北京一零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统考一（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{}31x B x =<，则A B ⋃=（）A.[)1,0﹣B.(),0∞- C.[]1,1- D.(],1-∞2.在复平面内，复数23ii+对应的点位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知等比数列{}n a 的首项和公比相等，那么数列{}n a 中与37a a 一定相等的项是（）A.5a B.7a C.9a D.10a 4.下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上单调递减的是（）A.2()||f x x x =-B.21()f x x =C.||()e x f x = D.()|ln |f x x =5.函数2ln xy x x=+的图象大致为A. B. C. D.6.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)a = ，||1b = ，则2a b + 等于（）A.B. C.4D.127.已知,,a b c ∈R ，则“a b >”的一个充分而不必要条件是（）A.22a b > B.33a b > C.22a b> D.22ac bc >8.△ABC 中，若sin cos A B <，则△ABC 形状必为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上答案均有可能9.如图，质点P 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，P 的角速度大小为2rad /s ，起点0P 为射线()0y x x =-≥与O 的交点．则当012t ≤≤时，动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是（）A.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.7π11π88,⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.11π15π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3π11π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n Tn a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T .已知数列{}n a 满足()10a m m =>，11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误的是（）A.若34a =，则m 可以取3个不同的值；B.若2m ={}n a 是周期为3的数列；C.对于任意的*TN ∈且T ≥2，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列D.存在m Q ∈且2m ≥，使得数列{}n a 是周期数列二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.计算：243lg6lg(4)5--=___________.12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上是减函数，若()()12f a f a ->-，则实数a 的取值范围是___________.13.若函数()πsin 0,2y x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω=___________，ϕ=___________.14.若24AB AC AB ⋅== ，且1AP = ，则CP AB ⋅ 的最大值为___________.15.已知函数()222f x x x t =-+，()e xg x t =-.给出下列四个结论：①当0=t 时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是___________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16.已知公差大于0的等差数列{}n a 满足2512a a +=，3435a a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若m S ，2a ，(),*i a m i ∈N 成等比数列，求m ，i 的值.17.已知ABC 的面积为再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①6a =，1cos 3=-C ；条件②：A C =，7cos 9B =-.（1）b 和c 的值.（2）sin()A B -的值.18.已知函数322()2f x x ax a x =-+，R a ∈.（1）当2a =时，求()f x 在区间[1,3]上的最大值和最小值；（2）求()f x 的单调区间．19.已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）设π()()6g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,2⎡+⎣，求m 的最大值.20.已知函数()()e sin 1R xf x a x a =+-∈，（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在0x =时取得极小值，求a 的值；（3）若存在实数m ，使对任意的()0,x m ∈，都有()0f x <，求a 的取值范围.21.已知无穷数列{}n a 满足{}{}1212max ,min ,(1,2,3,)n n n n n a a a a a n ++++=-= ，其中max{,}x y 表示x ，y 中最大的数，min{,}x y 表示x ，y 中最小的数.（1）当11a =，22a =时，写出4a 的所有可能值；（2）若数列{}n a 中的项存在最大值，证明：0为数列{}n a 中的项；（3）若0(1,2,3,)n a n >= ，是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由.北京一零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统考一（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{}31x B x =<，则A B ⋃=（）A.[)1,0﹣B.(),0∞- C.[]1,1- D.(],1-∞【答案】D【分析】解指数不等式求出{}0B x x =<，从而求出并集.【详解】因为0313x <=，解得0x <，故{}0B x x =<，故{}{}{}0111A B x x x x x x ⋃=<⋃-≤≤=≤.故选：D2.在复平面内，复数23ii+对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【分析】先化简原式，然后根据实部虚部确定复数所在象限.【详解】2332ii i+=-，∴在复平面内对应的点的坐标为()3,2-，位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数与复平面的关系，属于基础题.3.已知等比数列{}n a 的首项和公比相等，那么数列{}n a 中与37a a 一定相等的项是（）A.5aB.7a C.9a D.10a 【答案】D【分析】设出公比，利用等比数列的性质进行求解.【详解】设公比为q ，则1a q =，由等比数列的性质可知3719910a a a a a q a ===.故选：D4.下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上单调递减的是（）A.2()||f x x x =-B.21()f x x =C.||()e x f x = D.()|ln |f x x =【答案】B【分析】利用基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】对于A ，由题意可知()f x 的定义域为R ,()22()()f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 是偶函数且在(0,)+∞上不是单调递减，不符合题意；故A 错误；对于B ，由题意可知()f x 的定义域为R ,()2211()()f f x x x x -==-=，所以()f x 是偶函数且在(0,)+∞上单调递减，符合题意；故B 正确；对于C ，由题意可知()f x 的定义域为R ,()e e ()x xf x f x --===，所以()f x 是偶函数且在(0,)+∞上单调递增；不符合题意；故C 错误；对于D ，()|ln |f x x =的定义域为(0,)+∞，不是偶函数，不符合题意；故D 错误；故选：B.5.函数2ln xy x x=+的图象大致为A. B. C. D.【答案】C【分析】当=1x -时，排除A ；当1=x e 时，排除D,从而可得结果.【详解】当=1x -时，函数2ln 1xy x x=+=，所以选项A B 不正确；当1=x e 时，函数22ln 10x y x e x e ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，所以选项D 不正确，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)a = ，||1b = ，则2a b + 等于（）A.B. C.4D.12【答案】B【分析】转化为平面向的数量积可求出结果.【详解】因为(2,0)a=，所以||2a =，2a b +====故选：B7.已知,,a b c ∈R ，则“a b >”的一个充分而不必要条件是（）A.22a b >B.33a b > C.22a b> D.22ac bc >【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义和不等式的性质判断即可.【详解】因为由a b >推不出22a b >，由22a b >也推不出a b >，故A 不满足题意因为33a b a b >⇔>，22a b a b >⇔>，所以B 、C 不满足题意因为由22ac bc >可以推出a b >，由a b >推不出22ac bc >所以22ac bc >是a b >的充分不必要条件故选：D8.△ABC 中，若sin cos A B <，则△ABC 形状必为A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.以上答案均有可能【答案】C【分析】由已知结合诱导公式及三角函数的单调性，可得A+B 的范围，进而可以得解.【详解】∵sin A ＜cos B ，∴sin A ＜sin 2B π⎛⎫-⎪⎝⎭∵0＜A ＜2π，2π-<2B π-<2π∴0＜A ＜2Bπ-∴0＜A+B ＜2π∴C ＞2π∴△ABC 为钝角三角形故选C ．9.如图，质点P 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，P 的角速度大小为2rad /s ，起点0P 为射线()0y x x =-≥与O 的交点．则当012t ≤≤时，动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是（）A.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.7π11π88,⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.11π15π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3π11π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】根据题意求出y 关于t （单位：s ）的函数πsin 24y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后结合正弦函数的单调性求解函数在[0,12]上的增区间.【详解】因为P 在单位圆上的角速度大小为2rad /s ，起点0P 为射线()0y x x =-≥与O 的交点，所以1A =，π2,4ωϕ==-，所以动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数πsin 24y t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由πππ2π22π,Z 242k t k k -+≤-≤+∈，得π3πππ,Z 88k t k k -+≤≤+∈，因为012t ≤≤，所以3π08t ≤≤，7π11π88t ≤≤，15π19π88t ≤≤，23π27π88t ≤≤.所以动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π11π88,⎡⎤⎢⎥⎣⎦，15π19π88,⎡⎤⎢⎥⎣⎦，23π27π88,⎡⎤⎢⎣⎦.故选：B10.若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n Tn a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T .已知数列{}n a 满足()10a m m =>，11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误的是（）A.若34a =，则m 可以取3个不同的值；B.若m ={}n a 是周期为3的数列；C.对于任意的*TN ∈且T ≥2，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列D.存在m Q ∈且2m ≥，使得数列{}n a 是周期数列【答案】D【分析】A.若34a =，根据11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<<⎪⎩，分别对21,a a 讨论求解即可；B.若m =11,11,01n n n n n a a a a a +->⎧⎪=⎨<<⎪⎩，分别求得234,,,...a a a 即可判断；C.利用数列周期的定义运算可得；D.用反证法判断.【详解】A.若34a =，因为11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<<⎪⎩，当21a >时，2314a a -==，解得25a =，当11a >时，1215a a -==，解得16a =，当101a <<时，2115a a ==，解得115a =，当201a <<时，3214a a ==，解得214a =，当11a >时，12114a a -==，解得154a =，当101a <<时，21114a a ==，解得14a =，不合题意，故m 可以取3个不同的值，故正确；B.若m =213432111,1,1a a a a a a =-=-==+=-=，所以3n n a a +=，则数列{}n a 是周期为3的数列，故正确；C.N T *∀∈且2T ≥，若存在1m >，数列{}n a 周期为T ，不妨设1T m T -<<，则1a m =，21a m =-…()121,2T m T a -=-+∈，()10,1T m T a =-+∈，则1111T T a m T a +==-+，又11T m a a +==，所以11m m T =-+，即()2110m T m ---=，因为0m >，故解得m =，1112T T T -+->=-，112T T T -++<=，故N T *∀∈且2T≥，存在m =，使得数列{}na 周期为T ，故正确；D.假设存在m Q ∈且2m ≥，使得数列{}n a 是周期数列，当2m =时，2132111,1...(2)n a a a a n a =-=====≥，此时，数列{}n a 不是周期数列，当m>2时，当01m k <-≤时，11k a a k m k +=-=-，21111k k a a m k++==>-，若2k i a a +=，11i k ≤≤+，则()11m i m k=---，即2(1)10m m k i ki k -+-+--=，而()2(1)41k i ki k ∆=+----不为平方数，因此假设不正确，故数列{}n a 不是周期数列，故错误.故选：D【点睛】本题主要考查数列的周期性，还考查了分类讨论的思想和逻辑推理的能力，属于难题.二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.计算：3lg6lg 5-=___________.【答案】1-【分析】根据对数运算法则以及指数幂的运算化简即可求得结果.【详解】()114443lg6lg lg 6lg101612121535--=⨯-=-=-=-⎛⎫⎪⎝⎭=- .故答案为：1-12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上是减函数，若()()12f a f a ->-，则实数a 的取值范围是___________.【答案】3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【分析】根据函数的奇偶性和单调性，即可列出不等关系求解.【详解】由于()f x 在(],0-∞上是减函数，且()f x 为偶函数，所以()f x 在[)0,∞+上是增函数，若()()12f a f a ->-，则12a a ->-，平方可得222144a a a a -+>-+，解得32a >，故答案为：3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭13.若函数()πsin 0,2y x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω=___________，ϕ=___________.【答案】①.4②.π3-【分析】由三角函数图象性质可知5ππ11262T -=，可求得4ω=，再利用图象的对称性可计算出ϕ的取值.【详解】由图利用对称性可知，5ππ112ππ12622T ωω-==⨯=，解得4ω=；又0π,6y ⎛⎫ ⎪⎝⎭和0π,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，所以πsin 03ωϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭；即4ππ,Z 3k k ϕ+=∈，解得4ππ,Z 3k k ϕ=-∈；又π2ϕ<，所以1k =，π3ϕ=-符合题意.故答案为：4，π3-14.若24AB AC AB ⋅== ，且1AP = ，则CP AB ⋅ 的最大值为___________.【答案】2-【分析】将CP分解计算，利用向量数量积的运算即可得解.【详解】()CP AB CA AP AB ⋅=+⋅ CA AB AP AB =⋅+⋅4AP AB =-+⋅ cos 4AP AB BAP =⋅⋅∠-12cos 4BAP =⨯⨯∠-242≤-=-.故答案为：2-.15.已知函数()222f x x x t =-+，()e xg x t =-.给出下列四个结论：①当0=t 时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①②④【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取1t =-，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误.【详解】对于①，当0=t 时，()()()22e xy f x g x x x ==-，则()22e xy x '=-，由0'<y可得x <<，由0y >'可得x <或x >，此时，函数()22e xy x x =-的增区间为(,-∞、)+∞，减区间为(，当0x <或2x >时，()22e 0xy x x =->，当02x <<时，()22e 0xy x x =-<，故函数()22e xy x x =-在x =处取得最小值，①对；对于②，()()()()()2222e 22e 2e 2e 1xxxxy x t x x t x t x '=--+-+=-+-+，令()e 1xh x x =-+，其中1x ≥，则()e 10xh x '=->，所以，函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，所以，()()e 11e 0x h x x h =-+≥=>，则e 1e 0x x -≤-<，由()()22e 2e 10xxy x t x '=-+-+≥可得()22e2e 1xxx t x -≥-+，构造函数()()22e e 1xxx p x x -=-+，其中1x ≥，则()()()()23224e 42e 442e e e 1e 1x x xxx x x x x x x x p x x x ⎛⎫-+- ⎪-+-⎝⎭'==-+-+，令()2442e x q x x x =-+-，其中1x ≥，则()()242e 0x q x x x'=--<，所以，函数()q x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x ≥时，()()112e 0q x q ≤=-<，则()0p x '<，即()p x 在[)1,+∞上单调递减，()()max 11p x p ∴==，则21≥t ，解得12t ≥，②对；对于③，()()22e xy f x g x x x t =+=-++，22e x y x '=-+，因为函数22e x y x '=-+在R 上单调递增，10x y ==-'< ，1e 0x y ='=>，所以，存在()00,1x ∈，使得0y '=，当0x x <时，0'<y ，此时函数22e x y x x t =-++单调递减，当0x x >时，0y >' ，此时函数22e x y x x t =-++单调递增，所以，对任意的实数t ，函数22e x y x x t =-++有最小值，③错；对于④，令()22e xu x x x t =-++，不妨令()010u t =+=，即取1t =-，由③可知，函数()22e 1xu x x x =-+-在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，因为()00,1x ∈，则()()000u x u <=，()22e 10u =->，所以，存在()10,2x x ∈，使得()10u x =，此时函数()u x 的零点之和为1102x x +=<，④对.故答案为：①②④.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16.已知公差大于0的等差数列{}n a 满足2512a a +=，3435a a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若m S ，2a ，(),*i a m i ∈N 成等比数列，求m ，i 的值.【答案】（1）21,(N )n a n n *=-∈;（2）15m i =⎧⎨=⎩或31m i =⎧⎨=⎩.【分析】（1）由等差数列的性质和通项公式即可求解；（2）由等比中项的性质即可求解.【小问1详解】因为2512a a +=，所以3412a a +=，而3435a a =，所以3457a a =⎧⎨=⎩或3475a a =⎧⎨=⎩，又因为公差大于0，所以3457a a =⎧⎨=⎩，得2d =，所以3(3)21n a a n d n =+-=-.即21,(N )n a n n *=-∈【小问2详解】21((121)22)n n n a a n n S n ++-===，所以2m S m =，23a =，若m S ，2a ，i a 成等比数列，则有22m i S a a =⨯，即29i m a ⨯=，又因为,*m i ∈N ，且*i a ∈N ，所以219i m a ⎧=⎨=⎩或291i m a ⎧=⎨=⎩，解得15m i =⎧⎨=⎩或31m i =⎧⎨=⎩.17.已知ABC的面积为再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①6a =，1cos 3=-C ；条件②：A C =，7cos 9B =-.（1）b 和c 的值.（2）sin()A B -的值.【答案】（1）若选①：2b =，c =8b =，c =；（2）若选①：429；若选②：2327-.【分析】若选择条件①：(1)利用同角三角函数基本关系式可求sin C 的值，利用三角形的面积公式可求a ，b 的值，进而根据余弦定理可求c 的值．(2)由正弦定理可求sin A ，sin B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求cos A ，cos B 的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解sin()A B -的值．若选择条件②：(1)由题意可得a c =，利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，利用三角形的面积公式可求a ，c 的值，根据余弦定理可求b 的值．(2)由正弦定理可求sin A ，利用同角三角函数基本关系式可求cos A ，利用两角差的正弦公式即可求解sin()A B -的值．【小问1详解】若选择条件①：在ABC 中，∵1cos 3=-C ，∴(,)2C ππ∈，sin C =，∵1sin 2S ab C ==6a =，∴2b =，由余弦定理，2222cos 48c a b ab C =+-=，∴c =；若选择条件②：在ABC 中，∵A C =，∴a c =．∵7cos 9B =-，∴(,)2B ππ∈，42sin 9B ==，∵21142sin 229S ac B c ==⨯=，∴a c ==，由余弦定理，2222cos 64b a c ac B =+-=，∴8b =；【小问2详解】若选择条件①：由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，可得62sin sin A B =，∴sin 3A =，6sin 9B =，∵,(0,2A B π∈，∴3cos 3A =，cosB =，∴sin()sin cos cos sin 39399A B A B A B -=-=⨯⨯.若选择条件②：由正弦定理得sin sin a bA B=，∴1sin sin 3a A Bb ==，∵(0,2A π∈，∴cos 3A ==，∴1723sin()sin cos cos sin ()3927A B A B A B -=-=⨯---．18.已知函数322()2f x x ax a x =-+，R a ∈.（1）当2a =时，求()f x 在区间[1,3]上的最大值和最小值；（2）求()f x 的单调区间．【答案】（1）最大值为3，最小值为0（2）答案见解析.【分析】(1)对函数求导，判断函数的单调性，根据单调性求函数的最值；(2)对函数求导，求出导函数的零点为12,3ax x a ==，对两根的大小进行分类讨论，根据导函数的值的符号，得到函数的单调区间.【小问1详解】解：（1）当2a =时，32()44f x x x x =-+，2()384f x x x '=-+()(32)(2)f x x x '=--，令()0f x '=得，23x =或2x =.当x 在区间[1,3]上变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表x(1，2)2(2，3)()f x '-+()f x 单调递减0单调递增因为(1)1,(3)3f f ==，所以()f x 在区间[1,3]上的最大值为3，最小值为0.【小问2详解】（2）22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--，令()0f x '=得，3ax =或x a =，当0a =时，2()30f x x '=≥，()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间；当0a >时，3aa <，随着x 的变化，(),()f x f x '的变化情况如下表x(,)3a -∞3a (,)3a a a (,)a +∞()f x '+-+()f x 单调递增3427a 单调递减0单调递增所以()f x 的单调递增区间为(,3a -∞，(,)a +∞；()f x 的单调递减区间为(,)3a a .当a<0时，3aa >，随着x 的变化，(),()f x f x '的变化情况如下表x(,)a -∞a (,)3a a )3a (,)3a+∞()f x '+-+()f x 单调递增0单调递减3427a 单调递增所以()f x 的单调递增区间为(-∞，a )，(3a ，+∞)；()f x 的单调递减区间为(a ，3a ).综上所述：当0a =时，所以()f x 的()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间.当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,)3a -∞，(,)a +∞；()f x 的单调递减区间为(,)3a a .当a<0时，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(,)3a +∞；()f x 的单调递减区间为(,3a a .19.已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）设π()()6g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,2⎡+⎣，求m 的最大值.【答案】（1）42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）56π.【分析】（1）令322262πππkπx kπ+≤+≤+，()k Z ∈，解不等式即可求解；（2）先求出并化简()2sin 23g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()g x 的值域可得出3sin 2,132π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦x ，结合正弦函数的图象可知42233m πππ≤-≤，即可求出m 的最大值.【详解】（1）令322262πππkπx kπ+≤+≤+，Z k ∈.所以42233ππkπx kπ+≤≤+，()k Z ∈.所以函数()f x 的单调递减区间42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()()4sin sin 66g x f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14sin cos sin 22x x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22cos sin x x x=+cos2)sin 2x x=-+2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为0x m ≤≤，所以22333x m πππ-≤-≤-.因为()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，所以sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以42233m πππ≤-≤.解得：55126m ππ≤≤.所以m 的最大值为56π.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要熟记正弦函数的图象，灵活运用三角恒等变换将()g x 化为一名一角，能结合正弦函数的图象得出42233m πππ≤-≤.20.已知函数()()e sin 1R xf x a x a =+-∈，（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在0x =时取得极小值，求a 的值；（3）若存在实数m ，使对任意的()0,x m ∈，都有()0f x <，求a 的取值范围.【答案】（1）(1)y a x =+（2）1a =-（3）(,1)-∞-【分析】（1）由导数的几何意义，即可求解；（2）由(0)0f '=求得a 值，并验证此时0x =是极小值点；（3）求出导函数()e cos x f x a x '=+，(0)1f a '=+，然后根据(0)f '的正负或0分类，注意由导函数的连续性得出()f x '在(0,)m （存在正实数m ）上()f x '与(0)f '同号，从而得函数的单调性，得函数值的正负．【小问1详解】()e cos x f x a x '=+，(0)1f a '=+，又(0)0f =，∴切线方程为(1)y a x =+；【小问2详解】由（1）()e cos x f x a x '=+，函数()f x 在0x =处取得极小值，则(0)0f '=，即10a +=，1a =-，设()()e cos x g x f x x '==-，则()e sin x g x x '=+，(0)1g '=，由()g x '的图象的连续性知()g x '在0x =附近是正值，因此()f x '在0x =附近是递增的，又(0)0f '=，所以()f x '在0x =附近从左到右，由负变正，()f x 在0x =左侧递减，在0x =右侧递增，(0)f 是极小值，符合题意；所以1a =-．【小问3详解】()e cos x f x a x '=+，(0)0f =，当(0)10f a '=+>，即1a >-时，由()g x '的图象的连续性知必存在0m >，使得对任意(0,)x m ∈，()0f x '>，对应()f x 递增，因此()(0)0f x f >=，不合题意，当(0)10f a '=+<，即1a <-时，由()g x '的图象的连续性知必存在0m >，使得对任意(0,)x m ∈，()0f x '<，对应()f x 递减，因此()(0)0f x f <=，满足题意，1a =-时，()e cos x f x x '=-，0x >时，e 1x >，cos 1≤x ，()e cos 0x f x x '=->恒成立，()e sin 1x f x x =--在(0,)+∞上递增，()(0)0f x f >=，不合题意，综上，a 的取值范围是(,1)-∞-．21.已知无穷数列{}n a 满足{}{}1212max ,min ,(1,2,3,)n n n n n a a a a a n ++++=-= ，其中max{,}x y 表示x ，y 中最大的数，min{,}x y 表示x ，y 中最小的数.（1）当11a =，22a =时，写出4a 的所有可能值；（2）若数列{}n a 中的项存在最大值，证明：0为数列{}n a 中的项；（3）若0(1,2,3,)n a n >= ，是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由.【答案】（1）{1,3,5}（2）证明见解析（3）不存在，理由见解析【分析】（1）根据定义知0n a ≥，讨论32a >、32a <及34,a a 大小求所有4a 可能值；（2）由0n a ≥，假设存在*0N n ∈使0n n a a ≤，进而有000012max{,}n n n n a a a a ++≤≤，可得0012min{,}0n n a a ++=，即可证结论；（3）由题设1n n a a +≠(2,3,)n =，令1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅求证n a M >即可判断存在性.【小问1详解】由{}{}1212max ,min ,0n n n n n a a a a a ++++=-≥，133max{2,}min{2,}1a a a =-=，若32a >，则321a -=，即33a =，此时244max{3,}min{3,}2a a a =-=，当43a >，则432a -=，即45a =；当43a <，则432a -=，即41a =；若32a <，则321a -=，即31a =，此时244max{1,}min{1,}2a a a =-=，当41a >，则412a -=，即43a =；当41a <，则412a -=，即41a =-（舍）；综上，4a 的所有可能值为{1,3,5}.【小问2详解】由（1）知：0n a ≥，则{}12min ,0n n a a ++≥，数列{}n a 中的项存在最大值，故存在*0N n ∈使0n n a a ≤，(1,2,3,)n = ，由00000000121212max{,}min{,}max{,}n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-≤≤，所以0012min{,}0n n a a ++=，故存在00{1,2}k n n ∈++使0k a =，所以0为数列{}n a 中的项；【小问3详解】不存在，理由如下：由0(1,2,3,)n a n >= ，则1n n a a +≠(2,3,)n =，设1{|,1}n n S n a a n +=>≥，若S =∅，则12a a ≤，1i i a a +<(2,3,)i = ，对任意0M >，取11[]2M n a =+（[]x 表示不超过x 的最大整数），当1n n >时，112322()()...()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+23121...(1)n n a a a a n a M --=++++≥->；若S ≠∅，则S 为有限集，设1max{|,1}n n m n a a n +=>≥，1m i m i a a +++<(1,2,3,)i = ，对任意0M >，取21[]1m M n m a +=++（[]x 表示不超过x 的最大整数），当2n n >时，112211()()...()n n n n n m m m a a a a a a a a ---+++=-+-++-+2311...()n n m m m a a a a n m a M --++=++++≥->；综上，不存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤.【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定1n n a a +≠(2,3,)n =，并构造集合1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅研究存在性.。
