(完整版)2018初三数学中考复习动点或最值问题专题复习训练题及答案

中考动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1 )如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2 如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=HM NGPOAB图1x y解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴AC BD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立,∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90.当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

2018年中考数学提分训练: 几何图形的动点问题一、选择题1.如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B，C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x 的大致图象是（）A. B. C. D.2.如图1,在矩形ABCD中,动点E从A出发,沿方向运动,当点E到达点C时停止运动,过点E做,交CD于F点,设点E运动路程为x, ,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象,当点E在BC上运动时,FC的最大长度是,则矩形ABCD的面积是( )A. B. C. 6 D. 53.如图甲，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（）A. ①B. ④C. ①或③D. ②或④4.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（）A. B. C. D.5.如图,矩形ABCD,R是CD的中点,点M在BC边上运动,E，F分别为AM，MR的中点,则EF的长随M点的运动( )A. 变短B. 变长C. 不变D. 无法确定二、填空题6.在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为________．（结果不取近似值）7.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径的⊙B上有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为________．8.如图，在△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边的高，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC 在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动（1）连接OC，线段OC的长随t的变化而变化，当OC最大时，t＝________；（2）当△ABC的边与坐标轴平行时，t＝________。

2018压轴题-动点问题1、（2018包头）如图，已知ABC△中，10AB AC==厘米，8BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？2、（2018齐齐哈尔）直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．3（2018深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？4（2018哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．5（2018河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C 出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．6（2018河南））如图，在Rt ABC°，°，2BC=．点ACB B∠=∠=△中，9060O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．（2）当90（备用图）7（2018济南）如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．8（2018江西）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.CMA D E BF C图4（备用）ADE BF C图5（备用）A D E BF C图1 图2A D EBF C PNM 图3A D EBFCPN M（第25题）9（2018兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C →D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．10（2018临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD∠的是正方形，点E是边BC的中点．90∠=，且EF交正方形外角DCGAEF平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．11（2018天津）已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．ADFC GE 图1ADF C GE 图2 ADFC GE B图312（2018太原）问题解决 如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN 的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AMBN 的值等于 ；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值等于 ．（用含n 的式子表示） 联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）方法指导： 为了求得AMBN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2图（2）N A BCDEFM 图（1） A B CDEFMN。

初中数学最值问题专题中考数学最值问题【例题1】(经典题)⼆次函数y=2(x ﹣3)2﹣4得最⼩值为 .【例题2】(2018江西)如图,AB 就是⊙O 得弦,AB=5,点C 就是⊙O 上得⼀个动点,且∠ACB=45°,若点M 、N 分别就是AB 、AC 得中点,则MN 长得最⼤值就是 .【例题3】(2019湖南张家界)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过点A (1,0),B (3,0)两点,与y 轴交于点C ,OC ＝3. (1)求抛物线得解析式及顶点D 得坐标;(2)过点A 作AM ⊥BC ,垂⾜为M ,求证:四边形ADBM 为正⽅形;(3)点P 为抛物线在直线BC 下⽅图形上得⼀动点,当△PBC ⾯积最⼤时,求P 点坐标及最⼤⾯积得值; (4)若点Q 为线段OC 上得⼀动点,问AQ ＋QC 就是否存在最⼩值?若存在,求岀这个最⼩值;若不存在,请说明理由.练习1、(2018河南)要使代数式有意义,则x 得( )A 、最⼤值为B 、最⼩值为C 、最⼤值为D 、最⼤值为2、(2018四川绵阳)不等边三⾓形?ABC 得两边上得⾼分别为4与12且第三边上得⾼为整数,那么此⾼得最⼤值可能为________。

3、(2018齐齐哈尔)设a 、b 为实数,那么a ab b a b 222++--得最⼩值为_______。

4、(2018云南)如图,MN 就是⊙O 得直径,MN=4,∠AMN=40°,点B 为弧AN 得中点,点P 就是直径MN 上得⼀个动点,则PA+PB 得最⼩值为 .5、(2018海南)某⽔果店在两周内,将标价为10元/⽄得某种⽔果,经过两次降价后得价格为8、1元/⽄,并且两次降价得百分率相同.(1)求该种⽔果每次降价得百分率;(2)从第⼀次降价得第1天算起,第x 天(x 为正数)得售价、销量及储存与损耗费⽤得相关信息如表所⽰、已知该种⽔果得进价为4、1元/⽄,设销售该⽔果第x (天)得利润为y (元),求y 与x (1≤x ＜15)之间得函数关系式,并求出第⼏天时销售利润最⼤？(3)在(2)得条件下,若要使第15天得利润⽐(2)中最⼤利润最多少127、5元,则第 15天在第14天得价格基础上最多可降多少元？6、(2018湖北荆州)某玩具⼚计划⽣产⼀种玩具熊猫,每⽇最⾼产量为40只,且每⽇产出得产品全部售出,已知⽣产x 只玩具熊猫得成本为R(元),售价每只为P(元),且R 、P 与x 得关系式分别为R x =+50030,P x =-1702。

中考数学专题复习第七讲几何最值问题解题策略【专题分析】最值问题是初中数学的重要内容,无论是代数问题还是几何问题都有最值问题,在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题.【知识归纳】1.在求几何图形中的周长或线段长度最值时,解决此类问题的方法一般是先将要求线段(要求的量)用未知数x表示出来,建立函数模型(一般所表示的式子为一次函数解析式或二次函数解析式),常用勾股定理或三角形相似求得函数关系式,再用函数的增减性或最值来求解即可.2.利用对称的性质求两条线段之和最小值的问题,解决此类问题的方法为:如图,要求直线l上一动点P到点A,B距离之和的最小值,先作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,则A'B与直线l的交点即为P点,根据对称性可知此时A'B的长即为PA+PB的最小值,求出A'B的值即可.【题型解析】题型1: 三角形中最值问题例题：（2017山东枣庄）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P 的坐标为（）A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（﹣，0） D．（﹣，0）【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；PA：轴对称﹣最短路线问题．【分析】（方法一）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．（方法二）根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．【解答】解：（方法一）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．令y=x+4中x=0，则y=4，∴点B的坐标为（0，4）；令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为（0，﹣2）．设直线CD′的解析式为y=kx+b，∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），∴有，解得：，∴直线CD′的解析式为y=﹣x﹣2．令y=﹣x﹣2中y=0，则0=﹣x﹣2，解得：x=﹣，∴点P的坐标为（﹣，0）．故选C．（方法二）连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．令y=x+4中x=0，则y=4，∴点B的坐标为（0，4）；令y=x+4中y=0，则x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C（﹣3，2），点D（0，2），CD∥x轴，∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为（0，﹣2），点O为线段DD′的中点．又∵OP∥CD，∴点P为线段CD′的中点，∴点P的坐标为（﹣，0）．故选C．方法指导：出现最值问题,可转化为轴对称知识所涉及的最短路径问题是我们解答此类问题的常见方法.题型2: 四边形中最值问题例题:（2017贵州安顺）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 6 ．【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质．【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的边长为6，可求出AB的长，从而得出结果．【解答】解：设BE与AC交于点P，连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，最小．∴PD+PE=PB+PE=BE即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；∵正方形ABCD的边长为6，∴AB=6．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=6．故所求最小值为6．故答案为：6．方法指导：本题借助不等式“a2+b2≥2ab”通过代换转化来求平行四边形面积的最值,体现了转化思想和整体思想的运用.题型3:圆中最值问题例题：（2017浙江衢州）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是2．【考点】MC：切线的性质；F5：一次函数的性质．【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ 最小，根据两点间的距离公式得到AP=3，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，∴当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ最小，∵A的坐标为（﹣1，0），y=﹣x+3可化为3x+4y﹣12=0，∴AP==3，∴PQ==2．方法指导: 此题综合性强,解题方法很多,考查范围较广,与初中数学很多内容有关,如勾股定理、圆周角定理及推论、垂径定理、相似、三角函数、二次函数、垂线段的性质、二次根式的计算与化简等.考查了多种数学思想,如建模思想、化归思想等.此题难度中等,有一定的灵活性,考生不易拿满分.【提升训练】1. （2017江苏盐城）如图，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC绕某点旋转到△A'B'C'的位置，则点B运动的最短路径长为π．【考点】O4：轨迹；R2：旋转的性质．【分析】如图作线段AA′、CC′的垂直平分线相交于点P，点P即为旋转中心，观察图象可知，旋转角为90°（逆时针旋转）时B运动的路径长最短【解答】解：如图作线段AA′、CC′的垂直平分线相交于点P，点P即为旋转中心，观察图象可知，旋转角为90°（逆时针旋转）时B运动的路径长最短，PB==，∴B运动的最短路径长为==π，故答案为π．2. （2017?新疆）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E 到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 3 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是18 cm2．【考点】H7：二次函数的最值；LE：正方形的性质．【分析】设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，由四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积﹣4个△AEH的面积，即可得出S四边形EFGH关于t的函数关系式，配方后即可得出结论．【解答】解：设运动时间为t（0≤t≤6），则AE=t，AH=6﹣t，根据题意得：S四边形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AEH=6×6﹣4×t（6﹣t）=2t2﹣12t+36=2（t ﹣3）2+18，∴当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18．故答案为：3；18【点评】本题考查了二次函数的最值、三角形以及正方形的面积，通过分割图形求面积法找出S四边形EFGH关于t的函数关系式是解题的关键．3. (2017湖北宜昌)正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°．（1）当OM经过点A时，①请直接填空：ON 不可能（可能，不可能）过D点；（图1仅供分析）②如图2，在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH ⊥CD于H，求证：四边形EFCH为正方形．（2）当OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG=1．在ON上存在点P，过P 点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO=4S△OBG，连接GP，求四边形PKBG 的最大面积．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①若ON过点D时，则在△OAD中不满足勾股定理，可知不可能过D 点；②由条件可先判业四边形EFCH为矩形，再证明△OFE≌△ABO，可证得结论；（2）由条件可证明△PKO∽△OBG，利用相似三角形的性质可求得OP=2，可求得△POG面积为定值及△PKO和△OBG的关系，只要△CGB的面积有最大值时，则四边形PKBG的面积就最大，设OB=a，BG=b，由勾股定理可用b表示出a，则可用a表示出△CBG的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，则可求得四边形PKBG面积的最大值．【解答】解：（1）①若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，∴OA2+OD2＞2AD2≠AD2，∴∠AOD≠90°，这与∠MON=90°矛盾，∴ON不可能过D点，故答案为：不可能；②∵EH⊥CD，EF⊥BC，∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°，∴四边形EFCH为矩形，∵∠MON=90°，∴∠EOF=90°﹣∠AOB，在正方形ABCD中，∠BAO=90°﹣∠AOB，∴∠EOF=∠BAO，在△OFE和△ABO中∴△OFE≌△ABO（AAS），∴EF=OB，OF=AB，，又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC∴CF=EF，∴四边形EFCH为正方形；（2）∵∠POK=∠OGB，∠PKO=∠OBG，∴△PKO∽△OBG，∵S△PKO=4S△OBG，∴=（）2=4，∴OP=2，∴S△POG=OG?OP=×1×2=1，设OB=a，BG=b，则a2+b2=OG2=1，∴b=，∴S△OBG=ab=a==，∴当a2=时，△OBG有最大值，此时S△PKO=4S△OBG=1，∴四边形PKBG的最大面积为1+1+=．4. （2017甘肃张掖）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM ∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设N（n，0），则可用n表示出△ABN的面积，由NM∥AC，可求得，则可用n表示出△AMN的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标；（3）由N点坐标可求得M点为AB的中点，由直角三角形的性质可得OM=AB，在Rt△AOB和Rt△AOC中，可分别求得AB和AC的长，可求得AB与AC的关系，从而可得到OM和AC的数量关系．【解答】解：（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得，解得，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+4；（2）设点N的坐标为（n，0）（﹣2＜n＜8），则BN=n+2，CN=8﹣n．∵B（﹣2，0），C（8，0），∴BC=10，在y=﹣x2+x+4中令x=0，可解得y=4，∴点A（0，4），OA=4，∴S△ABN=BN?OA=（n+2）×4=2（n+2），∵MN∥AC，∴，∴==，∴，∵﹣＜0，∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大；（3）当N（3，0）时，N为BC边中点，∵MN∥AC，∴M为AB边中点，∴OM=AB，∵AB===2，AC===4，∴AB=AC，∴OM=AC．5. （2017江苏盐城）【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．【考点】LO：四边形综合题．【分析】【探索发现】：由中位线知EF=BC、ED=AB、由=可得；【拓展应用】：由△APN∽△ABC知=，可得PN=a﹣PQ，设PQ=x，由S矩形2+，据此可得；PQMN=PQ?PN═﹣（x﹣）【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB=tanC 知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得．【解答】解：【探索发现】∵EF、ED为△ABC中位线，∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，又∠B=90°，∴四边形FEDB是矩形，则===，故答案为：；【拓展应用】∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴=，即=，∴PN=a﹣PQ，设PQ=x，则S矩形PQMN=PQ?PN=x（a﹣x）=﹣x2+ax=﹣（x﹣）2+，∴当PQ=时，S矩形PQMN最大值为，故答案为：；【灵活应用】如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，∴EH=20、DH=16，∴AE=EH、CD=DH，在△AEF和△HED中，∵，∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF=DH=16，同理△CDG≌△HDE，∴CG=HE=20，∴BI==24，∵BI=24＜32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG?BF=×（40+20）×（32+16）=720，答：该矩形的面积为720；【实际应用】如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，∵tanB=tanC=，∴∠B=∠C，∴EB=EC，∵BC=108cm，且EH⊥BC，∴BH=CH=BC=54cm，∵tanB==，∴EH=BH=×54=72cm，在Rt△BHE中，BE==90cm，∵AB=50cm，∴AE=40cm，∴BE的中点Q在线段AB上，∵CD=60cm，∴ED=30cm，∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC?EH=1944cm2，答：该矩形的面积为1944cm2．。

1.4因动点产生的平行四边形问题例1 2017年成都市中考第28题如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y= ax2—2ax—3a (a v 0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l: y= kx+ b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D，且CD = 4AC .(1)直接写出点A的坐标，并求直线I的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示)；(2)点E是直线I上方的抛物线上的动点，若厶ACE的面积的最大值为5 ,求a的值；(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.图1 备用图例2如图1,已知抛物线C: y=- x2+ bx+ c经过A(— 3,0)和B(0, 3)两点.将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N .(1)求抛物线C的表达式；(2)求点M的坐标；(3)将抛物线C平移到抛物线C',抛物线C的顶点记为M',它的对称轴与x轴的交点记为N'.如果以点M、N、M'、N'为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？例3 2018年上海市松江区中考模拟第24题如图1,已知抛物线y=—x2+ bx+ c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)求tan/ABO 的值；AB(3)过点B作BC丄x轴，垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标.如图1,在Rt△ ABC中，/ C= 90° AC= 6, BC = 8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒(t>0.(1 )直接用含t的代数式分别表示：QB= ________ , PD = ________ ;(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；(3)如图2,在整个运动过程中，求出线段如图1,在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4).以A为顶点的抛物线y= ax2+ bx+ c过点C •动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒.过点P作PE丄AB交AC于点E.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)过点E作EF丄AD于F，交抛物线于点G,当t为何值时，△ ACG的面积最大？最大值为多少？(3)在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内(包括边界)存在点H , 使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值.图1已知平面直角坐标系xOy (如图1), 一次函数y3x 3的图象与y轴交于点A,点M4在正比例函数y3x的图象上，且MO = MA .二次函数2y = x2+ bx+ c的图象经过点A、M .(1)求线段AM的长；(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数y 3x 3的图象上，且四边形ABCD是菱形,4求点C的坐标.将抛物线C i：y 3x23沿x轴翻折，得到抛物线C2,如图1所示.(1)请直接写出抛物线C2的表达式；(2)现将抛物线c i向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x 轴的交点从左到右依次为A、B ;将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E.①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.图11.4因动点产生的平行四边形问题答案例12017年成都市中考第28题5点E 是直线l 上方的抛物线上的动点， 若厶ACE 的面积的最大值为 -，求a 的值;4 设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点 A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“15成都28”，拖动点E 在直线AD 上方的抛物线上运动，可以体验到，当EC 丄AC 时，△ ACE 的面积最大.点击屏幕左下角的按钮第（3）题”，拖动点H 在y 轴正半轴运动，观察点 Q 和Q 可以看到点 Q 和点Q 都可以落在抛物线上.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线 （点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线 另一个交点为 D ，且CD = 4AC . 直接写出点A 的坐标，并求直线y = ax 2— 2ax — 3a （a v 0）与 x 轴交于 A 、B 两点l : y = kx + b 与y 轴负半轴交于点 C ,与抛物线的(1) l 的函数表达式（其中 k 、b 用含a 的式子表示）；(2)(3)图1 备用图1.4因动点产生的平行四边形问题答案思路点拨1. 过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△ AEF与厶CEF是共底的两个三角形.2. 以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP = QD ;当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等.满分解答(1) 由y= ax2—2ax—3a= a(x+ 1)(x—3),得A(—1,0).由CD = 4AC ,得X D= 4.所以D(4, 5a).由A(—1,0)、D(4, 5a),得直线l的函数表达式为y= ax+ a.(2) 如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F.设E(x, ax2—2ax—3a), F(x, ax+ a),那么EF = y E—y F= ax2—3ax—4a. 由S SC E = S A AEF —S A CEF= 1EF(X E X A)1 EF (X E X C )2 2X A ) = 1(ax 2 3ax 4a) = -a(x 3)22 2 2得厶ACE 的面积的最大值为25a •解方程 25 a 5，得a -.8845(3) 已知A( — -, 0)、D(4, 5a), x p =-，以AD 为分类标准，分两种情况讨论： ①如图2，如果AD 为矩形的边，那么 AD//QP ，AD = QP ，对角线AP = QD • 由 x D — X A = X p — X Q ，得 X Q =— 4.当 x = — 4 时，y = a(x + 1)(X — 3) = 21a .所以 Q(— 4, 21a). 由 y D — y A = y p — y Q ，得 y p = 26a .所以 P(1,26a).由 AP 2= QD 2, 得 22 + (26a)2 = 82 + (16a)2.考点伸展第(3)题也可以这样解.设P(1,n).①如图2，当AD 时矩形的边时，/ QPD = 90°所以 处MD 2 2解得 n L -5^ .所以 P (1,d^).所以 Q ( 4,-).a aa3 将 Q ( 4, 一)代入 y = a(x + 1)(x — 3), 3 得_ 21a .所以a近aa7②如图3，当AD 为矩形的对角线时，先求得Q(2, — 3a).=1 EF% 25 a , 8整理，得7a 2= 1.所以a近.此时P (-迟.7 7②如图3，如果AD 为矩形的对角线，那么 AD 与PQ 互相平分且相等. 由 X D +X A = X P + X Q ，得 X Q = 2 .所以 Q(2, — 3a).由 y D + y A = y p + y Q ，得 y p = 8a .所以 P(1, 8a). 由 AD 2= PQ 2,得 52 + (5a)2= 12+ (11a)2.整理，得4a 2= 1 .所以a 1 .此时P (1, 4). 2DN，即 2 JNP5a 3由/ AQD = 90° 得AG QK，即3a2.解得1aGQ KD33a 5a2如图1,已知抛物线C: y=- x2+ bx+ c经过A(— 3,0)和B(0, 3)两点.将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N .(1)求抛物线C的表达式；(2)求点M的坐标；(3)将抛物线C平移到抛物线C',抛物线C的顶点记为M',它的对称轴与x轴的交点记为N'.如果以点M、N、M'、N'为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？动感体验请打开几何画板文件名“14陕西24”，拖动右侧的点M上下运动，可以体验到，以点M、N、M、N为顶点的平行四边形有四种情况.思路点拨1. 抛物线在平移的过程中，M' N与MN保持平行，当M' N、MN = 4时，以点M、N、M'、N'为顶点的四边形就是平行四边形.2•平行四边形的面积为16,底边MN、4,那么高NN' = 4.3. M' N= 4分两种情况：点M'在点N'的上方和下方.4. NN' = 4分两种情况：点N'在点N的右侧和左侧.满分解答(1)将A(—3,0)、B(0, 3)分别代入y=—x2+ bx+ c，得9 3b c0,c 3.解得b =—2，c= 3.所以抛物线C的表达式为y=—x2—2x+ 3.(2)由y=—x2—2x+ 3 =—(x + 1)2+ 4,得顶点M 的坐标为(一1,4).(3)抛物线在平移过程中，M N与MN保持平行，当M N'= MN = 4时，以点M、N、M '、N'为顶点的四边形就是平行四边形.所以专代入y_（x+ "J 4，得2 2 m m4 .所以DH = 4 .4 4因为平行四边形的面积为16，所以MN边对应的高NN = 4. 那么以点M、N、M '、N为顶点的平行四边形有4种情况：抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN M '（如图2）；抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN M '（如图2）；抛物线C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNMN'（如图3）；抛物线C先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNMN'（如图3）. 考点伸展本题的抛物线C向右平移m个单位，两条抛物线的交点为D,那么△ MM D的面积S 关于m有怎样的函数关系？如图4,△ MM D是等腰三角形，由M（—1,4）、M （— 1 + m, 4）,可得点D的横坐标为1 34) m 2m .图4例3 2018年上海市松江区中考模拟第24题如图1,已知抛物线y=—x2+ bx+ c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)求tan/ABO 的值；(3)过点B作BC丄x轴，垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB 于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标.所以抛物线的解析式是(2)在 Rt △ BOC 中, 9xOC = 4, BC = 3，所以 OB = 5.如图2,过点A 作AH 丄OB ,垂足为H . 在 RfAOH 中, OA= 1, sin AOH sin OBC 4,所以 AH OA sin AOH 4 .动感体验请打开几何画板文件名 “1：松江24”，拖动点N 在直线AB 上运动，可以体验到，以 M 、 N 、C 、B 为顶点的平行四边形有 4个,符合MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形 MNCB 只有一个.请打开超级画板文件名 “13松江24”，拖动点N 在直线AB 上运动，可以体验到， MN 有4次机会等于3,这说明以M 、N 、C 、B 为顶点的平行四边形有 4个，而符合MN 在抛物 线的对称轴的左侧的平行四边形 MNCB 只有一个.思路点拨1. 第(2)题求/ ABO 的正切值，要构造包含锐角/ABO 的角直角三角形.2. 第(3)题解方程 MN = y M — y N = BC ,并且检验x 的值是否在对称轴左侧.满分解答(1) 将 A(0, 1)、B(4, 3)分别代入 y =— x 2 + bx + c ,得c 1,16 4b c 3.9解得b , c = 1.22 229 12那么 MN ( x 2 —x 1) (—x 1)x 24x •2 2当四边形 MNCB 是平行四边形时， MN = BC = 3.55在 Rt △ ABH 中， tan ABOAH 422 2BH 5 5 11（3）直线AB 的 解析式为y 1 x 1.2设点M 的坐标为 (x, x 2 9 x 1)， 占 八N 的坐 1 标为（x, x所以 OH 3 , BH OB OH 竺•1)，解方程一x2+ 4x= 3，得x= 1 或x= 3.考点伸展第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN = y M —y N或MN = y N—y M.由y N—y M= 4x—x2,解方程x2—4x = 3,得x 2 , 7 （如图5）.所以符合题意的点M有4个：（1,|），（3,11），（2 可5^7）(27,（如图3）.图5如图1,在Rt △ ABC 中，/ C = 90° AC = 6, BC = 8,动点P 从点A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点 Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长 度的速度运动，过点 P 作PD//BC ，交AB 于点D ，联结PQ .点P 、Q 分别从点A 、C 同时 出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为 (1 )直接用含t 的代数式分别表示： QB= __________ , PD = _______(2) 是否存在t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理 由，并探究如何改变点 Q 的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度；动感体验请打开几何画板文件名 “12福州21”，拖动左图中的点 P 运动，可以体验到，PQ 的中 点M 的运动路径是一条线段•拖动右图中的点 Q 运动，可以体验到，当 PQ//AB 时，四边 形PDBQ 为菱形.请打开超级画板文件名 “12福州21”，拖动点Q 向上运动，可以体验到，PQ 的中点M 的运动路径是一条线段. 点击动画按钮的左部，Q 的速度变成1.07，可以体验到，当PQ//AB 时，四边形PDBQ 为菱形•点击动画按钮的中部， Q 的速度变成1.思路点拨1.菱形PDBQ 必须符合两个条件，点P 在/ ABC 的平分线上，PQ//AB .先求出点P运动的时间t ，再根据PQ//AB ，对应线段成比例求 CQ 的长，从而求出点 Q 的速度.2•探究点 M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点 M 的路径.满分解答(1) QB = 8 — 2t , PD = 4t .3(2) 如图3，作/ ABC 的平分线交 CA 于P ,过点P 作PQ//AB 交BC 于Q ,那 么四边形PDBQ 是菱形.t 秒（t >0. (3)如图2,在整个运动过程中，求出线段R图3过点P作PE丄AB，垂足为E,那么BE= BC = 8.例5在 Rt △ ABC 中，AC = 6, BC = 8，所以 AB = 10.在 Rt △ APE 中，cosA AE2 3，所以 t 巴.AP t 53c1当 PQ//AB 时，CQCP, 即CQ 6空 .解得CQ 32CB CA8 69所以点Q 的运动速度为32 10 16.9 315(3) 以C 为原点建立直角坐标系.如图4,当t = 0时，PQ 的中点就是 AC 的中点E(3, 0). 如图5,当t = 4时，PQ 的中点就是 PB 的中点F(1 , 4). 直线EF 的解析式是y =— 2x + 6.如图6, PQ 的中点M 的坐标可以表示为( 乞丄,t ).经验证，点 M ( LJ , t )在直2 2线 EF 上.所以PQ 的中点M 的运动路径长就是线段 EF 的长，EF = 2 一 5 .考点伸展第(3)题求点M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数： 当t = 2时，PQ 的中点为(2, 2). 设点M 的运动路径的解析式为y = ax 2+ bx + c ,代入E(3, 0)、F(1, 4)和(2, 2),9a 3b c 0,得 a b c 4, 解得 a = 0, b =— 2, c = 6. 4a 2b c 2.所以点M 的运动路径的解析式为 y = — 2x + 6.如图1,在平面直角坐标系中， 已知矩形ABCD 的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4).以 A 为顶点的抛物线 y = ax 2 + bx + c 过点C •动点P 从点A 出发，沿线段 AB 向点B 运动，同 时动点Q 从点C 出发，沿线段 CD 向点D 运动.点P 、Q 的运动速度均为每秒 1个单位， 运动时间为t 秒.过点P 作PE 丄AB 交AC 于点E .(1) 直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；图6(2)过点E作EF丄AD于F，交抛物线于点G,当t为何值时，△ ACG的面积最大？最大值为多少？(3)在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内(包括边界)存在点H , 使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值.A e动感体验请打开几何画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB 的中点时，△ ACG的面积最大.观察右图，我们构造了和△ CEQ中心对称的△ FQE和厶ECH ；可以体验到，线段EQ的垂直平分线可以经过点C和F，线段CE的垂直平分线可以经过点Q和H',因此以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个.请打开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB 的中点时，即t = 2, △ ACG的面积取得最大值1.观察CQ , EQ, EC的值，发现以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个.点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。

九年级中考数学动点问题压轴题专题训练1.如图1, 在平面直角坐标系中, 四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0, 0), A(3, 3 ), B(9, 5 ), C(14, 0). 动点P与Q同时从O点出发, 运动时间为t秒, 点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动, 点Q沿折线OA－AB－BC运动, 在OA, AB, BC上运动的速度分别为3, , (单位长度/秒). 当P, Q中的一点到达C点时, 两点同时停止运动.(1)求AB所在直线的函数表达式.(2)如图2, 当点Q在AB上运动时, 求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值.(3)在P, Q的运动过程中, 若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点, 求相应的t值．图1 图22.如图, 抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A, B两点(A在B的左侧), 与y轴交于点N, 过A点的直线l:y=kx+n与y轴交于点C, 与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D, 已知A(-1, 0), D(5, -6), P 点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A, D重合).(1)求抛物线和直线l的解析式;(2)当点P在直线l上方的抛物线上时, 过P点作PE∥x轴交直线l于点E, 作PF ∥y轴交直线l于点F, 求PE+PF的最大值;(3)设M为直线l上的点, 探究是否存在点M, 使得以点N, C, M, P为顶点的四边形为平行四边形.若存在, 求出点M的坐标;若不存在, 请说明理由.3.如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点.（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点, 求AM＋OM的最小值.4.设直线l1: y＝k1x＋b1与l2: y＝k2x＋b2, 若l1⊥l2, 垂足为H, 则称直线l1与l2是点H的直角线.（1）已知直线①；②；③；④和点C(0, 2), 则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图, 在平面直角坐标系中, 直角梯形OABC的顶点A(3, 0)、B(2, 7)、C(0, 7), P为线段OC上一点, 设过B、P两点的直线为l1, 过A、P两点的直线为l2, 若l1与l2是点P的直角线, 求直线l1与l2的解析式．5.如图①, 在平面直角坐标系xOy中, 已知抛物线y=ax2-2ax-8a与x轴相交于A, B两点(点A在点B的左侧), 与y轴交于点C(0, -4).(1)点A的坐标为, 点B的坐标为, 线段AC的长为, 抛物线的解析式为.(2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.如果在x轴上存在点Q, 使得以点B, C, P, Q为顶点的四边形是平行四边形, 求点Q的坐标.①6.如图, 已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A.B（点A位于点B是左侧）, 与y轴的正半轴交于点C.（1）点B的坐标为______, 点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P, 使得四边形PCOB的面积等于2b, 且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在, 求出点P的坐标；如果不存在, 请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q, 使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在, 求出点Q的坐标；如果不存在, 请说明理由．7.如图, 已知A.B是线段MN上的两点, , , . 以A为中心顺时针旋转点M, 以B为中心逆时针旋转点N, 使M、N两点重合成一点C, 构成△ABC, 设.（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形, 求x的值；（3）探究: △ABC的最大面积？8.如图, 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴, 垂足为C, 在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N, 交抛物线于点M, 若四边形MNCB为平行四边形, 求点M的坐标.9.在平面直角坐标系中, 反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k).（1）当k＝－2时, 求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大, 求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q, 当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时, 求k的值．10.如图, 已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的对称轴为直线x＝3, 抛物线与x轴相交于A, B两点, 与y轴相交于点C, 已知B点的坐标为(8, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点, 点N为线段BC上的一点, 若MN∥y 轴, 求MN的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q, 使△ACQ为等腰三角形？若存在, 求出符合条件的Q点坐标；若不存在, 请说明理由．11.如图, 直线y＝2x＋6与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于点A(m, 8), 与x轴交于点B, 平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M, 交AB于点N, 连接BM.(1)求m的值和反比例函数的解析式；(2)观察图象, 直接写出当x＞0时不等式2x＋6－＞0的解集；(3)直线y＝n沿y轴方向平移, 当n为何值时, △BMN的面积最大？最大值是多少？12.如图, 在平面直角坐标系xOy中, 顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B, AO＝BO＝2, ∠AOB＝120°.（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM, 求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上, 且△ABC与△AOM相似, 求点C的坐标．13.在直角梯形OABC中, CB//OA, ∠COA＝90°, CB＝3, OA＝6, BA＝. 分别以OA.OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.（1）求点B的坐标；（2）已知D.E分别为线段OC.OB上的点, OD＝5, OE＝2EB, 直线DE交x轴于点F. 求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点, 在x轴上方的平面内是否存在另一点N, 使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在, 请求出点N的坐标；若不存在, 请说明理由．14.如图, 已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数的图象交于点A, 且与x轴交于点B. （1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C, 过点B作直线l//y轴. 动点P从点O出发, 以每秒1个单位长的速度, 沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发, 以相同速度向左平移, 在平移过程中, 直线l交x轴于点R, 交线段BA或线段AO于点Q. 当点P到达点A时, 点P和直线l都停止运动. 在运动过程中, 设动点P运动的时间为t秒.①当t为何值时, 以A.P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在, 求t的值；若不存在, 请说明理由．15.如图, 二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数, 且a＞0, m＞0）的图像与x轴分别交于A.B（点A位于点B的左侧）, 与y轴交于点C(0,－3), 点D在二次函数的图像上, CD//AB, 联结AD. 过点A作射线AE交二次函数的图像于点E, AB平分∠DAE.（1）用含m的式子表示a；（2）求证: 为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G, 联结GF, 以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在, 只要找出一个满足要求的点G即可, 并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在, 请说明理由．16.如图, 二次函数y=-x2+4x+5的图象的顶点为D, 对称轴是直线l, 一次函数y= x+1的图象与x轴交于点A, 且与直线DA关于l的对称直线交于点B.(1)点D的坐标是.(2)直线l与直线AB交于点C, N是线段DC上一点(不与点D, C重合), 点N的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA, DB分别交于点P, Q, 使得△DPQ与△DAB 相似.①当n= 时, 求DP的长;②若对于每一个确定的n的值, 有且只有一个△DPQ与△DAB相似, 请直接写出n的取值范围.17.已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A, B, 抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A, B. （1）求该抛物线的表达式, 并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l, 点B关于直线l的对称点为C, 若点D在y 轴的正半轴上, 且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移, 平移后抛物线的顶点为P, 其对称轴与直线y＝3x－3交于点E, 若, 求四边形BDEP的面积.18.如图, 在平面直角坐标系xOy中, 二次函数y＝－x2＋2x＋8的图象与一次函数y＝－x＋b的图象交于A.B两点, 点A在x轴上, 点B的纵坐标为－7.点P是二次函数图象上A.B两点之间的一个动点(不与点A.B重合), 设点P的横坐标为m, 过点P作x轴的垂线交AB于点C, 作PD ⊥AB于点D.(1)求b及sin∠ACP的值；(2)用含m的代数式表示线段PD的长；(3)连接PB, 线段PC把△PDB分成两个三角形, 是否存在适合的m值, 使这两个三角形的面积之比为1∶2？如果存在, 直接写出m的值；如果不存在, 请说明理由.19.如图, 抛物线与x轴交于A.B两点（点A在点B的左侧）, 与y轴交于点C.（1）求点A.B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点, 当△ACD的面积等于△ACB 的面积时, 求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4, 0), M为直线l上的动点, 当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时, 求直线l的解析式．20.已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0), 抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A.B, 顶点为C, 点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点.（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时, 求m的取值范围；（3）若m＞, 当∠APB为直角时, 将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位, 点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′, 是否存在t, 使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在, 求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在, 请说明理由．2021中考数学压轴专题训练之动点问题-答案一、解答题（本大题共20道小题）1.【答案】【思维教练】(1)设一次函数解析式, 将已知点A、B的坐标值代入求解即可；(2)S △CPQ＝·CP·Qy, CP＝14－t, 点Q在AB上, Qy即为当x＝t时的y值, 代入化简得出S与t的函数关系式, 化为顶点式得出最值；(3)垂直平分线过顶点需以时间为临界点分情况讨论, 当Q在OA上时, 过点C；当Q在AB上时, 过点A；当Q在BC上时, 过点C和点B, 再列方程并求解．解图1解: (1)把A(3, 3 ), B(9, 5 )代入y＝kx＋b,得, 解得,∴y＝33x＋23；(3分)(2)在△PQC中, PC＝14－t,∵OA＝＝6且Q在OA上速度为3单位长度/s,AB＝＝4 且Q点在AB上的速度为单位长度/s,∴Q在OA上时的横坐标为t, Q在AB上时的横坐标为t,PC边上的高线长为33t＋2 3.(6分)所以S＝(14－t)( t＋2 )＝－t2＋t＋14 (2≤t≤6).当t＝5时, S有最大值为.(7分)解图2(3)①当0＜t ≤2时, 线段PQ 的中垂线经过点C(如解图1). 可得方程(332t )2＋(14－32t )2＝(14－t )2.解得t1＝ , t2＝0(舍去), 此时t ＝ .(8分)解图3②当2＜t ≤6时, 线段PQ 的中垂线经过点A(如解图2).可得方程(33)2＋(t －3)2＝[3(t －2)]2.解得t1＝ , ∵t2＝ (舍去), 此时t ＝ .③当6＜t ≤10时,(1)线段PQ 的中垂线经过点C(如解图3).可得方程14－t ＝25－ t, 解得t ＝ .(10分)解图4(2)线段PQ 的中垂线经过点B(如解图4).可得方程(53)2＋(t －9)2＝[52(t －6)]2.解得t1＝ , t2＝ (舍去).此时t＝38＋2027.(11分)综上所述, t的值为, , , .(12分)【难点突破】解决本题的关键点在于对PQ的垂直平分线过四边形顶点的情况进行分类讨论, 在不同阶段列方程求解.2.【答案】[分析] (1)将点A, D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式, 即可求解;(2)设出P点坐标, 用参数表示PE, PF的长, 利用二次函数求最值的方法.求解;(3)分NC是平行四边形的一条边或NC是平行四边形的对角线两种情况, 分别求解即可.解:(1)将点A, D的坐标代入y=kx+n得:解得:故直线l的表达式为y=-x-1.将点A, D的坐标代入抛物线表达式,得解得故抛物线的表达式为:y=-x2+3x+4.(2)∵直线l的表达式为y=-x-1,∴C(0, -1), 则直线l与x轴的夹角为45°, 即∠OAC=45°,∵PE∥x轴, ∴∠PEF=∠OAC=45°.又∵PF∥y轴, ∴∠EPF=90°, ∴∠EFP=45°.则PE=PF.设点P坐标为(x, -x2+3x+4),则点F(x, -x-1),∴PE+PF=2PF=2(-x2+3x+4+x+1)=-2(x-2)2+18,∵-2<0, ∴当x=2时, PE+PF有最大值, 其最大值为18.(3)由题意知N(0, 4), C(0, -1), ∴NC=5,①当NC是平行四边形的一条边时, 有NC∥PM, NC=PM.设点P坐标为(x, -x2+3x+4), 则点M的坐标为(x, -x-1),∴|yM-yP|=5, 即|-x2+3x+4+x+1|=5,解得x=2±或x=0或x=4(舍去x=0),则点M坐标为(2+ , -3- )或(2- , -3+ )或(4, -5);②当NC是平行四边形的对角线时, 线段NC与PM互相平分.由题意, NC的中点坐标为0, ,设点P坐标为(m, -m2+3m+4),则点M(n', -n'-1),∴0= = ,解得:n'=0或-4(舍去n'=0), 故点M(-4, 3).综上所述, 存在点M, 使得以N, C, M, P为顶点的四边形为平行四边形, 点M的坐标分别为:(2+ , -3- ), (2- , -3+ ), (4, -5), (-4, 3).3.【答案】（1）。

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，学生需要根据题意画出相应的图形来分析，并且能综合运用所学知识进行解答．考点：1．圆的综合题；2．分类讨论；3．动点型；4．压轴题．归纳3：动点问题的图象基础知识归纳：动点问题经常与一次函数、反比例函数和二次函数的图象相结合．基本方法归纳：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是抛物线．注意问题归纳：动点函数的图象问题可以借助于相似、特殊图形的性质求出函数的图象解析式，同时也可以观察图象的变化趋势．【例3】（山东省济南市）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（ ）A． B．　C． D．【答案】D．【分析】先求出DN，判断点Q到D点时，DP⊥AB，然后分三种情况分别用三角形的面积公式计算即可．【点评】此题是动点问题的函数图象，考查了三角形的面积公式，矩形的性质，解本题的关键是分段画出图象，判断出点Q在线段CD时，PQ⊥AB是易错的地方．考点：1．动点问题的函数图象；2．分类讨论；3．分段函数；4．综合题．☞2年中考【题组】一、选择题1．（山东省泰安市）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（ ）A． B．C． D．【答案】C．【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【点评】此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质．注意证得△BPD∽△CAP 是关键．考点：动点问题的函数图象．． ．． ．象为：，故选A ．B ．C ． D ．【答案】C ．【分析】分P 在AB 、BC 、CD 、AD 上四种情况，表示出y 与x 的函数解析式，确定出大致图象即可．【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．考点：1．动点问题的函数图象；2．动点型；3．分段函数；4．分类讨论；5．函数思想．4．（ 湖北省荆州市）如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，OP 交⊙O 于点C ，点D 是优弧上不与点A 、点C 重合的一个动点，连接AD 、CD ，若∠APB =80°，则∠ADC 的 ABC 度数是（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【答案】C ．【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA ，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案．，已，运动一周，同时另一端点运动的总路程为M E 2550）时，四边形8、C的坐标；若不存在，请说明理由；为该抛物线上一动点，在（39【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．1（3）如图，当△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P1，P之间运动，∴P1O=PO=3，AO=9，∴AP的最大值为12，AP的最小值为6．【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数，解本题的关键是作出辅助线．考点：1．菱形的性质；2．最值问题；3．动点型．）根据矩形的性质和勾股定理得到251139，得出比例式求出的二次函数，由二次函数的性质即可得出结点较多，综合性很强，难度适中．．二次函数综合题；A D）中确定出满足条件的（3）画出符合条件的Q点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍．【点评】本题是二次函数的综合问题，综合性较强；考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并利用方程组求图象的交点坐标，将函数和方程有机地结合，进一步把函数简单化；同时还考查了相似的性质：在二次函数的问题中，如果利用勾股定理不能求的边可以考虑利用相似的性质求解．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．动点型；5．存在型；6．压轴题．23．（ 四川省凉山州）如图，已知抛物线（a ≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，2y ax bx c =++﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）；（2）P （1，0）；（3）．223y x x =--【分析】（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA =AC 、②MA =MC 、③AC =MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．①若MA =MC ，则，得：=，解得：m =﹣1；22MA MC =24m +2610m m ++y=【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．压轴题．26．（ 浙江省宁波市）如图，已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点32++-=mx x y B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA +PC 的值最小时，求点P 的坐标．【答案】（1） m =2，顶点坐标为：（1，4）；（2）（1，2）．【分析】（1）首先把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线，利用待定系数法即可求得m 的32++-=mx x y 值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA +PC 的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC 的解析式，继而求得答案．【解析】（1）把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线得：，解得：32++-=mx x y 20333m =-++m =2，∴ =，∴顶点坐标为：（1，4）．223y x x =-++2(1)4x --+。

专题三几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关(2018·河南)如图.∠MAN＝90°.点C在边AM上.AC＝4.点B为边AN上一动点.连接BC.△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.点D.E分别为AC.BC的中点.连接DE并延长交A′B所在直线于点F.连接A′E.当△A′EF为直角三角形时.AB的长为________．【分析】当△A′EF为直角三角形时.存在两种情况：①∠A′EF＝90°.②∠A′FE＝90°进行讨论．【自主解答】当△A′EF为直角三角形时.存在两种情况：①当∠A′EF＝90°时.如解图①.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.∴A′C＝AC＝4.∠ACB＝∠A′CB.∵点D.E分别为AC.BC的中点.∴D、E是△ABC的中位线.∴DE∥AB.∴∠CDE＝∠MAN＝90°.∴∠CDE＝∠A′EF.∴AC∥A′E.∴∠ACB＝∠A′EC.∴∠A′CB＝∠A′EC.∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB中.∵E是斜边BC的中点.∴BC＝2A′E＝8.由勾股定理.得AB2＝BC2－AC2.∴AB＝82－42＝43；②当∠A′FE＝90°时.如解图②.∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.∴∠ABC＝∠CBA′＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形.∴AB＝AC＝4；综上所述.AB的长为43或4.图①图②1．如图.四边形ABCD是菱形.AB＝2.∠ABC＝30°.点E是射线DA上一动点.把△CDE沿CE折叠.其中点D 的对应点为D′.连接D′B. 若使△D′BC为等边三角形.则DE＝________________.2．如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AB＝5.AC＝4.E、F分别为AB、AC上的点.沿直线EF将∠B折叠.使点B恰好落在AC上的D处．当△ADE恰好为直角三角形时.BE的长为______．3．(2017·河南)如图.在Rt△ABC中.∠A＝90°.AB＝AC.BC＝2＋1.点M.N分别是边BC.AB上的动点.沿MN所在的直线折叠∠B.使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C为直角三角形.则BM的长为__________．4．(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4.∠DAB＝60°.点M、N分别在边AD、AB上.且MN⊥AC.垂足为P.把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形.则AP的长为____________．5．(2017·三门峡一模)如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AB＝5.AC＝3.点D是BC上一动点.连接AD.将△ACD沿AD折叠.点C落在点C′.连接C′D交AB于点E.连接BC′.当△BC′D是直角三角形时.DE的长为______．6．(2018·盘锦)如图.已知Rt△ABC中.∠B＝90°.∠A＝60°.AC＝23＋4.点M、N分别在线段AC、AB 上．将△ANM沿直线MN折叠.使点A的对应点D恰好落在线段BC上.当△DCM为直角三角形时.折痕MN的长为__________．7．(2018·乌鲁木齐)如图.在Rt△ABC中.∠C＝90°.BC＝2 3.AC＝2.点D是BC的中点.点E是边AB上一动点.沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置.B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形.则AE的长为________．8．(2017·洛阳一模)在菱形ABCD 中.AB ＝5.AC ＝8.点P 是对角线AC 上的一个动点.过点P 作EF 垂直AC 交AD 于点E.交AB 于点F.将△AEF 折叠.使点A 落在点A′处.当△A′CD 为等腰三角形时.AP 的长为______．9．(2018·濮阳一模)如图.在Rt△ABC 中.∠C＝90°.AC ＝3.BC ＝4.点D.E 为AC.BC 上两个动点．若将∠C 沿DE 折叠.点C 的对应点C′恰好落在AB 上.且△ADC′恰好为直角三角形.则此时CD 的长为__________．类型二 点的位置不确定(2016·河南)如图.已知AD∥BC .AB⊥BC .AB ＝3.点E 为射线BC 上一个动点.连接AE.将△ABE 沿AE折叠.点B 落在点B′处.过点B′作AD 的垂线.分别交AD.BC 于点M.N.当点B′为线段MN 的三等分点时.BE 的长为________．【分析】 根据勾股定理.可得EB′.根据相似三角形的性质.可得EN 的长.根据勾股定理.可得答案．【自主解答】 由翻折的性质.得AB ＝AB′.BE ＝B′E.①当MB′＝2.B′N＝1时.设EN ＝x.得B′E＝x 2＋1.由△B′EN～△AB′M .EN B′M ＝B′E AB′.即x 2＝x 2＋13.x 2＝45.BE ＝B′E＝45＋1＝355； ②当MB′＝1.B′N＝2时.设EN ＝x.得B′E＝x 2＋22.△B′EN∽△AB′M .EN B′M ＝B′E AB′.即x 1＝x 2＋43.解得x 2＝12.BE ＝B′E＝12＋4＝322.故答案为：322或355.1．如图.正方形ABCD 的边长为9.将正方形折叠.使D 点落在BC 边上的点E 处.折痕为GH.若点E 是BC 的三等分点.则线段CH 的长是_______．2．(2018·林州一模)在矩形ABCD中.AB＝4.BC＝9.点E是AD边上一动点.将边AB沿BE折叠.点A的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3.则AE的长为__________．3．(2015·河南)如图.矩形ABCD中.AD＝5.AB＝7.点E为DC上一个动点.把△ADE沿AE折叠.当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时.DE的长为______．4．(2017·商丘模拟)如图.在矩形ABCD中.AD＝5.AB＝8.点E为射线DC上一个动点.把△ADE沿直线AE 折叠.当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时.则DE的长为__________．5．如图.在矩形ABCD中.BC＝6.CD＝8.点P是AB上(不含端点A.B)任意一点.把△PBC沿PC折叠.当点B 的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时.BP＝________．6．(2018·河南模拟)如图.△ABC中.AB＝ 5.AC＝5.tan A＝2.D是BC中点.点P是AC上一个动点.将△BPD 沿PD折叠.折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半.则AP的长为____________．7．在矩形ABCD中.AB＝6.BC＝12.点E在边BC上.且BE＝2CE.将矩形沿过点E的直线折叠.点C.D的对应点分别为C′.D′.折痕与边AD交于点 F.当点 B.C′.D′恰好在同一直线上时.AF的长为__________________．类型三根据图形折叠探究最值问题如图.在矩形纸片ABCD中.AB＝2.AD＝3.点E是AB的中点.点F是AD边上的一个动点.将△AEF沿EF所在直线翻折.得到△A′EF.则A′C的长的最小值是________．【分析】以点E为圆心.AE长度为半径作圆.连接CE.当点A′在线段CE上时.A′C的长取最小值.根据折叠的性质可知A′E＝1.在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度.用CE－A′E即可求出结论．例3题解图【自主解答】以点E为圆心.AE长度为半径作圆.连接CE.当点A′在线段CE上时.A′C的长取最小值.如解图所示．根据折叠可知：A′E＝AE＝12AB＝1.在Rt△BCE中.BE＝12AB＝1.BC＝3.∠B＝90°.∴CE＝BE2＋BC2＝10.∴A′C的最小值＝CE－A′E＝10－1.故答案为10－1.1．(2019·原创)如图.在边长为10的等边三角形△ABC中.D是AB边上的动点.E是AC边的中点.将△ADE 沿DE翻折得到△A′DE.连接BA′.则BA′的最小值是__________．2．在矩形ABCD中.AD＝12.E是AB边上的点.AE＝5.点P在AD边上.将△AEP沿EP折叠.使得点A落在点A′的位置.如图.当A′与点D的距离最短时.△A′PD的面积为________．3．如图.在边长为4的正方形ABCD中.E为AB边的中点.F是BC边上的动点.将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F.连接B′D.则当B′D取得最小值时.tan∠BEF的值为__________．4．(2017·河南模拟)如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝4.BC＝6.点D是边BC的中点.点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合).沿DE翻折△DBE使点B落在点F处.连接AF.则线段AF的长取最小值时.BF 的长为_________．参考答案类型一针对训练1.3＋1或23－2 【解析】(1)当点E在边AD上时.过点E作EF⊥CD于F.如解图①.设CF＝x.第1题解图①∵∠ABC＝30°.∴∠BCD＝150°.∵△BCD′是等边三角形.∴∠DCD′＝90°.由折叠可知.∠ECD＝∠D′CE＝45°.∵EF＝CF＝x.在直角三角形DEF中.∠D＝30°.∴DE＝2x.∴DF＝3x.∴CD＝CF＋DF＝x＋3x＝2.解得x＝3x－1.∴DE＝2x＝23－2.(2)当E在DA的延长线上时.如解图②.第1题解图②过点B作BF⊥DA于点F.根据折叠可知.∠ED′C＝∠D＝30°.又∵三角形BD′C是等边三角形.∴D′E垂直平分BC.∵AD∥BC.∴D′E⊥AD.∵∠ABC＝30°∴∠BAF＝30°.又∵AB＝2.∴AF＝ 3.令D′E与BC的交点为G.则易知EF ＝BG ＝12BC ＝1.∴AE＝3－1.∴DE＝3＋1.综上所述.DE 的长度为3＋1或23－2. 2.158或157【解析】在Rt△ABC 中.∵∠C＝90°.AB ＝5.AC ＝4.∴BC＝3.沿直线EF 将∠B 折叠.使点B 恰好落在BC 上的D 处.当△ADE 恰好为直角三角形时.根据折叠的性质：BE ＝DE.设BE ＝x.则DE ＝x.AE ＝5－x.①当∠ADE＝90°时.则DE∥BC .∴DE CB ＝AE AB .∴x 3＝5－x 5.解得x ＝158；②当∠AED＝90°时.则△AED∽△ACB .∴DE BC＝AE AC .∴x 3＝5－x 4.解得x ＝157.故所求BE 的长度为：158或157. 3.122＋12或1 【解析】①如解图①.当∠B′MC＝90°.B′与A 重合.M 是BC 的中点.∴BM＝12BC ＝122＋12；②如解图②.当∠MB′C＝90°.∵∠A＝90°.AB ＝AC.∴∠C＝45°.∴△CMB′是等腰直角三角形.∴CM＝2MB′.∵沿MN 所在的直线折叠∠B.使点B 的对应点为B′.∴BM＝B′M .∴CM＝2BM.∵BC＝2＋1.∴CM ＋BM ＝2BM ＋BM ＝2＋1.∴BM＝1.综上所述.若△MB′C 为直角三角形.则BM 的长为122＋12或1.图①图②第3题解图 4.433或23－2 【解析】①如解图①.当A′D＝A′C 时.∠A′DC＝∠A′CD＝30°.∴∠AA′D＝60°.又∵∠CAD＝30°.∴∠ADA′＝90°.在Rt△ADA′中.AA′＝AD cos 30°＝432＝833.由折叠可得AP ＝12AA′＝433；图①图②第4题解图②如解图②.当CD ＝CA′＝4时.连接BD 交AC 于O.则Rt△COD 中.CO ＝CD×cos 30°＝4×32＝2 3.∴AC ＝4 3.∴AA′＝AC －A′C＝43－4.由折叠可得AP ＝12AA′＝23－2；故答案为433或23－2. 5 .32或34【解析】如解图①所示.点E 与点C′重合时．在Rt△ABC 中.BC ＝AB 2－AC 2＝4.由翻折的性质可知；AE ＝AC ＝3、DC ＝DE.则EB ＝2.设DC ＝ED ＝x.则BD ＝4－x.在Rt△DBE 中.DE 2＋BE 2＝DB 2.即x 2＋22＝(4－x)2.解得x ＝32.∴DE＝32.图①图②第5题解图如解图②所示：∠EDB＝90°时．由翻折的性质可知：AC ＝AC′.∠C＝∠AC′D＝90°.∵∠C＝∠AC′D ＝∠CDC′＝90°.∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC＝AC′.∴四边形ACDC′为正方形．∴CD＝AC ＝3.∴DB＝BC －DC ＝4－3＝1.∵DE∥AC .∴△BDE∽△BCA.∴DE AC ＝DB CB ＝14.即ED 3＝14.解得DE ＝34.点D 在CB 上运动.∠DBC′＜90°.故∠DBC′不可能为直角．故答案为：32或34. 6.23＋43或 6 【解析】分两种情况：①如解图①.当∠CDM＝90°.△CDM 是直角三角形.∵在Rt△ABC 中.∠B＝90°.∠A＝60°.AC ＝23＋4.∴∠C＝30°.AB ＝12AC ＝3＋2.由折叠可得.∠MDN＝∠A＝60°.∴∠BDN＝30°.∴BN＝12DN ＝12AN.∴BN＝13AB ＝3＋23.∴AN＝2BN ＝233＋43.∵∠DNB＝60°.∴∠ANM ＝∠DNM＝60°.∴∠ANM＝60°.∴AN＝MN ＝23＋43.②如解图②.当∠CMD＝90°时.△CDM 是直角三角形.由题可得∠CDM＝60°.∠A＝∠MDN＝60°.∴∠BDN＝60°.∠BND＝30°.∴BD＝12DN ＝12AN.BN ＝3BD.又∵AB＝3＋2.∴AN＝2.BN ＝ 3.过N 作NH⊥AM 于H.则∠ANH＝30°.∴AH＝12AN ＝1.HN ＝ 3.由折叠可得∠AMN＝∠DMN＝45°.∴△MNH 是等腰直角三角形.∴HM＝HN ＝ 3.∴MN＝ 6.故答案为23＋43或 6.图①图②第6题解图7．3或145 【解析】∴∠C＝90°.BC ＝2 3.AC ＝2.∴tan B＝AC BC ＝223＝33.∴∠B＝30°.∴AB＝2AC ＝4.∵点D 是BC 的中点.沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′D′E 的位置.B′D 交AB 于点F.∴DB＝DC ＝ 3.EB′＝EB.∠DB′E＝∠B＝30°.设AE ＝x.则BE ＝4－x.EB′＝4－x.当∠AFB′＝90°时.在Rt△BDF 中.cos B ＝BF BD .∴BF＝3cos 30°＝32.∴EF＝32－(4－x)＝x －52.在Rt△B′EF 中.∵∠EB′F＝30°.∴EB′＝2EF. 则4－x ＝2(x －52).解得x ＝3.此时AE 为3；第7题解图当∠FB′A＝90°时.作EH⊥AB′于H.连接AD.如解图.∵DC＝DB′.AD ＝AD.∴Rt△ADB′≌Rt△ADC .∴AB′＝AC ＝2.∵∠AB′E＝∠AB′F＋∠EB′F＝90°＋30°＝120°.∴∠EB′H＝60°.在Rt△EHB′中.B′H＝12B ′E ＝12(4－x).EH ＝3B′H＝32(4－x).在Rt△AEH 中.∵EH 2＋AH 2＝AE 2.∴34(4－x)2＋[12(4－x)＋2]2＝x 2.解得x ＝145.此时AE 为145.综上所述.AE 的长为3或145. 8.32或3916【解析】∵四边形ABCD 是菱形.∴AB＝BC ＝CD ＝AD ＝5.∠DAC＝∠BAC.∵EF⊥AA′.∴∠EPA＝∠FPA′＝90°.∴∠EAP＋∠AEP＝90°.∠FAP＋∠AFP＝90°.∴∠AEP＝∠AFP .∴AE＝AF.∵△A′EF 是由△AEF 翻折.∴AE＝EA′.AF ＝FA′.∴AE＝EA′＝A′F＝FA.∴四边形AEA′F 是菱形.∴AP＝PA′.①当CD＝CA′时.∵AA′＝AC －CA′＝3.∴AP ＝12AA′＝32.②当A′C ＝A′D 时.∵∠A′CD ＝∠A′DC ＝∠DAC .∴△A′CD∽△DAC.∴A′C AD ＝DC AC .∴A′C＝258.∴AA′＝8－258＝398.∴AP＝12AA′＝3916.故答案为32或3916. 9.127或43【解析】①如解图①.当∠ADC′＝90°时.∠ADC′＝∠C .第9题解图①∴DC′∥CB .∴△ADC′∽△ACB.又∵AC＝3.BC ＝4.∴AD DC′＝34.设CD ＝C′D＝x.则AD ＝3－x.∴3－x x ＝34.解得x ＝127.经检验：x ＝127是所列方程的解.∴CD＝127；②如解图②.当∠DC′A＝90°时.∠DCB＝90°.第9题解图②由折叠可得.∠C ＝∠DC′E ＝90°.∴C′B 与CE 重合.由∠C ＝∠AC′D ＝90°.∠A ＝∠A .可得△ADC′∽△ABC .在Rt △ABC 中.AB ＝5.∴AD C′D ＝AB CB ＝54.设CD ＝C′D＝x.则AD ＝3－x.∴3－x x ＝54.解得x ＝43.∴CD＝43.综上所述.CD 的长为127或43. 类型二针对训练1．4或52 【解析】设CH ＝x.则DH ＝EH ＝9－x.当BE∶EC＝2∶1时.BC ＝9.∴CE＝13BC ＝3.在Rt△ECH 中.EH 2＝EC 2＋CH 2.即(9－x)2＝32＋x 2.解得x ＝4.即CH ＝4.当BE∶EC＝1∶2时.CE ＝23BC ＝6.在Rt△ECH 中.EH 2＝EC 2＋CH 2.即(9－x)2＝62＋x 2.解得：x ＝52.即CH ＝52.故CH 的长为4或52. 2.477或4155【解析】如解图.过点A′作A′M⊥AD 于M 交BC 于N.则四边形ABNM 是矩形.∴AB＝MN ＝4.∵若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3.∴A′M＝1.A′N＝3或A′M＝3.A′N＝1.①当A′M＝1.A′N ＝3时.在Rt△BA′N 中.BN ＝42－32＝7.∴AM ＝BN ＝7.由△A′EM～△BA′N .∴EM A′N ＝A′M BN .∴EM 3＝17.∴EM＝377.∴AE＝477；②当A′M＝3.A′N＝1时.同理可得AE ＝4155.,第2题解图)第3题解图3.52或53【解析】如解图.连接BD′.过D′作MN⊥AB .交AB 于点M.CD 于点N.作D′P⊥BC 交BC 于点P.∵点D 的对应点D′落在∠ABC 的平分线上.∴MD′＝PD′.设MD′＝x.则PD′＝BM ＝x.∴AM＝AB －BM ＝7－x.又由折叠图形可得AD ＝AD′＝5.∴x 2＋(7－x)2＝25.解得x ＝3或4.即MD′＝3或4.在Rt△END′中.设ED′＝a.①当MD′＝3时.AM ＝7－3＝4.D′N＝5－3＝2.EN ＝4－a.∴a 2＝22＋(4－a)2.解得a ＝52.即DE ＝52；②当MD′＝4时.AM ＝7－4＝3.D′N＝5－4＝1.EN ＝3－a.∴a 2＝12＋(3－a)2.解得a ＝53.即DE ＝53.综上所述.DE 的长为52或53. 4.52或10 【解析】分两种情况：①如解图①.当点F 在矩形内部时.∵点F 在AB 的垂直平分线MN 上.∴AN ＝4.∵AF＝AD ＝5.由勾股定理得FN ＝3.∴FM＝2.设DE 为x.则EM ＝4－x.FE ＝x.在△EMF 中.由勾股定理.得x 2＝(4－x)2＋22.∴x＝52.即DE 的长为52；图①图②第4题解图②如解图②.当点F 在矩形外部时.同①的方法可得FN ＝3.∴FM＝8.设DE 为y.则EM ＝y －4.FE ＝y.在△EMF 中.由勾股定理.得y 2＝(y －4)2＋82.∴y＝10.即DE 的长为10.综上所述.点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时.DE 的长为52或10. 5．3或92【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上.如解图①.∵在矩形ABCD 中.AB ＝8.BC ＝6∴∠ABC＝90°.AC ＝BD.∴AC＝BD ＝62＋82＝10.根据折叠的性质.得PC⊥BB′.∴∠PBD＝∠BCP .∴△BCP∽△ABD .∴BP AD ＝BC AB.即BP 6＝68.解得BP ＝92；②点A 落在矩形对角线AC 上.如解图②.根据折叠的性质.得BP ＝B′P .∠B＝∠PB′C ＝90°.∴∠AB′A＝90°.∴△APB′∽△ACB .∴B′P BC ＝AP AC .即BP 6＝8－BP 10.解得BP ＝3.故答案为：3或92.图①图②第5题解图6．2或5－ 5 【解析】分两种情况：①当点B′在AC 的下方时.如解图①.∵D 是BC 中点.∴S △BPD ＝S △PDC .∵S △PDF ＝12S △BPD .∴S △PDF ＝12S △PDC .∴F 是PC 的中点.∴DF 是△BPC 的中位线.∴DF∥BP .∴∠BPD＝∠PDF .由折叠得：∠BPD＝∠B′PD .∴∠B′PD＝∠PDF .∴PB′＝B′D .即PB ＝BD.过B 作BE⊥AC 于E.在Rt△ABE中.tan A ＝BE AE＝2.∵AB＝ 5.∴AE＝1.BE ＝2.∴EC＝5－1＝4.由勾股定理.得BC ＝BE 2＋EC 2＝22＋42＝2 5.∵D 为BC 的中点.∴BD＝ 5.∴PB＝BD ＝ 5.在Rt△BPE 中.PE ＝1.∴AP＝AE ＋PE ＝1＋1＝2；图①图②第6题解图②当点B′在AC 的上方时.如解图②.连接B′C .同理得：F 是DC 的中点.F 是PB′的中点.∴DF＝FC.PF ＝FB′.∴四边形DPCB′是平行四边形.∴PC＝B′D＝BD＝ 5.∴AP＝5－ 5.综上所述.AP的长为2或5－5.7．8＋23或8－2 3 【解析】由折叠的性质得.∠EC′D′＝∠C＝90°.C′E＝CE.∵点B、C′、D′在同一直线上.∴∠BC′E＝90°.∵BC＝12.BE＝2CE.∴BE＝8.C′E＝CE＝4.在Rt△BC′E中.BE C′E＝2.∴∠C′BE＝30°.①当点C′在BC的上方时.如解图①.过E作EG⊥AD于G.延长EC′交AD于H.则四边形ABEG是矩形.∴EG＝AB＝6.AG＝BE＝8.∵∠C′BE＝30°.∠BC′E＝90°.∴∠BEC′＝60°.由折叠的性质得.∠C′EF＝∠CEF＝60°.∵AD∥BC.∴∠HFE＝∠CEF＝60°.∴△EFH是等边三角形.∴在Rt△EFG 中.EG＝6.∴GF＝23.∴AF＝8＋23；②当点C′在BC的下方时.如解图②.过F作FG⊥AD于G.D′F交BE于H.同①可得.四边形ABGF是矩形.△EFH是等边三角形.∴AF＝BG.FG＝AB＝6.∠FEH＝60°.在Rt△EFG 中.GE＝23.∵BE＝8.∴BG＝8－2 3.∴AF＝8－2 3.图①图②第7题解图类型三针对训练1．53－5 【解析】如解图.连接BE.第1题解图∵AB＝BC＝AC＝10.∴∠C＝60°.∵AB＝BC.E是AC的中点.∴BE⊥AC.∴BE＝BC2－EC2＝102－52＝53.∵AC＝10.E是AC边的中点.∴AE＝5.由翻折的性质可知A′E＝AE＝5.∵BA′＋A′E≥BE.∴当点B、A′、E在一条直线上时.BA′有最小值.最小值＝BE－A′E＝53－5.2.403【解析】连接DE.DE＝52＋122＝13.∵将△AEP沿FP折叠.使得点A落在点A′的位置.∴EA′＝EA＝5.∵A′D≥DE－EA′第2题解图(当且仅当A′点在DE 上时.取等号).∴当A′与点D 的距离最短时.A′点在DE 上.∴DA′＝13－5＝8.设PA′＝x.则PA ＝x.PD ＝12－x.在Rt△DPA′中.x 2＋82＝(12－x)2.解得x ＝103.∴△A′PD 的面积＝12×8×103＝403. 3.1＋52【解析】在Rt△ADE 中.DE ＝22＋42＝2 5.当B′在ED 上时.B′D 最小.在ED 上截取EB′＝EB ＝2.连接B′F .FD.则B′D＝ED －EB′＝25－2.设BF ＝x.则B′F＝x.CF ＝4－x.在Rt△B′FD 和Rt△FCD 中.利用勾股定理.可得DB′2＋B′F 2＝DF 2＝CF 2＋DC 2.即(25－2)2＋x 2＝(4－x)2＋42.解得x ＝5＋1.∴Rt△BEF 中.tan∠BEF＝BF BE ＝1＋52.第3题解图4.1255【解析】由题意得：DF ＝DB.第4题解图∴点F 在以D 为圆心.BD 为半径的圆上.作⊙D; 连接AD 交⊙D 于点F.此时AF 值最小.∵点D 是边BC 的中点.∴CD＝BD ＝3；而AC ＝4.由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2.∴AD＝5.而FD ＝3.∴FA＝5－3＝2.即线段AF长的最小值是2.连接BF.过F 作FH⊥BC 于H.∵∠ACB＝90°.∴FH∥AC .∴△DFH∽△DAC .∴DF AD ＝DH CD ＝HF AC.即35＝DH 3＝HF 4.∴HF＝125.DH ＝95.∴BH＝245.∴BF＝BH 2＋HF 2＝1255.。

九年级数学动点最值问题压轴题专项练习1．在△ABC中．AB＝10，AC＝83．∠ACB＝30°，将△ABC绕A按逆时针方向旋转．得到△ADE．（1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF．求证：F A平分∠DFC；（2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在△ABC绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，求线段PG1长度的最大值与最小值．2．如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，连接DE、BE．（1）求证：DE BE=；（2）如图②，过点E作EF DEAB=，求AF的=时，若2⊥交AB于点F，当BE BF长；（3）如图③，在（2）的条件下，将BEF绕点B逆时针旋转得到BE F''△，连接AE'，N为AE'的中点，连接CN，则旋转过程中线段CN的最大值为_______；最小值为_______．3．如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与点A，B 重合），连接DA ，DB ，DC ． （1）求证：DC 是∠ADB 的平分线；（2）四边形ADBC 的面积S 是线段DC 的长x 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点M ，N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置，△DMN 的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化，求所有t 值中的最大值．4．如图，⊙O 为等边△ABC 的外接圆，半径为2，点D 在劣弧AB 上运动（不与点2A B 重合），连接DA ，DB ，DC ． （1）求证：DC 是∠ADB 的平分线；（2）若点,M N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置，△DMN 的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化，求所有t 值中的最大值．5．如图①，在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接BE ，点M 、P 、N 分别为DE 、BE 、BC 的中点．（1）观察猜想：图①中，线段PM 与PN 的数量关系是_____________，用含α的代数式表示MPN ∠的度数是________________________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD ，CE ，当120α=︒时，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内任意旋转，若90α=︒，3AD =，7AB =，请直接写出线段MN 的最大值和最小值．6．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，12BC cm =，半圆O 的直径12DE cm =．点E 与点C 重合，半圆O 以2/cm s 的速度从左向右移动，在运动过程中，点D 、E 始终在BC 所在的直线上．设运动时间为()x s ，半圆O 与ABC ∆的重叠部分的面积为()2S cm ．（1）当0x =时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为_________；MN 的最小值为________．（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与ABC ∆重叠部分的面积S ； （3）当x 为何值时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切？7．如图，在直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于点A (－3,0)、B (1,0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）在抛物线上是否存在点D ，使得△ABD 的面积等于△ABC 的面积的53倍？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值．8．如图1，两块直角三角纸板（Rt△ABC和Rt△BDE）按如图所示的方式摆放（重合点为B），其中∠BDE＝∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BD＝DE＝AC＝2．将△BDE绕着点B 顺时针旋转．（1）当点D在BC上时，求CD的长；（2）当△BDE旋转到A，D，E三点共线时，画出相应的草图并求△CDE的面积（3）如图2，连接CD，点G是CD的中点，连接AG，求AG的最大值和最小值．9．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，CD＝12cm，点E在边AD上，EF与CD所在直线垂直，垂足为点F，半圆的圆心为点O，直径EF＝6cm，P为弧EF的中点，Q是弧EF上的动点．发现：DQ的最小值是cm；DQ的最大值为cm；探究：沿直线CD向左平移半圆．（1）当P落在▱ABCD的边上时，区域半圆与其重合部分的面积；（2）半圆向左以每秒3cm的速度平移，以图所在位置开始平移，运动时间为ts，当其与▱ABCD的边（CD边除外）相切时，求t的值．10．如图，已知AB 为半圆O 的直径，P 为半圆上的一个动点（不含端点），以OP OB 、为一组邻边作POBQ ，连接OQ AP 、，设OQ AP 、的中点分别为M N 、，连接PM ON 、． （1）试判断四边形OMPN 的形状，并说明理由．（2）若点P 从点B 出发，以每秒15︒的速度，绕点O 在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为s t ．①是否存在这样的t ，使得点Q 落在半圆O 内？若存在，请求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．②试求：当t 为何值时，四边形OMPN 的面积取得最大值？并判断此时直线PQ 与半圆O 的位置关系（需说明理由）．11．在O 中，直径12AB =，BC 是弦，30ABC ∠=︒，点P 在BC 上，点Q 在O 上，且OP PQ ⊥．（1）如图1，当//PQ AB 时，求PQ 的长度； （2）如图2，当点P 在BC 上移动时，求PQ 的最大值12．如图，抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(1,0)、(3,0)，(0,6)三点，边长为2的正方形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上．（1）求抛物线解析式，并求出当14x -≤≤时，y 的最大值与最小值．（2）将正方形OABC向右平移，平移距离记为h：①当点C首次落在抛物线上时，求h的值；②当抛物线落在正方形内的部分满足y随x的增大而减小时，请求出h的取值范围．13．如图1，已知抛物线2=++经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)三点，其y ax bx c顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图2，若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①试求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线213222y x x =+-交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ．（1）求线段BC 的长；（2）点P 为第三象限内抛物线上一点，连接BP ，过点C 作CE //BP 交x 轴于点E ，连接PE ，求△BPE 面积的最大值及此时点P 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点（1）求证：∠ACB =90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ．①求DE +BF 的最大值；②点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝﹣2x+2．3（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标．参考答案1．解：（1）如图1，作AM⊥BC，AN⊥DE于点M，N，根据旋转的性质可知：△ABC≌△ADE，∴△ABC的面积=△ADE的面积，即1122BC AM CE AN⨯=⨯，∴AM=AN，∴AF平分∠DFC，∴∠AFD=∠AFC；（2）线段PG1长度的最大值为5+83，PG1长度的最小值为43-5．解题过程如下：①如图a，过点A作AF⊥BC，F为垂足，在Rt△ACF中，AC3∠ACB=30°，∴AF=12AC3∵AB=10，点P为线段AB中点，∴AP=12AB=5，当G在BC上运动，AG与BC垂直时，即点F与点G重合时，△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段AB上时，PG1最小，最小值为：PG1=AG1-AP=AF-AP3；②如图b，当G在BC上运动至点C，△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段BA延长线上时，PG1最大，最大值为：PG1=AP+AG1=AP+AC=5+83．综上所述，线段PG1长度的最大值为5+83，EP1长度的最小值为43-5．2．解：（1）证明：如图①中，四边形ABCD是正方形，∠=∠，∴=，DCE BCECD CB=，CE CE∴∆≅∆，DCE BCE SAS()∴=．DE BE（2）如图②，过E作EM BF⊥，由（1）知，DCE BCE ∆≅∆，CDE CBE ∴∠=∠，90ADC ABC ︒∠=∠=，ADE ABE ∴∠=∠，DE EF ⊥，90DEF ∴∠=︒，在四边形ADEF 中，90DAF ∠=︒，180ADE AFE ∴∠+∠=︒，180AFE BFE ∠+∠=︒，BFE EBF ∴∠=∠，BE EF ∴=，BE BF =，BEF ∴∆是等边三角形，60EBF ∴∠=︒，设BM x =，则MF BM x ==，3EM x =，四边形ABCD 是正方形，1452BAE BAD ∴∠=∠=︒， 3AM EM x ∴=，2AM BM AB +==，32x x ∴=， 解得，31x =，22(31)43AF AB BF ∴=-=-=-（3）如图3中，取AB 的中点R ，连接NR ，CR ．四边形ABCD 是正方形，2AB BC ∴==，90ABC ∠=︒，1AR RB ==，2222125CR BR BC ∴++AR BR =，AN NE ='，1312RN BE ∴='， 5(31)5(31)CN ≤≤， 531531CN ≤，CN ∴531531， 531531．3．【详解】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠BAC =∠ACB =60°． ∵∠ADC =∠ABC =60°，∠BDC =∠BAC =60°， ∴∠ADC =∠BDC ，∴DC 是∠ADB 的平分线；（2）四边形ADBC 的面积S 是线段DC 的长x 的函数，理由如下：如图1，将△ADC 绕点逆时针旋转60°，得到△BHC ，∴CD =CH ，∠DAC =∠HBC ．∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠DAC+∠DBC=180°，∴∠DBC+∠HBC=180°，∴点D，点B，点H三点共线．∵DC=CH，∠CDH=60°，∴△DCH是等边三角形．∵四边形ADBC的面积S=S△ADC+S△BDC=S△CDH34=CD2，∴S34=x2；（3）如图2，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F，∵点D，点E关于直线AC对称，∴EM=DM，同理DN=NF．∵△DMN的周长=DM+DN+MN=FN+EM+MN，∴当点E，点M，点N，点F四点共线时，△DMN的周长有最小值，则连接EF，交AC于M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，作CP⊥EF于P，∴△DMN 的周长最小值为EF=t．∵点D，点E关于直线AC对称，∴CE=CD，∠ACE=∠ACD．∵点D，点F关于直线BC对称，∴CF=CD，∠DCB=∠FCB，∴CD=CE=CF，∠ECF=∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠FCB=2∠ACB=120°．∵CP⊥EF，CE=CF，∠ECF=120°，∴EP=PF，∠CEP=30°，∴PC12=EC，PE3=PC32=EC，∴EF=2PE3=EC3=CD=t，∴当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值．∵CD为⊙O的弦，∴CD为直径时，CD有最大值4，∴t的最大值为43．4．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，∴∠ADC＝∠BDC，∴DC是∠ADB的平分线；（2）如图2，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F，∵点D ，点E 关于直线AC 对称，∴EM ＝DM ，同理DN ＝NF ，∵△DMN 的周长＝DM +DN +MN ＝FN +EM +MN ，∴当点E ，点M ，点N ，点F 四点共线时，△DMN 的周长有最小值， 则连接EF ，交AC 于M ，交BC 于N ，连接CE ，CF ，DE ，DF ，作CP ⊥EF 于P ， ∴△DMN 的周长最小值为EF ＝t ，∵点D ，点E 关于直线AC 对称，∴CE ＝CD ，∠ACE ＝∠ACD ，∵点D ，点F 关于直线BC 对称，∴CF ＝CD ，∠DCB ＝∠FCB ，∴CD ＝CE ＝CF ，∠ECF ＝∠ACE +∠ACD +∠DCB +∠FCB ＝2∠ACB ＝120°， ∵CP ⊥EF ，CE ＝CF ，∠ECF ＝120°， ∴EP ＝PF ，∠CEP ＝30°，∴PC 12=EC ，PE ==，∴EF ＝2PE ==＝t ，∴当CD 有最大值时，EF 有最大值，即t 有最大值， ∵CD 为⊙O 的弦，∴CD 为直径时，CD 有最大值4，∴t 的最大值为5．（1）AB =AC ，AD =DE ，∴BD =EC ，M 、P 分别是DE 、BE 的中点，∴MP =12BD ，MP //BD ，∴EPM EBD ∠=∠，同理可证：NP =12CE ，NP //CE ， ∴MP = NP ，∴NPE PEA ∠=∠，∴MPN ∠=EPM ∠+NPE ∠=EBD ∠+PEA ∠=180°－α． （2）由旋转可得：CAB EAD ∠=∠，AD =AE ，∴CAE BAD ∠=，在CAE 与BAD 中，AB AC CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩， ∴CAE ≌BAD ，∴CE =BD ，由（1）同理可证MP =12BD ，MP //BD ，NP =12CE ，NP //CE ， ∴MP = NP ，∴PMN 是等腰三角形，EPM ∠=EBD ∠=ABD ∠+ABE ∠，NPE ∠=PBN ∠+PNB ∠=PBN ∠+ECB ∠，∴MPN ∠=EPM ∠+NPE ∠=ABD ∠+ABE ∠+PBN ∠+ECB ∠=180°－120°=60°， ∴PMN 是等边三角形．（3）等腰直角ADE 中，AD =3，∴DE，M 是DE 的中点，∴AM， ∴M 的运动轨迹是以点A为半径的一个圆， 如图，连接NA 并延长分别交⊙A 于点M 1、M 2，等腰直角ABC 中，AB =7，∴BC，N 是BC 的中点，∴AN，AN ⊥BC ， 当点M 旋转至M 1位置时，MN 最大，MN当点M 旋转至M 2位置时，MN 最小，MN =722－322=22．6．解：解（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，45ABC ∠=︒，45NOB ∴∠=︒，在Rt ONB ∆中，61218()OB OC CB cm =+=+=292()2ON BN OB cm ∴===， 926()MN ON OM cm ∴=-=-，故答案为24cm ，(926)cm -；（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ．BC 为直径，90CHB ∴∠=︒，45ABC ∠=︒45HCB ∴∠=︒，HC HB ∴=，OH BC ∴⊥，6OH OC OB ===，29016669183602BOH HOC S S S ππ∆=+=⋅+⨯⨯=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12， 0x ∴=（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =45B ∠=︒，90OHB ∠=︒，262OB OH ∴=，1262OC BC OB =-=- 移动的距离为61221862()cm +--，运动时间为1862932x --)， 综上所述，当x 为0或6或932-O 与ABC ∆的边所在的直线相切． 7． 解：（1）将点A (－3,0)、B (1,0)代入y ＝ax 2＋bx －2中，得932020a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴224x 233y x =+- （2）若D 在x 轴的下方，当D 为抛物线顶点（－1，83-）时，02C （，-），∴△ABD 的面积是△ABC 面积的43倍， 4533<，所以D 点一定在x 轴上方． 设D (m ,n ),△ABD 的面积是△ABC 面积的53倍， ∴n ＝103 ∴224233m m +-＝103∴m ＝－4或m ＝2 ∴D (－4,103)或（2，103） （3）设E(x,y),∵点E 是以点C 为圆心且1为半径的圆上的动点，∴22(2)1x y ++=,∴y=212x , ∴E 2(,12)x x ,∵F 是AE 的中点,∴F 的坐标2312(,)22x x ,设F(m,n),∴m=32x -,n=2122x ,∴x=2m+3,∴n=21(23)22m , ∴2n+2=21(23)m , ∴(2n+2)2=1-(2m+3)2,∴4(n+1)2+4(32m)2=1, ∴22231(1)()()22n m , ∴F 点的轨迹是以3(,1)2--为圆心，以12为半径的圆， ∴2231131(0)12222，最小值：2231131(0)12222 最大值13122+； 最小值13122- 8． 解：（1）如图1中，在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝2，∠ABC ＝30°，∴BC ＝AC ÷tan30°＝23， ∵BD ＝2，∴CD ＝BC ﹣BD ＝23﹣2．（2）如图2中，当A 、D 、E 共线时，易证四边形ACBD 是矩形，∴S △CDE ＝12×DE ×CA ＝12×2×2＝2． 如图3中，当A 、E 、D 共线时，作CH ⊥AD 于H ．在Rt△ADB中，∵AB＝2BD，∴∠BAD＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠CAH＝30°，∴CH＝12AC＝1，∴S△CDE＝12×DE×CH＝12×2×1＝1．（3）如图4中，取BC的中点H，连接GH．∵CG＝GD，CH＝HB，∴HG＝12BD＝1，∴点G的运动轨迹是以H为圆心1为半径的圆，在Rt△ACH中，AH22AC CH+43+7，∴AG的最小值＝AH﹣GH71，AG的最大值＝AH+GH79．解：当Q与F重合时，DQ的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDF＝∠A＝45°，∵EF⊥直线CD，∴∠EFD＝90°，△DEF是等腰直角三角形，∴DF＝EF＝6cm，即DQ的最小值为6cm；连接DO并延长交半圆O于点Q，如图1所示：此时DQ的值最大＝OD+半径，在Rt△ODF中，OF＝12EF＝3cm，由勾股定理得：OD＝2222DF0F6335+=+=，∴DQ的最大值＝35+3（cm）；故答案为6，35+3；探究：解：（1）分两种情况：①当P落在▱ABCD的边AD上时，此时F与D重合，如图2所示：区域半圆与其重合部分的面积S＝14S圆O+S△POF＝14×π×32+12×3×3＝9942π+；②当P落在▱ABCD的边BC上时，此时F与C重合，如图3所示：区域半圆与其重合部分的面积S＝14S圆O﹣S△POF＝14×π×32﹣12×3×3＝9942π+；（2）分两种情况：①半圆与边AD相切时，如图4所示：设切点为H，连接OH、OD，则OH⊥AD，∵EF⊥CD，OF是半径，∴FD是半圆的切线，∠FOH＝360°﹣90°﹣90°﹣135°＝45°，由切线长定理得：DF＝DH，∠DOF＝12∠FOH＝22.5°，在OF上截取OM＝DM，则∠MDO＝∠DOF＝22.5°，∴∠DMF＝45°，∴△DMF是等腰直角三角形，∴MF＝DF，设MF＝DF＝x，则PM＝DM＝2x，∵OM＝OF﹣MF，∴2x＝3﹣x，解得：x＝32﹣3，∵平移的距离为6+32﹣3＝3+32，半圆向左以每秒3cm的速度平移，∴平移的时间t＝3323+＝1+2（秒）；②半圆与边BC相切时，如图5所示：同理CF＝DF＝2﹣3，∵平移的距离为2﹣3＝2，半圆向左以每秒3cm的速度平移，∴平移的时间t 1532+2（秒）；综上所述，半圆向左以每秒3cm的速度平移，当其与▱ABCD的边（CD边除外）相切时，t 的值为（2210．解：（1）四边形OMPN为矩形，理由如下：∵四边形POBQ为平行四边形，∴PQ//OB，PQ＝OB，又∵OB＝OA，∴PQ＝AO，又∵PQ//OA，∴四边形PQOA为平行四边形，∴P A//QO，P A＝QO．又∵M、N分别为OQ、AP的中点，∴OM＝12OQ，PN＝12AP，∴OM＝PN，∴四边形OMPN为平行四边形，∵OP＝OA，N是AP的中点，∴ON⊥AP，即∠ONP＝90°，∴四边形OMPN为矩形；（2）①如图，当点Q落在半圆O上时，∵四边形POBQ是平行四边形，∴PQ＝OB，PO＝BQ，又∵OB＝OP＝OQ，∴OP＝OQ＝PQ＝BO＝BQ，∴△POQ是等边三角形，△BQO是等边三角形，∴∠POQ＝∠BOQ＝60°，∴∠BOP＝120°，∴t＝12015＝8s，∴当t＝8s时，点Q落在半圆O上，∵当点P与点A重合时，t＝18015＝12s，∴当8＜t＜12时，点Q落在半圆O内；②∵四边形OMPN为矩形，∴S矩形OMPN＝ON•NP＝12AP•ON，∴S矩形OMPN＝S△AOP，∵△AOP的底AO为定值，∴当P旋转运动90°（运动至最高点）时，高取得最大值，此时△AOP的面积取得最大值．∴t＝90÷15＝6秒．∴当t＝6s时，四边形OMPN面积最大，此时，PQ与半圆O相切．理由如下：∵∠POB＝90°，PQ//OB，∴∠OPQ＝90°，∴PQ与半圆O相切．11．（1）连接OQ，如图所示：∵AB=12，∴OQ=OB=6，∵OP⊥PQ，∴∠QPO=90°，∵PQ∥AB，∴∠POB=∠QPO=90°，在Rt△POB中，∠POB=90°，∴PB2=OB2+OP2，又∵30ABC∠=︒，∴BP=2OP ，∴（2OP ）2=62+OP 2，∴OP=23， 在Rt △QPO 中，()222262326PQ OQ OP =-=-=； （2）连接OQ ，如图所示：由（1）得：OQ=OB=6，∴在Rt △QPO 中，22PQ OQ OP =-∴当OP 的长最小时，PQ 的长为最大，根据垂线段最短可得当OP ⊥BC 时最短，∵∠ABC=30°， ∴132OP OB ==， ∴2233PQ OQ OP =-= ∴PQ 的最大值为3312．解：（1）由题意得：09306ab c a b c c ，解得286a b c ， 故抛物线的表达式为2286y x x =-+，由抛物线的表达式知，其顶点坐标为(2,2)-，当1x =-时，228616y x x ，故当14x -时，1x =-时，y 取得最大值16，而在顶点处取得最小值2-； （2）①当点C 首次落在抛物线上，则22286C y x x ==-+，解得22x = 因为点C 首次落在抛物线上，22x =则2h x ==②当点C首次落在抛物线上，2h =2h >满足y 随x 的增大而减小，当3h =时，即正方形运动到点(3,0)处，此时抛物线落在正方形内的部分，满足y 随x 的增大而减小，当3h >时，对称轴右侧的抛物线进入正方形内，不满足y 随x 的增大而减小，故3h ；故23h ．13．解：（1）由题意得93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得 123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴该抛物线的表达式为223y x x =+-（2）∵△PBC 的周长为：PB ＋PC ＋BC又∵BC 是定值 ∴当PB ＋PC 最小时，△PBC 的周长最小．∵点A ，点B 关于对称轴l 对称．∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求点．∴AP ＝BP∴△PBC 的周长最小值是：PB ＋PC ＋BC ＝AC ＋BC∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)∴AC＝BC故△PBC的周长最小值为（3）①∵抛物线的表达式为223y x x =+-＝2(1)4x +- ∴点D 的坐标为(－1，－4)设直线AD 的表达式为y kx n =+，把点A(－3，0)，D(－1，－4)代入 得304k n k n -+=⎧⎨-+=-⎩ ，解得 26k n =-⎧⎨=-⎩ ∴直线AD 的表达式为26y x =--∵点E 的横坐标为m ．∴E(m ，－2m －6)，F(m ，223m m +-)∴EF ＝226(23)m m m ---+-＝243m m ---∴S ＝EFA EFD S S ∆∆+ ＝1122EF AG EF GH ⋅⋅+⋅⋅ ＝12EF AH ⋅⋅ ＝21(43)22m m ---⨯ ＝243m m ---∴S 与m 的函数表达式为S ＝243m m ---②存在．∵S ＝243m m ---＝22)1m -++（ ∴当m ＝－2时，S 最大，最大值为1．此时点E 的坐标为(－2，－2)．14．解：（1）令y =0，则12x 2+32x -2=0， 解得：x 1=-4，x 2=1，∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(-4，0)，令x =0，则y =-2，∴点C 的坐标为(0，-2)，∴OB =4，OC =2，∴BC =2224225OB OC +=+=； （2）如图，连接OP ，CP ，设P （m ，12m 2+32m -2）． ∵CE ∥PB ，∴S △PBE =S △PBC =S △POC +S △POB -S △OBC∴S △PBE =12×2×(-m )+12×4×（-12m 2-32m +2）-12×2×4=-m 2-4m =-（m +2）2+4， ∵-1<0，∴S △PBE 在m =-2时，取得最大值，最大值为4，此时，点P 的坐标为(-2，-3)．答：△BPE 面积的最大值为4，此时点P 的坐标为(-2，-3)． 15．解：（1）令x =0，得4y =(0,4)C ∴令0y =得2134042x x -++= 26160x x(8)(2)0x x -+=(2,0)A ∴-，(8,0)B10,AB AC BC==22210=+222AB AC BC∴=+90ACB∴∠=︒（2）①设直线BC的解析式为：(0)y kx b k=+≠，代入(8,0)B，(0,4)C得804k bb+=⎧⎨=⎩124kb⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩142y x∴=-+设213(,4)42D x x x-++22131184(4)42224BF x D xE x x x x∴=-=-++-+=-+-，21+428D xE BF x x∴=+-+-2814xx=++-21()844x x=--+21()942x-=-+14-<21()042x-∴-≤221()994x∴-+≤-9+DE BF∴≤即DE+BF的最大值为9；②点G是AC的中点，在Rt AOC△中，12OG AC AG===即AOG为等腰三角形，90CAO ACO ACO OCB ∠+∠=∠+∠=︒CAO OCB ∴∠=∠//OC DFOCB DEC ∴∠=∠CAO DEC ∴∠=∠整理得，240x x ∴-=10x ∴=，24x =(0,4)D ∴或(4,6)D ，同理：()0,4D 不合题意，舍去，综上所述，(4,6)D 或25(3,)4D ． 16．解：（1）直线BC 的解析式为y 2x +2，令y ＝0，则x ＝2，令x ＝0，则y ＝2， 故点B 、C 的坐标分别为（2，0）、（0，2）；∵A 20）， 则y ＝ax 2+bx +2＝a （x 2）（x ﹣2，把（0，2）代入得，﹣6a ＝2，解得：a ＝﹣13， 故抛物线的表达式为：y ＝﹣13（x 2）（x ﹣2=﹣13x 222x +2①； （2）如图，过点B 、E 分别作y 轴的平行线分别交CD 于点H ，交BC 于点F ，∵AD ∥BC ，直线AD 可以看做由直线BC 向下平移22 ∴直线AD 的表达式为：y 2x 2②， 联立①②并解得：1142103x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩1120x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩D （2103）， 由点C 、D 的坐标得，直线CD 的表达式为：y 22x +2， 当x ＝2时，y CD 22x +2＝﹣2，即点H （22）， 设点E （x ，﹣13x 2+223x +2），则点F （x 2+2）， 则四边形BECD 的面积S ＝S △BCE +S △BCD ＝12×EF ×OB +12×（x D ﹣x C ）×BH ＝12×（﹣13x 222x 2﹣2）×212×2×22x 2+3x 2，即2232252)S x =， ∵﹣22＜0，故S 有最大值，当x 32S 252E 32，52）．。

2018 初三数学中考复习 动点或最值问题 专题复习训练题一、选择题1．(2016·百色)如图，正△ABC 的边长为2，过点B 的直线l ⊥AB ，且△ABC 与△A ′BC ′关于直线l 对称，D 为线段BC ′上一动点，则AD ＋CD 的最小值是( A )A ．4B ．3 2C ．2 3D ．2＋ 32．如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为( C )A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－32，0)D ．(－52，0)3．已知a ≥2，m 2－2am ＋2＝0，n 2－2an ＋2＝0，则(m －1)2＋(n －1)2的最小值是( A )A ．6B ．3C ．－3D ．04．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( B )A ．(3，1)B ．(3，43)C ．(3，53) D ．(3，2)5．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，tanC ＝34，AB ＝6 cm.动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1 cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2 cm/s 的速度移动．若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是( C )A ．18 cm 2B ．12 cm 2C ．9 cm 2D ．3 cm 26．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2.P 是AB 边上一动点，PD ⊥AC 于点D ，点E 在P 的右侧，且PE ＝1，连接CE.P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S 1＋S 2的大小变化情况是( C )A ．一直减小B ．一直不变C ．先减小后增大D ．先增大后减小 二、填空题7．如图，正方形ABCD 的边长是8，P 是CD 上的一点，且PD 的长为2，M 是其对角线AC 上的一个动点，则DM ＋MP 的最小值是___10__．8．如图，已知点A 是双曲线y ＝6x 在第三象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在双曲线y ＝kx 上运动，则k 的值是__－36__.9．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝20，DE 是△ABC 的中位线，点M 是边BC 上一点，BM ＝3，点N 是线段MC 上的一个动点，连接DN ，ME ，DN 与ME 相交于点O.若△OMN 是直角三角形，则DO 的长是__256或5013__．10．如图，边长为4的正方形ABCD 内接于点O ，点E 是AB ︵上的一动点(不与A ，B 重合)，点F 是BC ︵上的一点，连接OE ，OF ，分别与AB ，BC 交于点G ，H ，且∠EOF ＝90°，有以下结论：①AE ︵＝BF ︵；②△OGH 是等腰直角三角形；③四边形OGBH 的面积随着点E 位置的变化而变化； ④△GBH 周长的最小值为4＋ 2.其中正确的是__①②__．(把你认为正确结论的序号都填上)11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1－a ，0)，C(1＋a ，0)(a ＞0)，点P 在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是__6__．12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为(8，0)，(0，23)，C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP，EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为____(1，3)_____．13. 如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为(－1，0)，∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O 运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝3，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为__4__．三、解答题14．如图，抛物线y＝12x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．解：(1)∵点A(－1，0)在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上，∴12×(－1)2＋b ×(－1)－2＝0，解得b ＝－32，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2，∵y ＝12x 2－32x －2＝12(x－32)2－258，∴顶点D 的坐标为(32，－258)(2)作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′(0，2)，连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD 一定，当MC ＋MD 的值最小时，△CDM 的周长最小，设直线C ′D 的解析式为y ＝ax ＋b(a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，32a ＋b ＝－258，解得a ＝－4112，b ＝2，∴y C ′D ＝－4112x ＋2，当y ＝0时，－4112x ＋2＝0，则x ＝2441，∴M(2441，0)最值问题 解决几何最值问题的理论依据（读一读，背一背） ①两点之间，线段最短②垂线段最短（直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短） ③三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边）特征目标及示范操作方法定点：A、B动点(定直线)：P(l) 和最小1、作对称（对称到异侧，定点关于定直线的对称点）2、连线（两点之间线段最短）3、勾股定理求解两定、两动，两动点之间的长度不变和最小1、平移BN2、作对称（对称到异侧，定点关于定制线的对称点）3、连线（两点之间线段最短）4、勾股定理求解两定点、一动点，动点在定直线上差最大1、做对称（对称到同侧）2、连接、延长、找交点3、勾股定理求解（三角形三边关系）轴对称最值模型巩固练习1.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，C是y 轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A．(0，0) B．(0，1) C．(0，2) D．(0，3)2.点A，B均在由面积为1的相同小长方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP·OQ= _________．3.如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的值最小，则此时AM+NB=________．4. 已知：如图，∠ABC=30°，P为∠ABC内部一点，BP=4，如果点M，N分别为边AB，BC上的两个动点，请画图说明当M，N在什么位置时使得△PMN的周长最小，并求出△PMN周长的最小值．折叠之最值模型特征1：折痕过定点，折叠前后线段相等（线段BA′长度不变，A′的路径为圆弧）思路：求A′C最小，转化为BA′+A′C最小，利用三角形三边关系求解特征2：折痕折痕经过两条线的动点，折叠前后线段相等（A′N+NC为定值）思路：求BA′的最小值，转化为求BA′+A′N+NC的最小值，利用两点之间线段最短求解．巩固练习5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3．P是AB边上的动点（不与点B 重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是_____．6.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P，Q分别是边BC，AC上的动点．将△PCQ沿PQ翻折，C点的对应点为，连接，则的最小值是_____．7.如图，在直角梯形纸片ABCD中，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E，F分别在线段AB，AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的对应点记为P．（1）当点P落在线段CD上时，PD的取值范围是_______．（2）当点P落在直角梯形ABCD内部时，PD长度的最小值为_____________．8.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C 长度的最小值是_______．9.如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为________．10.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为________________．直角之最值模型特征：直角不变，斜边长不变思路：取斜边中点，结合斜边中线等于斜边一半，利用三角形三边关系求解示例：如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，在△ABC内部以AC 为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则线段BD的最小值是________．思路：求BA′的最小值，利用三角形三边关系求解，．巩固练习：11.如图，∠MON=90°，长方形ABCD的顶点A，B分别在OM，ON上，当点B在ON上运动时，点A随之在OM上运动，且长方形ABCD的形状和大小保持不变．若AB=2，BC=1，则在运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A．B．C．D．12.如图，菱形ABCD边长为2，∠C=60°．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为_______13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=3，在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则BD长度的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．1解决几何最值问题的通常思路：1.分析定点、动点，寻找不变特征．2.若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．14.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．若M为EF的中点，则AM长度的最小值为____________．15.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC边上，则以AC为对角线的所有□ADCE中，DE长度的最小值为_____________．16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=，BC的中点为D．将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG，则在旋转过程中，DG长度的最大值为____________．17.如图，在等边△ABC中，D是AC边上一个动点，连接BD，将线段BD绕点B 逆时针旋转60°得到BE，连接ED，若BC=2，则△AED的周长的最小值是_______．18.如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC，EF的中点，直线AG，FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是__________．19.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，且满足AE=DF．连接CF 交BD于点G，连接BE交AG于点H，连接DH．若正方形的边长为2，则DH长度的最小值是_______．实战模式20.如图，钝角三角形ABC的面积为15，最长边AB=10，BD平分∠ABC，点M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为_____．21.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为_____．22.如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm，如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C，F两点之间的距离的最大值为____________，连接BD，则△BDF面积的最大值为__________，最小值为_____．23.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（）A．2 B． C． D.324.如图，已知点P是半径为1的⊙A上一点，延长AP到C，使PC=AP，以AC为对角线作平行四边形ABCD．若AB=，则平行四边形ABCD面积的最大值为_________．25.如图，在Rt△AOB中，OA=OB=，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则PQ长度的最小值为_________．26.如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以C(0，1)为圆心，为半径的圆上一动点，连接PA，PB.则△PAB面积的最大值是__________．27.如图，边长为2的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接BM，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动的过程中，线段HN长度的最小值为_________．28.在菱形ABCD中，边长为2，∠B=60°．将△ACD绕点C旋转，当AC（即）与AB交于点E，CD（即）与AD交于点F时，点E，F和A构成△AEF，则△AEF周长的最小值为_________．29.如图，∠AOB=30°，点M，N分别在边OA，OB上，且OM=1，ON=3，点P，Q 分别在边OB，OA上，则MP+PQ+QN的最小值是_________．30.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. 若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，则点F的坐标为 . 31.如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD上的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是_________．32.如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，①当∠EAC=90°时，求PB的长；②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值。

专题10 几何最值问题【十二个基本问题】1．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂蚁爬行的最短路径长为（)A．错误!B．11cm C．13cm D．17cm第1题第2题第3题第4题2．已知圆锥的底面半径为r＝20cm,高h＝20，15cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A 出发．在侧面上爬行一周又回到A点，蚂蚁爬行的最短距离为________．3．如图,在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为(）A．2B．2.2C．2。

4D．2。

54．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值为（）A．10B．8C．5错误!D．65．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙）,有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角错误!处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当AB＝4，BC＝错误!＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．（3)在（2）的条件下，求点错误!到最短路径的距离．6．如图，已知P为∠AOB内任意一点，且∠AOB＝30°，点P1、错误!分别在OA、OB上，求作点错误!、错误!使错误!的周长最小，连接OP，若OP＝10cm，求错误!的周长．7．如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是________．第7题第8题第9题8．如图，在等腰Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,BC＝错误!点D是AC边上一动点,连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值为．9．如图,⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧错误!上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是()A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!10．如图,已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与一直线相交于A(－1，0),C(2,3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m)，求使MN＋MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF ∥BD交抛物线于点F,以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能,求点E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．11．如图，抛物线l交x轴于点A(－3，0)、B(1,0)，交y轴于点C（0，－3）．将抛物线l 沿y轴翻折得抛物线错误!．(1)求错误!的解析式；(2）在错误!的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点错误!及C两点的距离差最大，并说出理由；(3)平行于x轴的一条直线交抛物线错误!于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．12．(2016﹒朝阳）小颖在学习“两点之间线段最短"查阅资料时发现：△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．【特例】如图1，点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，从而有DE＝PC，连接PD得到PD＝P A，同时∠APB＋∠APD＝120°＋60°＝180°,∠ADP ＋∠ADE＝180°，即B、P、D、E四点共线，故P A＋PB＋PC＝PD＋PB＋DE＝BE．在△ABC 中，另取一点P′，易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等,可证明B、P′、D′、E四点不共线，所以P′A＋P′B＋P′C＞P A＋PB＋PC,即点P到三个顶点距离之和最小．13．问题提出（1)如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含a，b的式子表示）．问题探究(2）点A为线段BC外一动点，且BC=6，AB=3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段,请说明理由,并直接写出线段BE长的最大值．问题解决:(3）①如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P 为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求线段AM长的最大值及此时点P 的坐标．②如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°,BC=4错误!，若对角线BD⊥CD 于点D，请直接写出对角线AC的最大值．14．如图所示,已知抛物线y＝a(x＋3)（x－1)（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝错误!与抛物线的另一个交点为D．(1)若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；(2)若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；（3）在(1)的条件下，设点E是线段AD上的一点(不含端点)，连接BE．一动点Q从点B 出发,沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒错误!个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少?答案1．平面展开－－－最短路径问题解:如图所示：∵长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm．∴P A＝4＋2＋4＋2＝12（cm），QA＝5cm,∴PQ＝错误!＝13cm．故选：C．2．解：设扇形的圆心角为n，圆锥的顶为E，∵r＝20cm,h＝错误!∴由勾股定理可得母线l＝错误!＝80cm,而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π＝错误!∴n＝90°即△EAA′是等腰直角三角形，∴由勾股定理得：AA’＝错误!＝错误!．答:蚂蚁爬行的最短距离为错误!．故答案为：错误!．3．解：连接AP，∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴错误!＝错误!即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP,∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴EF的最小值为2。

QDDN32018吉林中考数学总复习动点问题??tan?QPD?4PDDM．3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，（因动点产生的等腰三角形问题练习BA3?C?tan?成绩：年班姓名4CA．所以∠QPD＝∠C在Rt△ABC．中，，于点ED＝8，点为边BC的中点，DE⊥BC交边ACABRt1.如图1，在△ABC中，∠A＝90°，＝6，AC由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ90上的一动点，点点P为射线ABQ为边AC上的一动点，且∠PDQ＝°．．因此△PDF ∽△CDQ．EC（1）求ED、的长；当△＝2，求CQ的长；PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．（2）若BP①如图5，当BPPQ（3）记线段与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求的长．CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．44453?PM?QN??BP?BMPM??3333．．所以此时CH5425?Ccos???CQ备用图图1 CQ285．，可得时，由，当②如图6QC＝QD ＝10．，所以，Rt解：（1）在△ABC中，AB＝6AC＝8BC15325725??5?CCDED??tan???4?EC 44848（如图在，．＝2所示）所以，所以QN＝CN－CQ．CDRt△CDE中，＝5 ⊥⊥作，过点）如图2DDMAB，DNAC是、N，那么DMDN、，垂足分别为M （272574???PM?3BP?BM?QNPM?＝，＝△ABC的两条中位线，DM4DN3．6663．．所以此时MDN＝90QDN．＝∠°，可得∠PDM°，∠＝由∠PDQ90③不存在DP＝．∽△因此△PDMQDN DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．4DMPM43??QNQNPMPM??3DNQN34．所以，．所以图5 图62.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（ 3 图图2 4图1）求抛物线的函数关系式；（2 ．1PM上时，BMP，2BP，当3①如图＝在＝）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的19333??CQ?4?QN?CN?PM?QN坐标；若不存在，请说明理由．4444此时．．所以PM的延长线上时，MB在，2＝BP，当4②如图P5＝．3115153??CN?CQ?QN4??PM?QN 4444此时．所以．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，3??a6)2a?(?2,??23)?23??(6．．解得，代入点B33232x4)???y??xx(x?366．所以抛物线的解析式为（3图1 ）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．＋，1)(x－3)1,0)x解：（1）因为抛物线与轴交于A(－、B(3, 0)两点，设y＝a(x y??23．．解得4时，OP2＝16．所以4+y2＝16①当OP＝OB＝1．＝3．解得a＝－3a代入点C(0 ,3)，得－．＋32x3)(x所以抛物线的函数关系式是y＝－＋1)(x－＝－x2＋(2,23)时，B、O、PP在三点共线（如图2）．当12（2）如图，抛物线的对称轴是直线x＝．PACPA上时，＋PC最小，△的周长最小．P当点落在线段BC223?2?y?y16??243)?(y 4时，BP2＝16．．所以．解得＝②当BPBO＝21．x设抛物线的对称轴与轴的交点为H PHBH?2222322y??y4y?(?23)??．解得＝③当PB＝PO时，PB2PO2．．所以COBO．BHPHCO，BO＝，得＝＝由2 所以点(1, 2)的坐标为．P3)2(2,?的坐标为所示．，如图2综合①、②、③，点P2图66? M3（）点的坐标为(1, 1)、(1,))(1,0)、(1,．或°至顺时针旋转O120OB的位置．绕点，将线段＝轴上，在，点如图3.1AxOA4OA的坐标；）求点（1B 、、OB的抛物线的解析式；）求经过（2A为顶点的三角形是等腰三角形？若，使得以点）在此抛物线的对称轴上，是否存在点3PPB、、O（存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．P3图图24x?y3 B．，且与x轴交于点74.如图1，已知一次函数y＝－x＋的图象交于点与正比例函数A 的坐标；A和点B（1）求点出OP从点，过点B作直线l//y轴．动点y（2）过点A作AC⊥轴于点C运动；同时直AC—A的路线向点—发，以每秒1个单位长的速度，沿O轴于x出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l1 图交l线从点BlP和直线P到达点A时，点．当点．C 轴，垂足为y⊥作B，过点）如图1（解：2BC或线段点R，交线段BAAO于点Q秒．都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t3OC?2 BOC中，∠OBC△在Rt，所以4＝OB2＝BC，．°，30＝？为顶点的三角形的面积为、AP、R8为何值时，以①当t的为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求、、②是否存在以APQt3)(?2,?2．的坐标为所以点B 值；若不存在，请说明理由．] [键入文字226图1 ?t43．412267,??x?y?438?时，△APQ是等腰三角形．或5 t综上所述，＝1或或3,x??4?,y?x??4.y?3??）解方程组．(3，4) 所以点A的坐标是得1解：（0?x?7y??7?x令．(7，0)．所以点B 的坐标是，得8S??S?SS?，得，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由（2）①如图2R△APRPO△△ACPA梯形COR 1118)?(7??t(4?4??t)??t（3+7?t)?42012?8tt??222．如（舍去）t＝6．解得t．整理，得＝2或图5 图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．图6图7为顶点的三角形的面积为＝因此，当t2时，以A、P、R8．5.如图1，在矩形ABCD中，AB＝m （m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？12?y m，要使△DEF（3为等腰三角形，）若m的值应为多少？4 图图2 3 图＜0≤t4．上运动时的情形，②我们先讨论P在OC2AB4?＞．因此∠OABOB，所以745AOB45AOB如图1，在△中，∠B＝°，∠＞°，OB＝＞，AB图．B 1＞∠AOB∠解：(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠，所以＝向由，点如图4POC运动的过程中，OPBR＝RQPQ//x轴．B＝90°，所以△°保持不变，∠＝因此∠AQP45PAQ越来越大，所以只存在∠APQ的情况．＝∠AQP m8?x18DCEB?2xx??y??．＝，＝＝＝的垂直平分线上，此时点A在PQOR2CA6．所以BR1t1yxmCEBFm．∽△EBFy．因此关于x，即的函数关系为．整理，得DCE ．＜上运动时的情形，CA4≤t7在我们再来讨论P2035511??tOROAOQOAAQ?????cosA?22?4)2??y??(xx?x?t7??AP3353中，在△APQ ．为定值，，88．因此当x＝4时，y时，取得最大值为2．，当(2)如图2m＝841205?t?tt7??833 AQAP，当5如图＝时，解方程，得．1218122?x??x?y24)]??7tt?()?2[(7t??8x?x12?0mmm m，QP当6如图，AP的垂直平分线上，PA在＝OP)－2(OR．解方程Q点时，＝QA．解得．整理，得x(3) ＝若2或，那么x＝6．要使△DEF5t?为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y ＝2代得．12121y?y?AQ3520mm2，得m＝2＝＝；将3入6m，得＝（如图）xy 6代入（如图4）．?2(7?)?tt??A?cos A?cos?AP2AQ?533AP，得，当7如PQ＝PA．因此时，那么．解方程3＝GM＝x，PM＝EG．＝在矩形EGMP中，EP．中，在平行四边形BMQEBM＝EQ＝1＋x ．所以BG＝PQ＝1 2PH与NM互相平分，PH＝2PQ＝．因为PM与NH平行且相等，所以73，PH ＝2，所以PN．在Rt△PNH中，NH＝＝4．在平行四边形ABMN中，MN＝AB＝4 图 3 图2图73的周长为．＋因此△PMN＋4BC＝AB4，交CD于点F，作是中，6.如图1，在等腰梯形ABCDAD//BC，EAB的中点，过点EEF//BC，∠B°．＝60＝6 到EBC的距离；（1）求点，⊥P（2）点为线段EF上的一个动点，过点P 作PMEF交BC于NM过作MN//AB交折线ADC于M，＝，设EPx．连结PN的周长；若的形状是否发生改变？若不变，求出△PMNPMN①当点N在线段AD上时（如图2），△改变，请说明理由；5图PMN）在线段②当点NDC上时（如图3，是否存在点P，使△为等腰三角形？若存在，请求出所有满图4恒为等边三角形．的值；若不存在，请说明理由．x DC②当点N在线段上时，△CMN足条件的的平分线上．关于直线PC对称，点P在∠DCB如图5，当PM＝PN时，△PMC与△PNC3．30°，所以MC＝在Rt△PCM中，PM3＝，∠PCM＝．的中点，x＝2、此时M、P分别为BCEF33＝5．－，x＝GM＝GC＝如图6，当MP＝MN时，MPMN＝MC－＝MC2 图1 图°．PNM＝120＝时，∠图3 NMP＝∠NPM30°，所以∠，当如图7NP＝NM1解：（）如图重合．P与F又因为∠FNM＝120 GBCEGE4，过点作⊥于．°，所以．＝4此时x12BEAB 32 60中，△Rt在BEG＝，∠B°，时，△PMN为等腰三角形．或5－综上所述，当x＝2或43BE?EG??60sin?1?60?cos?BEBG?．所以3所以点BC到E的距离为．是F的中点，所以是E，）因为2（AD//EF//BCABDC的中点．ABCD是梯形EF因此4＝的中位线，EF．8 7 的形状不是否发生改变．PMN上时，△AD在线段，当点4①如图N图6 图图于EF⊥NH作N过点交于点NM与PH，设HQ．] [键入文字。

专题04 函数的动点问题例1．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝9cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知△PAD的面积y（单位：cm 2）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，图②中a与b的和为___________．同类题型1.1 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）A． B．C．D．同类题型1.2如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A 出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．同类题型1.3 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，一个以点B为顶点的60°角绕点B旋转，这个角的两边分别与线段AD的延长线及CD的延长线交于点P、Q，设DP＝x，DQ＝y，则能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．例2．如图，等边△ABC 的边长为2cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿AC 向点C 运动，到达点C 停止；同时点Q 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB －BC 向点C 运动，到达点C 停止，设△APQ 的面积为y （cm 2），运动时间为x （s ），则下列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是 （ ）A ．B ．C ．D ． 同类题型2.1 如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE －ED －DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是2cm/s ．若P 、Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A ．AE ＝12cmB ．sin ∠EBC ＝74C ．当0＜t ≤8时，y ＝72t 2 D ．当t ＝9s 时，△PBQ 是等腰三角形 同类题型2.2 矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 从点B 出发以每秒2个单位长的速度沿BA －AD －DCD 的方向运动到C 点停止，动点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 方向运动到C 点停止，假设P 、两点同时出发，运动时间是t 秒，y ＝S △PBQ ，则y 与t 的函数图象大致是 （ ）A ．B ．C ．D ．同类题型2.3 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B →C →D 方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm/s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是（ ）A．B．C．D．例3．如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，P是对角线BE上一动点，过点P作直线l与BE垂直，动点P从B点出发且以1cm/s的速度匀速平移至E点．设直线l扫过正六边形ABCDEF区域的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），下列能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A． B．C． D．同类题型3.1 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l 从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．同类题型3.2（2015秋﹒荆州校级月考）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝16．点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ．设AP ＝x ，当△APQ 的面积为14 3 时，则x 的值为 （ ）A ．2 21B ．2 21 或14C ．2或2 21 或14D ．2或14同类题型3.3 如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴．直线y ＝－x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示，那么AD 的长为____________．例4．如图，△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，BC ＝2cm ，∠A ＝30°，四边形DEFG 为矩形，DE ＝2 3 cm ，EF ＝6cm ，且点C 、B 、E 、F 在同一条直线上，点B 与点E 重合．Rt △ABC 以每秒1cm 的速度沿矩形DEFG 的边EF 向右平移，当点C 与点F 重合时停止．设Rt △ABC 与矩形DEFG 的重叠部分的面积为y cm 2，运动时间xs ．能反映y cm 2与xs 之间函数关系的大致图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．同类题型4.1 如图，菱形ABCD 的边长为1，菱形EFGH 的边长为2，∠BAD ＝∠FEH ＝60°点C 与点E 重合，点A ，C （E ），G 在同一条直线上，将菱形ABCD 沿C ⇒G 方向平移至点A 与点G 重合时停止，设点C 、E 之间的距离为x ，菱形ABCD 与菱形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是 （ ）A． B．C．D．同类题型4.2 如图，等边△ABC的边AB与正方形DEFG的边长均为2，且AB与DE在同一条直线上，开始时点B与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点B与点E重合为止，设BD的长为x，△ABC与正方形DEFG重叠部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．同类题型4.3 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F⇒H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．参考答案例1．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝9cm，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→A的方向移动，直到点P到达点A后才停止．已知△PAD的面积y（单位：cm 2）与点P移动的时间x（单位：s）之间的函数关系如图②所示，图②中a与b的和为___________．解：由图②可知点P从A点运动到B点的时间为10s，又因为P点运动的速度为1cm/s，所以AB＝10×1＝10（cm），由AD＝9可知点P在边BC上的运动时间为9s，所以a＝10＋9＝19；分别过B点、C两点作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．由图②知S△ABD＝36，则12×9×BE＝36，解得BE＝8，在直角△ABE中，由勾股定理，得AE＝AB 2－BE2＝6．易证△BAE≌△CDF，则BE＝CF＝8，AE＝DF＝6，AF＝AD＋DF＝9＋6＝15．在直角△ACF中，由勾股定理，得CA＝AF 2＋CF2＝17，则点P在CA边上从C点运动到A点的时间为17s，所以b＝19＋17＝36，a＋b＝19＋36＝55．同类题型1.1 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（）A ．B ．C ．D ．解：∵AE ⊥EF ，∴∠AEB ＋∠FCE ＝90°∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠C ＝90° AB ＝BC ＝4， ∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°，∴∠BAE ＝∠FCE ， ∴△ABE ∽△ECF ，∴AB EC ＝BEFC， ∵BE ＝x ，FC ＝y ，∴EC ＝4－x ，则有44－x ＝xy，整理后得y ＝－14x 2 ＋x 配方后得到y ＝－14（x －2）2＋1从而得到图象为抛物线，开口朝下，顶点坐标为（2，1）． 选C ．同类题型1.2如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，动点P 从点A 出发，沿路径A →D →C →E 运动，则△APE 的面积y 与点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3， ∴CD ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝3，∵点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，∴CE ＝23×3＝2，①点P 在AD 上时，△APE 的面积y ＝12x ﹒2＝x （0≤x ≤3），②点P 在CD 上时，S △APE ＝S _(梯形AECD )－S _(△ADP )－S _(△CEP )， ＝12（2＋3）×2－12×3×（x －3）－12 ×2×（3＋2－x ）， ＝5－32x ＋92 －5＋x ，＝－12x ＋92，∴y ＝－12x ＋92（3＜x ≤5），③点P 在CE 上时，S △APE ＝12×（3＋2＋2－x ）×2＝－x ＋7，∴y ＝－x ＋7（5＜x ≤7）， 选A ．同类题型1.3 如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝60°，一个以点B 为顶点的60°角绕点B 旋转，这个角的两边分别与线段AD 的延长线及CD 的延长线交于点P 、Q ，设DP ＝x ，DQ ＝y ，则能大致反映y 与x 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠ADB ＝∠BDC ＝60°， ∴∠BDQ ＝∠BDP ＝120°， ∵∠QBP ＝60°， ∴∠QBD ＝∠PBC ， ∵AP ∥BC ， ∴∠P ＝∠PBC ， ∴∠QBD ＝∠P ， ∴△BDQ ∽△PDB ， ∴DQ BD ＝BD PD ，即y 2＝2x ， ∴xy ＝4，∴y 与x 的函数关系的图象是双曲线， 选A ．例2．如图，等边△ABC 的边长为2cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿AC 向点C 运动，到达点C 停止；同时点Q 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB －BC 向点C 运动，到达点C 停止，设△APQ 的面积为y （cm 2），运动时间为x （s ），则下列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题得，点Q 移动的路程为2x ，点P 移动的路程为x ， ∠A ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝2，①如图，当点Q 在AB 上运动时，过点Q 作QD ⊥AC 于D ，则 AQ ＝2x ，DQ ＝ 3 x ，AP ＝x ，∴△APQ 的面积y ＝12×x ×3x ＝32x 2（0＜x ≤1），即当0＜x ≤1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故A 、B 排除；②如图，当点Q 在BC 上运动时，过点Q 作QE ⊥AC 于E ，则CQ ＝4－2x ，EQ ＝23－ 3 x ，AP ＝x ，∴△APQ 的面积y ＝12×x ×（23－3x ）＝－32x 2＋ 3 x （1＜x ≤2），即当1＜x ≤2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故C 排除，而D 正确； 选D ．同类题型2.1 如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上的一点，点P 从点B 沿折线BE －ED －DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是2cm/s ．若P 、Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），已知y 与t 的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（ ）A ．AE ＝12cmB ．sin ∠EBC ＝74C ．当0＜t ≤8时，y ＝72t 2 D ．当t ＝9s 时，△PBQ 是等腰三角形解：A 、分析函数图象可知，当点Q 到达点C 时，点P 到达点E 处， ∴BC ＝BE ＝2×8＝16cm ，ED ＝2×2＝4cm ，∴AE ＝AD －ED ＝BC －ED ＝16－4＝12cm ，故A 正确； B 、作EF ⊥BC 于点F ，如图，由函数图象可知，BC ＝BE ＝16cm ，BF ＝AE ＝12cm ， 由勾股定理得，EF ＝47 cm ，∴sin ∠EBC ＝EF BE ＝4716＝74，故B 正确；C 、作PM ⊥BQ 于点M ，如图，∵BQ ＝BP ＝2t ，∴y ＝S △BPQ ＝12BQ ﹒PM ＝12BQ ﹒BP ﹒sin ∠EBC ＝12×2t ﹒2t ﹒74＝72t 2．故C 正确；D 、当t ＝9s 时，点Q 与点C 重合，点P 运动到ED 的中点，设为N ，如图所示，连接NB ，N C ． 此时AN ＝14，ND ＝2，由勾股定理求得：NB ＝211 ，NC ＝229 ， ∵BC ＝16，∴△BCN 不是等腰三角形，即此时△PBQ 不是等腰三角形．故D 错误； 选D ．同类题型2.2 矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，动点P 从点B 出发以每秒2个单位长的速度沿BA －AD －DCD 的方向运动到C 点停止，动点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 方向运动到C 点停止，假设P 、两点同时出发，运动时间是t 秒，y=S △PBQ ，则y 与t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 解：①当0＜t ≤3时，△PBQ 是Rt △，y ＝12×t ×2t ＝t 2；②当3＜t ≤7时，y ＝12 ×t ×6＝3t ；③当7＜t ≤8时，y ＝12t （20－2t ）＝－t 2＋10t ；④当8＜t ≤10时，y ＝12×8（20－2t ）＝80－8t ；观察各选项可知，y 与t 的函数图象大致是选项D ． 选D ．同类题型2.3 如图，矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B →C →D 方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm/s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是（ ）A ．B ．C ．D ． 解：∵矩形ABCD 中，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，AC 与BD 交于点O ，∴点O 到BC 的距离＝12 AB ＝4，到CD 的距离＝12AD ＝6，∵点M 是BC 的中点，∴CM ＝12BC ＝6，∴点Q 到达点C 的时间为6÷1＝6秒， 点P 到达点C 的时间为12÷1＝12秒，点Q 到达点D 的时间为（6＋8）÷1＝14秒， ①0≤t ≤6时，点P 、Q 都在BC 上，PQ ＝6，△OPQ 的面积＝12×6×4＝12；②6＜t ≤12时，点P 在BC 上，点Q 在CD 上， C P ＝12－t ，CQ ＝t －6，S △OPQ ＝S △COP ＋S △COQ －S △PCQ ， ＝12×（12－t ）×4＋12×（t －6）×6－12 ×（12－t ）×（t －6）， ＝12t 2－8t ＋42， ＝12（t －8）2＋10， ③12＜t ≤14时，PQ ＝6，△OPQ 的面积＝12×6×6＝18；纵观各选项，只有B 选项图形符合． 选B ．例3．如图，正六边形ABCDEF 的边长为6cm ，P 是对角线BE 上一动点，过点P 作直线l 与BE 垂直，动点P 从B 点出发且以1cm/s 的速度匀速平移至E 点．设直线l 扫过正六边形ABCD EF 区域的面积为S （cm 2），点P 的运动时间为t （s ），下列能反映S 与t 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 解：由题意得：BP ＝t ，如图1，连接AC ，交BE 于G ，Rt △ABG 中，AB ＝6，∠ABG ＝60°， ∴∠BAG ＝30°，∴BG ＝12 AB ＝3，由勾股定理得：AG ＝62－32＝3 3 ， ∴AC ＝2AG ＝6 3 ，当0≤t ≤3时，PM ＝ 3 t ， ∴MN ＝2 3 t ，S ＝S △BMN ＝12MN ﹒PB ＝12﹒3t 2＝32t 2 ，所以选项A 和B 不正确；如图2，当9≤t ≤12时，PE ＝12－t ，∵∠MEP ＝60°， ∴tan ∠MEP ＝PM PE，∴PM ＝ 3 （12－t ）， ∴MN ＝2PM ＝2 3 （12－t ），∴S ＝S _(正六边形)－S _(△EMN )，＝2×12（AF ＋BE ）×AG －12MN ﹒PE ，＝（6＋12）×33－12×2 3 （12－t ）（12－t ），＝543－3（144－24t ＋t 2），＝－3t 2＋243t －90 3 ， 此二次函数的开口向下，所以选项C 正确，选项D 不正确； 选C ．同类题型3.1 如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t （秒），下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：①当0≤t ≤4时，S ＝12×t ×t ＝12t 2 ，即S ＝12t 2．该函数图象是开口向上的抛物线的一部分． 故B 、C 错误；②当4＜t ≤8时，S ＝16－12×（8－t ）×（8－t ）＝－12t 2＋8t －16．该函数图象是开口向下的抛物线的一部分． 故A 错误． 选D ．同类题型3.2（2015秋﹒荆州校级月考）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝16．点P 是斜边AB 上一点．过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ．设AP ＝x ，当△APQ 的面积为14 3 时，则x 的值为（ ） A ．2 21 B ．2 21 或14 C ．2或2 21 或14 D ．2或14解：当点Q 在AC 上时， ∵∠A ＝30°，AP ＝x ，∴PQ ＝x tan30°＝33x ，∴S ＝12×AP ×PQ ＝12×x ×33＝36x 2＝14 3解得：x ＝221 或x ＝－221 （舍去）， 当点Q 在BC 上时，如下图所示：∵AP ＝x ，AB ＝16，∠A ＝30°， ∴BP ＝16－x ，∠B ＝60°，∴PQ ＝BP ﹒tan60°＝ 3 （16－x ）．∴S ＝12AP ×PQ ＝32x 2＋83x ＝14 3 ，解得：x ＝2（舍去）或x ＝14． 选B ．同类题型3.3 如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴．直线y ＝－x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示，那么AD 的长为____________．解：①当AB ＞4时如图1，由图可知：OE ＝4，OF ＝8，DG ＝3 2 ， ∴EF ＝AG ＝OF －OE ＝4 ∵直线解析式为：y ＝－x ∴∠AGD ＝∠EFD ＝45° ∴△AGD 是等腰直角三角形∴DH ＝GH ＝22DG ＝22×3 2 ＝3，∴AH ＝AG －GH ＝4－3＝1，∴AD ＝DH 2＋AH 2＝32＋12＝10 ； ②当AB ＝4时，如图2，由图可知：OI ＝4，OJ ＝8，KB ＝3 2 ，OM ＝9， ∴IJ ＝AB ＝4，IM ＝AN ＝5， ∵直线解析式为：y ＝－x ， ∴△KLB 是等腰直角三角形，∴KL ＝BL ＝22KB ＝3，∵AB ＝4，∴AL ＝AB －BL ＝1， T 同①得，DM ＝MN ， ∴过K 作KM ∥IM ， ∴tan ∠DAN ＝KL AL＝3， ∴AM ＝DM tan ∠DAN ＝DM3，∴AN ＝AM ＋MN ＝43 DM ＝5，∴DM ＝MN ＝154，∴AM ＝AN －MN ＝5－154＝54 ，∴AD ＝AM 2＋DM 2＝5104，故答案为10 或5104．例4．如图，△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，BC ＝2cm ，∠A ＝30°，四边形DEFG 为矩形，DE ＝2 3 cm ，EF ＝6cm ，且点C 、B 、E 、F 在同一条直线上，点B 与点E 重合．Rt △ABC 以每秒1cm 的速度沿矩形DEFG 的边EF 向右平移，当点C 与点F 重合时停止．设Rt △ABC 与矩形DEFG 的重叠部分的面积为y cm 2，运动时间xs ．能反映y cm 2与xs 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：已知∠C ＝90°，BC ＝2cm ，∠A ＝30°， ∴AB ＝4，由勾股定理得：AC ＝2 3 ，∵四边形DEFG 为矩形，∠C ＝90，∴DE ＝GF ＝2 3 ，∠C ＝∠DEF ＝90°， ∴AC ∥DE ，此题有三种情况：（1）当0＜x ＜2时，AB 交DE 于H ， 如图∵DE ∥AC ， ∴EH AC ＝BE BC ， 即EH 23＝x ﹒12 ，解得：EH ＝ 3 x ， 所以y ＝12﹒3x ﹒x ＝32x 2，∵x y 之间是二次函数，所以所选答案C 错误，答案D 错误，∵a ＝32＞0，开口向上；（2）当2≤x ≤6时，如图，此时y ＝12×2×23＝2 3 ，（3）当6＜x ≤8时，如图，设△ABC 的面积是s 1 ，△FNB 的面积是s 2 ，BF ＝x －6，与（1）类同，同法可求FN ＝3X －6 3 ， ∴y ＝s 1－s 2 ， ＝12×2×23－12×（x －6）×（3X －6 3 ）， ＝－32x 2＋63x －16 3 ， ∵-32＜0， ∴开口向下，所以答案A 正确，答案B 错误， 选A ．同类题型4.1 如图，菱形ABCD 的边长为1，菱形EFGH 的边长为2，∠BAD ＝∠FEH ＝60°点C 与点E 重合，点A ，C （E ），G 在同一条直线上，将菱形ABCD 沿C ⇒G 方向平移至点A 与点G 重合时停止，设点C 、E 之间的距离为x ，菱形ABCD 与菱形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由菱形ABCD 、EFGH 边长为1，2可得：AC ＝2AB ×sin30°＝ 3 ，EG ＝2 3（1）当菱形ABCD 移动到点A 与点E 重合的过程，即0≤x ≤ 3 时，重合部分的菱形的两条对角线长度分别为：x ，2×x 2×tan30°＝3x3∴y ＝12﹒x ﹒3x 3＝36x 2（2）当菱形ABCD 移动到点C 与点G 重合的过程，重合部分的菱形面积不变，即3＜x ≤2 3 时，y ＝S 菱形ABCD ＝12×1×3＝32； （3）当菱形ABCD 移动到点A 与点G 重合的过程，即23＜x ≤33时，重合部分的菱形的两条对角线长度分别为： 3 －x ，2×3－x 2×tan30°＝3(3－x )3y ＝12×（3－x ）×3(3－x )3＝36（3－x ）2． 由（1）（2）（3）可以看出图象应该是y ＝36x 2 图上像0≤x ≤ 3 时的部分，y ＝32图象上3＜x ≤2 3 时的部分，y ＝36（3－x ）2图象上23＜x ≤33时的部分组成． 选D ．同类题型4.2 如图，等边△ABC 的边AB 与正方形DEFG 的边长均为2，且AB 与DE 在同一条直线上，开始时点B 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点B 与点E 重合为止，设BD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分（图中阴影部分）的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：设BD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ，当B 从D 点运动到DE 的中点时，即0≤x ≤1时，y ＝12×x ×3x ＝32x 2．当B 从DE 中点运动到E 点时，即1＜x ≤2时，y ＝3－12（2－x ）×3（2－x ）＝－32x 2＋23x － 3由函数关系式可看出D 中的函数图象与所求的分段函数对应． 选D ．同类题型4.3 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F ⇒H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：DF ＝x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为yy ＝12DF 2＝12x 2（0≤x ＜ 2 ）；②y ＝1（2≤x ＜2 2 ）；③∵BH ＝3 2 －x ∴y ＝12BH 2＝12x 2－32x ＋9（22≤x ＜3 2 ）．综上可知，图象是选B ．。