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材料物理基础第二章固体结构-(3)晶面与晶向-201209

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第三讲晶面和晶向

第三讲晶面和晶向

称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。
(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点； (2)晶面上格点分布具有周期性； (3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同； (4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。
同一个格子，两组不同的晶面族
2.晶面指数
晶面方位
晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角) 晶面在三个坐标轴上的截距
C EB
cD
b aF GA
密勒指数是(210) 的晶面是ABCD面；
密勒指数是 (121) 的晶面是EFG面；
§1.4 倒格子 —— 晶格具有周期性，一些物理量具有周期性 势能函数 势能函数是以
为周期的三维周期函数
1.4.1倒格与傅里叶变换
在任意两个原胞的相对应点上，晶体的物理性质相同。
r Rl r
可以证明：r,s,t必是一组有理数---阿羽依的有理数定理。
设a1,a2 ,a3的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、
h3d的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数 。
(1)所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必
有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 a1,a2,a3 末端上的格点 也一定落在该晶面族的晶面上；
倒格 倒格基矢 b1,b2 ,b3 倒格（点位）矢：
Rn n1a1 n2 a2 n3 a3
K n h1b1 h2b2 h3b3
1.4.1 倒格定义
倒格基矢定义为：
b1 2π a2 a3 Ω
b2 2π a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2
Ω
其中 a1 , a2 , a3 是正格基矢，
(1)基矢a1,a2,a3 被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3

材料物理基础第二章固体结构-(7)固溶体结构-201209

材料物理基础第二章固体结构-(7)固溶体结构-201209

（2）影响溶质溶解度的因素
（3）决定固溶体类型的因素
8
（4）固溶体性质与溶剂金属晶体性质的异同点
金属固溶体结构 1.基本特征
• 金属（溶剂）+金属或非金属（溶质）（一次固溶体，primary solid solution）。 • 保持溶剂金属的晶体结构，溶质以单个原子分布在溶剂晶体结构中（取代 溶剂原子或位于溶剂晶格间隙位置）。 • 溶质原子分布长程无序（无序固溶体），但微观分布不均匀（理想晶体除 外），存在短程有序或原子偏聚。 • 溶剂和溶质原子的配比可以在一定范围变化（有限固溶），或以任意比例 变化（无限固溶），而不改变溶剂的晶体结构类型。 • 基本保持溶剂金属特性，金属键。良好导电性，良好塑性。但但随溶质原 子数量增加，固溶体强度升高（固溶强化），塑性降低，电阻率升高、磁 性能改变、耐腐蚀性降低等，固溶体和溶剂晶体的性能差别增大。 • 金属溶剂的晶体产生点阵畸变（晶格畸变），溶剂晶体的点阵常数改变。 • 9 在相图中，金属固溶体通常位于相图的两侧（端际固溶体）。
20
短程有序分布
17
长程无序
金属固溶体结构
影响溶ห้องสมุดไป่ตู้原子分布均匀性的主要因素：
同类原子间结合能EAA和EBB及异类原子间结合能EAB
若EAA = EBB = EAB，则溶质原子倾向完全无序分布。 若(EAA ＋EBB)/2＞EAB，则溶质原子倾向偏聚分布。 若(EAA ＋EBB)/2＜EAB，则溶质原子倾向有序分布。
原子电离能I ：使一个原子失去一个最外层电子所需的能量。
电子亲和势E：一个中性原子获得一个电子成为负离子所释放的能量。 • 异类原子的负电性相差越大，越易形成化合物，不易形成固 溶体。当形成化合物，电负性差将影响化合物的化合键。

第二章_固体结构-晶向晶面2.2

第二章_固体结构-晶向晶面2.2
求法1（平移法） 1） 确定坐标系
2） 过坐标原点，作直线 （OP）与待求晶向平行； 3） 在该直线上取点（距原 点最近），并确定该点P的 坐标（x，y，z） 4）该值乘最小公倍数化成 最小整数u，v，w并加以方 括号[u v w]即是。
设坐标，求坐标，化整数，列括号
求法2（两点法）
1. 以晶胞的某一阵点为原点，以晶 轴为坐标轴X、Y、Z，以晶胞的边 长为三坐标轴的长度单位。 2. 确定晶向上任两点的坐标 (x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。 3. 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2-z1 ； 4. 化成最小整数比u：v：w ； 5. 放在方括号[uvw]中，不加逗号， 负号记在上方 。
[uv w]
1、红线代表的晶向由两个结点的坐标之差确定 2、晶向指数同乘、除一个数，晶向不改变。 如[012]---[0 ½ 1]
如图为立方晶系： X轴、Y轴、
Z轴；长度单位a=b=c=1。
例： OD为[101]； Om为：坐标1/2、1、1/2；化
简后[121]；
EF为：[111]
用平行的直线连接起来， 构成三维几何格架
2.1.2 晶胞 组成点阵的具有代表性的基本单
元，称为晶胞
如何选取晶胞？应遵循下述原则
(1)对称性 选取的平行六面体应反映点阵的最高对称性； (2)相等性 平行六面体内的棱和角相等的数目应最多； (3)直角性 当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目应最多。 (4)最小性 在满足上述条件的情况下，晶胞体积应最小。
2.2 晶向指数和晶面指数
晶向——通过晶体中任意两个原子中心连成直线来表 示晶体结构的空间的各个方向。 晶面——晶体结构一系列原子所构成的平面。 晶向指数和晶面指数是分别表示晶向和晶面的符号， 国际上用Ｍiller指数（Ｍiller indices ）来统一标定。

第2章-材料的结构--第2节-晶面晶向指数PPT课件

第2章-材料的结构--第2节-晶面晶向指数PPT课件
设坐标： 在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时 相同；原点设在待求晶面以外。
2021/7/23
17
求截距系数：
顺序求待标晶面在三个轴上的截 距系数(p、q、r)，即由该晶面 在三个晶轴上的截距用相应的 轴单位去度量而求得。
因为截距的具体值不便应用， 且轴单位相同用具体值也不必 要，所以取截距系数。
3a
2
1 2
1
1.16
3a a
3a
2
1 2
0.58
3a a
32
三.六方晶系的晶向和晶面指数
为何用四轴坐标?
该系统的独特对称性决定的。.
2021/7/23
33
六方晶系的晶向指数和
晶面指数同样可以应用
c
上述三轴方法标定，这
时取a1，a2（b），c为 (1 1 0)
晶轴，而a1轴与a2轴的 夹角为120度，c轴与
族。
2021/7/23
26
晶面族表示方法：用花括号{hkl}表示。它代表 由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。 如{100}包括(100)、(010)、(001)、(T00)、 (0T0)、(00T)。
{110}＝？
{111｝＝？
2021/7/23
27
{h k l} 晶面族：等价晶面
立方 {110}=(110)+(101)+(011)+(T10)+(1T0)+(T01)+(10T)
截距系数相同的晶面，由于晶
系的不同，其在各晶轴上所截的真
正长短也并不一定相等。
2021/7/23
18
取倒数：取各截距系数的倒数； 1/x, 1/y, 1/z

晶向、晶面及晶带ppt课件

晶向、晶面及晶带ppt课件
立方晶系中：
12个对角面 (110)， (101)， (011)， (110)，(101)， (011)， (110)， (101)， (011)， (110)， (101)， (011)构成{110}晶面族；
6个表面 (100) ， (010) ，(001) ，(100) ， (010) ， (001)构成{100}晶 面族；
3.已为最小的整数，记作 ( 0 1 0 )
精选ppt
练习
G
Z
EFB晶面
BFGD晶面 E
ACD晶面
F
D
C
X
20
精选ppt
A
B
Y
_
EFB晶面 (111_) BFGD晶面 （110）
__
ACD晶面 (112)
2021/3/10
例：在下图中画出（012）和（123）晶面
Z
Z
O
Y
Y
O
X
X
21
精选ppt
4、间隙
3
精选ppt
2021/3/10
一、晶向及晶向指数
1.晶向：
通过晶格中任意两个格 点连一条直线称为晶列， 晶列的取向称为晶向，描 写晶向的一组数称为晶向 指数(或晶列指数 miller indices)。
过一格点可以有无数晶 列。
4
精选ppt
晶列的特点： (1)平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点； (2)晶列上格点分布是周期性的； (3)晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的； (4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。
(213) (213) (2 13) (213)
(231) (231) (2 31) (23 1 )
(321) (321) (3 21) (32 1 ) (312) (312) (3 12) (312)

晶面和晶向(课件)

晶面和晶向(课件)
第四章 晶向、晶面等概念
1
4.1 原子坐标
在空间三维坐标系中， 一个点A用一组坐标(x,y,z)表示， 一条直线用直线方程 ax+by+cz=0来表示。
原子在晶胞中的位置可用 原子坐标 表示。
2
什么是原子坐标？
原子坐标是以单位晶格长度为坐标，以数字表 示某一原子中心处在晶格中的位置的一种表示方 法，原点一般选在晶胞顶点上。
个坐标，一般选取结点； 3)相乘或相除同一整数，化为最简整数比，即为晶向
指数；用 [μνω ] 表示
13
1,1,1 ⎯1⎯2→[463]→[μνω ]
324
14
由于对称性的关系，也有若干个晶向常常是等同的。 它们构成一个晶向族，用<uvw>来表示这一系列的晶向。 例如：对于立方晶系
<100> 包含 [100],[010],[100],[010],[001],[001] 共六个晶向；
17
六方晶系中的晶面与晶向
18
(110)(110)(110)(110) 晶面
19
[113][131][311]⎡⎣113⎤⎦ 晶向
(113)(131)(311)(113) 晶面
20
4.4 倒易点阵
研究倒易点阵的目的： (1)更清楚地了解x射线在晶体衍射中的几何概念； (2)更清楚、更容易理解晶面的存在及其坡度、晶面
<110>包含 [110],[101],[011],[110],[101],[011],[110],[101],[011],[110],[101],[011] 共十二个晶向
<111>包含 [111],[111],[111],[111],[111],[111],[111],[111] 共八个晶向

固体物理 晶面与晶向

固体物理 晶面与晶向

确定晶向指数的步骤：
1、确定坐标系 取任一格点为坐标原点O，以轴矢 ar、br、 为c轴r 建立坐标系； 2、求坐标值 在通过原点的晶列上，求出沿晶向方向上任一格点的位置矢 量 u'a rv'b r。w 'c r 为u'、坐v'、 标w值' 。
3、化整数 将 u'、v'、 化w为' 互质整数 4、列括号
（四）晶面族
由于对称性，有些晶面是等效的，它们的面间距 和晶面上格点的分布完全相同。
这些等效的晶面同一用{hkl}表示。
(1 0 0 ) 面等效的晶面数分别为：6个
(1 1 1 ) 面等效的晶面数分别为：8个
表示为{1 0 0 } 表示为{1 1 1}
课堂练习
2、画出立方晶系的下列晶面：
1 0 0 ,1 1 0 ,1 1 1 ,2 1 1 ,1 2 1
tc
v c
v b
v
根据式（1-5）
a
Xr•nrd
r 为整数；X 是晶面上任意点的位矢。
将它们依次代入式（1-5）就得到：
vr
ra1
•
cos(a, v
n r
)

ud
sa2
•
cos(b, n) vr

ud
ta3 • cos(c, n) ud
c o s (a r,n r):c o s (b r,n r):c o s (c r,n r) a :b :c rst
相应的的指数由四个数字构成， 分别记为[uvtw]、(hkil)。
设 abc1
式（1-7）
rr rr rr 111 c o s (a 1 ,n ):c o s (a 2 ,n ):c o s (a 3 ,n ) r:s:t

固体物理1-3晶向、晶面

固体物理1-3晶向、晶面

立方晶格中的[100]，[110]， [111]晶向
立方边,面对角线,体对角线,不止一个,它们的晶向 指数确定方法同上.
简单立方晶格 立方边共有6 个不同的晶向：
[001]
av3 av2
av1
[100]
[100],[010],[001]
[100],[0 10][00 1]
由于立方晶格的对称 性,6个晶向是等效 的,<100 >晶向族
立方边[100] 垂直的晶面（100） 面对角线[110] 垂直的晶面（110） 体对角线[111] 垂直的晶面（111）
av3
(
v k)
av2
(
v j)
av1
v (i )
3 、密勒指数计算方法：
p
具体步骤：
m
n
① 建立坐标系：以晶胞的某一点格点为原点，过原 点平行于晶胞的三棱边为坐标轴，晶格常数为坐 标轴的度量单位。注意：坐标原点不能在待定晶 面上。
对立方晶系 a b c
h : k : l cos : cos : cos
• 练习： • 在一个面心立方晶胞中画出[012][123] • 在一个面心立方晶胞中画出(012)(123)
{110}: (110), (011), (101)
(1 10), (01 1),10 1
立方晶格中与(111)面 等效的晶面：4 个
{111}: (111),(111),(111),111
符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外 表面时才有意义，在晶体内部这些面都是 等效的。
简单立方晶格中，一个晶面的密勒指数和晶面法 线的晶向指数完全相同。
E A
c
b
Oa
C
D B

材料物理基础第二章固体结构-(2)空间点阵-201209

材料物理基础第二章固体结构-(2)空间点阵-201209

42
第二章固体结构（2）习题
1. 用文字阐述以下名词及其它们的关联性和异同点。
晶胞参数 点阵参数 晶格参数 a,b,c,,, 结构基元 晶体结构 晶胞 非初级阵胞 复胞 阵点 空间点阵 阵胞 初级阵胞 原胞 单胞 结晶学元胞
十四种布拉菲点阵 七个晶系
格点
晶格
基本单元
简单晶格
43
单位矢量
复式晶格
将周期性重复排列的原子/分子或原子群/分子群称为结构基
元（structural motif）。
结构基元是具有不同种类和几何位置的原子 / 离子的集合，
包含原子或分子的种类和数量及其排列方式，可以是单个原 子/分子，或是在空间以一定方式排列的原子群或分子群。
• 晶体结构可以看作由结构基元在三维空间组成的空间图案， 这些图案按一定的周期平移后可以自身重合。
期重复堆积而成的。
34
固体结构 — 空间点阵
• 晶胞的选择也有多种，通常按照反映晶体结构最高对称性原 则（十四种布拉菲点阵）进行划分 。 • 晶胞参数和其对应的阵胞（单胞）具有相同的点阵参数（a、 b、c和、、），即两者的形状和大小相同。
• 晶胞的结构基元抽象为阵点，就转化为相应的阵胞，在阵胞
31
固体结构 — 空间点阵
aP Triclinic三斜
mP Monoclinic单斜
mC
oP
32
oC oI Orthorhombic正交
oF
固体结构 — 空间点阵
hR Rhombohedral菱方
tP Tetragonal四方
tI
33
hP Hexagonal六方
cP
cI Cubic立方
cF
固体结构 — 空间点阵 晶胞：按照晶体结构的周期性划分的几何单元，构成晶体结构 的基本单元，整个晶体可看作是由晶胞在三维空间按一定的周

固体物理课件第二章_晶体的结构

固体物理课件第二章_晶体的结构



Na+构成面心立方格子 Cl－也构成面心立方格子
(6) CsCl: 由两个简单立方子晶格彼此沿 立方体空间对角线位移1／2 的长度套构而成
(7) 闪锌矿结构
化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟 面心立方的嵌套
（8） 钙钛矿结构
钛酸钙（CaTiO3） 钛酸钡（BaTiO3） 锆酸铅（PbZrO3） 铌酸锂（LiNbO3） 钽酸锂（LiTaO3）等
面心立方格子:原点和12个近邻格点连线的垂 直平分面围成的正十二面体
体心立方格子:原点和8个近邻格点连线的垂直 平分面围成的正八面体，沿立方轴的6个次近 邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角， 形成的14面体 —— 八个面是正六边形，六个面是正四边形
§1.2 晶列和晶面
思考： 金刚石为什么有固定的面？ 这些面和晶格结构有什么关系？
根据周期性：
f e
k k
ikx
fk e
k
ik ( x na )
f k eikx f k eik( x na)
k k
e
ik na
1
m 0,1,2,
k na k Rn 2m
2 k h Gh a
k=b的波传过一个晶格长度，相位改变2π
晶面：所有结点可以看成分布在一系列相互平 行等距的平面族上，每个平面族称为一个晶面 晶面用法向或晶面指数标志
例：同一个格子，两组不同的晶面族
晶面的性质： –晶格中一族的晶面不仅平行，并且等距 –一族晶面必包含了所有格点 –三个基矢末端的格点必分别落在该族的不 同晶面上（有理指数定理）
晶面（米勒）指数：晶面把基矢 a1 , a2 , a3 分别

固体物理第二章课件

固体物理第二章课件

立方
四方
正交
单斜 三角
晶体学术语：维格纳-塞茨原胞 (Wigner-Seitz)
以晶格中某一格点为中心，作其与近邻格点连线的垂直平分面，这 些平面所围成的以该点为中心的最小单元，为WS原胞。 WS原胞能表现对称性，但是界面上非格点。
立方晶系的维格纳-塞茨原胞
原胞、晶胞和维格纳-塞茨原胞（面心立方）
立方晶体的镜像面
三斜晶系的中心反演
C 1群： 1个 最简单的点群只含一个元素：不动操作
三斜
代表没有任何对称性 思考：不动操作的意义是什么？
Cn群（4个）
回转群：─只包含一个旋转轴 标记为C 2 ,， C 3，C 4 ，C 6。
单斜
三角
四方
六角
D n群（ 4个 ）
双面群：包含一个n重旋转轴和n个与之垂直的二重轴 标记为： D2 ，D 3， D4 ，D 6。
三斜晶系
α≠β≠γ a≠b≠c
群
对称元素
群元素数
C1
E
1
Ci
Ei
2
单斜晶系
α = γ =90 ° a≠b≠c
群
对称元素
群元素数
C2
E C2
2
C1h
E σh
2
C2h
E C2 i σh
4
正交晶系
α = β = γ =90 ° a≠b≠c
群
对称元素
群元素数
D2
E C2 2C2′
4
C1v
E C2 2σv
E 2 C3 3 σv
6
D3 d
E 2C3 3C2′ i 2S6 3 σv
12
六角晶系
α = β =90 °，γ = 2π / 3 a=b≠c

晶面与晶向（范文3篇）

晶面与晶向（范文3篇）

晶面与晶向（范文3篇）以下是网友分享的关于晶面与晶向的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

晶面与晶向（一）晶向指数与晶面指数在晶体物质中，原子在三维空间中作有规律的排列。

因此在晶体中存在着一系列的原子列或原子平面，晶体中原子组成的平面叫晶面，原子列表示的方向称为晶向。

晶体中不同的晶面和不同的方向上原子的排列方式和密度不同，构成了晶体的各向异性。

这对分析有关晶体的生长、变形、相变以及性能等方面的问题时都是非常重要的。

因此研究晶体中不同晶向晶面上原子的分布状态是十分必要的。

为了便于表示各种晶向和晶面，需要确定一种统一的标号，称为晶向指数和晶面指数，国际上通用的是密勒（Miller）指数。

一、晶向指数晶向指数是按以下几个步骤确定的：1．以晶胞的某一阵点为原点，三个基矢为坐标轴，并以点阵基矢的长度作为三个坐标的单位长度；2．过原点作一直线OP，使其平行于待标定的晶向AB（见图1），这一直线必定会通过某些阵点；3．在直线OP 上选取距原点O 最近的一个阵点P，确定P 点的坐标值；4．将此值乘以最小公倍数化为最小整数u、v、w，加上方括号，[uvw] 即为AB 晶向的晶向指数。

如u、v、w中某一数为负值，则将负号标注在该数的上方。

图2给出了正交点阵中几个晶向的晶向指数。

显然，晶向指数表示的是一组互相平行、方向一致的晶向。

若晶体中两直线相互平行但方向相反，则它们的晶向指数的数字相同，而符号相反。

如[21]和[1]就是两个相互平行、方向相反的晶向。

图 1. 晶向指数的确定图 2.正交点阵中几个晶向的晶向指数晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用表示。

例如，对立方晶系来说，[100]、[010]、[001]和[00]、[00]、[00]等六个晶向，它们的性质是完全相同的，用符号表示。

如果不是立方晶系，改变晶向指数的顺序，所表示的晶向可能不是等同的。

例如，对于正交晶系[100]、[010]、[001]这三个晶向并不是等同晶向，因为以上三个方向上的原子间距分别为a、b、c，沿着这三个方向，晶体的性质并不相同。

晶相和晶面PPT课件

晶相和晶面PPT课件
• “•”表示共价键上的电子.
.
16
.
17
.
10
在晶体结构上本来是等价的晶面却不具有 类似的指数，给研究带来不方便。
解决的办法是引入四指数，即引入四个坐标 轴：a1,a2,a3,c,其中a1,a2,c,不变，
a3＝－( a1+a2) 引入四指数后，晶体学上等价的晶面具有 类似的指数。
例如：{1010}=(1010),(1100),(0110)
.
6
.
7
.
8Leabharlann .9说明六角晶系的四指数表示
以上三指数表示晶向、晶面原则上适用 于任何晶系，但用于六角晶系有一个缺点：
晶体具有等效的晶面、晶向不具有
类似的指数。
例：六棱柱的两个相邻的外表面在晶体学 上应是等价的，但其密勒指数却分别为 (100)和(110)。夹角为600的密排方向是等 价的，但其方向指数却为[100]和[110].
[100],[010],[001]三个等效晶向。
.
5
例2：在立方晶系中，{100}代表(100), (010), (001)三个等效晶面族。
有时为了表示一个具体的晶面，也可以 不化互质整数。 例3：(200)指平行于(100)，但与a轴截距
为a/2的晶面。
说明：若选用基矢坐标系，方法类似，显
然数值是不同的。
又有： a1 + a2 =－ a3
(2)
又由等价性条件： u + v = － t
(3)
解得：U=2u+v, V=2v+u, W=w
.
15
金刚石、闪锌矿结构的图示法
• 该图为金刚石惯用元胞 在{100}面上的投影,图 中“0”,“1/2”表示一个 fcc的原子.

《讲晶面和晶向》课件

《讲晶面和晶向》课件

晶面的符号表示和表达方法
晶面可以用米勒索引、穆勒索引或汉索式表示。米勒索引是使用方向余弦表示，穆勒索引是使用坐标轴上的直 线截距表示，而汉索式是使用晶体的理想晶面来表示。
晶向的表示和计算方法
晶向可以用布拉维指数法或符号法表示。布拉维指数法使用整数序列来表示 晶向，而符号法使用希腊字母和方向余弦来表示。
《讲晶面和晶向》PPT课 件
欢迎大家来到本次关于晶面和晶向的课程。本课程将带您深入了解晶面和晶 向的定义、符号表示、计算方法，以及它们在晶体结构分析中的应用。让我 们一起开始探索晶体世界的奥秘吧！
晶面和晶向的定义
晶面是晶体中原子排列相对规则的表面，具有特定的晶面间距和晶面角度。 晶向是晶面的延长线方向，用来描述晶体中原子间的相对位置和排列方向。
3
案例三
使用扫描电镜观察晶胞参数和晶面形貌，研究矿物颗粒的晶体生长机制。
总结和要点
晶面和晶向是晶体结构 分析的重要概念。
它们可以用来描述晶体中原 子的相对位置和排列方向。
晶面的符号表示和计算 方法
可以使用米勒索引、穆勒索 引或汉索式。
晶向的表示和计算方法
可以用布拉维指数法或符号 法表示。
晶面和晶向的关系
晶面是晶向的延长线经过相邻原子所形成的表 面。
晶面和晶向在晶体结构分析中的应用
可用于确定晶体的晶系、解析晶格常数、预测 物理性质等。
晶面和晶向的关系
晶面和晶向之间存在一种对应关系，晶面是晶向的延长线经过晶体中的相邻 原子后所形成的表面。 通过研究晶面和晶向之间的关系，我们可以更好地理解晶体的结构和性质。
晶面和晶向在晶体结构分析中的应用
1 确定晶体的晶系和结 2 解析晶格常数和晶胞 3 预测晶体的物理性质
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{123} = (123) + (123) + (123) + (123) + (132) + (132) + (132) + (132) + (231) + (231) + (231) + (23 1) + (213) + (213) + (2 13) + (213) + (312) + (312) + (3 12) + (312) + (321) + (321) + (321) + (32 1)
⎛ k1l1 ⎞ ⎛ l1h1 ⎞ ⎛ h1k1 ⎞ u :v:w = ⎜ ⎟:⎜ ⎟:⎜ ⎟ ⎝ k 2 l2 ⎠ ⎝ l 2 h2 ⎠ ⎝ h 2 k2 ⎠
27
u = k1l2 − k2l1 , v = l1h2 − l2 h1 ,
w = h1k2 − h2 k1
固体结构 — 晶面与晶向
课堂练习： （1）求（112）和（123）晶面的晶带轴。 （2）判断空间两个晶向或两个晶面是否相互垂直。
材料物理基础
Fundamentals of Materials Sciences
第二章 固体结构 （3）晶面与晶向
2012年9月
1
固体结构 — 晶面与晶向
晶面指数和晶向指数标定
y三轴坐标系 y四轴坐标系
术语，符号 概念，定义
重要概念
y晶面，晶向，晶面族，晶向族， y晶带，晶带轴，晶带面 y球面投影，极射投影
(110), (112), (111), (021)
（3）判断某一晶向是否在某一晶面上(或平行于该晶面)。 （4）已知晶带轴，判断哪些晶面属于该晶带。 [hkl] [uvw] (hkl)
For orthorhombic:
固体结构 — 晶面
3. 晶带定理
y
相交于某一直线（晶向[uvw] ）或平行于此直线的所有晶面构 成一个晶带，直线用[uvw]晶向表示，称为晶带轴，与晶带轴 平行的所有晶面(hkl)称为共带面或晶带面。
• 同一晶带的所有晶面都平 行于晶带轴，其法线都与 晶带轴垂直。
d hkl =
a h +k +l
2 2 2
1 d hkl = h 2 k 2 l 2 ( ) +( ) +( ) a b c
d hkl = 1 l 2 4 h 2 + hk + k 2 ( )+( ) 2 a c 3
For hexagonal: 六方晶系
24
固体结构 — 晶向 晶面夹角
For cubic: 立方晶系
y
y
y
11
固体结构 — 晶向
< 100 >= [100] + [010] + [001] + [100] + [0 10] + [00 1]
< 110 >= [110] + [011] + [101] + [110] + [0 11] + [ 101] + [110] + [01 1] + [10 1] + [1 10] + [0 1 1] + [ 10 1]
20
固体结构 — 晶面
[001]
o
[010]
[100]
{111} = (111) + (111) + (1 11) + ((11 1) + (1 1 1) + (1 1 1) + + (11 1) + (1 11)
21
固体结构 — 晶面
课堂练习
{112} = (112) + (112) + (1 12) + (112) + (121) + (121) + (121) + (12 1) + (211) + (211) + (2 11) + (21 1)
B y
A
x
7
o
固体结构 — 晶向
z （1）待求晶向必须通过原点，若 晶向不通过原点，过坐标原点作 待求晶向的平行线；或将坐标原 点移至待求晶向上；将该晶向末 端的坐标值减去始端的坐标值。 （2）坐标值为为负数时， 在相应 的指数上方标上负号。
-1, 1, 0
o
y
x
8
固体结构 — 晶向
已知晶向指数，在晶胞中画出该晶向： (1) 画出晶胞，确定坐标原点（指数均为正，原点选择左下 方顶点），选择X、Y、Z三个坐标轴； (2) 找到坐标为u, v, w的点，连接原点到该点的线段即为该晶 向(如果指数中有大于1的，则各指数除以max（u，v，w）） (3) 当指数为负数时，为了使该晶向画在晶胞内，必须将坐 标原点沿负数指数对应轴的正向移动。 课堂练习：在画出以下晶向： [001] [111] [112]
⋅
u2 + v2 + w2
2
2
2
For orthorhombic: 正交晶系
cos ϕ =
( u1a )2 + ( v1b )2 + ( w1c )2 ⋅ ( u2a )2 + ( v2b )2 + ( w2c )2
u1u2a 2 + v1v2b2 + w1w2c 2
For hexagonal: 六方晶系
z
坐标轴x、y、z
截距 oA = 3/4 oB = 3/5 oC = 1
截距的倒数 1/oA = 4/3 1/oB =5/3 1/oC = 1
C
c a b
o
B
加上圆括号
y
化为最小整数 4/3×3=4 5/3 ×3=5 1 ×3=3
A
x
14
(hkl)=(453)
固体结构 — 晶面
晶面与某晶轴平行 z c
16
固体结构 — 晶面
课堂练习：已知晶面指数，在晶胞中画出以下晶面 (001)
(110)
(2 11)
(111)
17
(112)
固体结构 — 晶面
y y y
每个晶面指数代表空间一组相互平行晶面。 在晶体中相互平行的晶面为等同晶面。 指数相同而符号相反的晶面相互平行，为等同晶面。
[111]
111
18
固体结构 — 晶面
cos φ =
h1h2 + k1k2 + l1l2 h +k +l
2 1 2 1 2 1
⋅
h2 + k2 + l2
2
2
2
25
h1h2 k1k2 l1l2 + 2 + 2 2 a b c 正交晶系 cos φ = h k l h k l ( 1 )2 + ( 1 )2 + ( 1 )2 ⋅ ( 2 )2 + ( 2 )2 + ( 2 )2 a b c a b c For hexagonal: 六方晶系 3 c 2 1 h1h2 + k1k2 + ( ) l1l2 + ( h1k2 + h2k1 ) 4 a 2 cos φ = 3 c 3 c 2 2 2 2 2 2 h1 + k1 + ( )2 l1 − h1k1 ⋅ h2 + k2 + ( )2 l2 − h2k2 4 a 4 a
< 111 >= [111] + [111] + [1 11] + [11 1] + [1 1 1] + [1 1 1] + +[11 1] + [1 11]
12
固体结构 — 晶向 晶向夹角
For cubic: 立方晶系
cos ϕ =
u1u2 + v1v2 + w1w2 u1 + v1 + w1
2 2 2
（2）晶面
y由原子/阵点构成的一组平面。 y这些平面相互平行并且等间距。
4
固体结构 — 晶面与晶向
晶面指数和晶向指数 （1）三轴坐标系
y晶向指数[uvw]；晶面指数(hkl) y称为米勒指数（Miller index） y米勒指数适用于任何晶系的晶面和晶向指数标定。
（2）四轴坐标系
y晶向指数[uvtw] ；晶面指数(hkil) y称为米勒-布拉维指数（Miller-Bravais
O
6
固体结构 — 晶向
1. 晶向指数标定 坐标原点O
z
坐标轴x、y、z [025] P点
晶向上 任意点P
通常取直线与六面 体的顶点、面和棱 边相交的点
P点坐标值 1/2，1，1/2
化为最小整数 1/2×2=1 1 ×2=2 1/2 ×2=1 加上方括号 [uvw]=[121]
C
a
c
[121] P
b
9
[2 11]
固体结构 — 晶向
y y
晶向指数表示空间所有相互平行、方向一致的晶向； 相互平行但方向相反的晶向，其晶向指数的数字相同而符号 相反。 [850]
[100] [010]
[0 10]
10
固体结构 — 晶向
晶向族
y
晶体中原子排列和分布完全相同、只是空间位向不同的晶 向为等价晶向。互为等价的一系列晶向归为一个晶向族。 取其中某一个晶向指数表示该晶向族，记为<uvw>。 晶体结构的对称性越高，归属于一个晶向族的等效晶向数 目也越多。 立方结构，对称性最高，晶向指数的三个数字排列顺序和 正负号不同的所有晶向构成一晶向族。 对于非立方结构，由于对称性不同，相同指数的晶向不一 定是等价晶向。