解不等式练习题_学生版

1. 求证：ac+bd ≤22b a+柯西不等式的一般形式为：对任意的实数有及n n b b b a a a ,,,,,,2121或1ni ii a b=≤∑其中等号当且仅当nn b a b a b a === 2211时成立（当0=k b 时，认为).1,0n k a k <≤= 一、 证明不等式1. 已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 2223333a b c a b c ++++≥2. 设,121+>>>>n n a a a a 求证：011111113221>−+−++−+−++a a a a a a a a n n n3. 求证：()().22221122212221y x y x y y x x +++≥+++4.设a 、b 、c 为正数且各不相等。

求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 5.a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++6.若a >b >c 求证：ca cb b a −≥−+−411 7.+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a 8. 已知a 1,a 2,a 3,…,a n ，b 1,b 2,…,b n 为正数，求证：9. 设a ,b ,c 为正数，且a +b +c =1,求证：,121221⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===n i i n i i n i i i i b a b a10. 若n 是不小于2的正整数，试证：11. 设x 1,x 2,…,x n 都是正数(n ³2)且， 求证： 二、求解最值12. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=试求a 的最值 13. 设非负实数n ααα⋅⋅⋅21,满足,121=+⋅⋅⋅++n ααα求1213`122111_1−++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++n n n nααααααααααα的最小值。

专题03解一元一次不等式(组)及参数问题八种模型【类型一解一元一次不等式模型】例题：（2022·陕西·模拟预测）解不等式3136x x-<-，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集．【变式训练1】（2022·陕西·西安市西光中学二模）解不等式7132184x x->--，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．【变式训练2】（2021·上海徐汇·期中）解不等式38236x x---≤，把解集在数轴上表示出来，并求出最小整数解．【变式训练3】（2022·福建·三明一中八年级阶段练习）解不等式：(1)2(41)58x x -≥-(2)261136x x +-≤【变式训练4】（2022·河南驻马店·八年级阶段练习）解下列一元一次不等式，并把它们的解集表示在数轴上：(1)2﹣5x ＜8﹣6x ；(2)53-x +1≤32x ．【类型二解一元一次不等式组模型】例题：（2022·福建·三明一中八年级阶段练习）解不等式组52331132x xx x -≤⎧⎪-+⎨<-⎪⎩，并把不等式组的解集在数轴上表示出来：【变式训练1】（2022·广东·汕头市龙湖实验中学九年级阶段练习）解不等式组：1011122x x -≥⎧⎪⎨--<⎪⎩，并写出它的所有整数解．【变式训练2】（浙江省温州市2020-2021学年八年级上学期3月月考数学试题）解一元一次不等式组523(1)131722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．【变式训练3】（2022·广东揭阳·八年级阶段练习）解不等式组：12(1)2235xx x x ⎧+<-⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．【变式训练4】（2022·湖南岳阳·八年级期末）（1）解不等式121132x x+++≥；（2）解不等式组：3242(1)31x x x -<⎧⎨-≤+⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．【类型三一元一次不等式的定义时含参数问题】例题：（2021·全国·七年级课时练习）已知不等式||1(2)20n n x --->是一元一次不等式，则n =____．【变式训练1】（2022·山东·枣庄市第十五中学八年级阶段练习）已知()3426m m x --+>是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为______．【变式训练2】（2021·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校八年级期中）若21(2)15m m x --->是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为______________．【类型四一元一次不等式整数解中含参数问题】例题：（2022·上海·七年级期中）如果不等式2x ﹣3≤m 的正整数解有4个，则m 的取值范围是_____．【变式训练1】（2020·全国·八年级单元测试）已知不等式30x m -≤有5个正整数解，则m 的取值范围是________．【类型五一元一次方程组与不等式间含参数问题】例题：（2022·全国·八年级）关于x 的方程42158x m x -+=-的解是负数，则满足条件的m 的最小整数值是_____．【变式训练1】（2021·四川成都·八年级期末）已知关于x 的方程35x a x +=-的解是正数，则实数a 的取值范围是______．【变式训练2】（2021·全国·七年级课时练习）如果关于x 的方程2435x a x a++=的解不是负数，那么a 的取值范围是________．【变式训练3】（2021·全国·七年级课时练习）当m________时，关于x的方程222x m xx---=的解为非负数．【类型六二元一次方程组与不等式间含参数问题】例题：（2021·内蒙古呼和浩特·七年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组231231x y kx y k+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x＋y＜4，则满足条件的k的最大整数为____．【变式训练1】（2021·四川绵阳·x，y的二元一次方程组221x yx y k+=⎧⎨+=+⎩的解为正数，则k的取值范围为__．【变式训练2】（2021·江苏江苏·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组231323x y mx y m+=+⎧⎨-=+⎩，且x，y满足x+y＞3．则m的取值范围是___．【变式训练3】（2021·四川南充·七年级期末）已知关于x，y的方程组24223x y kx y k+=⎧⎨+=-+⎩，的解满足x﹣y＞0，则k的最大整数值是______________．【变式训练4】（2021·甘肃·九年级专题练习）若关于x，y的二元一次方程组3331x yx y a+=⎧⎨+=+⎩的解满足x＋y＜2，则a的取值范围为_______．【类型七解一元一次不等式组中有无解集求参数问题】例题：（2021·内蒙古·包头市青山区教育教学研究中心八年级期中）关于x的不等式组352x ax a->⎧⎨-<⎩无解，则a的取值范围是_____．【变式训练1】（2022·广西贵港·八年级期末）若关于x的不等式组33235x xx m-<⎧⎨->⎩有解，则m的取值范围是______．【变式训练2】（2021·四川凉山·七年级期末）已知关于x的不等式组5122x ax x->⎧⎨->-⎩无解，则a的取值范围是_________．【变式训练3】（2021·河南南阳·三模）已知关于x的不等式组3xx m>⎧⎨≤⎩有实数解，则m的取值范围是____．【变式训练4】（2022·江苏南通·九年级阶段练习）如果关于x的不等式组232x ax a>+⎧⎨<-⎩无解，则常数a的取值范围是______________．【类型八解一元一次不等式组中有整数解求参数问题】例题：（2021·宁夏中卫·八年级期末）不等式组,3x ax>⎧⎨<⎩的整数解有三个，则a的取值范围是_________．【变式训练1】（2021·安徽·马鞍山二中实验学校七年级期中）已知不等式组211x x a-<⎧⎨-≤⎩，只有三个整数解，则a 的取值范围是_________．【变式训练2】（2021·黑龙江佳木斯·模拟预测）不等式组2312x ax -⎧⎨-≤⎩＜有3个整数解，则a 的取值范围是_____．【变式训练3】（2020·内蒙古·北京八中乌兰察布分校一模）关于x 的不等式组3x ax <⎧⎨≥⎩只有两个整数解，则a 的取值范围是_____．【变式训练4】（2022·湖南湘潭·八年级期末）已知关于x 的不等式组3010x a x -≤⎧⎨-≤⎩①②，有且只有3个整数解，则a 的取值范围是______________。

研究性学习资料 不等式解法、- 3 - 题型1：解含绝对值的不等式1.解不等式：①|2x+51|≥21；②|4x-3|<212.设全集U=｛x||x -2|>1｝，A ＝{x||x +1|≤1}，则C U A 等于 （ ）A 、｛x|x <-2或x >0｝B 、｛x|x <1或x ＞3｝C 、{x|x <-2或0＜x ＜1或x >3}D 、｛x|1<x<3｝3.若不等式|1-kx |<2的解集是{x |-1<x <3}，则的k 为 （ ）A 、-2<k<1B 、31-<k<1 C 、k=1 D 、k=-34.不等式721≤-≤x 的解集是（ ） A.（3，9） B. ]1,5(- C. ]9,5[- D. ]9,3[]1,5[⋃-5.不等式|x -|2x -1||>1的解集为____。

题型2：解一元二次不等式1.解下列不等式：（1）02x x 2<--；（2）03x 2x 2>-+-;（3）21212≤-+≤-x x2．若不等式012>-+bx ax 的解集是}43|{<<x x ，则实数.__________,==b a题型3：解高次不等式一元高次不等式求解，一般是先分解为n 个一次式的积，运用数轴标根的方法求解，在标根时，对于“重根”情况的处理方法是“奇数次方一穿而过；偶数次方穿而不过”。

1. 解下列不等式（1）322150x x x --> （2）23(4)(5)(2)0x x x ++-< （3）()()22460x x --≤；题型4：解分式不等式（1）解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式，分母不为零。

（2）0ax b cx d +>+转化为()()0ax b cx d ++>，也可转化为00ax b cx d +>⎧⎨+>⎩或00ax b cx d +<⎧⎨+<⎩的并集。

不等式小题的常见考法与应用一、利用作差法、基本不等式比较大小1．已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．2．若a>0，b>0，则比较a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小．3．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．4．如果0<a<b<1，P＝a＋b2，Q＝ab，M＝a＋b，那么P，Q，M的大小顺序是()A．P>Q>M B．M>P>Q C．Q>M>P D．M>Q>P 5．设a，b为非零实数，给出下列不等式：①a2＋b22≥ab；②a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22；③a＋b2≥aba＋b；④ab＋ba≥2.其中恒成立的是________．(填序号)6．比较大小：x 2＋2x 2＋1________2.(填“>”“<”“≥”或“≤”) 二、利用不等式的性质、基本不等式证明不等式1．对于实数a ，b ，c ，下列命题中的真命题是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a >b >0，则1a >1bC ．若a <b <0，则b a >a bD ．若a >b ，1a >1b ，则a >0，b <02．(多选)若1a <1b <0，则下面四个不等式成立的有() A ．|a |>|b | B ．a <bC ．a ＋b <abD ．a 3>b 33．若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e a －c >eb －d .4．若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋dd .5．已知a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1.求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b ，求证：a ＋b ≥2.三、利用不等式求最值及范围1．(1)若x<0，求12x＋3x的最大值；(2)若x>2，求1x－2＋x的最小值；(3)已知x>0，y>0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值．2．(1)当x>0时，求12x＋4x的最小值；(2)当x>1时，求2x＋8x－1的最小值．3．对∀x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围．4．关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则求实数k的取值范围5．已知4x＋ax(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a的值为________．6．已知a>0，b>0，若不等式2a＋1b≥m2a＋b恒成立，则m的最大值等于________．7．已知：3<a＋b<4,0<b<1，求下列各式的取值范围．(1)a；(2)a－b；(3)a b..四、已知0<a＋b<2，－1<b－a<1，则求2a－b的取值范围．含参数的一元二次不等式的解法1．解下列不等式：(1)x2－5x－6>0；(2)(2－x)(x＋3)<0.2．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)．关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.3．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．.4．已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．。

根本不等式 【2 】 常识点： 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ,则2≥+a bb a(当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠,则22-2abab a bb a b a b a +≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）留意：(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”．(2)求最值的前提“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值.比较大小.求变量的取值规模.证实不等式.解决现实问题方面有普遍的运用 运用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y ＝3x2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x技能一：凑项例 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值.技能二：凑系数例： 当时,求(82)y x x =-的最大值.变式：设230<<x ,求函数)23(4x x y -=的最大值.技能三： 分别换元 例：求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域.技能五：在运用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情形,. 例：求函数2y =的值域.技能六：整体代换（“1”的运用）多次连用最值定理求最值时,要留意取等号的前提的一致性,不然就会出错.. 例：已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值. 技能七例：已知x,y 为正实数,且x 2＋y 22＝1,求x 1＋y2 的最大值. 技能八：已知a,b 为正实数,2b ＋ab ＋a ＝30,求函数y ＝1ab的最小值. 技能九.取平方例: 求函数15()22y x <<的最大值. 运用二：运用均值不等式证实不等式例：已知a.b.c R +∈,且1a b c ++=.求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 运用三：均值不等式与恒成立问题例：已知0,0x y >>且191x y+=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值规模. 运用四：均值定理在比较大小中的运用：例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>,则R Q P ,,的大小关系是.。

经典(超越)不等式一、结论(1)对数形式:x ≥1+ln x (x >0),当且仅当x =1时,等号成立.(2)指数形式:e x ≥x +1(x ∈R ),当且仅当x =0时,等号成立.进一步可得到一组不等式链：e x >x +1>x >1+ln x (x >0且x ≠1)上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：e x=1+x +x 22!+⋯+x n n !+e θx(n +1)!x n +1；ln (1+x )=x -x 22+x 33-⋯+(-1)n x n +1n +1+o (x n +1)；截取片段：e x ≥x +1(x ∈R )ln (1+x )≤x (x >-1)，当且仅当x =0时,等号成立；进而：ln x ≤x -1(x >0)当且仅当x =1时,等号成立二、典型例题1(2023·陕西咸阳·校考模拟预测)已知a =25,b =e -35,c =ln5-ln4，则()A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.b >c >a2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=e x -x -1.(1)证明：f (x )≥0；(2)证明：1+121+122 ⋯1+12n <e ．三、针对训练举一反三一、单选题1.(2023春·浙江·高三校联考开学考试)设a=12022，b=tan12022⋅e12022，c=sin12023⋅e12023，则()A.c<b<aB.c<a<bC.a<c<bD.a<b<c2.(2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考期末)a=e0.2，b=log78，c=log67，则()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b3.(2023·云南曲靖·统考一模)已知a=e-2，b=1-ln2，c=e e-e2，则()A.c>b>aB.a>b>cC.a>c>bD.c>a>b4.(2023·全国·高三专题练习)已知a=e sin1-1,b=sin1,c=cos1，则()A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b5.(2023·全国·高三专题练习)已知a>b+1>1则下列不等式一定成立的是()A.b-a>b B.a+1a>b+1bC.b+1a-1<e bln aD.a+ln b<b+ln a6.(2023·全国·高三专题练习)已知实数a，b，c满足ac=b2，且a+b+c=ln a+b，则()A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a7.(2023·全国·高三专题练习)若正实数a，b满足ln a+ln b2≥2a+b22-2，则()A.a+2b=2+14B.a-2b=12-22 C.a>b2 D.b2-4a<08.(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测)已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)．若a1>1，则A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4二、填空题9.(2022春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考期中)已知对任意x，都有xe2x-ax-x≥1+ln x，则实数a的取值范围是.三、解答题10.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =e x-a.(1)若函数f(x)的图象与直线y=x-1相切，求a的值；(2)若a≤2，证明f(x)>ln x.。

2020-1六下双基训练300题方程与不等式六年级·寒假·学生版九层之台，起于累土【练习1.1】 简单的一元一次方程1. ()()43206711y y y y --=--2. ()254(3)2(1)x x x --+=-3. 37(1)32(3)x x x --=-+4. 12(1)4()2x x x --=-5. 4(4)35(72)y y +=--6. 7 2.5 2.536x x -=⨯+7. 12(23)3(21)a a -+=-+ 8. 93(1)6x x --=9. 63(32)6(2)x x x --=-+ 10. 7104(0.5)x x -=-+方程与不等式补充材料千里之行，始于足下11. 3(8)64(11)y y y -=-- 12. 13(8)2(152)x x --=-13. 2(10)52(1)x x x x -+=+- 14.223046m m +--=15. 43(20)67(9)x x x x --=-- 16. 2(21)2(1)3(3)x x x -=+++17. 43(23)12(4)x x x +-=-- 18. ()()335225x x -=--19. ()()()243563221x x x --=--+ 20. ()()()321531152x x x --+=+六年级·寒假·学生版九层之台，起于累土【练习1.2】 一元一次方程——去分母21. 21101211364x x x --+-=- 22. 212153x x +--=23. 3157146y y ---= 24. 212134y y -+-=-25. 341125x x -+-= 26. 1112222x x x ⎡⎤⎛⎫---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦27. 12233xx -=-+ 28.13216222x x x ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭方程与不等式补充材料千里之行，始于足下29. 21101136x x ++-= 30.211135x x +-=- 31. 121224x x+--=+ 32.42571510x x +--= 33. 124123x x ---= 34.213124x x--=- 35. 2123134x x ---= 36.3141136x x x ---=-六年级·寒假·学生版九层之台，起于累土37. 211135x x +-=- 38.+4122523x x x -+-=- 39. 25316412x x x ---+= 40. 2523163x x x +--=- 41. 431432x x -+-= 42.()()11212223x x x ⎡⎤--=+⎢⎥⎣⎦ 43. 141123x x --=- 44.5415513412y y y +--+=-方程与不等式补充材料千里之行，始于足下45. 121225x x ++-=- 46.()10532327x x x -++--=47. 7151322324x x x -++-=- 48.34113843242x x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫--=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭ 49. 248539x x -=- 50.3121134x x -+-= 51. 1122254x x x++--=+ 52.1328237x x x-+---=六年级·寒假·学生版九层之台，起于累土53. 248236x x ---=- 54.31322322105x x x +-+-=- 55. 225353x x x ---=- 56. 1212323x x x --+=- 57. 12136x x x -+-=- 58.3157146y y ---= 59. 131224x x+--=- 60.21101211364x x x -++-=-方程与不等式补充材料千里之行，始于足下61. 211011412x x x ++-=- 62.()()142113233x x x ⎡⎤+-=-+⎢⎥⎣⎦ 63. 312423(1)32x x x -+-+=- 64.49325532x x x ++--= 65. 4115(2)13212x x x +--+=-66. 113(23)(32)5(32)(23)32x x x x ---=-+-六年级·寒假·学生版九层之台，起于累土67. 22(31)253y y -=- 68.31242233x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦69. 21101211364x x x -++-=- 70.3213(1)(32)(1)45102x x x --+=-- 71. 431261345x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦72.121146x x ++-= 73. 211011412x x x ++-=- 74.111(15)(7)523x x +=--方程与不等式补充材料75. 2110121123644x x x-++-=-76.2383236x x x-+-=-77. 1010210147x x+--=78. ()()137464722x x-=+-79.12223x xx-+-=-80.3221211245x x x+-+-=-81. 13533236524x x⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭82.112132152yy-+-=六年级·寒假·学生版83. 343111243242x x⎡⎤⎛⎫--=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦84.111116412345x⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭85.43254xxx x---=【练习1.3】一元一次方程——去分子、分母中的小数86. 0.10.20.710.30.4x x---=87.1.5 1.51.50.30.1x x--=88.2130.20.5x x-+-=89.0.30.2 1.5570.20.5x x--+=方程与不等式补充材料90. 0.20.10.010.0150.30.04x x---=91.0.010.030.40.110.020.5x x-+-=92.30.412.50.20.5x x+--=-93.341.60.50.2x x-+-=94. 2 1.633180.30.63x x x-+-=95.341.650.2y y-+-=96. 4 1.550.8 1.230.50.20.1x x x----=+97.1.5210.30.2x x--=六年级·寒假·学生版98. 3 1.50.20.1840.20.09x xx--+=+99.0.12230.30.6x xx-+-=100.341.60.50.2x x-+-=101.10.2110.40.7x x+--=102.0.230.210.50.03x x--=103.3 1.140.20.160.70.40.30.06x x x----=104. 1.510.530.6x x--=105.0.10.020.10.10.30.0020.05x x-+-=方程与不等式补充材料106. 0.030.010.170.050.10.020.070.030.09x x x +-+-=107. 0.10.20.0226.57.50.010.02x x---=-108.30.70.310.80.4x xx+-=-109. 0.40.50.20.5110.060.232x xx+-⎛⎫-=+⎪⎝⎭110.2651430.030.30.02x x-+-=【练习1.4】一元一次方程——巧算（整体法、拆括号、裂项、凑分子）111. 11311377325235x x⎛⎫⎛⎫--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112. ()()15201520153411131717x x x---+=六年级·寒假·学生版113. ()()()()1131121132x x x x +--=--+ 114. 31333447167x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 115. ()()1123233211191313x x x -+-+=116. ()()()()1120181120191120182019x x x x +--=--+ 117. 111123452345x x x x +++=+++方程与不等式补充材料118. ()()()()1111123201620162342017x x x x ++++++++= 119. 111133312222y ⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭120.111246819753x ⎧⎫⎡⎤+⎛⎫+++=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭121. 2016122320162017x xx +++=⨯⨯⨯ 122. 1122320192020x xx+++=⨯⨯⨯123. 200613352003200520052007x x x x++++=⨯⨯⨯⨯六年级·寒假·学生版124.11 123234201720182019201820192020220192020 x x x x++++=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯125.3213201520162017x x x---++=126.201013201920092007x x x---++=127.2017130 1008620162014x x x---++=128.20181614125 357911x x x x x-----++++=方程与不等式补充材料129. 3x a b x b c x c ac a b------++= ()000a b c >>>、、 130.4x a b c x b c d x c d a x d a bd a b c------------+++= () a b c d 、、、均为正数【练习2.1】 较简单的二元一次方程131. 27325x y x y -=⎧⎨+=⎩132. 85765476x y x y +=⎧⎨-=⎩133. 293x y x y -=-⎧⎨+=⎩134. 53702370x y x y --=⎧⎨+-=⎩六年级·寒假·学生版135.5120311120x yy x-=⎧⎨-=⎩136.245x yx y+=⎧⎨-=⎩137.5210x yx y+=⎧⎨+=⎩138.25342x yx y-=⎧⎨+=⎩139.7423624x yx y+=⎧⎨-=⎩140.892317674x yx y+=⎧⎨-=⎩141.()()()()31445135y xx y⎧-=-⎪⎨-=+⎪⎩142.32222m nm n+=⎧⎨-=-⎩方程与不等式补充材料143.372513x yx y-=⎧⎨+=⎩144.25342x yx y-=⎧⎨+=⎩145.30327xx y-=⎧⎨-=⎩146.633594x yx y-=-⎧⎨-=⎩147.2114327x yx y+=⎧⎨+=⎩148.3(1)4(4)5(1)3(5)y xx y-=-⎧⎨-=+⎩149.()()()()4395211x y x yx y x y⎧+--=⎪⎨-++=⎪⎩150.()()()()337242233228x yx y⎧+=-+⎪⎨-+-=⎪⎩六年级·寒假·学生版【练习2.2】较复杂的二元一次方程组151.1234x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩152.1640.30.4 1.7x yx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩153.2320.40.7 2.8x yx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩154.35723423235x yx y++⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩155.2()1346()4(2)16x y x yx y x y-+⎧=-⎪⎨⎪+=-+⎩156.2344143m n n mnm+-⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩方程与不等式补充材料157. 2153224111466x y x y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩158. 32212453231045x y x y --⎧+=⎪⎪⎨++⎪-=⎪⎩159. 252234m nm n ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩160. ()()35724310413x y y x x y x y -+⎧+=-⎪⎪⎨---⎪=⎪⎩161. ()()()54723187323x y x y x y x y ⎧+-+=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩162. 2164622372y x y x y x x y++⎧-=-⎪⎨⎪+=--⎩六年级·寒假·学生版163.1115212355x yyx+-⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩164.3223132x y x y-+==165.()5111562347 896x y y x x y---+++==【练习2.3】普通的三元一次方程组166.321x y zx y zx y-+=-⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩167.324230140x yx zx y z=-⎧⎪-=⎨⎪++=⎩方程与不等式补充材料168.153241341013x y zx y zz-+=⎧⎪+-=-⎨⎪=⎩169.1225224x y zx y zx y++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩170.3232443210x y zx y zx y z-+=⎧⎪+-=⎨⎪++=-⎩171. 235532z x yx y zx y z=+⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩172.52621212x yy zx z-=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩173.12232a b ca b ca b c++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩六年级·寒假·学生版174.3123325x y zx y zx y z+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩175.261218x y zx yx y z++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩176.102317328x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩177.42314235x y zx y zx y z--=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩178.4329253456218x y zx y zx y z-+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩179.24+393251156713x y zx y zx y z+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩方程与不等式补充材料180.232623343239x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩181.3213272312x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩182.4239328a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩183.261218x y zx yx y z++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩184.56812412345x y zx y zx y z+-=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=⎩185.24393251156713x y zx y zx y z++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩六年级·寒假·学生版186.9202325x y zx y zx y z-+=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩187.261218x y zx yx y z++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩188.231332163510x y zx y zx y z++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩189.3423126x y zx y zx y z-+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩190.275323342y xx y zx z=-⎧⎪++=⎨⎪-=⎩191.344635511x y zx y zy z++=⎧⎪-+=-⎨⎪+=⎩方程与不等式补充材料192.42325560x y zx y zx y z-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩193.52574313x yy zz x+=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩194.42325560a b ca b ca b c-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩195.2343327231a b ca b ca b c-+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩【练习2.4】有技巧的多元一次方程组196.78388737x yx y+=⎧⎨+=⎩197.231763172357x yx y+=⎧⎨+=⎩六年级·寒假·学生版198.199519975989199719955987x yx y+=⎧⎨+=⎩199.354x yy zx z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩200.222426x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩201.1131x y zy z xz x y+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩202.512x yy zz x+=⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩203. 2345238x y zx y z⎧==⎪⎨⎪+-=⎩方程与不等式补充材料204.::z1:2:32318x yx y z=⎧⎨-+=⎩205.:3:2:5:466x yy zx y z=⎧⎪=⎨⎪++=⎩206.323232y z x az x y bx y z c+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩207.252821126x yy zz uu x+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩208.12323434545151212345x x xx x xx x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎪++=⎩209.12323434545151251532x x xx x xx x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎪++=-⎨⎪++=-⎪⎪++=⎩六年级·寒假·学生版210. 220240280+216023202640a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b c d e f +++++=⎧⎪+++++=⎪⎪+++++=⎪⎨++++=⎪⎪+++++=⎪+++++=⎪⎩【练习3.1】 一元一次不等式 211. ()25321x x --≥ 212. 8156x x -≥-213. ()()3129x x -≤+ 214. ()()32232x x x x ⎡--⎤>--⎣⎦215. 3(2)152(2)x x -+-<-- 216.121123x x -++<方程与不等式补充材料217. 21433x x -≥-- 218. 3453172y y y --≤-219. 6721251423x x x --+-+>+- 220.121180.50.25x x -++>221. 124816x x x xx ++++> 222.12123x x +-≥223. 2354124463x x x ---+->+ 224. ()()52186117x x -+<-+六年级·寒假·学生版225. ()332524y y +≤- 226.()311212423x ⎡⎤--≥⎢⎥⎣⎦227. 11111112332x x ⎛⎫⎛⎫-≥-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭228. ()21035127x x x ---≥-229. 531132x x +--< 230. 22252y y y ---≤- 231. 123x x-< 232.2352x x -≥+方程与不等式补充材料233. 212(12)13x x --≥- 234.8111122x x x ++-≤-235. 422(2)x x -≥+ 236.3122123x x---≤237. 214432x x -+-< 238. 3(2)12(1)x x +>---239. 111(2)(3)248x x ->-+ 240. 533(2)x x +≤+六年级·寒假·学生版241. 14232x x -+->- 242.2432x x -≥- 243. 11132x x --≥ 244. 7(4)2(43)4x x x ---<245. 5(2)86(1)7x x -+<-+ 246.1132x x --< 247. 21211362x x x +--->- 248.3(1)5182x x x +-->-方程与不等式补充材料249.18136x xx+-+≤-250. 15(31)10(42)6(63)39x x x---≥--251. 0.40.210.20.5x x+->-252. 51531x x+>-253. 22123x x+-≥254.2(1)12xx---<255. 2152246x x-+-≥-256.3(1)12384x x+-+<-六年级·寒假·学生版257.121133x xx-+-≤+258.0.2 1.20.120.130.30.05x x---≤-259.()0.20.10.2 0.030.010.70.310.030.50.15x x x-+--<+260. 0.40.90.030.0250.50.032x x x++-->【练习3.2】一元一次不等式组261.3312183(1)xxx x-⎧+≥+⎪⎨⎪+<+-⎩262.253(2)12135x xx+≤+⎧⎪-⎨+>⎪⎩方程与不等式补充材料263. 22531323213x xx x--⎧-≤⎪⎨⎪->-⎩264. 3(1)954x x +≤⎧⎨+>⎩265. 3(1)702423x x x -->⎧⎪-⎨>⎪⎩266. 2362523x x x x +≤+⎧⎪+⎨<+⎪⎩267. 21390x x >-⎧⎨-+≥⎩268. 33(3)21123x x x x +≤+⎧⎪-+⎨>-⎪⎩269. ()()1032561x x x +⎧>⎪⎨⎪+≥-⎩270. 3150728x x x ->⎧⎨-<⎩六年级·寒假·学生版271.312342x xx x-≤-⎧⎨-+>-⎩272.1232(3)3(2)6x xx x⎧->-⎪⎨⎪--->-⎩273.593(1)311122x xx x-<-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩274.328212xx-<⎧⎨->⎩275.523(4)131722x xx x-≤+⎧⎪⎨-<-⎪⎩276.328654x--≤--<-277.2632145x xx x-≤-⎧⎪+⎨->⎪⎩278.121233(2)54x xx x--⎧≤⎪⎨⎪+>+⎩方程与不等式补充材料千里之行，始于足下279. ()32421152x x x x ⎧--≥⎪⎨-+≤⎪⎩280. 513(1)23722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩281. 2132(1)5x x +⎧<⎪⎨⎪-≤⎩282. 312128x x x -≤+⎧⎨-<⎩283. 222212x x x x+⎧≥⎪⎨⎪-<-⎩284. 313112123x x x x +<-⎧⎪++⎨≤+⎪⎩285. 521262(3)4x x x x -⎧->⎪⎨⎪-≤-⎩ 286. 2153712x x x ->⎧⎪⎨-+≤⎪⎩六年级·寒假·学生版九层之台，起于累土287. 2(21)342151132x x x x -≤+⎧⎪-+⎨-≤⎪⎩288. 3(2)8143x x x x +>+⎧⎪-⎨≥⎪⎩289. 267442152x x x x +>-⎧⎪+-⎨≥⎪⎩290. 43213(1)6x x x x-⎧+≥⎪⎨⎪--<-⎩291. ()()35223141x x x x -⎧≤-⎪⎨⎪-<+⎩292. 543132(32)3x x x ->⎧⎨--≤⎩293. 2153112x x x ->⎧⎪⎨+-≥⎪⎩294. 253259837(4)2(43)4x x x x x x x +≤+⎧⎪->+⎨⎪---<⎩方程与不等式补充材料千里之行，始于足下295. ()1231121286432x x x x x x +>+-⎧⎪⎪+≥+⎨-<-⎪⎪⎩296. 8156212(12)133(2)152(2)x x x x x x -≥-⎧⎪-⎪-≥-⎨⎪-+-<--⎪⎩297. 36451322253522x x x x x x +>+-⎧⎪⎪+>+⎨<-⎪⎪⎩298. 18136212113620.40.210.20.5x x x x x x x x +-⎧+≤-⎪⎪+--⎪->-⎨⎪+-⎪>-⎪⎩299. 427323653453x x x x x x ⎧⎪+>++≥+≤-⎨-⎪⎩300. ()()32232217223x x x x x x ⎧⎪->++≤+≥+⎨-⎪⎩。

放缩法妙解不等式问题【典型例题】例1.已知函数f(x)=1ae x-1+x，其中a∈R且a≠0．(1)设a>0，过点A-1,-12作曲线C:y=f(x)的切线(斜率存在)，求切线的斜率；(2)证明：当a=1或0<a≤2e时，f(x)≥12ax(x≥-1)．例2.已知函数f(x)=(x2-2x+2)e x-12ax2(a∈R)．(1)当a=e时，求函数f(x)的单调区间；(2)证明：当a≤-2时，f(x)≥2．例3.已知函数f(x)=2ln x+sin x+1，函数g(x)=ax-1-b ln x(a，b∈R，ab≠0)．(1)讨论g(x)的单调性；(2)证明：当a=b=1时，g(x)≥0．(3)证明：f(x)<(x2+1)e sin x．例4.已知函数f(x)=ae x(a∈R)，g(x)=ln xx+1．(1)当a=1e时，求函数y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)当a≥1e时，证明：f(x)-g(x)≥0．例5.已知函数f(x)=e x-ax3．(1)若x∈(0,+∞)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；(2)证明：当a=23时，f(x)>0；(3)证明：当n∈N*时，1e +2e2+3e3+⋯+ne n<3．例6.已知函数f(x)=ae x，g(x)=ln(x-1)+1．(1)设G(x)=f(x)-g(x)，x=3是G(x)的极值点，求函数G(x)的单调区间；(2)证明：当a≥1e2时，f(x)≥g(x)．例7.已知函数f(x)=e x-1-x-ax2，其中e为自然对数的底数．(1)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若x>0，证明：(e x-1)ln(x+1)>x2．【同步练习】1.已知函数f(x)=ln(x-a)x．(1)若a≤-1．证明f(x)在(0,+∞)上单调递减；(2)若x>0，证明：e x ln(x+1)>x2+ln(x+1)(其中e=2.71828⋯是自然对数的底数)2.已知函数f(x)=x2+x+e2x ln x，x∈(e,+∞)．(1)证明：当x∈(e,+∞)时，ln x>3x-ex+e；(2)若存在x0∈[n，n+1)(n∈N*)使得对任意的x∈(e,+∞)都有f(x)≥f(x0)成立．求n的值．(其中e=2.71828⋯是自然对数的底数)．3.已知函数f(x)=x ln x-ae x+a，其中a∈R．(1)若f(x)在定义域内是单调函数，求a的取值范围；(2)当a=1时，求证：对任意x∈(0,+∞)，恒有f(x)<cos x成立．4.已知函数f(x)=e-x13x3-2x+2sin x+1，g(x)=sin x+cos x+x2-2x．(1)求g(x)在点(0，g(0))处的切线方程；(2)证明：对任意的实数a≤1，g(x)≥af(x)在[0，+∞)上恒成立．5.已知函数f(x)=e x+cos x-2，f′(x)为f(x)的导数．(1)当x≥0时，求f′(x)的最小值；(2)当x>-π2时，xex+x cos x-ax2-2x≥0恒成立，求a的取值范围．6.已知函数f(x)=ae x-b ln x，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=1e -1x+1．(Ⅰ)求a，b；(Ⅱ)证明：f(x)>0．7.已知函数f(x)=ae x-b ln xx，在点(1，f(1))处的切线方程为y=(e-1)x+1．(1)求a，b；(2)证明：f(x)>1．8.已知函数f(x)=me x-ln x-1．(Ⅰ)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)当m≥1时，证明：f(x)>1．-1，a∈R．9.已知函数f(x)=ln x+ax(1)若函数f(x)的最小值为0，求a的值．(2)证明：e x+(ln x-1)sin x>0．。

专题14不等式选讲解答题30题1．（2022-2023学年高三上学期一轮复习联考（五）理科数学试题（全国卷））已知函数() 2 1f x x a x =-++，() 21g x x =-+.(1)当a =2时画出函数()f x 的图象，并求出其值域；(2)若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.2．（陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题）已知函数()23f x x a x =+-++.(1)当0a =时，求不等式()9f x ≥的解集；(2)若()2f x >，求a 的取值范围.3．（陕西省渭南市富平县2022-2023学年高三下学期期末文科数学试题）已知函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为m ．(1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若a ，b 都是正数且ab m =，求2a b +的最小值．4．（江西省吉安市2023届高三上学期1月期末质量检测数学（文）试题）已知a ，b 均为正数，且2226a b +=，证明：(1)2a b +≤(2)12a b +≥5．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测理科数学试题）已知()223f x x x =++-．(1)求不等式()5f x ≤的解集；(2)若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：11192a b b c a c m++≥+++．6．（河南省洛平许济联考2022-2023学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题）已知函数()121f x x x =++-．(1)求不等式()8f x <的解集；(2)设函数()()1g x f x x =--的最小值为m ，且正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222a b c b c a++≥．7．（河南省部分名校2022-2023学年高三下学期学业质量联合检测理科数学试题）已知函数()12f x x x a =--+.(1)当12a =时，求不等式()0f x 的解集；(2)当1a -时，若函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方，证明：232b a ->.8．（河南省洛阳市第八高级中学2023届高三下学期开学摸底考试理科数学试题）已知函数()|||4|f x x a x =-++.(1)当2a =时，求不等式()8f x ≥的解集;(2)若()21>+f x a 恒成立，求a 的取值范围.9．（青海省西宁市大通回族土族自治县2022-2023学年高三下学期开学摸底考试数学（文）试题）已知函数()|2||22|(0,0)f x x a x b a b =++->>.(1)若2a =，2b =，求不等式()8f x >的解集；(2)若()f x 的最小值为1，求1123a b b++的最小值.10．（2023届甘肃省高考理科数学模拟试卷(四））已知函数()223f x x a x =-++，()12g x x =-+．（1）解不等式()5g x <．（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．11．（甘肃省兰州市第五十七中学2022-2023学年第一次模拟考试数学(文科)试题）已知函数()|21|,()||f x x g x x a=+=+（1）当0a =时，解不等式()()f x g x ≥；（2）若存在x ∈R ，使得()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．12．（安徽省江淮名校2022届高三下学期5月联考理科数学试题）已知函数()22212f x x m x m =-++-.(1)当3m =时，求不等式()10f x 的解集；(2)若()4f x 恒成立，求实数m 的取值范围.13．（河南省商开大联考2022-2023学年高三下学期考试文科数学试题）设函数()1f x x a x a =-+++．(1)当0a =时，求不等式()21f x x <+的解集；(2)若关于x 的不等式()2f x <有解，求实数a 的取值范围．14．（山西省太原市第五中学2022届高三下学期二模文科数学试题）（1）解不等式217x x -+-；（2）若正实数,a b 满足1a b +=，求2211a b b a +++的最小值．15．（山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题）已知函数()2R f x x m m =+-∈，，且()0f x <的解集为[3,1]--．(1)求m 的值；(2)设a ，b ，c 为正数，且a b c m ++=，的最大值.16．（山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题）已知函数()22f x x a a x =---.(1)当1a =-时，求不等式()8f x <的解集；(2)当[]1,2x ∈时，()0f x ≥，求a 的取值范围.17．（内蒙古自治区包头市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知()()4f x x m x x x m =-+--(1)当2m =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若(),2x ∈-∞时，()0f x <，求m 的取值范围.18．（内蒙古自治区赤峰市2022-2023学年高三上学期10月月考数学文科试题）已知函数()|||2|f x x a x =++-，其中a 为实常数．（1）若函数()f x 的最小值为3，求a 的值；（2）若当[]1,2x ∈时，不等式()|4|f x x ≤-恒成立，求a 的取值范围．19．（内蒙古自治区呼和浩特市2023届高三上学期质量普查调研考试理科数学试题）已知m ≥0，函数()212f x x x m =--+的最大值为4，(1)求实数m 的值；(2)若实数a ，b ，c 满足2a b c m -+=，求222a b c ++的最小值.20．（宁夏石嘴山市第三中学2023届高三上学期期未考试数学(理)试题）已知函数f （x ）＝2|x ＋1|＋|x －3|．(1)求不等式f （x ）>10的解集；(2)若函数()()3g x f x x =+-的最小值为M ，正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝M ，证明2228a b c c a b++≥．21．（河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期2月大联考理科数学试卷）已知函数()1f x x =+.(1)求不等式()52f x x ≥--的解集；(2)记()1y f x x =+-的最小值为m ，若0a >，0b >，20a b m +-=，证明：189a b+≥.22．（新疆部分学校2023届高三下学期2月大联考（全国乙卷）数学（理）试题）已知函数()()22R f x ax x a =---∈.(1)当2a =时，求不等式()2f x >的解集；(2)若存在[]2,4x ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围.23．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（理）试题）已知函数()31f x x =-+．(1)求不等式()82f x x ≤-+的解集；(2)若对任意的0x >，关于x 的不等式()f x ax ≥恒成立，求a 的取值范围．24．（江西省赣州市2023届高三上学期1月期末考试数学（理）试题）已知函数()212f x x x =+++的最小值为m ．(1)求m 的值；(2)设,,a b c 为正数，且a b c m ++=，求证：2222222a b c a b c c b a+++++≥．25．（2020届广西柳州市高三毕业班4月模拟（三模）文科数学试题）已知函数()11f x x x =-++.（1）求不等式()3f x <的解集；（2）若二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.26．（广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试（一模）数学（文）试题）已知函数()21,R f x x a a =-+∈，(1)当3a =时，求()f x 的最小值；(2)若对()0,6,R,m x ∀∈∀∈，不等式()f x >a 的取值范围.27．（贵州省贵阳市普通中学2023届高三上学期期末监测考试数学（文）试题）已知0,0a b >>，函数()|2||2|1f x x a x b =++-+的最小值为3．(1)求a b +的值；(2)求证：3221log 42b a ab ⎛⎫++≥- ⎪⎝⎭．28．（贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）数学（文）试题）已知函数()2f x a x x =-++．(1)当1a =付，求不等式()4f x ≤的解集；(2)若()2f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围．29．（贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学（文）试题）设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈．(1)求证：115236a b -<；(2)试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．30．（广西柳州市、梧州市2023届高中毕业班2月大联考数学（文）试题）已知函数()|21||1|f x x ax =++-．(1)当2a =时，求不等式()3f x ≥的解集；(2)若0a >时，存在x ∈R ，使得()12a f x <+成立，求实数a 的取值范围．。

2.3不等式的解集一、单选题1．下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图所示的是()A．x>-1B．-1<x≤2C．-1≤x<2D．x>-1或x≤2 2．不等式组x≥−2x<1的解集在数轴上表示为（）.A．B．C．D．3．x=3是下列不等式（）的一个解．A．x+1<0B．x+1<4C．x+1<3D．x+1<5 4．关于x的不等式2x+m>−6的解集是x>−3，则m的值为（）A．1．B．0．C．-1．D．-25．在-2，-1，0，1，2中，不等式x+3>2的解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列关于不等式的解的命题中，属于假命题的是（）．A．不等式x<2有唯一的正整数解B．−2是不等式2x−1<0的一个解C．不等式−3x>9的解集是x>−3D．不等式x<2的整数解有无数个7．若实数2是关于x的一元一次不等式2x-a-2<0的一个解，则a的取值范围是（）A．a>2B．a<2C．a>4D．a>38．已知关于x的不等式3x-m+1>0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是()A．4<m<7B．4≤m<7C．4<m≤7D．4≤m≤7二、填空题9．不等式3−3x>4x−2的最大整数解是．10．已知不等式3x−12a≤0的解集为x≤5，则a的值为．11．一个关于x的不等式组的解集在数轴上表示为，则这个不等式组的解集是．12．若关于x的不等式3m－2x＜5的解集是x＞2，则实数m的值为.13．如果不等式3x−m<0的正整数解有三个，则m的取值范围.三、解答题14．解不等式组：3x+7≥5(x−1)3x−22>x+1，并在数轴上表示不等式组的解集．15．解不等式组：3x−1>2(x+1)x−32≤1，并在数轴上表示出其解集．16．解不等式组1>x−x≥1并把解集在数轴上表示出来17．求不等式2(m−2)−3(m−1)≥−92的所有正整数解.。

均值不等式的推广：①0,1,2,,i a i n >=，2221212212111nn nnna a a a a a n a nna a a +++++≤≤≤+++一、 三元基本不等式1233a a a ++≤（123,,0a a a ≥）1若0x y >>，求()27x y x y +−的最小值2 求函数2sin cos y x x =⋅的最大值3已知01x <<，求函数32484y x x x =−+的最大值 4若,0x y >，求212xy x y ++的最小值 5已知,,a b c R +∈，且3332221a b c ++=，证明：（1）19abc ≤； （2）a b c b c a c a b ++≤+++ 二、 三个变元最值处理-消元 6对任意正实数,,a b c ，满足1b c +=，则23121ab a bc a +++的最小值为（ ） 7已知实数20,0x y z ≥>>，求43223x y z x x y y z+++++的最小值8已知正数,a b 满足1,a b c R +=∈，求222313a c bc b abc ab++++的最小值 9设,,x y z R +∈，满足2221x y z ++=，求212S xyz=的最小值 三、 平方和与积的互换10 已知实数,,a b c 满足22221a b c ++=，则2ab c +的最小值为（ ）11 已知正数,,,a b c d 满足21,21a b c d +=+=，求11a bcd+的最小值12 ,,a b c 为不同时为0的正实数，求2222ab bca b c +++的最大值13 ,,x y z R +∈，求222xy yzx y z+++的最大值 14 已知22,,91x y R x xy y ∈−+=，求3x y +的最大值15 不等式22221122xy yz a a x y z +≤+−++对任意正数,,x y z 恒成立，求a 的最大值16 已知实数,a b ，且0ab >，求22224aba b a b +++的最大值1718 已知正实数,a b 满足6a b +=，求2211a ba b +++的最大值19 已知实数,,a b c 满足22211144a b c ++=，求22ab bc ac ++的取值范围 20 已知,,0a b c >，且22210a b c ++=，则ab ac bc ++的最大值为（ ）；2ab ac bc ++的最大值为（ ）21 已知,,x y z 为正实数，且2222x y z ++=yz +的最大值 22 设,,,x y z w 是不全为零的实数，求22222xy yz zwx y z w +++++的最大值四、 换元处理23 实数,m n 满足2241m n +=，求421mnm n +−的最小值24 若实数,a b 满足2244a b −=，求252a ab +的最小值 2526 已知0,0x y >>，求2223x y xy y ++的最小值2728 已知正数,x y ，满足11262x y x y+++=，若xy 的最大值和最小值为,M m ，M m +=29 已知不等式()3x a x y +≤+对一切正数,x y 恒成立，实数a 的最小值为（ ）30 若实数,,a b c R +∈，且26ab ac bc a +++=−，求2a b c ++的最小值31 已知正实数,x y 满足222x x xy y ++=，求232x y y++的最小值五、 两边同时加（减，乘，除）一个式子 32 已知0,0a b >>，且2610a b a b +++=，求52b a−的最大值33 已知0,0a b >>，且2233a b ab a b +=+，求3a b +的最小值34 已知,a b R +∈，且196a b a b+=++，求a b +的最小值作业：。

初二分式不等式练习题计算分式不等式是初中数学中的重要内容之一，它在解决实际问题和理解数学关系方面有着重要的作用。

对于初二学生来说，掌握分式不等式的解题方法非常重要。

本文将通过分析具体的练习题，来帮助初二学生更好地理解和运用分式不等式的计算方法。

练习题1：求解不等式$\frac{2x-3}{5}>0$。

要求解不等式$\frac{2x-3}{5}>0$，我们需要先分析分子和分母的符号。

当分子$2x-3=0$时，不等式取等号。

解得$x=\frac{3}{2}$。

对于分母$5$，由于$5>0$，所以分母的符号为正。

接下来，我们可以通过画出数轴的方法来解决这个不等式。

画出数轴后，我们将$x=\frac{3}{2}$作为参考点，并在其左右两侧分别选取测试点。

我们选择$x=0$作为第一个测试点，代入不等式$\frac{2x-3}{5}>0$。

计算结果为$\frac{2(0)-3}{5}=-\frac{3}{5}<0$，所以$x=0$不满足不等式。

接着我们选择$x=2$作为第二个测试点，代入不等式$\frac{2x-3}{5}>0$。

计算结果为$\frac{2(2)-3}{5}=\frac{1}{5}>0$，所以$x=2$满足不等式。

综上所述，原不等式的解为$x\in (\frac{3}{2},+\infty)$。

练习题2：求解不等式$\frac{3x+2}{x-1}<2$。

对于不等式$\frac{3x+2}{x-1}<2$，我们首先需要找到其定义域。

分母$x-1$不能等于零，即$x\neq 1$，所以定义域为$x\in (-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。

接下来，我们需要分析分子和分母的符号。

当分子$3x+2=0$时，不等式取等号。

解得$x=-\frac{2}{3}$。

对于分母$x-1$，我们可以得出$x>1$时分母为正，$x<1$时分母为负。

典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++245)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x典型例题三例3 解不等式242+<-x x分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a二是根据绝对值的性质：a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或a x -<，因此本题有如下两种解法．解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或 即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或∴32<≤x 或21<<x故原不等式的解集为{}31<<x x ．解法二：原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或．典型例题四例4 解不等式04125622<-++-x x x x ．． 说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解． 解法二中，“定符号”是关键．当每个因式x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．典型例题五例5 解不等式x xx x x <-+-+222322．分析：不等式左右两边都是含有x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．解：移项整理，将原不等式化为0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x ．由012>++x x 恒成立，知原不等式等价于0)1)(3()2(>+--x x x ．解之，得原不等式的解集为}321{><<-x x x 或．说明：此题易出现去分母得)23(2222x x x x x -+<-+的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．典型例题六例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．说明：解不等式时，由于R m ∈，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当0=m 时，原不等式化为03<-，此时不等式的解集为R ，所以解题时应分0=m 与0≠m 两种情况来讨论．在解出03222=-+mx x m 的两根为mx 31-=，m x 12=后，认为mm13<-，这也是易出现的错误之处．这时也应分情况来讨论：当0>m 时，mm13<-；当0<m 时，mm 13>-．典型例题七例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解． 解：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x 由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ，故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+．当20≤<a 时，1212≤-+≤a a a ，121>++a a ，不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ，不等式组(2)的解是1>x ．当2>a 时，不等式组(1)无解，(2)的解是2a x ≥．综上可知，当20≤<a 时，原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ；当2>a 时，原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a ．说明：本题分类讨论标准“20≤<a ，2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2a x >，1≤x ’，(2)中‘2ax ≥，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．典型例题八例8 解不等式331042<--x x ．说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．典型例题九例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．分析：不等式中含有字母a ，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程0)(322=++-a x a a x 的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a ，故需比较两根的大小，从而引出讨论．解：原不等式可化为0))((2>--a x a x ．(1)当2a a <（即1>a 或0<a ）时，不等式的解集为：{}2a x a x x ><或；(2)当2a a >（即10<<a ）时，不等式的解集为：{}a x a x x><或2；(3)当2a a =（即0=a 或1）时，不等式的解集为：{}a x R x x≠∈且．说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根a x =1，22a x =，因此不等式的解就是x 小于小根或x 大于大根．但a 与2a 两根的大小不能确定，因此需要讨论2a a <，2a a >，2a a =三种情况．典型例题十例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c 的正负，然后求出方程02=++a bx cx 的两根即可解之．解：(解法1)由题可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根， ∴ab -=β+α，ac =β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ，说明0<a ． 而0>α，0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac ， ∴0022<++⇔>++c a x c b x a bx cx ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==--=+-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+),1)(1(1,11βααββααββαβαβαa c c b a c ab∴02<++ca x cb x ，即0)1)(1()11(2<β-α-+β-α-+x x ， 即0)1)(1(<β-α-x x ． 又β<α<0，∴β>α11，∴0)1)(1(<β-α-x x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x ． (解法2)由题意可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根，∴ac =β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ，说明0<a ． 而0>α，0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac ．对方程02=++a bx cx 两边同除以2x 得 0)1()1(2=+⋅+⋅c x b x a ．令xt 1=，该方程即为02=++c t b t a ，它的两根为α=1t ，β=2t ，∴α=11x ，β=21x ．∴α=11x ，β=12x ，∴方程02=++a bx cx 的两根为α1，β1．∵β<α<0，∴β>α11．∴不等式02>++a bx cx 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x． 说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有α，β是已知量，故所求不等式解集也用α，β表示，不等式系数a ，b ，c 的关系也用α，β表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．典型例题十二例13 不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力．对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好．典型例题十三例14 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．典型例题十四例15 解不等式x x x ->--81032．说明：本题也可以转化为)()(x g x f ≤型的不等式求解，注意：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ，这里，设全集}52{}0103{2≥-≤=≥--=x x x x x x U 或，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=x x x x A 81032， 则所求不等式的解集为A 的补集A ，由2)8(10301030881032222-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≥--≥-⇔-≤--x x x x x x x x x x 或13745≤≤x ．即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤=137452x x x A 或，∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=1374x x A ．。

典题精讲----基本不等式
典题精讲
例1（1）已知0＜x ＜3
1，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x 1的值域.
变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+11
+x 的最小值.
变式训练2求函数y=133224+++x x x 的最小值.
例2已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y 9
=1，求x+y 的最小值
例3求f(x)=3+lgx+x lg 4的最大值（0＜x ＜1）.
变式训练已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,
y b x a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值.
变式训练1已知x ＜
45，求函数y=4x-2+541-x 的最大值. 变式训练2当x ＜23时，求函数y=x+3
28-x 的最大值.
例4如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
（1）现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积
最大？
（2）若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？
变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过26米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.。

1．若1(mn 0)m n +=>，则11m n+的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知（1－2x ）（x －2）≥0，则24x x +的最小值是（ ）A 、32 C 、2 D 、3383．已知0,0>>b a ，4112=+b a ，若不等式m b a 42≥+恒成立，则m 的最大值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．74．若a>0，b>0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是（ ） A.112ab > B.111a b+≤ C. 2≥ab D ．a 2＋b 2≥8 5．若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是（ ） A ．B ．C ．5D ．6 6．已知x ＞1，y ＞1，且14lnx ，14，lny 成等比数列，则xy 有（ ）A.最小值eB.最小值eC.7．设01x <<，函数411y x x =+-的最小值为（ ） A ．272B ．9C ．10D ．8 8．已知x ＞0，y ＞0，且是3x 与33y 的等比中项，则+的最小值是（ ） A.2 B.2 C.4 D.29．函数)1,0(1)3(l o g ≠>-+=a a x y a 的图像恒过定点A,若点A 在直线01=++ny mx 上，其中nm n m 21,0,+>则的最小值为（ ） A.6 B.8 C.4 D.1010．设,,1a b c >，则a c b cb a log log log ++的最小值为（ ）． A ．3 B ．4 C ．6 D ．811．若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则 12a b+的最小值为 ( )A ．1B ．5C ．D ．3+12．若,0>>b a 则下列不等式成立的是（ ）A.ab b a b a >+>>2B.b ab b a a >>+>2C.ab b b a a >>+>2D.b b a ab a >+>>213．设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有 A ．108M ≤< B ．118M ≤< C ．18M ≤< D ．8M ≥ 14．已知b a b a ,,0,0>>的等差中项是12，且11x a y b a b =+=+，，则y x +的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．315．已知函数41()41x x f x -=+，若120,0x x >>，且12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最小值为（）. (A)14 (B)45(C)2 (D)4 16．已知函数x x g 2)(=，2)()(=b g a g ，若0>a 且0>b ，则ab 的最大值为( )A ．21 B ．41 C 、2 D ．4 17．设1a >，0b >，若2a b +=，则121a b +-的最小值为A ．．6 C ．3+ D ．18．已知命题:,+∃∈R p x 使得12+<x x；命题2:0q x x ∀∈≥R,.则下列命题为真命题的是（ ）（A ）∧p q （B ）∨p q （C ）∨⌝p q （D ）∧⌝p q19．设正实数x ，y ，z 满足x 2﹣3xy+4y 2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y ﹣z 的最大值为（ ）A ．0B ．C ．2D ．20．已知△ABC 中,∠C=90°,则的取值范围是 ( ) A. (0,2) B.C.D.21．已知0,0,2,2x y xy x y xy m >>=+≥-若恒成立，则实数m 的最大值为 .22．已知,(0,)x y ∈+∞，312()2x y -=，则14x y+的最小值为 ； 23．若221a ab b -+=，a ，b 是实数，则a b +的最大值是 ．24．若0>a ，0>b ，且ab ba =+11，则33b a +的最小值为 . 25．已知正数y x ,满足12=+y x ，则yx 11+的最小值为。

一元一次不等式（组）解不等式组 ①⎪⎩⎪⎨⎧--≤--x x x x 14214)23( ②⎪⎩⎪⎨⎧-≥--+356634)1(513x x x x⑶()72321235312x x x x x -⎧+>+⎪⎪⎨-⎪>-⎪⎩ ⑷()43321311522x x x x-<+⎧⎪⎨->-⎪⎩能力提升1.若不等式组⎩⎨⎧>->-0x 2b 2a x 的解集是1x 1<<-，则=+2006)b a (___________。

2.不等式组⎩⎨⎧>-<+-m x x x 62的解集是4>x ，那么m 的取值范围是___________。

3.若不等式组11x mx ⎧⎨>⎩≤无解，则m 的取值范围是___________。

4..不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-622131m x m x 的解集是36+<m x ，则m 的取值范围是___________。

5.若不等式组x-a 03-2x>-1≥⎧⎨⎩有5个整数解，则a 的取范围是___________。

6.若不等式5231x ax x >⎧⎨+<+⎩的解集为x>4，则a 的取值范围是___________。

7.已知关于x 的不等式(32)4a b x a b --＜的解集为x ＞﹣23，试求bx —a ＞o 的解集。

3x+y=k 8.如果方程组 的解x ，y 满足x+y ＜2，求k 的取值范围。

x+3y=23x+2y=k+19.当k 为何负整数时， 方程组的解适合x ＞y 。

4x+3y=k —13x+y=1+3m10（练习）.已知关于x ，y 的方程组 的解满足x+y ＞0，求m 的取值范围。

x+3y=1—m11（练习）.已知方程组⎩⎨⎧=+-=+2212y xmy x 的解x 、y 满足x +y ＞0，求m 的取值范围。

12.若关于x 的方程52)4(3+=+a x 的解大于关于x 的方程3)43(4)14(-=+x a xa 的解，求a 的取值范围。

一年级数学不等式练习题数学是一门很重要的学科，它对于培养学生的逻辑思维和问题解决能力有着至关重要的作用。

而数学不等式则是数学中的一个重要概念，它在一年级的学习中占有一席之地。

不等式是算术的一部分，通过对比两个数的大小关系来进行推理和解析。

在一年级的数学学习中，不等式的练习题可以帮助学生培养对数字的观察和理解能力，同时也能够锻炼他们的逻辑思维和解决问题的能力。

下面是一些适合一年级学生的数学不等式练习题：1. 请写出下列算式的大于号（>）或小于号（<）：a) 5 __ 3b) 4 __ 7c) 9 __ 92. 请填写空格，使得不等式成立：a) 6 __ 4b) 3 __ 9c) 2 __ 23. 请将下列数字按照从小到大或从大到小的顺序排列：a) 3, 7, 2, 5b) 9, 2, 6, 44. 请根据不等式的关系，填写空格处的数字，使不等式成立：a) 4 + 3 __ 7 + 2b) 6 + 5 __ 8 + 15. 请用大于号（>）、小于号（<）或者等于号（=）来填空：a) 8 __ 8b) 7 __ 9c) 5 + 2 __ 4 + 4这些练习题旨在让一年级学生通过观察和比较数字的大小关系来解决问题。

学生需要在思考后选择合适的符号填写空格，使得不等式成立。

这样的练习可以提高学生对数字大小关系的敏感度，让他们在实际生活中能够更好地应用数学知识来解决问题。

为了更好地进行这些练习题的训练，老师和家长可以采取以下几点措施：首先，引导学生观察数字的特征，例如数字的大小、奇偶性等。

通过观察，学生可以更好地理解不等式的含义。

其次，鼓励学生积极思考和尝试。

对于能力较强的学生，可以引导他们进行一些复杂的思维训练，例如猜测和推理。

再次，提供适当的反馈和指导。

当学生完成练习题时，老师或家长可以对他们的答案进行检查，并给予及时的反馈和指导。

对于错误的答案，可以进行详细的解释和演示，帮助学生更好地理解不等式的概念。

小学数学不等式运算练习题一、填空题（每题2分，共10分）1. 3 + _____ > 82. 6 - _____ ≤ 103. 5 × _____ < 254. 16 ÷ _____ ≥ 45. 9 + _____ > 13二、判断题（每题2分，共10分）1. 8 + 6 > 11 + 22. 5 × 3 ≤ 3 × 53. 10 - 2 ≥ 8 - 34. 12 ÷ 4 ≥ 20 ÷ 55. 7 + 9 < 6 + 12三、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不满足1 + x ≤ 5？（）A. 2B. 3C. 5D. 62. 下列哪个不等式正确？（）A. 2 + 4 < 9 + 1B. 7 - 3 > 5 - 1C. 6 × 3 ≤ 2 × 9D. 15 ÷ 3 ≥ 10 ÷ 23. 下列哪个数不满足7 - x ≤ 3？（）A. 3B. 5C. 6D. 94. 下列哪个不等式正确？（）A. 3 + 5 < 8 + 1B. 9 × 2 ≤ 2 × 7C. 15 - 6 ≥ 10 - 5D. 12 ÷ 4 ≥ 20 ÷ 55. 下列不等式中哪个数不满足8 ÷ x ≥ 2？（）A. 2B. 3C. 4D. 6四、解决问题（每题5分，共15分）1. 在一个班级里有21个学生，其中男生x人，女生y人。

已知男生人数是女生人数的2倍，用不等式表示这个关系，并解出x和y的值。

2. 玩具店打折出售一批玩具，现原价10元的玩具按9元出售，原价20元的玩具按16元出售。

小明购买了x个10元的玩具，y个20元的玩具。

用不等式表示小明购买这些玩具所需的最少金额，并求出x和y的最小值。

3. 一本书原价80元打折出售，每天降价10元，小李周一买了一本这本书，花了n元。