数量积向量积混合积

第三节 数量积 向量积 混合积分布图示★ 两向量的数量积 ★ 数量积的运算★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 向量积概念的引入 ★ 向量积的定义 ★ 向量积的运算★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10★ 向量的混合积 ★ 混合积的几何意义★ 例11 ★ 例12 ★ 例13★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题8-3 ★ 返回内容要点一、两向量的数量积定义1设有向量a 、b ，它们的夹角为θ，乘积θcos ||||b a 称为向量a 与b的数量积（或称为内积、点积），记为b a⋅，即θcos ||||b a b a=⋅.根据数量积的定义，可以推得：（1） b j a a j b b a a bPr ||Pr ||==⋅;（2） 2||a a a=⋅;（3） 设a 、b为两非零向量，则 b a ⊥的充分必要条件是 0=⋅b a .数量积满足下列运算规律：（1）交换律 ;a b b a⋅=⋅（2）分配律 ;)(c b c a c b a⋅+⋅=⋅+（3）结合律 )()()(b a b a b aλλλ⋅=⋅=⋅,（λ为实数）.二、两向量的向量积定义2 若由向量a 与b 所确定的一个向量c满足下列条件：（1）c 的方向既垂直于a 又垂直于b , c 的指向按右手规则从a转向b 来确定（图8-3-4）；（2）c 的模 θsin ||||||b a c =，(其中θ为a 与b的夹角)，则称向量c为向量a 与b 的向量积（或称外积、叉积），记为b a c⨯=.根据向量积的定义，即可推得（1）0 =⨯a a ；（2）设a 、b为两非零向量，则 b a //的充分必要条件是 0=⨯b a .向量积满足下列运算规律:（1）;a b b a⨯-=⨯（2）分配律 ;)(c b c a c b a⨯+⨯=⨯+（3）结合律 )()()(b a b a b aλλλ⨯=⨯=⨯,（λ为实数）. 三、向量的混合积例题选讲两向量的数量积例1(E01) 已知},2,2,1{},4,1,1{-=-=b a求(1) ;b a ⋅ (2) a 与b 的夹角θ; (3) a 与b上的投影.解 (1) b a⋅2)4()2(111⋅-+-⋅+⋅=.9-=(2) 222222cos zy x z y x zz y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=θ,21-= ∴.43πθ=(3) ,Pr ||a j b b a b =⋅.3||Pr -=⋅=∴a ba a j b例2 证明向量c与向量a c b b c a )()(⋅-⋅垂直.证 c a c b b c a ⋅⋅-⋅])()[(])()[(c a c b c b c a⋅⋅-⋅⋅=])[(c a c a c b ⋅-⋅⋅=,0= ∴.])()[(c a c b b c a ⊥⋅-⋅例3 试用向量方法证明三角形的余弦定理.证 如图所示(见系统演示), 设在ABC ∆中, ,θ=∠BCA ,||a CB =,||b CA =,||c AB =现要证.cos 2222θab b a c -+=记,a B C =,c B A =,b A C =则有,b a c -=从而 c c c ⋅=2||)()(b a b a -⋅-=b a b b a a⋅-⋅+⋅=2.cos ||||2||||22θb a b a ⋅-+= 由,||a a = ,||b b = ,||c c =即得.cos 2222θab b a c -+=例4 (E02) 设b a 3+与b a 57-垂直, b a 4-与b a 27-垂直, 求a 与b之间的夹角θ.解 b a b a573-⊥+所以0)57()3(=-⋅+b a b a ,即016||15||722=⋅+-b a b a (1) 又b a b a274-⊥-所以0)27()4(=-⋅-b a b a 即030||8||722=⋅-+b a b a(2) 联立方程(1), (2)得 b a b a⋅==2||||22所以 ||||,cos b a b a b a ⋅=><∧，.3,π=><∧b a例5 (E03) 设液体流过平面S 上面积为A 的一个区域, 液体在这区域上各点处的流速均为(常向量) v . 设n 为垂直于S 的单位向量(图7-3-3a), 计算单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的质量P (液体的密度为ρ).解 如图(见系统演示)，单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A 、斜高为||v 的斜柱体,这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与n的夹角,θ所以这柱体的高为,cos ||θv体积为n v A v A ⋅=θcos ||从而，单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量为.n v A P ⋅=ρ两向量的向量积例6 (E04) 求与k j i b k j i a2,423-+=+-=都垂直的单位向量.解 b a c+=zyxz y xb b b a a a k j i =211423--=k j i ,510k j +=||c 22510+=,55= ∴||c c c±=.5152⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=k j例7 在顶点为)2,6,5(),2,1,1(--B A 和)1,3,1(-C 的三角形中, 求AC 边上的高BD . 解 {},3,4,0-=C A {},0,5,4-=B A三角形ABC 的面积为||21B A C A S ⨯=22216121521++=,225=又|,|||21BD C A S ⋅= ,5)3(4||22=-+=C A所以|,|521225BD ⋅⋅=从而.5||=BD例8 设向量p n m,,两两垂直, 伏隔右手规则, 且,4=m ,2=n ,3=p计算.)(p n m⋅⨯解 ||n m ⨯),sin(||||n m n m ∧=124⨯⨯=,8= 依题意知n m⨯与p 同向, ∴),(p n m∧⨯=θ,0= p n m ⋅⨯)(θcos ||||p n m ⋅⨯=38⋅=.24=例9 (E05) 设刚体以等角速度ω绕l 轴旋转, 计算刚体上一点M 的线速度.解 刚体绕l 轴旋转时，我们可以用在l 轴上的一个向量ω表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则写出: 即右手握住l 轴,当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大拇指的指向就是ω的方向，如图，设点M 至旋转轴l 的距离为,a 再在l 轴上任取一点O 作向量M O r =并以θ表示ω 与r的夹角，则.sin ||θr a =设线速度为,v 那么由物理学上线速度与角速度的关系可知, v的大小为a v ||||ω =;sin ||||θωr=v 的方向垂直于通过M 点与l 轴的平面，即v 垂直于ω 与;r又v 的指向是使,ω ,r v 符合右手规则. 因此有 .r v⨯=ω例10 利用向量积证明三角形正弦定理.证 设ABC ∆的三个内角为,,,γβα三边长为c b a ,,, 如图(见系统演示).因为B C C A B A+=，所以B A B C C A B A ⨯+=⨯)(,B A B C B A C A ⨯+⨯= 故,0=⨯+⨯B A B C B A C A 即.B A B C B A C A ⨯-=⨯两边取模,B A B C B A C A ⨯=⨯即,sin sin βαac bc =故.sin sin βαba = 同理可证.sin sin γβcb = 因此,sin sin sin γβαcb a ==三角形正弦定理得证.向量的混合积例11 (E06) 已知2)(=⋅⨯c b a , 计算).()]()[(a c c b b a+⋅+⨯+解 )()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+)(][a c c b b b c a b a+⋅⨯+⨯+⨯+⨯= c c b c b b c c a c b a ⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=)()()()(0= 0= 0=a cb a b b ac a a b a ⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+)()()()(0= 0= 0= c b a⋅⨯=)(c b a⋅⨯=)(2.4=例12 (E07) 已知空间内不在同一平面上的四点),,(),,,(),,,(),,,(444333222111z y x D z y x C z y x B z y x A求四面体的体积.解 由立体几何知，四面体的体积等于以向量B A 、C A 、D A为棱的平行六面体的体积的六分之一:,][61D A C A B A V={}{}{}.,,,,,,141414131313121212⎪⎩⎪⎨⎧---=---=---=z z y y x x AD z z y y x x AC z z y y x x AB ∴.61141414131313121212z z y y x x z z y y x x z z y y x x V ---------±= 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致例13 已知k j i c k j b i a +-=-==22,2,, 求一单位向量,γ 使c ⊥γ, 且γ与b a ,此同时共面.解 设所求向量}.,,{z y x =γ 依题意,1||=γ ,c⊥γγ与b a ,共面，可得1222=++z y x (1),0=⋅cγ即022=+-z y x (2),0||=γb a 即02210001=+=-z y zy x(3) 将式(1)式(2)与式(3)联立解得32=x 或,32-31=y 或,31-32-=z 或,32 所以 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-±=32,31,32γ课堂练习1.已知向量,0,0≠≠b a 证明.)(||||||2222b a b a b a ⋅-⋅=⨯2.已知c b a ,,两两垂直, 且,3||,2||,1||===c b a求c b a s ++=的长度与它和c b a,,的夹角.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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