2020全国百强名校领军考试高三数学理试题答案解析

2020全国100所名校高考模拟金典卷理科数学试卷理科数学试卷（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，[]{}2|log (2)(1)B x y x x ==-+，则A B =I （ ） A.[-2,2) B.(-1,1) C.(-1,1] D.(-1,2) 2.复数21iz i=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242, 16a S ==，则5a =（ ） A.10 B .12 C .13 D .144.给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件;②定义在[a, b]上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.35.已知点()2,3A ，且点B 为不等式组00260y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，所表示平面区域内的任意一点，则||AB 的最小值为（ ）A.12D.1 6.函数2()sin f x x x x =-的图象大致为（ ）A. B. C. D.7.3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ）A.2ln2B.ln2C.2D.18.执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内可以填入的条件是（ ） A.4?k > B .5?k > C.6?k > D.7?k >9.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察而画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分为五组，如图所示，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.现从这十个数中随机抽取4个数，则能成为两组的概率是（ ）A.13 B .110C.121D.125210.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ） A.2对B.3对C.4对D.5对11.已知直线:2l y x b =+被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()4,0，则MN 的最小值为（ ） A.C.12.已知数列{}n a 满足：()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. 设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则k 的最小整数值为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知A B C ，，为圆O 上三点，且2CO BA BC =-u u u r u u u r u u u r ，则BA BC ⋅=u u u r u u u r_____________.14.已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示,其中()01f =，5||2MN =，则点M 的坐标为_____________.15.如图，点A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，右焦点为()2,0F ，点P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则双曲线C 的方程为____________.16.已知在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，4BC CD BC CD AB AD ⊥====，，，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为____________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，sin ()sin sin a A a b B c C ++=，ABC △的面积S abc =. （1）求角C 的大小；（2）求ABC △周长的取值范围.18.如图，在多面体ABCGDEF 中，AB AC AD ，，两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC DG EF ∥∥，且12AC EF DG ===，.（1）证明：CF ⊥平面BDG . （2）求二面角F BC A --的余弦值.19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推岀两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次，每次收取维修费2000元； 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次，每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，如下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X 表示准备购买的2台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数. （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更划算？20.已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为()1,0F ，，过点F 的直线l 与C 相交于A B 、两点，点M 为线段AB 的中点.（1）当l 的倾斜角为45︒时，求直线OM 的方程；（2）试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--. （1）判断函数()f x 的单调性； （2）已知数列{}n a ，()*123ln(1),1n n n n a T a a a a n n +==∈+N L L ，求证：[]ln (2)12n nn T +<-. （二）选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为24sin 5ρρθ=+. （1）写出曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若P Q ，分别为曲线12C C ，上的动点，求PQ 的最大值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2||36|f x x x =-++. （1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值.1.答案 B命题意图 本题考查解不等式与集合的运算. 解题分析 不等式201x x +≤-，等价于()()210x x +-≤且10x -≠，解得21x -≤<，即集合{}|21A x x =-<„ ，函数2log [(2)(1)]y x x =-+的定义域为(2)(1)0x x -+>，解得12x -<<，即集合{|12}B x x =-<<，所以()1,1A B =-I .2答案B命题意图 本题考查复数的运算及几何意义. 解题分析 由222(1)111i i i z i i i +===-+--，知对应点的坐标为()1,1-，所以对应点在第二象限. 3.答案D命题意图 本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式.解题分 由题意得211412246164a a d a S a d d =+=⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎪⎩⎩，则524414a =-+⨯=.4.答案 C命题意图 本题考查命题及充分、必要条件. 解题分析 对于①，当4x π=时，一定有tan 1x =但是当tan 1x =时，,4x k k ππ=+∈Z ，所以“tan 1x =”是“4x π=”的必要不充分条件，所以①不正确；对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域为[],a b ，所以5b =， 所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为(5)(5)30f f -==，所以②正确； 对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+R …”的否定形式是“1,2x x x∀∈+<R ”，所以③是错误的； 故错误说法的个数为2. 5.答案 C命题意图 本题考查线性规划及点到直线的距离公式.解题分析 结合不等式，绘制可行域，如图.由0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，即()2,2C ，点A 的位置如图所示，计算A 点到该区域的最小值，即计算点A 到直线260x y +-=的距离，所以min ||AB ==6.答案 A命题意图 本题考查函数的奇偶性与单调性，函数导数的应用.解题分析()f x 为偶函数，排除选项B ；2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-， 则()1cos 0g x x '=-≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=， 所以当0x >时，()()0f x xg x =>，且()f x 单调递增，故选A 项. 7.答案 A命题意图 本题考查二项式定理及定积分.解题分析根据二项式3ax ⎛ ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4111111d d ln 2ln 2ax x x xx ===⎰⎰.8.答案 B命题意图 本题考查程序框图.解题分析 模拟执行如图所示的程序框图如下：1,1k S ==； 2,4k S ==； 3,11k S ==； 4,26k S ==； 5,57k S ==；6,120k S ==，此时满足条件5k >，输出120S =. 所以判断框内可以填入的条件是5?k >. 9.答案 C命题意图 本题考查古典概型.解题分析 现从这十个数中随机抽取4个数,基本事件总数140n C =，能成为两组包含的基本事件个数52m C =，则能成为两组的概率25410121C m P n C ===.10.答案 C命题意图 本题考查三视图，线面垂直和面面垂直的判定.解题分析 该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，易知平面PAD ⊥平面ABCD ，作PO AD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABCD ，PO CD ⊥，又AD CD ⊥，所以CD ⊥平面PAD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ，同理可证平面PAB ⊥平面PAD ，由三视图可知PO AO OD ==，所以AP PD ⊥，又AP CD ⊥，所以AP ⊥平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD ，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.11.答案 C命题意图 本题考查抛物线方程及过焦点的弦.解题分析 由题意得22224(42)02y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 则()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫=+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又直线l 经过C 的焦点，则22b p-=，b p ∴=-. 由此解得2p =，所以抛物线方程为24y x =.设()00,M x y ，则204y x =， ()()()2222200000||444212MN x y x x x ∴=-+=-+=-+，故当02x =时，||MN取得最小值.12.答案 A命题意图 本题考查数列的综合应用. 解题分析 当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列， 11n n S ∴=-，1n n S n +=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ， 得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭， 依题意知(1)()f n k f n +>， min 2k ∴=.13.答案0命题意图 本题考查平面向量的数量积.解题分析 11()22CO BA BC CA =-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴圆心O 为线段AC 的中点，因而90ABC ∠=︒，故0BA BC ⋅=u u u r u u u r .14.答案 ()1,2-命题意图 本题考查三角函数的图象及解析式.解题分析 函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示.(0)2sin 1f ϕ==Q ，56πϕ=Q .又5||2MN ==3πω∴=，即函数5()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令52sin 236x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合图象得5362x πππ+=，解得1x =-，故点M 的坐标为()1,2-. 五步导解 解↔答15.答案 221x y -=命题意图 本题考查双曲线的标准方程、离心率和渐近线方程.解题分析 由题意可得(),0A a ，又A 为线段OB 的中点，所以(2,0)B a ，令2x a =，代入双曲线的方程可得y =，可设()2,3P a b -，由题意和结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -，即||2AP a =，即2a =a b =，又c =222a b c +=，得1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=.16.答案 36π命题意图 本题考查多面体与球.解题分析 如图取BD 的中点E ，连接AE CE ，，则AE BD CE BD ⊥⊥，. Q 平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，AE ∴⊥平面BCD .又CEC Q 平面BCD ，AE CE ∴⊥.设ABD △的外接圆的圆心为O ，半径为r .AB AD ∴=， ∴圆心O 在AE 所在的直线上，22222()r BE OE BE r AE ∴=+=+-. Q在Rt BCD △中，BD =BE EC ∴==在Rt ABE △中，2AE ，()2282r r ∴=+-，解得，3,1r OE =∴=. Q在Rt OEC △中，3OC ==，3OA OB OC OD ∴====，∴点O 是三棱锥A BCD -的外接球的球心，且球的半径3R =，∴球的体积34363V R ππ==.17.命题意图 本题考查正、余弦定理及三角恒等变换.解题分析（1）由sin ()sin sin a A a b B c C ++=及正弦定理得222a b ab c ++=，又由余弦定理得1cos 2C =-，23C π∴=. （2）由1sin 2S abc ab C ==，可知2sin c C =，2sin ,2sin a A b B ∴==，ABC △的周长为1(sin sin sin )2a b c A B C ++=++1sin sin 23A A π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11sin sin 22A A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11sin 22A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1sin 23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 3A π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，ABC ∴△周长的取值范围为⎝⎦.18.命题意图 本题考查空间点线、面关系及线面垂直、二面角.解题分析（1）证明：因为AB AC AD ，，两两垂直，AC DG AB DE ∥，∥， 所以DG AD DG DE ⊥⊥，，所以DG ⊥平面ABED ，因为AE ⊂平面ABED ，所以DG AE ⊥，因为四边形ABED 为正方形，所以AE BD ⊥，因为BD DG D =I ，所以AE ⊥平面BDG ，因为AC EF ∥所以四边形AEFC 为平行四边形，所以AE CF ∥，所以CF ⊥平面BDG .（2）由（1）知DE DG DA ，，互相垂直，故以D 为坐标原点，以DE DG DA ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,1,2),(2,1,0)D A B C F ， 所以(0,1,2),(2,1,0)FB CB =-=-u u u r u u u r.设(),,m a b c =u r 为平面BCF 的法向量，则2020m FB b c m CB a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ， 令1a =，则21b c ==，，所以()1,2,1m =u r.又因为AD ⊥平面ABC ，所以()0,0,2DA =u u u r为平面ABC 的一个法向量，所以()cos ,m DA ==u r u u u r 由图可知二面角F BC A --是钝角，所以二面角F BC A --的余弦值为. 19.命题意图 本题考查离散型随机变量的期望和方差以及方案的确定. 解题分析 （1）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6111(0)1010100P X ==⨯=，111(1)210525P X ==⨯⨯=，11213(2)25551025P X ==⨯+⨯⨯=， 131211(3)2210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，22317(4)25510525P X ==⨯+⨯⨯=， 236(5)251025P X ==⨯⨯=，339(6)1010100P X ==⨯=，X ∴的分布列为（2）所选延保方案一，所需费用1Y 元的分布列为()117117697000900011000130001500010720100502525100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 选择延保方案二，所需费用2Y 元的分布列为()267691000011000120001042010025100E Y =⨯+⨯+⨯=（元）()()12E Y E Y >Q ，∴该医院选择延保方案二较划算.20.命题意图 本题考查椭圆有关的定值、定点问题.解题分析由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，故椭圆方程为2212x y +=. 设()()1122,,,A x y B x y ，易知直线l 的方程为1x y =+，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23210y y +-=， 于是12122313y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩， 从而1212423x x y y +=++=，故211,,332CM M k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以直线OM 的方程为12y x =-. （2）①当直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线l 的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()222210m y my ++-=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 所以()()()()()210201************OA QB x x x x y y my my x my my x y y =⋅=--+=++-++++u u u r u u u r ()()()()()2222121200000022121121112122m m y y m y y x x x m m x x x m m --=+⋅++-+-+=+⋅+⋅-+-+=++ ()202002231212x m x x m --+-++， 由023112x --=，得054x =， 故此时点57,0,416Q QA QB ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ； ②当直线l 的斜率为0时，2257416QA QB ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r . 综上，在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值. 21.命题意图 本题考查导数综合.解题分析 （1）()f x 的定义域为()1,-+∞，()2ln(1)2f x x x '=+-.设()()212g x ln x x =+-. ∵2()1x g x x -'=+，∴当()1,0x ∈-时，()0g x '>；当,()0x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在()1,0-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，∴()g x 在0x =处取得最大值.又∵()00g =，∴对任意的1,()x ∈-+∞，()()00g x g ≤=恒成立，即对任意的1,()x ∈-+∞，都有()f x ' ()2120ln x x =+-≤恒成立，故()f x 在定义域()1,-+∞上是减函数.（2）由()f x 是减函数，且()00f =可得，当0x >时，()0f x <，∴()0f n <，即22(1)ln(1)2n n n n ++<+，两边同除以22(1)n +得ln(1)121211n n n n n n ++<⋅⋅+++，即12211n n n a n n +<⋅⋅++， 从而1231112334521222341234121n n n n n n n T a a a a n n n +++⎛⎫⎛⎫=⋅<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⋅L L L ， 所以[]21(2)ln (2)ln 2ln(2)ln(1)(1)ln 22(1)n n n n T n n n n +⎡⎤++<=+-+-+⎢⎥+⎣⎦. ① 下面证2ln(2)ln(1)(1)ln 2102n n n n +-+-++-<. 记()2ln(2)ln(1)(1)ln 212x h x x x x =+-+-++-，[1,)x ∈+∞， ∴2211111()ln 2ln 2ln 2221232223x h x x x x x x x'=--+=-+=-+++++++. ∵2y x x=+在[2,)+∞上单调递减，而1111(2)ln 2(23ln 2)(2ln8)06233h '=-+=-=-<， ∴当[2,)x ∈+∞时，()0h x '<恒成立，∴()h x 在[2,)+∞上单调递减，即[2,)x ∈+∞，()(2)2ln 4ln33ln 2ln 2ln30h x h =--=-<„，∴当2n …时，()0h n <.∵19(1)2ln3ln 22ln 2ln 028h =---=-， ∴当*n ∈N 时，()0h n <，即2ln(2)ln(1)(1)ln 212n n n n +-+-+<-. ② 综合①②可得，[]ln (2)12n n n T +<-. 22.命题意图 本题考查参数方程、极坐标方程的应用及两点间距离的求法.解题分析 （1）曲线1C 的普通方程为22149x y +=， 曲线2C 的直角坐标方程为2245x y y +=+，即22(2)9x y +-=.（2）设P 点的坐标为(2cos ,3sin )θθ.2||333PQ PC +„，当sin 1θ=-时，max ||538PQ =+=.23.命题意图 本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式.解题分析 （1）44,2()|2||36|28,22,44,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-⎨⎪+>⎩剟当2x <-时，4434x x -≥-+，即8x ≤-；当22x -≤≤时，2834x x +≥-+，即45x ≥-，可得425x -≤≤； 当2x >时，4434x x +≥-+，即0x ≥，可得2x >， ∴不等式的解集为4|8 5x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或 . （2）根据函数44,2()28,22,44,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可知当2x =-时，函数取得最小值(2)4f -=，可知4a =， 8,0,0m n m n ∴+=>>,11111111()11(22)8882n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=⋅++=⋅++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…> 当且仅当n m m n =，即4m n ==时，取“=”，∴11m n +的最小值为12.。

【百强名校】衡水金卷2020届全国高三上学期大联考理数第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为（）A. B. C. D.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）学|科|网...学|科|网...A. B. C. D.5. 已知双曲线：（，）的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6. 已知数列为等比数列，且，则（）A. B. C. D.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为，则①中应填（）A. B. C. D.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是（）A. B. C. D.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.10. 已知函数（，）的部分图像如图所示，其中.记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则以下判断正确的是（）A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（）A. B. C. D.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，，若，恒成立，则的最小值是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则__________.14. 已知（）的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为、，则的最小值为__________.15. 已知，满足其中，若的最大值与最小值分别为，，则实数的取值范围为__________.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑中平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数，.（1）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，侧面平面，且，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）经常使用网络外卖偶尔或不用网络外卖合计男性50 50 100女性60 40 100合计110 90 200（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：0.15 0.10 0.05 0.025 0.0102.072 2.7063.841 5.024 6.63520. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，其离心率为，短轴长为. （1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.21. 已知函数（，），其中为自然对数的底数.（1）讨论函数的单调性及极值；（2）若不等式在内恒成立，求证：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中中，已知曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.23. 已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的值域为，若，证明：.衡水金卷2020届全国高三大联考理数第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】..................................所以,.故选C.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故的虚部为-3，即.故选B.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，故.故选C.4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率为，设军旗的面积为S，由题意可得：.本题选择B选项.5. 已知双曲线：（，）的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆：的圆心为，双曲线的渐近线为.依题意得.故其离心率为.故选A.6. 已知数列为等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，得，所以.由,得，或（由于与同号，故舍去）.所以..故选A.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为，则①中应填（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由图，可知.故①中应填.故选C.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数是奇函数，则，即当时，，构造函数，满足，则函数是偶函数，则，当时，，据此可得：，即偶函数在区间上单调递减，且：，结合函数的单调性可得：，即：.本题选择D选项.点睛：对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体，故其体积.故选A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10. 已知函数（，）的部分图像如图所示，其中.记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则以下判断正确的是（）A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【答案】D【解析】由，可得.解得.因为，所以，故为真命题；将图象所有点向右平移个单位，得.的图象，故为假命题，所以为假，为真，为假，为真.故选D.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，得，即.由抛物线的光学性质可知经过焦点，设直线的方程为，代入.消去，得.则，所以..将代入得，故.故.故的周长为.故选B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，，若，恒成立，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，，两式子做差得到，故数列是等差数列，由等差数列的通项公式得到，故，故裂项求和得到，由条件恒成立，得到K的最小值为．故答案选B．点睛：本题考查到了通项公式的求法，从而得到数列是等差数列，再求出，根据裂项求和的方法可以求出前n项和。

学霸学习提醒一、课本是最好的老师。

要注重基础，反复研读课本，巩固基础知识。

二、要养成良好的学习习惯。

良好的学习习惯是高效率掌握知识的保障。

三、要保持良好的学习状态，自信踏实，刻苦努力，以饱满的精神迎接新一天的挑战。

四、课堂上：专心听讲是第一位。

事实证明，自以为是的确是不好的习惯。

同样的例题，自己看懂与听老师讲懂是完全不同的两种效果。

五、建议同学们在课外多投入些时间做题，并且要从心里重视数学。

还应该准备一个错题本，老老实实地将每次错过的题抄在上面，并写上正确的解题思路，变不懂为精通。

特别提醒：请学习稍差的同学一定不要放弃，哪怕到最后一学期，也不能放弃。

只要按照老师说的去做，只要塌实地付出了，就一定会有奇迹出现。

永远不要放弃拼搏，因为奇迹只发生在相信奇迹存在的人身上！！！河南省八市重点高中联盟2020届高三数学9月领军考试试题 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}2|2A x x x =…，{|14}B x x =<<，则A B =I （ ） A. (,4)-∞ B. [0,4)C. (1,2]D. (1,2)【答案】C 【解析】 【分析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可．【详解】解：∵A {x |0x 2}=≤≤，B {x |1x 4}=＜＜，∴A B 12]⋂=（，． 故选：C ．【点睛】考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.已知复数z 的共轭复数为z ，若11z z i-=+，则z 在复平面内对应的点为（ ） A. (2,1)-- B. (2,1)-C. (2,1)-D. (2,1)【答案】A 【解析】 【分析】设R z x yi x y =+∈（，），代入11z z i-=+，整理后利用复数相等的条件列式求得x y ，的值，则答案可求．【详解】解：设R z x yi x y =+∈（，），由11z z i-=+，得()()11x yi i x yi -+=+-, 即()()1x y x y i x yi ++-=-+，则1x y x x y y+=-⎧⎨-=⎩，解得2,1x y =-=-.∴z 在复平面内对应的点为()2,1--， 故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题．3.已知命题:p x y ∃<，使得x x y y …，则p ⌝为（ ） A. x y ∃≥，使得x x y y …B. x y ∀…，x x y y < C. x y ∃<，使得x x y y < D. x y ∀<，总有x x y y <【答案】D 【解析】 【分析】利用特称命题的否定性质即可得到.【详解】因为命题:p x y ∃<，使得x x y y …所以命题p ⌝：x y ∀<，总有x x y y < 故答案为D【点睛】本题主要考查了特称命题否定的形式，属于基础题.4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A. 134 B. 135 C. 136 D. 137【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数.【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.5.函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性可排除B ，结合导数对函数2ln x x y x=在(0,)+∞的单调性即可得出答案。

2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学（理）试题一、单选题 1．复数312112i ii +++-的模为（ ） A ．1 B 3C 5D ．5【答案】C【解析】对复数进行计算化简，然后根据复数的模长公式，得到答案. 【详解】 根据题意，31211211212i i i ii i +++++=+-+ (12)(1)122i i i+-+=+3122i i++=+2i =+，所以22|2|215i +=+=故选：C. 【点睛】本题考查复数的四则运算，求复数的模长，属于简单题.2．集合{|3}A x x =≤，(){}22|log 2,B x y x x x R ==-+∈，则A B ＝ð（ ） A ．{|0}x x ≤ B ．{|2 3 0}x x x ≤≤≤或 C ．{|23}x x ≤≤ D ．{|03}x x ≤≤【答案】B【解析】对集合B 进行化简，然后根据集合的补集运算，得到答案. 【详解】因为(){}22|log 2,B x y x x x ==-+∈R{}2|20,x x x x =-+>∈R{}|02,x x x =<<∈R ，因为集合{|3}A x x =≤所以{|2 3 0}A B x x x =≤≤≤或ð. 故选：B. 【点睛】本题考查解对数不等式，一元二次不等式，集合的补集运算，属于简单题.3．已知向量(3,4)a =r ，则实数1λ=是||5a λ=r 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先求出a r ，然后分别判断由1λ=能否得到||5a λ=r ，和由||5a λ=r能否得到1λ=，从而得到答案. 【详解】因为向量(3,4)a =r ，所以22345a =+=r因为1λ=，所以可得5a a λλ==r r，所以1λ=是||5a λ=r的充分条件. 因为||5a λ=r，所以||||5a λ=||1λ=即1λ=±.所以1λ=是||5a λ=r的不必要条件.综上所述，实数1λ=是||5a λ=的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题.4．已知函数32,0()log ,0x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则不等式()1g x <的解集为（ ）A ．(0,2)B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．(1,2)【答案】C【解析】按0x ≤和0x >，分别解不等式()1g x <，从而得到答案. 【详解】根据题意，32,0,()log ,0,x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，由不等式()1g x <得310x x ⎧-<⎨≤⎩或2log 10x x <⎧⎨>⎩，， 所以10x -<≤或02x <<. 即12x -<<所以不等式()1g x <的解集为(1,2)-. 故选：C. 【点睛】本题考查解分段函数不等式，解对数不等式，属于简单题. 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视图 A ．43 B ．23C ．32-D ．34-【答案】C【解析】根据三视图还原出几何体的直观图，将几何体分为三棱锥E ABC -和三棱锥E ACD -两部分，根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高，求出几何体的体积. 【详解】该几何体的直观图如下图，平面ACD ⊥平面ABC ，DE P 平面ABC ，ACD V 与ACB △均是边长为2的等边三角形，2BE =，点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上， 所以DE ⊥平面ACD ， 所以1313E ABC ABC V S -∆=⨯=， 13E ACD ACD V S DE -=⨯⨯V 13(31)3=31=，所以几何体的体积为32. 故选：C. 【点睛】本题考查三视图还原结合体，根据三视图求几何体的体积，属于中档题. 6．函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为（ ） A ．1112B ．3316C ．3516D ．12548【答案】D【解析】对()f x 求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，然后求出切线与()g x 的交点坐标，利用定积分求出围成的封闭图形的面积，得到答案. 【详解】由题意，22()(1)f x x '=--，221(3)(31)2f '∴=-=--，所以切线方程为270x y +-=，与2()2g x x =+的交点横坐标为132x =-，21x =. 故封闭图形的面积13227222x S x dx -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰ 3122231323311d 22243x x x x x x --⎛⎫⎛⎫=⎰--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12548=故选：D. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程，定积分求封闭图形的面积，属于中档题. 7．已知数列满足11a =，121n n a a +=+，设数列(){}2log 1n a +的前n 项和为n S ，若12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+，则与9T 最接近的整数是（ ） A ．5 B ．4C ．2D ．1【答案】C【解析】根据递推关系式121n n a a +=+，得到1121n n a a ++=+，得到{}1n a +的通项，从而得到(){}2log 1na +的通项和前n 项和nS，从而求出n T ，再得到9T ，从而得到答案.【详解】由题意，()112221n n n a a a ++=+=+，所以1121n n a a ++=+， 所以{}n a 为以112a +=为首项，2为公比的等比数列， 所以()11112n n a a -+=+2n =，因此()2log 1n a n +=，数列(){}2log 1n a +的前n 项和为(1)2n n n S +=， 12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，12111n nT S SS =++⋅⋅⋅+ 11111212231n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以995T =. 所以与9T 最接近的整数是2. 故选：C. 【点睛】本题考查构造法求数列的通项，等差数列前n 项和公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.8．已知函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[2,)+∞ B ．(1,0)(2,)-+∞U C ．(1,2]-D ．(1,0)-【答案】D【解析】画出()y f x =的图像，然后得到()y f x =的图像和y m =的图像有两个交点，从而得到m 的取值范围. 【详解】根据函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，画出()f x 的图象如图所示，函数()()g x f x m =-有两个零点则函数()y f x =的图象与y m =的图象有2个交点， 所以10m -<<，所以实数m 的取值范围为(1,0)-. 故选：D. 【点睛】本题考查画分段函数的图像，函数与方程，属于简单题. 9．如果函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞，则14m n +的最小值为（ ） A ．92B ．2C ．1D ．34【答案】A【解析】由()f x 单调递增区间为[1,)+∞，得到对称轴方程21n m--=，即2m n +=，再根据基本不等式求出14m n+的最小值，得到答案. 【详解】因为函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞ 所以对称轴为：21n m--=，即2m n +=， 所以14114()2m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1452m n n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭14(522m n n m≥+⋅92=，当且仅当2,3m =43n =时，等号成立. 故选：A. 【点睛】本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系，基本不等式求和的最小值，属于简单题. 10．已知3sin()1223πα-=则sin(2)6πα+= （ ）A ．710-B ．710C ．79-D ．79【答案】C【解析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解. 【详解】21cos()12sin ()61223ππαα-=--=,(2)cos[(2)]cos(2)6263sin ππππααα+=-+=-272()169cos πα=--=-,故选C.【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.11．如图，在三角形ABC 中，AC 上有一点D 满足4BD =，将ABD △沿BD 折起使得5AC =，若平面EFGH 分别交边AB ，BC ，CD ，DA 于点E ，F ，G ，H ，且AC P 平面EFGH ，BD P 平面EFGH 则当四边形EFGH 对角线的平方和取最小值时，DHDA=（ ）A ．14B ．1641C ．2041D ．3241【答案】B【解析】易得HG AC P ，EF AC P ，设DH GHk DA AC==，易得∥EH BD ，∥FG BD ，得1AH EHk DA BD==-，从而得到5GH k =，4(1)EH k =-，平行四边形EFGH 中，()2222413216EG HF k k +=-+，从而得到22EG HF +最小时的k 值，得到答案.【详解】AC P 平面EFGH ，AC ⊂平面ACD ，平面ACD I 平面EFGH HG =， 所以AC HG P ，同理AC EF P设DH GHk DA AC==(01)k <<， BD P 平面EFGH ，BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFGH HE =， 所以BD HE P ，同理∥FG BD所以1AH EHk DA BD==-， 因为4BD =，5AC =所以5GH k =，4(1)EH k =-， 在平行四边形EFGH 中，222222516(1)EG HF k k ⎡⎤∴+=+-⎣⎦(22413216)k k =-+， 又01k <<Q ，∴当1641k =时，22EG HF +取得最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查线面平行证明线线平行，平行四边形对角线的性质，二次函数求最值，属于中档题. 12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，(2018)2f =，任意的[1,2]t ∈，函数32(2)()(2)2f m g x x x f x ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦在区间(,3)t 上存在极值点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．37,53⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(9,5)--C ．37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．37,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据(2)()0f x f x ++=得到()f x 周期为4，再求得()()220182f f ==，得到()g x ，求导得到()g x '，判断出()0g x '=的两根一正一负，则()g x 在区间(,3)t 上存在极值点，且[]1,2t ∈，得到()g x '在(),3t 上有且只有一个根，从而得到关于t 的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于m 不等式组，解得m 的范围. 【详解】由题意知，(2)()f x f x +=-，(4)()f x f x ∴+=，所以()f x 是以4为周期的函数，(2018)(2)2f f ∴==，所以322()22m g x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭32222m x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求导得2()3(4)2g x x m x '=++-， 令()0g x '=，23(4)20x m x ∴++-=，2(4)240m ∆=++>，由12203x x =-<， 知()0g x '=有一正一负的两个实根. 又[1,2],t ∈(,3)x t ∈，根据()g x 在(,3)t 上存在极值点，得到()0g x '=在(,3)t 上有且只有一个正实根.从而有()0(3)0g t g ''<⎧⎨>⎩，即23(4)2027(4)320t m t m ⎧++-<⎨++⨯->⎩恒成立，又对任意[1,2]t ∈，上述不等式组恒成立，进一步得到2311(4)20,322(4)20,273(4)20,m m m ⨯+⨯+-<⎧⎪⨯+⨯+-<⎨⎪+⨯+->⎩所以59373m m m ⎧⎪<-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩故满足要求的m 的取值范围为：3793m -<<-. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题.二、填空题13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,1)A -，(0,3)B ，(3,0)C ，3BD DC =u u u r u u u r，则OA OD ⋅=u u u r u u u r________.【答案】32-【解析】将3BD DC =u u u r u u u r 转化为3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得到OD uuu r的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算，得到答案. 【详解】因为3BD DC =u u u r u u u r，所以3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()134OD OC OB =+u u u r u u u r u u u r 93,44⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1OA =-u u u r所以9344OA OD ⋅=-+u u u r u u u r 32=-.故答案为：32-.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示，属于简单题.14．已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则11y z x +=+的最小值为________.【答案】13【解析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，从而得到斜率的最小值，得到答案. 【详解】因为已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，画出可行域，如图所示，11y x ++表示点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，所以可得当直线过点A 时，z 最小，由0240y x y =⎧⎨+-=⎩得2,0,x y =⎧⎨=⎩所以z 的最小值为011213+=+. 故答案为：13. 【点睛】本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.15．如图，底面ABCD 为正方形，四边形DBEF 为直角梯形，DB EF ∥，BE ⊥平面ABCD ，2AB BE ==，2BD EF =，则异面直线DF 与AE 所成的角为________.【答案】6π 【解析】设正方形ABCD 的中心为O ，可得OE DF ∥，得到直线DF 与AE 所成角为AEO ∠（或其补角），根据余弦定理，可得cos AEO ∠的值，从而得到答案. 【详解】 如图，设正方形ABCD 的中心为O ，连接AO ，EO ， 则12OD BD =因为DB EF ∥，2BD EF = 所以EF OD P ，EF OD = 所以DFEO 为平行四边形， 所以OE DF ∥，所以直线DF 与AE 所成角等于OE 与AE 所成的角，即AEO ∠（或其补角）， 因为2,AE =2,OA =6OE =在三角形AEO 中，根据余弦定理，可知2223cos 2EO EA AO AEO EO EA +-∠==⋅， 所以6AEO π∠=.故答案为：6π. 【点睛】本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题. 16．已知函数()4cos sin 33f x x x πωω⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(0)>ω在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，无最大值，则ω=________. 【答案】73【解析】先对()f x 进行整理，得到()2sin 23f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，得到743k ω=+，然后根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭无最大值，得到周期的范围，从而得到ω的范围，确定出ω的值. 【详解】()4cos sin 33f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭134cos sin cos 322x x x ωωω⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭)22sin cos 32cos 1x x x ωωω=+-sin 232x x ωω=2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，依题意，则322,432k ππωππ⨯+=+k Z ∈， 所以743k ω=+()k ∈Z . 因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 所以342πππω-≤，即6ω≤， 令0k =，得73ω=. 故答案为：73ω=. 【点睛】本题考查二倍角公式，辅助角公式化简，根据正弦型函数的最值和周期求参数的值，属于中档题.三、解答题17．已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，149a a +=，238a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n S ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=；（2）1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-【解析】（1）根据等比数列23148a a a a ==，解出1a 和4a 的值，从而得到公比q ，得到{}n a 的通项公式；（2）根据（1）得到n S ，再利用错位相减法和分组求和的方法求出{}n n S ⋅的前n 项和n T . 【详解】（1）由题意，1423149,8,a a a a a a +=⎧⎨==⎩ 解得11,a =48a =或18,a =41a =； 而等比数列{}n a 递增，所以11,a =48a =，故公比4312a q a ==，所以12n n a -=. （2）由（1）得到12n S =++…1221n n -=-， 所以()*21n n S n ⋅=-2n n n =⋅-，23122232n T =⨯+⨯+⨯+…2(12n n +⋅-++…)n +，设23122232t =⨯+⨯+⨯+…2n n +⋅，2342122232t =⨯+⨯+⨯+…12n n ++⋅，两式相减可得，23222t -=+++ (1)22n n n ++-⋅()1212212n n n +-=-⋅-故1(1)22n t n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-. 【点睛】本题考查等比数列通项基本量的计算，分组求和的方法，错位相减法求数列的前n 项的和，属于简单题.18．已知函数321()3f x x ax bx =-+(),a b ∈R 在区间(1,2)-上为单调递减函数. （1）求+a b 的最大值；（2）当2a b +=-时，方程2135()32b f x x +=+有三个实根，求b 的取值范围. 【答案】（1）32-；（2）123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求得()f x '，根据()f x 在区间(1,2)-上为减函数，得到(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立，从而得到关于a ，b 的约束条件，画出可行域，利用线性规划，得到+a b 的最大值；（2）根据2a b +=-，得到b 的范围，设2135()()32b h x f x x +=--，求导得到()h x '，令()0h x '=得到x b =或1x =，从而得到()h x 的极值点，根据()h x 有3个零点，得到b 的不等式组，解得b 的范围. 【详解】（1）2()2f x x ax b '=-+， 因为()f x 在区间(1,2)-上为减函数，所以(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立即120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩，画出可行域如图所示：设z a b =+，所以b a z =-+，z 表示直线l ，b a z =-+在纵轴上的截距.当直线:l b a z =-+经过A 点时，z 最大， 由120,440,a b a b ++=⎧⎨-+=⎩所以12a =，2b =- 故z a b =+的最大值为13222-=-. （2）由2a b +=-得2a b =--代入120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩可得1235b -≤≤-， 令2135()()32b h x f x x +=--32111323b x x bx +=-+-， 故由2()(1)h x x b x b '=-++(1)()0x x b =--=，得x b =或1x =，所以得到()h x 和()h x '随x 的变化情况如下表：x (,)b -∞ b(,1)b 1(1,)+∞ ()h x ' +-+()h xZ极大值32111623b b -+- ]极小值12b -要使()h x 有三个零点，故需321110,62310,2b b b ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 即()2(1)220,1,b b b b ⎧---<⎪⎨<⎪⎩ 解得13b <， 而12135>-所以b 的取值范围是123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点，根据函数的单调性求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足cos cos 2cos ca Bb A C+=，且BC 边上一点P 使得PA PC =. （1）求角C 的大小； （2）若3PB =，357sin BAP ∠=ABC V 的面积. 【答案】（1）3C π=；（253【解析】根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到cos C 的值，从而得到C 的值；（2）根据条件得到APC △为等边三角形，从而得到23APB ∠=π，根据正弦定理，得到AB 的值，根据余弦定理，得到AP 的长，根据三角形面积公式，得到答案.【详解】（1）因为cos cos 2cos ca Bb A C+=在ABC V ，由正弦定理sin sin sin a b cA B C== 所以得2cos (sin cos sin cos )C A B B A +sin C =. 所以2cos sin()sin C A B C +=. 即2cos 1C = 所以1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=（2）由（1）知3C π=，而PA PC =APC △为等边三角形.由于APB ∠是APC △的外角， 所以23APB ∠=π. 在APB △中，由正弦定理得2sin sin3PB ABBAPπ=∠， 2357sin 3ABπ=，所以19AB =所以由余弦定理得，2222co 23s AB PA PB PA PB π=+-⋅， 即21993PA PA =++， 所以2PA =，故235BC =+=，2AC =， 所以11353sin 2522ABC S CA CB C =⋅⋅=⨯⨯=V . 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.20．如图，在四棱锥1A ABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ︒∠=，AB DC P ，2DC AB =24AD ==，12AA =且O 为BD 的中点，延长AO 交CD 于点E ，且1A 在底ABCD内的射影恰为OA 的中点H ，F 为BC 的中点，Q 为1A B 上任意一点.（1）证明：平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）求平面1A OE 与平面1A DC 所成锐角二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（25【解析】（1）根据1A H ⊥平面ABCD ，得到1A H EF ⊥，由平面几何知识得到EF AE ⊥，从而得到EF ⊥平面1A OE ，所以所以平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，得到平面1A DC 和平面1A OE 的法向量，利用向量的夹角公式，得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值. 【详解】（1）由题意，E 为CD 的中点，因为1A H ⊥平面ABCD ，EE ⊂平面ABCD ， 所以1A H EF ⊥，又因为DB EF ∥，AB AD =，OB OD =，所以AE 垂直平分BD ， 所以DE BE =又因AB DE ∥，90BAD ︒∠= 所以ADEB 为正方形， 所以DE EC AB == 因为F 为BC 的中点， 所以EF BD P而DB AE ⊥，所以EF AE ⊥，又1A H AE H =I ，所以EF ⊥平面1A OE ， 又EF ⊂平面EFQ ，所以平面EFQ⊥平面1A OE .（2）因为1A 在底面ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ， 所以112242OH OA BD ===. 因为AB AD ⊥，所以过点O 分别作AD ，AB 的平行线（如图）， 并以它们分别为x ，y 轴，以过O 点且垂直于xOy 平面的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,3,0)C ，(1,1,0)D -，1116,22A ⎛-- ⎝⎭， 所以1316,,222A D ⎛=-- ⎝⎭u u u u r ，1376,,222A C ⎛=- ⎝⎭，设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则1100n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r v u u v v ，所以316022376022x y z x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令6z =6)n =r，由（1）知，BD ⊥平面1A OE ，所以OD ⊥平面1A OE ，所以(1,1,0)OD =-u u u r为平面1A OE 的一个法向量，则||5|cos ,|||||102n OD n OD n OD ⋅〈〉===⋅r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面1A OE 与平面1A DC 5. 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题. 21．已知函数1()1ln1mx f x x x-=-++(0)m >与满足()2()g x g x -=-()x R ∈的函数()g x 具有相同的对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）当(,]x a a ∈-，期中(0,1)a ∈，a 是常数时，函数()f x 是否存在最小值若存在，求出()f x 的最小值；若不存在，请说明理由； （3）若(21)(1)2f a f b -+-=，求22211a b a b+++的最小值. 【答案】（1）1()1ln 1x f x x x -=-++；（2）11ln 1a a a--++（3）94 【解析】（1）根据()g x 关于()0,1对称，从而得到()()2f x f x +-=，整理化简，得到m 的值；（2）判断出()f x 的单调性，得到当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，从而得到()f x 最小值；（3）由(21)(1)2f a f b -+-=得到a ，b 关系，然后将22b a =-代入到22211a b a b+++，利用基本不等式，得到其最小值.【详解】（1）因为()2()g x g x -=-，所以()()2g x g x -+=，所以()y g x =图象关于(0,1)对称， 所以11()()1ln 1ln 11mx mx f x f x x x x x-++-=-+++++- 22212ln 21m x x ⎛⎫-=+= ⎪-⎝⎭所以22211,1m x x-=-0m > 解得1m =， 所以1()1ln 1x f x x x-=-++. （2）()f x 的定义域为(1,1)-，1()1ln 1x f x x x -=-++21ln 11x x ⎛⎫=-+-+ ⎪+⎝⎭，当12x x <且12,(1,1)x x ∈-时，()f x 为减函数，所以当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，所以当x a =时，min 1()1ln1a f x a a-=-++. （3）由(21)(1)2f a f b -+-=， 得2110,1211,111,a b a b -+-=⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩解得01,a <<02,b <<22a b +=， 所以2222221211(1)a b a b ab b a a b a b++++++=++ 21(1)b a a b++=+()25321a a -=- 令53t a =-，则5,3t a -=(2,5)t ∈， ()()225392121016a t a t t -=--+- 916210t t =⎛⎫--+ ⎪⎝⎭94162(210)t t≥=-⋅- 当且仅当4t =时，等号成立， 即当13a =，43b =时，22211a b a b+++的最小值为94. 【点睛】本题考查根据函数的对称性求参数的值，根据函数的单调性求最值，基本不等式求和的最小值，属于中档题.22．已知函数1()ln 2f x mx x =--()m R ∈，函数()F x 的图象经过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其导函数()F x '的图象是斜率为a -，过定点(1,1)-的一条直线.（1）讨论1()ln 2f x mx x =--()m R ∈的单调性； （2）当0m =时，不等式()()F x f x ≤恒成立，求整数a 的最小值.【答案】（1）当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）2【解析】对()f x 求导，得到()f x '，按0m ≤和0m >进行分类讨论，利用导函数的正负，得到()f x 的单调性；（2）根据题意先得到()F x '，然后得到()F x 的解析式，设()()()g x F x f x =-，按0a ≤和0a >分别讨论，利用()g x '得到()g x 的单调性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于0时，整数a 的最小值.【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()mx f x x-'=， 当0m ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0m >时，令()0f x '=，则1x m =， 当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数， 综上，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）根据题意，()(1)1F x a x '=-++， 设21()(1)2F x ax a x c =-+-+，代入10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得12c =， 令()()()g x F x f x =-21ln (1)12x ax a x =-+-+， 所以1()(1)g x ax a x '=-+-2(1)1ax a x x-+-+=. 当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上是单调递增函数，又因为21(1)ln11(1)112g a a =-⨯+-⨯+3202a =-+>， 所以关于x 的不等式()()F x f x ≤不能恒成立.当0a >时，2(1)1()ax a x g x x -+-+'=1(1)a x x a x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令()0g x '=，得1x a =. 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. 故函数()g x 的最大值为211111ln (1)12g ax a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 2a a =-. 令1()ln 2h a a a =-，因为1(1)0,2h =>1(2)ln 204h =-<， 又因为()h a 在(0,)a ∈+∞上是减函数.所以当2a ≥时，()0h a <.所以整数a 的最小值为2.【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，根据导函数的解析式求原函数的解析式，利用导数研究不等式恒成立问题，涉及分类讨论的思想，题目比较综合，属于难题.。

考点32 数列的综合问题1．已知数列、满足，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由题可知，则数列即为数列奇数项，则数列仍为等比数列，其首项为公比为原数列公比的平方，则数列的前10项的和为2．删去正整数数列中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（）A．B．C．D．【答案】B3．将向量组成的系列称为向量列，并定义向量列的前项和．若，则下列说法中一定正确的是（）A．B．不存在，使得C．对，且，都有D．以上说法都不对【答案】C【解析】由，则，所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以，又当时，，所以当，且时，是成立的，故选C.4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()()3441201611a a -+-=，()()3201320131201611a a -+-=-，则下列结论正确的是（ ）A ． 2016201342016,S a a =->B ． 2016201342016,S a a =>C ． 2016201342016,S a a =-<D ． 2016201342016,S a a =< 【答案】D5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：）（ ）A ． 2021年B ． 2020年C ． 2019年D ． 2018年 【答案】C【解析】设第年开始超过万元，则，化为，，取，因此开始超过万元的年份是年，故选C.6．已知数列的前项和为，若，则________．【答案】7．对任一实数序列，定义新序列，它的第项为，假设序列的所有项都是，且，则__________．【答案】100.【解析】设序列的首项为，则序列，则它的第n项为，因此序列A的第项，则是关于的二次多项式，其中的系数为，因为，所以必有，故.8．将正整数分解成两个正整数的乘积有三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如.则______，数列（）的前项和为______．【答案】09．数列{}n a 的递推公式为2{ n nn na a n =，为奇数时，为偶数时（*n N ∈），可以求得这个数列中的每一项都是奇数，则1215a a +=__________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个3是该数列的第________项.【答案】 18 384【解析】由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3… ∴121531518a a +=+=．又因为3612243333a a a a ====⋯，，， 即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列． 所以第8个3是该数列的第3×28﹣1=384项．故答案为：18，384．10．在数1和2之间插入n 个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为n A ，令*2log ,n n a A n N =∈．(1)数列{}n a 的通项公式为n a =____________；(2) 2446222tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=___________．【答案】22n +;()tan 22.tan1n tan n +-- ()tan 2tan 2tan1n n +-=-, *n N ∈故答案为() tan2tan2tan1nn+--11．已知数列{}n a满足：111nnaa+=-，12a=，记数列{}n a的前n项之积为n P，则2011P=______. 【答案】2【解析】因为1111,2nna aa+=-=，所以211122a=-=，()34121,112a a=-=-=--=，所以数列{}n a是以4为周期的周期数列，()12312112a a a=⨯⨯-=-，则()67020111232011122P a a a a==-⋅=.12．已知数列{}n a满足()()2222n nna n a n nλ+-+=+，其中121,2a a==，若1n na a+<对*n N∀∈恒成立，则实数λ的取值范围为__________．【答案】[)0,+∞13．已知数列{}n a满足111,1nnnaa aa+==+，若[]x表示不超过x的最大整数，则222122017a a a⎡⎤+++=⎣⎦__________.【答案】114．已知数列{}n a中，()102a a a=<≤，()()()*122{32n nnn na aa n Na a+->=∈-+≤，记12n nS a a a=+++.若2015n S =，则n =__________. 【答案】1343【解析】∵a 1=a (0<a ⩽2), ()()()*122{ 32n n n n n a a a n N a a +->=∈-+≤，∴a 2=−a 1+3=3−a ∈[1,3).①当a ∈[1,2]时,3−a ∈[1,2],∴a 3=−a 2+3=a ， ∴当n =2k −1,k ∈N ∗时,a 1+a 2=a +3−a =3,∴S 2k −1=3(k −1)+a =2015，a =1时舍去，a =2时，k =672，此时n =1343；15．已知无穷数列{}()n n a a Z ∈的前n 项和为n S ，记1S ， 2S ，…， n S 中奇数的个数为n b ． (Ⅰ)若n a = n ，请写出数列{}n b 的前5项；(Ⅱ)求证："1a 为奇数， i a (i = 2,3,4,...）为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要条件； (Ⅲ)若i i a b =，i=1, 2, 3,…，求数列{}n a 的通项公式. 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) 0n a =.【解析】（Ⅰ）解： 1=1b ， 2=2b ， 3=2b ， 4=2b ， 5=3b ． （Ⅱ）证明：（充分性） 因为1a 为奇数， ()2,3,4,i a i =为偶数，所以，对于任意*i N ∈， i S 都为奇数． 所以n b n =．所以数列{}n b 是单调递增数列． （不必要性）当数列{}n a 中只有2a 是奇数，其余项都是偶数时， 1S 为偶数， ()2,3,4,i S i =均为奇数，16．已知…，．记．（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．【答案】(1)30；(2)证明见解析.17．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称{}n a 是“回归数列”．（1）①前n 项和为2nn S =的数列{}n a 是否是“回归数列”？并请说明理由．②通项公式为2n b n =的数列{}n b 是否是“回归数列”？并请说明理由；（2）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值．（3）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得()*n n n a b c n N =+∈成立，请给出你的结论，并说明理由．【答案】（1）见解析;（2）1d =-;（3）见解析. ∴1m =，∴1d =-．（3）设等差数列{}n a 的公差为d ，令()()11112n b a n a n a =--=-， 对*n N ∀∈， 11n n b b a +-=-，令()()11n c n a d =-+，则对*n N ∀∈， 11n n c c a d +-=+，18．无穷数列{}n a 满足： 1a 为正整数，且对任意正整数n ， 1n a +为前n 项1a ， 2a ， ⋯， n a 中等于n a 的项的个数.（Ⅰ）若12a =，请写出数列{}n a 的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数M ，必存在*k N ∈，使得k a M >；（Ⅲ）求证:“11a =”是“存在*m N ∈，当n m ≥时，恒有2n a +≥ n a 成立”的充要条件。

全国百强名校2020届高三下学期”领军考试“数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若z2−i=1−i，则z=（）A．3+3i B．l+3i C．3﹣3i D．1﹣3i2．已知集合A={x|x2＜4}，B={x|(12)x＜2}，则（）A．A∩B＝{x|﹣2＜x＜1}B．A∩B＝{x|1＜x＜2}C．A∪B＝{x|x＞﹣2}D．A∪B＝{x|x＜1}3．已知角α的终边经过点P（﹣3，1），则cos2α＝（）A．35B．−35C．45D．−454．已知变量x，y的关系可以用模型y＝ce kx拟合，设z＝lny，其变换后得到一组数据下：x16171819z50344131由上表可得线性回归方程z=−4x+a，则c＝（）A．﹣4B．e﹣4C．109D．e1095．双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与圆x2+y2−2x+15=0相切，则双曲线C的离心率为（）A．√52B．√2C．√5D．√1726．已知实数x，y满足约束条件{x≥−1y≥−1x−2y+2≥02x−y−2≤0，则3x﹣y的取值范围是（）A．[−72，4]B．[−52，4]C．[﹣2，2]D．[﹣2，3]7．(x2−3)(2x+1)5的展开式中的常数项为（）A．77B．37C．﹣3D．﹣238．已知f（k）＝k+（﹣1）k，执行如图所示的程序框图，若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（）A ．s ＞3？B ．s ＞5？C ．s ＞10？D ．s ＞15？9．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，过点A 及C 1D 1中点作与直线BD 平行的平面α，则平面α与该正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1各面交线长度之和为（ ） A ．5√5B ．2√13+√2C ．2√5+3√2D ．5√210．已知a ＞0且a ≠1，f(x)={8x −1，x ≤122+log a x ，x ＞12，若f （x ）有最大值，则a 的取值范围是（ ）A ．(12，1)B ．(0，12]C ．(0，12)∪(1，+∞)D ．[12，1)∪[2，+∞)11．蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：x 2a+2+y 2a=1(a ＞0)（a ＞0）的蒙日圆为x 2+y 2＝4，a ＝（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．关于函数f(x)=|sinx|+√3cosx 有下述四个结论：①f （x ）是周期函数；②f （x ）的图象关于直线x ＝2k π（k ∈Z ）对称， ③f （x ）在（﹣π，0）上没有零点；④f （x ）的值域为[−√3，2]， 其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．f(x)=e x−1−2√x 的图象在x ＝l 处的切线方程为 ．14．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量a →，b →，c →满足（a →+t c →）•b →=0，则t ＝ ．15．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＝2c cos B ，c ＝2，且△ABC 面积为1，则sin2B ＝ ．16．已知三棱锥P ﹣ABC 中P A ＝AB ＝3，AC ＝5，BC ＝7，PB ＝3√2，PC =√34．则三棱锥P ﹣ABC 的外接球表面积为 ．三、解答题：共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{a n }满足a 1+a 2+…+a n ＝a n +1﹣2． （1）若a 1＝2，求数列{a n }的通项公式；（2）若数列1，a 2，a 4，b 1，b 2，…b n ，…成等差数列，求数列{b n }的前n 项和为S n ．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中AD ∥BC ，DA ⊥AB ，AD ＝2，AB ＝BC ＝1，CD =√2，点E 为PD 中点．（1）求证：CE ∥平面P AB ； （2）若P A ＝2，PD ＝2√2，∠P AB =2π3，求平面PBD 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值．19．（12分）已知过点P （4，0）的动直线与抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）交于点A ，B ，且OA →⋅OB →=0（点O 为坐标原点）．（1）求抛物线C 的方程；（2）当直线AB 变动时，x 轴上是否存在点Q 使得点P 到直线AQ ，BQ 的距离相等，若存在，求出点Q 坐标，若不存在，说明理由．20．（12分）2019年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次，统计了10月1日7：00﹣23：00这一时间段内顾客购买商品人次，统计发现这一时间段内顾客购买商品共5000人次顾客购买商品时刻的的频率分布直方图如下图所示，其中时间段7：00〜11：00，11：00〜15：00，15：00～19：00，19：00～23：00，依次记作[7，11），[11，15），[15，19），[19，23]．（1）求该天顾客购买商品时刻的中位数t 与平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）由频率分布直方图可以近似认为国庆节假期期间该商场顾客购买商品时刻服从正态分布N （μ，δ2），其中μ近似为x ，δ＝3.6，估计2019年国庆节假期期间（10月1日﹣10月7日）该商场顾客在12：12﹣19：24之间购买商品的总人次（结果保留整数）；（3）为活跃节日气氛，该商场根据题中的4个时间段分组，采用分层抽样的方法从这5000个样本中随机抽取10个样本（假设这10个样本为10个不同顾客）作为幸运客户，再从这10个幸运客户中随机抽取4人每人奖励500元购物券，其他幸运客户每人奖励200元购物券，记获得500元购物券的4人中在15：00﹣19：00之间购买商品的人数为X ，求X 的分布列与数学期望； 参考数据：若T ～N （μ，σ2），则①P （μ﹣σ＜T ≤μ+σ）＝0.6827； ②P （μ﹣2σ＜T ≤μ+2σ）＝0.9545；③P （μ﹣3σ＜T ≤μ+3σ）＝0.9973．21．（12分）已知函数f(x)=a(lnx +1x )+lnx −x −1． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若函数g （x ）＝f （x ）﹣lnx 有2个不同的极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），求证：f(x 1)+f(x 2)−2x 1x 2＞5ln 4e 2． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =√3a +√32t y =a −12t，（t为参数，a ∈R ）．在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρ2sin 2θ＝3． （1）若点A （0，4）在直线l 上，求直线l 的极坐标方程；（2）已知a ＞0，若点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，若|PQ |最小值为√62，求a 的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知f（x）＝x2+2|x﹣1|．（1）求不等式f(x)＞|2x|x的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且a+b+c＝M（a，b，c∈R），求证：√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2．全国百强名校2020届高三下学期”领军考试“数学（理）试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【详解详析】由z2−i=1−i，得z＝（1﹣i）（2﹣i）＝2﹣i﹣2i﹣1＝1﹣3i．∴z=1+3i．故选：B．2．【详解详析】∵A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x＞﹣1}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}，A∪B＝{x|x＞﹣2}．故选：C．3．【详解详析】∵角α的终边经过点P（﹣3，1），∴cosα=√(−3)2+12=√10，则cos2α＝2cos2α﹣1＝2×910−1=45，故选：C．4．【详解详析】x=16+17+18+194=17.5，z=50+34+41+314=39．代入z=−4x+a，得39＝﹣4×17.5+a，则a=109．∴z=−4x+109，由y＝ce kx，得lny＝ln（ce kx）＝lnc+lne kx＝lnc+kx，令z＝lny，则z＝lnc+kx，∴lnc＝109，则c＝e109．故选：D．5．【详解详析】取双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y=bax，即bx﹣ay＝0．化圆x 2+y 2−2x +15=0为(x −1)2+y 2=45，则圆心坐标为（1，0），半径为2√55． 由题意可得：22=2√55，即b 2a 2+b2=45，∴c 2−a 2c 2=45，则c 2＝5a 2，得e =c a=√5．故选：C ．6．【详解详析】由约束条件作出可行域如图：令z ＝3x ﹣y 为y ＝3x ﹣z ，{x −2y +2=02x −y −2=0⇒{x =2y =2；A （2，2）； {x =−1x −2y +2=0⇒{x =−1y =12；D （﹣1，12）由图可知，当直线y ＝3x ﹣z 过A （2，2）时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为4． 由图可知，当直线y ＝3x ﹣z 过D （﹣1，12）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为−52；∴3x ﹣y 的取值范围是[−52，4]； 故选：B ．7．【详解详析】(x 2−3)(2x +1)5的展开式中，（x 2﹣3）的常数项为﹣3，（1+2x ）5展开式的常数项为1，x 2﹣3的x 2项的系数为1，（1+2x ）5展开式中 1x 2项的系数：∁52×22＝40；所以，(x 2−3)(2x +1)5的展开式中常数项的系数为：﹣3+40＝37．故选：B ．8．【详解详析】模拟执行程序框图，可得 k ＝1，s ＝1 s ＝1不满足判断框内的条件，执行循环体，k ＝2，s ＝4 不满足判断框内的条件，执行循环体，k ＝3，s ＝6 不满足判断框内的条件，执行循环体，k ＝4，s ＝11此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出k 的值为4． 因此判断框内的条件可填：s ＞10？ 故选：C ．9．【详解详析】如图，G 为B 1C 1 的中点，则FG ∥B 1D 1∥BD ，得平面AEFGK ∥BD ，由△GC 1F ≌△HD 1F 及△HD 1E ∽△ADE ，可得D 1E =13DD 1，则D 1E =23，DE =43，求得FG =√2，FE ＝GK =√(23)2+12=√133，AE ＝AK =√(43)2+22=2√133．∴平面α与该正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1各面交线长度之和为2√133+4√133+√2=2√13+√2．故选：B ．10．【详解详析】当x ≤12时，函数f （x ）＝8x ﹣1在（﹣∞，12]上为增函数，f （x ）有最大值为3；当0＜a ＜1时，函数f （x ）＝2+log a x 在（12，+∞）上为减函数， 要使f （x ）有最大值，则2+log a 12≤3，即0＜a ≤12；当a ＞1时，函数f （x ）＝2+log a x 在（12，+∞）上为减函数，且当x →+∞时，f （x ）→+∞，不合题意．∴a 的取值范围是(0，12]．故选：B ．11．【详解详析】因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上 找老公特殊点分别为（0，√a ），（√2+a ，0），则两条切线分别是x =√2+a ，y =√a ， 则两条直线的交点为P （√2+a ，√a ）， 而P 在蒙日圆上，所以（√2+a ）2+（√a ）2＝4， 解得a ＝1， 故选：A ．12．【详解详析】对于①，因为f （x +2π）＝|sin （x +2π）|+√3cos （x +2π）＝|sin x |+cos x ＝f （x ），所以f （x ）是周期函数，故①正确；对于②，因为f （x ）是偶函数，即图象关于y 轴对称，且周期为2π，则图象关于直线2k π（k ∈Z ）对称，故②正确；对于③，因为f （−23π）＝|sin （−23π）|+√3cos （−23π）=√32+√3×（−12）＝0，即x =−23π时f （x ）在（﹣π，0）上的零点，故③错误；对于④，因为函数f （x ）是偶函数且周期为2π，则f （x ）值域即为f （x ）在[0，π]上的值域，当x ∈[0，π]时，f （x ）＝sin x +√3cos x ＝2sin （x +π3），则x +π3∈[π3，4π3]，所以f （x ）∈[−√3，2]，故④正确， 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．【详解详析】f(x)=e x−1−2√x 的导数为f ′（x ）＝e x ﹣1√x，可得f （x ）的图象在x ＝l 处的切线斜率为1﹣1＝0， 切点为（1，﹣1）， 则切线的方程为y ＝﹣1． 故答案为：y ＝﹣1．14．【详解详析】由题意知，向量a →=（1，2），b →=（3，1），c →=（4，4）； 又（a →+t c →）•b →=0，即a →⋅b →+t c →⋅b →=0， 所以（3+2）+t （12+4），解得t =−516．故答案为：−516．15．【详解详析】△ABC 中，由b cos C ＝2c cos B ，得sin B cos C ＝2sin C cos B ， 所以sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ＝3cos B sin C ； 由c ＝2，可得2sinC=a sinA=b sinB，所以a =2sinAsinC，b =2sinB sinC；所以△ABC 的面积为： S △ABC =12ab sin C =12•4sinAsinBsin Csin C ＝2sin B •sinA sinC=6sin B cos B ＝3sin2B ＝1，所以sin2B =13． 故答案是：13．16．【详解详析】如图，由已知可得，P A 2+AB 2＝PB 2，P A 2+AC 2＝PC 2， 则P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，则P A ⊥平面ABC ，在△ABC 中，由AB ＝3，AC ＝5，BC ＝7，得cos ∠BAC =AB 2+AC 2−BC 22AB×AC=9+25−492×3×5=−12，∴sin ∠BAC =√32， 设△ABC 的外心为G ，连接GA ，则由正弦定理可得2GA =√32，即GA =7√33． 设三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心为O ，连接OP ，则OP 2=(7√33)2+(32)2=22312．∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球表面积为4π×22312=223π3．故答案为：223π3．三、解答题：共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．【详解详析】（1）由题意，可知S n ＝a n +1﹣2，则a 2＝S 1+2＝a 1+2＝4． 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝a n +1﹣2﹣（a n ﹣2）， 整理，得a n +1＝2a n ．∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＝2n ，n ∈N *．（2）由题意，可知a 1＝a 2﹣2，∵a 1+a 2＝a 3﹣2，∴a 3＝a 1+a 2+2＝a 2﹣2+a 2+2＝2a 2． ∵1，a 2，a 4成等差数列， ∴2a 2＝a 4+1，即a 4＝2a 2﹣1． ∵a 1+a 2+a 3＝a 4﹣2， ∴a 2﹣2+a 2+2a 2＝2a 2﹣1﹣2， 解得a 2=−12．设等差数列的公差为d ，则d ＝a 2﹣1=−12−1=−32． ∴b 1＝1−32×（4﹣1）=−72．∴数列{b n }是首项为−72，公差为−12的等差数列． ∴S n =−72n +n(n−1)2•（−12）=−34n 2−114n ．18．【详解详析】（1）取AP 的中点F ，连接EF ，FB ， 则EF ∥AD ，且EF =12AD ， 由AD ∥BC ，且BC =12AD ，故EF ∥BC ，且EF ＝BC ，故平行四边形EFBC ，由EC ⊄平面P AB ，BF ⊂平面P AB ， 故EC ∥平面P AB ；（2）P A ＝2，PD ＝2√2，AD ＝2，所以AD ⊥AP ，由DA ⊥AB ， 易知AD ⊥平面P AB ，以A 为原点，以AP 为x 轴，过A 垂直于AP 的直线为y 轴，以AD 为z 轴建立空间直角坐标系， P （2，0，0），B （−12，√32，0），D （0，0，2），C （−12，√32，1），E （1，0，1）， 设平面PBD 的法向量为m →=(x ，y ，z)，PD →=(−2，0，2)，PB →=(−52，√32，0)，由{m →⋅PD →=−2x +2z =0m →⋅PB →=−52x +√32y =0，得m →=(√3，5，√3)， 设平面ECD 的法向量为n →=(a ，b ，c)，CD →=(12，−√32，1)，CE→=(32，−√32，0)， 由{n →⋅CD →=0n →⋅CE →=0，{12a −√32b +c =032a −√32b =0，得n →=(1，√3，1)，由cos ＜m →，n →＞=√3√155=7√465155，故平面PBD 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值为7√465155．19．【详解详析】（1）设过点P （4，0）的动直线为x ＝my +4， 代入抛物线y 2＝2px ，可得y 2﹣2pmy ﹣8p ＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 可得y 1y 2＝﹣8p ，由OA →⋅OB →=0可得x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)24p 2+y 1y 2＝16﹣8p ＝0，解得p ＝2，则抛物线的方程为y 2＝4x ；（2）当直线AB 变动时，x 轴上假设存在点Q （t ，0）使得点P 到直线AQ ，BQ 的距离相等， 由角平分线的判定定理可得QP 为∠AQB 的角平分线，即有k AQ +k BQ ＝0， 由（1）可得y 1y 2＝﹣8p ，y 1+y 2＝2pm ， 则k AQ +k BQ =y 1x1−t+y 2x2−t=y 1my 1+4−t+y 2my 2+4−t=0，化为2my 1y 2+（4﹣t ）（y 1+y 2）＝0， 即为﹣16mp +2pm （4﹣t ）＝0， 化简可得t ＝﹣4，则x 轴上存在点Q （﹣4，0），使得点P 到直线AQ ，BQ 的距离相等． 20．【详解详析】（1）根据题意，中位数t ∈（15，19），由4×（0.025+0.075）+（t ﹣15）×0.100＝0.5，得t ＝16， x =4（9×0.025+13×0.075+17×0.100+21×0.050）＝15.8；（2）由题意可得，商场顾客购买商品时刻服从正态分布N （15.8，3.62）， μ﹣δ＝12.2，μ+δ＝19.4，所以2019年国庆节假期期间，商场顾客在12：12﹣19：24之间购买商品的概率为P （12.2＜T ＜19.4）＝0.6827，所以人数为5000×0.6827×7≈23895；（3）根据题意X 可能取值为0，1，2，3，4， P （X ＝0）=C 64C 104=114，P （X ＝1）=C 63C 41C 104=821，P （X ＝2）=C 62C 42C 64=37，P （X ＝3）=C 61C 43C 64=435，P （X ＝4）=C 44C 64=1210，X 的分布列如下 X 0 123 4 P114821374351210E （X ）＝0×114+1×821+2×37+3×435+4⋅1210=1.6． 21．【详解详析】（1）f′(x)=a(1x −1x 2)+1x−1=−(x−1)(x−a)x 2，x ＞0，（i ）若a ＝1，f′(x)=−(x−1)2x 2≤0恒成立，故f （x ）在（0，+∞）单调递减，（ii ）当a ＞1时，x ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，函数单调递减，当x ∈（1，a ），f ′（x ）＞0，函数单调递增，当x ∈（a ，+∞），f ′（x ）＜0，函数单调递减，（iii ）0＜a ＜1时，x ∈（0，a ）时，f ′（x ）＜0，函数单调递减，当x ∈（a ，1），f ′（x ）＞0，函数单调递增，当x ∈（1，+∞），f ′（x ）＜0，函数单调递减，（iv ）当a ≤0时，x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，当x ∈（1，+∞），f ′（x ）＜0，函数单调递减．（2）g （x ）＝f （x ）﹣lnx ＝alnx +a x −x ﹣1，g′(x)=a x −ax 2−1=x 2−ax+a −x 2，由题意可得，x 2﹣ax +a ＝0与2个不同的根x 1，x 2（x 1＜x 2）， 则x 1+x 2＝a ＞0，x 1x 2＝a ，△＝a 2﹣4a ＞0， 所以a ＞4，∴f （x 1）+f （x 2）﹣2x 1x 2＝a （lnx 1+lnx 2）+a （1x 1+1x 2）+（lnx 1+lnx 2）﹣（x 1+x 2）﹣2﹣2x 1x 2＝alna +lna ﹣2a ﹣2，令g （a ）＝alna +lna ﹣2a ﹣2，（a ＞4），则g′(a)=lna +1+1a−2＝lna +1a−1＞0，即g （a ）在（4，+∞）上单调递增，所以g （a ）＞g （4）＝5ln 4﹣10＝5（ln 4﹣2）＝5（ln 4﹣lne 2）＝5ln 4e．得证．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【详解详析】（1）直线l 的参数方程为{x =√3a +√32t y =a −12t，（t为参数，a ∈R ）．转换为直角坐标方程为x +√3y −2√3a =0，由于点A （0，4）在直线l 上， 所以4√3−2√3a =0，解得a ＝2．即：x +√3y −4√3=0，转换为极坐标方程为ρcosθ+√3ρsinθ−4√3=0． （2）曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρ2sin 2θ＝3．转换为直角坐标方程为x23+y 2=1．设点Q （√3cosθ，sinθ），点Q 到直线x +√3y −2√3a =0的距离d =√3cosθ+√3sinθ−2√3a|1+3，由于a ＞0，所以|PQ|≥|√6−2√3a|2=√62，解得a =√2或0（0舍去）．故a =√2．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．【详解详析】（1）当x ＜0时，f(x)＞|2x|x等价于x 2+2|x ﹣1|＞﹣2，该不等式显然成立；当0＜x ≤1时，f(x)＞|2x|x等价于{0＜x ≤1x 2−2x ＞0，此时不等组的解集为∅，当x ＞1时，f(x)＞|2x|x等价于{x ＞1x 2+2x −4＞0，∴x ＞√5−1，综上，不等式f(x)＞|2x|x的解集为(−∞，0)∪(√5−1，+∞)．（2）当x ≥1时，f （x ）＝x 2+2x ﹣2＝（x +1）2﹣3； 当x ＝1时，f （x ）取得最小值为1；当x ＜1时，f （x ）＝x 2﹣2x +2＝（x ﹣1）2+1＞1， ∴f （x ）最小值为1，∴a +b +c ＝M ＝1， ∵a 2+b 2≥a 22+b 22+ab =(a+b)22，∴2+b 2≥√2|a+b|2≥√2(a+b)2，同理√b2+c2≥√2(b+c)2，√c2+a2≥√2(c+a)2，∴√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2(a+b+c)=√2．。

河南省八市重点高中联盟“领军考试”2020届高三数学第三次测评试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，∴．选D．2.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，其为开口向上，焦准距为2的抛物线，写出其准线方程即可.【详解】抛物线的标准方程为，焦准距，，所以抛物线的准线方程为，故选A.【点睛】该题考查的是有关抛物线的准线方程的问题，在解题的过程中，注意首先需要将抛物线方程化为标准形式.3.己知复数，给出下列四个结论：①；②；③的共轭复数．④的虚部为．其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由题意可得复数，据此分别计算和的虚部即可确定所给的命题是否正确.【详解】复数，故，①不正确；，②正确；，③不正确；的虚部为，④不正确；故只有②正确．故选B．【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念，复数的虚部等知识，属于基础题.4.在中，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量基本定理分析求解即可.【详解】由已知可得点是靠近点的三等分点，又点是的中点。

故选【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题.5.“对任意的正整数，不等式都成立”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.或【答案】B【分析】原不等式等价于，当时，，，成立，当时，，要使成立，只需成立，即，由此求得原不等式成立的充要条件，从而可以从选项中确定出原不等式成立的充分不必要条件.【详解】原不等式等价于，当时，，，成立，当时，，要使成立，只需成立，即，由，知最小值为，所以，所以或是原不等式成立的充要条件，所以是原不等式成立的充分不必要条件，故选B.【点睛】该题考查的是有关充分不必要条件的问题，涉及到的知识点有恒成立问题对应参数的取值范围的求解，充分不必要条件的定义与选取，在解题的过程中，正确求出充要条件对应参数的范围是解题的关键.6.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A. 84B.C.D.【答案】C【分析】几何体为侧放的五棱柱，底面为正视图中的五边形，棱柱的高为4，利用相关公式求得结果. 【详解】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4，所以五棱柱的表面积为，故选C.【点睛】该题考查的是有关几何体的表面积的求解问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，柱体的表面积问题，属于简单题目.7.已知函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则（）A. 1B.C.D. 0【答案】C【解析】试题分析：因为函数是上的单调函数，且，所以可设（为常数），即，又因为，所以，令，显然在上单调递增，且，所以，，，故选C.考点：1.函数的表示与求值；2.函数的单调性.8.如图所示，点，是曲线上一点，向矩形内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据定积分求阴影部分面积，再根据几何概型概率公式求结果.【详解】阴影部分面积为，所以所求概率为，选A.【点睛】本题考查利用定积分求面积以及几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知一个高为l的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，内有一个体积为的球，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据题意，确定出满足条件的球为该棱锥的内切球，利用相关公式得到结果.【详解】依题意，当球与三棱锥的四个面都相切时，球的体积最大，该三棱锥侧面的斜高为，，，所以三棱锥的表面积为，设三棱锥的内切球半径为，则三棱锥的体积，所以，所以，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关几何体的内切球的问题,涉及到的知识点有椎体的内切球的半径的求法，对应的等量关系式为大棱锥的体积等于若干个小棱锥的体积，从而建立其内切球半径所满足的条件，从而求得结果.10.已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=A. B. 3 C. D. 4【答案】B【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离同时求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.11.己知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图像沿轴向左平移个单位，得到函数的图像，关于函数，下列说法正确的是（）A. 在上是增函数 B. 其图像关于直线对称C. 函数是奇函数D. 在区间上的值域为【答案】D【解析】试题分析：，函数图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，故函数的最小正周期为，所以；函数图象沿轴向左平移个单位得，，故为偶函数，并在区间上为减函数，所以A、C错误．，所以B错误．因为，所以，，所以D正确．考点：1、三角函数辅助角公式；2、三角函数图像平移；3、三角函数奇偶性单调性．12.若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A. -3B. -4C. -5D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知函数在区间上单调递增，等价于在上恒成立，即在上恒成立，结合二次函数在某个闭区间上的最值，求得结果.【详解】函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，其对称轴为，当即时，在上恒成立等价于，由线性规划知识可知，此时；当即时，在上恒成立等价于，，即；当即时，在上恒成立等价于，此时；综上可知，，故选.【点睛】该题考查的是有关式子的最值的问题，涉及到的知识点有函数在给定区间上单调对应的等价条件，二次函数在给定区间上的最小值的求解，属于较难题目.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是__________．【答案】45【解析】试题分析：的展开式中第三项的系数为，第五项的系数为，由题意有，解之得，所以的展开式的通项为，由得，所以展开式的常数项为.考点：二项式定理.14.设变量满足约束条件：，则的最小值__________．【答案】-8【解析】画出可行域与目标函数线，如图可知，目标函数在点(－2，2)处取最小值－8.15.已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】先求出的零点，然后求出f的值，作出函数的图象，利用数形结合以及排除法进行求解即可．【详解】当时，由得，得，当时，由得，得，由得，即，，作出函数的图象如图：，当时，，函数是增函数，时，，函数是减函数，时，函数取得最大值：，当时，即时，有4个零点；当时，即时有三个零点；当时，有1个零点；当时，则有2个零点，当时，即时，有三个零点；当，解得函数有三个零点，综上，函数有3个零点．故答案为：．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的零点，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键．16.三角形中，且，则三角形面积的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】设，由，得C点轨迹为以为圆心，以为半径的圆，可求三角形高为时，最大，即可得解.【详解】设，则由得，化简得，所以点轨迹为以圆心，以为半径的圆，所以最大值为，所以三角形面积的最大值为.【点睛】该题考查的是有关三角形的面积的最值问题，涉及到的知识点有动点的轨迹方程的求解，在解题的过程中，注意对题意进行正确的分析，得出在什么情况下取得最值是正确解题的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在公差不为0的等差数列中，成等比数列，数列的前10项和为45．（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列的前项和为，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件列关于公差与首项的方程组，再将结果代入通项公式得结果，（2）利用裂项相消法求和.【详解】(1)设等差数列的公差为，由成等比数列可得，，即，，，.由数列的前10项和为45，得，即，故，.故数列的通项公式为；（2），【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面平面ABCD，点F为棱PD的中点．（Ⅰ）在棱AB上是否存在一点E，使得平面，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D-FC-B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（Ⅰ）取的中点，连结、，得到故且，进而得到，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（Ⅱ）以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，求得平面的法向量为，和平面的法向量，利用向量的夹角公式，求得，进而得到为直线与平面所成的角，即可求解.【详解】（Ⅰ）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，且，故且.所以，四边形为平行四边形.所以，，又平面，平面，所以，平面.（Ⅱ）由题意知为正三角形，所以，亦即，又，所以，且平面平面，平面平面，所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，则由题意知，，，，，，设平面的法向量为，则由得，令，则，，所以取，显然可取平面的法向量，由题意：，所以.由于平面，所以在平面内的射影为，所以为直线与平面所成的角，易知在中，，从而，所以直线与平面所成的角为.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19.某商家对他所经销的一种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下表：日销售量 1 1.5 2天数10 25 15频率0.2若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．（1）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和数学期望．【答案】（1）0.3125；（2）6.2.【解析】试题分析：第一问根据频率公式求得，第二问在做题的过程中，利用题的条件确定销售量为1．5吨的频率为，可以判断出销售量为1．5吨的天数服从于二项分布，利用公式求得结果，第二小问首先确定出两天的销售量以及与之对应的概率，再根据销售量与利润的关系，求得的分布列和，利用离散型随机变量的分布列以及期望公式求得结果．试题解析：（1）由题意知：a=0．5，b=0．3．①依题意，随机选取一天，销售量为1．5吨的概率p=0．5，设5天中该种商品有X天的销售量为1．5吨，则X～B（5，0．5），．②两天的销售量可能为2,2．5,3,3．5,4．所以的可能取值为4，5，6，7，8，则：，，，，，的分布列为：ξ 4 5 6 7 8P 0．04 0．2 0．37 0．3 0．09．考点：独立重复实验，离散型随机变量的分布列与期望．20.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点且的中点坐标为.（1）求的方程；（2）设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为l，试判断直线，是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .【解析】【分析】（Ⅰ）设，由点差法可得，MN的中点坐标为，则可得，由此能求出椭圆C的方程．（II）设直线AB：，联立方程得：由此利用韦达定理、直线斜率公式，结合已知条件能求出直线l经过定点．【详解】（I）设，则，两式相减得,，又MN的中点坐标为，且M、N、F、Q共线因为，所以，因为所以，所以椭圆C的方程为.（II）设直线AB：，联立方程得：设则，因为，所以，所以所以，所以，所以所以，因为，所以，所以直线AB：，直线AB过定点，又当直线AB斜率不存在时，设AB：，则，因为所以适合上式，所以直线AB过定点.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线斜率公式、韦达定理的合理运用．21.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，函数在是否存在零点？如果存在，求出零点；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）不存在零点.【解析】【分析】（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，根据导函数符号确定单调性，（2）先利用导数求在上最大值，再构造函数，利用导数证得，化简证得，从而确定在不存在零点.【详解】（1）函数的定义域为，（一）当时，时，，单调递增；时，，单调递减.（二）时，方程有两解或1①当时，时，，在，上单调递减.时，，单调递增.②当时，令，得或（i）当时，时恒成立，在上单调递增；（ii）当时，.时，，在、上单调递增.时，，单调递减.（iii）当时，时，，在，单调递增.时，，单调递减.综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间为、，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.（2）由（1）可知当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，在处取得极大值也是最大值.令，则，令得，当，，当，，所以在定义域上先增后减，在处取最大值0，所以，，所以，，，所以即，又，所以函数在不存在零点.【点睛】函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等）.其中往往涉及分类讨论思想的运用.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线（为参数），在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（1）写出曲线和的普通方程；（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求使最小时点的坐标．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】试题分析：（1），；（2）设，结合图形可知：最小值即为点到直线的距离的最小值．到直线的距离，所以的坐标为。