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数学人教版《分式的乘除》ppt教学课件

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人教课标版初中八年级数学课精品PPT教学课件-分式的乘除

人教课标版初中八年级数学课精品PPT教学课件-分式的乘除
（2）当分式的分子、分母为多项式时，先 要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质 进行约分．
小练习
计算.
(1) 3a2b 7b2d 7abc 5cd 2 2ab2 4d
两个分式相除，把 除式的分子分母颠倒位 置后，再与被除式相乘
例1：计算
（1） 2 x2 y
5 4x
（2） 5 y( x 4） 5x2
x 4 2( x 4)
（3） y y
xx
分式的乘除运算的结果通常要要约分化成最简分 式或整式，即分式的乘除发法运算的实质是约分．
解：（1）2x2
y
2x2 y
xy
5 4 x 20 x 10
（2）5
y( x 4） x4
5x2 2( x 4)
5
y( x 4）2( x 4) x 4 5x2
5
y( x 4）2( x 5x2( x 4)
4）
（3）y
x
y x
y2 x2
2 y( x 4） x2
把除式的分子、分 母颠倒位置后再与
被除式相乘
例2：计算
归纳
1．分式的乘除归根到底是作乘法运算； 2．对于式子中的多项式能因式分解后 约分的，应先进行因式分解； 3．分式运算的结果通常要化成最简分 式或整式； 4．在分式除法的运算中，把除号变为 乘号时，分子要颠倒．
小练习
(1) 6a 2 y2 ;
y
8 y 3a2
2a
(2)
3 xy2
6 y2
;
x2
x
3
x
32x
3 x
3
先把除法
9
3x 9 12x 4
x2
x
1
3
x

人教版八年级数学上册课件-分式的乘除

人教版八年级数学上册课件-分式的乘除

[注意]:运算结果如不是最简分式时,一定要进
行约分,使运算结果化为最简分式.
课堂练习
（1） 3a 4b

16b 9a2
（2） 12xy 5a

8x2
y
（3） 3xy 2y2 （4） x y x y
3x
xy xy
课堂练习
下面的计算对吗？如果不对，应该怎样改？ （1） x 6b 3xb
15.2.1 分式的乘除
学习目标
使学生理解并掌握分式的乘除法则， 理解其算理。运用法则进行分式乘除 运算，能解决一些与分式有关的实际 问题
经历类比分数的乘、除运算，探索分 式的乘、除运算法则的过程，并能结 合具体情境说明其合理性。
导入新课
[问题1]:一个长方体容器的容积为V,底
面的长为a,宽为b,当容器的水占容积的
时,求水面高度为多少?
分析:长方体容器的高为
;
水高为
.
举例讲解
[问题2]:大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕 地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作 效率的多少倍?
举例讲解
分析:大拖拉机的工作效率是
公顷/天,
小拖拉机的工作效率是
公顷/天,

大拖拉机的工作效率是小拖拉机的
倍.
分式除法
1.根据分数的乘除法的法则计算：
课堂练习
例3:计算
(1)

2a 2b 3c

2
( 2)
a2b cd 3
3


2a d3

2
c
2a
课堂练习
1.下列计算结果正确的是（ ）
【解析】选A. B，C考查了分式乘方的法则，由于B中分子、分 母的系数未乘方,不正确；C中分母应为：(x-y)2=x2-2xy+y2,故 不正确；A，D考查了分式乘除法法则，由于D颠倒了被除式的 分子、分母位置后与除式相乘，不符合除法法则， 不正确，A符合乘法法则，正确.

人教版八年级上册数学课件：15.2.1分式的乘除

人教版八年级上册数学课件：15.2.1分式的乘除

× (2) y x
2
y x
x y
y2 x2
y x
2
y x
x y
m2
1 m2
1 n n
y2 x x
x2
y
y
1 n n n2
x2 y2 x2 y2
1
做一做：
化简求值：
16 m2
m4 m2
16 8m m2 2m 8 m 2
其中 m 1
请任意选一个你比较喜欢且恰当的 m 的值代入上式求值
a6b3c2d 2 8a3c3d 9
数与式有相同的混合 运算顺序：
a3b3 8cd 7
(1)先乘方，再乘除。 (2)同级运算从左到右
做一做:
计算
(1)
b
3
a
2
c
2
a c b
(2)
a
1
2
a
1
9
a2
a 3
a 1
解:原式
b3 a3
a2 c2
c2 b2
解:原式
a 12 a 32
1 a 1
解：
(2)
49
1 m2
m2
1
7m
将除法转化为 乘法
1 m2 7m 49 m2 1
1
m(m 7)
(m 7)(m 7) 1
分解因式
1 m (m 7) 1
约分
=（- mm
7）
=-
m m
7
负号提到分式的前面
例3：计算
a2b cd 3
3
2a d3
c 2a
2
分式的乘除 ，乘方混合 运算
32xyyx33___y2_8_73_x__y3__3;;

人教版八年级上册数学：分式的乘除教学课件

人教版八年级上册数学：分式的乘除教学课件
③应用分式乘除法法则进行运算；
④找出公因式，并约去公因式，结果为最简分式或 整式．幻灯片 22
计算
（1） 3a 3b 10ab
•
25a2b3 a2 b2
（2） x2
x2
4 2xy
y2
y
2
x 2y 2x2 2xy
（ 3） 4x2 4xy y2 （ 4x2 y2）
2x y
加油！你一定行！
解：(1) 3a 3b • 10ab
25a2b3 a2 b2
3(a b) 10ab
• 25a2b3 (a b)(a b)
5ab(a b) •15ab2 5ab(a b) • (a b)
15ab2 (a b)
很不错！继续努力！
（2） x2
x2 4y2 2xy
y2
x2y 2x2 2xy
（1） x • 6b 3xb 2b x2 x2b
x • 6b 3 2b x 2 x
（2） 4x a 2 3a 2x 3 4x a 4x 2x 4x2 • 3a 2x 3a a 3a 2
人教版八年级上册数学：分式的乘除 教学课 件
例
2计
算
:
(1)
a2 a2
4a 2a
4 1
a a2
1 4
解:
(3)
ab3 2c2
5a2b2 4cd
ab3 2c2
•
4cd 5a 2b 2
4ab3cd 10 a 2b2c 2
2ab2c 2ab2c
• •
2bd 5ac
2bd 5ac
人教版八年级上册数学：分式的乘除 教学课 件
人教版八年级上册数学：分式的乘除 教学课 件
下面的计算对吗？如果不对，应该怎样改正？

【教学课件】《分式的乘除》(人教)

【教学课件】《分式的乘除》(人教)
答案：C
2b 2 C. 3x
2a 2b 2 x D. 2 2 8c d
巩固新知
4.如果从一大捆粗细均匀的电线上截取1 m长的电线称得它的
再称得剩余电线的质量为b kg，那么这捆电线原来的总长度
b 1 A. m a
答案：B
B.
(
b 1) a
m
C.
(
ab 1) a
m
D. ( 1 ) m
第十五章●第二节
分式的乘除
问题引入
问题1 (1)一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的 m 为b，当容器内的水占容积的 时，水面的高度为多少？ n
长方体容器的高为
V V m ，水面的高度就为 。 ab ab n
问题引入
问题1 (2)大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm 拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
a b
巩固新知
5.计算：(1)
x 2 x 6x 9 (2) 2 x 3 x 4 2 x 2 x 3 x 3 解：(1)原式＝ x x 3 x 2 x 2 2
(2)原式＝
2 ab 4 cd 2 d 2 2 3 ac 2 c2 3 a b
2
ab2 3a2b2 2 4cd 2c
6.计算：(1)
2a b 2 ( ) 3c
2
2 a b 3 2 a c 2 (2) ( ) 3 ( ) 3 a cd d 2
2 a2b 2 4 a4b2 解：(1)原式＝ ( ) 3 c 9 c2
2 6 3 3 2 3 3 a b 2 a c a b d c a b 3 2 ) ( ) 39 2 6 (2)原式＝ ( 3 3 a a cd d 2 c d2 4 a 8 cd

最新人教版八年级数学上册《15.2.1 分式的乘除(第1课时)》优质教学课件

最新人教版八年级数学上册《15.2.1 分式的乘除(第1课时)》优质教学课件
人教版 数学 八年级 上册
15.2
分式的运算
15.2.1 分式的乘除
第1课时
导入新知
通过前面分式的学习，我们知道分式和
分数有很多的相似性，如基本性质、约分和
通分.那么在运算上它们有相似性吗？
素养目标
2.能准确地进行分式的乘除法的计算.
1.知道并熟记分式乘除法法则.
探究新知
知识点
分式的乘除法法则
500
a 2 -1 a +1
2
(2)
=

=
.
2
2
（a -1） a -1 （a -1） 500
a -1
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的
单位面积产量的
倍.
巩固练习
取一条长度为1个单位的线段AB，如图
第一步，把线段AB三等分，以中间
的一段为边作等边三角形，然后去掉这
一段，就得到由4条长度相等的线段组
则，说出分式的乘除法法则吗？
怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？
探究新知
分式的乘除法法则
a c
ac
a
c
a d
a d


；




．
b d
bd
b
d
b c
bc
乘法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的
分母.
除法法则：
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式
相乘.
C.ab
D．


课堂检测
基础巩固题
−
1.化简

A.


2.计算：

人教版八年级数学上册课件 15.2.1 分式的乘除法(共40张PPT)

人教版八年级数学上册课件 15.2.1 分式的乘除法(共40张PPT)

1 1 例2、计算： ( 2) 2 2 49 m m 7m
1 1 2 2 49 m m 7m 1 2 ( m 2 7 m) m 49 m( m 7) ( m 7)(m 7) m m7
a 2 2a
（３）
a 2 6a 9
用符号语言表达： a
ac c b d bd
合作学习
猜一猜
2 4 2 5 25 （3） ＝ ＝ 3 5 3 4 3 4
a c ? b d
两个分式相除，把除式的分子和分 母颠倒位置后再与被除式相乘。 用符号语言表达：
a c a d ad b d b c bc
2
例2、计算：
a 2 4a 4 a 1 2 2 a 2a 1 a 4 ( a 2) 2 a -1 2 ( a 1) ( a 2)(a 2) ( a 2) 2 (a - 1) 2 ( a 1) ( a 2)(a 2) a2 ( a 1)(a 2)
3( x y) 9 4 ( x y) 3 yx ( y x)
2
(2)
2x 6 ( x 3)( x 2) ( x 3) 2 4 4x x 3 x
1.你能推算出第五步得到的折线的总长度吗？
2.对于任意一个正整数n，第n步得到的折线的总长度是多少？
用代数转化的思想,把a,b,c,d看作 数,就可以运用分数的乘除法法则去进 行运算.再通过类比的思想得出
合作学习
猜一猜
2 4 2 4 5 2 5 2 （ 1 ） ＝ （ 2 ） ＝ 3 5 3 5 7 9 79
a c ? b d
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积 的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

【公开课】人教版八级数学上册 分式的乘除(课件)实用PPT

【公开课】人教版八级数学上册 分式的乘除(课件)实用PPT
a2186 aa2162aa48•a a 2 2
1、分式混合运算一定要按照运算顺序。 2、乘除混合运算统一为乘法运算。
⑴ 3a 3b • 8a2b a2 b2
4ab
2a
⑵ 2m2n • 5p2q 5mnp 3pq 2 4mn 3q
（3） ab 1 •ab
ab ab
复习
与幂运算有关的性质： 1、同底数幂相乘,底数不变,指数相加
动脑筋
填一填：
a2 b
ba
ba
ba22;
a3 b
aaa
bbb
ba 33;
a 4a
b b
a b
a b
a b
ba 44;
猜想
a n b
a n b n .
分式的乘方法则：
分式的乘方,把分子分母分别乘方.
•
a 即：
a n b
n
b n
（n是正整数）
例题2:
(1)
( 3x )2
【 公 开 课 】 人教版 八级数 学上册 分 式的 乘除（ 课件） 实用P PT
例 ：已a知 15，求 a4a21的。值
a
a2
例： 已 知1 1 5，
xy
求 2x 3xy 2y的 值。
x 2xy y
例： 已知x 2，
y7
求 x2 3xy 2y2 的值。
2x2 3xy 7y2
(3x)2
32 x2
9x 2
2y
(2y)2 22 y 2
4y 2
(2)
(ab)3 2c
(ab )3
2c
(ab)3 (2c)3
a3b3 8c 3
(3) ( xy )3
(xy)

15.2.1分式的乘除 课件17张-2024—2025学年人教版数学八年级上册

15.2.1分式的乘除 课件17张-2024—2025学年人教版数学八年级上册
计算:
解：(1)原式 解：(2)原式
注意：分子或分母是多项式的分式乘除法的解题一般步骤是： ①把各分式中分子或分母里的多项式分解因式； ②除法转化为乘法； ③约去分子与分母的公因式。
(1) 解：原式
(2)
解：原式
1.分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，可先约去分子、分 母的公因式，再按照法则进行计算.
注意：计算结果要化为最简分式或整式
人教版（2012）八年级数学上册
感谢聆听
主讲：
人教版（2012）八年级数学上册
第十五章 分式
15.2 分式的运算 15.2.1 分式的乘除
（第1课时）
主讲：
情景导入
问题1 一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器
内的水占容积的
时,水高多少?
长方体容器的高为：
水高为：
问题2 大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地 b公顷,大 拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?
大拖拉机的工作效率是
公顷/天,小拖拉机的工作效
率是 公顷/天,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工
作效率的（ ）倍。
从上面的问题可知，为讨论数量关系有时需要 进行分式的乘除运算。 分式和分数具有类似的形式，我们可以类比分 数的运算法则认识分式的运算法则。
填空：
想一想：
类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除 法法则吗？
边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的
试验田是边长为
米的正方形，两块试验田的小麦
都收获了500千克.
（1）哪种小麦的单位面
积产量高？
（2）高的单位面积产量
是低的单位面积产量的
多少倍？
1m

八年级数学人教版(上册)分式的乘除法课件

八年级数学人教版(上册)分式的乘除法课件

a
a
巩固 练习
完成下列的计算：
(1)
3a 4b
16b 9a2
;
(2) 12xy 8x2 y 5a
(3) x y y x ; xy xy
4y2 x2
xy
(4) x2 + 2xy + y2 ÷2x2 + 2xy ;
巩固 练习
(1)
3a 4b
16b 9a2
;
解：原式
3a 16b 4b 9a2
4 3a
②完全平方公式： a2 2ab b2 (a b)2 如：a2 4a 4 (a 2)2
③ 提公因式法： 如2a2b 4ab2 2ab(a b)
小结
（4）步骤要完整，结果要最简，最后 结果中的分子、分母既可保持乘积的形式， 也可以写成一个多项式，如：
(a 1)2 或 a2 2a 1.
分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。
探究 新知
思考：类比分数的乘除法法则，你能 说出分式的乘除法法则吗？
分式数的乘法法则：
分数式乘分式数，用分子的积作为积的分子， 分母的积作为积的分母。
用式子表示为： b d bd
ac
ac
分式数的除法法则：
分数 式除以分数式，把除数式 的分子、分母颠
x- y
(4) x2 + 2xy + y2 ÷2x2 + 2xy ;
解：原式 =
x2
4y2 - x2 + 2xy +
y2
2x2 + 2xy ×
x-2y
(2 y + x)(2 y - x) • 2x(x + y)
=
(x + y)2(x - 2y)
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数学人教版《分式的乘除》上课课件
数学人教版《分式的乘除》上课课件
同类题检测：平板推题
计算：
（1）
4a2b 3cd 2
5c2d 4ab2
2abc 3d
；
(2)
m2－n2 (m－n)2
(n－m)2
m2n2
Байду номын сангаас
m＋n m
.
数学人教版《分式的乘除》上课课件
数学人教版《分式的乘除》上课课件
自学释疑、拓展提升
用式子表示为： a c a c ； a c a d a d b d bd b d b c bc
数学人教版《分式的乘除》上课课件
自学释疑、拓展提升
知识点一：分式的分子、分母是单项式的乘除法运算
通过上一题，我们在进行分式乘除法运算时应注意什么？ 归纳总结：应注意的是运算结果应约分成最简分式或整式的形式；
知识点二：分式的乘方法则
自学问题：分式乘方要把分子、分母同时乘方，不能漏掉分子或分母；乘方时的符号问题. 学生典型问题展示：
展示《15.2.1分式的乘除（2）课前自测》中第2题的正确率以及做错的学生的错题选项；学案上 知识点二学生中存在问题图片展示。 问题解决：
n
问题：n为正整数时，
a b
＝？
展示《15.2.1分式的乘除（1）课前自测》中第6题的正确率，以及做错的学生的错题选项。学案 上知识点三学生中存在问题图片展示。
问题解决：
例2.“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a＞1)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下 的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1) m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 思考以下问题： ① 你能说出小麦的“单位产量”的含义吗？ ② 如何表示这两块试验田的单位产量？ ③ 怎样确定哪种小麦的单位产量高？ ④ 你能列式表示(2)的问题吗？
解：原式＝（x
1 3）2
x x
3 3
(3
x)(3
x)
第一步
＝（x
1 3）2
x x
3 3
(3
x)(3
x)
第二步
＝1. 第三步
（1）上述计算过程中，第一步使用的公式用字母表示为
；
（2）第二步使用的运算法则用字母表示为
AC BD
=
；
（3）由第二步到第三步进行了分式的
；
（4）以上三步中，第三步出现错误，正确的化简结果是
运算时还应注意，与整式运算一样，先判断运算符号，再进行运算。
同类题检测：平板推题
计算：
c2 a2b2
(1)
；
ab c
(3)
y 7x
－
2 x
；
(2)
－
n2 2m
4m2 5n3
；
(4) 8xy 2 y ． 5x
数学人教版《分式的乘除》上课课件
数学人教版《分式的乘除》上课课件
自学释疑、拓展提升
知识点二：分式的分子、分母是多项式的乘除法运算
问题：共性典型问题：图片展示（课前自主学习中两个或者至多三个典型共性问题的展示） 个性典型问题：图片展示（课前自主学习中两个或者至多三个典型个性问题的展示）
自学释疑、拓展提升
知识点一：分式的分子、分母是单项式的乘除法运算
自学问题：分式乘除法运算结果必须是最简分式或整式；运算时涉及的符号问题。
学生典型问题展示： 展示《15.2.1分式的乘除（1）课前自测》中第1、2题的正确率，以及做错的学生的错题选项；学
八年级上册（RJ）
课题：
15.2.1分式的乘除（1）
学习目标
1.理解分式的乘除法法则，体会类比的思想． 2.会根据分式的乘除法法则进行运算，并理解其算理． 3.能运用分式的乘除法解决一些简单的实际问题．
自主学习反馈
完成率反馈，表扬优秀学生；由平台数据，找到共性和个性问题。
表扬：课前检测正确率高的学生：图片展示 学案书写工整的学生：图片展示（主要是学案上主观题书写规范展示） 课前检测和学案整体完成情况较好的学生：图片展示（课前自主学习整体完成优秀展示）
(2) x－2 x2－9 ； x＋3 x2－4
4 y2－x2
x－2 y
(3) x2＋2xy＋y2 2x2＋2xy ．
数学人教版《分式的乘除》上课课件
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自学释疑、拓展提升
知识点三：分式乘除法的应用
自学问题：将实际问题转化为数学问题时，要先弄清题意，根据题意列出算式，再进行运算。学生题 意理解不透彻，运算不正确。 学生典型问题展示：
2
．
数学人教版《分式的乘除》上课课件1
数学人教版《分式的乘除》上课课件1
同类题检测：平板推题
计算：（1）( 2x2 )2 ； 3y
(2)
(
b3
2a2c
)2
；
(3)(
y2 2x3
)3
.
数学人教版《分式的乘除》上课课件1
数学人教版《分式的乘除》上课课件1
自学释疑、拓展提升
知识点三：分式的乘方、乘法、除法混合运算
作业
教科书习题15.2第3(3)(4)题．
数学人教版《分式的乘除》上课课件1
追问1 你能写出推导过程吗？ 追问2 你能用文字语言叙述得到的结论吗？
分式乘方要把分子、分母分别乘方．
数学人教版《分式的乘除》上课课件
数学人教版《分式的乘除》上课课件1
自学释疑、拓展提升
知识点二：分式的乘方法则
例1 计算：
3
(1)
y 2x
；
(2)
－2a c2
2
；
(3) －
2a2b 3c
自学问题：混合运算的运算顺序不准确；运算时要先确定符号. 学生典型问题展示：
展示《15.2.1分式的乘除（2）课前自测》中第4题的正确率，以及做错的学生的错题选项。
例2
计算：(1)(
2 xy 3 z2
)
2
6x2 y3
(2)
x2 x2
4x 4 2x 1
(
x
2
2
)2
(x2
x).
问题：解决混合运算的问题时，需要注意什么问题，运算顺序是怎样的？ 要注意符号问题和运算顺序，并概括出混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除．
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同类题检测：平板推题
1.计算(1) ( a )2 ( a )3 (ab)4 ； bb
(2)
(
x
x
2)2
x2 4 x2 2x
.
2.阅读下列解题过程，然后回答问题．
计算：( 1 )2 x 3 (9 x2 ) ． x3 x3
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自主学习反馈
完成率反馈，表扬优秀学生；由平台数据，找到共性和个性问题。
表扬：课前检测正确率高的学生：图片展示 学案书写工整的学生：图片展示（主要是学案上主观题书写规范展示） 课前检测和学案整体完成情况较好的学生：图片展示（课前自主学习整体完成优秀展示）
问题：共性典型问题：图片展示（课前自主学习中两个或者至多三个典型共性问题的展示） 个性典型问题：图片展示（课前自主学习中两个或者至多三个典型个性问题的展示）
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同类题检测：平板推题
1.小明跟妈妈到水果批发市场去买苹果．甲种苹果每箱重m kg，售价为a元；乙种苹果每 箱重n kg，售价为b元．请问甲种苹果的单价是乙种苹果的单价的多少倍？ 2.甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修（a2 4）米，乙工队每天修（a 2）2 米（其中a＞2），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？
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自学释疑、拓展提升
知识点二：分式的分子、分母是多项式的乘除法运算
例1.计算：（1）
x
x2 x
；（2）(a2 3a) 9 a2 .
x2 1 x2
a3
同类题检测：平板推题
计算：
(1) 3a－3b 25a2b3 ； 10ab a2－b2
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八年级上册（RJ）
课题：
15.2.1分式的乘除（2）
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学习目标
理解分式乘方的运算法则，能根据法则进行乘方运算， 体会数式通性．
能根据混合运算法则进行分式乘除、乘方混合运算．
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总结
要求：平板抢答
1.分式的乘除法法则是什么？ 2. 我们在进行分式（分子、分母是单项式）乘除法运算时应注意什么？ 3. 如果分式的分子分母是多项式时，如何进行乘除法运算呢？ 4. 用分式的乘除法解决实际问题时的关键是什么？
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案上知识点一学生中存在问题图片展示。
问题解决：
计算：
ba (1) ；
ac
2b (2) ；
ny －my
(3)
．
a 2a
mx nx
问题：你能用文字语言和符号语言分别对分式的乘除法法则进行叙述吗？ 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
．
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