有理数及其运算(一)

有理数及其运算知识点汇总一、有理数：整数和分数统称为有理数。

正整数 （非负整数） 正整数 整数 0 正有理数 负整数 （非正整数） 正分数 有理数 正分数 有理数 0 负整数 分数 负有理数负分数 负分数 注意：正负数表示具有相反意义的量（具有相反意义的量，只要求意义相反，而不要求数量一定相等，负号“-”本身就表示意义相反的意思）。

0既不是正数也不是负数。

1、 正数前面可以加“+”号，也可以不加“+”号。

2、 判断一个数是不是负数，要看它是不是在正数的前面加“—”号，而不是看它是不是带有“—”号。

注意“—a ”不一定是负数。

3、 相反意义的量是成对出现的。

4、 0是有理数，也是整数，也是最小的自然数。

5、 奇数、偶数也可以扩充到负数，如—1，—21，—53…等都是奇数；—2，—22，—26^等都是偶数。

6、 整数也可以看作分母为1的分数。

7、 a 的相反数是a -，但—a 不一定是负数。

8、 求一个式子的相反数，一定要将整个式子加上括号，再在括号前面加上“—”号，例如y x -的相反数是—(y x -)，即x y -。

9、 多重符号的化简 化简的结果取决与正数前面负号“—”的个数，“奇负偶正”。

10、当0≥a 时，a a =，即绝对值等于它本身的是非负数；当0≤a 时，a a -=，即绝对值等于它的相反数的是非正数。

11、无论a 为正数、负数或0，0≥a ，称为绝对值的非负性。

12、几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0.即0=++++m c b a ，0=====m c b a 则。

二、数轴三要素：原点、单位长度、正方向。

1、两方向无限延伸；三要素缺一不可；原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际情况需要规定的。

2、画法：一条直线——取一点为原点——正方向，用箭头表示（一般规定向右）3、所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不是都表示有理数数。

4、数轴上的点，右边的数 > 左边的数。

第二章 有理数及其运算班级**〔一〕有理数知识点1：正数和负数1、设上升为正，上升200米记作米，则下降300米应记作，不升不降应记作.200+2、〔2021·〕如果零上记作，则零下可记作〔 〕.5C o 5C +o 7C oA. B. C. D. 7C -o 7C +o 12C +o 12C -o知识点2：有理数及其分类3、大于零的数叫______，在正数前面加上“﹣〞〔读作负〕的数叫______；____既不是正数，也不是负数。

4、〔2021•〕如果收入50元，记作+50元，则支出30元记作( )元. A.+30 B.-30 C.+80 D.-805、把以下各数填在相应的大括号：1，－0.1，－789，25，0，－20，－3.14，52正整数集｛…｝；非负整数集｛ …｝正分数集｛…｝；负分数集｛ …｝正有理数集｛ …｝；负有理数集｛ …｝〔二〕数轴知识点1：数轴的定义6、数轴的三要素：______，________，_________.知识点2：数轴上的点与有理数的关系7、比拟有理数的大小： ①数轴上右边的数总比左边的数__；②正数都______零；③负数都_____零；④正数______一切负数.8、〔1〕数轴上和原点距离等于4.3个单位的点所表示的数是________；〔2〕和表示的点距离等于4个单位的点所表示的数是_________；5-9、〔2001•呼和浩特〕在数轴上，原点及原点右边的点表示的数是〔 〕A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数10、〔2021•莱芜〕如图，在数轴上点A 表示的数可能是〔 〕A ．1.5B ．－1.5C ．－2.4D ．2.411、数轴上A 、B 两点表示的数分别为a 、b ，且点A 在点B 的左边，以下结论正确的选项是( )A ．a ＋b ＜0B ．a ＋b ＞0C ．a －b ＜0D ．a －b ＞012、以下说法错误的选项是〔 〕A ．数轴是一条直线 B ．数轴上的原点表示数0C ．数轴上表示数－a 的点在原点的左边 D ．0是正数与负数的分界点〔三〕绝对值知识点1：相反数13、只有符号不同的两个数互为_______；数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离且分别在原点的两边；0的相反数是___；a 的相反数是_____；互为相反数的两个数相加和为_____.14、〔2005•〕如果□+2=0，则“□〞应填的实数是〔 〕A ．﹣2B ． C. D.2212115、以下关于相反数、数轴的说法，不正确的选项是〔 〕A ．符号相反的两个数互为相反数 B ．假设a=－a ，则数轴上表示a 的点是原点C ．数轴上关于原点对称的两个点表示相反数 D ．假设a ＋b=0，则a 、b 互为相反数16、写出以下各数的相反数，并在数轴上把这些相反数表示出来：知识点2：绝对值17、(1)数a 的点与原点的距离叫做，数a 的绝对值记作∣a∣；(2)意义：假设a ＞0，则∣a∣＝. 假设a ＝0，则∣a∣＝____. 假设a ＜0，则∣a∣＝___ ；两个负数比拟大小,绝对值越大的负数反而____；两个点a 与b(a ＜b)之间的距离为：______。

《有理数及其运算》一、有理数的基本概念1、负数：在正数前面加上“–”号的数叫做负数注：0既不是正数，也不是负数。

2、有理数的分类：3、有理数：整数和分数统称为有理数4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

注：①、数轴上，两个点表示的数，右边的总比左边的大。

②、正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。

③、任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

5、相反数：只有符号不同的两个数，称一个为另一个的相反数，注：①、a 的相反数是-a.②、0的相反数是0.（相反数等于本身的数）③、如果a 与b 互为相反数，那么a+b=0.6、倒数：乘积是1的两个数互为倒数。

注：①、a 的倒数是1a（其中0a ≠） ②、0没有倒数 ③、若a 与b 互为倒数，则ab=1 ④、倒数等于本身的数有：1和-17、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离叫做该数的绝对值。

注：①、a 的绝对值是|a|②、正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 ③、对任何有理数a ，总有│a │≥0.④、绝对值等于本身的数有：正数和08、有理数的大小比较：总则：在数轴上，右边的数总是大于左边的数①、正数都大于零，负数都小于零， 正数大于一切负数；②、两个负数，绝对值大的反而小．即：0 , b 0a << ，且 ,a b > 则a b < 。

有理数 整数 0 分数 正整数 负整数正分数 负分数 有理数 正数 零 负数正整数： 正分数： 负整数 负分数二、有理数的运算1、加法运算法则：①、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②、异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用大的绝对值减去小的绝对值； ③、互为相反数两数相加等于0； ④、一个数同0相加仍得这个数。

2、减法运算法则：减去一个数等于加上它的相反数。

即：(b)a b a -=+-利用减法法则时要注意“两变”：即减号变为加号，同时减数变为它的相反数。

专题01 有理数及其运算六大题型
相反意义的量
【变式训练】
1．（广东省云浮市罗定第一中学2022~2023学年七年级下学期期末数学试题）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上20℃记作20+℃，则零下10℃可记作（ ）A ．10-℃
B ．0℃
C ．10℃
D ．20-℃
【答案】A
【分析】根据正负数表示相反意义的量进行作答即可．
【详解】解：由题意可知，零下10℃可记作10-℃，
故选：A ．
【点睛】本题考查了正负数表示相反意义的量．解题的关键在于理解题意．
求一个数的相反数、绝对值【变式训练】
科学记数法
【变式训练】
有理数比较大小
【变式训练】
【变式训练】
利用数轴比较大小
A ．a b
>B ．0a c ->【变式训练】
1．（2023上·广东东莞·七年级统考期末）有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中错
①a b <；②a b >；③0
b a ->
A．2B．1
故选：A
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，绝对值的性质，熟练掌握有理数的乘方运算，绝对值的性质是解题的关键．
二、填空题
三、解答题。

1．内容构造特色本章是在小学非负有理数知识的基础上引进负数的．第一介绍有理数的基本看法，而后再学习有理数的运算，并用有理数的知识解决实质问题．本章知识的引入着重从实质情境下手，经过学习有理数的分类、相反数、数轴、绝对值、有理数大小的比较，理解并掌握有理数的看法，初步浸透数形联合的数学思想，经过研究归纳的方式，追求有理数的加法、减法法例和运算律，经过研究规律的方式归纳总结有理数的乘、除法法例和运算律，在现实背景中理解有理数乘方的意义，经过 24 点游戏的建立，训练基本运算能力，培育思想能力，经过计算器的使用，既使学生解脱了繁琐的运算，同时又培育了学生研究数字规律的能力．2．教材的地位及作用数是学习代数式、方程、不等式、函数等内容的基础．本章是初中阶段对数学习的一部分．在小学阶段学生已经学习了算术数，累积了初步的数感、符号感和基本的运算能力，本章将进一步研究有理数的有关知识并解决实质问题．教材经过现实生活供给的问题背景，给学生供给了归纳、猜想、考证、推理、计算、沟通等数学活动时机，使学生在活动中发现问题、研究规律，促使了学生对知识的理解和掌握．因此，本章内容在知识的掌握、数学思想方法的浸透、学习能力的培育等方面都是特别重要的．3．教课要点与难点教课要点：(1)有理数的看法，特别是有理数的分类、绝对值、相反数等的看法．(2)有理数大小的比较方法，研究有理数四则运算法例并娴熟计算．(3)用科学记数法表示数．(4)应用有理数的有关知识解决实质问题．教课难点：(1)有理数的看法和有理数的运算．(2)数形联合思想的应用．4．教课目的(1)在详细情境中，理解有理数及其运算的意义．(2)能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小．(3)借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值．(4)经历研究有理数运算法例和运算律的过程；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混杂运算 ( 以三步为主 ) ；理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算．(5)会利用科学记数法表示数．(6)能运用有理数及其运算解决简单的实质问题．5．教课建议第一，教师应尽量从实质问题引入有理数的看法，借助风趣的情境和生活实例帮助学生理解看法，使学生正确地理解正数和负数是表示拥有相反意义的量．也可让学生自己从生活中找寻素材，加深理解；第二，进行有理数运算教课时，鼓舞学生自己研究运算法例和运算律，并在与伙伴沟通的过程中逐渐形成较为规范的解题格式．在该过程中，倡导算法多样化，教课时应减少繁难的笔算，对于出现的繁琐运算，鼓舞学生使用计算器；第三，要重视应用有理数及其运算解决实质问题的教课，让学生会用正负数表示实质问题中的量，能用运算的结果作出合理的解说，并给予实质意义．6．课时分派1 有理数1课时2数轴1课时3 绝对值 1 课时4有理数的加法 2 课时5 有理数的减法 1 课时6有理数的加减混杂运算 3 课时7 有理数的乘法 2 课时8有理数的除法 1 课时9 有理数的乘方 2 课时10科学记数法 1 课时11 有理数的混杂运算 1 课时12用计算器进行运算 1 课时1有理数教课要点与难点教课要点：1．理解并掌握有理数的看法．2．会用正、负数表示生活中拥有相反意义的量．教课难点：有理数的分类．学情剖析认知基础：学生在小学已经学习并掌握了非负有理数的意义，对应用非负有理数表示生活中的量比较熟习，而且已经娴熟地掌握了非负有理数的四则运算法例及运算律，能规范条理地表述运算过程，初步拥有了有条理地思虑和书面表达能力，这些都为本章的学习确立了基础．活动经验基础：北师大版的小学数学重视学生的生活经验，亲密数学与现实的联系，教材对重要的数学内容都是依照“问题情境——成立模型——解说与应用”的表达方式编排的，学生在学习中掌握了基本的数学知识和方法，形成了优秀的数学思想习惯和应意图识，有了必定的解决问题的能力，同时学生在研究详细问题的过程中自主地参加、研究和沟通，具备了必定的主动参加、合作意识和初步的察看、剖析、抽象归纳的能力．教课目的1．了解正数与负数是从实质需要中产生的，并会判断一个数是正数仍是负数．2．会用正、负数表示拥有相反意义的量．3．在负数看法的形成过程中，培育学生的察看、归纳与归纳的能力．教课方法创建情境，以问题为载体给学生供给研究的空间，指引学生踊跃研究．经过小组沟通合作的形式，建立以教师为主导，学生为主体自主研究的讲堂学习环境，使学生在研究合作的过程中掌握知识，提升技术，形成自己的看法．教课过程一、引入新课设计说明教材例题切近学生生活实质，生动开朗，经过对该例设置问题串，由浅入深，指引学生在轻松熟习的氛围中进行思虑，既复习旧知，作好新知学习的铺垫，同时鼓舞学生勇敢想象，充足进行思虑、沟通．阅读教材本节开端部分的内容，回答以下问题：问题 1：你能很快地为这两个队排一下名次吗？你的依照是什么？学生排名次的依照可能不独一，如：数笑容的个数、计算总得分等，只需学生能充足思虑，正确表达出排名次的依照，就进行夸奖．问题 2：在达成表格后，你有什么发现？学生经过填“答错题的得分”这一栏，发现“－ 3”“－ 2”，这类数字是我们没有学过的数，它是什么数？表示什么意义？和我们从前学过的数有什么关系？——引入新课．教课说明以上问题从学生已有的知识下手，以问题为载体，自然理顺学生解决问题的思路，问题 1 和问题 2 对于开辟学生解题思想有很大帮助，使个性化思想获得鼓舞和发展，同时引入了新课的学习．实践证明，该设计调换了学生的踊跃性，成功引入了新课．二、讲解新课1．达标导学，初探新知经过上边的问题我们看到，生活中的有些量用我们从前学过的数不可以表示了，这些比0小的数，能够用带有“－”的数来表示．比方－10，我们读作“负10”．对于比 0 大的数，我们用带有“＋”的数来表示．如＋10，读作“正10”．注意：“＋”经常能够省略．问题：“－”能够省略吗？为何？学生回答：不可以够省略．“＋”和“－”是表示数的性质符号，“－”省略了，数的性质就改变了．2．小组议论，理解新知生活中你见过带有“－”的数吗？设计说明安排一活的目的，主要了鼓舞学生自己找生活中的例子，并在求例的程中领会数的引入是生活的需要．同，能够依据需要，一些学生熟习的例睁开．如，零上温度与零下温度，海拔高于海平面的高度与海拔低于海平面的高度，等等．2像 5,1.2 ，3⋯的数叫做正数，它都比0 大．在正数前方加上“－”的数叫做数，如－10，－ 3，⋯1：正数和数有什么关系？依据学生对于拥有相反意的量的，使学生通数学模型的察、、归纳、沟通等数学活，一步理解怎用正、数表示生活中拥有相反意的量，掌握正、数的意，培育学生的正、数的数感．2： 0 是正数是数？学生的回答会多种多，甚至有的学生没法回答，里教明确告学生，引入数以后，“ 0”的意就不表示“没有”了，它是正、数的分界，是“基准”．3：“－”的数必定是数？学生回答有必定困．于正数和数的看法，要提示学生注意不要“＋”的数就是正数，“－”的数就是数．如－a不必定是数．但此不易引申太多．3．例理，稳固新知明通例的教课，要修业生能正确地表达出数所表示的意以及用正、数表示相反意的量；同，认识其实不是全部的基准都必0.教材例 (例)：1：在以上 3 道中正数、数分表示什么量？2：每道的基准分是什么？1 依据学生的回答，上人常把零上的温度、上涨的高度、向的行程等定正的，而把零下的温度、降落的高度、向西的行程等与前方意相反的量定的； 2 要修业生注意其实不是全部的基准都必0，如第 1 小的基准静止不，第 2 小的基准一只球的准量，第 3 小的基准10 kg.明了学生更好地理解稳固正数和数是表示一意相反的量，在例解达成后及充，同通填空的形式范写格式，包含正、数的写及填空的位．通培育学生范地写．达成后教可提学生各中互相反意的量分是什么？基准分是什么？帮助学生更全面地理解本的要点．(1)海平面上的高度正，海平面下的深度，海平面下 150 米作 ________；(2)盈余 100 元作＋ 100 元，那么100 元作 ________；(3)假如零上 5 ℃ 作＋ 5 ℃，那么零下 5 ℃ 作 ________；(4)某运面粉 7.5 吨作＋ 7.5 吨，那么运出 3.8 吨作 ________；(5)西两个相反方向，假如－ 4 米表示一个物体向西运 4 米，那么＋ 2 米表示________，物体原地不 ________；(6)向南走－ 4 米，上是向 ________走了 ________米．4．小活，再探新知在大家分活，列我已学的数，而后将列的全部数适合地分红几，并明分的原因．有理数的分：正整数整数零有理数(按定)整数有理数(按性分数正分数分数正整数正数正分数)零整数数分数整数和分数称有理数．明有理数的看法是本的要点内容，通使学生充足理解有理数的分．2把以下各数填入相数集里：3，－ 2,3.5 ，－3， 0，－ 3.14 ，－ 10%正数会合：⋯；数会合：⋯；整数会合：⋯；有理数会合：⋯.教课明本程通初探、理解、稳固、再探四个，使学生在教的引下，通的探、沟通、合作，自主地解决，稳固知．同的使学生的新知获得了及地稳固掌握，教课成效优秀．三、稳固提升明通三个，使学生本学程中易出和模糊的看法从不一样型加以理解，掌握解技巧．1．小学学的小数能否是有理数？属于分中的哪一？2．判断以下法能否正确：(1)一个有理数不是整数就是分数；(2)一个有理数不是正数就是数；(3)一个整数不是正整数就是整数；(4)一个分数不是正分数就是分数．3．一：一种商品的准价钱是200 元，但跟着季的化，商品的价钱可浮±10%.(1)±10%的含是什么？(2)你算出商品的最高价钱和最廉价钱；(3)假如以准价钱准，超准作“＋”，低于准作“－”，商品价钱的浮范又能够怎表示？答案： 1．有限小数和无穷循小数都是有理数，属于分数；无穷不循小数不是有理数．2．第 (1) ， (4) 法正确．3．(1) ±10%的含是在准的基上涨价或降价的幅度不超10%.(2) 最高价钱200＋200×10%＝ 220( 元 ) ；最廉价钱200－200×10%＝ 180( 元 ) ．(3)因 220－ 200＝ 20( 元) ，200－ 180＝ 20( 元 ) ，因此件商品涨价或降价的幅度不超 20元，因此件商品价钱的浮范又能够表示± 20 元．中考接：1．在一条东西向的跑道上，小亮先向东走了8 米，记作“＋ 8 米”，又向西走了10 米，此时他的地点可记作()A．＋2米B．－2米C．＋18米D．－18米2．假如水库的水位高于标准水位 3 m时，记作＋ 3 m，那么低于标准水位 2 m时，应记作()A．－ 2 m B ．－ 1 m C ．＋ 1 m D ．＋ 2 m 答案： 1．B 2． A教课说明本过程仍旧先让学生独立思虑，再进行小组沟通的方式进行睁开．讲堂上鼓舞学生勇敢讲话，用自己的语言说明原因，进一步培育提升学生的思想表达能力．练习 1 对于有限小数和无穷循环小数都是分数，学生不可以很好的说明原因，考虑到为防止喧宾夺主，教课时可视学生状况适合解说．四、总结反省经过本节课的学习，请大家总结我们都学到了哪些数学知识和方法？1．我们知道了为何要学习负数，学会了用正、负数表示生活中的拥有相反意义的一对量，还知道了有理数都包含哪些数及其分类．2．我们还要掌握分类的思想方法．3．学生易疑惑的地方：学生对于有理数的分类理解不是很好，易把两种分类混杂和重复，应经过判断题或选择题的形式多加练习．评论与反省本节课设计为学生创建了轻松快乐地自主研究沟通的学习环境，四大环节的设计依照学生的认知规律，重在发掘学生潜力，给了学生更多的思虑空间．教课过程中着重发挥学生的主体作用，培育学生在学习互动过程中学会竞争与合作，加强团队相助合作精神．教课时向来让学生处于发现问题、提出猜想、沟通议论的状态中，用自己的思想方式形成自己对于问题独专门理解和认识 .。

有理数及其运算知识点总结大全一、本章知识概述本章所学习的是有理数及其运算，我们可以将本章的内容分为三大部分：第一部分：主要内容是有理数的有关概念.首先是理解有理数的意义及分类，判断一个数是正数还是负数，运用正、负数表示生活中具有相反意义的量．其次是认识数轴，用数轴上的点表示有理数，借助数轴认识相反数的概念及互为相反数的一对数在数轴上的位置关系，利用数轴比较有理数的大小．第三是理解绝对值的概念及求一个数的绝对值，利用绝对值比较两个负数的大小，通过应用题解决实际问题，体会绝对值的意义和作用.第二部分：学习有理数的加减法运算，通过探索有理数加法法则和运算律的过程，理解有理数的加法法则和运算律，利用有理数的加法法则进行有理数的加法运算，并利用运算律简化运算；通过探索有理数减法法则的过程，理解有理数的减法法则，利用有理数的减法法则进行有理数的减法运算；利用有理数的加、减法法则进行包括整数、分数或小数的有理数的加减混合运算，并适当利用运算律简化运算；综合运用有理数及其加法、减法的有关知识，解决简单的实际问题，体会数学与现实生活的联系．第三部分：主要内容是有理数的乘、除、乘方运算及有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算．经历探索有理数乘法法则及运算律的过程，发展观察、归纳、猜测、验证等能力.根据有理数乘法法则进行有理数的乘法运算，运用乘法运算律简化计算；根据有理数除法法则进行有理数的除法运算，求有理数的倒数；根据有理数乘方的意义进行有理数的乘方运算，通过实例感受当底数大于1时，乘方运算结果的快速增长．根据有理数混合运算顺序的规定，进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算，在运算过程中，合理使用运算律简化运算；使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，使用计算器进行实际问题的复杂运算．二、重点知识归纳及讲解1、正数和负数的概念 比0大的数叫做正数；在正数前面加上“－”号的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数. 为了突出数的符号，可以在正数前面加“＋”号，一般地“＋”号往往省略不写，但负数前面的“－”号不能省略. 对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数.2、有理数的概念及分类 整数和分数统称为有理数：正数、负数和零也统称为有理数．整数包括正整数、零和负整数、分数包括正分数和负分数；正数包括正整数和负整数；负整数包括负整数和负分数． 到目前为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、零、负整数、负分数，因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数．有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的分数，但本章中的分数是指不包括分母是1的分数. 通常把正整数和零统为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整数和零统称为非正整数.3、数轴的概念及画法 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 数轴的概念中包含有三层含义：一是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二是说数轴具有原点，正方向和单位长度三要素，三者缺一不可；三是说数轴原点的选定，正方向的取向、单位长度大小的确定，是根据实际需要规定的.画数轴的步骤：（1）画一条直线，一般画成水平的直线；（2）在直线上选取一点为原点，用实心点表示，在原点下边标上0；（3）用箭头表示正方向，一般规定向右为正；（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出，并在下边标上对应的数.4、相反数的概念 如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0. 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等，这就是相反数的几何意义. 一般地，数a的相反数是－a，这里a表示任意一个数，可以是正数、负数或零，还可以代表任意一个代数式，表示或求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上一个“－”号就可以了. 相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数；不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数，只有符合不同的两个数是说除了符号不同以外完全相同.5、绝对值的概念 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，数a的绝对值记作“|a|”. 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，这就是绝对值的代数意义，也可表示为：6、绝对值的有关性质（1）对任意有理数a，都有|a|≥0；（2）若|a|=0，则a=0；（3）若|a|=|b|，则a=b或a=－b；（4）若|a|=b（b>0），则a=±b；（5）若|a|＋|b|=0，则a=0且b=0；（6）对任意有理数a，都有|a|=|－a|.7、有理数大小的比较法则 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的反而小.8、有理数加法法则在中，a 叫做底数，n 叫做指数，叫做幂．n a na 的读法有两种：n a (1)读作a 的n 次幂．(2)读作a 的n 次方．20、有理数的乘方法则正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．21、科学记数法把一个大于10的数记成的形式，其中a 的整数位数只有一位，这种记数的方法，叫做科学记10na 数法．22、有理数的混合运算有理数的运算中，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方（及开方——乘方的逆运算，以后将讲到）为三级运算.对于有理数的混合运算，要特别注意运算顺序及正确使用符号法则确定各步运算结果的符号.有理数的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，对于同级运算，一般从左到右依次进行.如果有括号，就先算括号内的，且一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的.如果能利用运算律简化计算，可变更上面的运算顺序，灵活处理.三、难点知识剖析1、负数的产生及其意义 随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，为了满足实际需要，引入了负数、负数是由于实际需要产生的，负数也是客观存在的数 . 正数和负数通常表示具有相反意义的量，若正数表示某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量，反之亦然 .2、数集的概念 把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集、所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似地，所有整数组成的数集叫做整数集，所有正数组成的数集叫做正数集，所有负数组成的数集叫做负数集，等等 .3、多重符号的化简规律 单独一个有理数前面的“＋”号和“－”号，一般都是性质符号，读作“正”号或“负”号 . 括号前是“＋”号时，去掉括号和“＋”号后，括号内的数不变，括号前是“－”号时，去掉括号和“－”号后，括号内的数就变成它的相反数 . 在一个数的前面添加一个“＋”号，仍然与原数相同；在一个数的前面添加一个“－”号，就成为原数的相反数 .4、两个负有理数的大小比较 两个负有理数的大小比较与其它数一样，可以利用数轴找准两个负有理数在数轴上的对应点，右边的数总比左边的数大 . 两个负有理数的大小比较，还可以利用绝对值，求这两个数的绝对值，比较两个数绝对值的大小，绝对值大的反而小 .5、有关绝对值的计算及化简107。

有理数的四则运算及应用一、有理数的概念•定义：有理数是可以表示为两个整数比值的数，其中分母不为零。

•分类：正有理数、负有理数和零。

二、有理数的加法•定义：两个有理数相加，就是它们的比值相加。

•法则：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

三、有理数的减法•定义：减去一个有理数，相当于加上它的相反数。

•法则：同号相减，取相同符号，并把绝对值相减；异号相减，先取绝对值较大的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值。

四、有理数的乘法•定义：两个有理数相乘，就是它们的比值相乘。

•法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

五、有理数的除法•定义：除以一个有理数，相当于乘以它的倒数。

•法则：除以一个不等于零的有理数，等于乘以这个有理数的倒数。

六、混合运算•定义：含有加、减、乘、除四种运算的算式。

•法则：按照从左到右的顺序进行计算，先算乘除，再算加减。

•定义：运用有理数的四则运算解决实际问题。

•举例：计算购物时的找零、计算物体的高度、计算速度和时间等。

八、注意事项•定义：在进行有理数运算时需要注意的问题。

•举例：避免出现分母为零的情况，注意运算符号的运用等。

•总结：有理数的四则运算及应用是数学中的基本内容，掌握好这部分知识，对于解决实际问题和进一步学习数学都有很大的帮助。

习题及方法：1.习题：计算2/3 + 5/6方法：将两个分数的分母通分，得到4/6 + 5/6 = 9/6，化简得到答案为1 3/6，即1 1/2。

2.习题：计算-4/5 + 3/4方法：将两个分数的分母通分，得到-16/20 + 15/20 = -1/20。

3.习题：计算8/9 - 1/3方法：将两个分数的分母通分，得到8/9 - 3/9 = 5/9。

4.习题：计算-2/5 * 3/4方法：将两个分数相乘，得到-6/20，化简得到答案为-3/10。

5.习题：计算5/6 * 2/7方法：将两个分数相乘，得到10/42，化简得到答案为5/21。

第二章《有理数及其运算》水平测试（满分：120分 时间：90分钟）一、选择题（每题3分，共30分）1．下列说法中，不正确的是（ ）（A ）0既不是正数，也不是负数 （B ）0不是整数（C ）0的相反数是0 （D ）0的绝对值是02．温度上升－3后，又下降2实际上就是 （ ）A. 上升1B. 上升5C.下降5D. 下降－13．数轴上点A 表示－4，点B 表示2，则表示A 、B 两点间的距离的算式是（ ）A. －4＋2B. －4－2C. 2―（―4）D. 2－4 ．4．两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（ ）（A ）都是负数 （B ）至少有一个负数（C ）有一个是0 （D ）绝对值不相等5．如果|a|=7，|b|=5，试求a-b 的值为（ ）（A ）2 （B ）12 （C ）2和12 （D ）2；12；-12；-26.用计算器求25的值时，按键的顺序是（ ） A.5、y x 、2、= B. 2、y x 、5、=C. 5、2、y x 、=D. 2、3、y x 、=7.如果a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，那么 a +b +m 2－cd 的值为（ ）A.3B.±3C.3±21D.4±21 8. 若0<a<1,则a ，) (,12从小到大排列正确的是a aA 、a 2<a<a 1B 、a < a 1< a 2C 、a 1<a< a 2D 、a < a 2 <a1 9．学校为了改善办学条件，从银行贷款100万元，盖起了实验大楼，贷款年息为12%，房屋折旧每年2%，学校约1400名学生，仅贷款付息和房屋折旧两项，每个学生每年承受的实验费用为( )A 、约104元；B 、1000元C 、100元D 、约21.4元10、计算（－2）+（－2）的结果是（ ）A 、－1B 、－2C 、－2D 、－2二、填空题（每题3分，共30分）11．某种零件，标明要求是φ20±0.02（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9mm ，它 （“填合格” 或“不合格”）．12.在太阳系九大行星中，离太阳最近的水星由于没有大气，白天在阳光的直接照射下，表面温度高达4270C ，夜晚则低至-1700C ，则水星表面昼夜的温差为____________．13．数轴上的一点由＋3出发，向左移动4个单位，又向右移动了5个单位，两次移动后，这一点所表示的数是14．一个水利勘察队，第一天沿江向下游走313km ，第二天又向下游走325km ，第三天向上游走517km ，第四天向上游走534km ，这时勘察队在出发点的上游 千米？ 15．一口深井，井底有一只青蛙，这只青蛙白天沿着井壁向上爬3米，夜间又落下2米，到了第十天的下午，这只青蛙恰好爬到井口，则这口井的深度是 米。

初一数学有理数及其运算（1）教案
第二讲有理数及其运算（1）
知识点回顾：
１．引入负数的实际意义
（１）为表示一些具有相反意义的量，把一种意义规定为正，把另一种和它意义相反的量规定为负，就产生了正数和负数．
（２）用正数和负数表示具有相反意义的量，那种意义为正是可以任意选择的，但习惯把”前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把”后退、下降、支出、零下温度”等规定为负．
２．正数和负数的概念
（１）比０大的数叫做正数；
（２）在正数前面加上”－”号的数叫做负数，负数比０小；
（３）零既不是正数也不是负数，零表示正数和负数的分界．
３．有理数的有关概念
（１）有理数：整数与分数统称有理数；
（２）整数包括正整数、零、负整数；
（３）分数包括正分数和负分数．
（４）有理数的分类：
①按数的正负性分类：
②按有理数的定义分类：
（５）通常把正数和０统称为非负数；负数和０统称为非正数；正整。

第二章 有理数及其运算1 有理数1．进一步认识负数，会用正负数表示具有相反意义的量．2．理解有理数的概念，会辨别一个数是否为有理数．3．能够对有理数进行简单的分类．重点会用正负数表示具有相反意义的量，了解有理数的概念及分类．难点明确有理数的分类标准，区分有理数．一、复习导入问题1：在生活中，我们经常遇到用负数表示的量，你能说出一些例子吗？问题2：有了负数，数的运算与过去相比有什么区别和联系？教师提出问题，学生交流讨论后举手回答．二、探究新知1．用正负数表示相反意义的量课件出示问题：如何用数学语言来表示下列数据：(1)零上3 ℃和零下12 ℃；(2)收入800元和支出500元；(3)增加5 kg 和减少2 kg ；(4)水位升高0.5 m 和降低1.3 m .教师提出问题，学生讨论交流后回答问题．老师判断对错，并进一步讲解：一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，用正数表示．而与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的，用负数表示．2．有理数的概念及分类课件出示填空题：(1)像5，1.2，12，…这样的数叫做________，它们都比________大； (2)在正数前面加上“－”号的数叫做________，如－10，－3等，它们都比________小；(3)0既不是________，也不是________.0是________和________的分界点，0是________数，也是________数，也是________数.学生举手回答，教师点评，并进一步讲解：理解正数和负数时需要注意的问题：①对于正数和负数的意义，不能简单地理解为带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数；②负数是在正数前面加上一个“－”号，如－5，－(＋7)等都是负数，负数中的“－”号不能省略，如－5省略“－”号就是5，变成正数了；③0既不是正数，也不是负数．教师：试将以前学过的所有的数进行分类，并与同桌进行交流．学生讨论交流后，教师点评，并进一步讲解：整数与分数统称为有理数．有理数的分类：(1)按符号分：有理数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数 0负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数(2)按定义分：有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数0负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数 三、练习巩固教材第25页“随堂练习”第1，2题．四、小结1．通过这节课的学习，你学到了什么？2．什么是有理数？有理数是怎么分类的？五、课外作业教材第26页习题2.1第2，3题．本节课是有理数全章的第一节，为以后“数”的学习奠定基础．学生在日常生活中已经有用正负数表示量的经验，但是体会它们的意义却是首次．在教学过程中，教师通过提问等方式，引导学生自主探究正负数的意义及有理数的概念和分类．体现教师的导向作用和学生的主体地位．把教师的点拨和学生解决问题结合起来，为学生创设情境，从而不断激发学生的求知欲，为学生提供足够的时间和空间，帮助学生主动探究，鼓励学生表达与交流，使学生轻松、愉快地学习，不断克服学习中的被动情况．角的比较1．在∠AOB内部任取一点C，作射线OC，则一定存在( )A．∠AOB＞∠AOCB．∠AOC＝∠BOCC．∠BOC＞∠AOCD．∠AOC＞∠BOC2．用“＜”“＝”或“＞”填空：(1)若∠α＝∠β，∠β＝∠γ，则∠α____∠γ；(2)若∠1＋∠2＝70°，∠3＋∠2＝100°，则∠1____∠3.3．比较两个角的大小，有以下两种方法(规则)：(1)用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；(2)构造图形，如果一个角包含(或覆盖)另一个角，则这个角大。

)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数一、有理数及其运算1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (pq≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数. 4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (aa ；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数. 7．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 8. 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac . 9．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n . 10．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 11．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.二、 实数1.算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作a 。

第二章有理数及其运算1有理数【知识与技能】1.掌握正、负数的概念和表示方法，理解具有相反意义的量的含义。

2.理解有理数的意义，会对有理数进行分类。

【过程与方法】通过举出生活中具有相反意义的量，了解负数的产生是生活、生产的需要，理解有理数的意义.【情感态度】结合本课教学特点向学生进行热爱生活、热爱学习教育，激发学生学习兴趣。

【教学重点】会用正负数表示具有相反意义的量，会对有理数进行分类。

【教学难点】负数的引入及有理数的分类.一、情境导入，初步认识教材第23页“议一议”上方的内容【教学说明】从学生熟悉的知识竞赛引入，使学生初步认识用正、负数表示具有相反意义的量.二、思考探究，获取新知1.用正、负数表示具有相反意义的量问题1教材第23页“议一议”的内容【教学说明】学生很容易找出生活中关于负数的例子，进一步认识用正、负数表示具有相反意义的量.【归纳结论】负数的产生是生活、生产的需要.为了表示具有相反意义的量，我们可把其中一个量规定为正的,用正数来表示,而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数来表示。

问题2教材第24页“议一议”上面“例”的内容【教学说明】进一步感受生活中的正负数,领悟数学来源于生活,又应用于生活.【归纳结论】若正数表示某种意义的量，则负数就表示与其意义相反的量；同理，若负数表示某种意义的量,则正数就表示与其意义相反的量.2。

有理数的分类问题3我们学过了哪些数?怎样对它们进行分类呢？【教学说明】学生回忆学过的数,思考怎样进行分类，然后与同伴进行交流，教师再引导学生进行分类，形成良好的师生互动.【归纳结论】有理数有两种分类方法:三、运用新知，深化理解1。

填空：（1）珠穆朗玛峰高出海平面约8844m，记为+8844m，那么吐鲁番盆地低于海平面155m,记为；(2）如果支出1800元记为—1800元,那么收入3。

16万元记为；（3）如果某天股市中某种股票上涨0。

8%，记为+0.8％，那么另一种股票下跌0。