实验三 随机信号通过线性时不变系统

实验名称线性系统对随机过程的响应一、实验目的通过本仿真实验了解正态白色噪声随机过程通过线性系统后相关函数以及功率谱的变化；培养计算机编程能力。

二、实验平台MATLAB R2014a三、实验要求(1)运用正态分布随机数产生函数产生均值为m=0,根方差σ=1的白色正态分布序列{u(n)|n=1,2,…,2000}，画出噪声u(n)的波形图。

(2)设离散时间线性系统的差分方程为x(n)=u(n)-0.36u(n-1)+0.85u(n-2)(n=3,4,…,2000).画出x(n)的波形图。

(3)随机过程x(n)的理论上的功率谱函数为在[0,π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图。

(4)根据步骤二产生的数据序列x(n)计算相关函数的估计值与理论值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0的差异。

(5)根据相关函数的估计值对随机过程的功率谱密度函数进行估计在[0，π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图，比较其与理论上的功率谱密度函数S(w)的差异。

(6)依照实验1的方法统计数据x(n)在不同区间出现的概率，计算其理论概率，观察二者是否基本一致。

四、实验代码及结果A、运用正态分布随机数产生函数产生均值为m=0,根方差σ=1的白色正态分布序列{u(n)|n=1,2,…,2000}，画出噪声u(n)的波形图。

代码实现：波形图：分析：运用正态分布随机数产生函数产生均值为0，根方差σ=1的白色噪声样本序列。

B、设离散时间线性系统的差分方程为x(n)=u(n)-0.36u(n-1)+0.85u(n-2)(n=3,4,…,2000).画出x(n)的波形图。

代码实现：波形图：分析：正态随机序列通过离散时间线性系统生成的仍是正态随机序列。

C、随机过程x(n)的理论上的功率谱函数为在[0,π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图。

实验三 信号通过线性系统的特性分析一 实验目的1．掌握无失真传输的概念及无失真传输的线性系统满足的条件2．分析无失真传输的线性系统输入、输出频谱特性，给出系统的频谱特性 3．掌握系统幅频特性的测试及绘制方法二 实验原理通过频谱分析可以看出，在一般情况下线性系统的响应波形与激励波形是不同的，即：信号在通过线性系统传输的过程中产生了失真。

线性系统引起的信号失真是由两方面的因素造成的，一是系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减，使响应各频率分量的相对幅度产生变化，造成幅度失真；一是系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化，造成相位失真。

线性系统的幅度失真与相位失真都不产生新的频率分量。

对于非线性系统，由于其非线性特性，对于传输信号产生非线性失真，非线性失真可能产生新的频率分量。

如果信号在传输过程中不失真，则响应)(t r 与激励)(t e 波形相同，只是幅度大小或出现的时间不同。

激励与响应的关系可表示为)()(0t t ke t r -= （3-15）为了实现信号无失真传输，线性系统应该满足什么条件？由式（3-1）得)()(t j ej kE j R ωωω-= （3-16）设)(t e 与)(t r 的傅里叶变换分别是)(ωj E 和)(ωj R ，则)()()(ωωωj E j H j R = （3-17）比较式（3-2）与式（3-3），在信号无失真传输时，系统函数应为)()()(t j j keej H j H ωωφωω-== （3-18）因此，为了实现任意信号通过线性系统不产生波形失真，该系统应满足以下两个理想条件，如图3-1。

⎩⎨⎧-==0)()(t kj H ωωφω图3.13 理想线性传输系统的系统函数的频率特性很显然，在传输有限频宽的信号时，上述的理想条件可以放宽，只要在信号占有频带范围内系统满足上述理想条件即可。

三 实验方法 实验电路采用如下电路图3.14 实验电路22211122221111)()()(C R j R C R j R C R j R j U j U j H ωωωωωω++++==若2211C R C R =，则212)(R R R j H +=ω，0)(=ωφ，该系统满足无失真传输的条件。

信号与系统实验报告连续线性时不变系统的分析专业：电子信息工程（实验班）姓名：曾雄学号：14122222203班级：电实12-1BF目录一、实验原理与目的 (3)二、实验过程及结果测试 (3)三、思考题 (10)四、实验总结 (10)五、参考文献 (11)一、实验原理与目的深刻理解连续时间系统的系统函数在分析连续系统的时域特性、频域特性及稳定性中的重要作用及意义。

掌握利用MATLAB 分析连续系统的时域响应、频响特性和零极点的基本方法。

二、实验过程及结果测试1．描述某线性时不变系统的微分方程为： ''()3'()2()'()y t y t y t f t f t++=+ 且f(t)=t 2，y(0-)=1，y ’(0-)=1；试求系统的单位冲激响应、单位阶跃响应、全响应、零状态响应、零输入响应、自由响应和强迫响应。

编写相应MATLAB 程序，画出各波形图。

（1）单位冲激响应： 程序如下：%求单位冲激响应a=[1,3,2]; b=[1,2]; sys=tf(b,a); t=0:0.01:10; h=impulse(sys,t);%用画图函数plot( )画单位冲激响应的波形plot(h); %单位冲激响应曲线 xlabel('t'); ylabel('h');title('单位冲激响应h(t)') 程序运行所得波形如图一：200400600800100012000.10.20.30.40.50.60.70.80.91th单位冲激响应h(t )图一 单位冲激响应的波形（2）单位阶跃响应： 程序如下：%求单位阶跃响应a=[1,3,2]; b=[1,2]; sys=tf(b,a); t=0:0.01:10; G=step(sys,t);%用画图函数plot( )画单位阶跃响应的波形plot(G); %单位阶跃响应曲线 xlabel('t'); ylabel('g');title('单位阶跃响应g(t)') 程序运行所得波形如图二：2004006008001000120000.10.20.30.40.50.60.70.80.91tg单位阶跃响应g(t )图二 单位阶跃响应的波形 （3）零状态响应： 程序如下：%求零状态响应yzs=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=2*t+2*t^2','y(0)=0,Dy(0)=0') %用符号画图函数ezplot( )画各种响应的波形 t=0:0.01:3;ezplot(yzs,t); %零状态响应曲线 axis([0,3,-1 5]);title('零状态响应曲线yzs'); ylabel('yzs');程序运行所得波形如图三：00.511.522.53-112345t零状态响应曲线yzsy z s图三 零状态响应的波形（4）零输入响应： 程序如下：%求零输入响应yzi=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=0','y(0)=1,Dy(0)=1') %用符号画图函数ezplot( )画零输入响应的波形 t=0:0.01:3;ezplot(yzi,t);%零输入响应曲线 axis([0,3,-1,2]); title('零输入响应yzi'); ylabel('yzi');程序运行所得波形如图四：图四 零输入响应的波形（5）全响应：程序如下：%求全响应y=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=2*t+2*t^2','y(0)=1,Dy(0)=1') %用符号画图函数ezplot( )画全响应响应的波形00.511.522.53-1-0.50.511.52t零输入响应yziy z it=0:0.01:3;ezplot(y,t); %全响应曲线 axis([0,3,-1,5]); title('全响应y'); ylabel('y');程序运行所得波形如图五：00.511.522.53-112345t全响应yy图五 全响应的波形（6）自由响应：程序如下：%自由响应y=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=2*t+2*t^2','y(0)=1,Dy(0)=1'); %全响应 yht=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=0','y(0)=1,Dy(0)=1'); % 求齐次通解yt=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=2*t+2*t^2','y(0)=0,Dy(0)=0'); % 求非齐次通解 yp=yt-yht;yh=y-yp; % 求齐次解，即自由响应 t=0:0.01:3; ezplot(yh,t); title('自由响应yh'); ylabel('yh');程序运行所得波形如图六：0.511.522.530.511.52t自由响应yhy h图六 自由响应的波形（7）强迫响应： 程序如下：%强迫响应yht=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=0','y(0)=1,Dy(0)=1'); % 求齐次通解yt=dsolve('D2y+3*Dy+2*y=2*t+2*t^2','y(0)=0,Dy(0)=0'); % 求非齐次通解 yp=yt-yht; % 求特解，即强迫响应 t=0:0.01:3; ezplot(yp,t); title('强迫响应yp'); ylabel('yp');程序运行所得波形如图七：0.511.522.53-112345t强迫响应ypy p图七 强迫响应的波形2．给定一个连续线性时不变系统，描述其输入输出之间关系的微分方程为：编写MATLAB 程序，绘制系统的幅频响应、相频响应、频率响应的实部和频率响应的虚部的波形，确定滤波器的类型。

实验三 随机过程通过线性系统的分析实验目的1. 理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。

2. 学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。

实验原理1.白噪声通过线性系统设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ，输入白噪声的功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ⋅=ωω （3.1） 输出自相关函数为⎰∞∞-=ωωπτωτd e H N R j Y 20)(4)( （3.2）输出相关系数为)0()()(Y Y Y R R ττγ=（3.3） 输出相关时间为⎰∞=00)(ττγτd Y （3.4）输出平均功率为[]⎰∞=202)(2)(ωωπd H N t Y E （3.5）上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性)(ωH 决定，不再是常数。

2.等效噪声带宽在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的)(ωH ，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。

等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。

实际系统的等效噪声带宽为⎰∞=∆022max)()(1ωωωωd H H e （3.6）或⎰∞∞--=∆j j e ds s H s H H j )()()(212maxωω （3.7）3.线性系统输出端随机过程的概率分布 （1）正态随机过程通过线性系统若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。

（2）随机过程的正态化随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。

任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。

实验内容设白噪声通过图3.1所示的RC 电路，分析输出的统计特性。

图3.1 RC 电路（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。

第三章 随机信号通过线性系统的分析本章主要内容：● 线性系统的基本理论● 随机信号通过连续时间系统的分析 ● 随机信号通过离散时间系统的分析 ● 色噪声的产生与白化滤波器 ● 等效噪声带宽 ● 解析过程● 窄带随机过程基本概念● 窄带高斯过程包络与相位的概率密度 ● 窄带高斯过程包络平方的概率密度3.1随机信号通过连续时间系统的分析在给定系统的条件下，输出信号的某个统计特性只取决于输入信号的相应的统计特性。

分析方法：卷积积分法；频域法。

3.1.1、时域分析法1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 输入为随机信号)(t X 某个实验结果ζ的一个样本函数),(ζt x ，则输出),(ζt y 为：对于所有的ζ，输出为一族样本函数构成随机过程Y(t)：2. 输出的均值：)(*)()(t h t m t m X Y =证明：3．系统输入与输出之间的互相关函数)(*),(),(22121t h t t R t t R X XY = )(*),(),(12121t h t t R t t R X YX =证明：4、系统输出的自相关函数已知输入随机信号的自相关函数，求系统输出端的自相关函数。

显然，有：5、系统输出的高阶距输出n阶矩的一般表达式为注意：上面的分析方法是零状态响应的一般分析方法。

它既适用于输入是平稳随机信号的情况，也适用于输入是非平稳的情况。

3.1.2、系统输出的平稳性及其统计特性的计算1、双侧随机信号在这种情况下，系统输出响应在t＝0时已处于稳态。

（1）若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。

那么由于假定连续系统是稳定的，所以由于输出的均值是常数，而输出的相关函数只是 的函数，且输出均方值有界。

所以，输出随机过程为宽平稳的。

可总结如下：输出均值：输入与输出间的互相关函数为输出的自相关函数为输出的均方值即输出总平均功率为若用卷积的形式，则可分别写为（2）若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。

信号与系统实验报告实验名称：线性时不变系统姓名：学号：班级：时间：一、 实验目的1、 掌握线性时不变系统的特性;2、 学会验证线性时不变系统的性质。

二、实验基本原理线性时不变系统具有如下的一些基本特性。

1.线性特性（包含叠加性与均匀性）对于给定的系统，11()()x t t 、y 和22()()x t t 、y 分别代表两对激励与响应。

对于叠加性：当11()()x t y t −−→,22()()x t y t −−→则1212()()()()x t x t y t y t +−−→+图2.1对于均匀性：当()()x t y t −−→, 则()()kx t ky t −−→,0k ≠图2.2综合以上，则当激励是1122()()k x t k x t ⋅+⋅时，则对应的响应为1122()()k y t k y t ⋅+⋅。

对于线性时不变系统，如果起始状态为零，则系统满足叠加性与均匀性(线性性)。

2.时不变特性对于时不变系统， 当11()()x t t −−→y ,则1010()()x t t t t -−−→-y图2.3 3. 微分特性对于线性时不变系统，当()()x t t −−→y 则()()dx t dy t dt dt−−→图2.44. 因果性因果系统是指系统在时刻0t 的响应只与0t t =和0t t <时刻的输入有关。

也就是说，激励是产生响应的原因，响应是激励引起的后果，这种特性称为因果性。

通常由电阻器、电感线圈、电容器构成的实际物理系统都是因果系统。

二、 实验内容及结果记录实验过程中的输入输出波形。

1、线性特性1）.叠加性观察（1） 设置信号产生模块为模式3（11） ；（2） 用按键1使对应的“信号A 组”的输出1-x 2信号（信号A 组的信号输出指示灯为001011）：记录波形为x1（t ）x1（t）（3）用按键2使对应的“信号B组”产生正负锯齿脉冲串信号（信号B组的信号输出指示灯为010100）：记录波形为x2（t）x2（t）（4）将模拟信号A 、B组的输出信号同时送入JH5004的“线性时不变系统”的两个单元，分别记录观察所得到的系统响应：y1(t)y2(t)（5）将上述响应通过示波器进行相加观察响应相加之后的合成响应C1(t)（6）将模拟信号A B组的输出信号分别送入加JH5004的“基本运算单元”的加法器，将相加之后的信号送入ZH5004的“线性时不变系统”单元，记录观察所得到的系统响应：C2(t)（7）比较（5）、（6）两步所得到结果，并对之进行分析：2)、均匀性验证(1) 用按键1使对应的“信号A组”的输出1- x2信号（信号A组的信号输出指示灯为001011）：1()e t(2) 将输出信号同时送入ZH5004的“线性时不变系统”的两个单元，分别记录观察所得到的系统响应：1()r t(3)用按键1使对应的“信号A组”的输出1-x^信号（信号A组的信号输出指示灯为001011）,并送入倍乘器，观察输出波形；2()e t（4）再将其送入线性时不变系统的第一个单元观察得到的响应；2()r t（5）比较（2）、（4）的波形；2.时不变特性观察（1）设置信号产生模块为模式2.（10）（2）通过信号选择键1，使对应的“信号A组”输出间隔正负脉冲信号（信号A组的信号输出指示灯为001001）：()x t（3） 将模拟A 组的输出信号加到JH5004的“线性时不变系统”单元，记录观察所得到的系统响应。