第34卷第4期2023年7月㊀㊀水科学进展ADVANCES IN WATER SCIENCE Vol.34,No.4Jul.2023DOI:10.14042/ki.32.1309.2023.04.004城市暴雨洪涝多尺度分层嵌套模拟技术张红萍1,2,郝晓丽1,2,胡昌伟1,2,臧文斌1,2,任汉承1,胡春宏3(1.中国水利水电科学研究院防洪抗旱减灾研究中心,北京㊀100038;2.水利部京津冀水安全保障重点实验室,北京㊀100038;3.中国水利水电科学研究院流域水循环模拟与调控国家重点实验室,北京㊀100038)摘要:针对城市暴雨洪涝模拟存在的计算精度与计算时间及数据可获得性等方面的矛盾,基于城市暴雨产生洪涝过程的时空特性,提出一种城市暴雨洪涝多尺度分层嵌套模拟技术㊂在全分布式模型的精细网格基础上,叠加大尺度计算单元,上层大尺度计算单元用于非淹没区的降雨产汇流模拟,底层精细网格用于淹没区的洪涝淹没过程模拟,且2种尺度计算网格实现 分层嵌套,实时切换 ㊂应用这种分层嵌套模拟技术,模拟程庄子铁路桥区2020年 8㊃12 暴雨积水过程,取得较好的效果㊂研究表明,多尺度分层嵌套模拟技术,在保障较好的模拟精度的同时,可以大幅节省计算时间,有望为大区域城市暴雨洪涝模拟应用提供一种有效的技术手段㊂关键词:城市暴雨洪涝;城市洪涝模型;全分布式模型;分层嵌套模型中图分类号:TV147㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀文章编号:1001-6791(2023)04-0510-10收稿日期:2023-02-24;网络出版日期:2023-07-07网络出版地址:https :ʊ /kcms2/detail /32.1309.P.20230707.1331.004.html基金项目:国家自然科学基金资助项目(U2240203);中国水利水电科学研究院水旱灾害防御战略研究人才创新团队项目(JZ0145C012023)作者简介:张红萍(1976 ),女,湖北红安人,正高级工程师,博士,主要从事防洪减灾及城市洪涝模拟方面的研究㊂E-mail:hpzhang@ 通信作者:胡春宏,E-mail:huch@ 城市暴雨洪涝模拟技术研究,是当前相关领域研究的热点和难点㊂国外Bates 等[1]㊁Hunter 等[2]㊁Adeogun 等[3]㊁Leandro 等[4]提出了各自的城市洪涝模拟模型;国内徐宗学等[5]㊁黄国如等[6]㊁侯精明等[7]在城市暴雨洪涝模拟的原理㊁技术和应用等方面进行了大量的研究㊂国内外现有的城市暴雨洪涝模拟,根据降雨产汇流模式及各水文过程耦合方式的不同,可以分为半分布和全分布2种技术模式[8]㊂其中,半分布模式以子汇水区为降雨产汇流计算单元,计算量相对较小,对管网数据依赖度较低,是当前国内外城市暴雨内涝模拟研究和应用中最为普遍的模式[9-11]㊂但这种模式只能模拟由管渠溢流造成的地表淹没过程,对强降雨引起的地表洪涝淹没过程的模拟,物理机制上存在一定的不足㊂全分布模式,直接利用地表二维水动力学模型统一进行地表产汇流和积水淹没计算,较半分布式模型具有更明确的物理机制,能精细地模拟强降雨引起的地表洪涝淹没过程,是当前城市暴雨洪涝模拟研究中的前沿热点[12-14]㊂然而,这种模式计算量大,对基础数据要求高,成为制约其实际应用的关键瓶颈㊂多尺度模拟是平衡计算量和计算精度的一种常用技术方法,在众多领域的数值模拟中有着广泛的应用㊂在水文模拟领域,有时间多尺度和空间多尺度2个概念,传统水文预报的多尺度,主要是指时间多尺度,而空间多尺度研究相对较少[15]㊂许继军等[16]提出了一种空间嵌套式的流域水文模型,该方法中多尺度模型分别应用于不同区域,实际上是一种分区耦合方法㊂在水动力模拟领域,多尺度网格嵌套技术由来已久,Nash 等[17]提出了一种多尺度网格嵌套的水动力模型MSN_FLOOD,该模型注重于水动力模拟,主要用于由外部洪水造成的洪涝淹没过程的模拟,如Comer 等[18]将MSN_FLOOD 应用于沿海城市由于洪/潮共同作用造成的城市洪涝淹没㊂侯精明等[19]提出了一种基于非均匀网格的洪涝模拟模型,并应用于城市内涝模拟,该模型实际上是一种混合网格技术,不同尺度网格间须按1ʒ2的比例衔接㊂另外,Hénonin 等[20]提出了粗细2个尺度㊀第4期张红萍,等:城市暴雨洪涝多尺度分层嵌套模拟技术511㊀的网格嵌套技术,模拟了北京市2012年暴雨洪涝过程,该方法在粗尺度网格上应用水动力学模型求解平均变量,在细尺度网格上对平均变量进行再分配㊂暴雨引起的城市洪涝淹没过程模拟,本质上是城市下垫面条件下的降雨产汇流模拟㊂由于城市下垫面的复杂性以及模拟关注重点不同,与传统的流域水文模拟和由于洪/潮泛滥造成的洪水演进模拟存在诸多不同[8]㊂上述水文模拟或水动力模拟领域的多尺度耦合或嵌套技术,依然不能克服城市暴雨洪涝模拟过程中存在的计算精度与计算时间成本㊁数据可获得性等方面的矛盾,因而仍然难以满足实际应用需要㊂本研究根据城市暴雨洪涝过程的时空特性,提出一种多尺度分层嵌套的模拟技术,综合现有半分布和全分布模式的优点,扬长避短,从而更好地满足城市暴雨洪涝模拟实际应用需要㊂1㊀原理与方法1.1㊀基本原理城市暴雨引起地表洪涝淹没的过程,在空间和时间上存在2个重要特性㊂从空间尺度上看,暴雨引起的城市地表洪涝淹没,往往发生在局部低洼地区或排水系统超载处㊂而城市还有相当大的区域,由于地势较高或者排水能力较强,发生洪涝淹没的风险较小㊂这些风险较小的区域是重要的水文响应单元,但不是洪涝模拟的重点关注区域,一般只需降雨产汇流计算,并不需要精细化的地表积水淹没计算㊂从时间尺度上看,一场暴雨引发地表洪涝淹没过程,一般不会发生在整个降雨期间㊂在降雨初期,由于地表下渗能力较强,排水系统能力充足,地表尚未形成积水,因此,也不需要进行精细化地表积水淹没模拟;在降雨中后期,随着降雨强度增加,城市下垫面和排水系统逐渐饱和,地表积水淹没逐步形成,才有必要进行精细化地表模拟㊂本研究根据上述城市暴雨洪涝时空特性,在自主研发的全分布模型基础上,提出一种多尺度分层嵌套的模拟技术㊂以全分布模型的地表精细网格为基础,叠加大尺度计算单元,大尺度计算单元用于非必要区域或非必要时段的降雨产汇流计算,精细网格用于必要区域和必要时段的精细化地表积水淹没模拟㊂在模拟计算过程中,根据 从粗到细 的原则,优先采用大尺度网格计算地表降雨产汇流;当大尺度网格发生积水淹没时,切换至底层精细网格计算单元,进行积水淹没计算㊂1.2㊀全分布式模型本研究以自主研发的全分布式模型DHMUrban为基础[14]㊂该模型包含地表模型㊁管网模型㊁河道模型等3个模块㊂其中,地表模型包含了基于地表网格的全分布式降雨产汇流模型,可以统一进行降雨产汇流模拟和地表积水淹没模拟㊂地表模型㊁管网模型㊁河网模型相互之间完全耦合,结构如图1所示㊂图1㊀全分布式模型总体结构Fig.1Structure of the fully distributed model for urban pluvial flooding512㊀水科学进展第34卷㊀1.2.1㊀地表模型地表二维模型控制方程采用二维浅水方程组,如式(1) 式(3)所示:∂h ∂t +∂(hu )∂x +∂(hv )∂y =r -f -c (1)∂(hu )∂t +gh ∂z ∂x +g n 2u V h 1/3=0(2)∂(hv )∂t +gh ∂z ∂y +g n 2v V h 1/3=0(3)式中:t 为时间;x ㊁y 为空间坐标;h 为水深;z 为水面高程;u ㊁v 分别为x 和y 方向上的流速分量;|V |为速度的模,|V |=u 2+v 2;r 为降雨强度;f 为下渗强度,根据霍顿下渗公式计算;c 为排水强度,指单位时间内进入排水系统的地表径流;n 为糙率系数;g 为重力加速度㊂地表模型数值格式参见文献[14]㊂1.2.2㊀管网模型管网模型控制方程如式(4)和式(5)所示:∂A p ∂t +∂Q p ∂x =q p (4)∂Q p ∂t +∂(Q 2p /A p )∂x +gA p ∂η∂x+gA p S fp =0(5)式中:A p 为管道断面过水面积;Q p 为管道断面过流流量;q p 为管道旁侧单宽入流量;η为管道内水头;S fp 为管道摩阻坡降㊂管网模型数值格式参见文献[21]㊂1.2.3㊀河网模型河网模型控制方程如式(6)和(7)所示:∂A r ∂t +∂Q r ∂x =q r (6)∂Q r ∂t +∂(αQ 2r /A r )∂x +gA r ∂z ∂x +gA r S fr =0(7)式中:A r 为河道断面过水面积;Q r 为河道断面过流流量;q r 为河道旁侧单宽入流量;α为动量修正系数;S fr 为河道摩阻坡降㊂河网模型数值格式参见文献[22]㊂1.2.4㊀模型耦合上述地表模型㊁管网模型㊁河网模型两两间相互耦合,包括物理耦合和概念耦合2种模式㊂(1)物理耦合是指模型之间基于实际物理过程和机制的耦合方式,主要用于管渠数据完备区域㊂具体包括3种情况:①地表与河网之间基于河岸的耦合,用以计算地表与河道之间通过河岸的水流交换,采用宽顶堰流公式计算;②地表与管网之间基于雨水口和检查井之间的耦合,用以计算地表与管网之间的水流交换,根据流态采用孔流或堰流公式计算,且雨水口双向交换,检查井仅单向交换;③管网与河网之间基于排水口的耦合,用以计算管网与河网之间的水流交换,计算过程中两者互为边界条件㊂(2)概念耦合是指模型之间基于概念性排水关系的耦合方式,主要用于管渠数据不完备区域㊂具体地,通过实地调研㊁就近原则等方法,建立无管渠资料区域地表网格与临近管网或河网节点的排水关系,并设定排水强度㊂计算过程中按照该排水强度,从地表网格扣除排水量,直接加入到耦合的管网或河网节点,如式(8)所示:Q j =ði ɪM jc i a i (8)式中:Q j 为排入j 号管网或河网节点的流量;a i ㊁c i 分别为第i 号地表网格的面积和排水强度,其中排水强㊀第4期张红萍,等:城市暴雨洪涝多尺度分层嵌套模拟技术513㊀度须考虑设计排水强度㊁土地利用和管网数据稀疏程度等因素确定;M j为与j号管网或河网节点有概念耦合关系的地表网格编号集合㊂1.3㊀多尺度分层嵌套方法1.3.1㊀空间嵌套方法在地表二维模型计算网格的基础上,叠加大尺度计算单元,并与管网和河网进行耦合㊂具体空间分层嵌套方法如下:(1)按照地表二维水动力模型建模要求,将建模区地表剖分成二维网格,构建地表二维模型,同时与管网模型和河网模型两两耦合,构建全分布式模型㊂方便起见,将这种地表二维模型的计算网格,称为细网格,主要用于洪涝淹没发生区域和时段的地表积水淹没计算㊂(2)根据地表地形㊁建筑物分布㊁排水关系等,将建模区地表划分为较大尺度的计算单元㊂方便起见,将这种较大尺度的计算单元称为大网格,主要用于非积水淹没区域和时段的地表降雨产汇流计算㊂(3)将上述细网格置于底层,将大网格置于上层,如图2所示,并根据空间重叠关系,构建大网格与底层细网格之间的拓扑关系,即每个大网格包含的细网格的数量及编号㊂需要说明的是,图2和图3中的大网格用矩形网格表示,但实际应用中大网格完全可以根据需要设计成任意多边形㊂由于底层全分布式模型已经实现地表网格㊁管网节点㊁河网节点之间的完全耦合㊂在此基础上,根据大网格和细网格之间的拓扑关系,可分析计算出大网格与管网节点㊁河网节点的耦合关系及分流比,从而实现大网格与细网格的空间分层嵌套以及分别与管网和河网的完全耦合㊂图2㊀大网格和细网格分层嵌套示意Fig.2Sketch of the fine mesh hierarchically nested with the coarsemesh图3㊀大网格和细网格在时间上的切换Fig.3Sketch of switch between the fine mesh and the coarse mesh1.3.2㊀时间切换方法在计算过程中,根据区域积水情况以及后续降雨情况,实时切换大网格和细网格计算模式,如图3所示㊂基本原理和方法如下:(1)在计算初期尚未发生洪涝时,默认优先启用大网格计算模式,被大网格覆盖的细网格暂不参与计算㊂(2)随着计算时间的推进,若某个大网格内的水深达到一定的阈值且降雨持续,即预示该大网格内可能出现积水淹没,则暂停该大网格的计算,同时启动该大网格内部的细网格计算,并根据大网格的水量给细网格设置初始水深㊂(3)随着时间进一步推进,若降雨停止,且某个区域的细网格内积水深度小于某个阈值,则暂停该区域的细网格计算,同时启动对应的大网格计算,并根据该区域内细网格的总水量,给对应的大网格设置初始水深㊂1.3.3㊀大网格计算方法大网格主要用于非洪涝淹没区域或时段的地表降雨径流㊂假定降雨产生的径流在大网格内均匀分布,即514㊀水科学进展第34卷㊀大网格内各处径流深度相等,因此有R =R 0+(r -F -C )Δt(9)H =Γ(RA )-z 0(10)式中:R 和R 0分别为当前时刻和前一时刻的径流深度;A ㊁F ㊁C 分别为大网格的面积㊁平均下渗强度㊁排水强度;Δt 为时间步长;H 为大网格水深;z 0为大网格内最低高程;Γ为大网格的水位 库容关系,由大网格嵌套的细网格的高程确定㊂为了保证大网格与底层细网格的一致性,大网格的面积㊁下渗强度等参数通过底层细网格的相应参数统计确定,如式(11)所示:A k =ði ɪM k a i ㊀F k =1A k ði ɪM k f i a i (11)式中:A k ㊁F k 分别为k 号大网格的面积和下渗强度;a i ㊁f i 分别为i 号细网格的面积和下渗强度;M k 为k 号大网格嵌套的细网格编号集合㊂同时,大网格与管网或河网的耦合关系,通过嵌套的细网格与管网或河网的耦合关系确定㊂且排水强度由式(12)统计确定:A jk =ði ɪM jka i ㊀Q j =ðk ɪN j C jk A jk (12)式中:A jk ㊁C jk 分别为k 号大网格内排入j 号管网或河网节点的面积及对应的排水强度,其中C jk 须根据管网数据详尽程度和嵌套的细网格的排水参数综合确定;M jk 为k 号大网格嵌套的且与j 号管网或河网节点有排水关系的细网格编号集合;Q j 为排入j 号管网或河网节点的流量;N j 为与j 号管网或河网节点有排水关系的大网格编号集合㊂2㊀应用效果分析图4㊀程庄子铁路桥下凹路Fig.4Low-lying cross road under Chengzhuangzi railway bridge 程庄子铁路桥位于北京市丰台区丰台西路(东西方向)与程庄路(南北方向)交叉处㊂沿丰台西路南侧有1条铁路,阻碍了南北交通㊂为了穿行铁路,丰台西路和程庄路交叉处采取下凹式立交桥设计,如图4(来自百度地图)所示,桥下地面高程较铁路及周边地面低约3~4m,逢暴雨极易形成积水㊂桥区雨水由地下管网汇集后,排入附近的凉水河暗渠段㊂桥下设有自动积水检测设备,能够自动测报地面积水深度㊂2020年8月12至13日,北京市遭遇局部暴雨㊂程庄子铁路桥周边丰台站数据显示,降雨自8月12日13:00开始,至13日1:00结束,历时12h,累积降水量为94.5mm,最大雨强达33mm /h,出现在8月12日22:00 23:00㊂桥下积水监测数据显示,积水历时达3h,最大积水深度达0.67m,峰现时间为12日23:14㊂本次研究应用多尺度分层嵌套技术,模拟程庄子铁路桥下 8㊃12 暴雨积水过程㊂根据铁路桥周围地形㊁道路及排水关系等,确定研究区域面积约0.567km 2,如图5所示㊂收集了该区域最新的5m ˑ5m DEM 数据㊁影像数据㊁地下排水管网数据以及排水出口河道凉水河断面数据㊂2.1㊀模型构建(1)全分布式模型㊂采用DHMUrban 模型,构建研究区的地表模型㊁管网模型和河道模型完全耦合的全㊀第4期张红萍,等:城市暴雨洪涝多尺度分层嵌套模拟技术515㊀分布式模型,如图6所示㊂其中,地表采用5mˑ5m网格,共划分4020个网格,网格高程根据5mˑ5mDEM数据取值㊂根据影像数据获取研究区土地利用类型,主要为建筑物㊁绿地㊁道路㊁水泥地和裸地等,占比分别为39.13%㊁21.61%㊁21.08%㊁15.81%和2.37%(表1)㊂管网模型含排水管线101段,总长度为1863m;节点102个,其中雨水口61个,检查井40个,排水口1个㊂已有排水管网数据主要分布在下凹桥区及相连干道上,尚缺乏周边区域的数据㊂为克服管网数据不足问题,构建地表网格与临近管网节点之间的概念耦合关系,如图6所示,其中,同色网格代表排入同一个管网节点㊂有管网覆盖的区域内,由于地表网格与管网节点构建了物理耦合,无须设置排水强度,换言之,细网格排水强度设为0;其他区域,由于缺乏排水管渠数据,根据当地设计排水资料,确定排水强度为9mm/h㊂模型详细参数如表1所示㊂据调查, 8㊃12 降雨过程总降水量不大,凉水河并未形成明显洪水过程,对排水管网出流未形成顶托,因此,设定河道较低水位边界条件,以保证管网进入河道的排水口保持自由出流㊂图5㊀程庄子铁路桥研究区Fig.6Fully distributed modelFig.5Study area of Chengzhuangzi railway bridge图6㊀全分布式模型表1㊀模型参数Table1Modeling parameters土地利用类型面积占比/%糙率初始下渗率/(mm㊃h-1)稳定下渗率/(mm㊃h-1)衰减系数/h-1排水强度/(mm㊃h-1)建筑物39.130.0120009绿地21.610.24016032.4 3.690道路21.080.0110009水泥地15.810.0110009裸地 2.370.06016032.4 3.690管渠/0.013////㊀㊀(2)分层嵌套模型㊂在全分布模型基础上,根据地形㊁土地利用和管网数据分布情况,划分18个大网格单元,叠加在细网格上层,如图7所示㊂其中,下凹桥区有管网数据覆盖的区域为模拟重点关注区域,划分为1个大网格,如图中18号大网格;其他区域,划分为17个大网格㊂然后,根据空间重叠关系分析确定大网格与细网格之间的嵌套关系,即每个大网格嵌套的细网格个数及编号㊂图8展示了17号大网格与其嵌516㊀水科学进展第34卷㊀图7㊀分层嵌套模型Fig.7Hierarchically nestedmodel图8㊀17号大网格与底层细网格嵌套关系示意Fig.8Details on the17th super cell and its nested finecells图9㊀下凹桥区大网格水位 库容曲线Fig.9Storage capacity curve of the18th super cell套的细网格及排水关系,其中同色细网格代表排入同一管网节点㊂再根据大网格与细网格的嵌套关系,分析计算每个大网格的平均下渗强度和水位 库容关系等参数,其中下凹桥区大网格(18号大网格)水位库容曲线如图9所示㊂同样根据嵌套关系,进一步分析确定大网格与管网㊁河网节点之间的排水关系以及大网格的排水强度等参数㊂18号大网格的排水强度设为9mm/h,其他大网格的排水参数根据嵌套的细网格的排水强度通过面积加权确定㊂最后,设置大网格水深阈值为0.10m,即当大网格水深大于该阈值并降雨持续时,该大网格将切换至细网格模式㊂2.2㊀结果分析模拟时间自2020年8月12日12:00至13日8:00,模拟总时长为20h,2种模型模拟的积水过程如图10所示㊂从积水过程看,2种模型模拟的积水过程与实测过程一致性均较好,在涨水阶段,全分布式模型与实测过程吻合更好,在退水阶段,2种模型均较实测过程略有延迟,这主要是由于模型未考虑实际存在的应急排水措施㊂从最大积水深度看,全分布式模型模拟的最大积水深度为0.686m,与实测值误差为2.41%;模拟峰现时间为12日23:10,比实测峰现时间早4min㊂分层嵌套模型模拟的最大积水深度为0.658m,与实测值的误差为-1.74%;模拟峰现时间为12日23:05,比实测峰现时间早9min㊂另外,全分布式模型计算总耗时为54min,分层嵌套模型计算总耗时为20min,较全分布式模型节省约62%㊂分层嵌套模型在计算初期优先采用大网格计算模式,其中仅有18号大网格在12日21:00左右积水深度达到0.1m,切换至细网格模式,其他17个大网格,由于没有发生积水淹没,始终采用大网格模式,因此大大节省了计算耗时㊂本案例研究表明,全分布式模型能精细地模拟地表积水过程,但计算时间成本高;分层嵌套模型在保障较好的模拟精度的同时,可以大幅节省计算时间成本㊂㊀第4期张红萍,等:城市暴雨洪涝多尺度分层嵌套模拟技术517㊀图10㊀程庄子铁路桥下积水过程模拟Fig.10Simulated flooding hydrograph under Chengzhuangzi railway bridge3 结论和讨论本研究根据城市暴雨洪涝时空特性,提出了一种多尺度分层嵌套模拟技术㊂在精细化的全分布式模型基础上,叠加大尺度计算单元㊂上层大尺度计算单元用于非淹没区域或非淹没时段的降雨产汇流计算,底层精细计算单元用于洪涝淹没区域和时段的洪涝淹没过程计算,且2种尺度的计算单元 分层嵌套,实时切换 ㊂程庄子立交桥积水过程模拟应用表明,这种多尺度分层嵌套模式,在保证重点关注区域模拟精度的同时,不仅可以大幅提高计算效率,同时可以降低对非重点区域数据的依赖度,从而提高城市暴雨洪涝模型的适应性㊂本研究提出的多尺度分层嵌套方法,本质上是一种水文方法和水动力方法的交叉应用,但与传统的水文水动力耦合模拟以及多尺度网格嵌套的水动力模拟存在明显不同㊂传统水文水动力耦合模拟中,一般做法是水文模型和水动力模型分别应用于不同区域,前者为后者提供边界条件,实际是一种分区域耦合的方法,还不能满足城市暴雨洪涝过程中降雨产汇流与洪涝淹没同时空的特性㊂多尺度网格嵌套的水动力模拟,一般思路是,全局范围应用大尺度网格,在局部范围嵌套细尺度网格,并在不同尺度网格上求解浅水方程组以获得不同的精度㊂这种多尺度水动力模拟,受计算方法限制,嵌套网格尺度比例是有限的,灵活性不足,远不能完全满足城市复杂下垫面条件下降雨产汇流全局性和洪涝淹没局地化的特点㊂而且,期望完全通过水动力方法模拟城市复杂下垫面条件下降雨产汇流过程,在当前计算能力和数据条件下是不现实的,精细的方法未必能获得精细的结果㊂本研究提出的多尺度分层嵌套模拟,是针对城市暴雨洪涝过程时空特性而提出的水文方法和水动力方法交叉应用的一种新的尝试,有望为大区域城市暴雨洪涝模拟提供一种有效的技术手段㊂同时应该指出,本研究还存在一些不足之处,有待进一步改进和完善㊂首先,大网格的产汇流计算相对简单,目前仅用平均下渗强度和排水强度2个参数,这对面积较小的大网格是有效的,对面积较大且下垫面不均匀的大网格,可能存在较大的误差;其次,大网格模式与小网格模式的切换,目前仅依据水深阈值,没有考虑不同层次相邻网格之间的相互影响,在某些特定应用场景中可能存在一定的偏差;最后,由于城市暴雨洪涝模拟的复杂性,收集完整可靠的数据依然困难,本研究仅完成了1个立交桥区域1场降雨的应用案例研究,应用效果还有待在更多案例中进一步检验和验证㊂致谢:感谢中国水利水电科学研究院正高级工程师刘舒㊁徐美㊁郑敬伟,以及李敏博士等,他们在本论文原理与方法的讨论以及应用案例模型构建中提供了许多有益的意见和重要的帮助㊂518㊀水科学进展第34卷㊀参考文献:[1]BATES P D,HORRITT M S,FEWTRELL T J.A simple inertial formulation of the 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