数值计算杜哈梅积分

21、杜哈美(Duhamel)积分及其应用示例tF P (t )F Pdto (a) .瞬时冲量作用下=P F dt mv 00=P v F dt m=+=0022P v v F dt mP y vdt F dt m==≈02()20000()(cos sin )sin −−='++''=''ξωξωωξωωωωωtP ty t ey t v y t F dt m e tt任意时刻t 的振动是由初速度v 0引起的自由振动，其位移反应计算公式为：冲量定理图121.1、杜哈美(Duhamel)积分F P (t )d ττtF P (τ)(b).任意荷载作用下−−=''−()()()sin ()P t dy F m e t d ξωτττωωττξωττωτωττ()()1()sin ()0()y t dy m e F t d tt Pt −−==''−⎰⎰图示任一动力荷载，它的整个加载过程可看作是由一系列瞬时冲量所组成。

根据线性微分方程的特性，可以运用叠加原理，即把各个瞬时冲量单独作用下的动力反应求出，然后再叠加以求得总的动力反应。

杜哈美积分特解图2综合上述推导过程，可得考虑阻尼时单自由度体系受迫振动的一般解为ξωξωτωωωτωττ()(cos sin )1()sin ()12()y t eC t C t m F e t d tP t t −−−='+'+''−⎰设在初始时刻t=0时：=y y (0)0y=ν(0)0则可求出C y C v y 10200==+'ξωω故虑阻尼时单自由度体系受迫振动的一般解可进一步表达为m F t d y t y t t v y P t t⎰'+−''=+''+−−−ωτωττωωωξωξωτξω()e sin ()1()e(cos sin )() t 000。

1 k

x g (t )
上式与振动方程（3.4b）完全相同。
17
3. 振动方程的简化
令： = k m (3.6) (3.7)
=
c 2 m
代入式（3.4b）得 即 (t ) 2 x (t ) 2 x (t ) = g (t ) x x (3.5)
式中 ：称为自振频率
x (t )
建立振动方程有两种方法： 刚度法和柔度法
m
k
fD
m
fS
fI
x g (t )
14
1. 刚度法
地震时，任意时刻质点m的相对位移为x(t ) 任意时刻基础的位移为xg (t ) 质点m的绝对加速度为： x(t ) xg (t ) 取质点m为脱离体，则其所受 到的作用力有：
xg (t )
t
30
振动方程的特解——续
2 x 2 x = g x x
观察振动方程，可将方程右边项 xg (t )看作单位质量(m = 1)上 的动力荷载。
g (t )曲线划分成若 现将 x 干个瞬时荷载（如图）。
当t = 时： 体系的质量 m = 1 g ( ) 1 瞬时荷载为 P = x g ( ) d 瞬时冲量为 Pdt = x
x(t ) = et (c1 cosDt c2 sin Dt )
D = 1 2
D : 有阻尼单自由度体系的 自振频率
一般工程为欠阻尼情况： 边界条件： 代入上式：
x0 = x(0), x 0 = x(0)
c1 = x0



代入上式导数式： c = 2
x 0 x0
6

第五讲：单自由度系统动力响应数值求解 第五讲：单自由度系统 动力响应数值求解
三、激励函数插值数值解
单自由度受迫振动体系的运动方程：
cv kv p( t ) mv 在许多结构的动力问题中， p (t ) 不知道或不能用解析表达式的形式。
可以用离散的数值用表格或图解形式，如下图所示
t
Fk d t - (t - tk ) e sin d (t - tk ) m d
v ( t ) e t ( A sin d t B cos d t ) p(t )h( t t )dt （b） 0
问题： Duhamel 积 分的使用条件？
第五讲：单自由度系统动力响应数值求解 第五讲：单自由度系统 动力响应数值求解
当ε→0时 ：
(t ) u
y (t ) A sin( t )
由于脉冲作用时间很短，ε→0，质点的位移为零 ： u (t ) 冲击后有 ： 无 阻尼体系 的单 位 脉冲反应函数为：
0
v y2 y tg 1 v A
2
(t ) u (t ) 0 u
三、激励函数插值数值解
对于无阻尼自由振动系统，有 对于 无阻尼自由振动系统，有 对应书上公式（3.17） 以上为有初始位移和速度的自由振动解。 对于无阻尼强迫振动系统，当初始位移和速度为零时有 对于 无阻尼强迫振动系统，当初始位移和速度为零时有 对应书上公式（5.8） 上式包括了强迫振动系统的特解和初始位移和速度为零时的自由振解。 为公式5.5当阻尼为零时的情况。 对于系统
由于瞬时冲量I 作用时间很短t ≈0， 质点获得初速度后还未来得及产生 位移冲量即行消失，体系将产生自 由振动。 cv kv 0 自由振动方程： m v

根据《抗规》GB50011-2001第5.1.2条的条文说明，多遇地震（小震）和罕遇地震（大震）的最大水平地震影响系数可将《抗规》表格5.1.2-2中所列有效峰值加速度数值乘以放大系数2.25得到。

同理，中震设计可按《抗规》表3.2.2中的设计基本加速度值乘以放大系数2.25得到。

下表是小震、中震、大震的最大水平地震影响系数。

小震、中震、大震的最大水平地震影响系数抗震设防烈度6(0.05g) 7(0.10g) 7(0.15g) 8(0.20g) 8(0.30g) 9(0.40g) 小震0.04 0.08 0.12 0.16 0.24 0.32中震0.12 0.23 0.34 0.45 0.68 0.90大震- 0.50 0.72 0.90 1.20 1.40设计基本地震加速度值：50年设计基准期超越概率10%的地震加速度设计取值，其中取值7度0.10g,8度0.20g,9度0.40g这里的设计基本地震加速度的取值与《中国地震动参数区划图》所规定的"地震动峰值加速度"相当，只是在0.10g和0.20g之间有一个0.15g,0.20g与0.40g之间有一个0.30g的区域，这两个区分别同7度和8度地区相当而《地震动参数区划图》提供了二类场地上，50年超越概率为10%的地震动参数。

2.关于《抗震规范中》设计基本地震加速度与《中国地震动参数区划图》的地震动峰值加速度值的区别？设计基本地震加速度，指的是建设部1992年7月3日颁发的建标【1992】419号《关于统一抗震设计规范地面运动加速度设计取值的通知》规定的加速度值，其规定如下：设计基本地震加速度值：50年设计基准期超越概率10%的地震加速度设计取值，其中取值 7度0.10g,8度0.20g,9度0.40g 这里的设计基本地震加速度的取值与《中国地震动参数区划图》所规定的"地震动峰值加速度"相当，只是在0.10g和0.20g之间有一个0.15g,0.20g与0.40g之间有一个0.30g的区域，这两个区分别同7度和8度地区相当而《地震动参数区划图》提供了二类场地上50年超越概率为10%的地震动参数。