运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第3章

3.1（1）解：, 53351042..715min 212112121≥≥+≥≥++=y y y y y y y t s y y ω（2）解：无限制32132131323213121,0,0 2520474235323..86max y y y y y y y y y y y y y y y t s y y ≤≥=++≤-=+≥+--≤++=ω3.4解：例3原问题6,,1,0603020506070..min 166554433221654321 =≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=j x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x z j对偶问题：6,,1,0111111..603020506070max 655443322161654321 =≥≤+≤+≤+≤+≤+≤++++++=j y y y x y y y y y y y y y t s y y y y y y j ω3.5解：（1）由最优单纯形表可以知道原问题求max ，其初始基变量为54,x x ，最优基的逆阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-31610211B 。

由P32式（2.16）（2.17）（2.18）可知b B b 1-='，5,,1,,1 ='-=='-j P C c P B P j B j j j j σ，其中b 和j P 都是初始数据。

设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21b b b ，5,,1,21 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j a a P j j j ，()321,,c c c C =，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒='-25253161021211b b b B b ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=2531612521211b b b ，解得⎩⎨⎧==10521b b ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⇒='-0211121031610212322211312111a a a a a a P B P j j ，即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-=+-==+-=03161121213161212113161021231313221212211111a a a a a a a a a ，解得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-====121130231322122111a a a a a a()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=---⇒'-=31612102121,0,0,2,4,4132c c c P C c j B j j σ，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=+--=+-2314612142121113132c c c c c c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=6102132c c c所以原问题为：,, 10352..1026max 32132132321≥≤+-≤++-=x x x x x x x x t s x x x z 对偶问题为：, 102263..105min 212121221≥≥+-≥-≥+=y y y y y y y t s y y ω（2）由于对偶问题的最优解为()()()2,4,,5454*=-=-=σσσc c C Y IB IB3.6解：（1）因为3x 的检验数0353≤⨯-c ，所以3c 的可变范围是153≤c 。

目标函数值为2×30＋5×10＋1×10＋5×10＋3×25＋7×5＋6×20＋10×40＝800目标函数值为2×30＋5×10＋1×10＋5×10＋3×25＋7×5＋6×20＋10×40＝800（2）最小元素法：先从311=c 开始分配先从325=c 开始分配，需迭代4次，具体见QM 的迭代 逼近法（结果同最小元素法——先从313=c 开始分配）vj2 2 0 u i1 2 3 产量 0 1 2 10 7 2 8 × 7 × 2 1 2 3 2 1 0 × 2 2 4 1 3 11 3 8 8 × 3 7 × 3 2 4 4 9 2 1 5 × 5 6 -2 5 0 0 0 4 0 × 2 × 4销量757目标函数值为33。

4.5第一种解法（求最大）A B C 产量 甲 18 16 21 180 乙 16 18 22 250 丙 19 14 19 320 销量 250300200用QM 解得玩 具利 润工人第二种解法（求最小）A B C产量甲526449180乙546248250丙516651320销量250300200用QM解得即甲工人做C玩具180个，乙工人做B玩具250个，丙工人做A玩具250个，做B玩具50个，做C玩具20个。

最大利润为：70×250＋80×300＋70×200－41390＝14110元甲乙丙产量A151822400B212516450最低需求290250270最高需求320250350甲1甲2乙丙1丙2产量A1515182222400B2121251616450C M0M M070需求2903025027080用QM解得玩具费用工人地区运费厂家地区运费厂家即A厂供给甲地区化肥150万吨，供给乙地区化肥250万吨；B厂供给甲地区化肥140万吨，供给丙地区化肥310万吨，总运费为14650万元。

中国海洋大学本科生课程大纲一、课程介绍1.课程描述：运筹学是为管理人员在做决策时提供科学的依据，在解决实际问题时主要从全局角度出发，通过建立数学模型及求解实现对实际问题的优化。

它是工商管理专业的重要专业课程之一。

主要内容包括线性规划与单纯形法、线性规划对偶理论与灵敏度分析、整数规划、运输问题、图与网络分析、网络计划技术和排队论等运筹学问题建模思想及其求解方法。

Operational research can help managers to get scientific decision.When solving practical issues, I mainly proceed from the overall perspective, and realized the optimization of practical issues by constructing mathematical models and solving them.And it has become an important discipline of discipline of industrial and commercial students.T he main contents include linear programming,duality theory and sensitivity analysis,integer programming,transportation problem,graph and network analysis,PERT technique,and queue theory etc.2.设计思路：本课程首先讲授运筹学概论，使学生对运筹学有一个大致的了解和认识；然后分别介绍运筹学的主要分支：线性规划及目标规划，图与网络分析及排队论的相关建模及求解方法。

- 1 -3.课程与其他课程的关系：在学习本课程之前应先修线性代数，另外本课程对后管理会计的学习也有一定影响。

第3章 运输问题3.1 复习笔记1．运输问题的数学模型运输问题：已知有m 个生产地点,1,2,,i A i m =…，可供应某种物资，其供应量（产量）分别为i a ，1,2,,i m =…，有n 个销地j B ，1,2,,j n =…，其需要量分别为j b ，1,2,,j n =…，从i A 到j B 运输单位物资的运价（单价）为ij c 。

如何安排运输，能使得总运输成本最小？（1）产销平衡运输问题的数学模型1111min ,1,2,,..,1,2,,0m nij iji j mij j i nij i j ijz c x x b j n s t x a i mx =====⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑∑ 模型特点：①该模型包含m n ⨯个变量，()m n +个约束方程；②该系数矩阵中对应于变量ij x 的系数向量ij P ，其分量中除第i 个和第m j +个为1外，其余的都为零。

即(01010)T ij i m j P e e +==+…………③对于产销平衡的运输问题，有以下关系式存在：111111n m n n m m j ij ij i j i j j i i b x x a ======⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 所以模型最多只有m+n-1个独立约束方程。

即系数矩阵的秩≤m+n -1。

注意：运输问题的基变量一定是m+n-1个，m+n-1个变量构成基变量的充要条件是它们不构成闭回路。

闭回路的特点：在运输产销平衡表中，每一条边都是水平或垂直的；每一行或每一列至多只有两个闭回路的顶点。

（2）产销不平衡运输问题的数学模型当产大于销，即11m n i j i j a b ==>∑∑时，运输问题的数学模型可写成：1111min ,1,2,,..,1,2,,0m n ij iji j mij j i nij i j ijz c x x b j n s t x a i mx =====⎧==⎪⎪⎪≤=⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑∑ 当产小于销，即11m n i j i j a b ==<∑∑时，运输问题的数学模型可写成：11min m n ij ij i j z c x ===∑∑11, (1,2,,), (1,2,,)0nij i j mij j i ij x a i m x b j n x ==⎧==⎪⎪⎪≤=⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑……2．表上作业法表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法，其实质是单纯形法。

社2024pdfcontents •绪论•线性规划•整数规划•动态规划•图与网络分析•存储论•排队论目录01绪论运筹学的起源与发展起源运筹学起源于20世纪30年代，最初是应用在军事领域，旨在研究和解决军事策略和资源分配问题。

发展随着计算机技术的飞速发展和数学理论的不断完善，运筹学逐渐从军事领域扩展到经济、管理、工程等各个领域，并形成了完整的学科体系。

运筹学的定义与特点定义运筹学是一门应用数学、计算机科学和经济学等多学科交叉的综合性学科，旨在通过数学建模、优化算法和计算机技术等方法，对复杂系统进行优化决策。

特点运筹学具有多学科交叉性、广泛应用性、理论性与实践性相结合等特点。

它注重定量分析和实证研究，强调优化决策和系统效率。

经济领域运筹学在经济管理、市场预测、投资决策等方面有广泛应用，如生产计划、库存管理、物流运输等。

社会领域运筹学在社会服务、城市规划、医疗卫生等方面也有应用，如交通规划、教育资源分配等。

工程领域运筹学在工程设计、施工计划、质量控制等方面提供优化方法和技术支持。

军事领域运筹学在军事战略制定、作战计划优化、后勤资源分配等方面发挥重要作用。

运筹学的应用领域02线性规划线性规划问题的数学模型目标函数线性规划问题中需要优化的目标，通常表示为决策变量的线性函数。

约束条件限制决策变量取值的条件，通常表示为决策变量的线性不等式或等式。

决策变量线性规划问题中需要确定的未知量，通常表示为向量形式。

可行域满足所有约束条件的决策变量取值范围所构成的区域。

最优解使目标函数达到最优值的决策变量取值点。

目标函数等值线目标函数取不同值时对应的决策变量取值点所连成的曲线。

线性规划问题的图解法满足所有约束条件且基变量取非负值的决策变量取值点。

初始基可行解通过不断更换基变量和非基变量，使目标函数值不断改善的过程。

迭代过程判断当前基可行解是否为最优解的方法，通常通过计算检验数来实现。

最优性检验单纯形法如何合理安排生产计划以最小化成本或最大化利润。