2019-2020学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学八年级下学期期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分）1．（3分）抛物线y＝x2+4x+7的对称轴是（）A．直线x＝4B．直线x＝﹣4C．直线x＝2D．直线x＝﹣2 2．（3分）函数y＝kx与y＝﹣kx+k的大致图象是（）A．B．C．D．3．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的周长为（）A．20B．21C．14D．74．（3分）关于二次函数y＝2（x﹣2）2+5，下列说法错误的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0，13）B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大D．当x＝2时，函数有最小值为55．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，，AD＝4，AC⊥BC，则△DBC比△ABCA．2B．4C．5D．6．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（）A．10B．9C．8D．77．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC 边的中点，BD＝10，AC＝6，则OE的长为（）A．1.5B．2C．2.5D．38．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是y轴正半轴上的一点，当∠CAO＝2∠BAO时，则点C的纵坐标是（）A．2B．C．D．9．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且CE＝CD，连接DE，若AB＝5，AC＝8，则＝（）A．B．C．D．10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，A．B．C．D．011．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝4，AF＝6，则AC的长为（）A．4B．6C．2D．12．（3分）表中所列x，y的7对值是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7x…x1x2x3x4x5x6x7…y…7m14k14m7…根据表中提供的信息，有以下4个判断：①a＜0；②7＜m＜14；③当x＝时，y的值是k；④b2≥4a（c﹣k）其中判断正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二.填空题（共6小题，每小题3分）13．（3分）一次函数y＝kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则的值是．14．（3分）若将抛物线y＝x2+x先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线所对应的函数解析式为．15．（3分）设α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的两根，则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝．16．（3分）已知a＜0，当1≤x≤3时，函数y＝2x2﹣3ax+4的最小值为12，则a＝．17．（3分）已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a＝0的两根都是整数，则a的值等于．18．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝18cm，∠A＝60°，点E以2cm/s的速度沿AB 边由A向B匀速运动，同时点F以4cm/s的速度沿CB边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当△DEF为等边三角形时，t的值为．三、解答题（共7小题）19．（16分）解下列方程（需要写文字过程）：（1）2x2﹣4x﹣1＝0；（2）（x+1）2＝6x+6；（3）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣8＝0；（4）x2+3x＝0．20．（8分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE∥BC交AB于点E，作DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，CD＝，求DE的长．21．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）．（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n＝4，求点P的坐标．22．（8分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）每件童装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．（2）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．23．（8分）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．24．（8分）阅读下列材料：已知实数x，y满足（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝63，试求x2+y2的值．解：设x2+y2＝a，则原方程变为（a+1）（a﹣1）＝63，整理得a2﹣1＝63，a2＝64，根据平方根意义可得a＝±8，由于x2+y2≥0，所以可以求得x2+y2＝8．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的．根据阅读材料内容，解决下列问题：（1）已知实数x，y满足（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）＝27，求x+y的值．（2）填空：①分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝．②已知关于x，y的方程组的解是，关于x，y的方程组的解是．25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣4，0）和点B两点，与y 轴交于点C，抛物线的对称轴是x＝﹣1与x轴交于点D．（1）求拋物线的函数表达式；（2）若点P（m，n）为抛物线上一点，且﹣4＜m＜﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线的对称轴x＝﹣1于点E，作PF⊥x轴于点F，得到矩形PEDF，求矩形PEDF周长的最大值；（3）点Q为抛物线对称轴x＝﹣1上一点，是否存在点Q，使以点Q，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分）1．【解答】解：因为a＝1，b＝4，c＝7，所以对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝﹣2，故选：D．2．【解答】解：A、由y＝kx的图象知k＞0，则﹣k＜0，所以y＝﹣kx+k的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意．B、由y＝kx的图象知k＞0，则﹣k＜0，所以y＝﹣kx+k的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意．C、由y＝kx的图象知k＜0，则﹣k＞0，所以y＝﹣kx+k的图象经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意．D、由y＝kx的图象知k＞0，则﹣k＜0，所以y＝﹣kx+k的图象经过第一、二、四象限，故本选项符合题意．故选：D．3．【解答】解：当点E在AB段运动时，y＝BC×BE＝BC•x，为一次函数，由图2知，AB＝3，当点E在AD上运动时，y＝×AB×BC，为常数，由图2知，AD＝3，故矩形的周长为7×2＝14，故选：C．4．【解答】解：A、y＝2（x﹣2）2+5＝2x2﹣8x+13，则图象与y轴的交点坐标为（0，13），原题说法正确，故此选项不合题意；B、对称轴为x＝2，图象的在y轴的右侧，原题说法正确，故此选项不合题意；C、a＝2，开口向上，对称轴为x＝2，则当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，原题说法错误，故此选项符合题意；D、顶点坐标为（2，5），开口向上，则当x＝2时，函数有最小值为5，原题说法正确，故此选项不合题意；故选：C．5．【解答】解：在▱ABCD中，∵AB＝CD＝2cm，AD＝BC＝4cm，AO＝CO，BO＝DO，∵AC⊥BC，∴AC＝＝6cm，∴OC＝3cm，∴BO＝＝5cm，∴BD＝10cm，∴△DBC的周长﹣△ABC的周长＝BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC）＝BD﹣AC＝10﹣6＝4cm，故选：B．6．【解答】解：∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，∴x12﹣3x1+1＝0，∴x12＝3x1﹣1，∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝1，∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．故选：D．7．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝10，AC＝6，∴OA＝3，OB＝5，AB∥DC，∵∠OCD＝90°，∴∠BAO＝90°，∴AB＝，∵E是BC边的中点，OA＝OC，∴2OE＝AB，∴OE＝2，故选：B．8．【解答】解：设点C的坐标为（0，c），作BD⊥AC于点D，∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，∴点A（﹣2，0），点B（0，1），∴OA＝2，OB＝1，∵∠CAO＝2∠BAO，∴AB平分∠OAC，∴BD＝OB＝1，＝，∵S△ABC∴，解得，c＝，即点C的纵坐标是，故选：D．9．【解答】解：连接BD交AC于点O，∵AB＝CD＝AD＝5，∴CD＝CE＝5，∵AC＝8，∴AE＝3，OC＝4，OE＝1，在Rt△CDO中，由勾股定理可知：DO＝3，在Rt△DOE中，由勾股定理可知：DE＝，∴＝，故选：B．10．【解答】解：∵x1+x2＝4，∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，∴x2＝，把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，解得：m＝，故选：A．11．【解答】解：如图，连接AE，设EF与AC交点为O，∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，AE＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE＝6，∴AE＝CE＝6，BC＝BE+CE＝4+6＝10，∴AB＝＝＝2，∴AC＝＝＝2，故选：C．12．【解答】解：∵x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，其对应的函数值是先增大后减小，∴抛物线开口向下，∴a＜0，①符合题意；∴7＜m＜14＜k，∴7＜m＜14，②符合题意；根据图表中的数据知，只有当x＝是抛物线的对称轴，抛物线的顶点坐标纵坐标不一定是k，故③不符合题意；∵≥k，a＜0，∴4ac﹣b2≤4ak，∴b2≥4a（c﹣k），④符合题意．综上，可得判断正确的是：①②④．故选：B．二.填空题（共6小题，每小题3分）13．【解答】解：当k＞0时，此函数是增函数，∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，∴当x＝1时，y＝3；当x＝4时，y＝6，∴，解得，∴＝2；当k＜0时，此函数是减函数，∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，∴当x＝1时，y＝6；当x＝4时，y＝3，∴，解得，∴＝﹣7．故答案为：2或﹣7．14．【解答】解：抛物线y＝x2+x先向右平移1个单位长度，得：y＝（x﹣1）2+（x﹣1）＝x2﹣x；再向下平移2个单位长度，得：y＝x2﹣x﹣2．故答案为y＝x2﹣x﹣2．15．【解答】解：∵α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的两实数根，∴α2+2013α﹣2＝0，β2+2013β﹣2＝0，α+β＝﹣2013，αβ＝﹣2，则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝（α2+2013α﹣2+3α+1）（β2+2013β﹣2+3β+1）＝（3α+1）（3β+1）＝9αβ+3（α+β）+1＝﹣18﹣6039+1＝﹣6056．故答案为：﹣6056．16．【解答】解：函数的对称轴为x＝，∵a＜0，∴＜0，∴当1≤x≤3时，函数的最小值为2﹣3a+4，∴6﹣3a＝12，∴a＝﹣2，故答案为﹣2．17．【解答】解：设两个根为x1≥x2，由韦达定理得，从上面两式中消去a得x1x2+x1+x2＝6，∴（x1+1）（x2+1）＝7，∴或，∴或，∴a＝x1x2＝0或16．故答案为：0或16．18．【解答】解：连接BD．如图：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴AD＝CD＝BC＝AB＝18，△ADB，△BDC都是等边三角形，∴AD＝BD，∠ADB＝∠DBF＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝60°，∴∠ADB＝∠EDF，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴AE＝BF，∴2t＝18﹣4t，∴t＝3，故答案为：3s．三、解答题（共7小题）19．【解答】解：（1）2x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，∴△＝16+8＝24＞0，∴x＝，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）（x+1）2＝6x+6，（x+1）2﹣6（x+1）＝0，（x+1）（x﹣5）＝0，∴x+1＝0或x﹣5＝0，∴x1＝﹣1，x2＝5；（3）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣8＝0，[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+2]＝0，∴（x﹣5）（x+1）＝0，∴x1＝5，x2＝﹣1；（4）x2+3x＝0，x（x+3）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣3．20．【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝ED，∴BE＝DE，同理可得：BF＝DF，∵∠EBD＝∠EDB，∠FBD＝∠FDB，∴∠EBD＝∠BDF，∠EDB＝∠DBF，∴BE∥DF，DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，且BE＝DE，∴四边形BEDF是菱形；（2）过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形BEDF是菱形，∴BF＝DF＝DE，EF垂直平分BD，∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝15°，∴∠DFH＝30°，且DH⊥BC，∴DH＝DF，FH＝DH，∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠CDH＝45°，∴DH＝CH＝，∴FC＝FH+CH＝，∴DF＝2，∴DE＝2．21．【解答】解：设解析式为：y＝kx+b，将（1，0），（0，2）代入得：，解得：，∴这个函数的解析式为：y＝﹣2x+2；（1）把x＝﹣2代入y＝﹣2x+2得，y＝6，把x＝3代入y＝﹣2x+2得，y＝﹣4，∴y的取值范围是﹣4≤y＜6．（2）∵点P（m，n）在该函数的图象上，∴n＝﹣2m+2，∵m﹣n＝4，∴m﹣（﹣2m+2）＝4，解得m＝2，n＝﹣2，∴点P的坐标为（2，﹣2）．22．【解答】解：（1）设每件童装降价x元，则销售量为（20+2x）件，根据题意得：（120﹣80﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．∵要让利于顾客，∴x＝20．答：每件童装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．（2）设每件童装降价y元，则销售量为（20+2y）件，根据题意得：（120﹣80﹣y）（20+2y）＝2000，整理得：y2﹣30y+600＝0．∵△＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0，∴该方程无解，∴不可能每天盈利2000元．23．【解答】解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）∴由上两式解得∴抛物线的解析式为：；（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝把x＝代入，得y＝4则点C坐标为（，4）设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，解得∴AB解析式为：∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）抛物线的对称轴l于直线AB交于点D∴设点D的坐标为D将点D代入，解得m＝2∴点D坐标为，∴CD＝CE﹣DE＝2过点B作BF⊥l于点F∴BF＝OE＝∵BF+AE＝OE+AE＝OA＝∴S＝S△BCD+S△ACD＝CD•BF+CD•AE△ABC∴S＝CD（BF+AE）＝×2×＝△ABC24．【解答】解：（1）设2x+2y＝a，则原方程变为（a+3）（a﹣3）＝27，整理，得：a2﹣9＝27，即a2＝36，解得：a＝±6，则2x+2y＝±6，∴x+y＝±3；（2）①令a＝x2+4x+3，则原式＝a（a+2）+1＝a2+2a+1＝（a+1）2＝（x2+4x+4）2＝（x+2）4；②由方程组得，整理，得：，∵方程组的解是，∴方程组的解是：∴x﹣1＝±3，且y＝5，解得：或，故答案为：（x+2）4，或．25．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，b＝﹣2，∴y＝﹣x2﹣2x+c，把A（﹣4，0）代入得：﹣16+8+c＝0，∴c＝8，∴拋物线的函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+8；（2）∵点P（m，n）为抛物线上一点，且﹣4＜m＜﹣1，如图1，∴n═﹣m2﹣2m+8，∵四边形PEDF是矩形，∴矩形PEDF的周长＝2PE+2PF＝2（﹣1﹣m）+2（﹣m2﹣2m+8）＝﹣2m2﹣6m+14＝﹣2（m+）2+，∵﹣2＜0，∴当m＝﹣时，矩形PEDF的周长有最大值是；（3）存在点Q，使以点Q，B，C为顶点的三角形是直角三角形，∵点Q为抛物线对称轴x＝﹣1上一点，∴设Q（﹣1，y），由对称得：B（2，0），∵C（0，8），∴QB2＝（2+1）2+y2＝9+y2，QC2＝（﹣1）2+（y﹣8）2＝1+（y﹣8）2，BC2＝22+82＝4+64＝68，分三种情况：①当∠QCB＝90°时，QB是斜边，∴QB2＝QC2+BC2，∴9+y2＝1+（y﹣8）2+68解得：y＝∴Q（﹣1，）；②当∠QBC＝90°时，QC是斜边，∵QC2＝BC2+QB2，∴1+（y﹣8）2＝68+9+y2，解得：y＝﹣，∴Q（﹣1，﹣）；③当∠BQC＝90°时，BC是斜边，∵BC2＝BQ2+QC2，∴68＝1+（y﹣8）2+9+y2，解得：y＝4±，∴Q（﹣1，4+）或（﹣1，4﹣）；综上，点Q的坐标是（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，4+）或（﹣1，4﹣）．。

湖南省2019-2020年八年级下学期期中测试数学试卷时间：120分钟 总分：90分一、选择题（每小题3分，共30分）1.如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为（ ） A.2 B.4 C.6 D.82.顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是( )A.梯形B.矩形C.菱形D.平行四边形3.下列说法中正确的是（ ）A.已知c b a ,,是三角形的三边长，则222c b a =+B.在直角三角形中，两边长的平方和等于第三边长的平方C.在Rt△ABC 中，若∠C=90°，则222c b a =+D.在Rt△ABC 中，若∠A=90°，则222c b a =+4、在平面直角坐标系中，点A （2,3）与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标为（ ）A.（3，2）B.（－2，－3）C.（－2，3）D.(2，－3)5、均匀地向一个如图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度h 随时间t 变化的函数图象大致是 ( )6，给出下列命题，其中错误命题的个数是（ ）①四条边相等的四边形是正方形； ②两组邻边分别相等的四边形是平行四边形； ③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④矩形、线段都是轴对称图形. A.1 B.2 C.3 D.4 7、能够判定一个四边形是矩形的条件是（ ）。

A ．对角线互相平分且相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线相等且互相垂直 D.对角线互相垂直8、一个多边形的内角和为14400，则这个多边形的边数为（ ）：A 、11；B 、10；C 、9；D 、8； 9、下列函数中，y 随x 的增大而减少的函数是（ ）A ．y ＝2x ＋8B ．y ＝－2＋4xC ．y ＝－2x ＋8D ．y ＝4xABCD10、已知一次函数的图象经过点(0，3)和（－2，0），那么直线必经过点( )A ．(4，6)B ．（－4，－3) C.(6，9) D.(－6，6) 二、填空题（每题3分,共30分）11，八边形的外角和是 012、平行四边形的两邻边分别为3、4，则其周长为_________.13，点A （a,-5）和点B （-2，b ）关于y 轴对称，则a+b= ；14，将点P(-3，4)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q ，则点Q 的坐标是（ ）.15，三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，它的最大边等于16cm ，则最小边长是___________cm 。

2019-2020学年湖南省长沙市天心区湘郡培粹实验中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分）1. 抛物线y ＝x 2+4x +7的对称轴是（ ）A. 直线x ＝4B. 直线x ＝﹣4C. 直线x ＝2D. 直线x ＝﹣2 【答案】D【解析】【分析】利用对称轴计算公式可得答案．【详解】解：因为a ＝1，b ＝4，c ＝7，所以对称轴是直线x ＝﹣2b a ＝﹣42＝﹣2， 故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴直线x ＝﹣2b a． 2. 函数y ＝kx 与y ＝﹣kx +k 的大致图象是（ ） A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据k 的取值范围，分别讨论k ＞0和k ＜0时的情况，然后根据正比例函数和一次函数图象的特点进行选择正确答案．【详解】解：A 、由y ＝kx 的图象知k ＞0，则﹣k ＜0，所以y ＝﹣kx +k 的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意．B、由y＝kx的图象知k＞0，则﹣k＜0，所以y＝﹣kx+k的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意．C、由y＝kx的图象知k＜0，则﹣k＞0，所以y＝﹣kx+k的图象经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意．D、由y＝kx的图象知k＞0，则﹣k＜0，所以y＝﹣kx+k的图象经过第一、二、四象限，故本选项符合题意．故选：D．本题主要考查了一次函数的图象，准确判断是解题的关键．3. 如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的周长为（）A. 20B. 21C. 14D. 7【答案】C【解析】【分析】分点E在AB段运动、点E在AD段运动时两种情况，分别求解即可．【详解】解：当点E在AB段运动时，y＝12BC×BE＝12BC•x，为一次函数，由图2知，AB＝3，当点E在AD上运动时，y＝12×AB×BC，为常数，由图2知，AD＝4，故矩形的周长为7×2＝14，故选C．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到一次函数、图形面积计算等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．4. 关于二次函数y＝2(x－2)2＋5，下列说法错误的是（）A. 图象与y 轴的交点坐标为（0，13）B. 图象的对称轴在y 轴的右侧C. 当x >0时，y 的值随x 值的增大而增大D. 当x=2时，函数有最小值为5【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象及性质逐一判断即可．【详解】A ． 当x=0时，y=13，所以图象与y 轴的交点坐标为（0，13），故本选项正确；B ． 二次函数图象的对称轴为直线x=2，所以图象的对称轴在y 轴的右侧，故本选项正确；C ． 当0＜x ＜2时，y 的值随x 值的增大而减小，故本选项错误；D ． 当x=2时，函数有最小值为5，故本选项正确．故选C ．【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．5. 如图，在ABCD 中，213AB =，4=AD ，AC BC ⊥，则DBC △比ABC 的周长长( )A. 2B. 4C. 5 13【答案】B【解析】【分析】 根据平行四边形的性质得到AB=CD=213cm ，AD=BC=4cm ，AO=CO ，BO=DO ，根据勾股定理得到OC=3cm ，BD=10cm ，于是得到结论．【详解】解：如图，在▱ABCD中，∵13，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，∵AC⊥BC，∴22AB BC-=6cm，∴OC=3cm，∴22OC BC+，∴BD=10cm，∴△DBC的周长-△ABC的周长=BC+CD+BD-(AB+BC+AC)=BD-AC=10-6=4cm，故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．6. 一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】D【解析】【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到x12=3x1-1，则x12+3x2+x1x2-2=3（x1+x2）+x1x2-3，接着利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=1，然后利用整体代入的方法计算．【详解】∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，∴x12﹣3x1+1＝0，∴x12＝3x1﹣1，∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝1，∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．故选D．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x 1x 2=c a ． 7. 如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且∠OCD ＝90°．若E 是BC 边的中点，BD ＝10，AC ＝6，则OE 的长为（ ）A. 1.5B. 2C. 2.5D. 3【答案】B【解析】【分析】 根据平行四边形的性质得出OA ＝3，OB ＝5，进而利用勾股定理得出AB 的长，利用三角形中位线得出OE 即可．【详解】解：∵▱ABCD ，BD ＝10，AC ＝6，∴OA ＝3，OB ＝5，AB ∥DC ，∵∠OCD ＝90°，∴∠BAO ＝90°，∴AB ＝2222534OB OA -=-=，∵E 是BC 边的中点，OA ＝OC ，∴2OE ＝AB ，∴OE ＝2，故选：B ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出OA=3，OB=5解答．8. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 是y 轴正半轴上的一点，当2CAO BAO ∠=∠时，则点C 的纵坐标是（ ）A. 2B. 253C. 263D. 83【答案】D【解析】【分析】首先过点B 作BD ⊥AC 于点D ，设BC=a ，根据直线解析式得到点A 、B 坐标，从而求出OA 、OB 的长，易证△BCD ≌△ACO ，再根据相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可解答.【详解】解：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，设BC=a ，∵直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ， ∴A(-2,0)，B （0,1），即OA=2， OB=1，222(1)a ++∵2CAO BAO ∠=∠， ∴AB 平分∠CAB ，又∵BO ⊥AO ，BD ⊥AC ，∴BO= BD=1，∵∠BCD =∠ACO ，∠CDB=∠COA =90°，∴△BCD ≌△ACO ，∴CB BD CA AO= ，即222(1)a ++=1:2 解得：a 1=53， a 2=-1（舍去）， ∴OC=OB+BC=53+1=83，所以点C 的纵坐标是83. 故选：D.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质的综合运用，解题关键是恰当作辅助线利用角平分线的性质.9. 如图，在菱形ABCD 中，若E 为对角线AC 上一点，且CE CD =，连接DE ，若5,8AB AC ==，则DE AD =（ ） A. 10 B. 10 C. 35 D. 45【答案】B【解析】【分析】连接BD ，与AC 相交于点O ，则AC ⊥BD ，142AO AC ==，由5AD AB ==，根据勾股定理求出DO ，求出EO ，由勾股定理求出DE ，即可得到答案.【详解】解：连接BD ，与AC 相交于点O ，则AC ⊥BD ，在菱形ABCD 中，142AO AC ==， ∵5AD AB CD ===， 在Rt △AOD 中，由勾股定理，得：22543DO =-=，∵=5CE CD =，8AC =，∴853AE =-=，∴431OE =-=，在Rt △ODE 中，由勾股定理，得223110DE =+∴105DE AD =. 故选：B. 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，以及线段的和差关系，解题的关键是正确作出辅助线，利用勾股定理求出DE 的长度.10. 关于x 的一元二次方程240x x m -+=的两实数根分别为1x 、2x ，且1235x x +=，则m 的值为（ ）A. 74B. 75C. 76D. 0【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=4，代入代数式计算即可．【详解】解：∵x 1+x 2=4，∴x 1+3x 2=x 1+x 2+2x 2=4+2x 2=5，∴x 2=12， 把x 2=12代入x 2-4x+m=0得：（12）2-4×12+m=0， 解得：m=74， 故选A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a是解题的关键． 11. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线EF 分别交BC ，AD 于点E ，F ，若BE ＝4，AF ＝6，则AC 的长为（ ）A. 5B. 3C. 30203 【答案】C【解析】【分析】连接AE ，由线段垂直平分线的性质得出OA ＝OC ，AE ＝CE ，证明△AOF ≌△COE 得出AF ＝CE ＝6，得出AE ＝CE ＝6，BC ＝BE ＋CE ＝10，由勾股定理求出AB 的长，再由勾股定理求出AC 即可．【详解】解：如图，连接AE ，设EF 与AC 交点为O ，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴OA ＝OC ，AE ＝CE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，AD ∥BC ，∴∠OAF ＝∠OCE ，在△AOF 和△COE 中，AOF COE OA OCOAF OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOF ≌△COE （ASA ），∴AF ＝CE ＝6，∴AE ＝CE ＝6，BC ＝BE ＋CE ＝4＋6＝10，∴AB 22361625AE BE --∴AC 2220100230AB BC +=+=故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．12. 表中所列 ,x y 的7对值是二次函数2y ax bx c =++ 图象上的点所对应的坐标，其中 1234567x x x x x x x <<<<<< x … 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x …根据表中提供的信息，有以下4 个判断：① 0a <；② 714m <<；③ 当262x x x +=时，y 的值是 k ；④ ()24b a c k ≥-其中判断正确的是 （ ） A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④ 【答案】B【解析】【分析】根据表格得到二次函数的性质,分别求出开口方向,对称轴、最值即可解题.【详解】解：由表格中的数据可知,当1234567x x x x x x x <<<<<<时,y 的值先变大后减小,说明二次函数开口向下,所以① 0a <正确；同时可以确定对称轴在3x 与5x 之间,所以在对称轴左侧可得② 714m <<正确；因为不知道横坐标之间的取值规律,所以无法说明对称轴是直线x=4x ,所以此时顶点的函数值不一定等于k,所以③ 当262x x x +=时，y 的值是 k 错误；由题可知函数有最大值244ac b a -,此时244ac b k a -≥,化简整理得：④ ()24b a c k ≥-正确, 综上正确的有①②④,故选B.【点睛】本题考查了二次函数的性质,中等难度,将表格信息转换成有效信息是解题关键. 二.填空题（共6小题，每小题3分）13. 一次函数y ＝kx +b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，则b k 的值是_____． 【答案】：2或﹣7．【解析】试题解析：当k ＞0时，y 值随x 值的增大而增大，∴364k b k b +⎧⎨+⎩＝＝，解得：12k b ⎧⎨⎩＝＝， 此时b k =2；当k＜0时，y值随x值的增大减小，∴634k bk b+⎧⎨+⎩＝＝，解得：17kb-⎧⎨⎩＝＝，此时bk=-7．综上所述：bk的值为2或-7．14. 若将抛物线2y x x=+先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线所对应的函数解析式为___________．【答案】21924 y x⎛⎫=--⎪⎝⎭【解析】【分析】先求出抛物线的顶点坐标，然后根据平移方式求出平移后的抛物线的顶点坐标，即可求出结论．【详解】解：221124y x x x⎛⎫=+=+-⎪⎝⎭，∴抛物线的顶点坐标为（11,24 --）将（11,24--）先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标为（19,24-）即平移后的顶点坐标为（19 ,24 -）∴平移后的抛物线解析式为21924 y x⎛⎫=--⎪⎝⎭故答案：21924 y x⎛⎫=--⎪⎝⎭【点睛】此题考查的是二次函数图象的平移，掌握将图象的平移转化为顶点的平移是解决此题的关键．15. 设α、β是方程x2+2013x-2=0的两根，则（α2+2016α-1）（β2+2016β-1）=______．【答案】-6056【解析】【分析】根据α、β是方程x2+2013x﹣2=0的两实数根，把x=α与x=β代入得到关系式，利用根与系数得到关系式，原式变形后代入计算即可求出值．【详解】∵α、β是方程x 2+2013x ﹣2=0的两实数根，∴α2+2013α﹣2=0，β2+2013β﹣2=0，α+β=﹣2013，αβ=-2，则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）=（α2+2013α﹣2+1+3α）（β2+2013β﹣2+1+3β）=(1+3α)( 1+3β)=1+3(α+β)+9αβ=-6056．故答案为-6056．【考点】根与系数的关系．16. 已知a ＜0，当1≤x ≤3时，函数y ＝2x 2﹣3ax +4的最小值为12，则a ＝_____．【答案】-2．【解析】【分析】 由已知可知函数的对称轴34a ＜0，则当x ＝1时函数有最小值，得到6﹣3a ＝12，求出a 即可． 【详解】解：函数的对称轴为x ＝34a ， ∵a ＜0，∴34a ＜0， ∴当1≤x ≤3时，函数的最小值为2﹣3a +4，∴6﹣3a ＝12，∴a ＝﹣2，故答案为﹣2．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键．17. 已知关于x 的方程x 2+（a ﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a 的值等于_____．【答案】0或16．【解析】【分析】利用韦达定理，把a 消去，得到的是关于x 1，x 2的不定方程，再求解这个对称的不定方程即可．【详解】设两个根为x 1，x 2，且x 1≥x 2．由韦达定理得：12126x x a x x a+=-⎧⎨=⎩，从上面两式中消去a 得：x1x2+x1+x2=6，∴（x1+1）（x2+1）=7，∴1217 11x x +=⎧⎨+=⎩或1122116170x xx x+=-=⎧⎧∴⎨⎨+=-=⎩⎩，或1228xx=-⎧⎨=-⎩，∴a=x1x2=0或16．故答案为0或16．【点睛】主要考查了求解为整数的二次方程的系数问题；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解答本题的关键．18. 如图，在菱形ABCD中，AB=6cm，∠A=60°，点E以1cm/s的速度沿AB边由A向B匀速运动，同时点F以2cm/s的速度沿CB边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当△DEF 为等边三角形时，t的值为_________．【答案】2【解析】【分析】连接BD．当AE=BF时，易证△ADE≌△BDF，即可推出△DEF是等边三角形，列出方程即可解决问题．【详解】连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴△ADB，△BDC都是等边三角形，当AE=BF时，易证△ADE≌△BDF，∴DE=DF，∠ADE=∠BDF，∴∠EDF=∠ADB=60°，∴△DEF是等边三角形，由AE=BF，得到t=6-2t，t=2时，△DEF是等边三角形，故答案2．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、一元一次方程等知识，解题的关键是利用全等三角形解决问题三、解答题（共7小题）19. 解下列方程（需要写文字过程）：（1）2x2﹣4x﹣1＝0；（2）（x+1）2＝6x+6；（3）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣8＝0；（4）x2+3x＝0．【答案】（1）x1＝x2＝1（2）x1＝﹣1，x2＝5；（3）x1＝5，x2＝﹣1；（4）x1＝0，x2＝﹣3．【解析】【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可得到结论；（2）用分解因式的方法解一元二次方程；（3）把（x﹣1）看做整体，先用十字相乘法，再求x的值；（4）用分解因式的方法解一元二次方程．【详解】解：（1）2x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，∴△＝16+8＝24＞0，∴x∴x1＝x2＝1（2）（x+1）2＝6x+6，（x+1）2﹣6（x+1）＝0，（x+1）（x﹣5）＝0，∴x+1＝0或x﹣5＝0，∴x1＝﹣1，x2＝5；（3）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣8＝0，[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+2]＝0，∴（x﹣5）（x+1）＝0，∴x1＝5，x2＝﹣1；（4）x2+3x＝0，x（x+3）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．20. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE∥BC交AB于点E，作DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，CD＝2，求DE 的长．【答案】（1）详见解析；（2）2．【解析】【分析】（1）由角平分线的性质得∠EBD＝∠BDF＝∠EDB＝∠DBF，可证BE∥DF，DE∥BF，可得四边形DEBF是平行四边形，即可得结论；（2）由菱形的性质和外角性质可得∠DFC＝30°，由直角三角形的性质可求DF的长．【详解】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形DEBF是平行四边形，∴∠EBD＝∠BDF，∠EDB＝∠DBF，∠=∠，∴EBD EDB∴BE=DE，∴四边形DEBF是平行四边形，且BE＝DE，∴四边形BEDF是菱形；（2）过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形BEDF是菱形，∴BF＝DF＝DE，∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝15°，∴∠DFH＝30°，且DH⊥BC，∴DH＝12DF，FH＝3DH，∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠CDH＝45°，∴DH＝CH＝2221 22DC=⨯=，∴DF＝2，∴DE＝2．【点睛】本题主要考查了四边形综合，熟练掌握角平分线的性质和菱形的性质是解题的关键．21. 在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）．（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．【答案】(1) ﹣4≤y＜6；（2）点P的坐标为（2，﹣2） .【解析】【分析】利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；（1）利用一次函数增减性得出即可．（2）根据题意得出n=﹣2m+2，联立方程，解方程即可求得．【详解】设解析式为：y=kx+b，将（1，0），（0，2）代入得：，解得：，∴这个函数的解析式为：y=﹣2x+2；（1）把x=﹣2代入y=﹣2x+2得，y=6，把x=3代入y=﹣2x+2得，y=﹣4，∴y 的取值范围是﹣4≤y ＜6．（2）∵点P （m ，n ）在该函数的图象上，∴n=﹣2m+2，∵m ﹣n=4，∴m ﹣（﹣2m+2）=4，解得m=2，n=﹣2，∴点P 的坐标为（2，﹣2）．考点：1、待定系数法求一次函数的解析式，2、一次函数图象上点的坐标特征，3、一次函数的性质 22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）每件童装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．（2）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．【答案】（1）每件童装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元；（2）不可能每天盈利2000元，理由详见解析．【解析】【分析】（1）设每件童装降价x 元，则销售量为（20+2x ）件，根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；（2）设每件童装降价y 元，则销售量为（20+2y ）件，根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于y 的一元二次方程，再由根的判别式解答即可．【详解】解：（1）设每件童装降价x 元，则销售量为（20+2x ）件，根据题意得：（120﹣80﹣x ）（20+2x ）＝1200，整理得：x 2﹣30x +200＝0，解得：x 1＝10，x 2＝20．∵要让利于顾客，∴x ＝20． 答：每件童装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元．（2）若能，设每件童装降价y 元，则销售量为（20+2y ）件，根据题意得：（120﹣80﹣y ）（20+2y ）＝2000，整理得：y 2﹣30y +600＝0．∵△＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0，∴该方程无解，∴不可能每天盈利2000元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 23. 抛物线213y x bx c =-++经过点A(33,0) 和点B （0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线l ，顶点为C.（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB 、AC 、BC ，求△ABC 的面积.【答案】（1）212333y x =-++；（2）33【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用割补法求△ABC 的面积.【详解】（1）抛物线213y x bx c =-++经过()33,0A 、()0,3B ∴ 93303b c c ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩由上两式解得233b = ∴抛物线的解析式为：212333y x =-++； （2）由（1）抛物线对称轴为直线3x =把3x =212333y x x =-++得4y = 则点C 坐标为(34)设线段AB 所在直线为：y kx b =+解得AB 解析式为： 33y x =-+ 线段AB 所在直线经过点()33,0A 、()0,3B抛物线的对称轴l 于直线AB 交于点D ∴设点D 的坐标为()3,Dm 将点()3,D m 代入33y x =-+，解得2m = ∴点D 坐标为()3,2， 2CD CE DE ∴=-=过点B 作BF l ⊥于点3F BF OE ∴==33BF AE OE AE OA +=+==11··22ABC BCD ACD S S S CD BF CD AE ∆∆∆∴=+=+ ()112333322ABC S CD BF AE ∆∴=+=⨯⨯= 【点睛】本题为二次函数纯数学问题，考查二次函数待定系数法、用割补法求三角形面积，解答时注意数形结合.24. 阅读下列材料：已知实数x ，y 满足（x 2+y 2+1）（x 2+y 2﹣1）＝63，试求x 2+y 2的值．解：设x 2+y 2＝a ，则原方程变为（a +1）（a ﹣1）＝63，整理得a 2﹣1＝63，a 2＝64，根据平方根意义可得a＝±8，由于x 2+y 2≥0，所以可以求得x 2+y 2＝8．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的．根据阅读材料内容，解决下列问题：（1）已知实数x ，y 满足（2x +2y +3）（2x +2y ﹣3）＝27，求x +y 的值．（2）填空：①分解因式：（x 2+4x +3）（x 2+4x +5）+1＝ ．②已知关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是95x y =⎧⎨=⎩，关于x ，y 的方程组21111122222222a x a x b y c a a x a x b y c a ⎧-+=-⎨-+=-⎩的解是 ．【答案】（1）±3；（2）①（x +2）4；②45x y =⎧⎨=⎩或25x y =-⎧⎨=⎩． 【解析】【分析】（1）设2x +2y ＝a ，则原方程变为（a +3）（a ﹣3）＝27，解之求得a 的值，进而可得x +y 的值；（2）①设a ＝x 2+4x +3，原式变形为a （a +2）+1＝（a +1）2，将a 代入进一步根据完全平方公式分解可得；②将原方程组变为()()2111222211x x a b y c a b y c -+⎧=-=+⎪⎨⎪⎩，由题意得出()2195x y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，进一步即可得出答案． 【详解】解：（1）设2x +2y ＝a ，则原方程变为（a +3）（a ﹣3）＝27，整理，得：a 2﹣9＝27，即a 2＝36，解得：a ＝±6， 则2x +2y ＝±6， ∴x +y ＝±3； （2）①设a ＝x 2+4x +3，则原式＝a （a +2）+1＝a 2+2a +1＝（a +1）2＝（x 2+4x +4）2＝（x +2）4；故答案为：（x +2）4；②由方程组21111122222222a x a x b y c a a x a x b y c a ⎧-+=-⎨-+=-⎩得21111122222222a x a x a b y c a x a x a b y c ⎧-+=+=+⎨-+⎩， 整理，得：()()2111222211x x a b y c a b y c -+⎧=-=+⎪⎨⎪⎩， ∵方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是95x y =⎧⎨=⎩，∴方程组()()2111222211xxa b y ca b y c-+⎧=-=+⎪⎨⎪⎩的解是：()2195xy⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得：45xy=⎧⎨=⎩或25xy=-⎧⎨=⎩，故答案为：45xy=⎧⎨=⎩或25xy=-⎧⎨=⎩．【点睛】本题是阅读理解题，主要考查了换元法、多项式的因式分解、一元二次方程的解法和方程组的拓展问题，读懂题意、明确方法、熟练掌握上述知识是解题的关键．25. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣4，0)和点B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是x=﹣1与x轴交于点D．（1）求拋物线的函数表达式；（2）若点P(m，n)为抛物线上一点，且﹣4＜m＜﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线的对称轴x=﹣1于点E，作PF⊥x轴于点F，得到矩形PEDF，求矩形PEDF周长的最大值；（3）点Q为抛物线对称轴x=﹣1上一点，是否存在点Q，使以点Q，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+8；（2）当m=﹣32时，矩形PEDF的周长有最大值是372；（3）存在，点Q (﹣1，31 4)或(﹣1，﹣34)或(﹣1，13或(﹣1，413．【解析】【分析】（1）根据抛物线对称轴公式求b的值，然后将A点坐标代入解析式求c的值，从而求解；（2）设P点坐标为(m，n)，由题意n═﹣m2﹣2m+8，从而表示出矩形周长的函数关系式，然后利用二次函数的性质求最值；（3）设Q(﹣1，y)，结合图形用勾股定理分别表示出QB 2 =9+y 2，QC 2=1+(y ﹣8)2，BC 2=68，然后分∠QCB=90°，∠QBC=90°，∠BQC=90°三种情况列方程求解，从而确定点Q 坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 的对称轴是x=﹣1，∴﹣2b =﹣1，b=﹣2， ∴y=﹣x 2﹣2x+c ，把A(﹣4，0)代入得：﹣16+8+c=0，∴c=8，∴拋物线的函数表达式为：y=﹣x 2﹣2x+8；（2）∵点P(m ，n)为抛物线上一点，且﹣4＜m ＜﹣1，如图1，，∴n═﹣m 2﹣2m+8．∵四边形PEDF 是矩形，∴矩形PEDF 的周长=2PE+2PF=2(﹣1﹣m)+2(﹣m 2﹣2m+8)=﹣2m 2﹣6m+14=﹣2(m+32)2+372． ∵﹣2＜0，∴当m=﹣32时，矩形PEDF 的周长有最大值是372； （3）存在点Q ，使以点Q ，B ，C 为顶点的三角形是直角三角形．∵点Q 为抛物线对称轴x=﹣1上一点，∴设Q(﹣1，y)，由对称得：B(2，0)．∵C(0，8)，∴QB 2=(2+1)2+y 2=9+y 2，QC 2=(﹣1)2+(y ﹣8)2=1+(y ﹣8)2，BC 2=22+82=4+64=68，分三种情况：①当∠QCB=90°时，QB 是斜边，∴QB 2=QC 2+BC 2，∴9+y 2=1+(y ﹣8)2+68解得：y=314， ∴Q(﹣1，314)； ②当∠QBC=90°时，QC 是斜边．∵QC 2=BC 2+QB 2，∴1+(y ﹣8)2=68+9+y 2，解得：y=﹣34， ∴Q(﹣1，﹣34)； ③当∠BQC=90°时，BC 是斜边．∵BC 2=BQ 2+QC 2，∴68=1+(y ﹣8)2+9+y 2，解得：∴Q(﹣1，或(﹣1，4；综上，点Q 的坐标是(﹣1，314)或(﹣1，﹣34)或(﹣1，或(﹣1，4． 【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

湖南省2019-2020年八年级下学期期中测试数学试卷一、填空（每小题3分）1．如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（）。

2、三角形三边长分别为6、8、10，那么它的最短边上的高为（）。

3、等边三角形的高为2，则它的面积是（）。

4、若A、B、C是不在同一直线上的三点，则以这三点为顶点画平行四边形，可画()个5、□ABCD中，AC、BD相交于点O，AC=4cm，BD=6cm，AB=3cm，则△ABO 的周长是______。

6. □ABCD中，∠A=2∠D，则∠A=____°，∠B=____°7、已知P（-4，3），与P关于x轴对称的点的坐标是（）8、直角坐标系中，点P（x，y），xy<0，x<y，且P到x轴、y轴的距离分别为3，7，则P点的坐标为（）169、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A.两条直角边对应相等B.有两条边对应相等C.一条边和一锐角对应相等D.一条边和一个角对应相等10、在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=，DC=1，AC=，那么AB的长度是( )A. B.3 C. D.2511、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，CD是斜边AB的中线，若AB=2，则点D到BC的距离为（）A.1B.C.2D.12、下列条件中，能判别四边形ABCD是平行四边形的是( )A. AB=BC=CDB. ∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°C. AB=BC，CD=DAD. ∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°13、任意三角形两边中点的连线与第三边上的中线( )A. 互相平分B. 互相垂直C. 相等D. 互相垂直平分14、点E、F分别是□ABCD的边AB、CD的中点，DE、BF交于AC于M、N，则A. AM=MEB. AM=BEC. AM=CND. AM⊥MD15、已知x轴上一点A（6，0），y轴上一点B（0，b），且AB=10，则b的值为（）A．8 B．-8 C．±8 D．以上答案都不对16、在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立直角坐标系，则A点坐标为（2，5），若以A点为原点建立直角坐标系，则B点坐标为（）A．（-2，-5）B．（-2，5）C．（2，-5） D．（2，5）三、解答题（17、如图。