线性代数 习题册解答(青岛理工大学)

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ）.（A) 24315 （B) 14325 （C ） 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）. (A ）k (B ）k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项。

(A) 0 （B ）2-n （C ） )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ）。

(A ） 0 (B)1- (C) 1 （D) 25. =0001100000100100( ）.(A) 0 (B)1- (C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ）.(A) 0 （B ）1- (C) 1 （D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ）. (A ） 4 (B) 4- (C) 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ）。

（A)ka (B)ka - (C ）a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-， 则=x （ )。

（A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A ）1- (B ）2- (C ）3- （D ）011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ）。

《线性代数》第一章习题解答1. 解：(1)31542 的逆序数=2+0+2+1=5(2)264315 的逆序数=1+4+2+1+0=8 （3）54321 的逆序数=4+3+2+1=10⑷ 246..S2）（2“）135..・HWT ）=呼2. 解：四阶彳亍列式中含有t?31的项可表示为（-1）5山％肿2//3104” '其中Ji ，J 2,J 4为2, 3, 4的全排列。

故带有负号的项有：一£?]2024°31°43，~a \3a 22a M a 44 > ~ a 23° 3\a 421 x2 4 展开式中含有%4 5的项必须每行都取含x 的项相乘,6x 1 即=x-3x-6x- x = 18x 4,含有 x 3 的项为(―1 严31)X • 3x • 6x • 7 + (一1)心24)x. 2 • X • x = -128%3关于''如何做线性代数习题”的一些说明：每个人都有自己的套学习方法，并经 过不断借鉴他人优点、总结自我经验，不断完善学习方法。

做习题是学习方法中一部分。

现介绍一种简单的习题解答方法：拿到习题后不要立即动手，应当先观察，看题目考你 的是哪个知识点；再思考，初步猜测要用哪些方法（所用定理、公式、解决技巧）来操作， 然后动手验证刚才猜测的方法是否可行，可行则解答之，不可行则换一种方法，直到找到答 案。

简单来说，这种方法步骤概括为：一停、二看、三想、四动手。

线性代数的计算题一般通过多做练习能很好的掌握,证明题对非数学专业同学而言要稍 难一些，但这仅仅是第一印象，事实证明只要认真听课、勤做练习、自我总结，每位同学都 能解决大部分证明题（非数学专业考试试题中证明题往往只占少数分值），即使自己不会做 的我们可以查阅参考资料是如何做的（对于教材每章的习题来说，教材正文中的例题也是常 用的参考资料），然后记住这种方法，记得多了做证明题的能力自然得到提高。

习题一A 组1.计算下列二阶行列式 （1）521-12= （2）012896= （3）2222ba abbab a -= （4）11112322--=++-x x x x xx2.计算下列三阶行列式（1）132213321=1+8+27-6-6-6=18 （2）5598413111= （3）714053101-=- （4）00000=dc b a 3. 当k 取何值时，10143kk k-=0. 解：10143kk k-0)3(0)(02-----++=k k ， 得 0342=+-k k ， 所以 1=k 或 3=k 。

4.求下列排列的逆序数.解：(1) 512110)51324(=++++=τ.(2) 8142010)426315(=+++++=τ. (3) 21123456)7654321(=+++++=τ.(4) 1340423000)36715284(=+++++++=τ.5.下列各元素乘积是否是五阶行列式 ij a 中一项?如果是,该项应取什么符号? 解：(2) 不是. 因为 5145332211a a a a a 中有俩个元素在第一列. (3) 是. 对应项为534531*********)1(a a a a a ）（τ-1021)24153(+++=τ 所以该项应取负号。

6.选择i , j 使j i a a a a a 54234213成为五阶行列式 ij a 中带有负号的项解: 当 )5,1(),(=j i 时, 30102)31425(=+++=τ, 是奇排列.当 )1,5(),(=j i 时, 81232)35421(=+++=τ, 是偶排列. 所以 i = 1, j = 5.8.利用行列式性质计算下列行列式.解: (1) 111212321-2343032123121----+-+-r r r r 6243032132-=--+-r r (2) 6217213424435431014327427246-621721100044354320003274271000123c c c ++621721144354323274271103=. 62110014431002327100110323c c +-621114431232711105=31212r r r r +-+-2942111032711105--=294105⨯ (3)1111111111111111---820000200002011114,3,21-=---=+-i r r i(4)1502321353140422-----1523213531402112-----=11203840553002112234413121-----+++r r r r r r11205100046100211223424-----+-+-r r r r 7130051000461002112242------+-r r 7130120046100211)5(2-----=27120046100211)5(2743----+r r 272100641020111043---↔c c 270-=.（5）yy x x -+-+1111111111111111yyy x x x c c c c --+-+-11011010110123412yy x x r r r r --+-+-011000010124321yy x x--=00011000101012232001000010101y x yy xxr r =--+（6）dc b a c b a ba ad c b a c b a b a a dc b a c b a ba a dc b a++++++++++++++++++3610363234232cb a b a ac b a b a a c b a b a ad c b ai r r i 36103630234232004,3,21+++++++++=+-ba ab a ac b a b a ad c b ar r r r 37302000324232++++++-+-443020003a ab a ac b a b a ad c b ar r =+++++-9.用行列式性质证明:(1) 333332222211111c c b kb a c c b kb a c c b kb a ++++++=333222111c b a c b a c b a 证明: 333332222211111c c b kb a c c b kb a c c b kb a ++++++33332222111123c b kb a c b kb a c b kb a c c ++++-33322211112c b a c b a c b a c kc +-. (2) efcf bf de cd bdaeac ab---=abcdef 4证明: ef cfbf de cd bdae ac ab---d cbe c b e c b abf---的公因子提取各行111111111---abfbce 的公因子提取各列 022001113121-++a b c d e f r r r r 202011123--↔a b c d e f r r a b c d e f 4=.(3)y y x x ++++1111111111111111y x xyy x 222222++=证明:y y x x++++1111111111111111=y y x x+++++++1110111101111011111y y x +++=1111111111111111 yy x x++++111011*********y y x 0000000001111=yy x x +++++++110101101011101101y y x x y y xxy +++++++=1010011001010101000000011101112yy x x yx x xyxy+++++=101001001001100110011011022yy x x y x xxy+++=10100100100000110011011022=+++=)1(2222y y x y x xy222222y x y x xy++.10.解下列方程:(1)0913251323222321122=--xx解: 由 2243212240005132320321129132513232223211xx r r r r x x ----+-+---223140131********2xx r r ------+-222212401310332003211xx x r r x -------+22223403320013103211xx xr r ------↔)4)(32(22x x ---=得 0)4)(32(22=---x x 所以 2=x 或 2-=x .(2)0011101101110=x x x x解: 由=++++=+01110110122224,3,20111011011101xx x x x x x i r r xx x x i 0111011011111)2(xx x x +11111010101111)2(413121-------++-+-+-x x x x x x r r r xr r r x x x x x x x r r -------++10011010101111)2(43xxx x x x x xxx x x x x x r r x ------+=----+----++-10)1(0010101111)2(10)1)(1(10010101111)2()1(32xxx x x x ----⨯-+=1)1(111)2(=})1(){1)(2(22x x x x -+-+2)2)(2(x x x -+-=得 0)2)(2(2=-+x x x , 所以 021==x x ,23=x , 24-=x . 15. 用克莱姆法则解下列线性方程组:（1）⎩⎨⎧=+=+2731322121x x x x解：由系数行列式57332==D 172311==D 123122==D5111==DD x , 5122==DD x .(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-445222725 1243321321321x x x x x x x x x解: 由系数行列式 63871702112452181211245272524331212313=--+-+----+-+----=r r r r r r r r D=--+-+---=411437862200124454722224131211c c c c D 63 126002312545322442722521331212=---+-+-=r r r r D 18910717703112452148131124522225143312123133=--+-+---+-+----=r r r r r r r r D 得 111==DD x , 222==DD x ,333==DD x .16.判断下列齐次方程组是否有非零解: (1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-=++--=+-+0320508307934321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解:由系数行列式3211151118137931------=D 4728144022198079313413121------+-+-+r r r r r r 0472814422198=-----= (第一、二行对应元素成比例) 此齐次方程组有非零解. (2). ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++=-++=+-0302430332022432143214321421x x x x x x x x x x x x x x x解:由系数行列式315111104)1(231511122)1(31501131321022113121433132102212234232---+----=----+-+----=+r r r r r r D 0131114≠=---=此齐次方程组只有唯一的非零解.17. 若齐次线性方程组 ⎩⎨⎧=-+=+-0)2(504)3(y x y x λλ 有非零解.则λ取何值?解:由系数行列式 )2)(7(14520)2)(3(25432+-=--=---=--=λλλλλλλλD其齐次线性方程组有非零解,则 7=λ 或 2-=λ.习题二A 组1.计算下列矩阵的乘积. (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2312521131. 解： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2312521131⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯⨯+-⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯⨯+⨯⨯+-⨯=12111577251253)2(22)1(113)1()2(1231133)2(1. （2）()0111132=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---(3) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-35002103531152112401321214. 解： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-35002103531152112401321214⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10316665350021161167923. （4）()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x =233322222111x a x a x a +++212112)(x x a a ++313113)(x x a a ++323223)(x x a a + 2. 计算下列各矩阵:(1) 52423⎪⎪⎭⎫⎝⎛--. 解： 52423⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22423⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=22423⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2423⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4421⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4421⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2423⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=81267⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2423⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8423. （2）2210013112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 解: 2210013112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡433349447(3) n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011. 解： n⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011n⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00101001 =nn n nn n n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0010001010012)1(001010011001221+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101000n n , 其中 20010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30010⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000010n. (4) n⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλ001001解： n⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλ001001=n⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001000100000λλλn⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010001010010001λ ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---- 222110001000101000100012)1(000100010100010001100010001n n n n nnn n n λλλ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00002)1(000000000000002n nnn nnn n n n λλλλλλ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-nn nn nn n n n n λλλλλλ0002)1(1其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000001000001000102, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000000000001000100001000103n. 5. 证明：对任意n m ⨯矩阵A ，A A T 与T AA 都是对称方阵；而当A 为n 阶对称方阵时，则对任意n 阶方阵C ，AC C T为对称方阵.证明： （1）A A T 为n 阶方阵， 又A A A A T T T =)( A A T ∴为n 阶对称方阵同理T AA 为m 阶对称方阵（2）AC C T 为n 阶方阵， A 为n 阶对称方阵 A A T =∴ 又 AC C AC C T T T =)(AC C T ∴为n 阶对称方阵6.设C B A ,,均为n 阶方阵.证明:如果CA A C AB E B +=+=, 则.E C B =-解: 由已知 E B A E E AB B =-=-)(, 则 B A E =--1)(.且 A CA C =-即 A A E C =-)(, 则 AB A E A C =-=-1)(. 得 E AB B C B =-=-.8.（3）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=122341213A 解：25=A 1011=A 521=A 531-=A712-=A 122-=A 1132=A 613-=A 823-=A 1333=A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-1386111755102511A9. 解下列矩阵方程: (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23123512X 解: 由 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-251335121, 得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1161923122513231235121X . (3) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02110234101100001100001010X 解: 由 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--0110000102110234110000101001010000102110234110000101011X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20143101201100001021341102, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201431012X . 11. 设 B A AB A -=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2,011002100, 求.B 解: 由已知 ,2)(,2A B E A A B AB =+=+因 01622)(3≠-===+=+A A B E A B E A1)(-+E A 存在, 则 A E A B 2)(1⋅+=-由 ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−++-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=+22240420001021010120220042001110121012,3121r r r r A E A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−++-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----−→−+--31322211310010001216264042002210101321231332rr r r r r r所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⋅+=-31322211132)(1A E AB . 12.设B A ,均为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，证明： （1） 若,AB B A =+ 则E A -可逆；（2） 若O E A A =+-432 则E A -可逆，并求-1）（E A -.解: （1）由已知 E E B A AB =+--, 即E E B E A E E B E B A =--=---))((,)()(,所以 E A -可逆,且E B E A -=--1）（.（2）由已知 E E A E A A E E A AE AA 2)(2)(,222-=----=+--,,2))(2(E E A E A -=-- 所以 E A -可逆,且A E E A E A 21)2(211--=--=-）（.14.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=110210000230012A , 求 4,A A 及1-A. 解: 33111212312=⨯=---=A ,由⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7-48-7-11-2197168-56-9723-1-244，, 所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=740870000971680056974A . 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112-13111-21231223-1-2-1-1，, 所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=31310032-3100002300121-A . 15. 用初等变换把下列矩阵化为标准形: (1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=02-112321-1A解: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=02-112321-1A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+⎪⎪⎪⎭⎫-- ⎝⎛+-+-10010001)1(1001101012-1-05-5021-133********r r r r r r r r r 16.求下列各矩阵的秩： （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=61331311405133312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----↔3312311405136133141r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----+-+-+-152970275313018348061331243413121r r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----+-152970275313035106133124r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------+-+-6601212003510613317134232r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→121206600351061331⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→0006600351061331 所以3)(=A R 17.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110101011A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a B 111211，且矩阵AB 的秩为2，求a 解：因为2)(=AB R ，所以B A AB ==0 又因为0≠A ， 所以0=B 即01=+-a 1=⇒a习题三A 组2. 设1233()2()5()αααααα-++=+，其中TTT123(2513)(101510)(4111),,,,,,,,,,,ααα===-, 求向量α.解:由已知 123325325αααααα-+-=--+, 即12312311325)325)66ααααααα=---+=+-（（,所以 ().4,3,2,143215209510352152020661T=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-+-+=α3. 设向量组123,,ααα线性无关,而向量组 1121233132.,βααβαααβαα=+=-+=-，，试判断向量组123,,βββ的线性相关性.解:设数 321,,k k k 使得 1122330k k k βββ++= 成立，即 1122123313()()(2)0k kk ααααααα++-++-=， 1231122233()()(2)0.k k k k k k k ααα+++-+-=得线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=++02003221321k k k k k k k ，其系数行列式0.12-10011111≠= 线性方程组只有唯一解0321===k k k ，则向量组123,,βββ的线性无关.5.已知向量组 TTT123(123)(312)(23),,,,,,,,c ααα==-=问c 取何值时向量组123,,ααα线性无关或向量组123,,ααα线性相关.解:设数 321,,k k k 使得1122330k k k ααα++=成立，得线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++023032023321321321ck k k k k k k k k ， 其系数行列式)5(732213321T--=-c c.所以 ⇔=-05c 线性方程组有非零解 ⇔向量组123,,ααα线性相关; ⇔≠-05c 线性方程组只有零解 ⇔向量组123,,ααα线性无关.6.设向量组123,,ααα线性无关,证明向量组122331,,αααααα+++也线性无关. 解：设数 321,,k k k 使得112223331()()0k k k αααααα+++++=（）成立， 得线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ， 其系数行列式02110011101T≠=线性方程组只有唯一解0321===k k k ，所以向量组122331,,αααααα+++线性无关.7. 设向量组123,,ααα线性无关,判断向量组12233441,,,αααααααα++++线性相关性 并证明之.解：设数 4321,,,k k k k 使得 112223334441()()()0k k k k αααααααα+++++++=（） 成立 得线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+0043322141k k k k k k k k 其系数行列式0110011000111001=则线性方程组有非零解，所以向量组12233441,,,αααααααα++++线性相关 .9.若向量组m ααα ，，21线性无关,而向量β不能由m ααα ，，21线性表示,证明向量组βααα，，，m 21线性无关.证明: 反证法.设βααα，，，m 21线性相关,由定理3.1向量β可由m ααα ，，21线性表示,这与已知条件矛盾.假设不成立.所以向量组βααα，，，m 21线性无关. 10.判断题(结论对的请在括号内打“√” ,错的打“×”)(1) 若当数021====m k k k 时,有02211=+++m m k k k ααα 则向量组m ααα ，，21线性无关. ( × ).(2) 若有m 个不全为零的数m k k k ,,,21 , 使得02211≠+++m m k k k ααα 则向量组m ααα ，，21线性无关 ( × ).(3) 若向量组m ααα ，，21线性相关,则1α可由其余向量线性表示. ( × ).(4) 设向量组r I ααα,,,)(21 ;m r r II ααααα,,,,,,)(121 +.若向量组r I ααα,,,)(21 线性无关,则向量组m r r II ααααα,,,,,,)(121 +也线性无关. ( × ). (5) 若向量组βααα,,,21m ，线性无关,则向量β不能由m ααα,,,21 线性表示. ( √ ). (6) 若向量组m ααα，,,21线性无关且向量1+m α不能由m ααα,,,21 线性表示,证明向量组121,,,,+m m αααα 线性无关. ( √ ).(7) 若向量β不能由m ααα,,,21 线性表示,则向量组βααα,,,21m ，线性无关. ( × ).提示: 利用向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000,0020,0010,03024321αααα 讨论(1)—(4),(7),利用定理3.1和3.2讨论(5),(6).12.求下列向量组的秩,并求它的一个极大无关组.(1) T T T )3,3,1(,)2,2,0(,)0,1,1(321===ααα. 解: 取矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==320321101),,(321αααA ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1002201013202201013221r r r r 所以向量组的秩为3，极大无关组是321,,ααα.(2) T T T T )0,2,1,1(,)14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321-===-=αααα. 解: 取矩阵),,,(4321αααα=A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0004000011013014000000011013014220011003301301420142427121031130143413121r r r r r r r r 所以向量组的秩为3，极大无关组是421,,ααα.(3) TT T T )1,2,3,4(,)1,1,0,1(,)1,4,5,2(,)1,3,2,1(4321=--==-=αααα解: 取矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1111214330524121)),,,(4321αααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----++-+-00020800521041212080208005210412132523104205210412132433232413121r r r r r r r r r r r r 所以向量组的秩为3，极大无关组是321,,ααα. 14.求解线性方程组.(1) .343326133053321321321321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--=-+=-+x x x x x x x x x x x x解： 由增广阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝-+-⎪⎪⎭⎝⎛------+-++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+-+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------+-↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=000110020101001201011000000100161351066006600320137835101529701834806133123351033120513613312311433126133105134232314342431214321r r r r r r r r r r r r r r r r r r r A所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121321x x x .(2) ⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-+=++12321323321321321x x x x x x x x x解：由增广阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+-+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3000241031115410241031111212321321311132321r r r r r r A 得 3)(2)(=<=A r A r , 所以此方程组无解.(3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++-=++-=--+323153423221234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：由增广阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----+-+-+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=000000000017410117501730747007470074701213132311231534123212121313212413121r r r r r r r r r r A得同解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=--=443343243174751x x x x x x x x x x ;取 ,,72413k x k x == 得通解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101107450001214321k k x x x x (4) ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312432143214321x x x x x x x x x x x x解：由增广阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+-+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=59571018101402534123111124312325341253414312311112312131r r r r r r A⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----007579751076717101得同解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-+-=++=4433432431797575717176x x xx x x x xx x取 ,7,72413k x k x == 得通解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛70910751007576214321k k x x x x . 15.求下列齐次线性方程组的基础解系及全部解. （1）⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+02302022432143214321x x x x x x x x x x x x解：由系数阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎛---+⎪⎫ ⎝⎛----+-+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=001511005301525155150212132121311122121123121r r r r r r A 得同解方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==4433432315153x x xx x x x x x , 取 ,,52413k x k x ==得通解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10100013214321k k x x x x ， 基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010001321ηη，.(2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x解：由系数阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=0000100102104040011215351105316311213121r r r r A 得同解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x 取 ,,2412k x k x ==得通解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10100012214321k k x x x x ，基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1010001221ηη，. (4) ⎪⎩⎪⎨⎧=---=++++=++++02202243022253215432154321x x x x x x x x x x x x x x解：由系数阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------+-+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=326532650224312102211221222431102212243112212312121r r r r r r A⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+000053525610515452015312r r 得同解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===---=---=55443354325431535256515452x x x x x x x x x x x x x x , 取 3524135,5,5k x k x k x ===,得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=50031,0502400562321ηηη， , 通解 332211ηηηηk k k ++=.18.已知非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+++=+-+=++12)3(13)12(12321321321λλλλλλλλx x x x x x x x x 解: 由增广阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+-+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=22100110121231312123121λλλλλλλλλλλλλr r r r A 知: 当1=λ时, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100101120000100121112r r A ,32)()(<==A r A r ,方程组有无穷多解, 通解为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110011321k x x x ;当0=λ时, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----++⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=300210020102120130002210011012002313r r r r A 则 3)(2)(=<=A r A r ,方程组无解;当1,0≠λ时, 有3)()(==A r A r ,方程组有唯一解. 19.问b a 、取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4234321321321x bx x x bx x x x ax 有唯一解，无解，无穷多解（无穷多解时并求其解）解：（1）系数行列式1211111bb aA ==)1(-a b 当1,0≠≠a b 时方程组有唯一解（克拉默法则）（2）当0=b 时，−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-324113101411rr aA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1003101411a)()(A R A R ≠ 所以线性方程组无解（3）当1=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+-+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0012010104111412131141113121b b r r r r bb A 当012=-b 时，即21=b 时 32)()(<==A R A R ，方程组有无穷多解，同解方程组为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++12142321x x x x令03=x 得方程组的特解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0220X 取13=x 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101η此时全部解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101022k 其中k 为任意常数20. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111,1111,1111111111214321ααααβ，， 将β表示成向量组4321,,,αααα的线性组合.解: 设数 4321,,,k k k k 使得 βαααα=+++44332211k k k k 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++11214321432143214321k k kk k k k k k k k k k k k k其增广阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----↔+-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+-+-+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=022122000202010101210022002020122001111111111111112111111111324313413121r r r r r r r r r r r r A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎛---4110210100410010450001411041010041001010101142111000101010101)21(132r r r 得41,41,41,454321-=-===k k k k , 即432141414145ααααβ--+=.21.设四元线性方程组β=AX 的系数矩阵的秩为3，321X X X ,,是其3个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=80021X ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132X X .求其全部解 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-123232321)(X X X 所以全部解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123238002k ξ 其中k 为任意常数B 组1. 判断题(结论对的请在括号内打“√” ,错的打“×”)(1) 若n m >,则n 维向量组m ααα,,,21 线性相关. ( √ ) 提示:定理3.3的推论2.(2)若向量组线性相关,则它的任意一个部分组都相关. ( × ) 提示:利用上面(10)题解中的4321,,,αααα讨论.(3) 若向量组m ααα,,,21 线性相关,则它的秩小于m ,反之也对. ( √ ) 提示: 若向量组m ααα,,,21 的秩为m ,则若.(4) 向量组T T T )1,2,0,0(,)5,1,2,4(,)0,3,0,1(321===ααα的极大无关组为21,αα. ( × ) 提示: 向量组321,,ααα的秩为3.(5) 若n 阶方阵A 的行列式不等于零,则A 的列向量组线性相关. ( × ) 提示: 由n 阶方阵A 的行列式不等于零, 方阵A 的秩n =,和A 的列向量组的秩=方阵A 的秩n =, 则A 的列向量组线性相关. 2. 填空题(1) 向量组T T T )6,0,0(,)5,4,2(,)3,2,1(321===ααα的秩= 2 .解: 由()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==000100321600100321600542321,,21321r r A ααα. (2) 若21,αα都是齐次线性方程组0=AX 的解向量,则)43(21αα-A = 0 . 解: 043)43(2121=-=-ααααA A A .(3) 若向量组T T T t t )1,0,0(,)0,2,1(,)0,1,1(2321+=+==ααα线性相关,则1 . 解: 由321,,ααα线性相关,有 0,,321==αααA .即 0)1)(1()1)](1(2[1021011,,222321=+-=++-=++==t t t t t t A ααα.(4) 方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00111032321x x x 的基础解系所含向量的个数= 1 . 解:由系数阵的秩是2,.(5) 方程组⎩⎨⎧=-=-004321x x x x 的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100,001121ηη .(6) 若线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-kkx x x x x x 2121213122的有解,则长数=k 15/4 .解: 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-kkx x x x x x 2121213122的有解,则其系数阵的秩=增广阵的秩,有0=A所以 0154)3)(1()6(363130211331212112121=-=+---=-+--+-+--=k k k k k r r r r kkA . 3. 单项选择题(1) 向量组(I)线性相关的充分必要条件是（ B ）. (A) (I)中每个向量都可由其余向量线性表示.(B) (I)中至少有一个向量都可由其余向量线性表示. (C) (I)中只有一个向量都可由其余向量线性表示. (D) (I)中不包含零向量. 提示:定理3.2.习题四A 组10.下列矩阵是否为正交矩阵？ （1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-61616221210313131 （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2102102131213121 解：（1）),,(321ααα=A ，其中),,(3211==i i α )(,),(j i j i ≠=0αα),,,(321=j i 所以A 为正交矩阵（2）),,(321ααα=A ，其中),,(3211=≠i i α )(,),(j i j i ≠≠0αα),,,(321=j i 所以A 不是正交矩阵11.设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶正交矩阵，证明AB B 1-也是对称矩阵证明： 由题意可知A A T =， 1-=B B T因为AB BAB BT11--=)( 所以AB B1-也是对称矩阵习题五A 组1. 设矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111131111A , 试证向量T)1,1,1(-=α为矩阵A 的属于特征值1=λ的特征向量.解：由 αα⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1111111111131111A所以向量T )1,1,1(-=α为矩阵A 的属于特征值1=λ的特征向量.3. 若0λ是矩阵A 的一个特征值, m 是正整数,试证m 0λ是矩阵m A 的一个特征值. 证明: 由0λ是矩阵A 的一个特征值,存在非零向量α,使得αλα0=A 成立,即α是矩阵A 的属于特征值0λ的特征向量.那么有αλαλαλαλαλαmm m m m m mAA AAAAm AA 02202010011)(=======-----所以m 0λ是矩阵m A 的一个特征值. 4. 若0λ是矩阵A 的一个特征值,试证（1）2020-+λλ是矩阵E A A 22-+的一个特征值; （2）若022=-+E A A ,矩阵A 的特征值只能等于-2或1.证明: 由0λ是矩阵A 的一个特征值,存在非零向量α,使得αλα0=A 成立,即α是矩阵A 的属于特征值0λ的特征向量.那么有(1) αλλααλαλαααα)2()2(02002022-+=-+=-+=-+E A A E A A 所以2020-+λλ是矩阵E A A 22-+的一个特征值. (2) 由022=-+E A A , 和 αλλα)2()2(0202-+=-+E A A , 00=α, 有02020=-+λλ, 得1200=-=λλ，,即矩阵A 的特征值只能等于-2或1. 7. 求下列矩阵的特征值与特征向量. (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2223A 解：由 0)2)(1(4)2)(3(2223=+-=+-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=-λλλλλλλA E 得特征值.2,121-==λλ当11=λ时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组()0=-X A E ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00122421x x ,其基础解系⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211α.所以矩阵A 的属于特征值11=λ的全部特征向量为11αk , 其中1k 是任意非零常数.当22-=λ时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组()02=--X A E ， 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00422121x x ,其基础解系⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122α.所以矩阵A 的属于特征值22-=λ的全部特征向量为22αk , 其中2k 是任意非零常数. (2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=4112A 解：由 0)3(1)2)(4(41122=-=+--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-λλλλλλA E 得特征值.321==λλ当321==λλ时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组()03=-X A E , 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00111121x x ,其基础解系⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11α.所以矩阵A 的属于特征值321==λλ的全部特征向量为αk , 其中k 是任意非零常数.(3) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=311111002A 解：由 3)2(]1)3)(1)[(2(3111112-=+---=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-λλλλλλλλA E 得特征值.2321===λλλ当.2321===λλλ时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组()02=-X A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000111111000321x x x ,其基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,01121αα.所以矩阵A 的属于特征值.2321===λλλ的全部特征向量为2211ααk k +,其中21,k k 是任意不同时为零常数.8. 设A 为3阶矩阵,满足023,0,0=-=+=-A E A E A E , 求 (1)A 的特征值; (2)A 的行列式A .解: (1) 因,0=-A E 得;11=λ因(),0)1(3=---=---=+A E A E A E 即,0=--A E 得;12-=λ因,0232232233=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-A E A E A E 即,023=-A E 得.233=λ (2)由,23,1,1321=-==λλλ和321λλλ=A ,有23-=A .9. 已知矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=x A 44174147的特征值,12,3321===λλλ求x 的值，并求矩阵A 特征向量。