“或”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．[知识链接]1．观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？答：命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题．“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}中“且”的意义相同，叫逻辑联结词，表示“并且”，“同时”的意思．2．观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2它们之间有什么关系？答：命题③是命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．“或”与集合运算中并集A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“或”的意义相同，有“可兼”的含义．[预习导引]1．用逻辑联结词构成新命题(1)一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．由“且”的含义，可以用“且”来定义集合A和集合B的交集A∩B＝{x|(x∈A)∧(x∈B)}．(2)一般地，用逻辑联结词“或”把命题p，q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”．由“或”的含义，可以用“或”来定义集合A和集合B的并集A∪B＝{x|(x∈A)∨(x∈B)}．2假假假假要点一含逻辑联结词的命题的构成例1指出下列命题的形式及构成它的简单命题：(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；(2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形．解(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：菱形是圆的内接四边形，q：菱形是圆的外切四边形．规律方法(1)正确理解逻辑联结词“且”“或”是解题的关键．(2)有些命题并不一定包含“或”“且”这些逻辑联结词，要结合命题的具体含义正确的判定命题构成．跟踪演练1分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”形式的命题：(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．解(1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．要点二判断含逻辑联结词命题的真假例2指出下列命题的构成形式并判断命题的真假：(1)等腰三角形底边上的中线既垂直于底边，又平分顶角；(2)1是素数或是方程x2＋3x－4＝0的根．解(1)是p∧q形式，其中p：等腰三角形底边上的中线垂直于底边；q：等腰三角形底边上的中线平分顶角．因为p真，q真，所以p∧q真．所以该命题是真命题．(2)这是p∨q形式命题，其中p：1是素数；q：1是方程x2＋3x－4＝0的根，因为p假，q 真，所以p∨q真，故该命题是真命题．规律方法判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)逐一判断命题p，q的真假．(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”，“p∨q”的真假．p∧q为真⇔p和q同时为真，p∧q为假⇔p和q中至少一个为假；p∨q为真⇔p和q中至少一个为真，p∨q为假⇔p和q同时为假．跟踪演练2分别指出下列各组命题构成的“p∧q”和“p∨q”形式的命题的真假：(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点；q：不等式x2＋x＋2<0无解；(4)p：函数y＝cos x是周期函数．q：函数y＝cos x是奇函数．解(1)∵p为假命题，q为真命题．∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．(2)∵p为假命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为假命题．(3)∵p为真命题，q为真命题，∴p∧q为真命题，p∨q为真命题．(4)∵p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．要点三逻辑联结词的应用例3设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a ＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．解对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4<0. 解这个不等式得：－3<a <1.对于q ：f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数， 则有a ＋1>1，所以a >0.又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， 所以p 、q 必是一真一假．当p 真q 假时有－3<a ≤0，当p 假q 真时有a ≥1. 综上所述，a 的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．规律方法正确理解“且”“或”的含义是解此类题的关键，由p ∧q 为假知p ，q 中至少一假，由p ∨q 为真知p ，q 至少一真．跟踪演练3 已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若q 为假命题，“p ∨q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，(x 1＋1)(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4，∴0≤a <4.因为q 为假命题，“p ∨q ”为真命题，即p 真且q 假， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1].1．命题：“方程x 2－1＝0的解是x ＝±1”，其使用逻辑联结词的情况是( )． A ．使用了逻辑联结词“且” B ．使用了逻辑联结词“或”C．没有使用逻辑联结词D．以上选项均不正确答案B解析“x＝±1”可以写成“x＝1或x＝－1”，故选B.2．已知p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1,2}．在命题“p”，“q”，“p∧q”，和“p∨q”中，真命题有()A．1个B．2个C．3个D．0个答案B解析容易判断命题p：∅⊆{0}是真命题，命题q：{1}∈{1,2}是假命题，所以p∧q是假命题，p∨q真命题，故选B.3．给出下列命题：①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案D解析①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；④由于A∩B⊆A，A∩B⊆A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．4．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p∨q”为________．答案方向相同或相反的两个向量共线解析方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同或相反的两个向量共线”．1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．2．判断含逻辑联结词命题的真假时，先逐一判断命题p，q的真假；再根据“且”“或”的含义判断“p∧q”“p∨q”的真假．1．2.2“非”(否定)[学习目标] 1.理解逻辑联结词“非”的含义.2.掌握存在性命题和全称命题否定的格式，会对命题、存在性命题、全称命题进行否定．[知识链接]你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.答：(1)存在一个矩形不是平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)∃x∈R，x2－2x＋1<0.[预习导引]1．概念一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．由“非”的含义，可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集∁U A＝{x∈U|綈(x∈A)}＝{x∈U|x∉A}．2．p与綈p真值表3.存在性命题的否定存在性命题p：∃x∈A，p(x)，它的否定是綈p：∀x∈A，綈p(x)．存在性命题的否定是全称命题．4．全称命题的否定全称命题q：∀x∈A，q(x)，它的否定是綈q：∃x∈A，綈q(x)．全称命题的否定是存在性命题．5．开句含有变量的语句，通常称为开句或条件命题.要点一全称命题的否定例1写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1,2,3,4,5，中的每一项都是偶数；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解(1)其否定为：存在一个平行四边形的对边不都平行．(2)其否定：数列：1,2,3,4,5，中至少有一项不是偶数．(3)其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.规律方法全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．跟踪演练1写出下列全称命题的否定：(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(3)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.解(1) 綈p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．(2) 綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3) 綈p ：∃x ∈Z ，x 2的个位数字等于3. 要点二 存在性命题的否定 例2 写出下列存在性命题的否定： (1)p ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋3≤0； (2)q ：有的三角形是等边三角形； (3)r ：有一个质数含有三个正因数． 解 (1)綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋3>0. (2)綈q ：所有的三角形都不是等边三角形． (3)綈r ：每一个质数都不含三个正因数．规律方法存在性命题的否定是全称命题，即“∃x ∈A ，p (x )”的否定为“∀x ∈A ，綈p (x )”．由以上结论，可知写一个命题的否定时，首先判断该命题是“全称命题”还是“存在性命题”，要确定相应的量词，给出命题否定后，要判断与原命题是否相对应(全称命题↔存在性命题)，进一步判断它们的真假是否对应． 跟踪演练2 写出下列存在性命题的否定： (1)p ：有些实数的绝对值是正数； (2)p ：某些平行四边形是菱形； (3)p ：∃x ∈R ，x 3＋1<0.解 (1)綈p ：所有实数的绝对值都不是正数． (2)綈p ：每一个平行四边形都不是菱形． (3)綈p ：∀x ∈R ，x 3＋1≥0.要点三 存在性命题、全称命题的综合应用例3 已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0.求实数p 的取值范围．解 在区间[－1,1]中至少存在一个实数c ，使得f (c )>0的否定是在[－1,1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立．又由二次函数的图象特征可知，⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，即⎩⎨⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3.∴p ≥32或p ≤－3.故在区间[－1,1]上至少存在一个实数c 且使f (c )>0的实数p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，32. 规律方法 通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算．跟踪演练3 若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (－2，－1)∪(1，2) 解析依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，a 2－1<1⇔⎩⎨⎧a <－1或a >1，－2<a <2⇔－2<a <－1或1<a < 2.1．命题p ：“存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根”，则“綈p ”形式的命题是( ) A ．存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 B ．不存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 D ．至多有一个实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 答案 C解析 命题p 是存在性命题，其否定形式为全称命题，即綈p ：对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根．2．对下列命题的否定说法错误的是( )A ．p ：能被2整除的数是偶数；綈p ：存在一个能被2整除的数不是偶数B ．p ：有些矩形是正方形；綈p ：所有的矩形都不是正方形C ．p ：有的三角形为正三角形；綈p ：所有的三角形不都是正三角形D ．p ：∃n ∈N,2n ≤100；綈p ：∀n ∈N,2n >100. 答案 C解析 “有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C 错误．3．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1D．∃x∈R，tan x＝2答案B解析A中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称命题，当x ＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是存在性命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；D中命题是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题．4．命题“零向量与任意向量共线”的否定为____________________________．答案有的向量与零向量不共线解析命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为存在性命题：“有的向量与零向量不共线”．1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题，无量词的全称命题要先补回量词再否定．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．2．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1．3.1推出与充分条件、必要条件[学习目标] 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系．[知识链接]判断下列两个命题的真假，并思考命题中条件和结论之间的关系：(1)如果x>a2＋b2，则x>2ab；(2)如果|x|＝1，则x＝1.答(1)为真命题，(2)为假命题．命题(1)中，有x>a2＋b2，必有x>2ab，即x>a2＋b2⇒x>2ab；但由x>2ab推不出x>a2＋b2.命题(2)中，由|x|＝1，可得x＝1或－1.即由|x|＝1推不出x＝1；但由x＝1能推出|x|＝1.结论：一般地，“如果p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．[预习导引]1．命题的结构在数学中，我们经常遇到“如果p，则(那么)q”的形式的命题，其中p称为命题的条件，q 称为命题的结论．2．充分条件与必要条件的定义当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p成立可以推出q成立，记作p⇒q，读作“p推出q”．如果p可推出q，则称p是q的充分条件；q是p的必要条件．3．p⇒q的等价命题在逻辑推理中，能表达成以下5种说法：①“如果p，则q”为真命题；②p是q的充分条件；③q是p的必要条件；④q的充分条件是p；⑤p的必要条件是q.4．充要条件的定义一般地，如果p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p ⇔q .p 是q 的充要条件，又常说成q 当且仅当p ，或p 与q 等价.要点一 充分条件、必要条件、充要条件的判断例1 指出下列各题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)： (1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ； (2)在△ABC 中，p ：sin A >sin B ，q ：tan A >tan B ； (3)已知x ，y ∈R ，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0， q ：(x －1)(y －2)＝0.解 (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充要条件．(2)取A ＝120°，B ＝30°，p ⇒/ q ，又取A ＝30°，B ＝120°，q ⇒/p ，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．(3)因为p ：A ＝{(1,2)}， q ：B ＝{(x ，y )|x ＝1或y ＝2}， A B ，所以p 是q 的充分不必要条件．规律方法(1)判断p 是q 的什么条件，主要判断p ⇒q 及q ⇒p 两命题的正确性，若p ⇒q 真，则p 是q 的充分条件，若q ⇒p 真，则p 是q 的必要条件．(2)关于充要条件的判断问题，当不易判断p ⇒q 真假时，也可从集合角度入手判断真假，结合集合关系理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．跟踪演练1 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件”中选一种作答)? (1)p ：△ABC 中，b 2>a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形； (2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形； (3)若a ，b ∈R ，p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＝b ＝0. 解 (1)在△ABC 中，∵b 2>a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac<0，∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形，反之若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2<a 2＋c 2.∴p ⇒q ，q p ，故p 是q 的充分不必要条件．(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立， ∴pq ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．(3)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故p ⇒q ； 若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ， 所以p 是q 的充要条件． 要点二 充要条件的证明例2 求证：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件是m ≥2.证明 (1)充分性：因为m ≥2，所以Δ＝m 2－4≥0，所以方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，设两根为x 1，x 2，由根与系数的关系知，x 1·x 2＝1>0，所以x 1，x 2同号． 又x 1＋x 2＝－m ≤－2<0，所以x 1，x 2同为负数． 即m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分条件．(2)必要性：因为x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，设其为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m <0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2或m ≤－2，m >0， 所以m ≥2，即m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件． 综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件．规律方法充要条件的证明，关键是确定哪是条件，哪是结论，并明确充分性是由条件推结论，必要性是由结论推条件，也可以理解为证明充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命题的逆命题成立．跟踪演练2 求证：方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根均大于1的充要条件是k ＜－2. 证明 必要性：若方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)＞0，(x 1－1)(x 2－1)＞0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，(x 1＋x 2)－2＞0，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＞0.。

2.2椭圆的简单几何性质教学目标：(1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;(2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图;(3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.教学重点:椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图教学难点:椭圆离心率的概念的理解.教学方法：讲授法课型：新授课教学工具：多媒体设备一、复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.椭圆的标准方程.二、讲授新课：（一）通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.[在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x 轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.] 已知椭圆的标准方程为：)0(12222>>=+b a by a x 1.范围[我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中x ，y 的范围就知道了.]问题1 方程中x 、y 的取值范围是什么?由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式22a x ≤1, 22by ≤1 即 x 2≤a 2, y 2≤b 2所以 |x|≤a ， |y|≤b即 －a ≤x ≤a, －b ≤y ≤b这说明椭圆位于直线x ＝±a, y ＝±b 所围成的矩形里。

2.对称性复习关于x 轴，y 轴，原点对称的点的坐标之间的关系：点（x,y ）关于x 轴对称的点的坐标为(x,－y)；点（x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为(－x, y)；点（x,y ）关于原点对称的点的坐标为(－x,－y)；问题2 在椭圆的标准方程中①以－y 代y ②以－x 代x ③同时以－x 代x 、以－y 代y,你有什么发现?（1） 在曲线的方程里，如果以－y 代y 方程不变，那么当点P(x,y)在曲线上时，它关于x 的轴对称点P ’(x,－y)也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称。

2.1.2 椭圆的几何性质学习目标：1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e 的几何意义2.通过对椭圆标准方程的讨论，理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几何问题的。

3.初步利用椭圆的几何性质解决问题。

学习重点：椭圆的几何性质学习难点：椭圆的几何性质的探讨以及a,b,c,e 的关系思想方法：数形结合的方法、分类讨论的思想一 、复习1、椭圆的定义____________________________________________________2、椭圆的标准方程焦点在x 轴上时：_________________，焦点在y 轴上时：__________3、椭圆中a,b,c 的关系是___________________二 、新授课探究一 观察椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的形状， 你能从图形上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？1、范围 ：（1）从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是_________________。

椭圆上点的纵坐标的范围是.____________________。

（2）由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 知 ① 22a x ____1,即____ ≤≤x ____；② 22by ____ 1；即____≤≤y ___因此)0(12222>>=+b a by a x 位于直线__________和__________围成的矩形里。

2、对称性（1）从图形上看，椭圆关于_________，__________，__________对称（2）在椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中 ① 把x 换成-x 方程不变，说明图像关于__________轴对称②把y 换成-y 方程不变，说明图像关于__________轴对称③把x 换成-x ，同时把y 换成-y 方程不变，说明图形关于__________对称，因此____________是椭圆的对称轴，_________是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做___________3、顶点（1）椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有______个交点，分别为： 1A ( , ) 2A ( , ) 1B ( , ) 2B ( , )（2）线段1A 2A 叫做椭圆的_______，其长度为__________ 线段1B 2B 叫做椭圆的________，其长度为__________ a 和b 分别叫做椭圆的________和___________及时反馈：（1） 椭圆16422=+y x 的长轴长是：________短轴长是;_______焦距是：_______焦点坐标是：__________顶点坐标是：__________（2） 在下列方程表示的曲线中，关于x, y 轴都对称的是 （ ）A. y x =2B. 022=++y xy xC. x y x 5422=-D. 4922=+y x探究二 圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较接近于圆，用什么样的量来刻画椭圆的“扁平”程度呢？4、椭圆的离心率（1）定义：______________________________叫做椭圆的离心率，用____表示，即____________=（2）由于a>c>0，所以离心率e 的取值范围是_____________（3）若e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越____，因而椭圆越_______.若e 越接近0，则c 越接近0，从而22c a b -=越____，因而椭圆越接近于_______.及时反馈：下列两个椭圆中，哪一个更接近于圆？369422=+y x 与 1202522=+y x 下面把焦点在x 轴和在y 轴上的两种标准方程的几何性质作以比较：三、综合跃升例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）一焦点坐标为（-3，0），一顶点坐标为（0，5）;（2）长轴长等于20，离心率为53。