概率论基本公式

概率论与数理统计公式大全概率论和数理统计作为数学的两个重要分支，被广泛应用于各个领域。

无论是在学术研究还是实际应用中，熟悉并掌握相关的公式是非常重要的。

本文将为您提供概率论与数理统计公式的大全，帮助您更好地理解和应用这两门学科。

一、概率论公式1. 概率公式- 概率的定义：P(A) = N(A) / N(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，N(A)代表事件A的样本点个数，N(S)表示样本空间中的样本点总数。

- 加法法则：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，其中P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

- 乘法法则：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A 发生的条件下，事件B发生的概率。

2. 条件概率公式- 条件概率的定义：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

- 全概率公式：P(A) = ∑[P(Bi) × P(A|Bi)]，其中Bi为样本空间的一个划分，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。

3. 事件独立性公式- 事件A和事件B独立的定义：P(A∩B) = P(A) × P(B)，即事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。

- 事件的相互独立：若对于任意的事件A1，A2，...，An，有P(A1∩A2∩...∩An) = P(A1) × P(A2) × ... × P(An)，则称事件A1，A2，...，An相互独立。

4. 随机变量- 随机变量的定义：随机变量X是样本空间到实数集的映射。

- 随机变量的分布函数：F(x) = P(X≤x)，表示随机变量X小于等于x的概率。

- 随机变量的概率密度函数（连续型随机变量）：f(x)是非负函数，且对于任意实数区间[a, b]，有P(a≤X≤b) = ∫[a, b]f(x)dx。

概率论与数理统计公式以下是概率论与数理统计中常见的公式整理：1.基本概率公式：P(A) = n(A) / n(S)，其中A 为事件，n(A) 为事件A 发生的基数，n(S) 为样本空间的基数。

2.条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中A 和B 为两个事件，P(A∩B) 表示事件A 和事件B 同时发生的概率，P(B) 表示事件B 发生的概率。

3.全概率公式：P(A) = ΣP(A|Bi) * P(Bi)，其中Bi 为互不相交的事件，P(Bi) 表示事件Bi 发生的概率，P(A|Bi) 表示在事件Bi 发生的条件下，事件A 发生的概率。

4.贝叶斯公式：P(Bi|A) = P(A|Bi) * P(Bi) / ΣP(A|Bj) * P(Bj)，其中Bi 为互不相交的事件，P(Bi) 表示事件Bi 发生的概率，P(A|Bi) 表示在事件Bi 发生的条件下，事件A 发生的概率，P(A|Bj) 表示在事件Bj 发生的条件下，事件A 发生的概率。

5.随机变量的期望值：E(X) = Σxi * P(xi)，其中X 为随机变量，xi 为随机变量X 取的第i 个值，P(xi) 表示X 取xi 的概率。

6.随机变量的方差：Var(X) = E((X - E(X))^2)，其中X 为随机变量，E(X) 表示X 的期望值。

7.正态分布的概率密度函数：f(x) = (1 / (σ* √(2π))) * e^(-((x-μ)^2 / (2σ^2)))，其中μ为正态分布的均值，σ为正态分布的标准差。

8.标准正态分布的概率密度函数：f(x) = (1 / √(2π)) * e^(-x^2 / 2)，其中x 为标准正态分布的随机变量。

9.两个随机变量的协方差：Cov(X,Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))，其中X 和Y 为两个随机变量，E(X) 和E(Y) 分别表示X 和Y 的期望值。

概率论与数理统计基本公式第一部分 概率论基本公式1、A BA B AAB; A BA(B A) 2、对偶率： AB A B ；ABA B .3、概率性率：P ( A B ) P( A) P(AB ), 特别， BA 时有：P( A B) P( A) P(B); P(A) P(B)有限可加： A 1、 A 2 为不相容事件，则 P( A 1A 2 ) P( A 1)P(A 2 )对任意两个事件有：P( AB)P( A) P( B)P( AB)4、古典概型例： n 双鞋总共 2n 只，分为 n 堆，每堆为 2只，事件 A 每堆自成一双鞋的概率 解：分堆法： C 22 n（ (2n)!,自成一双为： n ！，则 P( A)n!！！22n - 2) 2C2n5、条件概率P(B | A)P( AB), 称为在事件 A 条件下，事件 B 的条件概率， P( B)称为无条件概率。

P( A)乘法公式： P(AB)P(A)P(B | A) P(AB)P(B)P(A | B)全概率公式： P(B)P(A i )P(B | A i )i贝叶斯公式： P(A i | B)P( A i B)P( A i )P(B | A i )P( B) P( A j )P( B | A j )j例：有三个罐子， 1 号装有 2 红1黑共 3个球，2号装有 3红1黑 4个球，3 号装有 2 红 2黑 4 个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球， （ 1）求取得红球的概率； （ 2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？解： 设B i { 球取自 i 号罐 } ， i。

{ 取得是红球 } ，由题知、、是一个完备事件(1) 1,2,3 AB 1B 2B 3由全概率公式 P( B)P( A i )P( B | A i )，依题意，有： P( A | B 1 )2;P(A|B 2)3;P(A|B 3) 1 .i342P( B 1)P(B 2 ) P( B 3 )1， P( A) 0.639.3(2)由贝叶斯公式： P(B 1 | A)P( A | B 1)P(B 1)0.348.P( A)6、独立事件（ 1） P(AB)=P(A)P(B), 则称 A 、 B 独立。

第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ))()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)1,0(!)(===-k e k k X P k，λλ∑≤==≤=xk k X P x X P x F )()()(概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp ()对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数联合分布函数1)(=⎰+∞∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤b adx x f b X a P )()(⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f )(1)(b x a a b x f ≤≤-=联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义● E(a)=a ，其中a 为常数● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式⎰+∞∞-=dyy x f x f X ),()(⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞-∞=⋅=k k k P x X E )(⎰+∞∞-⋅=dx x f x X E )()(∑=kk k p x g X g E )())((方差定义式 常用计算式常用公式 当X 、Y 相互独立时： 方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)= abD(X)，其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数协方差的性质∑∑=i j iji p x X E )(dxdy y x xf X E ⎰⎰=),()()()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=i j ij j i p y x XY E )(dxdy y x xyf XY E ⎰⎰=),()()()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰+∞∞-⋅-=dx x f X E x X D )()()(2[]22)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =独立与相关独立必定不相关、相关必定不独立、不相关不一定独立第四章正态分布标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式),(~2σμN X 222)(21)(σμσπ--=x e x f 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σμσμ-=⇔()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P (1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P )()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P。

概率论与数理统计完整公式概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机现象和随机变量之间的关系、随机变量的分布规律、经验规律及参数估计等内容。

在概率论与数理统计的学习中，有许多重要的公式需要掌握。

以下是概率论与数理统计的完整公式。

一、概率论公式：1.全概率公式：设A1，A2，…，An为样本空间S的一个划分，则对任意事件B，有：P(B)=P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P(B│An)·P(An)2.贝叶斯公式：对于样本空间S的一划分A1，A2，…，An，其中P(Ai)>0，i=1,2，…，n，并且B是S的任一事件，有：P(Ai│B)=[P(B│Ai)·P(Ai)]/[P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P (B│An)·P(An)]3.事件的独立性：若对事件A，B有P(AB)=P(A)·P(B)，则称事件A，B相互独立。

4.概率的乘法公式：对于独立事件A1，A2，…，An，有：P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)5.概率的加法公式：对事件A，B有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)6.条件概率的计算：对事件A，B有：P(A，B)=P(AB)/P(B)7.古典概型的概率计算：设事件A在n次试验中发生k次的次数服从二项分布B(n,p)，则其概率可表示为：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]二、数理统计公式：1.样本均值的期望和方差：样本的均值X̄的期望和方差分别为： E(X̄) = μ，Var(X̄) = σ^2 / n，其中μ 为总体的均值，σ^2 为总体方差，n 为样本容量。

2.样本方差的期望：样本方差S^2的期望为：E(S^2)=σ^2，其中σ^2为总体方差。

概率论的公式大全1.基本概率公式：对于一个随机事件A，它发生的概率（记作P(A)）等于A包含的元素数目除以样本空间中元素的总数目。

P(A)=个数(A)/个数(样本空间)2.条件概率公式：对于两个事件A和B，如果B已经发生，则A发生的概率记作P(A，B)。

P(A，B)=P(A交B)/P(B)3.全概率公式：对于一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集等于样本空间，那么对于另一个事件A，可以用条件概率公式表示为：P(A)=Σ(P(A，Bi)*P(Bi))，i=1到n4.贝叶斯定理：对于一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集等于样本空间，那么对于另一个事件A，可以用条件概率公式表示为：P(Bi，A)=(P(A，Bi)*P(Bi))/Σ(P(A，Bj)*P(Bj))，j=1到n5.独立事件公式：对于两个事件A和B，如果它们相互独立（即A的发生与B的发生没有任何关系），则它们的联合概率等于它们的乘积。

P(A交B)=P(A)*P(B)6.乘法公式：对于一系列独立事件A1，A2，...，An，它们的概率等于各个事件发生的概率的乘积。

P(A1交A2交...交An)=P(A1)*P(A2)*...*P(An)7.加法公式：对于两个事件A和B，它们的并集的概率等于各个事件发生的概率之和减去它们的交集的概率。

P(A并B)=P(A)+P(B)-P(A交B)8.期望值公式：对于一个随机变量X和它的概率分布P(X)，它的期望值可以表示为：E(X)=Σ(Xi*P(Xi))9.方差公式：对于一个随机变量X和它的期望值E(X)，它的方差可以表示为：Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 * P(Xi))，i为X的取值范围内的索引10.协方差公式：对于两个随机变量X和Y，它们的协方差可以表示为：Cov(X, Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))11.相关系数公式：对于两个随机变量X和Y，它们的相关系数可以表示为：Corr(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X) * σ(Y))，其中σ(X)和σ(Y)分别是X和Y的标准差12.大数定律：对于独立同分布的随机变量序列X1，X2，...，Xn，当n趋向于无穷大时，它们的算术平均值逐渐接近它们的期望值。

概率论常⽤公式 有些概率公式常常会⼀段时间内要⽤到，但是有经常忘记，这⾥备注⼀下1、乘法法则 p\left ( x,y \right )=p\left ( x|y \right )p\left ( y \right )=p\left ( y|x \right )p\left ( x \right ) 实际上就是条件概率公式的⼀个等价形式2、独⽴性 如果x和y是相互独⽴的，那么有： p\left ( x, y \right ) = p\left ( x\right )p\left ( y\right )3、贝叶斯规则（Bayes' Rule） 贝叶斯规则⼜成为贝叶斯公式，在许多领域都有着⼴泛的应⽤，其公式如下： p\left ( y|x \right )=\frac{p\left ( x|y \right )p\left ( y \right )}{p\left ( x \right )} 分母是标准化常数，⽤于确保左边的后验概率其所有可能的值之和为1。

因此，我们通常可写成： p\left ( y|x \right )=\eta p\left ( x|y \right )p\left ( x \right ) 在给定背景知识e给定的情况下，贝叶斯变成：p\left ( y|x,e \right )=\frac{p\left ( x|y,e \right )p\left ( y|e \right )}{p\left ( x|e \right )}4、边缘化 边缘概率公式如下： p\left ( x \right )= \int_{y}^{ } p\left ( x,y \right )dy 在离散的情况下，积分变成求和： p\left ( x \right )= \sum_{y}^{ } p\left ( x,y \right ) 5、全概率法则 全概率是边缘概率的⼀种变体，能通过乘法法则推导⽽来，即： p\left ( x \right )= \int_{y}^{ } p\left ( x|y \right )p\left ( y \right )dy 且，对于离散情况则为相应概率之和，即： p\left ( x \right )= \sum_{y}^{ } p\left ( x|y \right )p\left ( y \right )dy　对于连续情况，条件概率的全概率公式：p\left ( x|y \right )= \int_{z}^{ } p\left ( x|y,z \right )p\left ( z|y \right )dz 对于离散情况，条件概率的全概率公式：p\left ( x|y \right )= \sum_{z}^{ } p\left ( x|y,z \right )p\left ( z|y \right )dz6、马尔科夫假设 马尔科夫假设是指变量x_{t}，只与它直接的前⼀时刻状态x_{t-1}有关，和x_{t^{‘}-1}⽆关，其中t^{'}<t-1，则有 p\left ( x_{t}|x_{1:t-1} \right )= p\left(x_{t}|x_{t-1} \right)latax公式编辑器：，博客园只需要在选项中勾选⼀下“”即可。

概率论的公式大全概率论是数学的一个分支，研究随机事件发生的概率。

以下是概率论中常用的公式。

1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本空间中的有利结果数量，n(S)表示样本空间中的总结果数量。

2.加法公式：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)其中，P(A或B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

3.乘法公式：P(A且B)=P(A)×P(B，A)其中，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

4.条件概率公式:P(A，B)=P(A且B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

5.全概率公式：P(A)=Σ(P(A，Bi)×P(Bi))其中，P(A)表示事件A的概率，Bi表示S的一个划分，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。

6.贝叶斯公式：P(Bi，A)=(P(A，Bi)×P(Bi))/Σ(P(A，Bj)×P(Bj))其中，P(Bi，A)表示在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。

7.期望值公式：E(X)=Σ(Xi×P(Xi))其中，E(X)表示随机变量X的期望值，Xi表示X的取值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。

8.方差公式：Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 × P(Xi))其中，Var(X)表示随机变量X的方差，Xi表示X的取值，E(X)表示X 的期望值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。

9.标准差公式：SD(X) = √Var(X)其中，SD(X)表示随机变量X的标准差，Var(X)表示X的方差。

10.二项分布的概率公式：P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示X取值为k的概率，C(n,k)表示组合数，p表示单次实验成功的概率，n表示试验重复的次数，k表示成功发生的次数。

概率论基本公式概率论是数学中非常重要的一个分支，它研究的是随机现象的规律。

在概率论中，有一个基本公式，被广泛应用于各种概率计算问题中。

本文将介绍概率论基本公式的概念和应用。

概率论基本公式，也称为全概率公式，是指当事件A可以分解成若干互不相容的事件B1、B2、…、Bn时，事件A的概率等于各个事件Bi发生的概率乘以它们发生时事件A的条件概率之和。

数学表达如下：P(A) = P(B1) * P(A|B1) + P(B2) * P(A|B2) + … + P(Bn) * P(A|Bn)其中，P(A)表示事件A的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率。

概率论基本公式的应用非常广泛。

下面将通过几个实例来说明其具体应用。

1. 生日问题假设有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？我们可以将这个问题转化为逆问题，即所有人的生日都不相同的概率是多少。

根据概率论基本公式，可以得到：P(所有人生日不同) = P(第1个人生日不同) * P(第2个人生日不同|第1个人生日不同) * … * P(第n个人生日不同|前n-1个人生日不同)假设一年有365天，则第1个人生日不同的概率为1，第2个人生日不同的概率为364/365，依此类推，第n个人生日不同的概率为(365-n+1)/365。

将这些概率代入公式，即可计算出所有人的生日都不相同的概率。

然后用1减去这个概率，即可得到至少有两个人生日相同的概率。

2. 疾病检测假设某种疾病的患病率为p，某种检测方法的准确率为q，即检测结果为阳性的患病者的比例为q，检测结果为阴性的健康人的比例也为q。

现在有一个人做了这种检测，结果为阳性，问这个人真的患病的概率是多少？根据概率论基本公式，可以得到：P(真的患病|阳性) = P(患病) * P(阳性|患病) / P(阳性)其中，P(真的患病|阳性)表示在阳性结果的条件下，这个人真的患病的概率。

公式：第1章随机事件及其概率（1）排列组合公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

)!(!!nmnmC nm-=（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。

（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

ω基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。

Ω一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。

通常用大写字母ΩωA，B，C，…表示事件，它们是的子集。

Ω为必然事件，Ø为不可能事件。

Ω不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA⊂如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于BA⊂AB⊃B：A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。

第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当 A、B 互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式P( A | B) P( AB)P( B)F ( x) P( X x)P( X k)k x概率的乘法公式P( AB) P( B) P(A | B)P( A) P(B | A)全概率公式：从原因计算结果nP( A)P(B k )P( A | B k )k 1Bayes 公式：从结果找原因P(B i )P( A | B i )P (B k | A)nP( B k )P( A | B k )k 1第二章二项分布（ Bernoulli 分布）—— X~B(n,p) P(X k) C n k p k(1 p)n k，(k 0,1,...n,)泊松分布—— X~P( λ)kP( X k)e，( k0,1,...)k!概率密度函数f (x)dx 1怎样计算概P(a X b) 率P (a X b) b f (x) dxa均匀分布 X~U(a,b)1f ( x)( a x b)b a指数分布 X~Exp ()对连续型随机F ( x) P( X x) xf (t )dt 变量分布函数与密度函数的重要关系：F ( x) P( X x) xf (t )dt二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度联合分布f(x, y)F ( x, y)函数函数f ( x, y)0f ( x, y)dxdy 1联合密度与边缘密度f X (x) f (x, y)dyf Y (y) f (x, y)dx失散型随机变量的独立性P{ X i, Y j } P{ X i } P{Y j} 连续型随机变量的独立性f ( x, y) f X ( x) f Y ( y)第三章数学希望失散型随机变量，数学希望定义E( X)xkPkk连续型随机变量，数学希望定义E( X )x f ( x)dxE(a)=a，其中 a 为常数E(a+bX)=a+bE(X) ，其中 a、b 为常数E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X、Y为任意随机变量随机变量 g(X) 的数学希望E(g (X ))g ( x k ) p kk常用公式E(X)E(XY)xiyjpij xipij iji jE( X ) xf ( x, y)dxdy E( X Y) E( X ) E(Y ) E( XY) xyf ( x, y)dxdy 当 X与 Y独马上 , E( XY )E( X ) E(Y )方差定义式 D ( X )x E( X ) 2 f ( x) dx常用计算式 D (X ) E( X 2 ) E( X ) 2常用公式D ( X Y ) D ( X ) D (Y) 2E{( X E( X ))( Y E(Y ))}当 X、Y 相互独马上： D ( X Y ) D ( X ) D (Y )方差的性质D(a)=0，其中 a 为常数D(a+bX)= abD(X) ，其中 a、b 为常数当X、Y 相互独马上， D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数E X E ( X ) Y E(Y ) E( XY ) E( X )E(Y) Cov( X,Y)XY协方差的性质D(X)D(Y)Cov( X , X ) E( X 2 ) E( X ) 2 D ( X )Cov(aX ,bY) abCov(X ,Y)独立与相关独立必然不相关、相关必然不独立、不相关不用然独立第四章正态分布1 ( x ) 2e 2 2 E( X ), D ( X ) 2 (a) 1( a)f ( x) X ~ N ( , 2 )2标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式P(Z a) P(Z a)(a)P(Z a) P( Z a) 1(a)P(a Z b)(b)(a)P( a Z a)(a)( a) 2 (a) 1一般正态分布的概率计算X ~ N ( , 2 )Z X~ N (0,1)一般正态分布的概率计算公式P( X a) P( X a) ( a)P( X a) P( X a) 1a) (P(a X b) ( b) (a)。

概率论的公式大全一、基本概率公式：1.定义概率公式：对于任意事件A，概率P(A)的范围是[0,1]。

2.互补事件概率公式：对于任意事件A，概率P(A')=1-P(A)。

3.空集概率公式：对于空集Φ，概率P(Φ)=0。

二、条件概率公式：4.定义条件概率公式：对于事件A和B，当P(B)>0时，条件概率P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。

5.乘法公式：对于事件A和B，P(A∩B)=P(A，B)·P(B)。

三、独立事件公式：6.独立事件公式：对于事件A和B，当P(A)>0且P(B)>0，事件A和事件B相互独立的充要条件是P(A∩B)=P(A)·P(B)。

7.乘法公式（多个独立事件）：对于事件A1，A2，...，An，P(A1∩A2∩...∩An)=P(A1)·P(A2)·...·P(An)。

四、加法公式：8.加法公式（两个互不相容事件）：对于事件A和B，当A和B互不相容（即A∩B=Φ）时，P(A∪B)=P(A)+P(B)。

9.加法公式（两个一般事件）：对于事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

五、全概率公式：10.全概率公式：对于任意一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，且每个事件Bi的概率大于0且小于1，且它们的并集为样本空间S，则对于任意事件A，有P(A)=Σ[P(A，Bi)·P(Bi)]，其中Σ表示求和。

六、贝叶斯公式：11.贝叶斯公式：对于事件A和一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，且每个事件Bi的概率大于0且小于1，且它们的并集为样本空间S，则对于任意事件A，有P(Bi，A)=P(A，Bi)·P(Bi)/[Σ[P(A，Bj)·P(Bj)]]，其中Σ表示求和。

七、期望与方差公式：12.期望公式：对于随机变量X的概率分布函数P(x)，它的期望E(X)定义为E(X)=Σ[x·P(x)]，其中Σ表示求和。

概率论公式总结导语：概率论是一门重要的数学分支，研究状况、理论与技术，它在现代科学、工程、经济、金融等领域起着重要作用。

在概率论的研究中，有许多重要的公式被广泛应用，下面将对概率论中的一些重要公式进行总结，以期帮助读者更好地理解与应用。

一、基本概率公式基本概率公式是概率论的基石，它描述了事件发生的概率与事件发生的次数之间的关系。

设A为一个事件，n(A)为事件A发生的次数，n 为试验总次数，则基本概率公式可以表示为：P(A) = n(A) / n其中，P(A)表示事件A发生的概率。

在实际应用中，我们常常通过统计数据来估计概率，利用大数定律可以验证此公式的有效性。

二、条件概率公式条件概率公式描述了在已知一事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

设A和B是两个事件，且P(B) ≠ 0，则条件概率公式可以表示为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率。

条件概率公式在实际应用中常常用来进行推理与判断，例如在医学诊断、金融风险评估等领域。

三、贝叶斯公式贝叶斯公式是一种重要的概率论工具，它能够根据已知的一些信息，计算出相关事件的概率。

设A和B是两个事件，且P(A) ≠ 0，则贝叶斯公式可以表示为：P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

贝叶斯公式在机器学习、数据挖掘等领域有着广泛的应用，例如垃圾邮件过滤、推荐系统等。

四、全概率公式全概率公式描述了事件A的概率可以通过事件B的概率来计算。

设B₁、B₂、...、Bₙ为互不相容且构成样本空间的一组事件，且P(B₁) + P(B₂) + ... + P(Bₙ) = 1，则全概率公式可以表示为：P(A) = Σ P(A|Bₙ) * P(Bₙ)其中，Σ表示求和符号。

全概率公式在实际应用中常用于求解复杂问题的概率。

概率论公式概率论是基本统计学理论中一个重要的分支，它研究不同事件发生的可能性和其发生的几率。

概率论包括性质和方法的研究，并以一系列的表示性公式为基础，以描述统计现象、分析统计决策、进行推断统计和构建理论模型。

以下将介绍概率论中的几个重要的公式。

1、条件概率条件概率是以事件A发生的条件，描述事件B发生的几率。

条件概率的公式为：P(B|A)=P(A∩B)/P(A)，其中P(A∩B)表示A、B两个事件同时发生的概率，P(A)表示A发生的概率。

2、乘法定理乘法定理是概率论中最重要的定理，它主要是描述事件A、B发生的条件下，事件C发生的条件概率。

公式为：P（C|A∩B）＝P（C ∩A∩B）/P（A∩B）＝P（C∩A）/P（A）× P（C∩B）/P（B）。

3、期望期望是概率论中的重要概念，它描述的是事件在概率空间的预期值，公式为：E（X）＝xP(x)，其中x为概率空间的元素，P(x)为x 发生的概率。

4、协方差协方差是描述随机变量如何变化的概率量度，用于分析两个变量间的关系。

它的公式为：COV（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y），其中E（XY）表示两个变量X、Y乘积的期望值，E（X）、E（Y）分别表示X、Y的期望。

在统计学中，建立统计模型的过程涉及到概率论的诸多概念。

因此，要熟悉概率论的公式，才能更好的建立统计模型。

上面介绍的这些公式是概率论中最重要的几个，是建立统计模型的重要基础。

它们不仅为建立概率论模型提供了必要的条件，而且也为统计模型提供了基础。

概率论中的公式只是概率论模型的表示形式，使用不同的公式可以表示不同形式的概率论模型。

例如，离散概率分布可以用伯努利模型来表示，而连续概率分布可以用正态分布来表示，这些公式提供了分析概率论的可能性。

概率论的公式是建立概率论模型的基础，它们提供了可视化建立模型的可能性，为统计学的发展提供了可能性。

此外，这些公式也为统计模型的建立提供了重要参考。

因此，对概率论中的公式要有深入的了解和理解，以便更好地运用这些公式来建立概率论模型。

概率论与数理统计基本公式第一部分 概率论基本公式1、)(;A B A B A AB A B A B A -⋃=⋃-==--例：证明：成立。

得证。

成立，也即成立，也即（不发生，从而发生，则不发生，，知由（证明：（B A B A AB A B B A AB A B B B A B A B A AB A B B A --=-⋃-⋃-==-=-⋃--)).) 2、对偶率：.----⋃=⋂⋂=⋃B A B A B A B A ；3、概率性率：(1))()()(212121A P A P A A P A A +=⋃为不相容事件，则、有限可加：(2))()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-⊂-=-时有：特别，（3）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃对任意两个事件有：)();();();()1(.4.0)(2.0)(5.0)(AB P B A P B A P AB P B P B A P A P ⋃-===--求：，，例：已知：.3.0)(1)(,7.0)()()()(3.0)()()(,5.0)(.,2.0)()()()(,=⋃-=⋃==-+=⋃=-=-∴===+∴=+---B A P B A P AB P AB P B P A P B A P AB P A P B A P A P AB P B P B A P AB P B A B B B A AB 又即是不相容事件，、且解：4、古典概型222n 2!)(n ,22)-n 2)!n 2(22nC n A P C A n n n ==！，则自成一双为：！！（解：分堆法：每堆自成一双鞋的概率只，事件堆，每堆为只，分为双鞋总共例： 5、条件概率称为无条件概率。

的条件概率，条件下，事件称为在事件)(,)()()|(B P B A A P AB P A B P =B)|P(B)P(A P(AB) A)|P(A)P(B P(AB)==乘法公式：)|()()(i i A B P A P B P i∑=全概率公式：)|()()|()()()()|(j j ji i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P i ∑==贝叶斯公式：例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？.348.0)()()|()|()2(.639.0)(31)()()(.21)|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i }{)1(111321321i i 321≈=≈∴==========∑A P B P B A P A B P A P B P B P B P B A P B A P B A P A B P A P B P B B B A i B ii 由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是一个完备事件、、，由题知取得是红球。