高考数学概率大题知识点

2024高考数学压轴题——概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结2024高考数学压轴题——概率与统计的挑战与应对随着高考的临近，数学科目的复习也进入了关键阶段。

2024年的高考数学压轴题将会涉及到概率与统计的内容，这不仅考察学生的基本数学知识，更侧重于考察学生的逻辑思维能力、实际应用能力和问题解决能力。

本文将针对这一部分的常见题型、解题思路和知识点进行总结，希望能为广大考生提供一些帮助和指导。

一、常见题型的解题思路1、概率计算：在解决概率计算问题时，学生需要明确事件的独立性、互斥性和概率公式的应用。

尤其是古典概率和条件概率的计算，需要学生熟练掌握。

对于涉及多个事件的概率计算，学生需要理清事件的关联关系，采用加法、乘法或全概率公式进行计算。

2、随机变量及其分布：这部分要求学生掌握离散型和连续型随机变量的分布律及分布函数，理解并掌握几种常见的分布，如二项分布、泊松分布和正态分布等。

对于随机变量的数字特征，如期望、方差和协方差等，学生需要理解其含义并掌握计算方法。

3、统计推断：在统计推断问题中，学生需要掌握参数估计和假设检验的基本方法。

对于点估计，学生需要理解矩估计法和最大似然估计法的原理，并能够进行计算。

对于假设检验，学生需要理解显著性检验的原理，掌握单侧和双侧检验的方法。

4、相关与回归分析：相关与回归分析要求学生能够读懂散点图，理解线性相关性和线性回归的概念，掌握回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。

二、概率与统计的相关知识点总结1、概率的基本概念：事件、样本空间、事件的概率、互斥事件、独立事件等。

2、随机变量及其分布：离散型随机变量和连续型随机变量，二项分布、泊松分布和正态分布等。

3、统计推断：参数估计、假设检验、点估计、置信区间、单侧和双侧检验等。

4、相关与回归分析：线性相关性和线性回归的概念，回归方程的拟合方法和拟合优度的评估方法。

三、示例分析下面我们通过一个具体的示例来演示如何分析和解决一道概率与统计的压轴题。

概率与统计知识点及专练（一）统计基础知识：1. 随机抽样：（1）．简单随机抽样：设一个总体的个数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.（2）．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.（3）．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.2. 普通的众数、平均数、中位数及方差： （1）.众数：一组数据中，出现次数最多的数（2）.平均数：常规平均数：12nx x x x n ++⋅⋅⋅+=（3）.中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数（4）.方差：2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-+⋅⋅⋅+-（5）.标准差：s3 .频率直方分布图中的频率：（1）.频率 =小长方形面积：f S y d ==⨯距；频率=频数/总数； 频数=总数*频率（2）.频率之和等于1：121n f f f ++⋅⋅⋅+=；即面积之和为1： 121n S S S ++⋅⋅⋅+=4. 频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差： （1）.众数：最高小矩形底边的中点（2）.平均数：112233n n x x f x f x f x f =+++⋅⋅⋅+ 112233n n x x S x S x S x S =+++⋅⋅⋅+（3）.中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值（4）.方差：22221122()()()nn s x x f x x f x x f =-+-+⋅⋅⋅+-5.线性回归直线方程：（1）.公式：ˆˆˆy bx a=+其中：1122211()()ˆ()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nx====---∑∑==--∑∑（展开）ˆˆa y bx=-（2）.线性回归直线方程必过样本中心(,) x y（3）.ˆ0:b>正相关；ˆ0:b<负相关（4）.线性回归直线方程：ˆˆˆy bx a=+的斜率ˆb中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到6. 回归分析：（1）.残差：ˆˆi i ie y y=-（残差=真实值—预报值）分析：ˆie越小越好（2）.残差平方和：2 1ˆ() ni iiy y =-∑分析：①意义：越小越好；②计算：222211221ˆˆˆˆ()()()() ni i n niy y y y y y y y =-=-+-+⋅⋅⋅+-∑（3）.拟合度（相关指数）：2 2121ˆ()1()ni iiniiy y Ry y==-∑=--∑分析：①.(]20,1R∈的常数；②.越大拟合度越高（4）.相关系数：()()n ni i i ix x y y x y nx y r---⋅∑∑==分析：①.[1,1]r∈-的常数；②.0:r>正相关；0:r<负相关③.[0,0.25]r∈；相关性很弱；(0.25,0.75)r∈；相关性一般；[0.75,1]r∈；相关性很强7. 独立性检验：（1）.2×2列联表（卡方图）： （2）.独立性检验公式①．22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++②．上界P 对照表：（3）.独立性检验步骤：①．计算观察值k ：2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++ ②．查找临界值0k ：由犯错误概率P ，根据上表查找临界值0k③．下结论：0k k ≥即认为有P 的没把握、有1-P 以上的有把握认为两个量相关；0k k <：即认为没有1-P 以上的把握认为两个量是相关关系。

高考概率知识点及题型在高考中，概率是数学必考的一个重要知识点。

概率是用来描述事件发生的可能性或不可能性的一种数学工具。

掌握概率知识不仅对高考有很大帮助，也有助于我们在日常生活中做出理性判断。

下面将介绍一些常见的高考概率知识点和题型。

一、基本概念1. 事件与样本空间：事件是指某个结果的集合，样本空间是指一个随机试验所有结果的集合。

例如，掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，而事件可以是“出现正面”的情况。

2. 概率：概率是一个事件发生的可能性，用一个介于0和1之间的数来表示。

如果事件发生的可能性越大，概率就越接近1；反之，越接近0。

概率的计算可以通过计数或几何概率的方法来进行。

3. 相互排斥事件与互斥事件：相互排斥事件是指两个事件不可能同时发生，而互斥事件是指两个事件不能共同发生，但可以各自发生。

4. 独立事件与非独立事件：独立事件是指一个事件的发生不受其他事件的影响，而非独立事件则相反。

二、概率题型1. 确定事件的概率：这种题型要求根据题目的描述，确定某个事件发生的概率。

例如，“一枚骰子掷出的点数为奇数”的概率是多少？2. 计算组合事件的概率：这种题型要求根据事件的组合情况，计算事件发生的概率。

例如，“从1-10中选择两个不同的数，组成一个两位数”的概率是多少？3. 逆向概率题：这种题型要求根据已知的概率和相关信息，推断出可能的事件。

例如，“已知某一件商品的次品率为0.05，现从该批商品中随机抽取1件，抽到次品的概率是多少？”4. 条件概率题：这种题型要求根据给定的条件，计算某个事件发生的概率。

例如，“某班级男生人数为30人，女生人数为40人。

从中随机抽取一人，抽到男生且抽到女生的概率是多少？”5. 互斥事件概率题：这种题型要求根据已知的概率和条件，计算两个互斥事件中至少一个发生的概率。

例如，“已知学生中40%选择A专业，30%选择B专业，那么至少选择一个专业的概率是多少？”6. 解决问题的概率题：这种题型主要考察学生运用概率知识解决实际问题的能力。

专题22高中数学概率的问题【知识总结】1．古典概型的概率公式P (A )＝事件A 包含的样本点数试验的样本点总数. 2．独立重复试验如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0，1，2，…，n ． 3．相互独立事件同时发生的概率：若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )．4．互斥事件至少有一个发生的概率：若事件A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，P (A －)＝1－P (A )．5．条件概率公式设A ，B 为随机事件，且P(A)>0，则P (B |A )＝P (AB )P (A ). 【高考真题】1．(2022·全国乙理)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ____________．2．(2022·全国甲理) 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 3．(2022·全国甲文) 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )A ．15B ．13C ．25D ．23 4．(2022·新高考Ⅰ) 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．235．(2022·全国乙理) 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、 乙、丙比赛获胜的概率分别为123, , p p p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则( ) A ．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B ．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大 C ．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大 D ．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大【题型分类】题型一 古典概型1．(2021·全国甲)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )A ．13B ．25C ．23D ．452．已知多项选择题的四个选项A ，B ，C ，D 中至少有两个选项正确，规定：如果选择了错误选项就不得 分．若某题的正确答案是ABC ，某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为( )A ．12B ．310C ．16D ．3113．有4个大小、形状相同的小球，装在一个不透明的袋子中，小球上分别标有数字1,2,3,4．现每次有放 回地从中随机取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：1314 1234 2333 1224 3322 1413 31244321 2341 2413 1224 2143 4312 24121413 4331 2234 4422 3241 4331 4234由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为( )A ．23B ．13C ．27D ．5214．从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为( )A ．114B ．37C ．47D ．345．定义：abcde ＝10 000a ＋1 000b ＋100c ＋10d ＋e ，当五位数abcde 满足a <b <c ，且c >d >e 时，称这个 五位数为“凸数”．由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为( )A ．16B ．110C ．112D ．1206．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的 上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率为________．7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分 为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A ．516B ．1132C ．2132D ．11168．“六艺”出自《周礼·地官司徒·保氏》，是指礼、乐、射、御、书、数．已知某人觉得“君子不学礼无 以立”，而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣，该人依据自己能力，只能为每个孩童选择六艺中的四艺进行培养，若要令该人和两个孩童对所选的四艺都满意，那么两个孩童至少有一个选到“御”的概率为( )A ．12B ．34C ．59D ．459．甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A ，B ，C 三家医院接种新冠疫苗，每家医院恰有1人预约．已知 A 医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体新冠疫苗，B 医院接种的是需要打两针的灭活新冠疫苗，C 医院接种的是需要打三针的重组蛋白新冠疫苗，问：甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率等于( )A ．13B ．23C ．12D ．1910．北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用．北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗，一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为( )A ．1021B ．1121C ．1142D ．521题型二 相互独立事件与独立重复试验11．(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立12．某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响，则( )A ．该软件通过考核的概率为18B ．该软件在第三轮考核被淘汰的概率为18C ．该软件至少能够通过两轮考核的概率为23D ．在此次比赛中该软件平均考核了6524轮13．甲、乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场球赛无平局．根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以3∶2获胜的概率为________．14．小明在做一个与扔质地均匀的正六面体骰子有关的游戏，规定：若骰子1点或2点向上，则小明前进1步，若骰子3点或4点向上，则小明前进2步，若骰子5点或6点向上，则小明前进3步．小明连续扔了三次骰子，则他一共前进了8步的概率是( )A ．127B ．227C ．19D ．2915．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为p 1和p 2，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1<p 2C ．p 1>p 2D ．以上三种情况都有可能16．(多选)甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的 是( )A ．目标恰好被命中一次的概率为12＋13B ．目标恰好被命中两次的概率为12×13C ．目标被命中的概率为12×23＋12×13D ．目标被命中的概率为1－12×2317．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制(当一人先赢3局时获胜，比赛结束)．棋局以红棋与黑棋对阵，两人执色轮流交换，执红棋者先走．假设甲执红棋时取胜的概率为23，执黑棋时取胜的概率为12，各局比赛结果相互独立，且没有和局．若比赛开始，甲执红棋开局，则甲以3∶2获胜的概率为________．18．如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯 亮的概率为( )A ．38B ．12C ．58D ．7819．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制(当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束)．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13．若前两局中乙队以2∶0领先，则下列说法中正确的有________(填序号)．①甲队获胜的概率为827；②乙队以3∶0获胜的概率为13； ③乙队以3∶1获胜的概率为29；④乙队以3∶2获胜的概率为49． 20．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为25，则在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局的概率为( )A ．225B ．310C ．110D ．325题型三 条件概率与全概率21．2020年12月4日是第七个“国家宪法日”．某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为23，连续答对两道题的概率为12.用事件A 表示“甲同学答对第一道题”，事件B 表示“甲同学答对第二道题”，则P (B |A )＝( )A ．13B ．12C ．23D ．3422．篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出2个球，记事件A 为“取出的2个球颜色不同”，事件B 为“取出1个红球，1个白球”，则P (B |A )等于( )A ．16B ．313C ．59D ．2323．某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A 为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B 为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P (A |B )等于( )A ．16B ．310C ．12D ．3524．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )A ．310B ．13C ．38D ．2925．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30．若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是( )A ．0.155B ．0.175C ．0.016D ．0.09626．已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为( )A ．1100B ．160C ．150D ．13027．(多选)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A 为“第1次抽到选择题”，事件B 为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )A ．P (A )＝35B ．P (AB )＝310C ．P (B |A )＝12D ．P (B |A )＝1228．甲、乙两个均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1,2,3,4，乙四个面上分别标有数字5,6,7,8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是( )A ．P (A )＝P (B )＝P (C ) B ．P (BC )＝P (AC )＝P (AB )C ．P (ABC )＝18D ．P (B |A )＝1229．有三个箱子，分别编号为1,2,3．1号箱装有1个红球、4个白球，2号箱装有2个红球、3个白球，3号箱装有3个红球．某人从三个箱子中任取一箱，从中任意摸出一球，取得红球的概率为________．30．有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%，则下列选项正确的有( )A ．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0．06B ．任取一个零件是次品的概率为0．052 5C ．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为27D ．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为27。

高考数学大题概率知识点1. 引言高考数学中，概率是一个重要的章节。

掌握概率知识对于解答大题尤为关键。

本文将介绍高考数学大题中常见的概率知识点，帮助考生更好地应对考试。

2. 样本空间与事件解决概率问题首先要确定样本空间和事件。

样本空间是指一个试验的所有可能结果的集合，而事件是样本空间内的一个子集。

对于一些复杂的问题，借助树状图或排列组合的方法可以帮助我们确定样本空间和事件。

3. 互斥事件和对立事件互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，例如投掷一枚硬币的正面和反面。

而对立事件指的是两个事件只能有一个发生，例如投掷一枚骰子的结果为偶数或奇数。

4. 概率的计算方法概率可以用频率的方法计算，即频率等于发生次数除以总次数。

然而在高考中，更常用的是基于概率的计算方法。

对于等可能的样本空间，事件A发生的概率等于事件A的基本结果数除以样本空间的基本结果数。

5. 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

条件概率的计算方法是在已知条件下，将事件A与事件B的交集除以事件B的概率。

例如，已知某人患病的条件下，他接受某种治疗方法的概率。

6. 事件的独立性两个事件A和B是独立的，指的是事件A的发生与否与事件B 的发生与否无关。

在概率计算中，独立事件的概率计算方法是将事件A的概率乘以事件B的概率。

例如，两次独立投掷一枚硬币的结果。

7. 事件的相互依赖两个事件A和B是相互依赖的，指的是事件A的发生与否会影响事件B的发生与否。

在概率计算中，需要根据已知条件和条件概率进行计算。

例如，抽取有放回和无放回的问题。

8. 排列组合与概率计算在一些情况下，概率计算需要借助排列组合的知识。

例如，从n个元素中取出m个，每次取出后不放回，再继续取出的问题。

对于这类问题，可以利用排列组合的知识计算事件的基本结果数，从而计算概率。

9. 常见题型分析高考中常见的概率题型包括抽球问题、生日问题、赛事问题等。

抽球问题涉及到有放回和无放回的情况，需要根据已知条件进行计算。

高考数学概率知识点总结概率是数学中一个重要的分支，也是高考数学考试中的一个重要内容。

掌握好概率的知识点对于高考数学的考试非常有帮助。

下面将对高考数学中的概率知识点进行总结。

一、随机事件和样本空间在概率问题中，我们首先需要定义随机事件和样本空间。

随机事件是指在一次试验中可能出现的一个结果或一些结果的集合。

样本空间是指一次试验的所有可能结果的集合。

二、概率的定义与性质1. 概率的定义：如果对于一个随机事件A，它的样本空间S中的每个结果发生的可能性都是相等的，那么事件A发生的概率P(A)的定义为P(A) = 事件A中的有利结果数目 / 样本空间S中的结果数目。

2. 概率的性质：(1) 0 ≤ P(A) ≤ 1。

(2) P(S) = 1，其中S为样本空间。

(3) 对于任意两个互斥事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B)。

三、互斥事件与对立事件1. 互斥事件：如果两个事件A和B的发生是互相排斥的，即A发生时B不发生，B发生时A不发生，那么称事件A和B是互斥事件。

2. 对立事件：对于一个事件A，与事件A互斥的事件称为事件A的对立事件，记为A'。

对立事件的发生与事件A的发生互为对立。

四、加法定理加法定理是计算两个事件联合概率的公式。

设A和B是两个事件，那么P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

五、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

设事件B发生的条件下事件A发生的概率为P(A|B)，则条件概率的计算方法为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

六、乘法定理乘法定理是计算两个事件交集概率的公式。

设事件A和B为两个事件，那么P(A∩B) = P(B) × P(A|B)。

七、全概率公式全概率公式是用来计算一个事件的概率的公式。

设事件A和事件B1、B2、B3、...互斥且构成样本空间S，那么有P(A) = P(A|B1) × P(B1) + P(A|B2) × P(B2) + P(A|B3) × P(B3) + ...八、贝叶斯定理贝叶斯定理是根据条件概率的公式变形得到的公式。

高考概率题知识点理科概率是数学中一个非常重要的概念，它在高考数学理科中占据着很大一部分。

了解和熟悉概率题的知识点，对于高考数学的备考有着至关重要的意义。

下面将介绍一些常见的高考概率题的知识点。

一、基本概率问题基本概率问题是概率题中最常见的问题类型，它包括了计算事件的概率、计算多个事件的交集和并集等。

在解决这类问题时，我们首先需要明确事件的定义，然后利用概率的定义进行计算。

例如，某班级有50名学生，其中20人喜欢运动。

如果从中随机选择一名学生，那么他喜欢运动的概率是多少？这个问题中，喜欢运动的学生构成了一个事件，而从中随机选择一名学生则是该事件的样本空间。

根据概率的定义，我们可以计算出喜欢运动的概率为20/50=0.4。

二、独立事件与非独立事件独立事件和非独立事件是高考概率题中另一个重要的知识点。

独立事件是指事件之间的发生没有关系，即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。

而非独立事件则相反。

在解决独立事件的问题时，我们可以使用乘法原理进行计算。

例如，某班级有10名男生和15名女生，如果从中随机选择两名学生，那么他们都是女生的概率是多少？因为选择第一名学生是女生的概率为15/25，选择第二名学生时，因为前一名学生已经确定为女生，所以第二名学生也是女生的概率为14/24。

根据乘法原理，我们可以计算出两名学生都是女生的概率为(15/25) * (14/24)。

对于非独立事件的问题，我们需要使用条件概率进行计算。

条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。

例如，某班级有10名男生和15名女生，如果从中随机选择两名学生，第一名学生是女生的条件下，第二名学生也是女生的概率是多少？因为第一名学生已经确定为女生，所以第二名学生也是女生的概率为14/24。

根据条件概率的定义，我们可以计算出第二名学生是女生的概率为14/24。

三、排列与组合排列与组合是高考概率题中另一个常见的问题类型。

排列是指从一组元素中取出若干个元素进行有序排列，而组合则是指从一组元素中取出若干个元素进行无序排列。

高中数学高考综合复习专题三十三概率一、知识网络二、高考考点1、等可能性事件的概率问题；2、互斥事件有一个发生的概率问题；3、相互独立事件同时发生的概率问题；4、上述概率公式的综合运用问题。

三、知识要点（一）随机事件的概率1．随机事件在一定的条件下必然发生的事件，叫做必然事件；在一定的条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。

2．随机事件的概率在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，并在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。

必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0；随机事件的概率P（A）∈[0，1]。

提醒：注意频率与概率的区别和联系。

设随机事件A在n次试验中发生了m次，则比值叫做随机事件A的频率（或相对频率），在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率有稳定性——总在某个常数附近摆动，并且随着试验次数的不断增多，这种摆动的幅度越来越小，此时，这个常数即为随机事件A的概率，概率可以看作频率在理论上的期望值。

3．等可能性事件的概率（古典概型）（1）等可能性事件如果在随机试验中可能出现有限个不同的试验结果，并且这些试验结果出现的可能性都相等，那么这一试验中的某一事件A称为等可能性事件。

（2）古典概型公式（Ⅰ）基本事件一次试验连同可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

认知：基本事件是不可能再分的事件，一次试验中只能出现一个基本事件。

通常一次试验中的某一事件A由几个基本事件组成。

（Ⅱ）概率公式如果一次试验中可能出现的结果有n个（即此试验由n个基本事件组成），而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率（Ⅲ）集合解释在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合Ⅰ（这n个结果就是集合Ⅰ的n个元素），各基本事件均对应于集合Ⅰ的含有1个元素的子集，包含m个结果的事件A对应于含有m个元素的子集A，则。

高考数学：条件概率问题总结复习1．条件概率的概念设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝ 为在事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率．P (B |A )读作 发生的条件下 发生的概率． 2．条件概率的性质 (1)P (B |A )∈ ．(2)如果B 与C 是两个互斥事件，则 P (B ∪C |A )＝ .[一点通] 求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P (B |A )＝n (AB )n (A )，其中n (AB )表示事件AB 包含的基本事件个数，n (A )表示事件A 包含的基本事件个数．二是直接根据定义计算，P (B |A )＝P (AB )P (A )，特别要注意P (AB )的求法．[例1] 一只口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？[思路点拨] 先摸出1个白球后放回或不放回，影响到后面取到白球的概率，应注意两个事件同时发生的概率的不同．[精解详析] (1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸到白球”为AB ，先摸1球不放回，再摸1球共有4×3种结果．∴P (A )＝2×34×3＝12，P (AB )＝2×14×3＝16.∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A 1，“再摸出1个白球”为事件B 1，两次都摸到白球为事件A 1B 1.∴P (A 1)＝2×44×4＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝14.∴P (B 1|A 1)＝P (A 1B 1)P (A 1)＝1412＝12.故先摸1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13；先摸1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.1．抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能 结果为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，记事件A ＝{2,3,5}，B ＝ {1,2,4,5,6}，则P (A |B )＝ ( )A.12B.15C.25D.35解析：P(B)＝56，P(A∩B)＝13，P(A|B)＝P(AB)P(B)＝1356＝252．已知P(A|B)＝12，P(B)＝13，则P(AB)＝________.解析：∵P(A|B)＝P(AB) P(B)，∴P(AB)＝P(A|B)P(B)＝12×13＝16.3．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？解：设“甲地为雨天”为事件A，“乙地为雨天”为事件B，由题意，得P(A)＝0.20，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12.(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是P(A|B)＝P(AB)P(B)＝0.120.18≈0.67.(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.120.2＝0.60.探究点一条件概率问题13张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？答最后一名同学抽到中奖奖券的概率为13，不比其他同学小．问题2如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？答按照古典概型的计算公式，此时最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 2.小结已知第一名同学的抽奖结果会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率，这就是条件概率．例1在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”就是事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n(Ω)＝A25＝20.根据分步乘法计数原理，n(A)＝A13×A14＝12.于是P(A)＝n(A)n(Ω)＝1220＝35.(2)因为n(AB)＝A23＝6，所以P(AB)＝n(AB)n(Ω)＝620＝310.(3)方法一由(1)(2)可得，在“第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题”的概率为P(B|A)＝P(AB) P(A)＝31035＝12.方法二因为n(AB)＝6，n(A)＝12，所以P(B|A)＝n(AB)n(A)＝612＝12.小结利用P(B|A)＝n(AB)n(A)解答问题的关键在于明确B中的基本事件空间已经发生了质的变化，即在A事件必然发生的前提下，B事件包含的样本点数即为事件AB包含的样本点数．跟踪训练1一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率．解方法一记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黑球”为事件B.显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率为P(AB)＝6×410×9＝415.由条件概率的计算公式，得P(B|A)＝P(AB)P(A)＝415610＝49.方法二这个问题还可以这样理解：第一次取到白球，则只剩9个球，其中5个白球，4个黑球，在这个前提下，第二次取到黑球的概率当然是4 9.探究点二条件概率的性质及应用问题条件概率满足哪些性质？答条件概率具有一般概率的性质，即对P(B|A)来说有：①0≤P(B|A)≤1；②如果B，C为互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．例2一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解设“第i次按对密码”为事件A i(i＝1,2)，则A＝A1∪(A1A2)表示“不超过2次就按对密码”．(1)因为事件A1与事件A1A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(A1A2)＝110＋9×110×9＝15.(2)用B表示“最后一位按偶数”的事件，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P(A1A2|B)＝15＋4×15×4＝25.小结本题条件多，所设事件多，要分清楚事件之间的关系及谁是条件，同时利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使有些条件概率的计算较为简捷，但应注意这个性质在“B与C互斥”这一前提下才成立．跟踪训练2在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解设事件A为“该考生6道题全答对事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另两道答错”,事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A、B、C两两互斥，且D＝A∪B∪C，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝C610C620＋C510·C110C620＋C410·C210C620＝12 180C620∵P(AD)＝P(A∩D)＝P(A)，P(BD)＝P(B∩D)＝P(B)，∴P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝P(A)P(D)＋P(B)P(D)＝C610C62012 180C620＋C510·C110C62012 180C620＝1358.所以他获得优秀成绩的概率是13581.某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是________．解析设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B⊆A，故AB＝B，于是P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝0.40.8＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.2．1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于（） A.18 B.14 C.25 D.12解析P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(AB)＝C22C25＝110，P(B|A)＝P(AB)P(A)＝14.3．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚值班的概率为________．解析设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”则P(A)＝C16C27，P(AB)＝1C27，故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝16.4．考虑恰有两个小孩的家庭．若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率．(假定生男生女为等可能)解Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．设B＝“有男孩”，则B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}．A＝“有两个男孩”，则A＝{(男，男)}，B1＝“第一个是男孩”，则B1＝{(男，男)，(男，女)}于是得P(B)＝34，P(BA)＝P(A)＝14，∴P(A|B)＝P(BA)P(B)＝13；P(B1)＝12，P(B1A)＝P(A)＝14，∴P(A|B1)＝P(B1A)P(B1)＝12.1．条件概率：P(B|A)＝P(AB)P(A)＝n(AB)n(A).2．概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA中，计算B发生的概率．用古典概型公式，则P(B|A)＝AB中样本点数ΩA中样本点数，P(AB)＝AB中样本点数Ω中样本点数高考数学重点：条件概率问题总结+题型详细分类解析。

数学高考概率大题知识点高中数学概率大题是高考中的一个重要考点，考察学生对概率知识的理解和应用能力。

本文将从概率的基本概念、条件概率、独立事件和排列组合等方面，介绍一些常见的概率大题知识点。

概率是研究随机事件发生可能性的数学分支。

在概率论中，试验是指对某个随机现象的观察或操作，事件是试验的某个结果。

概率是描述试验结果的可能性的比例。

在高考中，我们经常会遇到各种概率大题，如计算事件发生的概率、根据条件概率求解问题等。

一、概率的基本概念1. 样本空间和事件：样本空间是指试验可能结果的集合，用Ω表示。

而事件是样本空间Ω的子集，表示我们感兴趣的一些结果。

2. 事件的概率：事件A（记作P(A)）的概率是指事件A发生的可能性。

在概率的计算中，我们常常使用频率和古典概率公式来计算概率。

3. 频率概率：频率概率是通过多次重复试验，统计实验结果出现的频率得出的概率。

频率概率计算方法是通过进行大量实验，统计某个事件发生的次数与总实验次数的比值。

4. 古典概率：古典概率基于事件发生的可能性相等的假设。

在一个有限的样本空间Ω中，古典概率P(A)等于事件A中有利的结果数除以样本空间Ω中总的结果数。

二、条件概率条件概率是指在某个条件下，事件发生的概率。

在计算条件概率时，我们需要考虑给定事件已经发生的前提下，另一个事件发生的概率。

条件概率的计算方法是通过使用条件概率公式来计算。

三、独立事件在概率论中，如果两个事件A和B的概率满足P(A|B) = P(A)和P(B|A) = P(B)，则我们称事件A和B是独立事件。

独立事件是指当一个事件的发生与其他事件无关时的情况。

在许多概率大题中，我们需要判断事件之间是否是独立事件，以便进行正确的计算。

四、排列组合排列和组合是高中数学中的一个重要内容，也是概率大题中常见的题型。

排列是指从n个元素中取出m个元素进行有序排列的方式的总数。

组合是指从n个元素中取出m个元素进行无序排列的方式的总数。

在概率大题中，我们需要运用排列组合的知识，计算符合要求的事件发生的概率。