常用数学思想方法

高三数学《常用数学思想方法》单元训练 TW12选题：刘朝斌 时间：一、选择题1、当直线kx y =与曲线|2||1|--=x e y nx 有3个公共点时，实数k 的取值范围是（ ）A.（0，1）B. （0，1]C.（1，+∞）D.[ 1，+∞）2、若函数x x x f cos )(=在（0，+∞）上的全部极值点按从小到大的顺序排列为,,,,,21⋯⋯n a a a 则对任意正整数n 必有（ ） A.231ππ<-<+n n a a B.ππ<-<+n n a a 12C.201π<-<+n n a a D.021<-<-+n n a a π3、已知直经)0(01>=-++bc c by ax 经过圆05222=--+y y x 的圆心，则cb 14+的最小值为（ ）A.9B.8C.4D.24、设)(x f 的定义域为D ，若)(x f 满足下面两个条件则称)(x f 为闭函数：①)(x f 是D 上的单调函数；②存在D b a ⊆],[，使)(x f 在],[b a 上的值域为],[b a .现已知k x x f ++=12)(为闭函数，则k 的取值范围是（ ）A.211-≤<-kB.1<kC.121<≤k D.1->k5、当]1,2[-∈x 时，不等式03423≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.[3,5--]B.[89,6--]C.[2,6--]D.]3,4[--6、已知b a ,是实数，且b a e <<，其中e 是自然对数的底数，则a b b a 与的大小关系是（ ） A.a b b a > B. a b b a <C. a b b a =D. a b b a 与的大小关系不确定7、设1.02.03.07,3,2===c b a ，则c b a ,,的大小关系为（ ）A.b a c <<B.b c a <<C.c b a <<D.a b c <<8、若存在正数x 使1)(2<-a x x 成立，则a 的取值范围是（ ）A.),(+∞-∞B.),2(+∞-C. ),0(+∞D. ),1(+∞-9、已知函数m x x x f --+=24)(有两个零点，实数m 的取值范围为（ ）A.[2，22）B. [2，22]C.)22,22(-D.[22,22-]二、填空题10、设函数⎩⎨⎧≥--<+=,1,2,1,2)(x a x x a x x f 若)1()1(a f a f +<-，则实数a 的取值范围是________.11、已知实数4321,,,a a a a 满足0,0242241321=-+=++a a a a a a a a ，且321a a a >>，则4a 的取值范围是___________.12、已知)sin ,cos 2(),,(sin ),cos ,(sin k x x k x x x --===.若23)(min )(-=⋅+=c b a x g ，则=k _________.13、已知关于x 的不等式23+>ax x 的解集为}4|{b x x <<，则ab =___________. 三、解答题14、已知数列}{n a 满足*+∈+==N n a a a a n nn ,123,5311.（1）求证：数列}11{-na 为等比数列； （2）是否存在互不相等的正整数t s m ,,使t s m ,,成等差数列，且1,1,1---t s m a a a 成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的t s m ,,；如果不存在，请说明理由.15、设函数111)(+-+=x x nx a x f ，其中a 为常数. （1）若0=a ，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）讨论函数)(x f 的单调性.16、已知函数1211)(2+++=x a nx a x f . （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）当01<<-a 时，有)(121)(a n ax f -+>恒成立，求a 的取值范围.17、已知函数)(1)(,1)(R a nx a x g xx x f ∈=-=.（1）2-≥a 时，求)()()(x g x f x F -=的单调区间；（2）设)()()(x g x f x h +=，且)(x h 有两个极值点21,x x ，其中]21,0(1∈x ，求)()(21x h x h -的最小值.18、已知函数R x a ax x x f ∈>-=),0(32)(32.（1）求)(x f 的单调区间和极值；；（2）若对于任意的),2(1+∞∈x ，都存在),1(2+∞∈x ，使得1)()(21=⋅x f x f .求a 的取值范围.19、已知数列}{n a 满足0>n a ，且对一切*∈N n ，有213n ni i S a =∑=，其中n S 为数列}{n a 的前n 项和.（1）求证：对一切*∈N n ，有n n n S a a 2121=-++；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）求证：122126543211+-<⋅⋯⋅⋅⋅n n n a a a a a a a a a .20、已知函数x a ax x x f )44()(22++=，其中0<a . （1）当4-=a 时，求)(x f 的单调递增区间； （2）若)(x f 在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值.高三数学《常用数学思想方法》单元训练 TW12参考答案1、A画出函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<<-+=--=2,2,21,22,10,21|2||1|x x x x x x nx e y 的图像以及函数kx y =的图象，如图所示，由图像可知，如果两个函数的图像有3个公共点，则直线kx y =的斜率必须介于0，1之间，所以10<<k .2、B对)(x f 求导，得x x x x f sin cos )(-='，令0)(='x f ，得x xtan 1=.函数x y 1=和x y tan =的部分图像如图所示，可知1+n n a a 与就是两个函数图像相邻交点的横坐标.由于函数xy 1=在),0(+∞上是减函数，所以随着n 的增加，n a 越来越接近相应周期内x y tan =的零点，所以π<-+n n a a 1.又1+n n a a 与在相应周期内x y tan =零点的右侧，因此21π>-+n n a a.3、A构造辅助函数xnxx f 1)(=，因为211)(x nx x f -='，所以在),(+∞e 上，)(,0)(x f x f >'为减函数，则)()(b f a f >，即a b nb na nb a na b bnba na 11,11,11>>>，所以ab b a >. 4、A函数的定义域为),21[+∞-∈x ，显然在定义域上函数)(x f 递增，依题可知在),21[+∞-∈x 上，方程12+=-x k x 有两个不同的解，如图，结合图像易得实数k 的取值范围为211-≤<-k .5、C当]1,0(∈x 时，得xx x a 1)1(4)1(323+--≥，则),1[+∞∈t ，t t t a +--≥2343，令),1[,43)(23+∞∈+--=t t t t t g ，则)19)(1(189)(2-+-=+--='t t t t t g ，显然在),1[+∞上，)(,0)(t g t g <'单调递减，所以6)1()(max -==g t g ，因此6-≥a ；同理，当)0,2[-∈x 时，得2-≤a .由以上两种情况得26-≤≤-a ，显然当0=x 时也成立.故实数a 的取值范围为]2,6[--. 6、A构造辅助函数xnxx f 1)(=，因为211)(x nx x f -='，所以在),(+∞e 上，)(,0)(x f x f <'为减函数，则)()(b f a f >，即,11,11,11a b nb na b an na b bnba na >>>所以ab b a >. 7、A由三视图知该几何体为一个四棱台，侧面梯形的上底长为2，下底长为4，高为正视图梯形的腰长，即为5，则棱台的侧面积为512425)42(=⨯⨯+. 8、D解法一 存在正数x 使xx x a x a x 211)(2->⇔<-使存在正数成立，因为函数x x x f 21)(-=在),0(+∞上单调递增，所以1)0()(-=>f x f ，即函数xx x f 21)(-=的值域为),1(+∞-，所以a 的取值范围是),1(+∞-，应选D. 解法二存在正数x 使xx a x x a x 211)(2<-⇔<-使存在正数成立，在同一平面直角坐标系内作出直线)0(21>=-=x y a x y x与的图象，如图所示，由题意知，在),0(+∞上，直线a x y -=有部分在曲线)21x y =的下方，观察图像可知，有1<-a ，解得1->a ，应选D. 9、A设m x x h x x g +-=-=)(,4)(2，则函数)(x f 的零点即函数)()(x h x g 与的图像交点的横坐标.由题意，可知函数)()(x h x g 与的图像有两个交点.如图，分别作出函数)()(x h x g 与的图像，函数)(x g 的图像为圆x y x 与422=+轴的两个交点及x 轴上方部分，函数)(x h 的图像是斜率为1-的直线.由图，可知当直线和半圆相切时只有一个交点，此时由直线和圆相切得211|22=+m ，解得22±=m ，显然此时0>m ，故22=m .当直线过点（2，0）和（0，2）时，直线和半圆有两个交点，此时2=m . 显然，当]22,2[∈m 时，直线和半圆有两个交点，即函数)(x f 有两个零点.10、)0,43(-显然0≠a ，当0<a 时，⎩⎨⎧<+>-,11,11a a 所以a a a a ++<---)1(22)1(，得043<<-a ；当0>a 时，⎩⎨⎧>+<-,11,11a a 由a a a a ++>---)1(22)1(，得23-<a ，此时a 不存在.综上，实数a 的取值范围是043<<-a . 11、)251,251(+--- 由0321=++a a a ，得321a a a -=+，又321a a a >>，可知0,031<>a a ，且021>+a a .此时令y a x a ==21,，此有⎪⎩⎪⎨⎧>+>>,0,,0y x y x x 画出可行域如图中阴影部分所示.又0242241=-+a a a a a ，即0)1(424=-+y a x a ， 显然14=a 时不满足题意，则0)1(424=-+y a x a 可变形为x a a y 1424-=，则有111424<--<-a a .由11424--<-a a ，解得14<a ；由11424<--a a ，解得125125144>+-<<--a a 或. 综上，4a 的取值范围是)251,251(+---.12、0由)cos ,sin 2(k x x +=+，所以k x x k x k x x x c b a x g +-=-++-=⋅+=cos sin 3))(sin (cos cos sin 4)()(2)cos (sin k x x --.令)4sin(2cos sin π-=-=x x x t ，则]2,2[-∈t ，且x x x x x x t cos sin 21cos sin 2cos sin 222-=-+=，所以21cos sin 2t x x -=.所以)(x g 可化为2323213)(2222--+=-+-⨯-=k kt t k kt t t h ，]2,2[-∈t ， 对称轴3232kkt -=⨯-=. ①当23-<-k，即23>k 时， 23223)2()2(23)2()(222min +--=---+-⨯=-=k k k k h x g .由232322-=+--k k ，得0322=-+k k .所以2142±-=k . 因为23>k ，所以此时无解. ②当232≤-≤-k， 即2323≤≤-k 时，236723)3()3(23)3()(222min --=---+-⨯=-=k k k k k k h x g .由2323672-=--k ，得]23,23[0-∈=k .③当23>-k，即23-<k 时，232232)2(23)2()(222min ++-=--⨯+⨯==k k k k h x g .由232322-=++-k k ，得0322=--k k ，所以2142±=k . 因为23-<k ，所以此时无解.综上所述，当0=k 时，)(x g 的最小值为23-. 13、29 设)0(23)(,)(≥+==x ax x g x x f .因为23+>ax x 的解集为}4|{b x x <<，所以两函数图像在b x <<4上有)()(x g x f >，如图所示.当b x x ==,4时，由)()(x g x f =，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=,23,2344ab b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==,36,81b a 所以293681=⨯=ab .14、（1）因为1231+=+n nn a a a ，所以323111+=+n n a a .所以)11(31111-=-+nn a a . 因为531=a ，则3211=-n a . 所以数列}11{-na 是首项为32，公比为31的等比数列.（2）由（1），知n n n a 32)31(32111=⨯=--，所以233+=n n n a .假设存在互不相等的正整数t s m ,,满足条件，则有⎩⎨⎧--=-=+)1)(1()1(,22t m s a a a s t m 由233+=n nn a 与)1)(1()1(2--=-t m s a a a ， 得)1233)(1233()1233(2-+-+=-+t t m m s s ， 即s s t m t m 343323232⨯+=⨯+⨯++.因为s t m 2=+，所以s t m 3233⨯=+. 因为s t m t m 323233⨯=≥++，当且仅当t m =时等号成立，这与t s m ,,互不相等矛盾.所以不存在互不相等的正整数t s m ,,满足条件.15、（1）由题意知0=a 时，),0(,11)(+∞∈+-=x x x x f .此时2)1(2)(+='x x f . 可得21)1(='f ，又0)1(=f ， 所以曲线))1(,1()(f x f y 在=处的切线方程为012=--y x .（2）函数)(x f 的定义域为),0(+∞.222)1()22()1(2)(++++=++='x x a x a ax x x a x f . 当0≥a 时，0)(>'x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增.当0<a 时，令a x a ax x g +++=)22()(2，由于)12(44)22(22+=-+=∆a a a ，① 当21-=a 时，0=∆，0)1()1(21)(22≤+--='x x x x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递减. ②当21-<a 时，0)(,0<<∆x g ， 0)(<'x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递减. ③当021<<-a 时，0>∆. 设)(,2121x x x x <是函数)(x g 的两个零点， 则aa a x 12)1(1+++-=， aa a x 12)1(2+-+-=. 由0121212)1(21>-+-++=+++-=aa a a a a a x ， 所以),0(1x x ∈时，0)(,0)(<'<x f x g ，函数)(x f 单调递减，),(21x x x ∈时，0)(,0)(>'>x f x g ，函数)(x f 单调递增，),(2+∞∈x x 时，0)(,0)(<'<x f x g ，函数)(x f 单调递减，综上可得：当0≥a 时，函数)(x f 在),0(+∞单调递增； 当21-≤a ，函数)(x f 在),0(+∞单调递减； 当021<<-a 时， )(x f 在),12)1((),12)1(,0(+∞--+-+++-aa a a a a 上单调递减， 在)12)1(,12)1((aa a a a a --+-+++-上单调递增. 16、（1）),0(,)1()(2+∞∈++='x xa x a x f .①当01≤+a ，即1-≤a 时，0)(<'x f ，所以)(x f 在),0(+∞上单调递减. ②当0≥a 时，0)(>'x f ，所以)(x f 在),0(+∞上单调递增.③当01<<-a 时，由0)(>'x f ，得12+->a a x ，所以1+->a a x 或1+--<a a x （舍去），所以)(x f 在),1[+∞+-a a 上单调递增，在]1,0(+-a a 上单调递减. 综上，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增；当01<<-a 时；)(x f 在),1[+∞+-a a 上单调递增，在]1,0(+-a a 上单调递减；当1-≤a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递减. （2）由（1），知当01<<-a 时，)1()(m i n +-=a a f x f ，即原不等式等价于)(121)1(a n a a a f -+>+-， 即)(121112111a n a a a a a a n a -+>++-⋅+++-，整理得1)1(1->+a n ，所以11->e a . 又01<<-a ，所以a 的取值范围为)0,11(-e.17、（1）由题意nx a x x x F 11)(--=，其定义域为),0(+∞，则221)(xax x x F +-='. 令1)(2+-=ax x x m ，则其对应的一元二次方程的判别式42-=∆a . ①当22≤≤-a 时，0)(≥'x F ，所以)(x F 的单调递增区间是),0(+∞；②当2>a 时，0)(='x F 的两根为24,242221-+=--=a a x a a x ， 所以)(x F 的单调增区间为),242[]242,0(+∞-+--a a a a 和. 综上，当22≤≤-a 时，)(x F 的单调递增区间是为),0(+∞；当2>a 时，)(x F 的单调增区间为),242[]242,0(+∞-+--a a a a 和， )(x F 的单调减区间为]242,242[-+--a a a a . （2）由题意nx a x x x h 11)(+-=，其定义域为),0(+∞. 求导得，222111)(x ax x x a x x h ++=++='. 设0)(='x h 的两根分别为21,x x ，则有a x x x x -=+=⋅2121,1， 所以121x x =，从而有111x x a --=. 令)1[(2]11)1(1[1)1(1)1()()(xx x n x x x x nx x x x x x h x h x H --=⋅--+----+-=-= ]11xx nx -+， 则221)1)(1(21)11(2)(x nx x x nx x x H +-=-='. 当]21,0(∈x 时，0)(<'x H ，所以)(x H 在)21,0(上单调递减. 又)()()1()()(21111x h x h x h x h x H -=-=， 所以3251)21()]()([min 21-==-n H x h x h .18、（1）由已知，有)0(22)(2>-='a ax x x f .令0)(='x f ，解得0=x 或ax 1=. 当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：所以)(x f 的单调递增区间是)1,0(a ；单调递减区间是),1(),0,(+∞-∞a. 当0=x 时，)(x f 有极小值，且极小值0)0(=f ；当ax 1=时，)(x f 有极大值，且极大值231)1(aa f =. （2）由0)23()0(==a f f 及（I ）知，当)23,0(ax ∈时，0)(>x f ； 当),23(+∞∈ax 时，0)(<x f . 设集合)},2(|)({+∞∈=x x f A ，集合}0)(),,1(|)(1{≠+∞+∈=x f x x f B .则“对于任意的),2(1+∞∈x ，都存在),1(2+∞∈x ，使得1)()(21=⋅x f x f ”等价于B A ⊆.显然，B ∉0.下面分三种情况讨论： ①当223>a ，即430<<a 时，由0)23(=a f 可得，A ∈0，而B ∉0，所以B A 不是的子集. ②当2231≤≤a ，即2343≤≤a 时，有0)2(≤f ，且此时)(x f 在),2(+∞上单调递减，故))2(,(f A -∞=，因而)0,(-∞⊆A ；由0)1(≥f ，有)(x f 在),1(+∞上的取值范围包含)0,(-∞，则)0,(-∞B ⊆.所以B A ⊆. ③当223<a ，即23>a 时，有0)1(<f ，且此时)(x f 在),1(+∞上单调递减，故))2(,(),0,)1(1(f A f B -∞==， 所以B A 不是的子集.综上，a 的取值范围是]23,43[.19、（1）因为213nn i i S a =∑=，所以21113++==∑n n i i S a ，两式相减，得 111122131)2())((+++++++=+-=-=n n n n n n n n n n a a S S S S S S S a .因为01>+n a ，所以n n n S a a 2121=-++.（2）由（1）知，n n n S a a 2121=-++及2,212≥=--n S a a n n n ，可得n n n n n n a a a a a a +=-++++111))((.因为01>++n n a a ，所以)2(11≥=-+n a a n n .当2,1=n 时，可求得2,121==a a .所以}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列，故)(*∈=N n n a n .（3）欲证此不等式成立，即证不等式121212654321+<-⋅⋯⋅⋅⋅n n n 成立. 设=M 122765432,212654321+⋅⋯⋅⋅⋅=-⋅⋯⋅⋅⋅n n N n n ， 因为N M <，所以1212+=<n MN M ，即121+<n M .于是原不等式得证. 20、（1）当4-=a 时，由0)2)(25(2_(=--='xx x x f 得)52,0(∈x 或),2(+∞∈x ， 故函数)(x f 的单调递增区间为)52,0(和),2(+∞. （2）0,2)2)(10()(<++='a x a x a x x f ，由0)(='x f 得210a x a x -=-=或. 当)10,0(a x -∈时，)(x f 单调递增；当)2,10(a a x --∈时，)(x f 单调递减；当),2(+∞-∈a x 时，)(x f 单调递增. 易知0)2()(2≥+=x a x x f ，且0)2(=-a f . ①当12≤-a 时，即02<≤-a 时，)(x f 在[1，4]上的最小值为)1(f ，由844)1(2=++=a a f ，得222-±=a ，均不符合题意. ②当421≤-<a 时，即28-≤≤-a 时，)(x f 在[1，4]上的最小值为0)2(=-a f ，不符合题意. ③当42>-a 时，即8-<a 时，)(x f 在[1，4]上的最小值为可能在41==x x 或处取得，而8)1(≠f ，由6108)1664(2)4(2-=-==++=a a a a f 或得（舍去），当10-=a 时，)(x f 在（1，4）单调递减，)(x f 在[1，4]上的最小值为8)4(=f ，符合题意.综上有，10-=a .。