浙教版数学八年级下册4.2_第1课时_平行四边形的性质(一)同步练习题题(有答案).docx

4.2平行四边形及其性质(1)A练就好基础基础达标1．已知在ABCD中，∠B＋∠D＝200°，则∠A的度数为(C)A．100°B．160°C．80°D．60°2．已知一个平行四边形两邻边的长分别为10和6，那么它的周长为(C)A．16 B．60 C．32 D．303．已知ABCD的周长为34 cm，两邻边之差为3 cm，则两邻边长分别为(A)A．10 cm，7 cm B．11 cm，6 cmC．12 cm，5 cm D．18.5 cm，15.5 cm4．如图所示，在ABCD中，已知AD＝5 cm，AB＝3 cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于(B)A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．4 cm5．如ABCD中，EF∥AD，GH∥CD，EF，GH相交于点O，则图中的平行四边形有(A)A．9个B．8个C．6个D．4个6．平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置，如果∠B＝45°，则∠BAE的大小是(A) A．75°B．70°C．65°D．60°7．如图所示，已知在ABCD中，∠B＝50°，依据尺规作图的痕迹，则∠DAE＝__80°__．8．如图所示，ABCD 与DCFE 的周长相等，且∠BAD ＝60°，∠F ＝110°，则∠DAE 的度数为__25°__．9．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝10，AD ＝6，AC ⊥BC ，求AC 的长及ABCD 的面积．【答案】 AC 的长是8，ABCD 的面积是48.10．如图所示，已知在ABCD 中，F 是BC 边的中点，连结DF 并延长，交AB 的延长线于点E . 求证：AB ＝BE .证明：∵F 是BC 边的中点， ∴BF ＝CF .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝DC ，AB ∥CD ， ∴∠C ＝∠FBE ，∠CDF ＝∠E . 在△CDF 和△BEF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠FBE ，∠CDF ＝∠E ，CF ＝BF ，∴△CDF ≌△BEF (AAS )，∴CD ＝BE . ∵AB ＝DC ，∴AB ＝BE .B 更上一层楼 能力提升11．下面图形是用木条钉成的支架，其中不容易变形的是( B )A B C D12．如图所示，在ABCD 中，延长边CD 到点E ，使CE ＝AD ，连结BE 交AD 于点F ，图中等腰三角形有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个13．2017·乐山如图所示，延长ABCD的边AD到点F，使DF＝DC，延长CB到点E，使BE＝BA，分别连结点A，E和C，F.求证：AE＝CF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF.又∵BE＝AB，DF＝DC，∴AB＝BE＝DC＝DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.14．在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连结BE，CE，EB平分∠AEC.(1)如图1，判断△BCE的形状，并说明理由；(2)如图2，若∠A＝90°，BC＝5，AE＝1，求线段BE的长．解：(1)△BCE是等腰三角形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠CBE＝∠AEB.∵EB平分∠AEC，∴∠AEB＝∠BEC，∴∠CBE＝∠BEC，∴CB＝CE，∴△CBE是等腰三角形．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝5.在Rt△ECD中，∵∠D＝90°，ED＝AD－AE＝4，EC＝BC＝5，∴AB ＝CD ＝EC 2－ED 2＝52－42＝3.在Rt △AEB 中，∵∠A ＝90°，AB ＝3，AE ＝1， ∴BE ＝AB 2＋AE 2＝32＋12＝10. C 开拓新思路 拓展创新15．如图所示，在平面直角坐标系中，有A (3，4)，B (6，0)，O (0，0)三点，以A ，B ，O 三点为顶点的平行四边形的另一个顶点D 的坐标为 (9，4)或(－3，4)或(3，－4) ．16．如图，在ABCD 外分别作等腰直角△ABF 和等腰直角△ADE ，∠F AB ＝∠EAD ＝90°，连结AC ，EF .求证：AC ＝EF .证明：在平行四边形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ＋∠ADC ＝180°， ∵等腰直角△ABF 和等腰直角△ADE 中，AF ＝AB ，AE ＝AD ， ∠F AB ＝∠EAD ＝90°， ∴∠F AE ＋∠BAD ＝180°，∴由ABCD 得AB ∥CD ，∴∠CDA ＋∠BAD ＝180°， ∴∠F AE ＝∠CDA .在△F AE 和△CDA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DC ，∠CDA ＝∠F AE ，AE ＝AD ，∴△F AE ≌△CDA (SAS )， ∴AC ＝EF .。

4.2平行四边形及其性质(2)A 练就好基础 基础达标 1．平行线之间的距离是指( B ) A．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段 B．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度 C．从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度 D．从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度 2．如图所示，直线 a∥b，另有一条直线 l 与直线 a，b 交于点 A，B，若将直线 l 作平移运动，则线 段 AB 的长度( C )A．变大 B．变小 C．不变 D．变大或变小要看直线 l 平移的方向 3．如图所示，在 ABCD 中，若∠A＝45°，AD＝ 6，则 AB 与 CD 之间的距离为( B ) A. 6 B. 3 C. 2 D．3第 3 题图 第 4 题图 4．如图所示，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点 E，G 为垂足，则下列说法中错误的是( D A．CE∥FG B．CE＝FG C．A，B 两点的距离就是线段 AB 的长 D．直线 a，b 间的距离就是线段 CD 的长 5．已知在 ABCD 中，AB＝3，AD＝2，∠B＝150°，则 ABCD 的面积为( B ) A．2 B．3 C．3 3 D．6 6．如图所示，AB∥CD，AB 与 CD 之间的距离为 6，∠BAC＝60°，则 AC＝__2 2__．)第 6 题图第 7 题图7．如图所示，直线 AB∥CD，若△ACO 的面积为 3 cm2，则△BDO 的面积为__3__cm2.8．如图， ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，AF⊥CD 于点 F，若 AE＝4，AF＝6，平行四边形 ABCD 的 周长为 40，则 ABCD 的面积为__48__． 9．如图所示，甲船从北岸码头 A 向南行驶，航速为 36 km/h；乙船从南岸码头 B 向北行驶，航速为 27 km/h.两船均于 7：15 出发，两岸平行，水面宽为 18.9 km，求两船距离最近时的时刻．【答案】 两船距离最近时的时刻为 7：33. 10．如图，a∥b，点 A，E，F 在直线 a 上，点 B, C，D 在直线 b 上，BC＝EF.△ABC 与△DEF 的面 积相等吗？为什么？第 10 题图第 10 题答图解：△ABC 和△DEF 的面积相等．理由如下： 如图，过点 A 作 AH1⊥直线 b，垂足为点 H1, 过点 D 作 DH2⊥直线 a，垂足为点 H2. 设△ABC 和△DEF 的面积分别为 S1 和 S2, 1 1 ∴S1＝ BC·AH1, S2＝ EF·DH2. 2 2 ∵a∥b，AH1⊥直线 b, DH2⊥直线 a, ∴AH1＝DH2. 又∵BC＝EF, ∴S1＝S2，即△ABC 与△DEF 的面积相等． B 更上一层楼 能力提升 11．如图所示，已知 AB∥CD，∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点 O，OE⊥AC 交 AC 于点 E，且 OE ＝5 cm.则直线 AB 与 CD 之间的距离等于( B )A．5 cm B．10 cm C．20 cm D．5 cm 或 10 cm 12． 如图所示， 在平面直角坐标系中， 四边形 OABC 是平行四边形， AB＝2， OA＝ 2， ∠AOC＝45°， 则 B 点的坐标是 (－3，1) ．13．如图所示，在 ABCD 中，过对角线 BD 上一点 P 作 EF∥BC，GH∥AB，且 CG＝2BG，S△BPG ＝1，则 S AEPH＝__4__．【解析】 ∵EF∥BC，GH∥AB，∴四边形 HPFD，BEPG，AEPH，CFPG 为平行四边形， ∴S△PEB＝S△BGP. 同理可得 S△PHD＝S△DFP，S△ABD＝S△CDB. ∴S△ABD－S△PEB－S△PHD＝S△CDB－S△BGP－S△DFP， 即 S 四边形 AEPH＝S 四边形 PFCG. ∵CG＝2BG，S△BPG＝1， ∴S 四边形 AEPH＝S 四边形 PFCG＝4×1＝4. C 开拓新思路 拓展创新 14．如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都是 1， ABCD 的四个顶点都在小方格的顶点上，按 下列要求画一个面积与 ABCD 面积相等的四边形，使它的顶点均在方格的顶点上．(四边形的边用 实线表示，顶点写上规定的字母) (1)在图甲中画一个长方形 EFGH. (2)在图乙中画一个各边相等的 MNPQ.解：15．如图 1，已知直线 m∥n，点 A，B 在直线 n 上，点 C，P 在直线 m 上． (1)写出图 1 中面积相等的各对三角形：________________________． (2)如图 1，A，B，C 为三个顶点，点 P 在直线 m 上移动到任一位置时，总有________与△ABC 的面 积相等． (3)如图 2，一个五边形 ABCDE，你能否过点 E 作一条直线交 BC(或 BC 的延长线)于点 M，使四边形 ABME 的面积等于五边形 ABCDE 的面积？解：(1)∵m∥n， ∴点 C，P 到直线 n 的距离与点 A，B 到直线 m 的距离相等． 又∵同底等高的三角形的面积相等， ∴图 1 中符合条件的三角形有：△CAB 与△PAB，△BCP 与△APC，△ACO 与△BOP. 故答案为△CAB 与△PAB，△BCP 与△APC，△ACO 与△BOP. (2)∵m∥n，∴点 C，P 到直线 n 的距离是相等的， ∴△ABC 与△PAB 的公共边 AB 上的高相等， ∴总有△PAB 与△ABC 的面积相等． 故答案为△PAB. (3)连结 EC，过点 D 作直线 DM∥EC 交 BC 延长线于点 M，连结 EM，线段 EM 所在的直线即为所 求的直线．。

2021-2022学年浙教版八年级数学下册《4-2平行四边形及其性质》同步作业题（附答案）1．下列性质中，平行四边形不一定具备的是（）A．邻角互补B．对角互补C．对边相等D．对角线互相平分2．平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC＝，则点B的坐标为（）A．（，1）B．（1，）C．（+1，1）D．（1，+1）3．如图，在▱ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC 等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm4．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．则CE 的长是（）A．5B．6C．4D．55．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为（）A．8B．10C．12D．146．如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC 于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（）A．BE＝EF B．EF∥CD C．AE平分∠BEF D．AB＝AE7．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，增加下列条件，不一定能得出BE∥DF的是（）A．AE＝CF B．BE＝DF C．∠EBF＝∠FDE D．∠BED＝∠BFD 8．如图所示，在平行四边形中，EF过对角线的交点，若AB＝4，BC＝7，OE＝3，则四边形EFDC的周长是（）A．14B．11C．17D．109．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝2，AC＝4，BD＝8，则点D到BC的距离为（）A．B．3C．D．10．如图，已知平行四边形ABCD的面积为8，E、F分别是BC、CD的中点，则△AEF的面积为（）A．2B．3C．4D．511．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC＝4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．612．如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是．13．如图，平行四边形ABCD的周长为18cm，AC，BD相交于点O，△OBC的周长比△OAB 的周长小2cm，则AB的长度为cm．14．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC交AB于点E，已知△BCE的周长为14，则▱ABCD的周长为．15．在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，则▱ABCD的周长等于．16．某平行四边形的两边分别为6cm和8cm，如果该平行四边形的高为7cm，那么它的面积是．17．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①△ABC≌△AED；②△ABE是等边三角形；③AD ＝AF；④S△ABE＝S△CDE；⑤S△ABE＝S△CEF．其中正确的是．18．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．（1）求证：AF＝CE；（2）若四边形AECF的周长为10，AF＝3，AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．19．如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO＝DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AD的长．20．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM．CM、BA的延长线相交于点E．求证：（1）AE＝AB；（2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE．21．如图，在▱ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD ＝DF，连接DE．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）若点E为BC中点，∠B＝60°，AD＝4，求▱ABCD的面积．参考答案1．解：A、平行四边形邻角互补，正确，不合题意；B、平行四边形对角不一定互补，错误，符合题意；C、平行四边形对边相等，正确，不合题意．D、平行四边形对角线互相平分，正确，不合题意；故选：B．2．解：过B作BF⊥OA，交x轴于点F，∵四边形OABC是平行四边形，OA＝OC＝，∴AB∥OC，AB＝OC＝，∠BAF＝∠COA＝45°，∵BF⊥OA，∴AF＝BF＝AB＝1，∴OF＝OA+AF＝+1，∴点B的坐标是（+1，1），故选：C．3．解：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴BE＝AB＝3cm，∵BC＝AD＝5cm，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2cm，故选：B．4．解：∵CE平分∠BCD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE＝5，∴AD＝5，∵EA＝3，ED＝4，在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，∴∠AED＝90°，∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．故选：C．5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC＝AB＝6，AD＝BC，∴∠AFB＝∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC，则∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB＝6，同理可证：DE＝DC＝6，∵EF＝AF+DE﹣AD＝2，即6+6﹣AD＝2，解得：AD＝10；故选：B．6．解：由尺规作图可知：AF＝AB，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∵AF＝AB，∴AF＝BE，∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AF＝AB，∴四边形ABEF是菱形，∴AE平分∠BEF，BE＝EF，EF∥AB，故选项A、C正确，∵CD∥AB，∴EF∥CD，故选项B正确；故选：D．7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，A、∵AE＝CF，∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，故本选项能判定BE∥DF；B、∵BE＝DF，∴四边形BFDE是等腰梯形，∴本选项不一定能判定BE∥DF；C、∵AD∥BC，∴∠BED+∠EBF＝180°，∠EDF+∠BFD＝180°，∵∠EBF＝∠FDE，∴∠BED＝∠BFD，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，故本选项能判定BE∥DF；D、∵AD∥BC，∴∠BED+∠EBF＝180°，∠EDF+∠BFD＝180°，∴∠EBF＝∠FDE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，故本选项能判定BE∥DF．故选：B．8．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OB＝OD，AD∥BC，AB＝CD＝4，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴BE＝DF，OE＝OF＝3，∴CE+DF＝CE+BE＝BC＝7，∴四边形EFDC的周长＝DF+EF+CE+CD＝BC+OE+OF+CD＝7+3+3+4＝17，故选：C．9．解：∵AC＝4，BD＝8，四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC＝2，BO＝BD＝4，∵AB＝2，∴AB2+AO2＝BO2，∴∠BAC＝90°，∵在Rt△BAC中，BC＝，S△BAC＝×AB×AC＝×BC×AE，∴2×4＝2AE，∴AE＝，即点D到BC的距离为，故选：D．10．解：设BC边的高为x，DC边的高为y，则平行四边形的面积＝BC•x＝CD•y＝8，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴S△ABE＝×BC•x＝2，S△ADF＝×DC•y＝2，S△CEF＝×BC×x＝1，∴S△AEF＝8﹣2﹣2﹣1＝3．故选：B．11．解：连接AF、EC．∵BC＝4CF，S△ABC＝12，∴S△ACF＝×12＝3，∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥AC，∴S△DEB＝S△DEC，∴S阴＝S△ADE+S△DEC＝S△AEC，∵EF∥AC，∴S△AEC＝S△ACF＝3，∴S阴＝3．故选：B．12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA＝180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠P AB+∠PBA＝（∠DAB+∠CBA）＝90°，在△APB中，∠APB＝180°﹣（∠P AB+∠PBA）＝90°；∵AP平分∠DAB，∴∠DAP＝∠P AB，∵AB∥CD，∴∠P AB＝∠DP A∴∠DAP＝∠DP A∴△ADP是等腰三角形，∴AD＝DP＝5，同理：PC＝CB＝5，即AB＝DC＝DP+PC＝10，在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8，∴BP＝＝6，∴△APB的周长＝6+8+10＝24；故答案为：24．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AD＝BC，AO＝CO，∵平行四边形ABCD的周长是18厘米，∴AB+BC＝9cm，∵若△OAB的周长与△OBC的周长相差2厘米，∴AB﹣BC＝2，解得：AB＝5.5．故答案为：5.5．14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴O点为AC中点．∵OE⊥AC，∴AE＝CE．∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝BC+AE+BE＝BC+AB＝14．∴平行四边形ABCD周长为2×14＝28．故答案为28．15．解：如图1所示：∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，∴EC＝＝2，AB＝CD＝5，BE＝＝3，∴BC＝BE+CE＝3+2＝5，∴AD＝BC＝5，∴▱ABCD的周长等于：5+5+5+5＝20，如图2所示：∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，∴EC＝＝2，AB＝CD＝5，BE＝＝3，∴BC＝3﹣2＝1，∴▱ABCD的周长等于：1+1+5+5＝12，则▱ABCD的周长等于12或20．故答案为：12或20．16．解：∵6cm＜7cm，∴6cm的边上的高为7cm，∴6×7＝42（cm2）；即这个平行四边形的面积是42平方厘米．故答案为：42cm2．17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EAD＝∠AEB，又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∵AB＝AE，∴△ABE是等边三角形；②正确；∴∠ABE＝∠EAD＝60°，∵AB＝AE，BC＝AD，∴△ABC≌△EAD（SAS）；①正确；∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），∴S△FCD＝S△ABC，又∵△AEC与△DEC同底等高，∴S△AEC＝S△DEC，∴S△ABE＝S△CEF；⑤正确．若AD与AF相等，即∠AFD＝∠ADF＝∠DEC即EC＝CD＝BE即BC＝2CD，题中未限定这一条件∴③④不一定正确；故答案为：①②⑤．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AE∥CF，又∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AE＝AD，CF＝BC，∴AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形，∴AF＝CE；（2）解：∵四边形AECF的周长为10，AF＝3，∴AE+CF＝10﹣2×3＝4，∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AD+BC＝2（AE+CF）＝8，∵AB＝2，∴平行四边形ABCD的周长＝8+2×2＝12．19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，DC∥AB，∴∠ODF＝∠OBE，在△ODF与△OBE中∴△ODF≌△OBE（AAS）∴BO＝DO；（2）解：∵BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∵∠A＝45°，∴∠DBA＝∠A＝45°，∵EF⊥AB，∴∠G＝∠A＝45°，∴△ODG是等腰直角三角形，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴DF⊥OG，∴OF＝FG，△DFG是等腰直角三角形，∵△ODF≌△OBE（AAS）∴OE＝OF，∴GF＝OF＝OE，即2FG＝EF，∵△DFG是等腰直角三角形，∴DF＝FG＝1，∴DG＝＝DO，∴在等腰Rt△ADB中，DB＝2DO＝2＝AD∴AD＝2，20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠E＝∠DCM，在△AEM和△DCM中，，∴△AEM≌△DCM（AAS），∴AE＝CD，∴AE＝AB；（2）∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBM＝∠AMB，∴∠ABM＝∠AMB，∴AB＝AM，∵AB＝AE，AM＝DM，∴点M是AD的中点，∴BC＝2AM，∴BC＝BE，∴△BCE是等腰三角形．∵BM平分∠ABC，∴BM⊥CE．21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠AFD，∵AD＝DF，∴∠DAE＝∠AFD，∴∠BAE＝∠DAE，即AE平分∠BAD；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DF，AB＝DC，AD＝BC，∵点E为BC中点，∴BE＝EC＝＝2，∵AD＝DF＝4，∴CD＝AB＝2，∵∠B＝60°，∴BC边的高是，∴▱ABCD的面积＝4．。

浙教版数学八年级下册4.2《平行四边形》精选练习一、选择题1.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：1，则∠D等于( )A.0°B.60°C.120°D.150°2.在给定的条件中，能作出平行四边形的是（）A．以60cm为对角线，20cm、34cm为两条邻边B．以20cm、36cm为对角线，22cm为一条边C．以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边D．以6cm、10cm为对角线，8cm为一条边3.如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为（）A.14B.16C.20D.184.若平行四边形ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长为（）A.11cmB. 5.5cmC.4cmD.3cm5.若平行四边形中两个内角的度数比为1∶3，则其中较小的内角是( )A.30°B.45°C.60°D.75°6.如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F.若▱ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为 ( )A.14B.13C.12D.107.如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为（）A.102°B.112°C.122°D.92°8.如图,将▱ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,折痕l交CD边于点E,连接BE.若BE平分∠ABC,且AB=5,BE=4,则AE=（）A.2B.3C.4D.59.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子一定成立的是( )A.AC⊥BDB.OA=OCC.AC=BDD.AO=OD10.已知□ABCD的两条对角线AC=18，BD=8，则BC的长度可能为（）A.5B.10C.13D.2611.在□ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，则AB的长为（）A.3B.5C.2或3D.3或512.如图,在▱ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF、CF，则下列结论：（1）2∠DCF=∠BCD，（2）EF=CF；（3）S△BEC=2S△CEF；（4）∠DFE=3∠AEF.其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题13.如图，在▱ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为10，AB=4，那么对角线AC+BD= .14.如图，第1个图形中一共有1个平行四边形，第2个图形中一共有5个平行四边形，第3个图形中一共有11个平行四边形，…则第n个图形中平行四边形的个数是．15.如图，▱ABCD中，AB=2，BC=4，∠B=60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为．16.已知平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，CF平分∠BCD交AD于F．若AB=3，EF=1，则AD= ．17.如图，▱ABCD中，AD=2AB，AH⊥CD于点H，N为BC中点，若∠D=68°，则∠NAH=_____.18.如图,在△ABC中,∠A=120°,点D是BC中点,点E是AB上的一点,点F是AC上的一点,∠EDF=90°,且BE=2,FC=7,则EF= ．三、解答题19.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，求△AOB的面积.20.如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BG∥AC，在BG上取点E，连结DE，交AC的延长线于点F.(1)求证：DF=EF.(2)如果AD=2，∠ADC=60°，AC⊥DC于点C，AC=2CF，求BE的长．21.如图，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE = BF.请你以F为一个端点，和图中已标有字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须研究一组线段相等即可).⑴连结_______________；⑵猜想：_______________；⑶证明：(说明：写出证明过程中的重要依据)22.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．参考答案1.答案为：C2.C3.C.4.D5.答案为：B；6.答案为：C7.答案为：B8.B9.答案为：B10.B.11.答案为：B.12.解：（1）∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故正确；（2）延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故正确；（3）∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；（4）设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故正确，故选：C．13.答案为：12.14.答案为：n2+n﹣1．15.解：分两种情况：（1）①当∠BPC=90°时，作AM⊥BC于M，如图1所示，∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，∴BM=AB=1，∴AM=BM=，CM=BC﹣BM=4﹣1=3，∴AC==2，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴当点P与A重合时，∠BPC=∠BAC=90°，∴BP=BA=2；②当∠BPC=90°，点P在边AD上，CP=CD=AB=2时，BP===2；（2）当∠BCP=90°时，如图3所示：则CP=AM=，∴BP==；综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为2或2或．16.答案为：5或7．17.答案为：34°.18. 答案为：．解：延长ED至G，使DG=DE，连接CG、FG，如图所示：在△CDG和△BDE中，∵，∴△CDG≌△BDE（SAS），∴CG=BE=2，∠GCD=∠B，∵∠A=120°，∴∠B+∠ACB=60°，∴∠DCG+∠ACB=60°，即∠GCF=60°，过点G作GH⊥FC于点H，∴GH=GCsin∠GCF=2×=，CH=GCcos∠GCF=2×=1，则FH=FC﹣CH=7﹣1=6，∵DE⊥DF，DG=DE，∴EF=FG===，故答案为：．19.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CAD=∠ACB，OA=OC，而∠AOM=∠NOC，∴△CON≌△AOM（ASA）.∴S△AOD=4+2=6.又∵OB=OD，∴S△AOB=S△AOD=6.20.解：(1)证明：连结BD交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD.∵BG∥AF，∴DF=EF.(2)∵AC⊥DC，∠ADC=60°，AD=2，∴AC=.∵OF是△DBE的中位线，∴BE=2OF.∵OF=OC＋CF，∴BE=2OC＋2CF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC.∵AC=2CF，∴BE=2AC=2.21.解：(1)CF .(2)CF=AE.(3)证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC，AD=BC(平行四边形对边平行且相等),∴∠ADB=∠CBD(两直线平行内错角相等),∴∠ADE=∠CBF(等角的补角相等).∵ DE=BF，∴△ADE≌△CBF(SAS),∴CF =AE(全等三角形的对应边相等).22.（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，∵E为AB的中点，∴AE=BE，在△AED和△BFE中，∴△AED≌△BFE（AAS）；（2）EG与DF的位置关系是EG垂直平分DF，理由为：连接EG，∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，∴∠GDF=∠BFE，由（1）△AED≌△BFE得：DE=EF，即GE为DF上的中线，∴GE垂直平分DF．。

八年级数学下册期末复习四平行四边形同步练习新版浙教版复习目标要求知识与方法了解多边形内角和，外角和；平行四边形的概念；中心对称概念；三角形中位线的概念；反证法的含义及基本步骤理解平行四边形的性质与判定，中心对称图形的性质；会用反证法证明简单命题运用将多边形问题转化为三角形问题；用平行四边形的判定与性质解决简单几何问题；三角形中位线性质的一些简单应用必备知识与防范点一、必备知识：1．一个多边形的外角和与内角和共1620°，则这个多边形的边数是.2．如图，已知平行四边形ABCD，（1）若AC＝8，AD＝6，则BD的取值范围：；（2）若△OBC的周长＝13，AD＝6，则AC＋BD＝；（3）若AC⊥AD，AD＝，AC＝2，则BD＝.33．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A． OA＝OC，OB＝ODB．∠BAD＝∠BCD，AB∥CDC． AD∥BC，AD＝BCD． AB＝CD，AO＝CO4．用反证法证明“已知a<，求证：a必为负数”时第一步应假设；a用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时第一步应假设没有一个内角大于或等于.5．如图所示，OABC的顶点A（6，0），C（2，2），直线y=mx+2平分OABC 的周长，则m的值为.二、防范点：1．一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形；2．反证法与举反例有着本质的区别，反证法是证明真命题，而举反例是证假命题.例题精析考点一平行四边形的判定与性质例1 如图，在ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，求证：（1）四边形AECF是平行四边形；（2）AE＝CF.反思：本题从ABCD性质入手，判定四边形AECF是平行四边形. 本题证明方法多样，也可不添线，用一组对边平行且相等或两组对边相等来证明.考点二三角形中位线定理例2 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，求证：（1）ED⊥CA，（2）EF=EG.反思：中点＋等腰三角形联想三线合一，中点＋直角联想斜边中线定理，中点＋平行联想两三角形全等，两个中点想到中位线定理.考点三与平行四边形有关的计算例3 探究：如图1，在平行四边形ABCD的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，∠FAB＝∠EAD＝90°，连结AC、EF，在图中找一个与△FAE 全等的三角形，并加以证明.应用：以ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图2，连结EF，GH，IJ，KL．若ABCD的面积为6，则图中阴影部分四个三角形的面积和为．反思：本题证△FAE≌△ABC（SAS）难点是证∠FAE＝∠ABC，主要从周角入手. 在应用中关键是找到阴影三角形与之全等的三角形，如△FAE≌△ABC，△LDK≌△BCD. 类似地，若将等腰直角三角形变成等边三角形（见第四章专业提升二第4题），方法也相似.考点四平行四边形的拓展探究例4 在同步4.4—4.6复习课中我们曾做过以下题目：变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等腰△ACD，且AD=DC，点E为AB的中点，连结DE．求证：DE∥CB；变式2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等腰△ACD，且AD=DC，DA⊥AB，以AB为一边向形外作等腰△ABF，且AF=BF，∠FAB=∠CBA. 点E为AB的中点，连结DE．求证：DE=AF.反思：将做过的题目进行分类整理，融会贯通是一种良好学习习惯.考点五坐标平面内的平行四边形例5 在平面直角坐标中，有点O（0，0），A（-1，1），B（2，2）.（1）求点C，使以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形.（2）如图，连结OA，过点B作直线l∥OA，分别交x轴、y轴于点D、点E，若点Q在直线l上，在平面直角坐标系中求点P，使以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形.反思：（1）坐标平面内的平行四边形各顶点横坐标之和相等，纵坐标之和相等；（2）寻找菱形，转化为寻找等腰三角形，把复杂问题简单化.校内练习1．（葫芦岛中考）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A． 60°B． 65°C． 55°D． 50°2. 如图，在ABCD中，AB=6，BC=10，对角线AC⊥AB，点E、F在BC、AD上，且BE=DF.（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）①当四边形AECF是菱形时，求BE的长；②当四边形AECF是矩形时，求BE的长.3．如图，P是△ABC的边AB上一点，连结CP，BE⊥CP于点E，AD⊥CP，交CP的延长线于点D，试解答下列问题：（1）如图1所示，当P为AB的中点时，连结AE，BD. 求证：四边形ADBE 是平行四边形；（2）如图2所示，当P不为AB的中点时，取AB中点Q，连结QD，QE. 求证：△QDE是等腰三角形.参考答案期末复习四平行四边形【必备知识与防范点】1. 92. （1）4＜BD＜20 （2）14 （3）43. D4. a≥0 没有一个内角大于或等于60°（或每一个内角均小于60°）5. －0.25【例题精析】例1 （1）连结AC交BD于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD. ∵BE=DF，∴OE=OF. ∴四边形AECF为平行四边形.（2）∵AECF，∴AE＝CF.例2 （1）∵平行四边形ABCD，∴OB＝OD，又∵BD＝2AD，∴DA＝OD，又∵E为OA中点，∴DE⊥AC.（2）∵DE⊥AC，G为CD中点，∴EG＝0.5DC，又∵E为OA中点，F为OB中点，∴EF＝0.5AB，又∵ABCD，∴AB＝CD，∴EG＝EF.例3 探究：△FAE≌△ABC，理由：AF＝AB，AE＝AD＝BC，∠FAE＝360°－2×90°－∠BAD＝180°－∠BAD＝∠ABC，∴△FAE≌△ABC（SAS）.应用：12．例4 变式1：证明与原题类似，可用两种方法证明. 方法一：连结CE，证△DEA≌△DEC（SSS），利用三线合一得DE⊥AC，又AC⊥BC，∴DE∥BC；方法二：延长AD交BC延长线于点G，通过证DE是△AGB的中位线得平行.变式2：连结FE，∵AF＝BF，点E为AB中点，∴FE⊥AB，又AD⊥AB，∴FE ∥AD，∵∠FAB=∠CBA，∴AF∥BC，由变式1得：DE∥BC，∴AF∥DE，∴四边形ADEF为平行四边形，∴DE＝AF.例5 （1）C（1，3）或C（3，1）或C（－3，－1）；（2）寻找O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，先寻找△ODQ为等腰三角形，再确定点P. 当DO为腰，Q1（0，4），P1（4，4）；Q2（4－2，2），22P2（-2，2）；Q3（4＋2，－2），2222P3（2，－2）. 当DO为底时，Q4（2，2），22P4（2，－2）. 故这样的点P有4个，它们是P1（4，4），P2（-2，2），P3（2，－2），P4（2，－2）.2222.【校内练习】1. A2. （1）证CE＝AF，CE∥AF得四边形AECF是平行四边形；（2）①BE＝CE＝5时，四边形AECF是菱形；②BE＝3.6.3. （1）∵P为AB中点，∴AP=BP，∵BE⊥CP，AD⊥CP，∴∠ADP=∠BEP=90°，∵∠APD=∠BPE，∴在△ADP和△BEP中：∠APD=∠BPE，∠ADP=∠BEP，AP=BP，∴△ADP≌△BEP（AAS），∴DP=EP，∴四边形ADBE是平行四边形；（2）如图，延长DQ交BE于F，∵AD∥BE，∴∠ADQ=∠BFQ，在△ADQ和△BFQ中，∠ADQ=∠BFQ，∠AQD=∠BQF，AQ=BQ，∴△ADQ≌△BFQ（AAS），∴DQ=QF，∵BE⊥DC，∴QE是直角三角形DEF斜边上的中线，∴QE=QF=QD，即DQ=QE，∴△QDE是等腰三角形.。

浙教版八年级下册第4章 4.2平行四边形同步练习（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC.若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（）A . 8B . 9C . 10D . 112. （2分）在▱ABCD中，AC⊥AD，∠B=30°，AC=2，则▱ABCD的周长是（）A . 4+2B . 8C . 8+4D . 163. （2分）已知平行四边形一边长为8，一条对角线长为6，则另一条对角线α满足（）A . 10＜α＜22B . 4＜α＜20C . 4＜α＜28D . 2＜α＜144. （2分）如图，P是▱ABCD上一点．已知S△ABP=3，S△PDC=2，那么平行四边形ABCD 的面积是（）A . 6B . 8C . 10D . 无法确定5. （2分）下列图形的四个顶点在同一个圆上的是（）A . 矩形、平行四边形B . 菱形、正方形C . 正方形、直角梯形D . 矩形、等腰梯形6. （2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A . 45°B . 50°C . 60°D . 75°7. （2分）如图，在由六个全等的正三角形拼成的图中，菱形的个数为（）A . 3B . 4C . 5D . 68. （2分）如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）A . 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B . BD的长度增大C . 四边形ABCD的面积不变D . 四边形ABCD的周长不变9. （2分）如图，AC，BD是平行四边形ABCD的对角线，AC与BD交于点O，若AC=4，BD=5，BC=3，则△BOC的周长是（）A . 7.5B . 6C . 12D . 1010. （2分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=5，则BC的长为（）A . 10B . 9C . 8D . 511. （2分）如图，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（）A . 36°B . 46°C . 27°D . 63°12. （2分）如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，点E是AB边的中点，图中已有三角形与△ADE面积相等的三角形（不包括△ADE）共有（）个．A . 3B . 4C . 5D . 613. （2分）如图，已知□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，BC∶CD= 3∶2，AB=EC，则∠EAF=（）A .B .C .D .14. （2分）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A . AB=BCB . AC=BDC . AC⊥BDD . AB⊥BD15. （2分）如图，E，F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（）A . 6B . 12C . 18D . 24二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）平行四边形的对角线________,并将四边形分成________对全等三角形, ________个面积相等的三角形.17. （1分）在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△ABO的周长为17，AB=6，那么对角线AC+BD=________．18. （1分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、CD于E、F；再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论正确的有：________ ．①AG平分∠DAB；②CH=DH；③△ADH是等腰三角形；④S△ADH=S四边形ABCH ．19. （1分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，∠BOE=30°，OD=2，cos∠ADB=．则CD=________ ．20. （1分）在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2 ，则▱ABCD的周长等于________．三、综合题 (共6题；共71分)21. （10分）如图1，平行四边形ABCD，DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC的延长线上．（1）求证：四边形BEDF是矩形；（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN 是平行四边形．22. （10分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点E在AC上（且不与点A、C 重合）.在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF.（1）根据图①写出线段AF、AE之间存在的等量关系式，并给予证明；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请直接写出线段AF、AE的数量关系________ ；（3）在图②基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）间中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，说明理由.23. （6分）如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，AE=AF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠EAF=60°，CF=2，求AF的长．24. （15分）已知：如图，点D是△ABC中BC边上的中点，DE⊥AC ，DF⊥AB ，垂足分别是点EF ，且BF＝CE ．（1）求证：Rt△BDF≌Rt△CDE（2）问：△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形，并说明理由．25. （15分）如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t=________s时，四边形PBQE为菱形；②当t=________s时，四边形PBQE为矩形．26. （15分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC 的大小为________度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为________；（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；（3）PA、PB、PC满足的等量关系为________．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、综合题 (共6题；共71分)21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、26-1、26-2、26-3、。

2021年浙教版八年级下册课时训练：4.2 平行四边形及其性质一．选择题1．平行四边形的两条对角线一定（）A．互相平分B．互相垂直C．相等D．以上都不对2．在▱ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A的度数为（）A．130°B．100°C．80°D．70°3．▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的度数比可能是（）A．1：1：2：3B．1：2：1：2C．1：1：2：2D．1：2：2：1 4．如图，平行四边形ABCD的周长为80，△BOC的周长比△AOB的周长多20，则BC长为（）A．40B．10C．20D．305．如图，▱ABCD的周长为36cm，△ABC的周长为28cm，则对角线AC的长为（）A．28cm B．18cm C．10cm D．8cm6．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，若AE＝2，▱ABCD的周长等于24，则线段AB的长为（）A．5B．6C．7D．87．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB ＝6，BC＝10，则EF长为（）A．1B．2C．3D．48．已知▱ABCD中，∠B＝4∠A，则∠A＝．9．如图，在▱ABCD中，∠B＝110°，则∠D＝°．10．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△ABC的面积是16，则△BEO的面积为．11．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝5，BE＝2，则平行四边形ABCD 的周长是．12．如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC 的度数是．13．如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是．14．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝45°，且AE+AF＝5，则平行四边形ABCD的周长为．15．如图，在▱ABCD中，点E、F在直线AC上，且AE＝CF．求证：DE∥BF．16．如图，已知，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，CF＝AE，连接CE，AF．求证：△BCE≌△DAF．17．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．求证：BE＝DF．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，且B（8，4），C（6，0），直线AC与y轴相交于点D，求点D的坐标．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠AOE＝74°，∠EAD＝3∠CAE，直接写出∠BCA的度数．20．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．（1）求证：OE＝OF；（2）若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．参考答案一．选择题1．解：因为平行四边形的两条对角线一定互相平分，菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，所以A选项正确．选：A．2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，又∵∠A+∠C＝200°，∴∠A＝100°．选：B．3．解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知B正确．选：B．4．解：∵△BOC的周长比△AOB的周长多20，∴BC﹣AB＝20，①∵平行四边形ABCD的周长为80，∴BC+AB＝40，②由①+②，可得2BC＝60，∴BC＝30．选：D．5．解：∵▱ABCD的周长是36cm，∴AB+AD＝18m，∵△ABC的周长是28cm，∴AB+BC+AC＝28cm，∴AC＝（AB+BC+AC）﹣（AB+AC）＝28﹣18＝10（cm）．选：C．6．解：在▱ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，∴∠DEC＝∠ECB，∠DCE＝∠BCE，AB＝DC，AD＝BC，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC＝AB，∵ABCD的周长等于24，AE＝2，∴AB+AD＝12，∴AB+AE+DE＝12，∴AB＝5．选：A．7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝10，DC＝AB＝6．∴∠AFB＝∠FBC．∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC．∴∠AFB＝∠ABF．∴AF＝AB＝6．同理可得DE＝DC＝6．∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣10＝2．选：B．二．填空题8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠A＝∠C，∴∠A+∠B＝180°，∵∠B＝4∠A，∴∠A＝×180°＝36°．答案为：36°．9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝110°．答案为：110．10．解：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OA＝OC，∵点E是AB的中点，∴OE＝BC，OE∥BC，∴△AOE∽△ACB，∴＝，∵△ABC的面积是16，∴S△AOE＝4，∴S△BEO＝4．答案为：4．11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠DEC＝∠CDE，∴CD＝CE＝BC﹣BE＝AD﹣BE＝5﹣2＝3，∴平行四边形ABCD的周长是2AD+2DC＝10+6＝16．答案为：16．12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，∴∠BAC＝26°，答案为：26°．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），即△ABD和△CDB的面积相等；同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1＝S2．答案为：S1＝S2．14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠B＝∠D，∴∠DAE+∠AEC＝180°，∵∠AEC＝90°，∠EAF＝45°，∴∠EAD＝90°，∠AGE＝45°，∴∠F AD＝45°，∵AF⊥CD，∴∠AFD＝90°，∴∠D＝45°，∴△ABE和△AFD都是等腰直角三角形，∵AE+AF＝5，∴设AE＝x，则AF＝5﹣x，∴AB＝x，AD＝（5﹣x），∴平行四边形ABCD的周长为：[x+（5﹣x）]×2＝10，答案为：10．三．解答题15．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD＝CB，∴∠DAF＝∠BCE，∴∠DAE＝∠BCF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠DEA＝∠BFC，∴DE∥BF．16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，∴∠D＝∠B，∵CF＝AE，∴BE＝DF，在△AFD与△CEB中，∴△BCE≌△DAF（SAS）．17．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠ABE＝∠CDF，又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF．18．解：∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC，AB＝OC，∵B（8，4），C（6，0），∴A（2，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，当x＝0时，y＝6∴点D的坐标为（0，6）．19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．（2）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝74°，∴∠EAO＝90°﹣∠AOE＝16°，∵∠EAD＝3∠CAE，∴∠EAD＝3×16°＝48°，∴∠DAC＝∠DAE﹣∠EAO＝48°﹣16°＝32°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCA＝∠DAC＝32°．20．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，∵∠EAO＝∠FCO，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO，（ASA）∴OE＝OF；（2）∵OE＝OF，OE＝3.5，∴EF＝2OE＝7，又∵EF⊥AD，∴S▱ABCD＝AD×EF＝63，∴AD＝9．。

浙教版八年级下册第四章平行四边形同步练习4．1 四边形的内角和第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，3*10=30）1．一个长方形木块，截去一个三角形后不可能得到的多边形是( ) A ．三角形 B ．四边形 C ．五边形 D ．六边形2．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．113．四边形四个内角度数的比为2∶3∶4∶3，则最大角的度数为( ) A ．90° B ．100° C ．120° D ．135°4．在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ，点E 在边AB 上，∠AED ＝60°，则一定有( ) A ．∠ADE ＝20° B ．∠ADE ＝30°C ．∠ADE ＝12∠ADCD ．∠ADE ＝13∠ADC5．在四边形ABCD 中，∠A+∠C=160°，∠B 比∠D 大60°，则∠B 为（ ） A ．70° B ．80° C ．120° D ．130° 6．在四边形的内角中，直角最多可以有（d ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7．在四边形ABCD 中，∠A+∠C=180°，∠B 比∠D 大60°，则与∠B 相邻的外角为（ ） A. 60° B. 80° C. 120° D. 130°8．如图所示，一块钉板上水平方向和垂直方向相邻两钉的距离都是一个单位，•用橡皮筋构成如图的一个四边形，那么这个四边形的面积为（ ） A ．2.5 B ．5 C ．7.5 D ．99. 如图背景中的点均为大小相同的小正方形的顶点，其中画有两个四边形，下列叙述中正确的是（）A. 这两个四边形面积和周长都不相同B. 这两个四边形面积和周长都相同C. 这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长大于Ⅱ的周长D. 这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长小于Ⅱ的周长10. 如图所示，在四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=43，AD=4，则四边形ABCD 的面积是（）A. 16 2B. 16 3C. 16D. 24第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共6小题，3*8=24）11. 如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数是________．12．在四边形ABCD中，∠A=90°，∠B=75°，∠D=108°，则∠C=_____°．13. 在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B=85°，则∠D=_____°．15. 如图，在四边形ABCD中，AO是∠BAO的平分线，BO是∠ABC的平分线，AO与BO•交于点O，若∠C+∠D=120°，则∠AOB的=_______．16．在四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，∠C：∠D=3：2，则∠C的度数为_______．17．如图，四边形ABCD中，∠A=95°，∠D=100°，外角∠ABE=70°，则∠ABC=________°，∠C=________°．18．如图，在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长分别为2、2、23、2，且AB⊥BC，则∠BAD的度数等于________.三．解答题（共7小题，46分）19. （6分）已知如图，四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，求证：∠A＝∠C.20. （6分）四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=2：4：1：5.(1)求四边形ABCD的四个内角的度数.(2)四边形ABCD中是否有互相平行的边？若有，请找出来，并说明理由.21．（6分）如图①是四边形纸片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°.如果将其右下角向内折出△PCR，如图②所示，恰使CP∥AB，CR∥AD，求∠C的度数．.22．（6分）在四边形ABCD中，∠A=∠B，∠C=∠ADC.(1)求证：AB∥CD.(2)若∠ADC-∠A=60°，过点D作DE∥BC交AB于点E. 请判断△ADE是哪种特殊三角形，并说明理由.23. （6分）(1)经过凸n边形(n＞3)其中一个顶点的对角线有条；(2)一个凸边形共有20条对角线，它是几边形？(3)是否存在有18条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．24．（6分）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DBA=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=3AC.小敏反复探索，不得其解. 她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题.(1)特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=3AC. （请你完成此证明）(2)解决原来问题受到(1)的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F. （请你补全证明）.25. （8分）如图，∠MBC和∠NDC是四边形ABCD的外角，若∠BAD＝α，∠BCD＝β.(1)如图1，①若α＝50°，β＝100°，则∠MBC＋∠NDC＝______度；②若α＋β＝200°，则∠MBC＋∠NDC＝____度；(2)BE是∠MBC的平分线，DF是∠NDC的平分线．①如图2，若BE与DF交于点G，求∠EBC＋∠CDF的度数(用含α，β的代数式表示)；②如图3，若BE∥DF，请探求α与β之间的大小关系．参考答案：1-5 DCCDD 6-10 DACDC 11. 540° 12. 105 13. 9514. 36°，72°，108°，144° 15. 60° 16. 108° 17. 110，55 18. 135°19. 解一：连结AC.∵AB=BC ，∴∠BAC=∠BCA.又∵AD=CD ，∴∠DAC=∠DCA. ∴∠BAD=∠BCD.解二：连结BD.∵AB=BC ，AD=CD ，BD=BD ，∴△ABD ≌△CBD(SSS)，∴∠BAD=∠BCD.20. 解：(1) ∵∠A:∠B:∠C:∠D=2:4:1:5，∴设∠C=x°，则∠A=2x°，∠B=4x°，∠D=5x°. ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴2x+4x+x+5x=360，解得x=30. ∴∠A=60°，∠B=120°，∠C=30°，∠D=150°. (2)∵∠A+∠B ＝180，∴AD ∥BC.21. 解：记两条虚线的交点为E ，∵CR ∥AD ，∠D ＝50°，∴∠D ＝∠CRE ，∵CP ∥AB ，∠B ＝120°，∴∠B ＝∠CPE ，由折叠可知，∠CPR ＝∠RPE ＝60°，∠CRP ＝∠PRE ＝25°，∴∠C ＝95° 22. 解：(1)∵∠A=∠B ，∠C=∠ADC ，∴∠B+∠C=12 (∠A+∠B+∠C+∠ADC)=180°，∴AB ∥CD.(2)△ADE 是正三角形.∵AB ∥CD ，∴∠ADC+∠A=180°.又∵∠ADC-∠A=60°，∴解得∠A=60°. 23. 解：（1）(n －3)(2)由题意得n （n －3）2＝20，解得n ＝8或n ＝－5(舍去)，∴它是八边形(3)不存在，理由：由题意得n （n －3）2＝18，解得n ＝3±3172，∵n 为正整数，∴不存在 24. 解：(1)∵∠A 与∠D 互补，且∠A=∠D ，∴∠B=∠D=90°.∵AC 平分∠DAB ，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC=30°.∴CB=CD=12AC ，AB=AD=32AC ，即AB+AD=3AC..(2)同(1)可证AF+AE=3AC.∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBE=180°，∴∠D=∠CBE. 又∵∠CFD=∠CEB=90°，CF=CE ，∴△CDF ≌△CBE(AAS).∴DF=BE ，∴AB+AD=3AC.. 25. 解：(2)①在图2中，连结BD ，由(1)有，∠MBC ＋∠NDC ＝α＋β，∵BE ，DF 分别平分四边形的外角∠MBC 和∠NDC ，∴∠CBE ＝12∠MBC ，∠CDF ＝12∠NDC ，∴∠CBE ＋∠CDF ＝12∠MBC ＋12∠NDC ＝12(∠MBC ＋∠NDC)＝12(α＋β)，②在图3中，延长BC 交DF 于H ，由(1)有，∠MBC ＋∠NDC ＝α＋β，∵BE ，DF 分别平分四边形的外角∠MBC 和∠NDC ，∴∠CBE ＝12∠MBC ，∠CDH ＝12∠NDC ，∴∠CBE ＋∠CDH ＝12(∠MBC ＋∠NDC)＝12(α＋β)，∵BE ∥DF ，∴∠DHC ＝∠EBC ，∵∠BCD ＝∠CDH ＋∠DHB ，∴β＝12(α＋β)，∴12β＝12α，∴α＝β。

浙江版八年级数学下册第4章平行四边形4.2 平行四边形及其性质第1课时 平行四边形及其性质(1)【知识清单】1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2、平行四边形的表示：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD 可记做“□ABCD ”.3、平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，平行四边形的对边相等. 【经典例题】例题1、如图，在周长为36cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，点O 为对角线BD 的中点，OE ⊥BD 交AD 于E ，连结BE ，求△ABE 的周长． 【考点】平行四边形的性质．【分析】利用平行四边形、等腰三角形的性质，将△ABE 的周长转化为平行四边形的边长之间的和差关系．【解答】∵四边形ABCD 是平行四边形，且周长为36cm ∴AB +AD =18cm∵O 是BD 的中点，OE ⊥BD ， ∴O E 为线段BD 的中垂线， ∴BE =DE ．∴△ABE 的周长=AB +AE +BE ， =AB +AE +DE =AB +AD ． ∴△ABE 的周长为18cm ．【点评】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质．例题2、如图，在□ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，且BF =DE ， 求证：AE ∥CF . 【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质.【分析】根据平行四边形的性质可得AB =CD ，AB ∥CD ，即得∠ABE =∠CDF ，再结合BF =DE ，即可证得△ABE ≌△CDF ，从而证得结论. 【解答】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB =CD ，AB ∥CD ∴∠ABE =∠CDF ∵BF =DE ， ∴BF +FE =DE +FE ， 即BE =DF .在△ABE 和△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF BE CDF ABE CD AB例题1图例题2图∴△ABE ≌△CDF (SAS )， ∴∠A EB =∠CFD ， ∴AE ∥CF .【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线及三角形全等的知识.平行四边形对应元素是解题的关键. 【夯实基础】1、□ABCD 的四个内角度数的比∠A ︰∠B ︰∠C ︰∠D 可能是( )A ．3︰4︰3︰4B ．3︰4︰4︰3C ．4︰4︰3︰2D ．3︰4︰5︰6 2、电动伸缩门是依据平行四边形的( )A ．可变形B ．伸缩性C ．稳定性D ．不稳定性 3、已知□ABCD 中，∠A +∠C =70°，则∠B 的度数为( )A ．125°B ．135°C ．145° C ．155°4、如图，在□ABCD 中，AC =5cm ，若△ABC 的周长为12cm ，则□ABCD 的周长为( )A ．24 cmB ．19 cmC ．14 cmC ．7 cm5、已知□ABCD 中，连接AC ，∠B =∠CAD =45°，AB =4，则AD 的长为 .6、如图，点P 是□ABCD 内任意一点，若S □ABCD =16，则阴影部分的面积为 .7、如图，在□ABCD 中，点O 的BD 的中点，经过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 和点F . 求证：AE =CF .8、如图，在□ABCD 中，点E 是AB 的中点，连结DE ，并延长DE 交CB 的延长线于点F ， (1)求证：点B 是FC 的中点；(2)若CE ⊥FD ，垂足为点E ，试探究CD 与AD 的大小关系？【提优特训】9、如图，在□ABCD 中，AD =2AB ，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，若AE =a ，则□ABCD 的周长为 ( )A ．3aB ．6aC ．9a C ．12a第4题图第6题图第5题图第7题图第8题图10、在□ABCD中，BD是对角线，AE⊥AD交BD于点E，若∠1=22°，则∠2的度数为( )A．102°B．112°C．122°D．132°11、如图，在□ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF、GH相交于点P，则图中共有平行四边形( )个.A．5 B．7 C．9 D．11第12题图第11题图12、如图，将□ABCD沿对角线BD折叠，使点B落在得C'处，若∠1=40°，∠2=36°，则∠C的度数为.13、用一根长36m的篱笆围成一个平行四边形的花园，使其两边的比为5:4，则长边为m，短边为m.14、已知□ABCD中，点A，B，C的坐标分别是A(0，4)，B(-2，2)，C(3，2)，则点D的坐标是.15、如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、CF分别是∠ABC和∠BCD的平分线，求证：AF=DE.第15题图16、在□ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC垂足F在AC的延长线上，求证：ED=FB，ED∥BF.第16题图17、如图所示，四边形ACED是平行四边形，点B是边EC延长线上一点，连结DB、AB，使AC=DB，(1)求证：△ABD≌△CDE；(2)若∠E=30°，∠DCB=45°，CE=2，求四边形ABCD的面积.第17题图18、如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F . (1)若∠EAF =50° ，求∠F AD 的度数；(2)BP 是∠ABC 的平分线，分别交AE 、AF 、AD 于点M 、N 、P ，求证：AM =AN ；(3)若□ABCD 的周长为48，AE =6，AF =10，求BC 的长.【中考链接】19、(2018•临沂)(3分)如图，在□ABCD 中，AB =10，AD =6，AC ⊥BC ．则BD = ．20、(2018•浙江台州) 8．(4.00分)如图，在□ABCD 中，AB =2，BC =3．以点C 为圆心，适当长为半径画弧，交BC 于点P ，交CD 于点Q ，再分别以点P ，Q 为圆心，大于21PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点N ，射线CN 交BA 的延长线于点E ，则AE 的长是( )A ．21B ．1C ．56 D ．23 21、(2018•浙江衢州) 18．(6分)如图，在□ABCD 中，AC 是对角线，BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，求证：AE =CF ．22、(2018•杭州临安) 25．(6分)已知：如图，E 、F 是□ABCD 的对角线AC 上的两点，AE =CF ．求证：(1)△ADF ≌△CBE ； (2)EB ∥DF ．参考答案1、A2、D3、C4、C5、426、8 9、B 10、B 11、C 12、124° 13、10，8 14、(5，4) 19、413 20、B7、如图，在□ABCD 中，点O 的BD 的中点，经过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 和点F . 求证：AE =CF .第18题图第19题图第20题图第21题图第22题图证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC∴∠FBO =∠EDO，∵点O的BD的中点，∴BO=DO，∵∠BOF=∠DOE，∴△BOF≌△DOE(ASA)，.∴BF=DE∴AD-DE=BC-BF∴AE=CF.8、如图，在□ABCD中，点E是AB的中点，连结DE，并延长DE交CB的延长线于点F，(1)求证：点B是FC的中点；(2)若CE⊥FD，垂足为点E，试探究CD与AD的大小关系？(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠FBE，∠ADE=∠F，AD=BC，∵点E是AB的中点，∴AE=BE，∴△AED≌△BEF(SAS)，∴AD=BF，∴BF=BC，∴点B是FC的中点；(2)由(1) 可知△AED≌△BEF，∴DE=FE，点E为DF的中点，∵CE⊥FD，∴DC=FC=2BC，∴DC=2AD.15、如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、CF分别是∠ABC和∠BCD的平分线，求证：AF=DE.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AD∥BC，∵BE、CF分别是∠AB C和∠BCD的平分线，∴∠1=∠2，∵AD∥BC，∴∠2=∠AEB，∴∠1=∠AEB∴AB=AE，第15题图第8题图同理DF =DC ， ∴AE =DF ∴AF =DE .16、在□ABCD 中，BE ⊥AC ，垂足E 在CA 的延长线上，DF ⊥AC 垂足F 在AC 的延长线上， 求证：ED =FB ，ED ∥BF .证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠1=∠2，AB =CD ，∵∠BAE =180°-∠1，∠DCF =180°-∠2 ∴∠BAE =∠DCF . ∵BE ⊥AC ，DF ⊥AC ， ∴∠BEA =∠DFC =90°.在△ABE 和△CDF 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD AB DFC BEA DCF BAE∴△ABE ≌△CDF (AAS )，∴AE =CF∴CA +AE =AC +CF ， 即CE =AF .在△ECD 和△F AB 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AB CD FA EC 12∴△ECD ≌△F AB (SAS )， ∴ED =FB ，∴∠CED =∠AFB ， ∴ED ∥BF .17、如图所示，四边形ACED 是平行四边形，点B 是边EC 延长线上一点，连结DB 、AB ，使AC =DB ， (1)求证：△ABD ≌△CDE ；(2)若∠E =30°，∠DCB =45°，CE =2，求四边形ABCD 的面积.(1)证明：∵四边形ACED 是平行四边形， ∴AD =CE ，AC =DE ，∠DAC =∠E ，AD ∥BE ， ∵AC =DB ， ∴DB =ED ， ∴∠DBE =∠E .第16题图∵AD ∥BE ，∴∠ADB =∠DBE =∠E . 在△ABD 和△CDE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DE BD CED ADB EC AD ，∴△ABD ≌△CDE (SAS )， (2)过点D 作DG ⊥BE 于G ， ∵BD =ED ∴BG =EG 设DG =x ，在Rt △DGE 中，∠E =30°， ∴DE =2x ，根据勾股定理，得GE =22DG DE -=x x x 3222=-. 在Rt △DGC 中，∠DCB =45°， ∴GC =GD =x ， ∵CE =2， ∴ GE -GC =2， ∴x 3-x =2 解得，x =13+. 即DG =CG =13+.∴GE =GC +CE =13++2=3+3. ∴BE =2GE =2(3+3).由(1)四边形ABCD 的面积=△DBE 的面积 =)13()33(221+⨯+⨯⨯ =6+43.18、如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F . (1)若∠EAF =50° ，求∠F AD 的度数；(2)BP 是∠ABC 的平分线，分别交AE 、AF 、AD 于点M 、N 、P ，求证：AM =AN ；(3)若□ABCD 的周长为48，AE =6，AF =10，求BC 的长. (1)解：∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∠EAF =50° ， ∴∠AEC +∠AFC =180°， ∴∠DAF +∠C =180°.∴∠C =130°.∵四边形ACED 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠C +∠D =180°，∴∠D =50° ∴∠F AD =40；(2)证明：∵四边形ACED 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∠ABC =∠D ， ∴∠3=∠1， ∴∠BAE =∠F AD .∵BP 是∠ABC 的平分线， ∴∠1=∠2，∵∠AMN =∠2+∠BAE ，∠ANM =∠3+∠F AE ， ∴∠AMN =∠ANM ， ∴AM =AN ；(3) ∵□ABCD 的周长为48，AE =6，AF =10， ∴BC +CD =24，设BC =x ，则CD =24-x ，由平行四边形的面积得BC ·AE =CD ·AF ， ∴6x =10(24-x )，解得x =15，∴BC =15.21、(2018•浙江衢州) 18．(6分)如图，在□ABCD 中，AC 是对角线，BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，求证：AE =CF ．【分析】由全等三角形的判定定理AAS 证得△ABE ≌△CDF ， 则对应边相等：AE =CF ． 【解答】证明：如图，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB =CD ，AB ∥CD ， ∴∠BAE =∠DCF ． 又BE ⊥AC ，DF ⊥AC ， ∴∠AEB =∠CFD =90°． 在△ABE 与△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD AB DCF BAE CFD ABE ， ∴得△ABE ≌△CDF (AAS )，第21题图∴AE =CF ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．22、(2018•杭州临安) 25．(6分)已知：如图，E 、F 是□ABCD 的对角线AC 上的两点，AE =CF ．求证：(1)△ADF ≌△CBE ； (2)EB ∥DF ．【分析】(1)要证△ADF ≌△CBE ，因为AE =CF ，则两边同时加上EF ， 得到AF =CE ，又因为四边形ABCD 是平行四边形，得出AD =CB ， ∠D AF =∠BCE ，从而根据SAS 推出两三角形全等；(2)由全等可得到∠DF A =∠BEC ，所以得到DF ∥EB ． 【解答】证明：(1)∵AE =CF ， ∴AE +EF =CF +FE ，即AF =CE ． 又四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD =CB ，AD ∥BC ． ∴∠DAF =∠BCE ． 在△ADF 与△CBE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CB AD BCE DAF CE AF ， ∴△ADF ≌△CBE (SAS )． (2)∵△ADF ≌△CBE ， ∴∠DF A =∠BEC ． ∴DF ∥EB ．第22题图。