数学必修2第二章线面平行、面面平行的判定及性质练习

si r2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定●知识梳理1简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：a αb β => a ∥αa ∥b●知能训练一．选择题1．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n2．若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则（ ）A ．α内存在直线与l 异面B ．α内存在与l 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与l 平行D ．α内的直线与l 都相交3．如图，M 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列命题①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都相交；②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都垂直；③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都相交；④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都平行．其中真命题是（ ）godfo rs A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③4．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点．P 在对角线BD 1上，且BP ＝BD 1，给出下面四个命题：（1）MN ∥面APC ；（2）C 1Q ∥面APC ；（3）A ，P ，M 三点共线；（4）面MNQ ∥面APC ．正确的序号为（ ）A ．（1）（2）B ．（1）（4）C ．（2）（3）D ．（3）（4）5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A 1BC 1平行的直线共有（ ）A ．12条B ．18条C ．21条D ．24条6．直线a ∥平面α，P ∈α，那么过P 且平行于a 的直线（ ）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内7．如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的（ ）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与平面AB 1C 平行的直线是（ ）A ．DD 1B ．A 1D 1C ．C 1D 1D ．A 1D9．如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1上的一点，若BC 1∥平面AB 1D 1，则 等于（ ）A ．1/2B ．1C ．2D ．3re o od fo rs10．下面四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E ，F ，EF=，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值的中点，AA =AB=2．an d2.2.2 平面与平面平行的判定●知识梳理1符号表示：βa βb ∩ = β∥a b p α∥a α∥b α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3●知能训练一．选择题1．已知两个不重合的平面α，β，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②l ，m 是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β；③l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β；其中可以判定α∥β的是（ ）A．①B．②C．①③D．③2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）A．α、β都垂直于平面rB．α内存在不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β3．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系（ ）A．平行B．相交C．异面D．以上都不对h i n（1）求证：平面PCD ∥平面MBE ；（2）求四棱锥M-BCDE 的体积．2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质知识梳理1简记为：线面平行则线线平行。

精心整理2.2 线面平行、面面平行的判断例题分析 :例 1. 如图， ABCD 是平行四边形， S 是平面 ABCD 外一点， M 为SC 的中点 .求证： SA ∥平面MDB.例 2. 正方形 ABCD 交正方形 ABEF 于 AB ， M 、 N 在对角线 AC 、 FB 上，且 AM FN ，求证： MN // 平面 BCE F E例 3. 已知 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点， M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G ，过 GN和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH ，求证： AP ∥GH 、例 4. 如图，在空间四边形 ABCD 中， P 、 Q 分别是△ ABC 和△ BCD 的重心 . 求证： PQ ∥平面 ACD.A B例 5. 如图，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD 1 的中点，设 Q 是 CC 1 上的点，问：当点 Q 在什么地点时，平面 D 1BQ ∥ 平面 PAO? M稳固练习： D C1. 若 l // ， A ，则以下说法正确的选项是（）A. 过 A 在平面 内可作无数条直线与 l平行 B. 过 A 在平面内仅可作一条直线与 l 平行C.过 A 在平面 内可作两条直线与 l平行 D.与 A 的地点相关2. 若直线 a ∥ 直线 b ，且 a ∥ 平面 ，则 b 与 a 的地点关系是（）A 、必定平行 B 、不平行 C 、平行或订交 D 、平行或在平面内3. 如图在四周体中，若直线 EF 和GH订交，则它们的交点必定（） . A.在直线 DB 上 B. 在直线 AB 上C.在直线CB上 D.都不对 4. 一条直线若同时平行于两个订交平面，则这条直线与这两个平面的交线()A ．异面B ．订交C ．平行D ．不确立5. 已知平面 、β 和直线 m ，给出条件： ①m ∥ ； ②m ⊥ ； ③m? ； ④ ⊥β；⑤ ∥β . 为使m ∥β，应选择下边四个选项中的 ()A ．①④B． ①⑤C．②⑤D．③⑤6. 若直线 l 与平面α的一条平行线平行，则 l 和 的地点关系是 ()A. lB. l //C. l或l//D. l 和 订交7 若直线 a 在平面 内，直线 a,b 是异面直线，则直线A ．订交 B. 平行 C. 订交或平行 D.订交且垂直 8. 若直线 l 上有两点 P 、 Q 到平面 的距离相等，则直线A. 平行B. 订交C.平行或订交D.平行、订交或在平面b 和平面的地点关系是 l 与平面 的地点关系是内()()9. 以下命题正确的个数是 (???)(1) 若直线 l 上有无数个点不在α内，则 l ∥精心整理(2)若直线 l 与平面α平行， l 与平面内的随意向来线平行(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若向来线 a 和平面内向来线 b 平行，则 a∥A.0 个???????B.1 个 ??????C.2 个 ???????D.3 个10.如图，在四棱锥 P ABCD 中， ABCD 是平行四边形， M ， N 分别是AB ， PC 的中点．求证： MN // 平面 PAD ．11.如图 , S 是平行四边形 ABCD 平面外一点，M , N分别是SA, BD上的点，且AM=BN,SM ND求证： MN // 平面 SBC12.如图 A 、 B 、C分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心 . 求证：面A B C∥面ABC.13.如图，空间四边形 ABCD 的对棱 AD 、 BC 成60o的角，且 AD 面分别交 AB、 AC、CD、BD于E、F 、G、H ．A （１）求证：四边形EGFH 为平行四边形；（２） E 在 AB 的哪处时截面 EGFH 的面积最大？最大面积是多少？ASPM D C BC 2 ，平行于AD与BC的截·N· B·CCB。

DC A B B 1A1C 1直线、平面平行的判定及其性质 测试题A一、选择题1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ= 4．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与m 异面 B ．α内不存在与m 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与m 平行 D ．α内的直线与m 都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（ ）① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行A ．4B ．3C ．2D ．1 6．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ） A ．()12MN AC BD ≥+ B ．()12MN AC BD ≤+C ．()12MN AC BD =+ D ．()12MN AC BD <+二、填空题7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是①②③④9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是 ． 三、解答题10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .B一、选择题1．α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）A ．α，β都平行于直线a ，bB ．α内有三个不共线点到β的距离相等C ．a ，b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β2．两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是（ ）A ．a ∥αB ．a 与α相交C ．a 与α不相交D ．a α 3．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的是（ ） A ．a α⊄，则//a α B ．//a α，b α⊂，则//a bC ．//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β⊂ 4．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）A.异面B.相交C.平行D.不能确定 5.下列四个命题中，正确的是（ ）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行 A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④6．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在 二、填空题7．a ，b ，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：.⇒⎭⎬⎫;⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥①a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）8．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS =18，BS =9，CD =34，则CS =_____________.9．如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，DD 1，DC 中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BD D 1． 三、解答题10.如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E在棱PC 上． 问点E 在何处时，//PA EBD 平面，并加以证明.11.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NPDN，求证：直线MN ∥平面PBC .EPDCBA参考答案A一、选择题 1．D【提示】当l =⋂βα时，α内有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面β平行.故A ，B ，C 均是错误的2．C【提示】棱AC ，BD 与平面EFG 平行，共2条. 3．C【提示】//,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b ααβ=则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确.4．B【提示】若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则直线m 于平面α相交，α内不存在与m 平行的直线. 5．B【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上. 6. D【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边. 二、填空题7．平面ABC ，平面ABD【提示】连接AM 并延长，交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由MA EM =NB EN =21得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 8. ①③【提示】对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③，MP//AB,故AB//面MNP,对于②④，过AB 找一个平面与平面MNP 相交，AB 与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP. 9．平行【提示】连接BD 交AC 于O ，连OE ，∴OE ∥B D 1，OEC 平面ACE ，∴B D 1∥平面ACE. 三、解答题10.证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，D 为AC 中点，∴PD//C B 1.又 PD ⊂平面B A 1D ，∴C B 1//平面B A 1 D11.证明：（1） M 、N 分别是CD 、CB 的中点，∴MN//BD又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形.所以BD//B 1D 1.又MN//BD ，从而MN//B 1D 1（2）（法1）连A 1C 1，A 1C 1交B 1D 1与O 点四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点 E 是AA 1的中点，∴EO 是∆AA 1C 1的中位线，EO//AC 1.AC 1⊄面EB 1D 1 ，EO ⊂面EB 1D 1，所以AC 1//面EB 1D 1 （法2）作BB 1中点为H 点，连接AH 、C 1H ，E 、H 点为AA 1、BB 1中点， 所以EH //C 1D 1，则四边形EHC 1D 1是平行四边形，所以ED 1//HC 1 又因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AHAH ⋂HC 1=H ，∴面AHC 1//面EB 1D 1.而AC 1⊂面AHC 1，所以AC 1//面EB 1D 1（3）因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH 因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH ，所以EB 1//DG 又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.BD ⋂DG=G ，∴面EB 1D 1//面BDGB一、选择题1．D【提示】A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；B 错，若A ，B ，C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；D 正确. 2．C【提示】若直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a ∥α 或a α 3．D【提示】根据面面平行的性质定理可推证之. 4．C【提示】设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β，过直线a 作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b ，β∩γ=c ，则a ∥b 且a ∥c ，∴b ∥c .又b ⊂α，α∩β=l ，∴b ∥l .∴a ∥l . 5．A 【提示】 6． D【提示】过点A 可作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′∩b ′=A ，∴a ′，b ′可确定一个平面，记为α.如果a ⊄α，b ⊄α，则a ∥α，b ∥α.由于平面α可能过直线a 、b 之一，因此，过A 且平行于a 、b 的平面可能不存在. 二、填空题 7.①④⑤⑥ 8.68或368 【提示】如图（1），由α∥β可知BD ∥AC ，∴SA SB =SC SD ，即189=SCSC 34-，∴SC =68. SS AABBCCα α ββ(1)(2)DD如图（2），由α∥β知AC ∥BD ，∴SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SCSC -34. ∴SC =368.9．M ∈HF【提示】易证平面NHF ∥平面BD D 1 B 1，M 为两平面的公共点，应在交线HF 上. 三、解答题 10．解：当E 为PC 中点时，//PA EBD 平面．证明：连接AC ，且AC BD O =，由于四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为中点，∴OE 为△ACP 的中位线，∴//PA EO ，又PA EBD ⊄平面，∴//PA EBD 平面. 11．证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连接RB ，依题意得NR NR DC -=NP DN =MB AM =MB MB AB -=MBMBDC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC .证法二：过N 作NQ ∥AD 交P A 于点Q ，连接QM ，∵MB AM =NP DN =QPAQ，∴QM ∥PB .又NQ ∥AD ∥BC ，∴平面MQN ∥平面PBC .∴直线MN ∥平面PBC .OF ABCDP E。

2.2. 直线、平面平行的判断及其性质直线与平面平行的判断知识梳理1、直线与平面平行的判判定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：aαbβ=> a∥ αa∥ b知能训练一．选择题1．已知 m，n 是两条不同样直线，α，β，γ是三个不同样平面，以下命题中正确的选项是（）A ．若 m∥ α， n ∥ α，则 m∥ n B ．若α⊥ γ，β⊥ γ，则α∥ βC．若 m ∥ α， m ∥ β，则α∥ β D ．若 m ⊥ α， n⊥ α，则 m ∥ n 2．若直线l 不平行于平面α，且l?α，则（）A ．α内存在直线与 l 异面B ．α内存在与 l 平行的直线C．α内存在唯一的直线与 l 平行D ．α内的直线与 l 都相交3．如图， M 是正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1的棱 DD 1的中点，给出以下命题①过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都订交；②过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都垂直；③过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都订交；④过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都平行．其中真命题是（）A ．② ③ ④B ．① ③ ④C ．① ② ④D ．① ② ③4．正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1中 M ，N ，Q 分别是棱 D 1C1， A 1D 1，BC 的中点． P在对角线 BD 1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN ∥面 APC；（2）C1 Q∥面 APC；（3）A ，P， M 三点共线；（4）面 MNQ ∥面 APC．正确的序号为（）A ．（ 1 ）（ 2 ）B ．（ 1 ）（ 4 ）C．（ 2）（ 3 ） D ．（ 3 ）（ 4）5．在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1的各个极点与各棱中点共20 个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A 1BC 1平行的直线共有（）A ． 12 条B ． 18 条C ． 21 条D ． 24 条6．直线 a∥平面α，P∈ α，那么过 P 且平行于 a 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内7．若是直线a∥平面α，那么直线 a 与平面α内的（）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1中，与平面AB 1C 平行的直线是（）A ．DD 1B ．A 1 D 1C ．C 1D 1 D ．A 1 D9．如图，在三棱柱 ABC-A 1B1C1中，点 D 为 AC 的中点，点 D1是 A 1C1上的一点，若 BC 1∥平面 AB 1D 1，则等于（）A ． 1/2B ． 1C． 2 D ． 310．下面四个正方体图形中， A 、B 为正方体的两个极点，M、N 、 P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面 MNP 的图形是（）A ．①②B ．①④C．②③ D ．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段 B′ D上′有两个动点 E ，F，EF= ，则以下结论中错误的选项是（）A ． AC ⊥ BEB ． EF ∥平面 ABCDC．三棱锥 A-BEF的体积为定值D ．异面直线 AE ， BF 所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，E，F，G，H，M分别是棱AD ，DD 1，D1A 1，A 1A ，AB的中点，点 N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N 只需满足条件时，就有MN ⊥ A1C1；当N 只需满足条件时，就有MN ∥平面 B 1D 1C．13．如图，正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，AB=2，点E 为 AD的中点，点 F 在 CD上，若EF ∥平面AB 1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱 ABC-A 1B 1 C1中，侧棱 AA 1⊥底面 ABC ，AB ⊥ BC，D 为 AC的中点， AA 1=AB=2 ．（1）求证： AB 1∥平面 BC1D ；（2）若 BC=3 ，求三棱锥 D-BC 1C 的体积．平面与平面平行的判断知识梳理1、两个平面平行的判判定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

第二章 2.2 2.2.3A级基础巩固一、选择题1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1与直线AC的位置关系是导学号 09024417( A )A．AC∥截面BA1C1B．AC与截面BA1C1相交C．AC在截面BA1C1内D．以上答案都错误[解析] ∵AC∥A1C1，又∵AC⊄面BA1C1，∴AC∥面BA1C1.2．如右图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是导学号 09024418( B )A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能[解析] ∵A1B1∥AB，AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.又A1B1⊂平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1.又AB∥A1B1，∴DE∥AB.3．下列命题正确的是导学号 09024419( D )A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线bB．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面αD．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点[解析] A中，直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能与平面α平行，所以不正确；C 中，直线b 也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义知D 正确，故选D ．4．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC 、AC 于点E 、F ，则导学号 09024420( B )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE[解析] ∵在▱AA 1B 1B 中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，∴AM 綊BN ，∴MN 綊AB .又MN ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴MN ∥平面ABC .又MN ⊂平面MNEF ，平面MNEF ∩平面ABC ＝EF ，∴MN ∥EF ，∴EF ∥AB ，显然在△ABC 中EF ≠AB ，∴EF ≠MN ，∴四边形MNEF 为梯形．故选B ．5．如右图所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，EH ∥FG ，则EH 与BD 的位置关系是导学号 09024421( A )A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定[解析] ∵EH ∥FG ，FG ⊂平面BCD ，EH ⊄平面BCD ， ∴EH ∥平面BCD .∵EH ⊂平面ABD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴EH ∥BD .6．已知正方体AC 1的棱长为1，点P 是面AA 1D 1D 的中心，点Q 是面A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AA 1B 1B ，则线段PQ 的长为导学号 09024422( C )A ．1B ． 2C ．22D ．32[解析] 由PQ ∥平面AA 1BB 知PQ ∥AB 1，又P 为AO 1的中点，∴PQ ＝12AB 1＝22.二、填空题7．如图，a ∥α，A 是α的另一侧的点，B 、C 、D ∈a ，线段AB 、AC 、AD 分别交平面α于E 、F 、G ，若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝__209__.导学号 09024423[解析] ∵a ∥α，α∩平面ABD ＝EG ，∴a ∥EG ，即BD ∥EG ， ∴EG BD ＝AF AF ＋FC ，则EG ＝AF ·BD AF ＋FC ＝5×45＋4＝209. 8．(2016·扬州高二检测)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若过A ，C ，B 1三点的平面与底面A 1B 1C 1D 1的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是__l ∥A 1C 1__.导学号 09024424[解析] ∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ∥平面A 1B 1C 1D 1.又平面ACB 1经过直线AC 与平面A 1B 1C 1D 1相交于直线l ， ∴AC ∥l . 三、解答题9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，求证：AB ∥GH .导学号 09024425[解析] ∵E 、F 分别是AA 1和BB 1的中点，∴EF ∥AB . 又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ， ∴AB ∥平面EFGH . 又AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFGH ＝GH ，∴AB ∥GH .10．四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是梯形，AB ∥CD ，且AB ＝23CD .试问在PC 上能否找到一点E ，使得BE ∥平面PAD ？若能，请确定E 点的位置，并给出证明；若不能，请说明理由.导学号 09024426[解析] 在PC 上取点E ，使CE PE ＝12，则BE ∥平面PAD .证明如下：延长DA 和CB 交于点F ，连接PF . 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝23CD .∴AB CD ＝BF FC ＝23， ∴BC BF ＝12. 又CE PE ＝12，∴△PFC 中，CE PE ＝BC BF， ∴BE ∥PF ，而BE ⊄平面PAD ，PF ⊂平面PAD . ∴BE ∥平面PAD .B 级 素养提升一、选择题1．a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是导学号 09024427( D ) A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 平行 B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 相交 C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都平行 D ．过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行[解析] A 错，若点与a 所确定的平面与b 平行时，就不能使这个平面与a 平行了． B 错，若点与a 所确定的平面与b 平行时，就不能作一条直线与a ，b 相交． C 错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾．D 正确，在a 上任取一点A ，过A 点作直线c ∥b ，则c 与a 确定一个平面与b 平行，这个平面是唯一的．2．过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a 、b 、c 、…，那么这些交线的位置关系为导学号 09024428( D )A ．都平行B ．都相交且一定交于同一点C ．都相交但不一定交于同一点D ．都平行或交于同一点[解析] 若l ∥平面α，则交线都平行； 若l ∩平面α＝A ，则交线都交于同一点A .3．如图，在三棱锥S －ABC 中，E 、F 分别是SB 、SC 上的点，且EF ∥平面ABC ，则导学号 09024429( B )A ．EF 与BC 相交B ．EF ∥BC C ．EF 与BC 异面D ．以上均有可能[解析] ∵EF ⊂平面SBC ，EF ∥平面ABC ，平面SBC ∩平面ABC ＝BC ，∴EF ∥BC . 4．不同直线m 、n 和不同平面α、β，给出下列命题： ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βm ⊂α⇒m ∥β；②⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ∥β⇒n ∥β；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂β⇒m 、n 异面．其中假命题有导学号 09024431( C ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析] ∵α∥β，∴α与β没有公共点． 又∵m ⊂α，∴m 与β没有公共点， ∴m ∥β，故①正确，②③错误．二、填空题5．已知A 、B 、C 、D 四点不共面，且AB ∥平面α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 是__平行__四边形.导学号 09024432[解析] ∵AB ∥α，平面ABD ∩α＝FH ，平面ABC ∩α＝EG ，∴AB ∥FH ，AB ∥EG ，∴FH ∥EG ，同理EF ∥GH ，∴四边形EFHG 是平行四边形．6．(2016·成都高二检测)长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形．E ，F 分别是侧棱AA 1、CC 1上的动点，AE ＋CF ＝8.P 在棱AA 1上，且AP ＝2，若EF ∥平面PBD ，则CF ＝__2__.导学号 09024433[解析] 连接AC 交BD 于O ，连接PO .因为EF ∥平面PBD ，EF ⊂平面EACF ，平面EACF ∩平面PBD ＝PO ，所以EF ∥PO ，在PA 1上截取PQ ＝AP ＝2，连接QC ，则QC ∥PO ，所以EF ∥QC ，所以EFCQ 为平行四边形，则CF ＝EQ ，又因为AE ＋CF ＝8，AE ＋A 1E ＝8，所以A 1E ＝CF ＝EQ ＝12A 1Q ＝2，从而CF ＝2.C 级 能力拔高1．如图所示，一平面与空间四边形对角线AC 、BD 都平行，且交空间四边形边AB 、BC 、CD 、DA 分别于E 、F 、G 、H .导学号 09024434(1)求证：EFGH 为平行四边形； (2)若AC ＝BD ，EFGH 能否为菱形？(3)若AC ＝BD ＝a ，求证：平行四边形EFGH 周长为定值．[解析] (1)∵AC ∥平面EFGH ，平面ACD ∩平面EFGH ＝GH ，且AC ⊂面ACD ， ∴AC ∥GH ，同理可证，AC ∥EF ，BD ∥EH ，BD ∥FG . ∴EF ∥GH ，EH ∥FG .∴四边形EFGH 为平行四边形． (2)设AC ＝BD ＝a ，EH ＝x ，GH ＝y ，AH HD ＝m n. ∵GH ∥AC ，∴GH ︰AC ＝DH ︰DA ＝DH ︰(DH ＋HA )． 即：y ︰a ＝n ︰(m ＋n )，∴y ＝nm ＋na . 同理可得：x ＝EH ＝mm ＋na . ∴当AC ＝BD 时，若m ＝n 即AH ＝HD 时，则EH ＝GH ，四边形EFGH 为菱形． (3)设EH ＝x ，GH ＝y ，H 为AD 上一点且AH ︰HD ＝m ︰n .∵EH ∥BD ，∴EH BD ＝AHAD.即x a ＝m m ＋n ，∴x ＝mm ＋na .同理：y ＝nm ＋n a ，∴周长＝2(x ＋y )＝2a (定值)．2．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点E 、F 分别是棱CC 1、BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2，若MB ∥平面AEF ，试判断点M 在何位置.导学号 09024435[解析] 若MB ∥平面AEF ，过F 、B 、M 作平面FBMN 交AE 于N ，连接MN 、NF .因为BF ∥平面AA 1C 1C ，BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AA 1C 1C ＝MN ，所以BF ∥MN .又MB ∥平面AEF ，MB ⊂平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AEF ＝FN ，所以MB ∥FN ，所以BFNM 是平行四边形，所以MN ∥BF ，MN ＝BF ＝1. 而EC ∥FB ，EC ＝2FB ＝2， 所以MN ∥EC ，MN ＝12EC ＝1，故MN 是△ACE 的中位线．所以M 是AC 的中点时，MB ∥平面AEF .。

必修二立体几何线线平行、面面平行、线面垂直判定及性质练习本文档将介绍必修二立体几何中关于线线平行、面面平行、线面垂直的判定方法和性质，并提供相关练题。

一、线线平行的判定和性质1. 判定方法- 定理1：若两线的任意一对对应角相等，则这两条线平行。

定理1：若两线的任意一对对应角相等，则这两条线平行。

- 定理2：若一条直线与两平行线相交，则所成的对应角相等。

定理2：若一条直线与两平行线相交，则所成的对应角相等。

2. 性质- 平行线之间的距离相等。

- 平行线截取的两个平行线段成比例。

- 平行线相交的任意两对内错角相等，外错角相等。

- 平行线与一个横截线相交，所成的相应角、对应角均相等。

二、面面平行的判定1. 判定方法- 定理3：若两平面有一对平行线，则这两个平面平行。

定理3：若两平面有一对平行线，则这两个平面平行。

- 定理4：若两平面分别与一直线平行，则这两个平面平行。

定理4：若两平面分别与一直线平行，则这两个平面平行。

2. 性质- 平行面之间的距离相等。

三、线面垂直的判定1. 判定方法- 定理5：一条直线与平面垂直的充分必要条件是直线与平面内的任意一条短线都垂直。

定理5：一条直线与平面垂直的充分必要条件是直线与平面内的任意一条短线都垂直。

2. 性质- 垂直于同一平面的两条直线平行。

四、练题1. 若两线段的长度相等，能判断这两条线段平行吗？若能，请说明理由。

2. 若两平行线上的两点与另外一直线上的两点分别相连，那么这四条线段相交于一点还是两点？请说明理由。

3. 若两平面平行，能判断这两个平面之间的距离吗？请说明理由。

以上是必修二立体几何中关于线线平行、面面平行、线面垂直的判定方法和性质的介绍及练题。

通过理解和练这些内容，你将更好地掌握立体几何的基本概念和性质。

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双基达标(限时20分钟)1．下列说法正确的是()．①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；④一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行．A．①③B．②④C．②③④D．③④解析由两平面平行的判定定理知③④正确．答案 D2．在六棱柱的表面中互相平行的面最多有几对()．A．2 B．3 C．4 D．5解析当底面是正六边形时，共有4对面互相平行．答案 C3．在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面中彼此平行的一对截面是()．A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析EG∥E1G1，FG1∥EH1，∴EG∥面E1FG1，EH1∥平面E1FG1，且EG∩EH1＝E，∴平面EGH1∥平面E1FG1.答案 A4．已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．解析在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ∩β＝l，则l⊂β，∵a∥β，∴a与l无公共点，∴a∥l，∴l∥α.又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.答案平行5．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的．答案①②③④6．(2012·南京高一检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝2AD.(1)求证：AB⊥PD.(2)在线段PB上是否存在一点E，使AE∥平面PCD，若存在，指出点E的位置并加以证明；若不存在，请说明理由．(1)证明∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.(2)法一如图(1)，取线段PB的中点E，PC的中点F，连结AE，EF，DF，则EF是△PBC的中位线．∴EF∥BC，EF＝12BC.∵AD∥BC，AD＝12BC，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形EFDA是平行四边形，∴AE∥DF. (1)∵AE⊄平面PCD，DF⊂平面PCD，∴AE∥平面PCD.∴线段PB的中点E是符合题意的点．法二如图(2)，取线段PB的中点E，BC的中点F，连结AE，EF，AF，则EF 是△PBC的中位线．∴EF∥PC.∵EF⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.∵AD∥BC，AD＝12BC，CF＝12BC，∴AD∥CF，AD＝CF. (2)∴四边形DAFC是平行四边形，∴AF∥CD.∵AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AF∥平面PCD.∵AF∩EF＝F，∴平面AEF∥平面PCD.∴AE⊂平面AEF，∴AE∥平面PCD.∴线段PB的中点E是符合题意的点．综合提高(限时25分钟)7．已知a是平面α外的一条直线，过a作平面β使β∥α，这样的β有()．A．只能作一个B．至少一个C．不存在D．至多一个解析∵a是平面α外的一条直线，∴a∥α或a与α相交．当a∥α时，β只有一个，当a与α相交时，β不存在．答案 D8．(2012·济宁高一期中)如图，在下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()．A．①③B．①④C．②③D．②④解析①中，取NP中点O，连MO，则MO∥AB，∴AB∥平面MNP；②中，在平面MNP内找不到与AB平行的直线，故②不能得出；③中，AB与平面MNP相交；④中，∵AB∥NP，∴AB∥平面MNP.答案 B9．设m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，可构成三个命题，写出你认为正确的一个命题________．解析m⊄α，n⊄α，m∥n，m∥α⇒n∥α，即①②⇒③.答案①②⇒③10．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．解析由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点知EF是△SBC的中位线，∴EF∥BC.又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC.∵EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面ABC.答案平行11．已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．解如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G.∴平面BGF∥平面AEC，∴BF∥平面AEC.∵BG∥OE，O是BD中点，∴E是GD中点．又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE中点．而GF∥CE，∴F为PC中点．综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.12．(创新拓展)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．解 取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1. ∵A 1N 綉PC 1綉MC ，∴四边形A 1MCN 是平行四边形．又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ，A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ，∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1. 因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形． 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H .∵A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝22，∴△A 1MN 为等腰三角形．∴A 1H ＝ 3.∴S △A 1MN ＝12×22×3＝ 6.。

第二章 2.2 2.2.4A 级 基础巩固一、选择题1．若AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线AC 的位置关系是导学号 09024450( A )A ．平行B ．相交C ．AC 在此平面内D ．平行或相交[解析] 利用中位线性质定理得线线平行，进而得直线与平面平行．2．已知平面α∥平面β，P ∉α，P ∉β，过点P 的两直线分别交α、β于A 、B 和C 、D 四点，A 、C ∈α，B 、D ∈β，且PA ＝6，AB ＝2，BD ＝12，则AC 之长为导学号 09024448( C )A ．10或18B ．9C ．18或9D ．6[解析] 由PA ＝6，AB ＝2知，P 点不可能在α与β之间，∴点P 在两平行平面所夹空间外面，∴PA PB ＝AC BD 或PB PA ＝BDAC，∴AC ＝9或AC ＝18，∴选C ．3．若平面α∥平面β，直线a ⊂α，点B ∈β，过点B 的所有直线中导学号 09024452( D )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．有且只有一条与a 平行的直线[解析] ∵α∥β，B ∈β，a ⊂α，∴B ∉a ，∴点B 与直线a 确定一个平面γ， ∵γ与β有一个公共点B ，∴γ与β有且仅有一条经过点B 的直线b ， ∵α∥β，∴a ∥b . 故选D ．4．已知a 、b 表示直线，α、β、γ表示平面，则下列推理正确的是导学号 09024453( D )A ．α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥bB ．α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥βC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b[解析] 选项A 中，α∩β＝a ，b ⊂α，则a ，b 可能平行也可能相交，故A 不正确； 选项B 中，α∩β＝a ，a ∥b ，则可能b ∥α且b ∥β，也可能b 在平面α或β内，故B 不正确；选项C 中，a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α，根据面面平行的判定定理，再加上条件a ∩b ＝A ，才能得出α∥β，故C 不正确；选项D 为面面平行性质定理的符号语言，故选D ．5．已知两条直线m 、n 两个平面α、β，给出下面四个命题：导学号 09024454 ①α∩β＝m ，n ⊂α⇒m ∥n 或者m ，n 相交； ②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ； ③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α；④α∩β＝m ，m ∥n ⇒n ∥β且n ∥α. 其中正确命题的序号是( A ) A ．①B ．①④C ．④D ．③④6．平面α∥平面β，△ABC 、△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′共点于O ，O 在α、β之间．若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，OA ︰OA ′＝3︰2，则△A ′B ′C ′的面积为导学号 09024455( C )A ．39B ．33C ．239D ．233[解析] 如图∵α∥β，∴BC ∥B ′C ′，AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′， 且由AB A ′B ′＝OA OA ′＝32知相似比为32，又由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，知S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AB ·(AC ·sin60°)＝32，∴S △A ′B ′C ′＝239.二、填空题7．如右图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH 的形状为__平行四边形__.导学号 09024456[解析] ∵平面ABFE ∥平面CDHG ， 又平面EFGH ∩平面ABFE ＝EF ， 平面EFGH ∩平面CDHG ＝HG ， ∴EF ∥HG . 同理EH ∥FG ，∴四边形EFGH 的形状是平行四边形． 三、解答题8．如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 为PB 的中点．求证：CE ∥平面PAD .导学号 09024457[解析] 解法一：如图所示，取PA 的中点H ，连接EH 、DH .因为E 为PB 的中点， 所以EH ∥AB ，EH ＝12AB .又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD .因此四边形DCEH 是平行四边形， 所以CE ∥DH .又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， 因此CE ∥平面PAD .解法二：如图所示，取AB 的中点F ，连接CF 、EF ，所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形， 因此CF ∥AD .又CF ⊄平面PAD ，所以CF ∥平面PAD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥PA . 又EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD . 因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面PAD . 又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面PAD .9.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ 与平面PAO 平行？导学号 09024458[解析] 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO . 连接BD ，由题意可知，BD ∩AC ＝0，O为BD的中点，又P为DD1的中点，∴OP∥BD1，又BD1⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，∴BD1∥平面PAO，连接PC.∵PD1綊CQ，∴D1Q∥PC.又PC⊂平面PAO，D1Q⊄平面PAO，∴D1Q∥平面PAO.又D1Q∩BD1＝D1，∴平面D1BQ∥平面PAC.B级素养提升一、选择题1．已知直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，则a与b导学号 09024459( B ) A．相交B．平行C．异面D．共面或异面[解析] ∵直线a∥α，a∥β，∴在平面α、β中必分别有一直线平行于a，不妨设为m、n，∴a∥m，a∥n，∴m∥n.又α、β相交，m在平面α内，n在平面β内，∴m∥β，∴m∥b，∴a∥b.故选B．2．如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则导学号 09024460( A )A．BF∥平面ACGD B．CF∥平面ABEDC．BC∥FG D．平面ABED∥平面CGF[解析] 取DG的中点为M，连接AM、FM，如图所示．则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形∴DE綊FM.∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM.又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM.又BF⊄平面ACGD，∴BF∥平面ACGD.故选A．3．设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C导学号 09024461( B )A．不共面B．不论A、B如何移动，都共面C．当且仅当A、B分别在两直线上移动时时才共面D．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面[解析] 如图，不论点A、B如何移动，点C都共面，且所在平面与平面α、平面β平行．4．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是导学号 09024462( D )A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交[解析] 如图(1)，(2)，(3)所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．二、填空题5．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是__平行四边形__.导学号 09024463[解析] ∵平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，∴AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，又A1B1∥C1D1，∴AB∥CD，同理可证AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．6.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列结论中正确的为__①②④__.导学号 09024464①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.[解析] ∵MN∥PQ，∴PQ∥平面ACD，又平面ACD∩平面ABC＝AC，∴PQ∥AC，从而AC∥截面PQMN，②正确；同理可得MQ∥BD，故AC⊥BD，①正确；又MQ∥BD，∠PMQ＝45°，∴异面直线PM与BD所成的角为45°，故④正确．根据已知条件无法得到AC，BD长度之间的关系．故填①②④.C级能力拔高1．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD.导学号 09024465[解析] 解法一：如图(1)，取OB的中点G，连接GN、GM.∵M为OA的中点，∴MG∥AB.∵AB∥CD，∴MG∥CD.∵MG⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，∴MG∥平面OCD.又∵G、N分别为OB、BC的中点，∴GN ∥OC .∵GN ⊄平面OCD ，OC ⊂平面OCD ， ∴GN ∥平面OCD .又∵MG ⊂平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，MG ∩GN ＝G ， ∴平面MNG ∥平面OCD . ∵MN ⊂平面MNG ， ∴MN ∥平面OCD .解法二：如图(2)，取OD 的中点P ，连接MP 、CP . ∵M 为OA 的中点，∴MP 綊12AD .∵N 为BC 的中点，∴CN 綊12AD ，∴MP 綊CN ，∴四边形MNCP 为平行四边形， ∴MN ∥PC .又∵MN ⊄平面OCD ，PC ⊂平面OCD ， ∴MN ∥平面OCD .2．如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，平面A 1DCE 与B 1B 交于点E .求证：EC ∥A 1D .导学号 09024467[解析] 因为BE ∥AA 1，AA 1⊂平面AA 1D ，BE ⊄平面AA 1D ， 所以BE ∥平面AA 1D .因为BC ∥AD ，AD ⊂平面AA 1D ，BC ⊄平面AA 1D ， 所以BC ∥平面AA 1D .又BE ∩BC ＝B ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以平面BCE∥平面AA1D.又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.。

直线、平面平行的判定【学习目标】1.掌握直线与平面平行的判定定理；2.掌握两平面平行的判定定理；3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题． 【要点梳理】【高清课堂：线面平行的判定与性质39945 知识讲解1】 要点一、直线和平面平行的判定文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.图形语言：符号语言：a α⊄、b α⊂，//a b //a α⇒. 要点诠释：（1）用该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件： ①直线a 在平面α外，即a α⊄； ②直线b 在平面α内，即b α⊂； ③直线a ，b 平行，即a ∥b ．这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立． （2）定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．要点二、两平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 图形语言：符号语言：若a α⊂、b α⊂，a b A =I ，且//a β、//b β，则//αβ. 要点诠释：（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行⇒面面平行．要点三、判定平面与平面平行的常用方法1．利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法． 2．利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行． 【典型例题】类型一、直线与平面平行的判定例1．已知AB ，BC ，CD 是不在同一平面内的三条线段，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CD 的中点，求证：AC//平面EFG ， BD//平面EFG ．【解析】 欲证明AC ∥平面EFG ，根据直线和平面平行的判定定理，只需证明AC 平行于平面EFG 内的一条直线，如右图可知，只需证明AC ∥EF ．证明：如右图，连接AC ，BD ，EF ，GF ，EG ． 在△ABC 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴AC ∥EF ， 又AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ， 于是AC ∥平面EFG ． 同理可证BD ∥平面EFG ．【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（1）在平面内寻找直线的平行线；（2）证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论．OO 1CDC 11A 1B 1例2．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一个平面内，P 、Q 分别为对角线AE 、BD 上的点，且AP=DQ ，如右图．求证：PQ ∥平面CBE ．证明：作PM ∥AB 交BE 于点M ，QN ∥AB 交BC 于点N ，则PM ∥QN ． ∴PM EP AB EA =，QN BQDC BD=． ∵AP=DQ ，∴EP=BQ ． 又∵AB=CD ，EA=BD ， ∴PM //QN ．∴四边形PMNQ 是平行四边形． ∴PQ ∥MN ．综上，PQ ⊄平面CBE ，MN ⊂平面CBE ， 又∵PQ ∥MN ，∴PQ ∥平面CBE ．【总结升华】证线面平行，需证线线平行，寻找平行线是解决此类问题的关键． 举一反三：【高清课堂：线面平行的判定与性质39945 例1】【变式1】在正方体1111ABCD A B C D -中，1O 是正方形1111A B C D 的中心，求证：1//AO 面1BC D ．证明：如图，取面ABCD 的中心O ，连1OC ．11//O C OC Q ，且11O C OC = ∴四边形11AOC O 是平行四边形11//AO OC ∴，又11OC BDC ⊂Q 平面 ∴1//AO 面1BC D【变式2】 已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC.【解析】证明线面平行，根据判定定理，作出平行四边形，利用平行四边形的性质，证明平面外直线与平面上的直线平行.证明：设PC 的中点为G ，连接EG 、FG ．∵F 为PD 中点，∴GF ∥CD 且GF=12CD ．∵AB ∥CD ，AB=CD ，E 为AB 中点，∴GF ∥AE ，GF=AE ，四边形AEGF 为平行四边形． ∴EG ∥AF ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC ．【总结升华】要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用．【变式3】 如右图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP=AB ，BP=BC=2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAD ； （2）求三棱锥E —ABC 的体积V ．【解析】（1）在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC ． 又BC ∥AD ，∴EF ∥AD ．又∵AD ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD ．（2）连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ，如下图， 则EG ⊥平面ABCD ，且12EG PA =． 在△PAB 中，AP=AB ，∠PAB=90°，BP=2， ∴2AP AB ==，22EG =． ∴1122222ABC S AB BC ∆=⋅=⨯⨯=， ∴112123323E ABC ABC V S EG -∆=⋅=⨯⨯=． 类型二、平面与平面平行的判定例3．如右图，已知正方体ABC D —A 1B 1C 1D 1，求证：平面AB 1D 1∥平面BDC 1．【解析】要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知：须在某一平面内寻找两条相交且都与另一平面平行的直线．证明：∵AB //A 1B 1，C 1D 1//A 1B 1，∴AB //C 1D 1， ∴四边形ABC 1D 1为平行四边形，∴AD 1∥BC 1． 又AD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1． 同理，BD ∥平面AB 1D 1，又BD ∩BC 1=B ，∴平面AB 1D 1∥平面BDC 1．【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是：（1）在第一个平面内找出（或作出）两条平行于第二个平面的直线；（2）说明这两条直线是相交直线；（3）由判定定理得出结论．例4．如右图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB ． 证明：连接MF ，∵M 、F 分别是A 1B 1、C 1D 1的中点，且四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴MF //A 1D 1．又A 1D 1//AD ，∴MF //AD ，∴四边形AMFD 是平行四边形，∴AM ∥DF ．∵DF ⊂平面EFDB ，AM ⊄平面EFDB ， ∴AM ∥平面EFDB ． 同理，AN ∥平面EFDB ．又AM 、AN ⊂平面AMN ，且AM ∩AN=A ， ∴平面AMN ∥平面EFDB ．【总结升华】应用判定定理时，一定要注意“两条相交直线”这一关键性条件，问题最终转化为证明直线和直线的平行．举一反三：【高清课堂：空间面面平行的判定与性质399113例1】【变式1】点P 是△ABC 所在平面外一点，123,,G G G 分别是△PBC ，△APC ，△ABP 的重心，求证：面123//G G G 面ABC .证明：连32,PG PG ，并延长分别交AB ，AC 于M ，Q ，连MQ .因为32,G G 为重心，所以M ，Q 分别为所在边的中点. 又直线PM ∩PQ =P ，所以直线PM ，PQ 确定平面PMQ , 在△PMQ 中，因为32,G G 为重心，所以323221PG PG G M G Q==，所以23//G G MQ . 因为23G G ⊄面ABC ，MQ ⊂面ABC ，23//G G MQ ，所以23//G G 面ABC 同理13//G G 面ABC ，因为13G G ⊂面123G G G ，23G G ⊂面123G G G ，13233G G G G G =I ，23//G G 面ABC ，13//G G 面ABC ，所以面123//G G G 面ABC .【变式2】 如右图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点D ，E 分别是BC 与B 1C 1的中点．求证：平面A 1EB ∥平面ADC 1．证明：由棱柱的性质知，B 1C 1//BC ，又D ，E 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以C 1E //DB ，则四边形C 1DBE 为平行四边形，因此EB ∥C 1D ，又C 1D ⊂平面ADC 1，EB ⊄平面ADC 1，所以EB ∥平面ADC 1．连接DE ，同理，EB 1//BD ，所以四边形EDBB 1为平行四边形，则ED //B 1B ． 因为B 1B //A 1A （棱柱的性质），所以ED //A 1A ，则四边形EDAA 1为平行四边形，所以A 1E ∥AD ，又A 1E ⊄平面ADC 1，AD ⊂平面ADC 1，所以A 1E ∥平面ADC 1．由A 1E ∥平面ADC 1，EB ∥平面ADC 1，A 1E ⊂平面A 1EB ，EB ⊂平面A 1EB ，且A 1E ∩EB=E ，所以平面A 1EB ∥平面ADC 1．【变式3】 已知在正方体''''ABCD A B C D -中 ，M ，N 分别是''A D ，''A B 的中点，在该正方体中作出过顶点且与平面AMN 平行的平面，并证明你的结论．【解析】与平面AMN 平行的平面有以下三种情况：下面以上图（1）为例进行证明：证明：∵四边形ABEM是平行四边形，∴BE∥AM，又BE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE．∵MN是'''MN B D，∆的中位线，∴//''A B D∵四边形''BD B D，∴MN∥BD，BDD B是平行四边形，∴//''又BD⊂平面BDE，MN⊄平面BDE，∴MN∥平面BDE．又AM、MN⊂平面AMN，且MN∩AM=M，由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDE．【巩固练习】1．下列说法中正确的是（ ）A ．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行B ．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行C ．如果一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行D ．如果两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行2．已知三条互相平行的直线a 、b 、c 中，a α⊂，,b c α⊂，则平面α、β的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．平行或相交 D ．重合3．已知m ，n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出下列三个命题：①////m m n n ββ⎧⇒⎨⊂⎩；②//m n n m ββ⎧⇒⎨⎩与异面与相交；③//////m n m n αα⎧⇒⎨⎩。

平面平行的判定及其性质羄直线、1.2.薂下列命题中，正确命题的是④.；肇①若直线I上有无数个点不在平面：.内，则I // ：•芆②若直线I与平面「平行，则I与平面「内的任意一条直线都平行；莁③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线I与平面「平行，则I与平面:.内的任意一条直线都没有公共点3.4. 芀下列条件中，不能判断两个平面平行的是____________ （填序号）肇①一个平面内的一条直线平行于另一个平面蚆②一个平面内的两条直线平行于另一个平面膃③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面聿④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案①②③5.5. 腿对于平面和共面的直线m n,下列命题中假命题是________________ （填序号）肇①若mL用,m丄n,贝V n / 、丄薁②若mil :- , n // :•，贝V m// n膂③若m二：z , n// :•，贝U m// n芇④若m n与：•所成的角相等，则m// n 答案①②④7.6. 膄已知直线a, b,平面「，则以下三个命题：芃①若a // b, b二：乂，则a //⑶袁②若a // b, a //芒,贝U b //芒;莆③若 a // ：•, b // :-,则 a // b.薅其中真命题的个数是答案09.7. 羅直线a//平面M直线b M那么a// b是b〃M的条件.蚀A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要11.12.蒆能保证直线a与平面〉平行的条件是， a// b p bu a， a//b肆A. a 広a, b u a， c//a，a//b，a//c蒃C. b u a£a，C^b， D e b 且AC=BD葿D. b u 口，A^a，B13.14. 薆如果直线a平行于平面?,则 _________a平行 B.平面〉内无数条直线与a平行蒇A.平面?内有且只有一直线与a平行的直线 D.平面〉内的任意直线与直线a都平行膅C.平面〉内不存在与15.15. 蒂如果两直线a// b,且a//平面〉,则b与〉的位置关系__________蚆A.相交B. b〃° c.匕匚口D.b〃°或b u°17.16. 薄下列命题正确的个数是______19.17. 蚃（1）若直线I上有无数个点不在平面a内,则I // al与平面a平行,则l与平面a内的任意一直线平行芁（2）若直线，那么另一条也与这个平面平行蚆（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行a和平面a内一直线b平行，则a // a羅（4 ）若一直线莄A.0个 B.1个 C.2个 D.3个21.22. 罿b是平面a外的一条直线，下列条件中可得出b/ a是肀A. b与a内的一条直线不相交 B. b与a内的两条直线不相交莅C.b与a内的无数条直线不相交 D.b与a内的所有直线不相交23.23. 螂已知两条相交直线a、b, a//平面a ,则b与a的位置关系肂A. b / a B.b与a相交 C.b」a D.b/ a或b与a相交25.24. 膀如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC, SGSAB上的高，D E、F分别是AC BC SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.螆解SG//平面DEF证明如下：薄方法一：三角形中位线连接CG交螁••• DE是厶ABC的中位线，芀••• DE// AB.腿在△ ACG中, D是AC的中点，羂且DH// AG薀• H为CG的中点.艿• FH是厶SCG的中位线，芄• FH// SG蚄又SG亿平面DEF FHU平面DEF,荿••• SG//平面DEF荿方法二：平面平行的性质蚅••• EF为厶SBC的中位线，• EF/ SB膂••• EF伉平面SAB SBu平面SAB莂• EF//平面SAB葿同理可证，DF//平面SAB EF A DF=F ,肆.••平面SAB/平面DEF,又SG二平面SAB • SG//平面DEF27.25. 袄如图所示，在正方体ABC—ABC1D1中，E、F、G H分别是BC CG、賺CD、A1A的中点.求证：蕿（1）BF/ HD;蒇（2）EG//平面BBDD;莁（3）平面BDF/平面BDH袀证明平行四边形的性质，平行线的传递性虿（1 ）如图所示，取BB的中点M易证四边形蚄又••• MC/ BF,「. BF/ HD.肃（2）取BD的中点0,连接E0, D0,贝U OE^蚈又DG& I DC• OE^ DG2蝿.••四边形OEGD是平行四边形，• GE// DO.肄又D 0-平面BB D D, • EG/平面BBD D.蒁（3）由（1）知DH// BF,又BD// BD, BD、HD =平面HBD, BF、BH 平面BDF,且BD A HD=D, DBA BF=B,「.平面BDF// 平面B D H.29.26. 螁如图所示，在三棱柱ABC-A i B C中，M N分别是BC和A i B i的中点. 衿求证：MN//平面AACC.蒅证明方法一：平行四边形的性质膃设AC中点为F,连接NF, FC,蒀••• N为A i B i中点,衿••• NF// BQ,且NF=^B C i,2祎又由棱柱性质知B i C i庄BC蚁又M是BC的中点，艿• NF MC羈.••四边形NFCM^平行四边形.芇• MIN/ CF,又CF 平面AA C i, MN二平面AA C ,• MIN/平面AAC C. 莃方法二：三角形中位线的性质节连接AM交C C于点P,连接A i P, 肇T M是BC的中点，且MC/ B i C i,莄• M是B i P的中点,肅又••• N为A B中点,肁• MN// A P,又 A PU 平面AA C , MW 平面AAC,：MIN/平面AACC.膈方法三：平面平行的性质 螅设BiG 中点为Q 连接NQ MQ ,薃•••M Q 是BG BG 的中点，袀•••MQ CG ,又 CGu 平面 AAGC, MQ 伉平面 AAGC, 芈•••MQ/平面 AA C i C.膆•••N 、Q 是A B i 、B i C 的中点,芅• NQ 二 AQ ,又 A i C 二平面 AAC C, NQ 二平面 AAC C, 蕿• NQ//平面 AA C i C.莈又••• MQ P NQB ,「.平面 MNQ 平面 AAC C, 薇又MN 二平面MNQ. MIN/平面AA C C.3 i .32.螂如图所示，正方体 ABC — A B i C D 中，侧面对角线 AB , BC 上分 别有两点 E , F ,且B E=C F. 蚁求证： EF //平面 ABCD 蒈方法一：平行四边形的性质螃过E 作ES// BB 交AB 于S,过F 作FT // BB 交BC 于 T ,蒄连接ST ,则-AE 更，且AB i B i B BC i C i C莀T B i E=C F , B A=CB,. AE=BF蒈•••旦,••• ES=FTB i B CC i膄又••• ES// B B// FT ,.四边形 EFTS 为平行四边形Bl ______ G袂•••EF// ST ,又 ST=平面 ABCD EFC ：平面 ABCD ： EF//平面 ABCD腿方法二：相似三角形的性质 薈连接BF 交BC 于点Q 连接AQ薅••• BQ // BC, • B 1L =圧BQ C 1B膂• EF // AQ 又 AQ=平面 ABCD EF 二平面 ABCD •- EF//平面 ABCD 蚇方法三：平面平行的性质 羆过E 作EG/ AB 交BB 于G,肂连接GF,则B 11史£ ,B 1A B 1B羁 TB i E=C i F , BA=CB ,螇••• C i E =B i G , • FG // B l C i // BC C 1B B i B 莇又 EG A FG P G , AB A BC=B ,螄.••平面 EFG/平面 ABCD 而EF 二平面EFG螀• EF//平面ABCD33.34.袇如图所示，在正方体 ABC — A B i C D 中，O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 的中点，设薄T B i E=C i F , BiA=GB,B L E B ,FB 1D B i QQ是CC上的点，问：当点Q在什么位置时，平面DBQ// 平面PAO蒄解面面平行的判定节当Q为CC的中点时，A B葿平面 DBQ//平面PAO羇••• Q 为CG 的中点，P 为DD 的中点，••• QB// PA袅：P 、O 为 DD 、DB 的中点，• DB// PO羄又 PO P PA=P , DB A QB=B , 薂DB //平面PAO QB//平面 PAO 肇.••平面 DBQ//平面PAO芆直线与平面平行的性质定理35.EFGH 为空间四边形ABCD 勺一个截面，若截面为平行四边形芀(1)求证：AB//平面 EFGH CD//平面 EFGH肇(2)若AB=4, CD=6,求四边形EFGH 周长的取值范围 蚆(1)证明•••四边形EFGH 为平行四边形，• EF// HG膃•••HX 平面 ABD • EF//平面 ABD 聿•••EF 平面 ABC 平面 ABD A 平面 ABCAB腿• EF// AB. • AB//平面 EFGH 肇同理可证，CD//平面EFGH薁⑵ 解 设EF=x (O v x v 4)，由于四边形 EFGH 为平行四边形,膂•••CF=x 则 FG = B F = B C -C F =1- x .从而 F G=6- 1 2 3x . •••四边形 EFGH 的周长 CB 4 6 BC BC 4 21 =2(x+6-5)=12- x.又0v x v 4,则有8v l v 12, •四边形 EFGH 周长的取值范围是(8,212) 37.36.莁如图所示，四边形 AC38.芇如图所示，平面：• //平面［，点A € :. , C €「，点B € 1 , D € ［，点E , F 分别在线 段 AB CD 上，且 AE ： EB=CF ： FD薆••• AC// DH, •••四边形 ACDH 是平行四边形, 蒇在AH 上取一点 G,使AG ： GH=CF ： FD,膅又••• AE ： EB=CF ： FD, • GF// HD EG// BH 蒂又EG A GFG, •平面 EFG//平面-蚆•••EF 平面 EFG •- EF / l 综上,EF// I薄（2）解三角形中位线膄（1）求证：EF / -; :. / :,:.门平面 ACDHAC,蚃 如图所示，连接 AD,取AD 的中点 M 连接 ME MF.芁••• E , F 分别为AB, CD 的中点，蚆••• ME// BD, MF// AC,羅且 M ^Z BGB , MF=LAC=2,2 2莄•••/ EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角），罿EMF=60。