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2020—2021学年高二年级阶段性测试（二）英语考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后,你将有2分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题;每小题1.5分，满分7. 5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. £ 19. 15.B.£9. 18.C. £ 9.15.答案是C o1. What is the man speaker going to do on Sunday?A. Visit his mother.B. Do some gardening.C. Move into a new house.2. What does the man think the building might be?A. An apartment building.B. A hotel.C. A department store.3. Where does the conversation take place?A. In a store.B. In a bank.C. In a classroom.4. When will the next bus come?A. At 6： 35.B. At 6： 45.C. At 7： 00.5. When does the conversation probably take place?A. At4：30 p. m.B. At 5 ： 00 p. m.C. At 5 :30 p. m.第二节（共15小题;每小题1.5分，满分22. 5分）听下面5段对话或独白。
河南省郑州市实验高级中学2020-2021学年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则三者的大小关系是( )A．B．C．D．参考答案：C略2. 圆与圆的位置关系是A．内切B．相交C．外切D．相离参考答案：B3. 如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形. 其中正确的说法是（）（1）动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上（2）恒有平面A′GF⊥平面BCED（3）三棱锥A′—FED的体积有最大值（4）异面直线A′E与BD不可能垂直A. (1)(2)(3)B. (1) (2)(4)C. (2)(3)(4)D. (1)(3)(4)参考答案：A4. 两条不平行的直线，它们的平行投影不可能是（）A．一点和一条直线B．两条平行直线C．两个点D．两条相交直线参考答案：C【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】两条不平行的直线，要做这两条直线的平行投影，投影可能是两条平行线，可能是一点和一条直线，可能是两条相交线，不能是两个点，若想出现两个点，这两条直线需要同时与投影面垂直，这样两条线就是平行关系．【解答】解：∵有两条不平行的直线，∴这两条直线是异面或相交，其平行投影不可能是两个点，若想出现两个点，这两条直线需要同时与投影面垂直，这样两条线就是平行关系．与已知矛盾．故选C．5. 函数的实数解落在的区间是（）参考答案：B略6. 设都为正数，那么用反证法证明“三个数至少有一个不小于2“时，正确的反设是这三个数( )A．都不大于2 B．都不小于2 C.至少有一个不大于2 D．都小于2参考答案：D7. 若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（）A． B． C．－45 D．45参考答案：D8. 若直线经过圆的圆心，则的最大值是（）A.1B.2C.4D.参考答案：A9. 在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，则=（）A．B．C．D．2参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】由条件求得c=4，再利用余弦定理求得a，利用正弦定理可得=2R=的值．【解答】解：△ABC中，∵A=60°，b=1，S△ABC==bc?sinA=?，∴c=4．再由余弦定理可得a2=c2+b2﹣2bc?cosA=13，∴a=．∴=2R===，R为△ABC外接圆的半径，故选：B．10. 如图所示是一个几何体的三视图，则其表面积为（）A. B.C. D. 参考答案：A【分析】根据三视图可得对应的三棱锥，逐个计算其侧面积和底面积可得其表面积.【详解】将三视图复原后得到的几何体即为如图所示的三棱锥，其中是棱长为4的正方体的顶点，为正方体的底面中心，注意到所以，，，因此该三棱锥的表面积等于.故选A.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知定圆M：，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③拋物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果的序号为___．参考答案：①②④⑥当点A在在圆M内，，，则点的轨迹是以为焦点的椭圆，当点在圆上时，由于，线段的中垂线交直线于，点的轨迹为一个点；点在圆外时，，，则点的轨迹是以为焦点的双曲线；当点与重合时，为半径的中点，点的轨迹是以M为圆心，2为半径的圆，其中正确的命题序号为①②④⑥.【点睛】求点的轨迹问题，主要方法有直接法、定义法、坐标相关法、参数法等，本题利用几何图象中的等量关系找出动点需要满足的条件，根据常见曲线的定义衡量其符合哪种曲线的定义，根据定义要求，写出曲线方程.本题由于点A为圆面上任意一点，所以需要讨论点A在圆心、圆内、圆上、圆外几种情况讨论研究，给出相应的轨迹方程.12. 已知等差数列{a n}的前三项依次为a﹣1，2a+1，a+4，则a= ．参考答案：【考点】等差数列的通项公式．【分析】a﹣1，2a+1，a+4是等差数列{a n}的前三项，直接利用等差中项的概念列式计算a的值．【解答】解：因为a﹣1，2a+1，a+4是等差数列{a n}的前三项，所以有2（2a+1）=（a﹣1）+（a﹣4），解得：a=．故答案为．13. 如图所示，正方形ABCD的边长为2，椭圆及双曲线均以正方形顶点B，D为焦点且经过线段AB的中点E，则椭圆与双曲线离心率之比为_______．参考答案：【分析】先由题意求出，，的长，结合椭圆与双曲线的定义，求出，即可求出离心率之比. 【详解】因为正方形的边长为，为中点，所以，，；由椭圆定义可得，根据双曲线定义可得；所以椭圆与双曲线离心率之比为.故答案为14. 已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，A为上顶点，连接AF1并延长交椭圆于点B，则BF1长为．参考答案：15. 求圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的方程。
河南省郑州市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 文注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 参考公式和数据：1．对于一组具有线性相关关系的数据，(),i i x y ()1,2,3,,i n =⋅⋅⋅其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-； 2．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++；3．参考数据：()2P K k >0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.0100.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在用反证法证明命题“已知0a >，0b >，且13a b +>．求证：31b a ++，2a b+中至少有一个小于4”时，假设正确的是（ ）A ．假设31b a ++，2a b +都不大于4 B ．假设31b a ++，2a b +都不小于4 C ．假设31b a ++，2a b +都小于4 D ．假设31b a ++，2a b+都大于42．如图，复平面内的点Z 对应的复数记为z ，则对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关某数学建模小组建立了茶水冷却时间x 和茶水温度y 的一组数据(),i i x y ．经过分析，提出了四种回归模型，①②③④四种模型的残差平方和()21ˆni i i y y=-∑的值分别是098．，080．，012.，1.36．则拟合效果最好的模型是（ ） A ．模型① B ．模型② C ．模型③ D ．模型④4．（选修4－4：坐标系与参数方程）将曲线2220x y x --=变换为曲线221640x y '''--=的一个伸缩变换为（ ）A ．212x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，B ．214x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，C ．1212x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，D ．14x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，（选修4－5：不等式选讲）若关于x 的不等式2123x x a a ++-≤+-()a ∈R 的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．32a -<<B ．11a -<<C ．01a <<D ．1a <-5．已知bg 糖水中含有ag 糖()0b a >>，若再添加mg 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定成立的是（ ）A ．a a mb b m+>+B ．22mma m ab m b ++<++ C ．()()()()22a m b m a m b m ++<++ D ．121313b a ->- 6．“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．下表记录了第x 年（2016年为第一年）捐赠现金y （万元）的数据情况．由表中数据得到了y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ295y bx =+．，预测2021年该商会捐赠现金______万元．A ．4.25B ．5.25C ．5.65D ．4.757．若输出的S 的值等于26，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ）A ．10i >B ．11i >C ．12i >D ．13i >8．已知正数a ，b 满足1256255a b ⨯=，则3a b +的最小值为（ ） A ．25 B ．24 C ．27 D ．59．任何一个复数z a bi =+都可以表示成()cos sin z r i θθ=+的形式，我们把()cos sin r i θθ+叫做复数的三角形式．已知cossin33z i ππ=+，则下列结论正确的是（ ）A ．2z 的实部为1B ．21z z =-C ．2z z = D ．22z =10．（选修4－4：坐标系与参数方程）已知曲线Γ的参数方程3sin ,2cos ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，且0θπ≤≤）．若以下曲线中有一个是Γ，则曲线Γ是（ ）A ．B ．C ．D ．（选修4－5：不等式选讲）已知a b c >>，若14ma b b c a c+≥---恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．3B ．4C ．8D ．911．胡夫金字塔的形状为正四棱锥．1859年，英国作家约翰·泰勒在其《大金字塔》一书中提出：埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金比例15 1.6182⎛⎫+≈ ⎪ ⎪⎝⎭，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方，如图，即2h as =．已知四棱锥底面是边长约为860英尺的正方形()2860a =，顶点P 的投影在底面中心O ，H 为BC 中点，根据以上条件，PH 的长度（单位：英尺）约为（ ）A ．3479．B ．512.4C ．6116．D ．695.712．已知0a b c d <<<<，若dcc d =，则ba 与ab 的大小关系为（ ） A ．baa b < B ．baa b = C ．baa b > D ．不确定第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若2i -为方程220x mx n ++=（m ，n ∈R ）的一个根，则n =______． 14．从某大学随机选择8名女大学生，其身高和体重数据如表所示： 身高x （cm ） 155 157 165 165 165 170 170 175体重y （kg ）43 50 48 5761 54 59 64根据表中的数据可得回归直线方程ˆ0.84985.712yx =-，20.64R ≈，这表明女大学生的体重差异有______是由身高引起的．15．在等差数列{}n a 中，若80a =，则121215n n a a a a a a -++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（15n <，*n ∈N ）.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若151b =，则存在的等式为______． 16．已知函数()()()333322f x x a x b x a x =++-+--有五个不同的零点，且所有零点之和为52，则实数b 的值为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．ABCD 为复平面内的平行四边形，向量OA 对应的复数为5，AB 对应的复数为23i --，BC 对应的复数为64i -+．（Ⅰ）求点D 对应的复数;（Ⅱ）判断A 、B 、C 、D 四点是否在同一个圆上？并证明你的结论．18．（选修4－4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立板坐标系，已知曲线E 的极坐标方程为2241sin ρθ=+；直线l 的倾斜角为34π，且l 经过曲线E 的左顶点．（Ⅰ）求曲线E 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）求曲线E 的内接矩形ABCD 的周长的最大值． （选修4－5：不等式选讲）已知函数()1112f x x x =--+． （Ⅰ）求()f x 的最大值，并在网格纸中作出函数()f x 的图象；（Ⅱ）求()6f x x ≤-的解集．19．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，随机调查了一段时间内该医院50名男宝宝和50名女宝宝的出生时间，通过分析数据得到下面等高条形图：（Ⅰ）根据所给等高条形图数据，完成下面的22⨯列联表，并通过图形和数据直观判断婴儿性别与出生时间是否有关？晚上 白天 合计 男婴 女婴 合计（Ⅱ）根据（Ⅰ）中列联表，能否在犯错误概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别与出生的时间有关？ 20．（选修4－4：坐标系与参数方程）平面直角坐标系xOy 中，射线l ：33y x =()0x ≥，曲线1C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）；以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=．（Ⅰ）写出射线l 的极坐标方程、曲线1C 的普通方程；（Ⅱ）已知射线l 与1C 交于点A ，与2C 交于点B （B 异于点O ），求AB 的值． （选修4－5：不等式选讲）已知函数()2f x x a =+． （Ⅰ）当1a =-时，求不等式()93f x x x -≥-+的解集；（Ⅱ）是否存在实数a 使得()34f x x x ++≤+的解集中包含[]01，．若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．21．红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y （个）和温度x （℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图现用两种模型①x y a b =⋅（0a >，0b >），②2y cx d =+分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值：xz t()821ii x x =-∑()821i i t t =-∑()()81iii z z x x =--∑()()81iii y y t t =--∑25 2.89 646 168 422688 48.48 70308表中ln i i z y =；8118i i z z ==∑；2i i t x =；8118i t t ==∑．（Ⅰ）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中所选择的模型，求出y 关于x 的回归方程（计算过程中四舍五入保留两位小数），并求温度为35℃时，产卵数y 的预报值． 参考数据： 5.61273e≈， 5.70299e ≈， 5.79327e ≈．22．开普勒说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，”波利亚也曾说过：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题．”在选修1—2第二章《推理与证明》的学习中，我们知道，平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体等．如图，如果四面体D EFP -中棱DE ，DF ，DP 两两垂直，那么称四面体D EFP -为直角四面体．请类比直角三角形ABC （h 表示斜边上的高）中的性质给出直角四面体D EFP -中的两个性质，并给出证明．直角三角形ABC直角四面体D EFP -条件 CA CB ⊥ DE DF ⊥，DE DP ⊥，DF DP ⊥结论1 222a b c +=结论2 222111h a b=+郑州市2020—2021下期高二文科数学考试评分参考一、选择题 题号 123456789101112答案B BC A BD A C B D D A二、填空题13．10； 14．64%； 15．121229n n bb b bb b -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅（15n <，*n ∈N ）备注:考生不写小括号内容不给分． 16．3225．（或者4129）． 三、解答题17．解：（1）由题意知，()5,0OA =，()2,3AB =--，()6,4BC =-， 所以()()()5,02,33,3OB OA AB =+=+--=-， 同理()()()3,36,43,1OC OB BC =+=-+-=-， 由AD BC =，得()1,4D -， 则点D 对应的复数14z i =-+．（2）由0AB BC ⋅=，得AB BC ⊥，即AB BC ⊥．∴四边形ABCD 为矩形 ∴A 、B 、C 、D 四点共圆．18．解：（1）因为曲线E 的极坐标方程为222sin4ρρθ=＋．将222x y ρ=＋，sin y ρθ=，代入上式，得2224x y =＋．所以曲线E 的直角坐标方程为22142x y +=； 又∵曲线E 为椭圆，其左顶点坐标为()2,0-，∴直线l的参数方程为：222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）．（2）设椭圆E的内接矩形在第一象限的顶点为()2cos θθ02πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭， ∴椭圆E 的内接矩形的周长y为：()8cos y θθθϕ=+=+（其中sin ϕ=，cos ϕ=）∴椭圆E 的内接矩形的周长的最大值为46．（选修4—5：不等式选讲）解：（1）依题意，()111=2f x x x =--+13,12231,112213,122x x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩所以，当1x =-时，()max 1f x =； 函数()f x 的图象如图所示：（2）由（1）可知，利用图象法，直线6y x =-只与()f x 的图像相交于A ，由613,22y x y x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩解得()3,3A -故当3x ≥时，直线6y x =-在()f x 图象的上方， 即()6f x x ≤-，故解集为[)3,+∞．19．解：（1）根据所给等高条形图数据，完成22⨯列联表如下：晚上白天合计男婴 10 40 50 女婴 20 30 50 合计3070100根据等高条形图，在男婴样本中白天出生的频率要高于女婴样本中白天出生的频率; 根据列联表，男婴样本中白天出生的频率为80%，女婴样本中白天出生的频率为60%． 因此可以直观得到结论:婴儿的性别和出生时间有关系（二者选其一即可给分）（2）根据（1）中列联表，计算()22100402030101004.762 2.7065050703021K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别和出生的时间有关． 20．（选修4－4：坐标系与参数方程） 解：（1）依题意，因为射线l：y x =()0x ≥，故射线l ：6πθ=()0ρ≥；因为1C 的参数方程为：1,1x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得曲线1C 的普通方程：224x y -=．（2）曲线1C 的方程为224x y -=，故曲线1C 的极坐标方程为42cos 2=θρ． 设点A 、B 对应的极坐标分别为()1,ρθ，()2,ρθ，联立l 与1C ，得2,6cos 24,πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 联立l 与2C ，得,68sin ,πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得4,6B π⎛⎫⎪⎝⎭故124AB ρρ=-=-（选修4—5：不等式选讲）解：（1）当1a =-时，原不等式可化为2139x x x -++≥+等价于31239x x x x ≤-⎧⎨---≥+⎩或1321239x x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++≥+⎩或1,22139,x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≥+⎩即52x ≤-或72x ≥，所以不等式的解集是57,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）若存在这样的a ，使得()34f x x x ++≤+的解集中包含[]0,1． 即当[]0,1x ∈时，()34f x x x ++≤+恒成立．11 可得234x a x x +++≤+，得21x a +≤，得1122a a x ---≤≤． 所以11,210,2a a -⎧≥⎪⎪⎨--⎪≤⎪⎩解得1a =-所以存在这样的a ，满足1a =-使得()34f x x x ++≤+的解集中包含[]0,1．21．解：（1）应该选择模型①．理由为：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高．故选模型①比较合适．（2）由（1）知，选用模型①，xy a b =⋅，用两边取对数，得()ln ln ln y b x a =+， 令ln z y =，z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，则()ln ln z b x a =+，()()()8182148.48ln 0.29168ii i i i x x z z b x x ==--==≈-∑∑， ln ln 2.890.2925 4.36a z x b =-=-⨯≈-，于是有ln 029436y x =-．．，所以产卵数y 关于温度x 的回归方程为0.29 4.36x y e-=． 当35x =时，0.2935 4.36 5.79327y e e ⨯-==≈（个）， 所以，在气温在35℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为327个．22．解：记DEF △、DEP △、DFP △、EFP △的面积依次为1S 、2S 、3S 、S ，记DE m =，DF n =，DP p =．结论1：2222123S S S S =++，证明：过D 作DH EF ⊥，垂足为H ，连接PH ， ()22222222222212311112224S S S mn mp np m n m p n p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12 在Rt DEF △中，DE DF DH EF ⋅== DH ＝，PH ==()2222222214S m n n p m p ==++， 2222123S S S S =++．结论2：22221111h m n p =++证明：过D 作DH EF ⊥，垂足为H ，连接PH ， 过D 作DG PH ⊥，垂足为G ，设DG h =，∵h = ∴22222222222221111m n m p n p h m n p m n p ++==++． ∴22221111d m n p =++．。
2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．66．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．27．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．99．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm310．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．1211．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE 上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为______．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为______．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为______．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|=______．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.63519．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（2）若BD=，A1D=2，求二面角A1﹣BD﹣B1的大小．20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为椭圆C 上任意一点，且最小值为0．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若动直线l2，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=e x+ln（x+1）﹣ax．（1）当a=2时，判断函数f（x）在定义域内的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1几何证明选讲]22．自圆O外一点P引圆O的两条割线PAB和PDC，如图所示，其中割线PDC过圆心O．AB= OA，PD=，∠P=15°，（1）求∠PCB的大小；（2）分别球线段BC和PA的长度．[选修4-4坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsinθ+2ρcosθ=20，将曲线C1：（α为参数）经过伸缩变换后得到C2（1）求曲线C2的参数方程；（2）若点M在曲线C2上运动，试求出M到曲线C的距离d的取值范围．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x+a|（1）当a=3时，不等式f（x）≥k+2的解集不是R，求k的取值范围；（2）若不等式f（x）≤1的解集为{x|x≥}，求a的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}【考点】交集及其运算．【分析】分别求解一元二次不等式与指数不等式化简集合A，B，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由x2+x≥0，得x≤﹣1或x≥0，∴A={x|x2+x≥0}={x|x≤﹣1或x≥0}，由5x≥5，得x≥1，∴B={x|5x≥5}={x|x≥1}，∴A∩B={x|x≤﹣1或x≥0}∩{x|x≥1}={x|x≥1}．故选：C．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1 另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：y=sinx是奇函数，但是，[﹣1，1]上单调增函数．y=﹣|x+1|不是奇函数，对于，因为f（﹣x）==﹣=﹣f（x），所以是奇函数，在[﹣1，1]上单调减函数，y=（2x+2﹣x）是偶函数，[﹣1，1]上单调递增．故选：C．4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【考点】相关系数．【分析】A根据相关关系的定义，判断命题A正确；B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强，判断命题B错误；C一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题C正确；D用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，由此判断命题D正确．【解答】解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．故选：B．5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．6【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，∴顶层有3盏灯，故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．2【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，y=5，不满足输出条件，故x=5，再次执行循环体后，y=11，不满足输出条件，故x=11，再次执行循环体后，y=23，满足输出条件，故输出的y值为23，故选：A．7．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程=1（a＞0，b＞0）得y=，即M（c，）．在△MF1F2中tan45°==1即，解得e==+1．故选：C．8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．9【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域要使z=最大，则x最小，y最大即可，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x≥1，y≥1，要使z=的最大，则x最小，y最大即可，由图象知当z=经过点A时，z取得最大值，由，得x=1，y=3，即A（1，3），则z=的最大值是z==9，故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，直四棱锥底面是一个边长为1.5、4的矩形，高是3，由俯视图得三棱锥的底面是直角三角形，直角边为1、4，由正视图得高即四棱锥的侧棱为3，∴几何体的体积V=+1.5×4×3=20（cm3）故选：A．10．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．12【考点】轨迹方程．【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．【解答】解：设=．∵=+（1﹣λ）=+（1﹣λ）．∴C，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线CD．在△ABC中，sinA=．sinC=．由正弦定理得AB==．sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC==．∴S △ABC ==．∴S △ACD =S △ABC =．故选：B ．11．如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（）A ．B ．C ．D ．【考点】轨迹方程．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E 与C 重合时，AK==，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′（x）=﹣x+b=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=﹣x+b，若函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，则f′（x）=﹣x+b=0有解，即﹣x2+bx+a=0有两个不等的正根，则，得b＞2，（a＜0），由f′（x）=0得x1=，x2=，分析易得f（x）的极小值点为x1，∵b＞2，（a＜0），∴x1==∈（0，），则f（x）极小值=f（x1）=alnx1﹣x12+bx1=alnx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a，设g（x）=alnx+x2﹣a，x∈（0，），f（x）的极小值恒大于0等价为g（x）恒大于0，∵g′（x）=+x=＜0，∴g（x）在（0，）上单调递减，故g（x）＞g（）=aln﹣a≥0，得ln≤，即﹣a≤e3，则a≥﹣e3，故a的最小值为是﹣e3，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为﹣．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值为﹣，故答案为：﹣．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为84 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项式（x+）n的展开式的通项，可得y3（x+）n 的展开式的通项，再由x，y的指数为0求得n，r的值，则答案可求．【解答】解：二项式（x+）n的展开式的通项为，则要使y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，需，即n=9，r=3．∴常数项为：．故答案为：84．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为 4 ．【考点】等差数列的性质．【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d，代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出a n、S n，代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：因为a1，a3，a13成等比数列，所以，又a1=1，所以（1+2d）2=1×（1+12d），解得d=2或d=0（舍去），所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，S n==n2，则====﹣2≥2﹣2=4，当且仅当时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案为：4．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|= 16 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设AB方程y=k（x﹣1），与抛物线方程y2=4x联立，利用tan∠AMB=，建立k的方程，求出k，即可得出结论．【解答】解：焦点F（1，0），M（﹣1，0），设AB方程y=k （x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）∵tan∠AMB=，∴=，整理可得2k（x1﹣x2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2…（*）y=k（x﹣1），与y2=4x联立可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0 可得x1x2=1，x1+x2=+2，y1y2=﹣4代入（*）可得2k（x1﹣x2）=?，∴x1﹣x2=，∴（+2）2﹣4=（）2，∴k=±，∴x1+x2=+2=14，∴|AB|==16．故答案为：16．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简可得tanA=tanB，于是C=π﹣2A，代入sin2A（2﹣cosC）=cos2B+化简可求得A；（2）利用正弦定理用B表示出b，c，得到面积S关于B的函数，求出B的范围，得出S的范围．【解答】解：（1）∵，，∴tanA=tanB，∴A=B．∴C=π﹣2A．∵sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，∴sin2A（2+cos2A）=cos2A+，即（1﹣cos2A）（2cos2A+1）=cos2A+，解得cos2A=，∵A+B+C=π，A=B，∴A，∴cosA=，∴A=，C=π﹣2A=．（2）由正弦定理得，∴b=2sinB，c=2sinC=2sin（）=2sinB+2cosB．∴S==2sin2B+2sinBcosB=sin2B﹣cos2B+1=sin（2B﹣）+1．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴．∴＜2B﹣＜，∴2＜sin（2B﹣）≤1+．∴△ABC面积的取值范围是（2，1+]．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，可得结论；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，可得结论．（3）X的取值为1，2，3，再求出X取每一个值的概率，即可求得X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意，K2=≈0.65＜0.708，∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，所抽取的5人中“微信控”有3人，“非微信控”的人数有2人；（3）X=1，2，3，则P（X=1）==0.3，P（X=2）==0.6，P（X=3）==0.1．X的分布列为：X 1 2 3P 0.3 0.6 0.1X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；。
【市级联考】河南省郑州市2020-2021学年下学期期中髙二年级八校联考理科数学试题学校: ____________ 姓名：_____________ 班级：______________ 考号： _____________一、单选题1.复数Z = X的虚部是()1+ /A. 1 E. 1 C. -i D. 一12.要证明√3 + √7 <2√5可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A.综合法B.分析法C.归纳法D.类比法3.设函数/(X)在x = l处存在导数为2,则Ilm Z(I+ ^υ~zω =( ).ΔΛT°3ΔΛ2A. — E. 634.若函数y = x3 + log2x + e^v,则y'=14 1 -VA. -X + ------ + e4Xlll2 C. 3√ + -—-严XIn211C. D.-3 2).B. 1 4 1—X + ----------B. —x + ------ e4 XIn2D. 3十+丄一 +厂XllI25.由曲线y = e∖ y = w"以及x = 1所围成的图形的面积等于A. 2 E・2e-2 C. 2-- )・D. e + --26.二维空间中圆的一维测度(周长)l = 2πr.二维测度(面枳)S = πr观察发现4 Sxr) = I:三维空间中球的二维测度(表面积)S = 4πr2,三维测度(体积)V = -πP ,3观察发现y∖r) = S .则由四维空间中“超球”的三维测度V = SπP，猜想其四维测度W=( )・, 8 . 1 5」A. 24兀厂B. -πrC. -πrD. 2πr43 47.已知函数/(Λ) = OX-Iiir,若/(x)>l在区间(1,+s)内恒成立，则实数d的取值范围是( ).A. (-c<>,l)B. (-∞,1]C. (1,+s)D. [l,+∞)3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个•若以上四位老师中只有一位 老师猜对，则猜对者是()・A.甲 E •乙C •丙D. 丁9.己知α-lnb = O, c-d = l,则(a-c)2 +(b-d)2 的最小值是().A. 1 E. C. 2 D. 2√210. 设/W 是定义在R 上的奇函数，KZ(I) = O t 当X>O 时，有f (X) > xf ∖x)恒成立，则不等式h(χ)>o 的解集为().A. Y,0)U(0,1)B. (F-I)U(OJ)C. (-l,0)u(L+oo)D. (-l,0)U(0,l)11・函数y = 4cosx-ew的图象可能是()12.己知函数f(x) = xe x -e ∖函数g(x) = tnx-m (加＞0),若对任意的x 1 ∈[-2,2],总存在x 2 ∈[-2,2]使得f(x l )≈g(x 2)9则实数加的取值范围是()二、填空题13. F 2 2sin 2 -dx= __________JO2A. [-3e-∖∣]E. [e 2, + ∞) D ∙ [=, + s)14.定义运算 4 aιW b2=cιi b2一a2b l则函数/(X)= 1X -X3的图象在点∖a )处的切线方程是______ .15.观察下列各式：90401 = 3604 3Q4O5=122060505 = 302580803 = 6424根据规律，计算(5O7O4)-(7O4O5) = __________________ .16.已知函数f (X) = e3v^1, g(x) = →lιιx,若/W) = g("),则〃一加的最小值为_ •三、解答題17.己知复数Z = ^bi(beR)f且(l+3i)∙z为纯虚数.(1)求复数Z :(2)若血=右，求复数血以及模I外18.已知函数f(x) = x5+bx2+cx + d的图象过点P(0,2),且在点M(-1J(-1))处的切线方程为6x-y+7 = 0.(I)求/(-1)和广(―1)的值.(II)求函数/V)的解析式.19.在数列匕｝中，a l = -t %+1 = ,求①、①、①的值，由此猜想数列匕｝2 Qn +的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.20.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距640米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为X米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 +JF)X万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建"个桥墩，记余下工程的费用为)'万元.(I)试写出y关于X的函数关系式：(注意：(" + l)x=640)(II)需新建多少个桥墩才能使y最小？21.己知/(x) = Iax-— -(2 + a)Iii X (CI ≥ 0)X(I)当0 = 0时，求/'(X)的极值；(II)当d> O时，讨论/(Q的单调性(I)求实数α的值；(II)若keZ,且Rc丄巴对任意x〉l恒成立，求R的最大值.x-1参考答案1.D【解析】分析：化简复数z,写出它的虚部即可.详解:∙∙∙z的虎部是-1.故选D.点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设% = a + bi, 0 = C+di(a,b,c,dR), 则砒2 = (a + 勿)(c + JZ) = ac-bd + ^ad+bc)i,Z l a + bi (d + bi)(c-di) (CIC+ bd)+(bc-ad)iZ2 c + di (c + di)(c - di) c2+d22.B【解析】【分析】由题意结合所给的不等式逐一考查所给的方法是否合适即可，需要注意综合法与分析法的区别.【详解】因为要证明√3 + √7 <2√5,题中并没有相应的证明方法进行类比，故D不合理.而所给条件只有一个不等式，所以无法应用归纳法，故C不合理.因为不等式左右两端均人于0,所以将不等式两端同时平方后不等式仍然成立，得10 + 2√2T<20≈>√2TV 厉成立，属于从结论出发证明结论成立，为分析法.利用综合法证明题中的不等式显然需要用到分析法的逆过程，直接用综合法不合理•故选B.【点睛】本题主要考查分析法与综合法的区别，属于基础题•3.A【分析】根据导数定义，化为导数表达式即可.反数,所以在用定积分求曲边形面枳时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.6.D【解析】因为IV = 2πr4 VV, = Sπr5 = V ,所以肘=2;FK，应选答案D・点睛：观察和类比题设中的函数关系，本题也可以这样解答：VV = ∫Sπr i dr = -×Sπr4= 2πr4 ,应选答案D.47.D【详解】V∕(x) = αx -hιv, /(Λ)> 1 在(L÷oo)内恒成立，/. a > 1 +111A在(1, +S)内恒成立，设g(χ) = ∏∑ , Λχ∈(l, + oo )时，^(X) =-⅛<0,即g(x)在(l, + ∞)上是单调递X .v减的，∙∙∙g(x) vg(l) = l, ∙∙∙αni,即d的取值范围是［1, + 8),故选D∙点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由/'(x)>0,得函数单调递增，f∖χ)Vo得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为cι>h{x)或αv∕z(x)恒成立，即d>Λmax(X)或d<√7mm(x)即可，利用导数知识结合单调性求出∕g x(x)或∕7mm(x)即得解•8.C【解析】若甲猜对，则乙也猜对，故不满足题意；若乙猜对则丁也可能猜对，故不正确；若丁猜对, 则乙也猜对，故也不满足条件•而如果丙猜对，其他老师都不会对.故答案为C.9.C【分析】设点(b,α)是曲线Ciy = Inx上的点，点(d, C)是直线Γ.y = x+1上的点；(° —c)'+(b —d)'可看成曲线C上的点到直线/上的点的距离的平方.然后将问题转化为求曲线C上一点到直线1距离的最小值的平方，直接对函数y = inx求导，令导数为零，可求出曲线C上到直线/距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式町求出最小距离，从而得出答案・【详解】设(O G)是曲线C.y = hιx±的点，(乩C)是直线∕zy = x + l±的点；(f∕-c)2+ (Z?-^)2可看成曲线C上的点到直线/上的点的距离的平方・对函数y = InX求导得F =丄，令Xy = b得x = l,所以，曲线C上一点到直线/上距离最小的点为(LO),该点到直线/的距离为J；；；］ =Q 因此’(α-c)2+(^-J)2的最小值为(√2)2 =2 .故选C.【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题・10.D【分析】由已知当X>0时，有/(x)>V,(x)恒成立，可判断函数g(χ) = ∙∆W 为减函数，由/(X)是定义在R上的奇函数，可得g (x)为(-P 0) U (0, +∞)上的偶函数，根据函数g (x)在(0, +8)上的单调性和奇偶性，结合g (x)的图象，解不等式即可【详解】设g(x)=lSΔ则£(x)的导数为g.(x)=O⅛±L∑1 •・•当x>o 时总有£ (X) < X Jrf (χ∖f(X)成立，即当x>0时，g z(x) <0, Λ当x>0时，函数g(χ) = u丄为减函数，又—力=上U = (W = g3,・•・函数名(X)为定义域上的偶函数又•・•—Xg(l) =半=0•••函数g(X)的图彖如图：数形结合可得XΛx 2∙g (x) >0Λg (x) >0 .*.0<x< 1 或-l<x<O 故选 D.【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综 合题.11. A【分析】求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项. 【详解】解:当x>0时,y = 4cosx-e x,则 y =-4sinx-e x,Sin X >0,e x > 0 , y =-4SinX-e v <0 ,FI71兰3右XW y^+o° H -4<4smx≤4, £ >(2∙7)3>√I^>4,则 y = -4 SilI X - e x < 0 恒成立,即当x>0时，y=-^nx-e x < 0恒成立，则y = 4 cos X - e x 在(0,+a)上单调递减， 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题・若屮号12.B【分析】由题意，可得门刃在［-2,2］的值域包含于函数g(x)的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.【详解】由题意，函数f(x) = e∖x-l)的导数为f∖x) = xe∖当x>0时，Γ(x)>O,则函数/(x)为单调递增；当XVo时，f(x)<O,则函数/(x)为单调递减，即当J V = O时，函数/(x)取得极小值，且为最小值—1，又由/(一2)= -3e~2J(2) = e2t可得函数/(x)在［—2,2］的值域［—10］,由函数g(x) = IIIX一m(ιn > 0)在［-2,2］递增，可得g (x)的值域［-3∕n, m］,由对于任意的x1∈ [-2,2],总存在x2∈ [-2,2],使得f (x i) = g(X2), “-3/77 ≤-l可得[-Le2]⊂[-3∕n√∕7],即为彳 ,,解得∕w≥e2,故选BUl ≥ L【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为/(x)在［-2,2］的值域包含于函数g(x)的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题・【分析】被积函数利用二倍角的余弦降幕，然后求出被积函数的原函数，代入区间端点值后即门J得到结论•【详解】Jr πIX ξ兰兀・π π I∫2siιf —dX=COSX)dx = (x-SinX) IJ =y-SIn y = y ^∙O 2 O故答案为:p.【点睛】本题考查了定积分，解答此题的关键是把被积函数降幕，此题为基础题.14.6x-3y-5 = 0【分析】由题意先写出函数/(χ)的解析式，然后对/(x)求导，求出切线的斜率，进而可求出切线方程.【详解】所以切线方程为y-∣ = 2(x-l),整理得6x-3y-5 = O,故答案为6x-3y-5 = O【点睛】本题主要考查求函数在某点的切线方程，只需熟记导数的几何意义，函数在某点处的导数即为该点的切线斜率，属于基础题型.15.708【分析】分析各式找到规律即可求解【详解】根据规律可得，50704的最前两位是5×7 = 35,紧接着的两位是7x4 = 2&则5O704=3528,同理得7Q4Q5=2820,故(50704)—(70405) = 708故答案为708【点睛】本题考查合情推理，找到规律是关键，是基础题2+ hι316. -----3【分析】设f = /(〃» = g(")(r > 0)得到加,n 的关系，利用消元法转化为关于t 的函数，构造函数, 求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论.【详解】设f = /(〃?) = g(")(r>0),则 m = 1 +^1IZ ,H = e ~3 .令∕?(f) = “一m = e 3 一 1 (f > 0),则 h ,(t) = e 3 »(1 \•••//(f)在(0,+S)上单调递增，且N - =0,∖ J・・・当0</<扌时，Λ,(r)<O,Λ(f)单调递减；当r>∣时，F(f)>0∕(/)单调递增.= h[~} =13丿故n-ιn 的最小值为土Q.3 口小…2 + ln3 故答杀为—^—.【点睛】 本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究 函数的极值和最值是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度・17.【分析】(1)将(l + 3z)∙z 表示为a + bi 的形式，结合纯虎数的定义即可求解；(2)将(1)的结果代入 Q =二一化简为cι + bi 的形式，结合复数的模长公式即可求解.2 + i【详解】⑴将Z = 3+bi 代入(l+3∕)∙z 得(1+引)∙z = (l + 3f ∙)(3 +仞)= 3-3b+(b+9)d,因为2 + lιι3 •••〃(/)(1 + 3Z)^为纯虚数,所以W 3_3b =0、 b + 解得b = l.所以复数2 = 3 + 1.7(1) z = 3 + ι; (2) ^3+ f _ (3 + Q(2-0 _7-z_ 7 /2 + l~ (2 + i)(2-i)~~Γ~5~5本题主要考查复数的四则运算及纯虚数的概念、复数的模长公式，属于基础题.18. (1) /(-1) = 1,/(-1) = 6; (2) f(x) = x 3-3x 2-3x+2【解析】分析：(1)利用切线方程得到斜率，求出点的坐标即可.(2)利用点的坐标切线的斜率，曲线经过的点列出方程组求法即可.详解：(1) Vf(X)在点M ( - 1, f (・1))处的切线方程为6χ-y+7二0.故点(・1, f ( - 1))在切线6χ-y+7二0上，且切线斜率为6.得 f ( - 1)二 1 且 f' ( - 1) =6.(2) Vf (x)过点 P (0, 2)・•・d=2Vf (X)=χ3+bx"+cx+d∙a . f , (x) =3x 2+2bx+c 由 f' ( - 1) =6 得 3 - 2b+c=6又由 f ( - 1)二1,得-l÷b - c+d=l4=2联立方程! 3-2b+c=6k l≡-l+b"c+d d≡2故 f (x) =x 3 - 3x - - 3x+2点睛：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的解析式的求法，考查计算能力・319・Cl n = ---- ,证明见解析•/7 + 5 Z⑵由⑴知z = 3+ι,所以^ =—=【点睛】【解析】3试题分析：利用递推式直接求。
郑州市2020-2021下期高二文科数学考试评分参考一、选择题题号123456789101112答案B B C A B D A C B D D A二、填空题13.10；14.64%；15.),29(*292121N ∈<=-n n b b b b b b n n 备注:考生不写小括号内容不给分.16.32.25(或者4129).三、解答题17．解:(1)由题意知，)4,6(,)3,2(,)0,5(-=--==BC AB OA ，所以)3,3()3,2()0,5(-=--+=+=AB OA OB ……………………………………1分同理)1,3()4,6()3,3(-=-+-=+=BC OB OC ，…………………………………2分由BC AD =，得)4,1(-D ,…………………………………………………………4分则点D 对应的复数i z 41+-=．……………………………………………………5分（2）由0=⋅BC AB ，得BC AB ⊥，即BC AB ⊥.∴四边形ABCD 为矩形.∴A 、B 、C 、D 四点共圆．……………………………………………………………10分18.(选修4-4：坐标系与参数方程）解:（1）因为曲线E 的极坐标方程为ρ2＋ρ2sin 2θ＝4．将ρ2＝x 2＋y 2，ρsinθ＝y ，代入上式，得x 2＋2y 2＝4．所以曲线E 的直角坐标方程为12422=+y x ;…………………………………………3分又∵曲线E 为椭圆,其左顶点坐标为)0,2(-,∴直线l 的参数方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=t y t x 22222(t 为参数)．……………………………………6分（2）设椭圆E 的内接矩形在第一象限的顶点为)2(0)sin 2,cos 2(πθθθ<<…………………………………………………………8分∴椭圆E 的内接矩形的周长y 为:)sin(64sin 24cos 8ϕθθθ+=+=y (其中62cos ,62sin ==ϕϕ)………………………………………………………10分∴椭圆E 的内接矩形的周长的最大值为64．…………………………………………12分(选修4-5：不等式选讲）解：（1）依题意，f （x ）＝21|x ﹣1|﹣|x +1|＝⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--<<----≤+1,232111,21231,2321x x x x x x …………………2分所以，当1-=x 时，1)(max =x f ；………………3分函数f （x ）的图象如图所示：……………………6分（2）由（1）可知，利用图象法，直线y ＝x ﹣6只与f （x ）的图像相交于A ，由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=,2321,6x y x y 解得)3,3(-A ……………………………………………………………………………10分故当3≥x 时，直线y ＝x ﹣6在f （x ）图象的上方，即f （x ）≤x ﹣6，故解集为)[3,+∞．………………………………………………………………………12分19．解：（1）根据所给等高条形图数据，完成2×2列联表如下：晚上白天合计男婴104050女婴203050合计3070100…………………………………………………3分根据等高条形图,在男婴样本中白天出生的频率要高于女婴样本中白天出生的频率;根据列联表,男婴样本中白天出生的频率为80%,女婴样本中白天出生的频率为60%.因此可以直观得到结论:婴儿的性别和出生时间有关系(二者选其一即可给分)………6分（2）根据（1）中列联表，计算K 2＝2110030705050)10302040(1002=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈4.762>2.706，……………………………11分所以能在犯错误概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别和出生的时间有关．…………………………12分20．(选修4-4：坐标系与参数方程）解:(1)依题意，因为射线l :)0(33≥=x x y ，故射线l :)0(6≥=ρπθ；……………3分因为C 1的参数方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y t t x 11，可得曲线C 1的普通方程:422=-y x ．…………6分（2）曲线C 1的方程为422=-y x ，故曲线C 1的极坐标方程为42cos 2=θρ．………7分设点A 、B 对应的极坐标分别为),(,),(21θρθρ，联立l 与1C ，得⎪⎩⎪⎨⎧=θρπ=θ,42cos ,62解得A 622(π………………………………………9分联立l 与2C ，得⎪⎩⎪⎨⎧θ=π=θ,sin 8,6ρ解得B )6,4(π…………………………………………11分故.22421-=-=ρρAB …………………………………………………………12分(选修4-5：不等式选讲）解：（1）当a ＝﹣1时，原不等式可化为9312+≥++-x x x 等价于⎩⎨⎧+≥----≤9321,3x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+≥++-<<-9321213x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+≥++-≥,9312,21x x x x 即25-≤x 或.27≥x 所以不等式的解集是),27()25,(+∞⋃--∞．……………………………6分(每个可给2分)(2)若存在这样的a ，使得43)(+≤++x x x f 的解集中包含[0，1]．即当]1,0[∈x 时,43)(+≤++x x x f 恒成立.…………………………………………7分可得432+≤+++x x a x ,得12≤+a x ,得2121a x a -≤≤--……………………9分所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥-,021,121a a 解得1-=a …………………………………………………………11分所以存在这样的a ，满足1-=a 使得43)(+≤++x x x f 的解集中包含[0，1].12分21．解：（1）应该选择模型①．……………………………………………………………1分理由为:模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高.故选模型①比较合适．…………………………………………………………………3分(2)由(1)知,选用模型①,x y a b =⋅,用两边取对数,得ax b y ln )(ln ln +=令z ＝ln y ，z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，则a x b z ln )(ln +=………………………………………………………………4分0.2916848.48)())((ln 81281≈=---=∑∑==i i i i ix x z z x x b ……………………………………………6分36.42529.089.2ln ln -≈⨯-=-=b x z a …………………………………………8分于是有ln y ＝0.29x ﹣4.36，所以产卵数y 关于温度x 的回归方程为36.429.0-=x ey .………………………………10分当x ＝35时，79.536.43529.0e e y ==-⨯≈327（个）……………………………………11分所以，在气温在35℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为327个．………………12分22．解：记△DEF 、△DEP 、△DFP 、△EFP 的面积依次为S 1、S 2、S 3、S ，记DE ＝m ,DF ＝n ,DP ＝p,结论1：2322212S S S S ++=………………………………………………………………2分证明：过D 作DH ⊥EF ，垂足为H ，连接PH ，)(41)21()21()21(222222222232221p n p m n m np mp mn S S S ++=++=++在Rt △DEF 中，DH ＝22n m mn EF DF DE +=⋅,PH ＝22DH DP +＝22222n m n m p ++，)(4121222222222222222p m p n n m n m n m p n m S ++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++=2322212S S S S ++=……………………………………………………………………6分结论2：22221111p n m h ++=．……………………………………………………………8分证明：过D 作DH ⊥EF ，垂足为H ，连接PH ，过D 作DG ⊥PH ，垂足为G ，设DG=h ∵222222p n p m n m mnph ++=,∴22222222222221111pn m p n m p n p m n m h ++=++=．∴22221111p n m d ++=．……………………………………………………12分。
河南省郑州市八所省示范高中2020－2021学年上学期高二年级期中联考数学试卷（文科）考试时间：120分钟分值：150分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，A＝60°，B＝45°，则b的长为2.命题“∃x0∈（0，＋∞），lnx0＝x0－1”的否定是A.∃x0∈（0，＋∞），lnx0≠x0－1B.∃x0∉（0，＋∞），lnx0＝x0－1C.∀x∈（0，＋∞），lnx≠x－1D.∀x∉（0，＋∞），lnx＝x－13.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为A.53B.103C.56D.1164.如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a的大小关系为A.a2>a>－aB.－a>a2>aC.－a>a>a2D.a2>－a>a5.已知实数m、n满足2m＋n＝2，其中m>0，n>0，则12m n+的最小值为A.4B.6C.8D.126.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若sin2A＋sin2B－sin2C＝0，a2＋c2－b2－ac＝0，c＝2，则a＝B.1C.12D.27.“m＝－1”是“直线l1：mx＋（2m－1）y＋1＝0与直线l2：3x＋my＋3＝0垂直”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知变量x，y满足约束条件x y103x y10x y10+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z＝2x＋y的最大值为A.1B.2C.3D.49.下列结论正确的是 A.当x>0且x ≠1时，lgx ＋1lg x≥2 B.x>0时，6－x －4x的最大值是2 2的最小值是2D.当x ∈（0，π）时，sinx ＋4sin x的最小值为4 10.设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若bcosC ＋ccosB ＝asinA ，则△ABC 的形状为.A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定11.对于数列{a n }，定义H 0＝n 112na 2a 2a n-++⋅⋅⋅+为{a n }的“优值”。
2020-2021学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若复数z=2-i，则|z|=（）A. $\sqrt{3}$B.3C. $\sqrt{5}$D.52.（单选题，5分）已知函数f（x）的导函数是f'（x），且满足f（x）=2lnx+x2f'（1），则f'（1）=（）A.-2B.0C.1D.23.（单选题，5分）已知随机变量X的分布列如表．则实数a的值为（）B. $\frac{1}{4}$C. $\frac{1}{3}$D. $\frac{1}{2}$4.（单选题，5分）下列四个命题：（1）两个变量相关性越强则相关系数r就越接近于1；（2）两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；（3）在回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好；（4）在独立性检验中，随机变量K2的观测值k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.45.（单选题，5分）校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学．现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有（）种不同的站法．A.2B.6C.12D.246.（单选题，5分）用反证法证明命题：若|x-1|+（y-1）2=0，则x=y=1，应提出的假设为（）A.x，y至少有一个不等于1B.x，y至多有一个不等于1C.x，y都不等于1D.x，y只有一个不等于17.（单选题，5分）“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．如表记录了第x年（2016年为第一年）捐赠现金y（万元）的数据情况．由表中数据得到了y关于x的线性回归方程为 $\hat{y}=\hat{b}x+2.95$ ，预测2021年该商会捐赠现金______万元（）B.5.25C.5.65D.4.758.（单选题，5分）2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测．对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布N（96，52）．据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为（）A. $\frac{1}{32}$B. $\frac{15}{32}$C. $\frac{1}{64}$D. $\frac{15}{64}$9.（单选题，5分）九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）A.12B.18C.24D.3010.（单选题，5分）如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来．以此类推，第n个图形是由正（n+2）边形“扩展”而来，其中n∈N*，那么第8个图形共有（）个顶点A.72B.90C.110D.13211.（单选题，5分）若函数f（x）=x3-3x在区间（2a，3-a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A.（-3，1）B.（-2，1）C. $({-3，-\frac{1}{2}})$D.（-2，-1]12.（单选题，5分）已知函数f（x）= $\left\{\begin{array}{l}{8x-m，x≤\frac{1}{2}}\\{x{e}^{x}-2mx+m，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ （e是自然对数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（）A.（e，+∞）B.（e，4）C.（e，4]D.[e，4]13.（填空题，5分）平面内一点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ．由此类比，空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为 ___ ．14.（填空题，5分）已知m，n是不相等的两个实数，且m，n∈{-1，1，5，8}．在方程mx2+ny2=1所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在x轴上的双曲线的概率为 ___ ．15.（填空题，5分）2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注．作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成 ___ 个不同的六位数．16.（填空题，5分）已知关于x的方程${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，则实数a的取值范围是 ___ ．17.（问答题，10分）已知复数 $z=3+i+\frac{6m}{1-i}$ （m∈R）．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；（Ⅱ）当实数m取什么值时，复平面内表示复数z的点位于第一、三象限．18.（问答题，12分）在二项式 ${({{x^2}+\frac{2}{\sqrt{x}}})^m}$ （m∈N*）的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的 $\frac{1}{8}$ ．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．19.（问答题，12分）已知数列{a n}满足${a_1}=\frac{2}{5}$ ，a n+1a n+2a n+1=2a n，（n∈N*）．（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．20.（问答题，12分）已知函数f（x）=x2-（a+4）x+2alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．21.（问答题，12分）2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动．某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查．统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人．（Ⅰ）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．附：22.（问答题，12分）已知函数f（x）=2x2+xlna，g（x）=ae2x lnx，其中a＞0．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，1），不等式g（x）-f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若复数z=2-i，则|z|=（）A. $\sqrt{3}$B.3C. $\sqrt{5}$D.5【正确答案】：C【解析】：由复数模公式可解决此题．【解答】：解：由复数z=2-i，得|z|= $\sqrt{{2}^{2}+(-1)^{2}}$ = $\sqrt{5}$ ．故选：C．【点评】：本题考查复数模的运算，考查数学运算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）已知函数f（x）的导函数是f'（x），且满足f（x）=2lnx+x2f'（1），则f'（1）=（）A.-2B.0C.1D.2【正确答案】：A【解析】：利用导数的公式求导即可．【解答】：解：$f'(x)=\frac{2}{x}+2x\bullet f'(1)$ ，所以f'（1）=2+2f'（1），解得f'（1）=-2．故选：A．【点评】：本题考查常见函数的导数公式，属于基础题．3.（单选题，5分）已知随机变量X的分布列如表．则实数a的值为（）B. $\frac{1}{4}$C. $\frac{1}{3}$D. $\frac{1}{2}$【正确答案】：B【解析】：利用分布列的性质，列出方程求解即可．【解答】：解：由题意可知 $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+a+a$ =1，解得a= $\frac{1}{4}$ ．故选：B．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列的性质的应用，是基础题．4.（单选题，5分）下列四个命题：（1）两个变量相关性越强则相关系数r就越接近于1；（2）两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；（3）在回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好；（4）在独立性检验中，随机变量K2的观测值k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：直接利用相关系数的定义，残差平方和的定义，独立性检测的定义判断（1）（2）（3）（4）的结论．【解答】：解：对于（1），两个变量相关性越强则相关系数r就越接近于±1，故（1）错误；对于（2），两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故（2）正确；对于（3），在回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好，故（3）正确；对于（4），在独立性检验中，随机变量K2的观测值k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越小，故（4）错误．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：相关系数的定义，残差平方和的定义，独立性检测的定义，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．5.（单选题，5分）校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学．现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有（）种不同的站法．A.2B.6C.12D.24【正确答案】：C【解析】：根据题意，依次分析男生、女生的排法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，分2步进行分析：① 将2名男生安排在两端，有A22=2种排法，② 将3名女生安排在中间三个位置，有A33=6种排法，则有2×6=12种排法；故选：C．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．6.（单选题，5分）用反证法证明命题：若|x-1|+（y-1）2=0，则x=y=1，应提出的假设为（）A.x，y至少有一个不等于1B.x，y至多有一个不等于1C.x，y都不等于1D.x，y只有一个不等于1【正确答案】：A【解析】：反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．【解答】：解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“x，y∈R，若|x-1|+|y-1|=0，则x=y=1”，用反证法证明时应假设x≠1或y≠1，即x，y至少有一个不等于1．故选：A．【点评】：本题考查了反证法，反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．7.（单选题，5分）“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．如表记录了第x年（2016年为第一年）捐赠现金y（万元）的数据情况．由表中数据得到了y关于x的线性回归方程为 $\hat{y}=\hat{b}x+2.95$ ，预测2021年该商会捐赠现金______万元（）B.5.25C.5.65D.4.75【正确答案】：D【解析】：利用回归直线过样本中心点求出回归方程的斜率，再进行预测．【解答】：解： $\overline{x}=\frac{2+3+4+5}{4}=3.5，\overline{y}=\frac{3.5+4+4+4.5}{4}=4$ ，因为 $\overline{y}=\hat{b}\overline{x}+2.95，\;\\;即4=3.5\hat{b}+2.95$ 即：$4=3.5\hat{b}+2.95$ ，解得 $\hat{b}=0.3$ ，所以回归方程为 $\hat{y}=0.3x+2.95$ ，2021年为第6年，所以当x=6时， $\hat{y}=0.3×6+2.95=4.75$ ．故选：D．【点评】：本题考查线性回归方程的求解及其预测功能，属于基础题．8.（单选题，5分）2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测．对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布N（96，52）．据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为（）A. $\frac{1}{32}$B. $\frac{15}{32}$C. $\frac{1}{64}$D. $\frac{15}{64}$【正确答案】：D【解析】：先利用正态分布对称性，求出抽取1名高三学生，数学成绩超过96分的概率为$\frac{1}{2}$ ，然后在利用二项分布的概率公式求解即可．【解答】：解：由题意可知，数学成绩近似地服从正态分布N（96，52），所以抽取1名高三学生，数学成绩超过96分的概率为 $\frac{1}{2}$ ，故所求概率为 ${C}_{6}^{2}×(\frac{1}{2})^{2}×(1-\frac{1}{2})^{4}=\frac{15}{64}$ ．故选：D．【点评】：本题考查了正态分布的性质以及二次分布概率公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．9.（单选题，5分）九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）A.12B.18C.24D.30【正确答案】：D【解析】：根据题意，分2步进行分析：① 将4名同学分为3组，要求甲校2名不在同一组，② 将分好的3组安排到3个班级，由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，分2步进行分析：① 将4名同学分为3组，要求甲校2名不在同一组，有C42-1=5种分组方法，② 将分好的3组安排到3个班级，有A33=6种安排方法，则有5×6=30种分配方法，故选：D．【点评】：本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．10.（单选题，5分）如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来．以此类推，第n个图形是由正（n+2）边形“扩展”而来，其中n∈N*，那么第8个图形共有（）个顶点A.72B.90C.110D.132【正确答案】：C【解析】：列出顶点数与多边形边数，分析归纳出变化规律，从而解得．【解答】：解：由题意可得第n个图形顶点数1 3+3×3=122 4+4×4=203 5+5×5=304 6+6×6=425 ……6 ……7 ……8 10+10×10=110【点评】：本题考查了数据的分析能力及归纳推理能力，属于中档题．11.（单选题，5分）若函数f（x）=x3-3x在区间（2a，3-a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A.（-3，1）B.（-2，1）C. $({-3，-\frac{1}{2}})$D.（-2，-1]【正确答案】：D【解析】：对f（x）求导得f′（x）=3x2-3，求得其最大值点，再根据f（x）在区间（2a，3-a2）上有最大值，求出a的取值范围．【解答】：解：因为函数f（x）=x3-3x，所以f′（x）=3x2-3，当x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x=-1时，f（x）取得最大值，又f（-1）=f（2）=2，且f（x）在区间（2a，3-a2）上有最大值，所以2a＜-1＜3-a2≤2，解得-2＜a≤-1，所以实数a的取值范围是（-2，-1]．故选：D．【点评】：本题考查导数的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．12.（单选题，5分）已知函数f（x）= $\left\{\begin{array}{l}{8x-m，x≤\frac{1}{2}}\\{x{e}^{x}-2mx+m，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ （e是自然对数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（）A.（e，+∞）B.（e，4）C.（e，4]D.[e，4]【正确答案】：C【解析】：利用分段函数的解析式，当$x≤\frac{1}{2}$ 时， $x=\frac{m}{8}$ ，当 $x＞\frac{1}{2}$ 时，令h（x）= $\frac{x{e}^{x}}{2x-1}$ （ $x＞\frac{1}{2}$ ），由导数研究h （x）的性质，得到当m＞e时，f（x）在区间 $(\frac{1}{2}，+∞)$上有两个零点，结合题意可知， $\frac{m}{8}≤\frac{1}{2}$ ，求解即可得到m的取值范围．【解答】：解：函数f（x）= $\left\{\begin{array}{l}{8x-m，x≤\frac{1}{2}}\\{x{e}^{x}-2mx+m，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ ，当$x≤\frac{1}{2}$ 时，由8x-m=0，解得 $x=\frac{m}{8}$ ，当 $x＞\frac{1}{2}$ 时，由xe x-2mx+m=0，解得 $m=\frac{x{e}^{x}}{2x-1}$ ，令h（x）= $\frac{x{e}^{x}}{2x-1}$ （ $x＞\frac{1}{2}$ ），则 $h'(x)=\frac{(2x+1)(x-1)}{(2x-1)^{2}}\bullet {e}^{x}$ ，当 $\frac{1}{2}＜x＜1$ 时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当x＞1时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，又h（1）=e，所以当m＞e时，f（x）在区间 $(\frac{1}{2}，+∞)$上有两个零点，由于f（x）在R上有三个零点，所以 $\frac{m}{8}≤\frac{1}{2}$ ，解得m≤4，综上所述，m的取值范围为（e，4]．故选：C．【点评】：本题考查了分段函数的理解与应用，函数与方程的应用，解题的关键是对分段函数分类讨论，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.（填空题，5分）平面内一点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ．由此类比，空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为 ___ ．【正确答案】：[1]2 $\sqrt{3}$【解析】：类比点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ，可计算空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为．【解答】：解：类比点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ，可计算空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为$\frac{|1+1+1+3|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}}}$ =2 $\sqrt{3}$ ．故答案为：2 $\sqrt{3}$ ．【点评】：本题考查类比推理，考查数学运算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）已知m，n是不相等的两个实数，且m，n∈{-1，1，5，8}．在方程mx2+ny2=1所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在x轴上的双曲线的概率为 ___ ．【正确答案】：[1] $\frac{1}{4}$【解析】：由题意m，n在所给的数值取的方法及满足条件的求法分别求出，进而求出其概率．【解答】：解：由题意，任取m，n的方法有A ${}_{4}^{2}$ =4×3=12，双曲线的焦点在x轴上的取法有：C ${}_{3}^{1}$ ×1=3，所以曲线是焦点在x轴上的双曲线的概率为： $\frac{3}{12}$ = $\frac{1}{4}$ ；故答案为： $\frac{1}{4}$ ．【点评】：本题考查双曲线的性质及古典概率的求法，属于基础题．15.（填空题，5分）2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注．作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成 ___ 个不同的六位数．【正确答案】：[1]150【解析】：根据题意，用间接法分析：先计算“不考虑0不能在首位的限制”的六位数数目，再排除其中“0在首位”的六位数数目，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，先不考虑0不能在首位的限制，用数字2，0，2，1，7，1组成六位数，有C62C42A22=180个六位数，其中0在首位的六位数，有C52C32=30个六位数，则有180-30=150个不同的六位数；故答案为：150．【点评】：本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．16.（填空题，5分）已知关于x的方程${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，则实数a的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][1，+∞）【解析】：将关于x的方程 ${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，转化为a=x2e x-2lnx-x（x＞0）有解，构造函数f（x）=x2e x-2lnx-x（x＞0），利用导数研究f （x）的取值范围，即可得到答案．【解答】：解：令f（x）=x2e x-2lnx-x（x＞0），则f'（x）= $\frac{(x+2)({x}^{2}{e}^{x}-1)}{x}$ ，又y=x2e x在（0，+∞）上单调递增，设x0为方程x2e x-1=0的根，即x0满足 ${{x}_{0}}^{2}{e}^{{x}_{0}}=1$ ，所以 ${e}^{{x}_{0}}={{x}_{0}}^{-2}$ ，两边同时取对数，可得x0=-2lnx0，因为x＞0，x+2＞0，故当x∈（0，x0）时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，且当x→0时，f（x）→+∞，又 $f({x}_{0})={{x}_{0}}^{2}{e}^{{x}_{0}}-2ln{x}_{0}-{x}_{0}=1-2ln{x}_{0}-{x}_{0}$ =1+x0-x0=1，所以当a≥1时，a=x2e x-2lnx-x（x＞0）有解，即关于x的方程 ${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，故实数a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】：本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．17.（问答题，10分）已知复数 $z=3+i+\frac{6m}{1-i}$ （m∈R）．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；（Ⅱ）当实数m取什么值时，复平面内表示复数z的点位于第一、三象限．【正确答案】：【解析】：首先把z化成a+bi的形式（Ⅰ）由a=0且b≠0可解决此问题；（Ⅱ）由ab＞0可解决此问题．【解答】：解： $z=3+i+\frac{6m}{1-i}=3+i+\frac{6m(1+i)}{(1-i)(1+i)}=(3+3m)+(1+3m)i$（Ⅰ）当复数z是纯虚数时，有 $\left\{\begin{array}{l}3+3m=0\\1+3m≠0\end{array}\right.$ ，解得m=-1．所以当实数m=-1时，复数z是纯虚数．（Ⅱ）当表示复数z的点位于第一、三象限时，有（3+3m）（1+3m）＞0，解得m＜-1或$m＞-\frac{1}{3}$ ，所以当实数$m∈({-∞，-1})∪({-\frac{1}{3}，+∞})$时，表示复数z的点位于第一、三象限．【点评】：本题考查复数的代数表示方法及几何意义，考查数学运算能力，属于中档题．18.（问答题，12分）在二项式 ${({{x^2}+\frac{2}{\sqrt{x}}})^m}$ （m∈N*）的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的 $\frac{1}{8}$ ．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）写出二项式的通项公式，根据题意可得关于m的方程，求解即可；（Ⅱ）根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中所有的有理项．【解答】：解：（Ⅰ）展开式的通项为： ${T_{r+1}}=C_m^r{({x^2})^{m-r}}{({2{x^{-\frac{1}{2}}}})^r}=C_m^r⋅{2^r}⋅{x^{2m-\frac{5}{2}r}}$ ，依题可得：$C_m^2⋅{2^2}=C_m^{m-2}⋅{2^{m-2}}⋅\frac{1}{8}$ ，解得m=7．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，展开式的通项为${T_{r+1}}=C_7^r⋅{2^r}⋅{x^{14-\frac{5}{2}r}}$ ，当r=0，2，4，6时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为：${T_1}=C_7^0⋅{2^0}⋅{x^{14}}={x^{14}}$，${T_3}=C_7^2⋅{2^2}⋅{x^{14-5}}=84{x^9}$ ，${T_5}=C_7^4⋅{2^4}⋅{x^{14-10}}=560{x^4}$ ，${T_7}=C_7^6⋅{2^6}⋅{x^{14-15}}=448{x^{-1}}$ ．【点评】：本题考查了二项式定理，二项展开式的通项公式，也考查了利用通项公式求特定项的应用问题，属于中档题．19.（问答题，12分）已知数列{a n}满足${a_1}=\frac{2}{5}$ ，a n+1a n+2a n+1=2a n，（n∈N*）．（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用数列的递推关系式，通过n的取值，求解数列的前几项即可．（Ⅱ）猜想数列的通项公式，然后利用数学归纳法的证明步骤，证明即可．【解答】：解：（Ⅰ）数列{a n}满足 ${a_1}=\frac{2}{5}$ ，a n+1a n+2a n+1=2a n，（n∈N*）．n=1时， ${a_2}=\frac{1}{3}$ ，n=2时，解得 ${a_3}=\frac{2}{7}$ ，n=3时，解得${a_4}=\frac{1}{4}$ ．（Ⅱ）猜想： ${a_n}=\frac{2}{n+4}$ ．证明：① 当n=1时， ${a_1}=\frac{2}{5}=\frac{2}{1+4}$ ，猜想成立；② 假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即 ${a_k}=\frac{2}{k+4}$ ．那么，依题可得${a_{k+1}}=\frac{2{a_k}}{{a_k}+2}=\frac{2⋅\frac{2}{k+4}}{\frac{2}{k+4}+2}=\frac{2}{k+5} =\frac{2}{(k+1)+4}$ ．所以，当n=k+1时猜想成立．根① 和② ，可知猜想对任何n∈N*都成立．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的应用，是中档题．20.（问答题，12分）已知函数f（x）=x2-（a+4）x+2alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．【解答】：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2-5x+2lnx，定义域为（0，+∞），$f'(x)=2x-5+\frac{2}{x}=\frac{2{x^2}-5x+2}{x}=\frac{(2x-1)(x-2)}{x}$ ，令f'（x）=0，解得 $x=\frac{1}{2}$ ，或x=2，当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：当x=2时，f（x）有极小值，且极小值为f（2）=-6+2ln2．（Ⅱ）函数f（x）定义域为（0，+∞），$f'(x)=2x-(a+4)+\frac{2a}{x}=\frac{2{x^2}-(a+4)x+2a}{x}=\frac{(2x-a)(x-2)}{x}$ ，令f'（x）=0得 $x=\frac{a}{2}$ 或x=2，① 若a≤0，则当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．② 若0＜a＜4，即 $0＜\frac{a}{2}＜2$ ，则当$x∈({0，\frac{a}{2}})$ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当$x∈({\frac{a}{2}，2})$ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，③ 若a=4，即 $\frac{a}{2}=2$ ，则当x∈（0，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，④ 若a＞4，即 $\frac{a}{2}＞2$ ，则当x∈（0，2）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当$x∈({2，\frac{a}{2}})$ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当$x∈({\frac{a}{2}，+∞})$时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．综上：当a≤0时，f（x）的单调递增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；当0＜a＜4时，f（x）的单调递增区间是 $({0，\frac{a}{2}})$ ，（2，+∞），递减区间是$({\frac{a}{2}，2})$ ；当a=4时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞），无单调递减区间；当a＞4时，f（x）的单调递增区间是（0，2）， $({\frac{a}{2}，+∞})$，单调递减区间是$({2，\frac{a}{2}})$ ．【点评】：本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．21.（问答题，12分）2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动．某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查．统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人．（Ⅰ）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．附：【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用已知条件完成列联表，求出K2，即可判断能在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关．（Ⅱ）ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数：2，3，4，5，6，求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】：解：（Ⅰ）由已知可得调查中男生共有80人，女生有80人，其中喜欢阅读古典文学的有60人故列联表为：40×60)}^2}}{100×60×80×80}=\frac{32}{3}=10.667＞7.879$ ．故能在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关．（Ⅱ）ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数：2，3，4，5，6，$P(ξ=2)=\frac{C_6^2⋅C_4^4}{C_{10}^6}=\frac{15}{210}=\frac{1}{14}$ ，$P(ξ=3)=\frac{C_6^3⋅C_4^3}{C_{10}^6}=\frac{80}{210}=\frac{8}{21}$ ，$P(ξ=4)=\frac{C_6^4⋅C_4^2}{C_{10}^6}=\frac{90}{210}=\frac{3}{7}$ ，$P(ξ=5)=\frac{C_6^5⋅C_4^1}{C_{10}^6}=\frac{24}{210}=\frac{4}{35}$ ，$P(ξ=6)=\frac{C_6^6⋅C_4^0}{C_{10}^6}=\frac{1}{210}$ ．∴ξ的分布列为$E(ξ)=2×\frac{1}{14}+3×\frac{8}{21}+4×\frac{3}{7}+5×\frac{8}{70}+6×\frac{1}{210}=3. 6$ ．【点评】：本题考查独立检验思想的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=2x2+xlna，g（x）=ae2x lnx，其中a＞0．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，1），不等式g（x）-f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求导得f'（x）=4x+lna，由导数的几何意义可得k切=f'（1）=0，解得a即可．（Ⅱ）g（x）-f（x）＜0恒成立，可转化为 $\frac{lnx}{x}＜\frac{2x+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln{e^{2x}}+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln({a⋅{e^{2x}}})}{a⋅{e^{2 x}}}$ ，设 $h(x)=\frac{lnx}{x}$ ，则上式即为h（x）＜h（ae2x），判断h（x）的单调性，进而求出a的取值范围．【解答】：解：（Ⅰ）依题可得f'（x）=4x+lna且f'（1）=0，∵曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为0，∴4+lna=0，∴ $a=\frac{1}{e^4}$ ．（Ⅱ）由g（x）-f（x）＜0，可得ae2x lnx-（2x2+xlna）＜0，整理，得 $\frac{lnx}{x}＜\frac{2x+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln{e^{2x}}+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln({a⋅{e^{2x}}})}{a⋅{e^{2 x}}}$ ，设 $h(x)=\frac{lnx}{x}$ ，则上式即为h（x）＜h（ae2x），∵ $h'(x)=\frac{1-lnx}{x^2}$ ，令 $h'(x)=\frac{1-lnx}{x^2}=0$ ，得x=e，∴当x∈（0，e）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减．又当x∈（0，1）时， $h(x)=\frac{lnx}{x}＜0$ ，∴h（x）＜h（ae2x），∴只需x＜ae2x，即 $a＞\frac{x}{e^{2x}}$ ，设 $H(x)=\frac{x}{e^{2x}}$ ，则 $H'(x)=\frac{1-2x}{e^{2x}}$ ，令 $H'(x)=\frac{1-2x}{e^{2x}}=0$ ，得 $x=\frac{1}{2}$ ，∴当$x∈({0，\frac{1}{2}})$ 时，H'（x）＞0，H（x）单调递增，当$x∈({\frac{1}{2}，1})$ 时，H'（x）＜0，H（x）单调递减．∴ $H(x)=\frac{x}{e^{2x}}≤\frac{1}{2e}$ ，∴ $a＞\frac{1}{2e}$ ，∴a的取值范围为（ $\frac{1}{2e}$ ，+∞）．【点评】：本题考查导数的综合应用，不等式恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。
高二数学（理科）答案与解析1．【答案】C 【命题意图】本题考查正余定理解三角形，意在考查学生对基础知识的掌握情况.是基础题.【解析】依题意，cos 2C =，所以1sin 2C =，由正弦定理可得，sin sin 2b C Bc ==，又0,,π<<>∴>B b a B A ，60︒∴=B 或120B = .故选C.2．【答案】D 【命题意图】本题考查不等式的性质，主要考查学生对不等式之间关系的判断，属于基础题.【解析】因为a b >，当0c =时，A 不成立，因为11b a a b ab--=，虽然有a b >，但是ab 的正负无法确定，故B 错误；当0a <时，C 错误；D 选项，3322()()0a b a b a ab b -=-++>，故选D.3．【答案】A 【命题意图】本题主要考查充分必要条件的判断以及空间中的位置关系.考查学生逻辑推理和空间想象等核心素养.是中档题.【解析】根据面面垂直的判定定理，可知因为//l α，必存在l α'⊂且//l l '，由l β⊥可推出αβ⊥，反之，若,//l αβα⊥，则l 与β的位置关系不确定，所以“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件.故选A.4．【答案】C 【命题意图】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的基本运算能力.是中档题.【解析】根据双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的的渐近线方程为y x =，所以a b =，又焦距为4，所以224a b +=，解得a b ==，所以2y =，所以抛物线的准线方程是4x =-，故选C.5．【答案】C 【命题意图】本题考查等差数列的基本运算，考查学生对等差数列基本量之间关系的掌握程度.是基础题.【解析】因为等差数列{}n a 的前n 和为n S ，1252=15a a S ⋅=⎧⎨⎩，即111525()()152a a a a d =⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解之得1114a a ==-或，当11a =，所以1d =，解得44a =；当14a =-时，72d =，此时4132a =.故选C.6．【答案】D【命题意图】本题考查四种命题以及命题的真假性判定.意在考查学生的逻辑推理素养，是中档题.【解析】A ．命题命题“若ln ln 0a b +=，则1a b ⋅=”的逆命题为“若1a b ⋅=，则ln ln 0a b +=，是假命题；B ．因为1a >时，01a >-，所以该命题是假命题在故B 错；C ．,A B 是随机事件，命题：“若()()()P A P B P A B += ，则,A B 是互斥事件”的否定是：“若()()()P A P B P A B += ，则,A B 不是互斥事件”．故C 错.D ．由椭圆的定义，可知命题“到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆”的逆命题是真命题，故选D.【命题意图】本题考查等比数列的性质，意在考查学生对性质的灵活运用.是中档题.【解析】因为数列{}n a 为正项等比数列，因为2918a a ⋅=，所以295618a a a a ⋅=⋅=，而251625262562log log log log log ()3a a a a a a -=+=⋅=-，故选A.8．【答案】C【命题意图】本题考查简单的线性规划，考查了学生的数形结合思想和逻辑推理能力.是中档题.【解析】由约束条件20,20,2x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩作出可行域如图：由目标函数2z x y =-变形为122zy x =-，当直线322zy x =-经过图中(2,4)时，z 最小，所以min 6z =-.故选C.9．【答案】B【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，考查学生的数学抽象和数学运算素养.属于较难题.【解析】由题意可得，该椭圆的半焦距c =，取椭圆的右焦点)1F 以及PF 中点E ，连接1PF ，如图，因为OP OF ==，所以5cos 5∠=PFO ，所以||1,||2==EF OE ，所以14PF =，2FP =，所以126a PF PF =+=，即3a =，所以2224b a c =-=，所以椭圆方程为22194x y +=.故选B.10．【答案】B 【命题意图】本题考查基本不等式，意在考查学生对基本不等式的灵活运用，是中等题.【解析】∵m ，0n >，2m n +=，所以11111()()1311m n m n m n +=+++++∴1114(11)(23133n m m n +=+++≥+=+，当且仅当11n m m n +=+，即32m =，12n =时取等号，故111m n ++的最小值43.故选B.【命题意图】本题考查含参数的一元二次不等式，意在考查学生的分类讨论和函数思想的应用，属于中等题.【解析】因为一元二次不等式220x mx +->的解集为{|21}x x x <->或，所以21m -=-+，即1m =，所以不等式220x x m -++<即2210x x -++<，所以不等式220x x m -++<的解集为1(,)(1,)2-∞-+∞ .故选D.12．【答案】A 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，意在考查学生的数学抽象和数学运算能力，属于难题.【解析】根据抛物线的定义可知AF AC =，由于AC 垂直抛物线的准线，所以//AC x 轴，所以AFx CAF ∠=∠.设200,2y A y p ⎛⎫⎪⎝⎭，则0,,,022p p C y F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设D 是CF 的中点，则00,2y D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以直线AD 的方程为()0002020202y y y y x y p--=--，即002y p y x y =+.由00222y p y x y y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 并化简得22202004y p x px y -+=，其判别式222020404y p p y ∆=-⨯⨯=，所以直线AD 与抛物线相切，故直线AD 与直线AT 重合，点E 与点D 重合，由于D 是CF 的中点，所以AD CF ⊥，也即AT CF ⊥，命题（2）成立.根据等腰三角形的性质可知2CAF TAF ∠=∠，所以AT 平分FAC ∠，命题（1）成立.进而可得ACE TFE ≅ ，综上所述，正确的命题个数为3个.故选A.13．【答案】224n n +--【命题意图】本题考查数列求和以及分组求和.属于基础题.【解析】依题意112221nn n a +=+++=- ，则231221212124n n n S n ++=-+-++-=-- ．14．【答案】6+【命题意图】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查学生的数学运算和逻辑推理能力.【解析】由正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，又cos cos 2a C c A a +=得到sinAcos sin cos 2sin C C A A +=，即sin()2sin A C A+=在ABC ∆中，A B C π++=,所以sin 2sin 1B A =≤,故角A 最大即6A π=.此时sin 1B =，即2B π=，ABC ∆为直角三角形，2a =，所以4b =，32=c，所以三角形的周长为6+.15．【答案】1)+【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，意在考查学生的数学运算和数学抽象等核心素养，属于难题.【解析】依题意，可得四边形12F AF B 为平行四边形，1AF x ⊥轴，所以2BF x ⊥轴,将横坐标c 带入双曲线方程，可得22221c y a b -=，得2=±by a，则2(,)b B c a ，所以222212tan 22b BF c a a F F c acα-===，又12tan (0,1)BF F ∠∈，即22012c a ac -<<，整理得2220c a ac --<，两边同时除以2a ，得2210c c a a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即2210e e --<，又∵1e >，解得11e <<+.16．【答案】(【命题意图】本题考查不等式思想，可以利用线性规划，三角换元和基本不等式来解决，同时也考查学生的数形结合思想,属于较难问题.【解析】由题意知2224x y +=，令2x y z +=,即122zy x =-+，而2224(0)+=>x y y 表示的是椭圆在x 轴上方部分，所以当直线122zy x =-+经过(0)时，2x y +最小，所以最小值为，由于0>y ，所以2x y +>，当直线122zy x =-+与2224x y +=在第一象限相切时，2x y +取得最大值，联立方程组2212224z y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，可得22940424z z x x -+-=，由0= ，可得z =±，所以2x y +的最大值为所以2x y +的取值范围为(.17．【命题意图】本题考查全称命题和特称命题以及命题的否定，充分必要条件等,是基础题.【解析】（1）对于命题p ：对任意[1,)x ∈+∞，不等式2350x m m -++-<恒成立，因为函数253y x m m =-+-+在[1,)x ∈+∞上单调递减，所以有1x =时，2max430ym m =-+<，.........................................................................................................2分解之得(,1)(4,)m ∈-∞-+∞ ，...........................................................................................................................4分所以p 为假命题时，实数m 的取值范围[1,4]m ∈-...........................................................................................5分（2）依题意，对任意的[]2,1x ∈-，不等式22230x mx m --+>恒成立，即二次函数2223y x mx m =--+在[]2,1x ∈-上的最小值大于0即可，..................................................................................................................7分当2≤-m 时，44230+-+>m m ，解得∈∅m ；当1≥m 时，12230--+>m m ，解得1>m ；当21-<<m 时，222320-+->m m m ，解之得∈∅m ，综上可得，解之得1>m ，....................................................................................................................................9分而p 为真时(,1)(4,)m ∈-∞-+∞ ，所以p 是q 的既不充分也不必要条件.................................................................................................................10分18．【命题意图】本题考查一元二次不等式，主要考查三个二次之间的关系以及分类讨论等思想，是中等题.【解析】（1）不等式232ax bx x ++<的解集为(,1)(3,)-∞-+∞ 即方程2(2)30ax b x +-+=的两根为121,3x x =-=.....................................................................................2分由韦达定理得：213313b aa -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，.....................................................................................................................4分解之得，1,4a b =-=...........................................................................................................................................6分（2）由（1）可知，令2()23f x x x =-++，对称轴方程为1x =，所以()f x 在[,1]x m ∈上单调递增，.....................................................................................................................9分所以当x m =时，2()231f x m m =-++≥，即22201m m m ⎧--≤⎨<⎩，所以[1m ∈-......................................................12分19．【命题意图】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查学生的数学运算能力.是中等题.【解析】（1）因为2222a c b a b a+-=+，所以222a b c ab +-=-，............................................................2分所以1cos 2C =-，即23C π=..............................................................................................................................5分另解：因为2222a c b a b a +-=+，所以222222a c b a bac c+-+=，即2cos 2c B a b =+，由正弦定理得：2sin cos 2sin sin C B A B =+，...........................................................................................................................2分所以2sin cos 2sin()sin C B B C B =++，即2sin cos sin 0B C B +=，又sin 0B >，故1cos 2C =-，故23C π=．............................................................................................................................................................5分（2）因为ABC的面积为4，所以16si 4n 2ab C =，即132462ab ⨯=，故ab =，............................................................................................................................................................8分由余弦定理可得222222212cos 2()2=+-=+--=+c a b ab C a b a b所以222222224a c a a b a b +=+++=++≥=，........................................10分b ==此时1a =.............................................................................................12分20．【命题意图】本题考查数列的综合应用，主要考查数列求通项，数列求和，错位相减法思想等，是中等题.【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由2433S a a -=，即2423S S S -=，又21n n n a a a --=，可得()()11114684212211a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，......................................................................................................3分解得11a =，2d =.1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-，*N n ∈...........................................................................................6分（2）由题意知：422nn n b a ⋅+=，即()1221144n n n n a b n --⎛⎫==- ⎪⎝⎭，.........................................................8分所以1211111(2((1)()444n n T n -=⨯+⨯++-⨯ ，所以()2311111214444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，..................................................................................10分两式相减得12131111()()()(1)(44444n n n T n -=+++-- ，所以1111()3144(1)(14414n n n T n -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=---11111((1)(3344n n n -=-⨯--11111(3344n n --=-+，.............11分所以14311()994n n n T -+=-⨯所以数列{}n b 的前n 项和14311()994n n n T -+=-⨯...........................................................................................12分21．【命题意图】本题考查基本不等式和不等式的证明，意在考向学生的逻辑推理能力，属于较难题.【解析】（1）因为a ，b ，c 为正数，且22a b c ++=，可得11111(2)2a b c a b b c a b b c+=+++++++............................................................................................3分1(11)22b c a b a b b c++=+++≥++，...........................................................................................................................5分当且仅当b c a ba b b c++=++时取等号.........................................................................................................................6分（2）()()2222222221122222++=+++++≥++a b c a b c a b c ab bc ac ................................................8分当且仅当19===a b c 时等号成立.()()1122222ab bc ac ab bc ab ac bc ac ++=+++++(12222≥+==............................................................10分当且仅当19===a b c 时等号成立.所以222a b c ++≥.当且仅当19===a b c 时等号成立......................................................................12分22．【命题意图】本题考查椭圆的集合性质，直线与椭圆的位置关系，意在考查数学抽象，直观想象和数学运算等核心素养，属于难题.【解析】（1）依题意，设椭圆的长半轴长为a ，直线2c x =被抛物线()22:2 0C y px p =>截得的弦长为且2pc =.所以224pp =⨯，解得p =.所以c =........................................................................3分又因为2a b =，∴2,1a b ==所以椭圆1C 的方程为2214x y +=，.....................................................................................................................5分（2）设(,)P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由2OP OA OB λμ-=，得122x x x λμ=+，122y y y λμ=+∵点,,P A B 在椭圆2214x y +=上，∴所以221144x y +=，222244x y +=，2244x y +=........................................................................................7分故222212124(2)4(2)x y x x y y λμλμ+=+++22222211221212(4)4(4)4(4)4x y x y x x y y λμλμ=+++++=.设,OA OB k k 分别为直线,OA OB 的斜率，由题意知，121214OA OB y y k k x x ⋅==-因此121240x x y y +=,所以2241λμ+=............................................................................................................9分所以Q 点是椭圆上22114μλ+=上的点，.又,0)2M ，点N 满足2112MN F F =，所以(,0)2N -.........................................................................11分所以,M N 恰为椭圆22114μλ+=的左、右焦点，由椭圆的定义，2QM NQ +=为定值......................12分。
2020 年河南省郑州市高考数学二模试卷、选择题（本大题共 12小题，共 60.0 分）A. n=iB. n=2019-iC. n=i+1D. n=2018-i 在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分 （曲线 C 为正态分布 N （ -2，4）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）（附： X? N （ μ，σ2）D. 34131.若复数 为纯虚数，则实数 b 等于（ ）A.B. C. D.2. 3.已知全集 U=R ，A={x|y=ln （1-x 2）}，B={y|y=4x-2}，则 A ∩A. （-1，0）B. [0，1）C. （0，1）南宋数学家秦九韶在 《数书九章》 中提出的秦九韶算法至今仍是多项求值比较先进 的算法，已知 f （x ）=2019x 2018+2018x 2017+⋯ +2x+1，程序框图设计的是 f （x ）的值， 在 M 处应填的执行语句是（ ）?R B )=()D. ( -1，0]4. 5.将函数 f （ x ） =2sinx 的图象向左平移 个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来 的 2 倍，得到 g （x ）的图象，下面四个结论正确的是（A. 906C. 339.75B. 2718 σ< X ≤μ +2)σ=0.9545 ．)A. 函数g（x）在[ π，2π上]的最大值为1B. 将函数g（x）的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称C. 点是函数g（x）图象的一个对称中心D. 函数g（x）在区间上为增函数6. 设变量x，y 满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A. B. C. 3 D. 47. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=2，CA=4，P在边AC的中线BD 上，则的最小值为（）A. B. 0C. 4D. -18. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为（）A. C. D.9. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[ x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数．例如：[-2.1]=-3 ，[3.1]=3 ，已知函数，则函数y=[ f（x）] 的值域为（）A. B. （0，2] C. {0 ，1，2} D. {0，1，2，3}10. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P 使，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.11. 在△ABC中，已知，，∠ABC=45°，D是边AC上的一点，将△ABC沿BD折叠，得到三棱锥A-BCD ，若该三棱锥的顶点A在底面BCD 的射影M在线段BC 上，设BM=x，则x 的取值范围是（）A. B. C. D.12. 已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F，直线l 过焦点 F 与抛物线 C 分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T（5，0），则S△AOB= （）A. B. C. D.二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0 分）13. 已知等比数列{ a n}为单调递增数列，设其前n项和为S n，若a2=2，S3=7，则a5的值为 _____ ．14. 已知，则= ____________________________________ ．15. 二项式的展开式中x5的系数为，则= ____________________16. 已知函数，若函数（f x）有两个极值点x1，x2，且，则实数 a 的取值范围是三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17. 已知数列{a n}中，a1=1，a n>0，前n项和为S n，若（n∈N*，且n≥2）．Ⅰ）求数列{a n} 的通项公式；Ⅱ）记，求数列{c n}的前n 项和T n．18. 如图，等腰直角△ABC 中，∠B=90 °，平面ABEF ⊥平面ABC，2AF=AB=BE，∠FAB=60°，AF∥BE．（Ⅰ）求证：BC⊥BF；（Ⅱ）求二面角F-CE-B 的正弦值．19. 目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其它省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到2020 年，我国将全面建立起新的高考制度．新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60 名学生进行了一次Ⅱ）将列联表填写完整，并通过计算判定能否有99.9% 把握认为选历史是否与性Ⅲ）从选考方案确定的16 名男生中随机选出2名，设随机变量，求ξ的分布列及数学期望E（ξ．）2附：K2= ，n=a+b+c+d．20. 在直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 1：x 2+y 2=r 2（r >0）与直线 l 0： 相切，点 A 为圆 C 1 上一动点， AN ⊥x 轴于点 N ，且动点满足 ，设动点 M 的轨迹为曲线 C ．（Ⅰ）求曲线 C 的方程；（Ⅱ）设 P ，Q 是曲线 C 上两动点，线段 PQ 的中点为 T ，OP ， OQ 的斜率分别为k 1，k 2，且，求 |OT |的取值范围．21. 已知函数 ，，a ， b ∈R ．Ⅰ）求函数 g （ x ）的单调区间；Ⅱ）若 f （ x ） ≤g （ x ）恒成立，求 b-2a 的最小值．参数）．直线 l 与曲线 C 分别交于 M ，N 两点．Ⅰ）若点 P 的极坐标为（ 2，π），求 |PM |?|PN|的值； Ⅱ）求曲线 C 的内接矩形周长的最大值．23. 设函数 f （x ）=|ax+1|+|x-a|（a >0）， g （x ）=x 2-x ． （Ⅰ）当 a=1 时，求不等式 g（x ）≥f （x ）的解集； （Ⅱ）已知 f （x ）≥2恒成立，求 a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， 曲线 C 的极坐标方程为 ρ2cos 2θ +32ρsin 2θ x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，=1，2直线 l 的参数方程为答案与解析1. 答案：B解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0 且虚部不为0求得 b 值．【解答】解：∵ = 为纯虚数，解：∵ = 为纯虚数，∴ ，即b=- ．故选：B．2. 答案：D解析：【分析】可求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及补集、交集的运算．【解答】解：∵A={x|-1<x<1}，B={y|y>0}；∴?R B={ y|y≤0；} ∴A∩（?R B）=（-1，0］．故选： D ．3. 答案：B解析：解：由题意，n 的值为多项式的系数，由2019，2018，2017⋯直到1，由程序框图可知，处理框处应该填入n=2019-i．故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4. 答案：C解析：【分析】本题考查正态分布曲线的特点，数形结合是解决问题的关键，属基础题．由正态分布曲线的特点，数形结合可得落入阴影部分的概率，乘以10000 可得答案．【解答】解：∵X～N（-2，4），∴阴影部分的面积S=P（0≤X≤2）= [P（-6≤x≤2）-P（-4≤x≤0）]= （0.9545-0.6827 ）=0.1359 ，则在正方形中随机投一点，该点落在阴影内的概率为∴落入阴影部分的点的个数的估计值为10000 × =339.75．故选C．5. 答案： D解析： 【分析】本题主要考查函数 y=Asin （ ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中 档题．利用函数 y=Asin （ ωx+φ）的图象变换规律求得 g （x ）的解析式，再利用正弦函数的图 象和性质，得出结论． 【解答】解：将函数 f （x ）=2sinx 的图象向左平移 个单位，可得 y=2sin （x+ ）的图象， 然后纵坐标不变，把横坐标变为原来的 2 倍，得到 g （ x ） =2sin （ x+ ）的图象， 在[ π， 2π上]， + ∈[ ， ]， g （x ）=2sin （ x+ ）的最大值为 ，故 A 错误； 将函数 g （ x ）的图象向右平移 个单位后得到的图象对应函数的解析式为 y=2sin （ x+ ），它不是奇函数，图象不关于原点对称，故 B 错误；当 x= 时， g （x ）= ≠0，故点 不是函数 g （ x ）图象的一个对称中心，故 C 错误； 在区间 上， + ∈[ ， ] ，故函数 g （ x ）在区间 上为增函数，故 D 正确，故选 D ．6. 答案： C解析： 【分析】 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是 解决线性规划题目的常用方法． 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知 识，通过平移即可求 z 的最大值． 【解答】解：作出变量 x ，y 满足约束条件 对应的平面区域如图，目标函数 的最大值，就是求解 u=3x+y 的最小值，得 y=-3 x+ u ，平移直线 y=-3x+u ，由图象可知当直线 此时 u 最小．由 ，解得 A （-1， 2）， 此时 z 的最大值 ==3．故选 C ．7. 答案： A解析： 【分析】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量， 值问题，本题属基础题．本题可设 ，然后将 用向量 作为基底y=-3x+u ，经过点 A 时，直线 y=-3x+u 的截距最小， 最后转化为二次函数求最向量表示出来，再根据向量的运算，即可将问题转化为二次函数求最值问题．【解答】解：由题意，画图如下：∴，= = ．= = ．∴==4λ2-4λ（1-λ）=8λ2-4λ．由二次函数的性质，可知：当λ=时，取得最小值．故选：A．8. 答案：A解析：【分析】本题考查了利用三视图求几何体外接球的体积应用问题，是基础题．根据三视图知，该几何体是三棱锥，且三棱锥的一顶点处三条棱两两互相垂直，三棱锥的外接球即为共顶点处长方体的外接球，计算该外接球的直径，求出外接球的体积．【解答】解：根据三视图知，该几何体是侧棱PA⊥底面ABC 的三棱锥，如图所示；把三棱锥补成一个长方体，如图所示；其中 AC=AB=3 ，BC=6，∴AC ⊥AB ；三棱锥 P-ABC 的外接球即为以 AB 、 AC 、AP 为共顶点的长方体的外接球， 则该外接球的直径为（ 2R ）2=AB 2+AC 2+AP 2=18+18+9=45 ，∴外接球的体积为 V= ? = ． 故选 A ．9.答案： C解析： 解：因为 ，所以 f （ x ）= = ，又 1+2x+1∈（ 1，+∞）， 所以 f （x ）∈（ ， 3）， 由高斯函数的定义可得： 函数 y=[f （x ） ]的值域为 ，故选： C ．由分式函数值域的求法得： f （ x ）== ，又 1+2x+1∈（1，+∞），所以f （x ）∈（ ，3），由高斯函数定义的理解得：函数 y=[ f （ x ） ]的值域为，得解．本题考查了分式函数值域的求法及对即时定义的理解，属中档题．10.答案： D解析： 解：不妨设 P 在双曲线右支上运动，并设==由双曲线的第二定义可得 |PF 1|=a+ ex 0，得|PF |=ex -a=解得 x 0=>a ，∴2a+c > ce-2ae ，两边同除以 a ，可得 2+e > 由正弦定理可e 2-2e ，即 e 2-3e-2< 0，解得 1< e <又 ce-2ae > 0，解得 e >2，故选： D ．用正弦定理及双曲线的定义，可得 a ，c 的不等式，即可求出双曲线的离心率的取值范 围．利用正弦定理及双曲线的定义，可得 a ，c 的不等式，即可求出双曲线的离心率的 取值范围．本题考查双曲线的离心率的取值范围，考查正弦定理及双曲线的定义，属于中档题．11.答案： C解析： 【分析】本题考查了空间垂直位置关系的判定与性质， 考查空间想象能力与逻辑推理能力， 考查 数学转化思想方法，属于中档题．由题意意可得，折叠前在图 1中， AM ⊥BD ，垂足为 N ．设图 1中A 点在 BC 上的射影为M 1，运动点 D 可得，当 D 点与 C 点无限接近时，点 M 与点 M 1无限接近，得到 BM > BM 1．在图 2 中，根据斜边大于直角边，可得 BM < AB ，由此可得 x 的取值范围．解答】解：将△ABD 沿 BD 折起， 上， 如图 2，AM ⊥平面BCD ， 则 AM ⊥BD ，过 M 作 MN ⊥BD ，连接 AN ，则 AN ⊥BD ， 因此，折叠前在图 1 中，AM ⊥BD ，垂足为 N ． 在图 1中，过 A 作 AM1⊥BC 于 M 1，运动点D ，当 D 点与 C 点无限接近时，折痕 BD 接近 BC ， 此时 M 与点 M 1无限接近；在图 2中，由于 AB 是 Rt △ABM 的斜边， BM 是直角边， ∴BM <AB ．由此可得： BM 1< BM <AB ，∵△ABC 中， AB=2 ，BC=2 ， ∠ABC =45 °，由余弦定理可得 AC=2 ， ∴BM 1= ，∴ <BM <2 ，由 BM=x 可得 x 的取值范围为（ ，2 ） 故选 C ．12.答案： A解析： 【分析】如图所示， F （1，0）．设直线 l 的方程为： y=k （x-1），（ k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2， y 2），线段 AB 的中点 E （x 0，y 0）．线段 AB 的垂直平分线的方程为 y=- （x-5）. 直线 l 的方程与抛物线方程联立化为： ky 2-4y-4k=0，利用根与系数的关系、中点坐标公得到三棱锥 A-BCD ，且点 A 在底面 BCD 的射影 M 在线段 BC故 2< e <式、可得 E 坐标．把 E 代入线段 AB 的垂直平分线的方程可得： k ．再利用∴y 1+y 2= ， y 1y 2=-4 ，把 E （ ， +1）代入线段 AB 的垂直平分线的方程： y=- （ x-5）．故选： A ．13.答案： 16解析： 【分析】本题考查数列的第 5 项的求法， 考查等比数列的性质等基础知识， 考查推理能力与计算 能力，属于基础题．利用等比数列的通项公式、前 n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出a 5．【解答】解： ∵等比数列 { a n }为单调递增数列， 设其前 n 项和为 S n ， a 2=2，S 3=7，解得 a 1=1，q=2， ∴a 5= =1 ×24=16． 故答案为 16．14.答案：解析： 【分析】 本题考查两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力． 直接利用两角和与差的三角函数化简求解即可． 【解答】= 即可得出． 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、 分线的性质、三角形面积计算公式， 【解答】 解：如图所示， F 设直线 l 的方程为： B（ x 2， y 2），线段S △OAB =1，0）． y=k（x-1）， AB 的中点 E线段 AB 的垂直平分线的方程为： 联立元二次方程的根与系数的关系、 线段垂直平考查了推理能力与计算能力，属于中档题． y=- （ x-5）． ，化为： ky 2-4y-4k=0，∴y 0=y 1+y 2）= ， x 0= +1= +1，可得：1-5），解得： k 2=1 ．S △OAB == =2 ．k ≠0），A （ x 1，y 1）， x 0，y 0）．解： ，可得 = ，=．故答案为 ．15.答案：解析： 解：二项式 的展开式中 x 5 的系数为 = ，∴a=1，∴ = = ? = ，由题意利用二项展开式的通项公式求得 a 的值，再计算定积分，求得结果． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，计算定积分，属于基础题．解析： 解： ∵函数 f （ x ）有两个极值点 x 1， x 2，∴f ′（ x ） =ae x -x 有两个极值点 x 1，x 2，∴f ′（x ）=ae x -x=0 有两个零点 x 1，x 2， ∴ =x 1，=x 2，两式作比，得= = ，令 x 2-x 1=t ，①，则 ，②∴ ，代入①，得： ， 由②，得， ∴t ≥ln2，令 g （t ）= ， t ≥ln2，则 g ′（ t ）=，令 h （ t ）=e t -1-te t ，则 h ′（ t ） =-te t < 0，∴h （ t ）单调递减， ∴h （t ）≤h （ln2）=1-2ln2< 0， ∴g （ t ）单调递减， ∴g （t ）≤g （ln2）=ln2，即 x 1≤ ln2， ∵a= ，令 μ（x ） = ，则 >0， ∴μ（ x ）在 x ≤ ln2上单调递增， ∴μ（ x ）≤ ，∴a ≤ ，∵f ′（ x ） =ae x -x 有两个零点 x 1， x 2， μ（ x ）在 R 上与 y=a 有两个交点，可得 cos α cos+sin α sin+cos α =， 即：故答案为：16.答案：（ 0，∵ ，在（-∞，1）上，μ′（x）＞0，μ（x）单调递增，在（1，+∞）上，μ′（x）＜0，μ（x）单调递减，∴μ（x）的最大值为μ（1）= ，大致图象为：∴0＜a ．∴实数 a 的取值范围是（0，]．故答案为：（0 ，] ．由题意可得=x1，=x2，作比，得= ，令x2-x1=t，结合条件将x1 定成关于t 的函数，求导分析得到x1 的范围，再结合a= 得到 a 的范围，与函数f（x）有两个极值点时 a 的范围取交集即可．本题考查利用导数研究函数零点问题，利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，运用整体换元方法，体现了减元思想，是难题．17. 答案：解：（Ⅰ）数列{a n} 中，a n=S n-S n-1，①，②①÷②可得：- =1，则数列{ }是以=1 为首项，公差为 1 的等差数列，则=1+（n-1）=n，则S n=n2，当n=1 时，a1= S1=1，当n≥2时，a n= S n-S n-1=2n-1，a1=1 也符合该式，则a n=2n-1；（Ⅱ）有（Ⅰ ）的结论，a n=2n-1，则C n=（2n-1）×22n-1；则T n=1×2+3×23+5×25+⋯⋯+（2n-1）×22n-1，③；则4T n=1×23+3×25+5×27+⋯⋯+（2n-1）×22n+1，④；③ -④可得：-3T n=2+2（23+25+⋯⋯+22n-1）-（2n-1）×22 n+1=- +（-2n）×22n+1，变形可得：T T n==1，则数列{ }是以 =1为首项，公差为 1的等差数列， 由等差数列的通项公式可得 =1+ （ n-1）=n ，则 S n =n 2，据此分析可得答案；（ Ⅱ ）由（Ⅰ ）的结论可得 C n =（2n-1）×22n-1；进而可得 T n =1×2+3×23+5×25+⋯⋯ +（2n-1） ×22n-1，由错位相减法分析可得答案．本题考查数列的递推公式的应用以及数列的求和，关键是求出数列 {a n } 的通项公式．18. 答案： 证明：（ Ⅰ ） ∵等腰直角 △ABC 中， ∠B=90 °， ∴BC ⊥AB ， ∵平面 ABEF ⊥平面ABC ，平面 ABEF ∩平面 ABC=AB ，∴BC ⊥平面 ABEF ， ∵BF? 平面ABEF ，∴BC ⊥BF ． 解：（ Ⅱ ）由（ 1）知 BC ⊥平面 ABEF ， 故以 B 为原点，建立如图所示的空 间直角坐标系 B- xyz ， 设 2AF =AB=BE=2， ∵∠FAB =60°， AF ∥BE ．∴B （0，0，0），C （0，2，0），F （）， E （ -1， 0， ），设平面 BCE 的一个法向量 =（x ， y ，z ），则 ，即 ，取 x= ，得 = （ ），设二面角 F-CE-B 的平面角为 θ． 则 |cos θ |=| |= = ，解析： 本题考查线线垂直的证明， 考查二面角的正弦值的求法， 考查空间中线线、 线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（ Ⅰ ）推导出 BC ⊥AB ，从而 BC ⊥平面 ABEF ，由此能证明 BC ⊥BF ．（Ⅱ）由 BC ⊥平面 ABEF ，以 B 为原点，建立空间直角坐标系 B-xyz ，利用向量法能求 出二面角 F-CE-B 的正弦值．19.答案： 解：（ Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有8 人，解析：则，即令 x= ，得 =（ ， 5）设平面 CEF 的一个法向量 =（ x ， y ， z ），面角 F-CE-B 的正弦值为选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有20 人，则该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有=392 人．由列联表中数据得K2== > 10.828，所以有99%的把握认为选历史与性别有关．（Ⅲ ）由数据可知，选考方案确定的男生中有8 人选择物理、化学和生物：有 4 人选择物理、化学和历史：有 2 人选择物理、化学和地理：有 2 人选择物理、化学和政治，由已知ξ的取值为0，1．P（ξ =）1 = = ，P（ξ =）0 =1-P（ξ =）1 = ，（或P（ξ =）0 = = ）所以的分布列为E( ξ )=0 ×+1 × = ．解析：本题主要考查独立性检验以及概率分布列的计算，考查学生的计算能力．（Ⅰ ）计算男生和女生确定选考生物的人数，进行估算即可（Ⅱ）根据数据完成列联表，计算K2，结合独立性检验的性质进行判断即可（Ⅲ ）求出随机变量的数值和对应的概率，即可得到和期望．20. 答案：解：（Ⅰ）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x 轴于点N，∴N（x0，0），又圆C1：x2+y2=r2（r> 0）与直线l0：相切，∴r= =2，则圆C1：x2+y2=4．由题意，，得（x，y）+（x-x0，y-y0）=（x0，0），∴ ，即，又点 A 为圆C1 上的动点，∴x2+4y2=4，即；（Ⅱ）当PQ 的斜率不存在时，设直线OP：y= ，不妨取点 P （ ），则 Q （ ），T （ ）， ∴|OT|= ．当 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ ：y=kx+m ，P （ x 1，y 1） 可得（ 1+4 k 2） x 2+8kmx+4m 2-4=0． ∴4（ kx 1+ m ）（ kx 2+m ）+x 1x 2= =． 化简得： 2m 2=1+4k 2， ∴．△=64k 2m 2-4（4k 2+1）（ 4m 2-4）=16（4k 2+1-m 2）=16m 2> 0． 设 T （ x 3， y 3 ），则 ， ．∴ = ∈[ ， 2），∴|OT|∈[）．综上， |OT|的取值范围是 [ ] ．解析： （Ⅰ）设动点 M （x ，y ）， A （x 0，y 0），由于 AN ⊥x 轴于点 N ，得 N （x 0，0）， 由圆 C 1：x 2+y 2=r 2（r >0）与直线 l 0：相切求得 r 值，得到圆的方程，再由向量等式得到 M ， A 的坐标关系把点 A 的坐标代入圆 C 1，即可求得曲线 C 的方程； （Ⅱ）当 PQ 的斜率不存在时，设直线 OP ：y= ，求得|OT |= ；当 PQ 的斜率存在时， 设直线 PQ ：y=kx+m ，P （x 1，y 1）， Q （x 2，y 2），联立直线方程与椭圆方程利用根与 系数的关系结合得：2m 2=1+4k 2，则，进一步求得 |OT|∈[），则 |OT|的取值范围可求．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．21. 答案： 解：（ Ⅰ）函数的定义域是 R ，g ′（ x ）=（2x+2）（x-a ），令 g ′（ x ）=0，解得： x=-1 或 x=a ，① a < -1 时，令 g ′（ x ）> 0，解得： x > -1 或 x < a ， 令 g ′（ x ）< 0，解得： a < x <-1，故 g （ x ）在（ -∞， a ）递增，在（ a ， -1）递减，在（ -1， +∞）递增， ② a=-1 时， g ′（ x ）≥0，g （x ）在 R 递增， ③ 当 a > -1时，令 g ′（x ）>0，解得： x >a 或 x <-1， 令 g ′（ x ）< 0，解得： -1< x < a故 g （ x ）在（ -∞， -1）递增，在（ -1， a ）递减，在（ a ， +∞）递增； （ Ⅱ）f （x ）≤g （x ） g （x ）-f （x ）≥0，设 F （x ） =g （ x ） -f （x ），Q （x 2，y 2）， 联立 ，∴4y 1y 2+x 1x 2=0．∵，则 F ′（x ）=（2x+1）lnx+（x 2+x ） +2x 2+2（1-a ）x-a=（2x+1）（ lnx+x+1-a ），∵x ∈（0，+∞），令 F ′（ x ） =0，得 ln x+ x+1- a=0 ， 设 h （ x ）=ln x+x+1-a ，由于 h （ x ）在（ 0， +∞）递增， 当 x →0时， h （x ）→-∞，当 x →+∞时， h （x ） →+∞， 故存在唯一 x 0∈（0，+∞），使得 h （x 0）=0，即 a=x 0+lnx 0+1， 当 0< x < x 0时， F ′（ x ）< 0，故 F （x ）在（0，x 0）递减， 当 x >x 0时，F ′（x ）>0，F （x ）在（ x 0，+∞）递增，当 x ∈（ 0，+∞）时， F （ x ）min =F （x 0）=（ +x 0） lnx 0+ +（1-a ） -ax 0+b =（ +x 0）lnx 0+ +（-x 0-lnx 0） -（x 0+lnx 0+1） x 0+b =- - -x 0+b ， ∵f （x ） ≤g （ x ）恒成立， 故 F （x ） min =- - -x 0+b ≥0， 即 b ≥ + +x 0 ， -x 0-2lnx 0-2设 h （ x ）= x 3+x 2-x-2lnx-2， x ∈（ 0，+∞）， 则 h ′（ x ） =，令 h ′（ x ） =0 ，解得： x=1，故 h （ x ）在（ 0， 1）递减，在（ 1， +∞）递增， 故 h （ x ） min =h （ 1） =-2 ，故 x 0=1 即 a=1+x 0+lnx 0=2， b= + +x 0= 时，（ b-2a ） min =解析： （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可； （ Ⅱ）设 F （x ）=g （x ）-f （x ），求出函数的导数，根据函数的单调性求出 F小值，从而确定（ b-2a ）的最小值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想， 是一道综合题．22. 答案： 解：（ Ⅰ）曲线 C 的极坐标方程为 ρ2cos 2θ +32ρsin 2θ =1，2 转换为直角坐标方程为： ．点 P 的极坐标为（ 2， π）， 转换为直角坐标为（ -2， 0）． 把直线 l 的参数方程为 为参数）．代入椭圆的方程为： （t 1和 t 2为 A 、 B 对应的参数）所以： t 1?t 2=-4 ． 故： |PM|?|PN|=|t 1?t 2|=4（ Ⅱ ）由椭圆的直角坐标方程转换为（），的最故 b-2a所以：以 A 为顶点的内接矩形的周长为 4（2 ）=16sin （ ）（ ） 所以：当 时，周长的最大值为 16．解析： 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换， 极坐标方程之间的转换， 一元二次方程根和系数关系的应用， 和转化能力，属于基础题型．（ Ⅰ ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程为进行转换， 方程根和系数关系的应用求出结果．（ Ⅱ ）利用三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案： 解：（ 1）当 a=1 时， g（）≥f （x ）?或或解得 x ≤-1 或 x ≥3，所以原不等式的解集为 { x|x ≤-1 或x ≥3}2）f （x ）=当 0< a ≤1时， f （ x ） min =f （ a ） = a 2+1≥2， a=1； 当 a > 1时， f （x ）max =f （- ）=a+ ≥2，a > 1，解析： 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．（ 1）分 3 种情况去绝对值，解不等式组再相并；（2）按照 0< a ≤1和 a > 1求出分段函数的最小值，由最小值大于等于 2可得．参数方程直角坐标方程和 主要考查学生的运算进一步利用一元二次综上： a ∈[1，+∞）。
2021年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（理科）（二模）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝（）A．{x|3≤x＜5}B．{x|2＜x＜5}C．{3，4}D．{3，4，5} 2．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣2B．C．﹣D．23．（5分）如图是某统计部门网站发布的《某市2020年2～12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）下列说法错误的是（）①2020年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%②2020年9月CP1环比上升0.2%，同比无变化③2020年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2%④2020年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7%A．①③B．①④C．②④D．②③4．（5分）函数f（x）＝sin xln在（﹣π，π）的图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）S n是公比不为1的等比数列{a n}的前n项和，S9是S3和S6的等差中项，则＝（）A．B．C．D．6．（5分）已知x，y满足，则z＝2x+4y的取值范围是（）A．[0，4]B．[4，6]C．[0，6]D．[6，8]7．（5分）已知实数a，b，c满足lna＝e b＝，则下列不等式中不可能成立的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a8．（5分）关于函数f（x）＝|sin（2x﹣）+cos（2x﹣）|（）A．f（x）的值域为[0，]B．f（x）是以π为最小正周期的周期函数C．f（x）在[0，π]上有两个零点D．f（x）在区间[，]上单调递减9．（5分）元宵节是中国传统佳节，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动．某社区计划举办元宵节找花灯活动，准备在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯（同一地方的花灯不考虑位置的差别），且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数有（）A．114B．92C．72D．4210．（5分）已知函数f（x）＝2x4+e x+e﹣x﹣1，若不等式f（1+ax）＜f（2+x2）对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，2）11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O的表面上，P A⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝8，D是线段AB上一点，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28π，则球O 的表面积为（）A．128πB．132πC．144πD．156π12．（5分）已知梯形ABCD中，以AB中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．|AB|＝2|CD|，点E在线段AC上，且＝，B为焦点的双曲线过C、D、E三点，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）＝ln（x+1）+x2e x的图象在点（0，f（0））处的切线方程为．14．（5分）已知向量与的夹角为60°，||＝3，|，则2﹣在方向上的投影为．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC的平分线交AC于点D．若a+4c的最小值为9，则BD＝．16．（5分）已知a＞0，不等式（x+1）1﹣a e x+1﹣aln（x+1）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，S n＝．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝（﹣1）n+1，数列{b n}的前n项和为T n，求T2021．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AP＝PD＝DC＝CB＝1，AB＝2，平面P AD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：PB＝PC；（Ⅱ）求直线P A与平面PCD所成角的正弦值．19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，点D（1，）是椭圆C上一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过椭圆右焦点F2且与椭圆交于P、Q两点，直线AP、AQ与直线x＝4分别交于M，N．（ⅰ）求证：M，N两点的纵坐标之积为定值；（ⅱ）求△AMN面积的最小值．20．（12分）已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸X（单位：mm）服从正态分布N（280，25）．（Ⅰ）从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm的概率；（Ⅱ）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，还会产生一次故障维修费．已知故障维修费第一次为2000元，此后每增加一次则故障维修费增加2000元．假设每个维护周期互相独立．求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和Y的分布列与数学期望．参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（p﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ），P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.998710≈0.9871．21．（12分）已知函数f（x）＝xe x﹣alnx﹣e．（Ⅰ）当a＝2e时，不等式f（x）≥mx﹣m在[1，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，f（x）最小值为g（a），求g（a）(二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（t是参数，α∈[0，）），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系2的极坐标方程是ρ＝4sin（）﹣2cosθ．（Ⅰ）写出曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1与C2有且仅有一个公共点，求sin2α﹣sinαcosα的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+a|（a＞0）．（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，求实数a的取值范围．2021年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（理科）（二模）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝（）A．{x|3≤x＜5}B．{x|2＜x＜5}C．{3，4}D．{3，4，5}【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{3，4，2}，∴A∩B＝{3，4}．故选：C．【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，对数函数的定义域和单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣2B．C．﹣D．2【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，实部为0，即可求出a的值．【解答】解：复数＝＝，它是纯虚数，a＝故选：B．【点评】本题是基础题，考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，常考题型．3．（5分）如图是某统计部门网站发布的《某市2020年2～12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）下列说法错误的是（）①2020年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%②2020年9月CP1环比上升0.2%，同比无变化③2020年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2%④2020年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7%A．①③B．①④C．②④D．②③【分析】根据折线图数据，经数据分析可得结果．【解答】解：根据折线图（下图）可得，其中上一条折线为月度同比折线图，所以根据数据可得，9月份月度环比比上年上涨0.3%，故①正确；根据数据可得，3月份月度环比比上年下降0.3%，故④正确；因此②③错误．故选：D．【点评】本题考查折线图中数据分析，属于基础题．4．（5分）函数f（x）＝sin xln在（﹣π，π）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除BC，再求出f（）的值，排除D，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝sin xln，π），f（﹣x）＝sin（﹣x）ln＝sin xln，则f（x）在区间（﹣π，排除BC，又由f（）＝sin＝ln，排除D，故选：A．【点评】本题考查函数的图象分析，一般用排除法分析，注意分析函数的奇偶性以及单调性，属于基础题．5．（5分）S n是公比不为1的等比数列{a n}的前n项和，S9是S3和S6的等差中项，则＝（）A．B．C．D．【分析】由已知结合等差数列的性质及等比数列的前n项和列式求得公比，即可求得的值．【解答】解：∵S9是S3和S4的等差中项，∴S3+S6＝3S9，∵S n是公比不为1的等比数列{a n}的前n项和，∴，整理得，q3（2q3﹣q3﹣1）＝7，∵q≠0，∴2q5﹣q3﹣1＝2，则（2q3+7）（q3﹣1）＝3，又∵q≠1，∴2q6+1＝0，解得，，则＝＝．故选：A．【点评】本题考查等比数列的前n项和，考查等差数列的性质，考查运算求解能力，是中档题．6．（5分）已知x，y满足，则z＝2x+4y的取值范围是（）A．[0，4]B．[4，6]C．[0，6]D．[6，8]【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用平移法进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+4y得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，直线的截距最大，此时x+5y＝3，即z＝2x+8y＝6，经过点C（2，8）时，此时z最小，即4≤z≤6，即z的取值范围是[5，6]，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出可行域，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键，是基础题．7．（5分）已知实数a，b，c满足lna＝e b＝，则下列不等式中不可能成立的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】当a＝e时，b＝0，c＝1，此时a＞c＞b；当a＝e3时，b＝ln3∈（1，2），c＝∈（0.5，1），此时a＞b＞c；当b＝﹣1时，c＝e，a＝，此时，c＞a＞b；由排除法得D不可能成立．【解答】解：∵实数a，b，c满足lna＝e b＝，∴e b＞0，∴a＞7，当a＝e时，b＝0，此时a＞c＞b；当a＝e3时，b＝ln2∈（1，c＝，1），故A可能成立；当b＝﹣1时，c＝e，此时，故C可能成立；∴由排除法得D不可能成立．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的判断，涉及到指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．8．（5分）关于函数f（x）＝|sin（2x﹣）+cos（2x﹣）|（）A．f（x）的值域为[0，]B．f（x）是以π为最小正周期的周期函数C．f（x）在[0，π]上有两个零点D．f（x）在区间[，]上单调递减【分析】A对函数恒等变形，求出函数值域判断；B求出函数最小正周期判断；C求出一下周期内零点个数判断；D根据区间长度大小周期一半判断．【解答】解：f（x）＝|sin（2x﹣）+cos（2x﹣）+sin5x|＝|2sin（2x﹣|＝|）|，对于A，f（x）的值域为[0，]，]，所以A错；对于B，f（x）的最小正周期为，所以B错；对于C，因为f（x）一个周期（0，，f（0）≠0，π]上有两个零点；对于D，因为区间，，所以f（x）在区间[，，所以D错．故选：C．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的恒等变形，考查了三角函数的基本性质，属于中档题．9．（5分）元宵节是中国传统佳节，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动．某社区计划举办元宵节找花灯活动，准备在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯（同一地方的花灯不考虑位置的差别），且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数有（）A．114B．92C．72D．42【分析】根据题意，分2步分析：①将5盏不同的灯分为3组，要求两盏人物灯不在同一组，②将分好的三组全排列，安排到3个不同的地方，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步分析：①将5盏不同的灯分为6组，要求两盏人物灯不在同一组，若分为3、1、6的三组53﹣C71＝7种分组方法，若分为4、2、1的三组，有22＝12种分组方法，则有7+12＝19种分组方法，②将分好的三组全排列，安排到5个不同的地方33＝3种情况，则有19×6＝114种安排方法，故选：A．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）＝2x4+e x+e﹣x﹣1，若不等式f（1+ax）＜f（2+x2）对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，2）【分析】利用偶函数的定义判断出函数f（x）为偶函数，然后利用导数判断出函数f（x）的单调性，由此将不等式进行转化，结合一元二次不等式恒成立，进行求解即可．【解答】解：函数f（x）＝2x4+e x+e﹣x﹣4，所以f（﹣x）＝2（﹣x）4+e﹣x+e x﹣3＝f（x），故函数f（x）为偶函数，故当x＞0时，f'（x）＝8x2+e x﹣e﹣x单调递增，故f'（x）＞f'（0）＝0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不等式f（2+ax）＜f（2+x2）对任意x∈R恒成立，等价于不等式f（|5+ax|）＜f（|2+x2|）对任意x∈R恒成立，即|8+ax|＜|2+x2|对任意x∈R恒成立，即|2+ax|＜2+x2对任意x∈R恒成立，所以﹣8﹣x2＜1+ax＜5+x2对任意x∈R恒成立，则对任意x∈R恒成立，所以，解得﹣2＜a＜2，所以实数a的取值范围是（﹣8，2）．故选：D．【点评】本题考查了导数与不等式的综合应用，主要考查了函数奇偶性与单调性，考查了逻辑推理能力，属于中档题．11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O的表面上，P A⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝8，D是线段AB上一点，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28π，则球O 的表面积为（）A．128πB．132πC．144πD．156π【分析】设面ABC所截的截面圆的圆心为O'，外接球的球心为O，利用三角形外接圆的几何性质以及球的几何性质，分别求出截面圆面积的最小值和最大值，从而求出外接球的半径，由球的表面积公式求解即可．【解答】解：因为AB⊥AC，AB＝6，所以，设面ABC所截的截面圆的圆心为O'，外接球的球心为O，则O'为BC的中点，且OO'⊥平面ABC，则有O'A＝O'B＝O'C＝，取AB的中点E，连结O'E，则O'E＝，因为AD＝5DB，AB＝8，所以DE＝6，所以，设OO'＝x，则有OD2＝O'D2+OO'2＝20+x3，则球的半径R2＝O'A2+x6＝52+x7＝25+x2，故与OD垂直的截面圆的半径，所以截面圆面积的最小值为πr2＝5π，截面圆面积的最大值为πR4，由题意可得πR2﹣5π＝28π，解得R5＝33，所以球的表面积为S＝4πR2＝132π．故选：B．【点评】本题考查了三棱锥的外接球问题，解题的关键是掌握棱锥的几何性质以及球的几何性质，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．12．（5分）已知梯形ABCD中，以AB中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．|AB|＝2|CD|，点E在线段AC上，且＝，B为焦点的双曲线过C、D、E三点，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用题中的条件分析可C（），【解答】解：设双曲线方程为，由题中的条件可知|CD|＝c，设C（），A（﹣c，E（x，∴，，∴，…①由＝，可得，点E的坐标满足双曲线方程，所以联立①②可得，故选：B．【点评】本题考查了直线与双曲线的综合问题，向量共线，学生的数学运算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）＝ln（x+1）+x2e x的图象在点（0，f（0））处的切线方程为x﹣y＝0．【分析】求导函数，可得切线斜率，求出切点坐标，运用点斜式方程，即可求出函数y＝f（x）图象在点（0，f（0））处的切线方程；【解答】解：∵f（x）＝ln（x+1）+x2e x，∴f′（x）＝+2xe x+x2e x，则f′（0）＝1，又f（0）＝0，∴函数y＝f（x）图象在点（6，0）处的切线方程为：y﹣0＝x，即函数y＝f（x）图象在点（5，0）处的切线方程为y＝x；故答案为：x﹣y＝0．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，切线方程的求法，是基础题．14．（5分）已知向量与的夹角为60°，||＝3，|，则2﹣在方向上的投影为﹣3．【分析】根据2﹣在方向上的投影为，然后根据向量数量积公式进行求解即可．【解答】解：向量与的夹角为60°，|，||＝6，可得2﹣在方向上的投影为：＝＝．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的性质及其运算，以及一个向量在另一个向量方向上的投影，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC的平分线交AC于点D．若a+4c的最小值为9，则BD＝．【分析】由已知利用三角形的面积公式可得＝1，利用基本不等式即可求解．【解答】解：如图，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝45°，所以S△ABC＝ac sin90°＝a•BD•sin45°，可得2ac＝c•BD+，可得＝6，所以a+4c＝•BD，a+4c＝BD（+BD•（）＝，当且仅当a＝2c时取等号，所以BD＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．（5分）已知a＞0，不等式（x+1）1﹣a e x+1﹣aln（x+1）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立（0，e]．【分析】先将不等式利用换元法进行变形，转化为te t≥t a lnt a对t＞1恒成立，然后构造函数f（t）＝te t，t＞1，利用单调性将不等式进一步转化为对t＞1恒成立，令，利用导数研究函数g（t）的性质，求出其最值，即可得到a的取值范围．【解答】解：不等式（x+1）1﹣a e x+5﹣aln（x+1）≥0对任意的x∈（6，+∞）恒成立，令t＝x+1，则t＞17﹣a e t﹣alnt≥0对t＞1恒成立，变形可得不等式te t≥t a lnt a对t＞8恒成立，令f（t）＝te t，t＞1，则不等式等价于f（t）≥f（lnt a）对t＞1恒成立，f'（t）＝（t+2）e t，当t＞1时，f'（t）＞0，所以不等式转化为t≥lnt a对t＞8恒成立，即对t＞1恒成立，令，所以，解得t＝e，当1＜t＜e时，g'（t）＜0，当t＞e时，g'（t）＞4，所以当t＝e时，g（t）取得最小值g（e）＝e，所以a≤e，又a＞0，所以实数a的取值范围为（0，e]．故答案为：（4，e]．【点评】本题考查了函数与不等式的应用，主要考查不等式恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，S n＝．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝（﹣1）n+1，数列{b n}的前n项和为T n，求T2021．【分析】（Ⅰ）将已知等式中的n换为n﹣1，两式相减，结合等差数列的通项公式，可得所求；（Ⅱ）求得b n＝（﹣1）n+1＝（﹣1）n+1（+），由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．【解答】解：（Ⅰ）由a1＝1，S n＝，①可得n≥2时，S n﹣5＝，②由①﹣②可得a n＝S n﹣S n﹣5＝﹣，化为（n﹣1）a n＝na n﹣3，即＝＝…＝，可得a n＝n，上式对n＝1也成立，则数列{a n}的通项公式为a n＝n，n∈N*；（Ⅱ）b n＝（﹣5）n+1＝（﹣1）n+5＝（﹣1）n+1（+），所以T2021＝（5+）﹣（++）﹣…+（+）＝1+＝．【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AP＝PD＝DC＝CB＝1，AB＝2，平面P AD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：PB＝PC；（Ⅱ）求直线P A与平面PCD所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）设AD，BC的中点分别为O，E，连结PO，OE，EP，利用中位线定理得到BC⊥OE，由面面垂直的性质定理可证PO⊥平面ABCD，再由线面垂直的判定定理可证明BC⊥平面PEO，由此证明BC⊥PE，结合E为BC的中点，即可证明PB＝PC；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，求出直线的方向向量，再利用待定系数法求出平面PCD的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：设AD，BC的中点分别为O，E，OE，则OE为直角梯形ABCD的中位线，故BC⊥OE，又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PO⊥BC，又PO∩OE＝O，PO，所以BC⊥平面PEO，又PE⊂平面PEO，所以BC⊥PE，又E为BC的中点，所以PB＝PC；（Ⅱ）解：在AB上取一点F，使得AB＝4AF，OE，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面PCD的法向量为，则有，令z＝﹣1，则y＝5，故，所以，故直线P A与平面PCD所成角的正弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定定理以及线面垂直的判定定理和性质定理的应用，线面角的求解，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，点D（1，）是椭圆C上一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过椭圆右焦点F2且与椭圆交于P、Q两点，直线AP、AQ与直线x＝4分别交于M，N．（ⅰ）求证：M，N两点的纵坐标之积为定值；（ⅱ）求△AMN面积的最小值．【分析】（Ⅰ）由点D（1，）是椭圆C上一点，离心率为，列方程组，解得a，b，进而得出答案．（Ⅱ）（ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为x＝my+1，联立椭圆的方程，解得韦达定理可得y1+y2，y1y2，写出直线AP的方程，令x＝4，解得y M＝，同理可得y N＝，再计算y M y N，即可得出答案．（ⅱ）S△AMN＝•6•|y M﹣y N|＝3|y M+|，利用基本不等式，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，解得a3＝4，b2＝5，所以椭圆C的方程为+＝1．（Ⅱ）（ⅰ）设直线l的方程为x＝my+7，联立，得（3m2+7）y2+6my﹣8＝0，设P（x1，y3），Q（x2，y2），所以y7+y2＝，y6y2＝，直线AP的方程为y＝（x+8），令x＝4得y M＝，同理可得y N＝，所以y M y N＝＝＝＝＝﹣9．（ⅱ）S△AMN＝•6•|y M﹣y N|＝3|y M+|≥3•2．当且仅当y M＝3，y N＝﹣3或y M＝﹣5，y N＝3时等号成立．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属难题．20．（12分）已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸X（单位：mm）服从正态分布N（280，25）．（Ⅰ）从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm的概率；（Ⅱ）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，还会产生一次故障维修费．已知故障维修费第一次为2000元，此后每增加一次则故障维修费增加2000元．假设每个维护周期互相独立．求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和Y的分布列与数学期望．参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（p﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ），P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.998710≈0.9871．【分析】（Ⅰ）由正态分布曲线的特点求出P（X＜265），由对立事件的概率公式即可求解；（Ⅱ）Y的所有可能取值为20000，22000，24000，26000，28000，分别求出对应的概率，即可得分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）因为X～N（280，25），则μ＝280，σ＝5，所以P（X＜265）＝＝0.0013，所以从该生产线生产的零件中随机抽取10个，至少有一个尺寸小于265mm的概率为：P＝2﹣（1﹣0.0013）10＝5﹣0.998710≈0.0129．（Ⅱ）由题意可得Y的所有可能取值为20000，22000，26000，P（Y＝20000）＝＝，P（Y＝22000）＝××＝，P（Y＝26000）＝××＝，P（Y＝32000）＝××＝，P（Y＝40000）＝＝，所以Y的分布列为：Y20000220002600023200040000P数学期望E（Y）＝20000×+22000×+32000×＝22750．【点评】本题主要考查正态分布，离散型随机变量的分布列和数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝xe x﹣alnx﹣e．（Ⅰ）当a＝2e时，不等式f（x）≥mx﹣m在[1，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，f（x）最小值为g（a），求g（a）【分析】（Ⅰ）代入a的值，令u（x）＝f（x）﹣mx+m，求出函数的导数，根据函数的单调性求出m的取值范围即可；（Ⅱ）求出a＝e x（x2+x），令h（x）＝e x（x2+x），根据函数的单调性求出f（x）的最小值是g（a）＝x0﹣（+x0）lnx0﹣e，令F（x0）＝x0﹣（+x0）lnx0﹣e，根据函数的单调性求出F（x0）的最大值，从而求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）a＝2e时，f（x）＝xe x﹣2elnx﹣e，令u（x）＝f（x）﹣mx+m＝xe x﹣7elnx﹣e﹣mx+m，则u′（x）＝（x+1）e x﹣﹣m x+＞0，故u′（x）在[3，+∞）递增，u′（x）≥u′（1），当m＞0时，u′（1）＝﹣m＜0，故存在x5＞1，使得u（x）在[1，x6）递减，∴u（x0）＜u（1）＝0，∴u（x）≥3在[1，∴m＞0不可取，m≤6可取，∴m的取值范围是（﹣∞，0]；（Ⅱ）f′（x）＝（x+1）e x﹣，令f′（x）＝6，得a＝e x（x2+x），令h（x）＝e x（x2+x），则h′（x）＝e x（x6+3x+1）＞4，∴h（x）在（0，+∞）递增x（x2+x）至多6个解，设该解是x0，即a＝（+x0），∴f（x）的最小值是g（a）＝x﹣alnx0﹣e＝x0﹣（+x0）lnx0﹣e，令F（x3）＝x0﹣（+x3）lnx0﹣e，则F′（x0）＝﹣lnx0（+3x0+8），∵x0＞0，令F′（x3）＞0，解得：0＜x2＜1，令F′（x0）＜6，解得：x0＞1，∴F（x4）在（0，1）递增，+∞）递减，∴F（x8）的最大值是F（1）＝0，即g（a）的最大值是0，此时x2＝1，a＝2e．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是难题．(二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（t是参数，α∈[0，）），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系2的极坐标方程是ρ＝4sin（）﹣2cosθ．（Ⅰ）写出曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1与C2有且仅有一个公共点，求sin2α﹣sinαcosα的值．【分析】（1）直接利用转换关系，在直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；（2）利用极径的应用和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin（，根据转换为直角坐标方程为x2+y5＝2x+4y，即（x﹣5）2+（y﹣2）3＝5．（Ⅱ）曲线C1的参数方程是（t是参数，）），转换为直角坐标方程为y＝kx+5，（k＞5），利用圆心（1，2）到直线的距离公式，解得k＝，（负值舍去），故k＝2，即tanα＝3，所以sin，cos，故sin2α﹣sinαcosα＝＝．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+a|（a＞0）．（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（Ⅱ）由题意可得（|2x﹣4|+|x+a|）min≥a2﹣2a+4，a＞0，运用绝对值的几何意义和绝对值不等式的性质，求得最小值，解二次不等式，可得所求范围．【解答】解：（Ⅰ）若a＝1，不等式f（x）≥5即为|3x﹣4|+|x+1≥5，等价为或或，解得x≤﹣1或﹣4＜x≤0或x≥4，所以原不等式的解集为（﹣∞，7]∪[4（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，即为（|2x﹣2|+|x+a|）min≥a2﹣2a+2，a＞0，而|2x﹣5|+|x+a|＝|x﹣2|+（|x﹣2|+|x+a|）≥|6﹣2|+|x﹣2﹣x﹣a|＝|a+6|＝a+2，当x＝2时，上式取得等号，所以a5﹣2a+4≤a+6，即a2﹣3a+4≤0，解得1≤a≤7，即a的取值范围是[1，2]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
河南省郑州市八所省示范高中2020-2021学年高二数学上学期期中联考试题理考试时间：120分钟分值：150分注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分。
考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答(答题注意事项见答题卡)。
在试题卷上作答无效。
一、选择题(本大题共12小题，共60分)1.命题“若x>2020，则x>0”的否命题是A.若x>2020，则x≤0B.若x≤0，则x≤2020C.若x≤2020，则x≤0D.若x>0，则x>20202.已知△ABC中，角A、B的对边为a、b，a＝1，b＝3，B＝120°，则A等于A.30°或150°B.60°或120°C.30°D.60°3.已知c>1，则不等式x2－(c＋1c)x＋1>0的解集为A.{x|1c<x<c} B.{x|x>1c，或x>c} C.{x|x<1c，或x>c} D.{x|c<x<1c}4.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc。
若sinB·sinC＝sin2A，则△ABC的形状是A.等腰且非等边三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形5.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，如表给出了S n的部分数据：那么数列{a n}的第四项a4等于A.8127168B.278C.－8116或8116D.－278或2786.设变量x，y满足约束条件y xx3y4x2≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则x－2y的最大值为A.－1B.2C.－6D.47.下列说法中，一定成立的是A.若a>b，c>d，则ab>cdB.若1a>1b，则a<bC.若a>b，则a2>b2D.若|a|<b，则a＋b>08.若a，b为实数，则“b<1a”是“ab<1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OA n，…的长度构成数列{a n}，则此数列的通项公式为A.a n＝n，n∈N*B.a n1n+n∈N* C.a n n n∈N* D.a n＝n2，n∈N*10.给出下列结论：①在△ABC中，sinA>sinB⇔a>b；②常数列既是等差数列又是等比数列；③数列{a n}的通项公式为a n＝n2－kn＋1，若{a n}为递增数列，则k∈(－∞，2]；④△ABC的内角A，B，C满足sinA：sinB：sinC＝3：5：7，则△ABC为锐角三角形。
