计算题增分练(五)
(满分32分 20分钟)
1．如图所示，半径为l 的金属圆环水平放置，圆心处及圆环边缘通过导线分别与两条平行的倾斜金属轨道相连．圆环区域内分布着磁感应强度为B ，方向竖直向下的匀强磁场，圆环上放置一金属棒a ，一端在圆心处，另一端恰好搭在圆环上，可绕圆心转动．倾斜轨道部分处于垂直轨道平面向下的匀强磁场中，磁感应强度大小也为B ，金属棒b 放置在倾斜平行导轨上，其长度与导轨间距均为2l .当棒a 绕圆心以角速度ω顺时针(俯视)匀速旋转时，棒b 保持静止．已知棒b 与轨道间的动摩擦因数为μ＝0.5，可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力；棒b 的质量为m ，棒a 、b 的电阻分别为R 、2R ，其余电阻不计；斜面倾角为θ＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g ，求
(1)金属棒b 两端的电压；
(2)为保持b 棒始终静止，棒a 旋转的角速度大小的范围．
解析：(1)E ＝Bl v ①
v ＝0＋lω2 ②
U ＝2R R ＋2R ·E ③
①②③式联立，解得：U ＝13Bl 2ω ④
(2)I ＝E R ＋2R ⑤
F 安＝BI ·2l
⑥ 由①②⑤⑥式联立，解得：F 安＝B 2l 3ω3R
⑦
为保持b 棒始终静止，棒a 旋转的角速度最小设为ω1，最大为ω2：
mg sin θ＝μmg cos θ＋B 2l 3ω13R
⑧ mg sin θ＋μmg cos θ＝B 2l 3ω23R ⑨
3mgR 5B 2l 3≤ω≤3mgR
B 2l
3 ⑩
答案：(1)13Bl 2ω (2)3mgR 5B 2l 3≤ω≤3mgR B 2l 3 2．如图甲所示，光滑斜面OA 与倾斜传送带AB 在A 点相接，且OAB 在一条直线上，与水平面夹角α＝37°，轻质弹簧下端固定在O 点，上端可自由伸长到A 点．在A 点放一个物体，在力F 的作用下向下缓慢压缩弹簧到C 点，该过程中力F 随压缩距离x 的变化如图乙所示．已知物体与传送带间动摩擦因数μ＝0.5，传送带AB 部分长为5 m ，顺时针转动，速度v ＝4 m/s ，重力加速度g 取10 m/s 2
.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)物体的质量m ；
(2)弹簧从A 点被压缩到C 点过程中力F 所做的功W ；
(3)若在C 点撤去力F ，物体被弹回并滑上传送带，问物体在传送带上最远能到何处？
解析：(1)由图象可知：mg sin 37°＝30 N ①
解得m ＝5 kg
(2)图乙中图线与横轴所围成的面积表示力F 所做的功：
W ＝390×⎝ ⎛⎭⎪⎫0.5－1282 J －30×1282 J ＝90 J ②
(3)撤去力F ，设物体返回至A 点的速度大小为v 0，
从A 出发到第二次返回A 处的过程应用动能定理：
W ＝12mv 2
③
解得：v 0＝6 m/s 由于v 0＞v ，物体所受摩擦力沿传送带向下，设此阶段加速度大小为a 1，由牛顿第二定律：mg sin 37°＋μmg cos 37°＝ma 1
④ 解得：a 1＝10 m/s 2
速度减为v 时，设沿斜面向上发生的位移大小为x 1，由运动学规律：
x 1＝v 2
0－v 22a 1 ⑤
解得：x 1＝1 m
此后摩擦力改变方向，由于mg sin 37°＞μmg cos 37°，所以物块所受合外力仍沿传送带向下，设此后过
程加速度大小为a2，再由牛顿第二定律：mg sin 37°－μmg cos 37°＝ma2
设之后沿斜面向上发生的最大位移大小为x2，由运动学规律：x2＝v2
2a2
⑦解得：x2＝4 m
所以物体能够在传送带上发生的最大位移：
x m＝x1＋x2＝5 m
即恰好到达传送带顶端B点
答案：(1)5 kg (2)90 J (3)5 m
