函数f(x)的间断点
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间断点
三、小结
第 一 类 第 二 类Βιβλιοθήκη x0x0可去间断点
跳跃间断点
x0
无穷间断点
振荡间断点
四、作业
间断点
一、间断点的定义
f ( x) 在 x0点具有下列三种情形之一：
f ( x)在 x0点没有定义； （1） f ( x)在 x0点极限不存在； （2） f ( x) 在 x0点极限存在有定义，但 （3）
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) .
则称函数 f
( x )在 x0
点不连续，
点 x0称为 f ( x)的不连续点或间断点。
间断点：不连续的点。
二、间断点分类
可去间断点 第一类间断点 间断点 第二类间断点
（至少一侧极限不存在）
左右极限存在并相等
跳跃间断点 左右极限存在不相等 无穷间断点 至少一侧极限等于无
穷
振荡间断点 函数值在某个范围内
无限次变动
可去间断点：可以补充或者修改一点定义，变为连续点.
函数的连续与间断2
x x0时,当然也有
f ( x) f ( x0 )
x x0
0≤|xx0|
|xx0|
(定义1) …… lim f ( x ) f ( x0 ), ……
x x0
lim f ( x) A :
0 0 当0|xx0| 时 | f(x)
A
第一章
第七节
函数的连续与间断 函数在一点连续
区间上的连续函数
函数的间断点
间断点的分类
复习
函数f(x)当x x0时的极限
（ f(x)在x0 的某去心邻域有定义）
lim f ( x ) = A 是指: x x
0
1. (通俗说法) 当x无限趋近于x0 时 函数f(x) 的值无限趋近于常数A 2. (-定义) 0 0 当0|xx0|时 |f(x)A| .
( 2) lim f ( x ) 不存在;
x x0
( 3) lim f ( x ) f ( x0 ).
x x0
则称 x0为f ( x )的 间断点.
(回到引例)
x x0
从三处破坏 lim f ( x) f ( x0 )
气温f(x)在x0处不可能出现如下情形：
y
f(x0)
x0为f ( x)的间断点
其图象“连绵不断”，可一笔画 成 在x0处：点(x0,f(x0))两侧“粘连” 着 y
A
O
x0
24
x
气温f(x)在x0处不可能出现如下情形：
y
f(x0) y
A
A
O
x0
24
x
O
x0
24
x
（在x0处无定义）
y
y
y
A
f ( x) f ( x0 )
x x0
0≤|xx0|
|xx0|
(定义1) …… lim f ( x ) f ( x0 ), ……
x x0
lim f ( x) A :
0 0 当0|xx0| 时 | f(x)
A
第一章
第七节
函数的连续与间断 函数在一点连续
区间上的连续函数
函数的间断点
间断点的分类
复习
函数f(x)当x x0时的极限
（ f(x)在x0 的某去心邻域有定义）
lim f ( x ) = A 是指: x x
0
1. (通俗说法) 当x无限趋近于x0 时 函数f(x) 的值无限趋近于常数A 2. (-定义) 0 0 当0|xx0|时 |f(x)A| .
( 2) lim f ( x ) 不存在;
x x0
( 3) lim f ( x ) f ( x0 ).
x x0
则称 x0为f ( x )的 间断点.
(回到引例)
x x0
从三处破坏 lim f ( x) f ( x0 )
气温f(x)在x0处不可能出现如下情形：
y
f(x0)
x0为f ( x)的间断点
其图象“连绵不断”，可一笔画 成 在x0处：点(x0,f(x0))两侧“粘连” 着 y
A
O
x0
24
x
气温f(x)在x0处不可能出现如下情形：
y
f(x0) y
A
A
O
x0
24
x
O
x0
24
x
（在x0处无定义）
y
y
y
A
高数间断点的分类及判断方法
高数间断点的分类及判断方法1.引言1.1 概述概述在数学领域中，高等数学是一门重要的学科，涉及到许多与函数相关的概念和方法。
在函数的研究中，间断点是一个关键概念。
间断点是指函数在某一点上不连续的现象，可以分为不同的类型进行分类。
本文将对高等数学中的间断点进行分类，并介绍判断这些间断点的方法。
通过对间断点的分类和判断方法的了解，我们可以更好地理解函数的性质和行为，为解决实际问题提供更准确的数学模型。
接下来的章节将更详细地介绍高数间断点的定义和分类，以及判断这些间断点的方法。
希望通过本文的阐述，读者可以对高数中的间断点有一个全面的了解，从而提升自己在数学领域的知识水平。
同时，本文也将对已有研究进行总结，并对未来可能的研究方向进行展望。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为三个主要部分。
首先，在引言部分，将对高数间断点的概念进行概述，并介绍本文的目的。
接下来，在正文部分，将详细讨论高数间断点的定义和分类，并探讨相关的判断方法。
最后，在结论部分，将对全文进行总结，并展望未来对高数间断点的研究方向。
在正文部分，2.1 将详细介绍高数间断点的定义和分类。
首先，会给出对间断点的定义和解释，包括数学中间断点的概念及其在实际问题中的应用。
随后，将对间断点进行分类，按照不同的特征和判定标准，将间断点划分为不同的类型，并详细讲解其特点和应用场景。
接着，2.2 将介绍高数间断点的判断方法。
通过引入相关的数学工具和技巧，将阐述如何判断一个给定的函数在某个点是否存在间断点。
将重点讨论几种常用的判断方法，包括极限和连续性的概念，并结合实例进行详细说明和推导。
在结论部分，3.1 将对全文进行总结，概括高数间断点的定义、分类和判断方法以及相关内容的重要性和应用价值。
同时，将对本文的研究工作进行简要回顾，并指出存在的不足之处。
最后，3.2 将展望未来对高数间断点研究的方向和重点，提出可能的改进和拓展方向。
通过以上的文章结构，本文旨在为读者提供一个全面而系统的了解高数间断点的分类和判断方法。
《高等数学》函数的连续性与间断点
lim
x x0
(2
x
1)
2
x0
1，
f (x0 ) 3
所以有 x0 1，a 2
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
2、间断点及其分类
间断点
不连续点
设函数 y f (x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义，若下列情形至少一个成立，则 x0 是
f(x)的不连续点。
1）f(x)在 x0 点无定义。
y1 x
其中至少有一个是振荡，称 x0 为振荡间断点 y sin 1
x
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
f(x)在点 x0 连续
lim
xx0
f (x)
f (x0 )
lim f (x) lim f (x) f (0)
本
x0
x0
讲
lim y 0
x0
内
容
可去间断点
小
第Ⅰ类间断点
结
间
（包括） 跳跃间断点
x0
所以函数在x=0处连续。
lim f (x) lim f (x) 1
x0
x0
lim f (x) 1
x0
f(x)在点 x0 连续
lim f (x) lim f (x) f (0)
x0
x0
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
定义2 设变量 u 从它的一个初值 u1 变化到终值 u2 ，则称终值与初值的差 u2 u1
《高等数学》 1.8 函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点
本讲学习目标：
1、描述函数在一点连续的概念，列举连续的三个定义式。 2、描述函数在一点左右连续的概念。 3、描述函数在区间上连续的概念。 4、列举间断点的类型，描述其分类标准。
函数的间断点
x x0
x x0
则称点x0为函数 f ( x)的第二类间断点.
例如，函数
f
(
x)
1 x
,
x 0, 在 x 0 处：
y
x, x 0,
lim f ( x) 0, lim f ( x) ,
x0
x0
o
x
所以 x 0 为函数f(x)的第二类间断点。
这种间断点称为无穷间断点.
例1
找出
f
(
x)
sin
1 x
的间断点，并判断类型。
解
f (0) 无定义，
不存在。 1
lim sin
x0
x
所以 x=0 是第二类间断点.
y sin 1 x
这种间断点称为振荡间断点. 目标不明确，将一事无成!
第 一
y
可去型
类
间
断
o x0
x
点
第 二
y
类 间
o
x0
x
断
点 无穷型
y
跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
无线电系统的矩形波：
函数的间断点及分类
一、引例 二、间断点的定义及分类 三、小结
一、引例
观察下图：
u
1
o
t
1
这是无线电技术中经常遇到的矩形波。
它在 2 , ,0, ,2 等处图形发生了间断。
二. 间断点定义
1.定义 若函数 f ( x)在点 x0 处不连续，称点 x0 为 为函数 f ( x)的间断点；称函数 f ( x)在 x0 间断．
u
1Байду номын сангаас
7 函数的连续性与间断点
第七节 函数的连续性与间断点 一 、 连续函数的概念 内有定义,称 设 y = f ( x )在U(x0)内有定义 称 △x=x-x0 内有定义 为自变量在 x0 处的改变量(或增量);称 处的改变量( 增量 称 △ － 为函数值的 △y=f(x)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0)为函数值的 － 改变量( 增量 改变量(或增量). 定义1 定义 设函数 y = f ( x ) 在点 x0的某一邻域内有 定义, 定义,若 lim f ( x ) = f ( x0 ). lim [ f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )] = 0 或 x→ x
f (1 + 0) = lim+ f ( x ) = 1
x →1
x →1
处的连续. 所以 lim f ( x ) = 1 = f (1) ,故函数在点 x = 1处的连续. x →1
数学分析（ 数学分析（上）
例2 设
ax2 + bx, x < 1 f ( x) = 3, x = 1 ，求 a , b 使 2a − bx, x > 1
x→x0 →
（1） f ( x )在 ）
x0
有
x→x0 →
lim f ( x) 存在
不存在. 不存在.
称
x 0为
(1).
间断点
（2）f ( x 点.
x→x0 →
lim f ( x) 不存在 不存在,
（ ）
sinx 处有定义， 例4 f ( x) = x , x ≠ 0 在 x = 0 处有定义，且 0, x=0 sin x lim f ( x ) = lim = 1 ，但 f (0) = 0 ， 但 x →0 x →0 x
f (1 + 0) = lim+ f ( x ) = 1
x →1
x →1
处的连续. 所以 lim f ( x ) = 1 = f (1) ,故函数在点 x = 1处的连续. x →1
数学分析（ 数学分析（上）
例2 设
ax2 + bx, x < 1 f ( x) = 3, x = 1 ，求 a , b 使 2a − bx, x > 1
x→x0 →
（1） f ( x )在 ）
x0
有
x→x0 →
lim f ( x) 存在
不存在. 不存在.
称
x 0为
(1).
间断点
（2）f ( x 点.
x→x0 →
lim f ( x) 不存在 不存在,
（ ）
sinx 处有定义， 例4 f ( x) = x , x ≠ 0 在 x = 0 处有定义，且 0, x=0 sin x lim f ( x ) = lim = 1 ，但 f (0) = 0 ， 但 x →0 x →0 x
(精编资料推荐)函数间断点分类及类型
（精编资料推荐）函数间断点分类及类型
函数间断点（intermittent point）是指一个函数图像在某一点发生变化类型的点，
它可能出现在函数的任何一点，但却是某一特定的类型的变化点。
下面介绍函数间断点的
分类及类型。
1. 极大值和极小值断点
极大值断点指函数在该点的前后交替变换。
当函数的导数从正变为负，出现极大值断点，这种断点叫作极大值断点或山谷点；当函数的导数从负变为正，出现极小值断点，这
种断点叫作极小值断点或山峰点。
例如，函数f(x)=x^2-4x+4在（2，4）处有极小值断点。
2. 拐点
拐点指函数在此点处发生变换类型，也叫变换点或汽车变弯断点，它的关键特征是函
数的定义域发生变化，指函数级数的阶发生变化或者函数图像的弯曲发生变化。
例如，函
数f(x)=x^3-3x^2+x在（1，1）处有拐点。
3. 虚点
虚点是函数不可导的断点，也称它们为独立点，主要表现为函数导数定义域发生变化，但函数值的连续性不发生变化的点。
例如，函数f(x)=|x|在（0，0）处有虚点。
总之，函数间断点可以分为极大值和极小值断点、拐点、虚点和无穷值点。
它们差异
来自于函数临界点处函数定义域、导数在此点处取值情况以及函数等值线形状变化等特性。
函数间断点的分类及判断方法
函数间断点的分类及判断方法
函数间断点的分类及判断方法是，首先分类：可去间断点，跳跃间断点。
判断方法：先找出无定义的点，就是间断点。
在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo称为函数的不连续点。
用左右极限判断是第一类间断点还是第二类间断点，第一类间断点包括第一类可去间断点和第一类不可去间断点，如果该点左右极限都存在，则是第一类间断点，其中如果左右极限相等，则是第一类可去间断点，如果左右极限不相等，则是第一类不可去间断点，即第一类跳跃间断点。
如果左右极限中有一个不存在，则第二类间断点。
间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。
如果极限存在就是可去间断点，不存在就是跳跃间断点。
函数的间断点(PPT课件)
因为当x >1时，f (x) = x+1 所以
x 1
lim f ( x ) lim ( x 1) 2
x 1
f (x)=x2 2 1 1 f (x)=x+1
x=1 是函数的第一类间断点，
且为跳跃间断点.
小结
如果函数 f (x) 在 x0 点处不连续， 即 x0 是间断点。 可去的间断点---x0点的左右极限 存在且相等 跳跃间断点---x0点的左右极限存 在不相等 无穷间断点---x0点的左右极限至 少有一个等于∞ … …
x x0
称x0是函数 f(x) 的 可去间断点，
2）
x x0
lim f ( x ) lim f ( x )
x x0
称x0是函数 f(x) 的 跳跃间断点，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函数的间断 点？
x0 x0
如果x0是函数 f(x) 的 不连续点，即是 x0 函 数的间断点，
1. x0点的左右 极限都存在 （第一类间断点） 2. x0点的左右 极限至少有 一个不存 (第二类间断) 1） lim f ( x ) 或
第一类 间断点 间断点 的分类 第二类 间断点
F(x)
x
3. lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
函数的间断点 ？
x0 x0 如果x0是函数 f(x) 的 不连续点，即 x0 是函 数的间断点，
1）
1. x0点的左右 极限都存在 （第一类间断点） 2. x0点的左右 极限至少有 一个不存 (第二类间断)
x x0
lim f ( x ) lim f ( x ) f ( x0 )
间 断 点 的 分 类
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点函数的连续性和间断点是函数学中常见的概念，它们与函数的性质紧密相关。
本文将介绍函数的连续性和间断点的定义、分类以及与函数图像的关系。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在一定区间内的普遍性质，即函数在该区间内的每个点都具有连续性。
具体而言，对于给定的函数f(x)，若函数在x=a的某个邻域内，当x趋近于a时，f(x)也趋近于f(a)，则称函数在x=a处连续。
函数的连续性可以通过极限的定义来进一步说明。
对于函数f(x)，若对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε，则称函数在x=a处连续。
函数的连续性有三种基本类型：第一类间断点、第二类间断点和可去间断点。
1. 第一类间断点第一类间断点是指函数在该点的左右极限不相等的点。
换句话说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且存在两个不相等的实数L1和L2，使得lim(x→a-)f(x)=L1，lim(x→a+)f(x)=L2，则称x=a为函数的第一类间断点。
2. 第二类间断点第二类间断点是指函数在该点的左右极限至少有一个不存在或者为无穷大的点。
即，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且至少存在一个左极限lim(x→a-)f(x)或右极限lim(x→a+)f(x)不存在或为无穷大，则称x=a为函数的第二类间断点。
3. 可去间断点可去间断点是指函数在该点的左右极限都存在，但与该点的函数值不相等。
也就是说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)=L，但f(a)≠L，则称x=a为函数的可去间断点。
二、函数的连续性与图像函数的连续性与函数图像的连续性密切相关。
对于连续函数而言，其图像是一条连续的曲线，没有突变或跳跃的情况。
而间断点则对应着函数图像上的断点或间断处。
对于第一类间断点而言，其在函数图像上呈现为两个不连续的部分，可以用一个空心圆标记该点。
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1．定义
设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。
如果函数f(x)有下列情形之一：
（1）在x=x0没有定义；
（2）虽在x=x0有定义，但x→x0 limf(x)不存在；
（3）虽在x=x0有定义，且x→x0 limf(x)存在，但x→x0 limf(x)≠f(x0),
则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。
编辑本段2．类型
几种常见类型。
可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。
如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。
（图一）
跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。
如函数y=|x|/x在点x=0处。
（图二）
无穷间断点：函数在该点可以有定义，且左极限、右极限至少有一个为∞。
如函数y=tanx 在点x=π/2处。
（图三）
振荡间断点：函数在该点可以有无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间
变动无限多次。
如函数y=sin(1/x)在x=0处。
（图四）
可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。
其它间断点称为第二类间断点。
由上述对各种间断点的描述可知，函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在，而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在，这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。