锐角三角函数学习知识重点情况总结

锐角三角函数—知识讲解责编：康红梅【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即s i n A aA c∠==的对边斜边；Ca b锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即c o s A bA c∠==的邻边斜边； 锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c∠==的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B b B B a∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成 “tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．举一反三：【高清课程名称：锐角三角函数高清ID号：395948关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（2）】【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c=，sinA=，c o s A=，sinB=，cosB=．a【答案】c= 5 ，sinA=35，cosA=45，sinB=45，cosB=35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模） 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)（2015•乐陵市模拟）sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)（2015•宝山区一模）+tan60°﹣．【答案与解析】解：（1）原式==12-(2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+3；(3) 原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【高清课程名称： 锐角三角函数 高清ID 号：395948 关联的位置名称（播放点名称）：例1（3）-（4）】【变式】在Rt ΔABC 中，∠C =90°，若∠A=45°，则∠B = ， sinA = ，cosA =，sinB =，cosB = ．【答案】∠B =45°，sinA =2， cosA =2，sinB =2， cosB =2．类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD 与BC相交于点P，若弦CD＝6，试求cos∠APC的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°，又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴ PC CD PAAB=．又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CD PAAB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BC AB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______． (3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB==得BC ＝3a ，∴4AC a ==，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，BD ==，∴ sadA BD AD==．【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC 的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BCWORD完美格式接近2AB，则sadA接近2但小于2，故sadA＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．专业知识编辑整理。

锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：图中的直角三角形AB 1C 1，AB 2C 2，AB 3C 3，…都有一个相等的锐角A ，即锐角A 取一个固定值．如图所示，许许多多直角三角形中相等的那个锐角叠合在一起，并使一条直角边落在同一条直线上，那么斜边必然都落在另一条直线上．不难看出，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3∥…，∵△AB 1C 1∽△AB 2C 2∽△AB 3C 3∽…，因此，在这些直角三角形中，∠A 的对边与斜边的比值是一个固定的值．根据同样道理，由“相似形”知识可以知道，在这些直角三角形中，∠A 的对边与邻边的比值，∠A 的邻边与斜边的比值都分别是某个固定的值．这样在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA；锐角A 邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ；锐角A 的邻边与对对边邻边bC边的比叫做∠A的余切，记作cotA，于是我们得到锐角A的四个锐角三函数，④cotA=的邻边A∠= ， cotB=的邻边B∠= 。

深刻理解锐角三角函数定义，要注意以下几点：(1)角A的锐角三角函数值与三角形的大小，即边的长短无关．只要角A一旦确定，四个比值就随之而定；角A变化时．四个比值对应变化．这正体现了函数的特点，锐角三角函数也是一种函数，这里角A 是自变量，对于每一个确定的角A，上面四个比值都有唯一确定的值与之对应，因此，锐角三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2)准确理解锐角三角函数定义，要熟记每个锐角三角函数是怎样规定的，是角的哪条边与哪条边的比；在具体应用定义时，要注意分清图形中，哪条边是角的对边，哪条边是角的邻边，哪条边是斜边．整的符号，不能看成sin与A的乘积．离开角A的“sin”没有什么意义，其他三个cosA、tgA、ctgA等也是这样．所以写时不能把“sin”与“A”分开．对应练习：1.把Rt△ABC各边的长度都扩大2倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A、A′的正弦值的关系为（）．A．sinA＝sinA′ B． sinA＝2sinA′ C．2sinA＝sinA′ D．不能确定2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sinB的值是（）A．35B．45C．34D．433.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠BAC 等于（）A．3 B．5 C．5 D．134.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若b=3a，则tanA= ．5. 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，c＝4，则a＝_______．6．如果a∠是等腰直角三角形的一个锐角，则cosα的值是（）Ａ．12Ｂ．Ｃ．17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=AB=则tan∠ACD的值为（）Ｂ．5Ｃ．68.．如图，∠C=90°，∠BAC=22．5°，利用此图求tan22．5°的值．2、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)对应练习题：1． 已知sinα12=，则锐角α= 度． 2． 若tan 1α=，则2cos α= ．3． 计算tan602sin 452cos30+-的结果是（ ）A ．2BC ．1D．13-．4． 如图，已知等腰梯形ABCD 中，A B ∥CD ，∠A=60°，AB=10，CD=3，则此梯形的周长为（ ）A ． 25B ． 26C ． 27D ． 28．5． 计算：（1）计算：()013sin 452007tan 30-+-3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

锐角三角函数知识点归纳总结锐角三角函数是中学数学中的一门重要概念，涵盖了三角函数的绝大部分知识点。

掌握锐角三角函数是解决三角函数问题的关键，也是解决初等三角方程的基础。

本文将就锐角三角函数的相关知识点进行归纳总结，便于读者进行系统地学习和掌握。

一、正弦函数正弦函数是最基本的三角函数之一，在锐角三角函数中有着重要的地位。

正弦函数在数学中的表达式为sinx，其定义域为实数集合R，值域为闭区间[-1,1]。

具体来说，正弦函数在锐角三角形中，它的值等于对边长度与斜边长度的比值。

正弦函数在锐角三角函数中的性质：1. 周期性：sin(x+2kπ)=sinx，其中k为任意整数。

2. 对称性：sin(-x)=-sinx。

3. 奇偶性：sin(-x)=-sinx，sin(x+π)=-sinx。

4. 增减性：在区间[0,π/2]上，sinx单调递增；在区间[π/2,π]上，sinx单调递减。

5. 值域：正弦函数在[-π/2,π/2]上单调递增，值域为[-1,1]。

在求解三角函数的数值计算时，使用正弦函数的一般方法是将角度转换为弧度，然后采用计算器进行计算。

二、余弦函数余弦函数是一种最为常见的三角函数之一，通常在三角函数的解题中被广泛应用。

余弦函数在数学中的表达式为cosx，其定义域为实数集合R，值域为闭区间[-1,1]。

具体来说，余弦函数在锐角三角形中，它的值等于邻边长度与斜边长度的比值。

余弦函数在锐角三角函数中的性质：1. 周期性：cos(x+2kπ)=cosx，其中k为任意整数。

2. 对称性：cos(-x)=cosx。

3. 奇偶性：cos(-x)=cosx，cos(x+π)=-cosx。

4. 增减性：在区间[0,π/2]上，cosx单调递减；在区间[π/2,π]上，cosx单调递增。

5. 值域：余弦函数在[0,π]上单调递减，值域为[1,-1]。

三、正切函数正切函数是三角函数中的一种，通常用于解决三角函数运算或求解空间中的几何问题。

锐角三角函数知识点总结大全
1.解直角三角形必备条件：（除直角外）至少知道两条边的
长度或一条边的长度和一个角的度数。

2.近似计算不能用勾股定理求边长，否则误差会很大。

3.解直角三角形解题思路总结：（除直角外）
（1）知一角求另一角题型：已知一个角的度数，用直角三角形中两锐角互余，求出另一角的度数。

（2）知两边求另一边题型：已知两边的边长，用勾股定理求出第三边的长。

（3）锐角三角函数：适用于“知角求边”或“知边求角”
的题型中。

（用sin，cos，tan，cot求出）。

4.仰角和俯角
（1）仰角：视线在水平线上方，与水平线形成的夹角。

（2）俯角：是现在水平线下方，与水平线形成的夹角。

5.锐角三角函数的性质（a为锐角）
（1）正弦的性质：
①取值范围：0＜sina＜1 ②增减性：a越大，sina越大（2）余弦的性质：
①取值范围：0＜cosa＜1 ②增减性：a越大，cosa越小联系：sina和cosa互为反函数
（3）正切的性质：
①取值范围：tana可取全体正数②a越大，tana越大
③当a无限接近90度时，tana无穷大。

（4）余切的性质
①取值范围：cota可取全体正数②当a无限接近0度时，cota无穷大③a越大，cota越小
6.锐角三角函数间的关系
（1）平方关系：sina2+cosa2=1
（2）倒数关系：tana=1
cota
（3）比值关系：①tana=sina
cosa ②cota=cosa
sina。

锐角三角函数及其应用榆林第六中学 高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数 1、锐角三角函数的定义如图，在 Rt △ ABC 中，/ C 为直角， 有(1) 图表记忆法三角\角 函数、304560si na1 c亡222 cosa爲匹J222tana乜31(2) 规律记忆法：30 °、45 °、60°角的正弦值的分母都是 2,分 子依次为1、. 2、3 ；30°、45°、60°角余弦值恰好是 60°、45°、 30°角的正弦值。

/ A 的正弦： sin A A 的对边a 斜边 c / A 的余弦： cos A A 的邻边b 斜边c / A 的正切： tan AA 的对边a A 的邻边b2、特殊角的三角函数值则/ A ABC 中的一锐角，则（3）口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦比二，切比三，分子根号不能删.”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27,分别是30°，45 °，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值.弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3.最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉.如tan60 °二旦 ,3，tan45 =— 1 .这种方法有趣、简单、3 3易记.考点二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的类型和解法如下表：考点二、锐角二角函数的实际应用（咼频考点）仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。

坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度1的比叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面与水平线的夹角叫坡角,i tan Pl指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角.注意：东北方向指北偏东45方向，东南方向指南偏方向角东45 方向，西北方向指北偏西45方向，西南方向指南偏西45°方向.我们一般画图的方位为上北下南，左西右东.二、锐角三角函数常见考法（一）、锐角三角函数以选择题的形式出现.例1、（2016?陕西）已知抛物线y二-x2-2x+3与x轴交于A B两点，将这条抛物线的顶点记为C,连接AG BC则tan / CAB的值为（）A.丄B . ■- C •」D ■ 2【考点】抛物线与x轴的交点；锐角三角函数的定义.CD：【解析】先求出A B、C坐标，作CDL AB于D,根据tan / ACD=-即可计算.o【解答】解：令y=0,则-x —2x+3=0,解得x=—3或1,不妨设A （—3,0）,B (1, 0),2 2• y二—x - 2x+3=—( x+1) +4,「•顶点C (- 1, 4),如图所示，作CDL AB于D.故答案为D.（二）、锐角三角函数以填空题的形式出现例2、（2016?陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分.A. —个多边形的一个外角为45°,则这个正多边形的边数是8 .B. 运用科学计算器计算：3.「sin73 ° 52’〜11.9 .（结果精确到0.1 ）【考点】计算器一三角函数；近似数和有效数字；计算器一数的开方；多边形内角与外角.【解析】（1）根据多边形内角和为360°进行计算即可；（2）先分别求得3. 7和sin73 ° 52 '的近似值，再相乘求得计算结果.【解答】解：（1）v正多边形的外角和为360° 二这个正多边形的边数为：360°宁45° =8(2) 3 i sin73 °52’ 〜12.369 x0.961 〜11.9故答案为：8, 11.9例3、（2015?陕西）如图，有一滑梯 AB,其水平宽度AC 为5.3米，铅直高 度BC 为2.8米，则/ A 的度数约为 27.8（用科学计算器计算，结果精【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 【解析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可. 【解答】 解：T tan / A 」"1〜0.5283 ,AC 5. 3•••/ A=27.8°, 故答案为：27.8 ° .【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值 等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大.例4、（2014?陕西）用科学计算器计算：一 一；+3tan56 °〜10.02 （结果精确到0.01 ） 计算器一三角函数；计算器一数的开方.先用计算器求出tan56°的值，再计算加减运解：「丨〜5.5678 , tan56 °〜1.4826 , 则-1 +3tan56 °〜5.5678+3 X 1.4826 〜10.02故答案是：10.02 .【点评】 本题考查了计算器的使用，要注意此题是精确到【考点】 【分析】0.01.例5、（2014?陕西）如图，在正方形 ABC ［中, AD=1将厶ABD绕点B 顺时针旋转45 °得到△ A BD ，此时A D 与CD 交于【考点】 旋转的性质【分析】 利用正方形和旋转的性质得出 A D=A E ,进而利用 勾股定理得出BD 的长，进而利用锐角三角函数关系得出 DE 的长 即可.【解答】 解：由题意可得出：/ BDC=45，/ DA E=90° , •••/ DEA =45°,••• A D=A E ,•••在正方形ABCD 中AD=1 • AB=A B=1, • BD=:':, • A D 二；:-1,•••在 Rt △ DA E 中,DE备=2-五故答案为：2-血.【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、2~41锐角三角函数关系等知识，得出 A D 的长是解题关键.(三) 、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例6、( 12分)(2015?陕西)如图，在每一个四边形 ABC 冲，均有AD// BC ；CDL BC / ABC=60 , AD=8 BC=12(1) 如图①，点M 是四边形ABCDi AD 上的一点，则厶BMC 勺面积为 24「；; (2) 如图②，点N 是四边形ABCD* AD 上的任意一点，请你求出△ BNC 周长 的最小值；(3) 如图③，在四边形ABCD 勺边AD 上，是否存在一点P,使得cos / BPC 的 值最小？若存在，求出此时cos / BPC 勺值；若不存在，请说明理由.【考点】四边形综合题.. 【专题】综合题.【解析】(1)如图①，过A 作AE ! BC 可得出四边形AECF 为矩形，得到EC=ADBE 二B G EC 在直角三角形 ABE 中，求出AE 的长，即为三角形 BMC 勺高，求 出三角形BMC 面积即可；(2) 如图②，作点C 关于直线AD 的对称点C ,连接C N, C D, C B 交AD 于点 N ,连接 CN ，贝卩 BN+NC 二BN+NO BC =BN +CN ，可得出厶 BNC 周长的最小值BN C 的周长=BN +CN +BC 二BC+BC 求出即可；(3) 如图③所示，存在点P,使得cos /BPC 的值最小，作BC 的中垂线PQ 交BC 于点Q 交AD 于点P,连接BP CP 作厶BPC 的外接圆Q 圆O 与直线PQ 交于点N,则PB=PC 圆心0在PN 上，根据AD 与BC 平行，得到圆0与AD 相AD圈②图①ACc图③切，根据PQ=DC判断得到PQ大于BQ可得出圆心0在BC上方，在AD上任取一点P',连接P‘ B, P C, P‘ B交圆0于点M连接MC可得/ BPC= / BM OZ BP C,即/ BPC最小，cos/ BPC的值最小，连接0B求出即可.【解答】解：(1)如图①，过A作AE±BC二四边形AEC助矩形，••• EC=AD=8 BE二B G EC=12- 8=4,在Rt△ ABE中, / ABE=60 , BE=4•AB=2BE=8 AE=：・，二=4 二则S A BM千BC? AE=24 -;;故答案为：24. -；；(2)如图②，作点C关于直线AD的对称点C,连接C N, C D, C B交AD于点N,连接CN，贝卩BN+NC二BN+NO BC =BN +CN ,•△ BNC周长的最小值为△ BN C的周长=BN +CN +BC=BC +BCv AD// BC AE! BC / ABC=60 ,•过点A 作AE! BC 则CE=AD=8•BE=4 AE=B? tan60 ° 二酣1,•CC =2CD=2AE=8,v BC=12•BC=血/+防2=4阿,•△ BNC周长的最小值为4 1+12;(3)如图③所示，存在点P,使得cos/ BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q交AD于点P,连接BP, CR作厶BPC的外接精品文档圆Q 圆0与直线PQ交于点N,贝S PB=PC圆心0在PN上，v AD// BC•••圆0与AD相切于点P,v PQ=DC=4>6,•PQ> BQ•/BPG 90°，圆心O在弦BC的上方，在AD上任取一点P',连接P‘ B, P‘ C, P‘ B交圆0于点M连接MC•••/ BPC y BM OZ BP C,•/ BPC最大，cos / BPC的值最小，连接0B 贝卩/ BON=/BPN/ BPCv 0B=0P=4 - 0Q在Rt△ B0C中，根据勾股定理得：0Q+62二（砸-0Q 2,解得：0Q二:；，2•0B二：,2•cos / BPC二co/ B0Q==l,P厂则此时cos/ BPC的值为一.【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与性质，对称的性质，圆的切线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键.例7、(10分)(2014年陕西省)已知抛物线C: y二-x2+bx+c经过A (- 3, 0)和B (0, 3)两点，将这条抛物线的顶点记为M它的对称轴与x轴的交点记为N.(1)求抛物线C的表达式；(2)求点M的坐标；(3)将抛物线C平移到C,抛物线C的顶点记为M',它的对称轴与x轴的交点记为N'.如果以点M N M、N为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？新课标xk b1. c om【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质.菁优网版权所有【分析】(1)直接把A(- 3, 0)和B(0, 3)两点代入抛物线y二-x2+bx+c, 求出b, c 的值即可；(2)根据(1)中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；(3)根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示.需要分类讨论.【解答】解: (1)V抛物线y二-x2+bx+c经过A (- 3, 0)和B (0, 3)两占J \\、’解得仁2,故此抛物线的解析式为：y二-x2- 2x+3；(2)v由(1)知抛物线的解析式为：y二-x2- 2x+3,•••当x=- 一= - = - 1 时，y=4, xKb 1.C omSa 2X ( -1) ，‘，• M(- 1, 4).（3J由题意，以点MN、M、N为顶点的平行四边形的边MN勺对边只能是M‘ N, •MN/ M N 且MN二M N.•MN NN =16,•NN =4.i ）当M、N M、N为顶点的平行四边形是？ MNN M时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C ;ii ）当M N M、N为顶点的平行四边形是？ MNMN时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C . •上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C .【点评】本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点.第（3）问需要分类讨论，避免漏解.例8、(12分)(2014?陕西)问题探究(1)如图①，在矩形ABCD K AB=3 BC=4如果BC边上存在点巳使厶APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△ APD并求出此时BP 的长；(2)如图②，在△ ABC中，/ ABC=60 , BC=12 AD是BC边上的高，E、F分别为边AB AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q 使/ EQF=90，求此时BQ 的长；问题解决(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE山庄保卫人员想在线段CD 上选一点M安装监控装置，用来监视边AB现只要使/ AMB大约为60°, 就可以让监控装置的效果达到最佳，已知/ A二/ E=Z D=90°, AB=270m AE=400mED=285m CD=340m问在线段CD上是否存在点M 使/ AMB=60 ? 若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由.A D團①图②團③【考点】圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值.菁优网版权所有【专题】压轴题；存在型.【分析】（1）由于△ PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题.（2）以EF为直径作。

锐角三角函数知识点锐角三角函数：一、基本概念：1、什么是锐角三角函数：锐角三角函数是一类特殊的函数，涉及到角度和角度对应的三角函数值，用于计算平面向量在多边形中和求解三角形的面积。

2、锐角三角函数的定义：锐角三角函数是基于角度θ，从而定义的三角函数值。

一般情况下，它用半圆线直叙指函数如下所示：sinθ，cosθ，tanθ，cotθ，secθ，cscθ。

3、锐角三角函数的基本关系：cosθ= sin (π/2-θ)；sinθ= cos (π/2-θ)；tanθ=cot (π/2-θ)；cotθ=tan (π/2-θ)；secθ=csc(π/2-θ)；cscθ=sec (π/2-θ)。

二、圆周角：1、什么是圆周角：圆周角是指以圆等分线在a轴上的量度，即由圆心和两个点确定的弧的长度。

圆周角定义在一个圆的周围，与半径的长度有关，可以用角度μ来表示。

2、单位：圆周角的单位是弧度rad，又称为radian，表示当一个圆的半径为1时，圆周角的长度。

三、锐角的余弦定理：1、锐角余弦定理是用弦和角定义的三角形问题，可以求解共有三角形A、B、C三个锐角所对应边长a、b、c满足关系：a²=b²+c²-2bc cosA；b²=a²+c²-2ac cosB；c²=a²+b²-2ab cosC。

2、此外，锐角余弦定理也可以利用三角形所有边长求解A、B、C三个锐角所对应的角度值，记为A=cos-1[(b²+c²-a²)/2bc]；B=cos-1[(a²+c²-b²)/2ac]；C=cos-1[(a²+b²-c²)/2ab]。

四、锐角的正弦定理：1、锐角正弦定理是求解三角形的已知一边和两个对边角的问题，满足条件如下：a=b sinA/sinB；b=a sinB/sinA；c=a sinC/sinA，c=bsinC/sinB。

锐角三角函数知识点总结一、引言数学是一门抽象而理性的学科，而三角函数则是数学中一个重要而又有趣的分支。

在这篇文章中，我将为你总结锐角三角函数的基本知识，并探讨其在数学和实际应用中的重要性。

二、什么是锐角三角函数在介绍锐角三角函数之前，我们先了解一下什么是锐角。

锐角是指角度小于90度的角。

而锐角三角函数是用来描述锐角三角形中角度和边长之间的关系的函数。

锐角三角函数一共有三个主要函数：正弦（sine）、余弦（cosine）和正切（tangent）。

三、正弦函数正弦函数是最基本的锐角三角函数之一。

它定义了角度和斜边与斜边的比值之间的关系。

正弦函数的基本公式为：sinθ = 对边/斜边，其中θ表示角度。

正弦函数的值域在-1到1之间。

四、余弦函数余弦函数也是锐角三角函数的一部分。

它定义了角度和邻边与斜边的比值之间的关系。

余弦函数的基本公式为：cosθ = 邻边/斜边。

余弦函数的值域同样在-1到1之间。

五、正切函数正切函数是锐角三角函数中的最后一个函数。

它定义了角度和对边与邻边的比值之间的关系。

正切函数的基本公式为：tanθ = 对边/邻边。

与正弦和余弦函数不同，正切函数的定义域是全体实数。

六、锐角三角函数的性质除了上述的基本定义，锐角三角函数还有一些重要的性质。

其中一些性质包括周期性、奇偶性和特殊角度的值。

1. 周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数都是周期函数。

正弦函数和余弦函数的最小正周期为2π，而正切函数的最小正周期为π。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数则既不是奇函数也不是偶函数。

3. 特殊角度的值：锐角三角函数在某些特殊的角度下有确定的值，比如sin30°=1/2，cos45°=√2/2等。

七、锐角三角函数的应用锐角三角函数在数学和实际应用中有着广泛的应用。

一些常见的应用包括：几何学中的三角测量、物理学中的运动分析、工程学中的结构分析等。

1. 几何学中的三角测量：锐角三角函数被广泛应用于三角测量中，比如测量两点间的距离、测量船和灯塔之间的角度等。

锐角三角函数知识点总结
1、 勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
6、正弦、余弦的增减性：
当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：
A
90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边
邻边 C A
90B 90∠-︒=∠︒
=∠+∠得由B A
当0°<α<90°时，tanα随α的增大而增大，cotα随α的增大而减小。

8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

锐角三角函数是初中九年级数学中的一个重要内容，其中包括对正弦、余弦和正切函数的理解和应用。

下面是对锐角三角函数知识点的详细总结：1.三角函数的定义：- 正弦函数（sin）：对于单位圆上的一个角，其对边的长度与斜边的长度的比值。

- 余弦函数（cos）：对于单位圆上的一个角，其邻边的长度与斜边的长度的比值。

- 正切函数（tan）：对于单位圆上的一个角，其对边的长度与邻边的长度的比值。

2.锐角的定义：锐角是角度在0°到90°之间的角。

3.单位圆：单位圆指半径长度为1的圆，锐角三角函数可以通过单位圆来定义和理解。

4.三角函数的图像：正弦函数、余弦函数和正切函数的图像可以通过将单位圆绕过原点旋转得到。

5. 正弦函数（sin）的特点：-定义域：[0°,90°]或[0,π/2]-值域：[-1,1]-周期：360°或2π- 特殊值：sin0° = 0, sin30° = 1/2, sin45° = √2/2, sin60° = √3/2, sin90° = 1-图像特点：关于y轴对称6. 余弦函数（cos）的特点：-定义域：[0°,90°]或[0,π/2]-值域：[-1,1]-周期：360°或2π- 特殊值：cos0° = 1, cos30° = √3/2, cos45° = √2/2,cos60° = 1/2, cos90° = 0-图像特点：关于x轴对称7. 正切函数（tan）的特点：-定义域：(0°,90°)或(0,π/2)-值域：R（实数集）-周期：180°或π- 特殊值：tan30° = 1/√3, tan45° = 1, tan60° = √3, tan90° = 不存在（无限大）-图像特点：周期性递增8.三角函数之间的关系：- 正弦函数和余弦函数的关系：sinθ = cos(90° - θ)- 正切函数与正弦、余弦函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ9.锐角三角函数的应用：-通过正弦函数、余弦函数和正切函数可以求解三角形的边长和角度大小。

一、三角函数的定义1. 正弦函数sinx：对于任意实数x，将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的纵坐标就是sinx。

2. 余弦函数cosx：对于任意实数x，将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的横坐标就是cosx。

3. 正切函数tanx：对于任意实数x，将sinx除以cosx就是tanx。

4. 余切函数cotx：对于任意实数x，将cosx除以sinx就是cotx。

5. 正割函数secx：对于任意实数x，将1除以cosx就是secx。

6. 余割函数cscx：对于任意实数x，将1除以sinx就是cscx。

二、三角函数的性质1. 基本关系式：sin^2x + cos^2x = 12. 周期性：sin(x+2kπ) = sinx，cos(x+2kπ) = cosx，其中k为任意整数。

3. 奇偶性：奇函数有sinx、tanx和cotx，偶函数有cosx、secx和cscx。

4. 正函数和负函数：在单位圆上，sinx和cscx为正函数，cosx和secx为负函数。

5. 三角函数的范围：sinx、cosx和tanx的范围是[-1,1]，cotx、secx和cscx的范围是(-∞,∞)。

三、特殊角的三角函数值1.0°、30°、45°、60°和90°的三角函数值。

2.30°、45°、60°和90°的三角函数值的推导。

四、角度的度量转换1.度和弧度之间的转换：π弧度=180°，1°=π/180弧度。

2.角度的换算：1°=60'，1'=60''。

五、倍角、半角和三倍角公式1. 倍角公式：sin2x = 2sinxcosx，cos2x = cos^2x - sin^2x，tan2x = 2tanx / (1 - tan^2x)。

2. 半角公式：sin(x/2) = ±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2) =±√[(1+cosx)/2]，tan(x/2) = ±√[(1-cosx) / (1+cosx)]。