教学新思考(朱国荣)

《乘法的初步认识》课堂实录读古诗，学乘法——朱国荣老师执教《乘法的初步认识》课堂实录一、课前思考在“乘法的初步认识”教学设计过程中，我主要思考了以下三个问题：（一）与原有教材相比，在内容编排与目标定位上发生了哪些变化？实验教材的内容编排是从操作切入的，主题图呈现了学生用小棒摆图形的情境。

学生需要经历“操作→表象→加法算式→乘法算式”的思维过程，这体现了实验教材注重引导学生在动手实践中建构数学知识的编写特点。

而原教材（以原浙江省省编教材为例）是直接按“表象（矩阵图）→加法算式→乘法算式”编排的，显然，就教学起点而言，实验教材比原教材低一些。

在目标定位上，实验教材强调在学生知识经验（加法意义）和生活经验的基础上建立乘法的意义。

（二）如何选择学习材料？就本节课的内容而言，学习材料的选择有三种形式：第一，从动手操作切入，如摆小棒；第二，从直观表象切入，如矩阵图等；第三，从加法算式切入。

无论从哪一种方式切入教学，只要组织合理，引导得当，都能殊途同归，帮助学生建立乘法的意义。

当然，在思维层次上，三种切入方式是有区别的，分别体现了动作、表象、符号与逻辑等不同的思维水平。

显然，选择哪一种方式切入教学主要应依据教学对象的不同认知水平而定。

（三）如何处理好教师的教与学生的学之间的关系？换言之，如何正确认识学生的学习基础和个体差异？乘法运算的意义（包括书写形式等）是一种数学规定，从学生的逻辑起点分析，在本节课学习之前，学生对乘法的认识“应该”是空白的。

因此，乘法意义的揭示应采用有意义的接受方式，由教师直接告之。

但分析学生的现实起点，每个班级中，总有一部分学生已经通过各种途径直观地认识了乘法，认识的程度、比例则体现出不同学生个体和不同班级群体的差异性。

面对学生的现实起点以及学生个体、班级群体的差异性，教师需要思考，如何把学生的认知经验和个性差异转化为丰富的教学资源，在师生、生生之间的交流中建构乘法的意义。

二、教学实录（一）导入。

基于元认知，构建大体系——朱国荣老师“三角形的认识”教学片段赏析作者：单雪娟来源：《小学教学参考·中旬》 2018年第1期［摘要］基于元认知设计数学课堂教学，需要教师进行充分的教学调查，对学生的元认知基础了解到位，再通过创造性的教学引导，激活学生主动学习的兴趣。

朱国荣老师讲授的“三角形的认识”这一课，从学生元认知的实际出发，对学生进行个性化的引导，从而帮助学生快速构建了三角形的完整认知体系。

［关键词］小学数学；三角形的认识；元认知［中图分类号］G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］1007-9068（201８）０２-0029-02“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。

”数学教学的眼界应更高，眼光应更长远。

朱国荣老师执教的“三角形的认识”这一课就为我们提供了一个典型的范例，让我们领略到数学文化的魅力，使我们感悟到：基于学生元认知的教学，能在行云流水间将学生带入数学学习中，密切联系学生元认知和数学知识，能使学生对三角形知识的构建融合于几何图形的体系中，给学生以启迪，给学生以智慧。

现撷取精彩的教学片段，让我们一同走进大师营造的精彩世界。

【片段一】寻常之中意更远师：请看大屏幕，你认识这些图形吗？说一说它们分别叫什么。

生1：左边的是四边形，中间的是梯形，右边的是平行四边形。

师：对！它们还都是四边形。

它们当中谁是特殊的四边形呢？生2：平行四边形和梯形比较特殊，它们有的边是平行的。

师：是的！你能把一个四边形的对角线找出来吗？在图形中试着画出一条对角线，看看能得到什么？生3：四边形变成了2个三角形。

师：在梯形和平行四边形中试试，看看是否也能得到这个结论呢？师：请仔细看屏幕。

如果连接每一个四边形的一条对角线，你能从中发现什么问题？师：想不想试试在五边形中画对角线？生4：五边形怎么画对角线啊？好像对角线挺多的。

师：这么快就能发现问题，真了不起。

注意，只能从一个顶点去画对角线！（学生小组合作画对角线）生5：我们画出了两条对角线，得到了3个三角形。

教学思考
9月中旬在太原参加了“全国小学课堂教学大赛一等奖观摩课”培训学习，有幸听了浙江省嘉兴教育学院朱国荣老师的一节示范课《平行四边形的面积》。

《平行四边形的面积》这节课老师们在公开课上讲得很多，模式基本上一样。

引入——探究平行四边形的面积公式（先数方格，再动手剪拼）——应用公式练习。

但朱老师的讲法不同。

教学中，先引导学生独立探究平行四边形的面积的计算方法，学生主要有三种不同的算法：一是把求面积算成求周长；二是用“邻边相乘”来计算平行四边形的面积；三是用“底乘高”计算。

在三种不同的方法中，直接求周长的是少数学生的错误，在教学时，教师先反馈，直接否定。

而“邻边相乘”的方法是学生最容易产生的错误，教学时教师分析学生学习的思维过程，发现主要是长方形面积计算方法对平行四边形面积计算的负迁移。

后两种方法，朱老师并没有简单的“以对纠错”，而是充分的暴露学生错误的方法和思维过程，在展示、比较、分
析、争论过程中，通过学生之间的充分交流，让学生厘清错误所在。

课后的讲座中，朱老师指出：面对学生探究生成的材料，如何进行反馈呢？教学反馈的先后顺序十分重要。

如何把握教学推进的最佳路径有三个优先的原则，即多数学生产生错误时，错误的优先展示；后进学生的探索成果优先展示；多数学生的一致的探索结果优先展示。

通过学习，我感受到只有教师加强对学生的研究，才能准确把握可能生成的各种资源，才能预设教学推进的教学路径，也才能真正把学生的错误转化为最为生动、最为鲜活的教学材料。

一堂好的数学课,一个好的问题设计,往往能够结合学生的认知特点,充分激发学生的学习兴趣;往往能引领学生由浅入深掌握新知识,不知不觉建构模型并解决问题,从而完善原有的知识方法体系。

《平行四边形的面积》一课是非常传统的教学内容,但特级教师朱国荣的课堂演绎,以各类问题驱动,层层递进,打造了一个非常高效的课堂。

【片断一】师:(ppt出示一个平行四边形)你有办法求出这个平行四边形的面积吗?请拿出作业纸,量一量,列个算式,算一算。

(学生拿出准备好的练习纸,上面是一个底边7厘米,邻边5厘米的平行四边形,但是没有注明长度)师:完成的学生可以到台上来写一写,其他同学可以与同桌交流一下。

师:下面这三种方法分别是怎么想的呢?师:说一说7和5分别表示什么?第一种方法在求什么?生:7是平行四边形的底边长,5是平行四边形的邻边长,方法一求的是周长。

师:那么我们来比较一下方法二和三,大家看看这些数据在图中哪里?方法三要画高,请同学上来板演。

师:你们赞同哪一种?都是怎么想的?生:我赞同第二种。

平行四边形容易变形,一拉,变成长方形,就是两条相邻的边相乘。

师:平行四边形框架摆上来,同学来拉一下。

平行四边形的底就是长方形的长,邻边就是长方形的宽,长方形面积=长×宽,平行四边形面积=底×邻边。

有哪些同学也是这样想的?挺有道理。

有什么不一样的想法?生:我反对,我赞同第三种方法。

回过去看,长方形变成平行四边形,底不变,高度变了,面积不一样。

师:一拉,形状肯定变了,刚刚同学说面积变了,你们认为呢?哪里看出来的?生:(如下图)把这边这块三角形割下来补到这边,就拼成了长方形,比拉好后的长方形面积要小。

【赏析:朱老师在上课第一时间就抛出了本节课要解决的一个重要问题:用什么办法来求平行四边形的面积。

可以说这是个“大问题”,放在课的开始,对整节课起到引领作用。

然后将一些新授的知识点在解决这个问题的过程中慢慢地丰富,最后把知识点整合,达到解决问题的效果。

让学生经历有效的数学教学——对朱国荣老师执教“小数的
意义”一课的思考
吴卫东
【期刊名称】《小学教学：数学版》
【年(卷),期】2007(000)010
【摘要】何谓有效的数学教学?这是人们经历了新课程改革后,归于理性的必然追问。

有效的数学教学是基于对教学数学知识的深入思考。

朱国荣老师执教的"小数的意义"一课就是在不断追问教材的基础上而形成的独具数学味的小学数学教学设计。

其数学味突出表现在突破了具体的量而感知小数的意义。

【总页数】1页(P8-8)
【作者】吴卫东
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G623.5
【相关文献】
1.理解小数的真意义,让儿童思维更深刻——观吴正宪老师“小数的意义”一课有感 [J], 张秋爽;武维民
2.让学生经历有效的数学教学——对朱国荣老师执教"小数的意义"一课的思考 [J], 吴卫东
3.理解小数的真意义，让儿童思维更深刻——观吴正宪老师“小数的意义”一课有
感 [J], 张秋爽;武维民;;
4.用钢琴演绎人生的艺术家——访我国著名的钢琴演奏家、教育家朱雅芬老师用钢琴演绎人生的艺术家——访我国著名的钢琴演奏家、教育家朱雅芬老师 [J], 王硕;刘岩松;舒鹏
5.把思维能力和创新能力的培养落到实处——兼评朱蕾老师执教的“等式的秘密”一课 [J], 张天孝
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挑战思维、挑战课堂作者：李俊来源：《数学教学通讯·初等教育》2014年第03期[摘要] 在学生的数学学习过程中，应让学生感受到数学学习的快乐，而真正的快乐不仅仅来自于数学课堂中生动、有趣的情境与活动，还来自于数学课堂中所特有的思维增长. 本文结合朱国荣老师的教学实例，谈谈如何挑战数学课堂的数学思维，如何激活数学思维.[关键词] 小学数学；思维；课堂；挑战；精神；空间有幸听朱国荣老师的一堂课，被朱老师大胆的课堂设计所震撼，被他大气的教学风格所征服. 40分钟的课堂上，每个学生都在朱老师的布局下挑战着思维，挑战着自我. 下课前，朱老师让同学们用一句话概括这堂课的学习收获时，有同学这样说“上课开始时我觉得自己是对的，后来觉得他们更有道理. ”“我知道了有的话正着说是对的，倒过来说却会不对. ”……同学们一种拨开云雾见青天的感觉由此而生. 这堂课上，学生不止探索到了平行四边形面积的计算方法，给他们留下更深印象的是探索道路上的疑惑与坎坷，而这种疑惑与坎坷正是从朱老师巧妙创设的教学环节而引发的，老师既想看到学生在困难面前被激起挑战的欲望，更想与学生在挑战成功后分享喜悦. 而这堂课上，我们都感受到了强烈的挑战欲望，也分享到了这份成功的喜悦.■ 第一，数学课堂呼唤思维挑战小学数学课堂和数学学习的价值何在？学生数学素养发展的方向何在？有人说教学的本质不在于训练、强化已形成的内部心理机能，而在于激发目前还不存在的心理机能，让这种心理机能形成一个循环、可提升的能量源泉. 我们的数学课堂需要营造数学思考的氛围，创造性思维挑战的条件. 如果把小学数学的学习比作一条没有终点的探索之路，那数学课堂应该是在通向那隐蔽的真理的曲折道路上指引学生前进的一盏明灯，而数学教师正是点燃这盏明灯的人. 每个学生都有寻求刺激、接受挑战的潜在心理动机，只不过有时候这种动机可能因为这样或那样的原因被掩盖了. 如果哪位数学教师能把情感体验真正当成重要的教学目标之一，那他应该能营造出激情洋溢的课堂，而且这种激情的主角不仅仅是执教教师本人，而是参与数学活动的师生群体. 如果哪位数学教师能把思维挑战作为数学素养之精髓，那他一定会千方百计地创造出精彩灵动的课堂，在这个课堂中，充满着学生的参与身影和思维的火花，充满着学生的成功和失败，充满着成长与收获. 如朱老师的“平行四边形的面积”一课，他的设计和执教就很好地让学生接受了一次思维挑战，从数学活动中逐渐创建了符合学生思维的挑战，且看如下教学片段.教师让学生给材料上的平行四边形作高，再让学生说说这些平行四边形的面积是指哪部分.（学生先同桌说，再由二人集体发言）师：这个平行四边形的面积怎么求？师（进一步指导）：我们可以先量一量，根据量出的数据大胆地试一试，看看怎样求平行四边形的面积.学生试做，教师巡视.【试做情况反馈】生1：5×7=35平方厘米（5厘米是斜边，7厘米是底）.生2：3×7=21平方厘米（3厘米是高，7厘米是底）.生1：因为长×宽=长方形的面积，所以平行四边形的面积等于5×7.让与生1解答相同的学生（占大多数）再发言，他们的理由也都是因为长方形的面积=长×宽. （这些学生的表情显示了他们很坚信自己的观点）教师板书：长×宽=长方形的面积师：看到平行四边形你怎样会想到长方形呢？生（齐）：把平行四边形转一下就变成了长方形.教师拿出教具让学生拉一拉，看看平行四边形怎样变成长方形（把教具固定在黑板上，画出拉出的长方形）.师：就因为这样，平行四边形的面积就是5×7=35平方厘米，你们同意吗？同桌讨论，如果不同意，说出为什么. （此时，许多同学对自己原来的想法产生了怀疑）【学生讨论后发言】生：图形的周长不变，面积变了.师：你是怎样看出面积变了？怎样变了？生：把三角形1切下补到2的地方就能看出平行四边形的面积比长方形面积小.师（小结）：既然之前的方法不对，那你认为怎样才能算出平行四边形的面积呢？再看看第二种方法对不对.在这个教学环节中，我们能清晰地观察到学生在朱老师的引领下经历了“猜测尝试—自我怀疑—探究辨析—自我调整”的学习过程，完成了向原有的思维方式作出的挑战. 学生在这样的学习中产生了思维的撞击，迸发出了火花，很可能成为学习生涯中一次难忘的经历. 这难道不是我们追求的有效学习吗？那要使数学课堂实现思维挑战，我们应该怎么做呢？■ 第二，寻求超越，发扬挑战精神关注学生发展的好教师往往会走在学生发展的前面，他们通过不断实践，深入了解学生现状，充分预设各个教学环节的生成情况以调节自己的教学行为. 我对“平行四边形的面积”这一内容自以为十分熟悉，听过的公开课也有好几堂，印象中这种课不过是沿着“知识迁移—剪拼实验—公式推导—公式运用”的模式作些微小改进罢了，即使是许多评优和展示活动的设计中也只能看到局部的创新，或能看到某个环节的亮点，然而像朱老师这样大胆的教学思路却闻所未闻. 这是一种对传统课堂的挑战，需要教师具有十分熟悉教材、熟识学生的底气，以及自如把握课堂的霸气. 而每位教师的发展何尝不需要挑战？名师之所以成为名师，不就是经历了一次又一次的挑战才登上教坛顶峰的吗？每个人只有不断地接受新的挑战，不断地挑战自我，才能实现一次又一次的超越，这种超越只有自己才能最真切地体会到，这时的超越会变成教育的幸福. 当数学老师真正走进课堂（不只是单纯的教室）以后，追寻数学教育思想，让课堂成为自己安身立命的所在，才可能真正过上丰富的、有意义的教育生活. 已然达到这样境界的老师才有可能挑战一切，而朱老师在本节课的教学过程中，通过自己的引导、启发、提问，让学生逐渐进入符合他们自己需求的思维挑战之中. 在整个数学活动过程中，学生主动地参与到了思维挑战之中，这种挑战动力来自数学活动本身的趣味性、知识性、价值性，让学生不断的思维挑战积蓄了学习的品质，即勇于挑战的精神.■ 第三，课堂设计开拓挑战空间在数学教学中，我们作为老师，往往讲究明确教学目标，为了较顺利地达到目标，会小心翼翼地进行教学设计，以便有效地控制意外，确保教学内容在自己的预设范围内得到有效实施，以及达成更好的服务教学目标. 我所接触的教学设计大多像为学生学习而铺设的列车轨道，精妙之处无非是沿途的风景. 课堂上不乏精彩的问答、细腻的层次和巧妙的衔接，师生在阳光和煦和波澜不惊中到达彼岸. 再以朱老师的“平行四边形的面积”为例，他给学生提供了一个“游乐场”，让学生自行探索、寻找出路. 学生自然会经历磨难，如本课教学中一开始就出错的学生人数竟超过了三分之二，只有三名学生能得出最终的正确答案，还有的学生疑惑不定、似懂非懂，这其实就是学生对相应学习内容最真实的反馈，是学生原有思维中所暴露出的最原生态的学生实情，也是教师最需要了解和把握的. 而在朱老师的课堂中，他敢于让学生暴露自己的问题，而朱老师敢于这样设计教学也必然充分估计了这种状况. 当大多数学生遇到困难时，他们巧妙地为自己搭建了“桥梁”，那就是平行四边形可以拉动；当学生超越困难时，平行四边形面积公式的推导过程已跃然脑海. 教师给学生一个大空间，让学生在这个空间里充分展现自己的思维，即使有的时候学生会遇到思维的挫折，这都是学生学习过程中应该遇到或者必须经历的正常思维，是学习过程中不可缺少的重要失败经验. 此时，教师可以再提供学生一个小工具，让他们再思维、再交流，教师则根据学生的思维情况适时点拨和变通，让学生通过有效互动完成学习，达成学习目标，提升思维深度，这就是具有思维挑战的有效课堂.在漫长的课堂教学实践中，教师要实现主动发展就需要富有挑战精神，并不断地尝试创造更加符合学生思维能力不断提升的教学新方法，只有这样，我们的教育才能永葆生机，也只有这样，我们才能不断地提升学生的学习成绩和学习能力，让学生真正学会学习、学会思维.。

我 思 故 我 在——“小数的意义”磨课心旅浙江省嘉兴市教育研究院 朱国荣一、思考，为了不重复平庸1．小数的意义是什么在“小数的意义”磨课之旅中，我一次次地拷问教材，拷问那些偶然碰上的数学、语文老师、……。

我拷问教材，教材这样回答：分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示。

我拷问那些偶然碰上的数学、语文老师、……，他们这样回答：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几，……。

比较教材和教师的回答，可以发现有一点是共通的——小数的意义是在分数意义的基础上建立起来的。

这也符合认知建构的理论观点：学习者对新知识的理解程度与他们内在的认知结构休戚相关。

Bruner 说的更清楚：“获得的知识如果没有完整的结构将它联系起来，那是一个多半会遗忘的知识。

”学习一个概念，就需要在心理上组织起适当的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分。

沟通小数与十进分数的内在联系，是引导学生理解小数意义的关键所在。

但仔细推敲教材和教师的回答，可以发现教材对小数意义的表述顺序和教师的表述顺序恰好相反，教材的表述顺序是“……的分数可以用小数表示”，而教师的表述顺序是“小数表示……”。

显然，教材的表述顺序较为符合数学知识产生的逻辑顺序，而教师的表述顺序更符合学生理解小数意义的思维过程。

2．怎样教学能让学生深刻理解小数的意义在人教版实验教材中，小数是分两个阶段认识的，在三年级下册，学生已经初步认识了小数，四年级下册要学习小数的意义和性质。

与其它版本教材（如北师大版）不同，人教版实验教材在教学小数初步认识时，就已经把“让学生知道101米写成小数是0.1米，1001米写成小数是0.01米”作为教学目标了。

而本节课，为了概括出“分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示”这句结语，教材又一次呈现了把1米平均分成10份、100份、1000份的过程，依然采用“告诉”的办法，沟通小数和十进分数的联系。

不会不懂装懂，而是敢于提出自己不同的见解，并坚持自己的意见。

二是游老师对这类孩子的尊重和关注是很到位的。

分享课堂，大部分时间是一种角色换位，让学生启发学生，让学生帮助学生，但是也不排斥一对一的讲授。

当学生不能够将一种方法说得透彻的时候，教师就该出马了。

欣赏游老师的果断，同时也欣赏游老师不是单纯地给学生讲懂，而是在学生明白第一个算式120×3的意义后，让他表达第二个算式210×2的意义。

教师就是为了解决学生的疑惑而存在的，这样的处理，体现了顺应学情的分享。

分享课堂有三个基本单元，但在每个单元里教师该如何做，是很值得探讨的。

游老师的分享课堂，让我看到别样的美，用吴正宪老师的话来说：“游老师的课是思维不断碰撞的课堂。

”思维碰撞，该吸收则吸收，该释疑则释疑，该驻足则驻足，让分享跟着学情走，才是硬道理。

（四川省成都市泡桐树小学（天府校区））课前思考“方程的意义”一课，无论是教材，还是教学实践，无一例外都借助天平导入。

教学中，根据天平演示，先呈现一组等式（方程）、不等式，再引导学生分类，进而揭示方程的概念。

这几乎成了“方程的意义”一课教学的不二选择！当所有人都以为这就是真理时，谬误或许已隐藏其中！借助天平教学“方程的意义”，有两个问题值得商榷。

一是本节课的教学目标定位，是把“含有未知数的等式，叫做方程”这个形式化的定义作为教学重点，还是把“知道方程表示数量间的相等关系”作为教学重点？我认为是后者。

张奠宙教授认为“这个定义其实并不重要，那只是‘方程式’的一个外观描述，没有体现方程的本质”。

史宁中教授也曾提到如何理解方程的定义问题，他说：“虽然教科书中定义为‘含有未知量的等式’，但应当知道方程的本质是在讲两个故事，这两个故事有一个共同点，在这个共同点上两个故事的数量相等。

”也就是说，从这个定义出发去判断一个式子是不是方程，意义不大，关键是要知道方程是怎么回事，是做什么用的。

方程是一种思想，是把未知量视为与已知数同等性质可参与运算的量，利用等量关系构造方程，求出问题的解。

课前慎思【问题1】对于“三角形任意两边之和大于第三边。

”俞正强老师说它仅仅是对简单事实的一种记录和描述。

朱国荣老师则幽默地将它形容为一个“连狗都知道的知识”。

那么，对这个“简单知识”，学生还需要通过摆小棒去探究和体验吗【思考】对于四年级的学生来说，“三角形三边关系”不难理解。

因此，带领学生探究“怎样的三条线段能围成三角形”比发现“三角形任意两边之和大于第三边”更具思维含金量。

【问题2】判断三条线段能否围成三角形，可以依据“任意两线段长度和是否大于第三条线段”判断，也可以依据“两短线段长度和是否大于最长的线段”判断。

在课堂教学中，我们应该将学生思维的关注点引向“任意两边之和大于第三边”，还是引向“两短边之和大于最长边”呢？【思考】依据“任意两条线段长度和是否都大于第三条线段”来判断三条线段能否围成三角形，需要列三道式子。

依据“两短线段长度和是否大于最长的线段”来判断三条线段能否围成三角形，只需要一道式子就行了。

显然，第二种方法判断起来更简便、快捷。

但两种方法中，前者属于“通法”，后者属于“技法”。

“技法”的习得应该是在学生掌握、理解“通法”的基础上，通过练习、反思逐步形成的。

我们不应绕过“通法”，过早地教给学生“技法”，让学生囫囵吞枣式地“套用”知识。

【问题3】“三角形任意两边之和大于第三边。

”“三条线段，如果任意两线段长度和大于第三条线段，它们能围成三角形。

”这两个命题表达的意思一样吗？它们之间是什么关系？“三角形任意两边之和大于第三边”能作为判断三条线段能围成三角形的依据吗？【思考】这是一个学生较难理解，但教师应该想清楚、弄明白的问题。

两个命题中，前者属于对事实的描述，后者属于判定方法。

从逻辑角度看，如果将前者“三角形任意两边之和大于第三边”称为原命题，那么后者“如果三条线段中，任意两线段长度和大于第三条线段，这三条线段能围成三角形”则属于逆命题。

原命题正确，并不能保证逆命题正确。

我们可以根据“三角形任意两边之和大于第三边”推得“两条线段长度和小于或等于第三条线段不能围成三角形”。

联结“位”与“值” 渗透运算一致性——以“乘法运算”教学为例【摘要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》十分强调运算教学的整体性与一致性，指出要“感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识”。

本文聚焦整数、分数、小数不同数域中的乘法计算，通过经历运算意义的表征“多元化”到“统一性”的图示联结、依托运算模型的计算“个性化”到“规范化”的理法联结、通过类比融通的方法“位表征”到“值表征”的程序联结这三种方法，试图阐述联结“位”与“值”渗透运算的一致性。

【关键词】一致性图示联结理法联结程序联结一、提出问题《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：数学课程内容的一大特点就是整体性。

教学中，要沟通数的概念与数的运算之间的关联，突出“数"与“运算"的一致性。

从当前的教材和教学来看：关于数的认识，整数（本文特指自然数）、分数、小数有其独特的认识方法；关于乘法的运算，整数、分数、小数运算有各自的算法。

这些知识似乎是支离破碎、缺乏内在一致性的。

众所周知：“计数单位”是统领“数”与“运算”的概念。

浙江省特级教师朱国荣老师也曾提出“乘法会产生新的计数单位。

”乘法运算的一致性主要表现为两个方面：一是产生新的计数单位，即计数单位与计数单位相乘得到新的计数单位；二是确定计数单位的个数，即计数单位上的数字与计数单位上的数字相乘得到计数单位的个数。

具体见图1：那么，数的概念与乘法运算围绕“计数单位”如何保持一致性？乘法是怎样产生新的计数单位？在教学中如何让学生理解到积的“位”和“值”的产生过程？本文试图阐述笔者的一点实践与思考。

二、探寻方法（一）经历运算意义的表征，实现“多元化”到“统一性”的图示联结整数、分数、小数这些概念都有各自的计数单位。

乘法是加法的简便运算，学生初步认识乘法时，即把两数相乘的过程视为相同加数求和。

加法是线性相加的模型运算结果的计数单位继承原来加数的计数单位。