北京航空航天大学2010年随机过程理论试卷

第一章概论第1题某公共汽车站停放两辆公共汽车A 和B ，从t=1秒开始，每隔1秒有一乘客到达车站。

如果每一乘客以概率21登上A 车，以概率21登上B 车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立的，并用j ξ代表t=j 时乘客登上A 车的状态，即乘客登上A 车则j ξ＝1，乘客登上B 车则jξ＝0，则,21}0{,21}1{====j j P P ξξ当t ＝n 时在A 车上的乘客数为n n j j n ηξη,1∑==是一个二项式分布的计算过程。

（1）求n η的概率，即;,...,2,1,0?}{n k k P n ===η（2）当公共汽车A 上到达10个乘客时，A 即开车（例如t ＝21时921=η，且t ＝22时又有一个乘客乘A 车，则t ＝22时A 车出发），求A 车的出发时间n 的概率分布。

解（1）：nn k n k P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==21}{η 解（2）：nn n n P P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−2191212191A)10n 9A 1-n (}n A {1名乘客登上车时刻第名乘客；在有时刻，车在开车在时刻车第2题设有一采用脉宽调制以传递信息的简单通信系统。

脉冲的重复周期为T ，每一个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，使每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T ）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机变量；脉冲的幅度为常数A 。

也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是以随机过程)(t ξ。

图题1－2画出了它的样本函数。

试求)(t ξ的一维概率密度)(x f t ξ。

解：00(1)()()(){()}{()0}[(1),],(0,){()}{[(1),]}{[(1)]}1(1)(1)1({()0}1{()}t A A n n n Tt n T f x P x A P x P t A P P t P t n T nT n T P t A P t n T nT P t n T d TT t n T T nT t T t n Tt n T T t n P t P t A ξδδξξηξηηηξξ−−=−+====∈−∈==∈−+=>−−=−+−=−==−−−=−−−==−==∫是任意的脉冲宽度01)(1)()()()()(1)()t A T tn T Tf x P x A P x t t n x A n x T T ξδδδδ=−−∴=−+⎛⎞⎛⎞=−−+−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠第3题设有一随机过程)(t ξ，它的样本函数为周期性的锯齿波。

.数学与统计学院2013级统计学专业（本科）《应用随机过程》期末试卷（B ）2015 — 2016 学年 第一学期 考试时间120 分钟 满分100分一、判断题（每题2分，满分10分）1.布朗运动和排队模型都属于随机过程。

（ ）2.如果随机过程{}(),X t t T ∈是严平稳过程，则它也是宽平稳过程。

（ ）3.Poisson 过程是具有独立增量和平稳增量的计数过程。

（ ）4.i 为零常返状态⇔0lim )(=∞→n iin p。

（ ） 5.如果状态i 为非常返状态，且是非周期的，则i 是遍历状态。

（ ）二、填空题（每空2分，满分20分）1.设{}(),X t t T ∈是平稳过程，则[()]E X t = 。

2.乘客以10人/小时的平均速率到达售票处，则[0,t]内到达的乘客数{}()N t 是强度为 的Poisson 过程。

3.自相关函数(,)X R s t = 。

4.更新过程的时间间隔 ,,21X X 是分布函数为F 的独立同分布序列。

如果允许1X 服从其他分布G ，则称由 ,,21X X 确定的计数过程是 。

5. 有“开”、“关”两种状态的更新过程，称作 。

6.有一类随机过程，它具备 ，即要确定过程将来的状态，只需知道它现在的状态，而不需要知道它过去的状态。

7.设Markov 链一步转移概率矩阵为()ij p P =，n 步转移矩阵为())()(n ij n p P =，则二者之间的关系为 。

8.在Markov 链中，若()11n ii ii n f f ∞===∑，则称状态i 为 。

9.更新过程中有()N t n ≥⇔ 。

10.若状态j i ,同属一类，则两状态的周期)()(j d i d 与的关系是 。

三、计算题（每题10分，满分30分）1.假设某天文台观测到的流行数是一个泊松过程，根据以往资料统计为每小时平均观测到5颗流星。

试求：上午8:00 -12:00期间，该天文台没有观察到流星的概率？观察到3颗的概率？2.设顾客在[0,t)内进入商场的人数是一泊松过程，平均每10min 进入25人。

随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。

通过研究随机过程，可以揭示随机现象的规律性，并应用于实际问题的建模与分析。

以下是一些关于随机过程的试题及答案，帮助读者更好地理解与掌握这一概念。

1. 试题：设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程，其状态空间为S={1,2,3}，转移概率矩阵为：P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。

(2) 求X(t)的平稳分布。

2. 答案：(1) 根据马尔可夫过程的性质，X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。

令Q = P^2，则X(t=2)的转移概率矩阵为：Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。

设平稳分布为π = (π1,π2, π3)，满足πP = π（即π为右特征向量），且所有状态的概率之和为1。

根据πP = π，可以得到如下方程组：π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布：π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题：设随机过程X(t)是一个泊松过程，其到达率为λ=1，即单位时间内到达的事件平均次数为1。

(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。

(2) 计算X(t)的平均到达速率。

4. 答案：(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。

所以，P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3}，其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。

2016-2017学年 第一学期期末试卷学号 姓名成绩考试日期：2017年01月09 日 考试科目：《随机过程理论》（A 卷）一、（本题共10分，毎小题2分）判断下列说法的正误。

1. 平稳随机过程的线性变换一定是平稳随机过程。

2. 随机过程可以被看作是一簇依赖于时间的随机变量的集合。

3. 高斯随机过程的狭义平稳和广义平稳不一定等价》4. 到达时间间隔相互独立且服从相同负指数分布的计数过程为泊松过程。

5. 齐次马尔可夫链的有限维分布可以由其初始分布和一步转移概率确定。

二、（本題共18分，每小题6分）简要回答下列问题。

1. 平稳随机过程相关系数、相关时间的定义及其相互关系。

2. 随机过程独立、不相关和正交的定义及相互关系。

3. 两个随机过程联合平稳的定义及其判定。

三、（本题18分）设随机过程()cos()X t a t ω=++Φ，其中0a >，0ω>，0Φ>是 均匀分布于区间[],ππ-的随机变量。

证明：1.()X t 是广义平稳过程 2.()X t 具有均值各态历经性； 3. ()X t 与其均方导数方程()Xt 在同一时刻互不相关。

四、（本题14分）窄带实平稳随机过程()()()00cos sin c s X t X t t X t t ωω=-其中02ωπ>>，()c X t 为同相分量，()s X t 为正交分量。

已知()c X t 与()s X t 的互功率谱密度()0s c X X S ω=, ()c X t 的自功率谱密度为() -0 00 c S πωπωωπωωπ+≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他1.()X t 的自相关函数； 2.()X t 和()ˆX t 的互功率谱密度()ˆXX S ω； 3. ()X t 的复表示()Xt 的自功率谱密度。

五、（本题20分）功率诺密度为1的零均值离白噪声()N t 通过理想低通滤波器()h t ，输出为()X t 且有() 1 -110 H j ωω≤≤⎧=⎨⎩其他令()()()Y t X t X t T =--，其中0T >1.()X t 的自相关函数()X R τ; 2.()Y t 和()N t 的互功率谱密度()YN S ω 3. ()Y t 的一维和二维概率密度函数。

北京航空航天大学电子信息工程学院2009-2010《信号与系统》试题学号____________ 姓名____________ 成绩____________整理：Susie Yan 一、（10分）判断下列连续时间系统是否为因果的、线性的、时不变的、稳定的，并加以说明1、）；2、y（n）=x（1-n）。

二、（10分）计算下列卷积：1、，，计算；2、如果有两个序列，=，计算n=2和n=4时*的值。

三、（15分）某线性时不变系统的频率响应为H(j)=若输入e（t）=，求1、e（t）的频谱E(j)，画出E(j)的图形；2、系统输出r（t）。

四、（15分）信号e（t）=5+2，其中1、计算e（t）的频谱，画出e（t）的频谱图，若对e（t）进行均匀冲激抽样，求奈奎斯特频率和奈奎斯特间隔；2、若用抽样频率的冲激函数序列进行抽样，计算抽样信号的频谱，画出的频谱图； 3、若由恢复原信号，理想低通滤波器的截止频率应该如何选择? 五、（15分） 已知系统函数,A 为未知常数，该系统的阶跃响应的终值为1，试求该系统对何种激励的零状态响应为(）u （t ）。

六、（15分）已知某离散系统的差分方程为y （n ）+1.5y （n-1）-y （n-2）=x （n-1） 1、若该系统为因果系统，求系统的单位样值响应h （n ）； 2、若该系统为稳定系统，求系统的单位样值响应h （n ），并计算输入x （n ）=时的零状态响应七、（20分）如图所示的因果系统，其中D 表示单位延时， 1、 写出系统的差分方程； 2、 求系统函数H （z ），绘出零、极点图； 3、求系统的频率响应，并粗略绘出幅频响应和相频响应的波形。

x （n。

北京航空航天大学2010年硕士研究生入学考试试题科目代码：941流体工热综合(共3页)考生注意：所有答题务必写在考场提供的答题纸上,写在本试题单上的答题一律无效(本题单不参与阅卷)。

一、填空题（本题10分，每空1分）1 比热是过程量，适用于一切气体，它的大小和过程有关。

该表述是______的。

(a)正确(b)错误2 对任意一个过程，如体系的熵变等于零，则___________。

(a)该过程可逆(b)该过程不可逆(c)无法判定该过程可逆与否3 热机循环效率= 适用于______ 热机，而概括卡诺循环热机的热效率可以表示为_____________。

4 等熵过程的膨胀功和气体常数的关系为_________；多变过程的比热为________。

5 在压缩比相同、吸热量相同时，定容加热循环、定压加热循环和混合加热循环的热效率大小依次为____________；最高压力和最高温度相同时，三种循环的热效率大小依次是。

6热量的定义是____________________________，内能的定义是。

二、作图题（20分，每题10分）1 请在T-S图上示意性地画出在循环增温比相同的条件下，奥托循环的循环功和压缩比之间的关系，热效率和压缩比之间的关系，并指出最佳热效率和极限热效率，说明，为什么？2 在T-S图上表示理想气体由状态1等熵膨胀到状态2时技术功的大小。

并说明为什么。

三、简答题（20分，每题10分）1试分别回答涡轮增压器在地面车用活塞发动机和高空航空活塞发动机上的作用。

2 换热方程中对流换热系数（表面传热系数）的表达式为h=，并没有包含流体流动速度，试说明对流体热系数是否与流体的流动速度无关。

四、计算题（本题15分）长度为100cm，液面高度为30cm的水箱沿30°的斜面等加速度下滑（假设斜面无摩擦），若运动过程中液面与斜面平行，如题四图所示。

试计算：(1)加速度大小和方向并判断水箱的运动状态；(2)水箱中A点的压力。

北京航空航天大学2015〜2016学年第一学期 随机过程理论期末考试试卷(2015年11月29曰)班级： 学号： 姓名： 成绩： 注意事项：1、所有答案请写在答题纸上，并在每一页答题纸上写上学号、姓名2、考试完毕后，所有答题纸、草稿纸一律上交。

一、（本题35分，每小题5分）简要问答下列问题。

1. 平稳随机过程的各态历经性及其意义。

2. 平稳随机过程通过线性时不变系统，输出过程不一定是平稳随机过程。

3. 高斯平稳随机过程与其导数过程在同一时刻相互独立。

4. 白噪声过程通过线性系统后输出过程的相关时间和噪声等效通频带的定 义，以及它们之间的关系？5. 什么是实随机过程的复表示？并给出复表示的功率谱密度。

6. 两个相互独立的泊松过程的和仍然是泊松过程。

7. 马尔可夫链的切普曼-科尔莫戈罗夫方程及其意义。

二、(本题15分）设()1k nj t k k Z t A e ω==∑，其中k ω，1,,k n = 是实数：k A ，1,,k n= 是均值为零的实随机变量，且有 1 0 i j i j E A A i j =⎧⎡⎤=⎨⎣⎦≠⎩，请计算： 1. ()Z t 的均值和自协方差函数；2. ()Z t 的均方值；3. ()Z t 是否为平稳随机过程？三、（本题10分）设随机过程()X t 和()Y t 为()00cos sin X t U t V t ωω=+()00sin cos Y t U t V t ωω=+其中00ω>，U 和V 是两个相互独立的高斯随机变量，且有()()0E U E V ==()()221E U E V ==，试计算1. X t 和Y t 的均值和自相关函数；2. ()X t 和()Y t 的互相关函数和互功率谱密度；3. ()X t 和()Y t 在同一时刻的联合概率密度函数。

四、（本题20分）设()X t 为具有单位谱高的零均值白噪声过程，其通过传递函数分别为()1H j ω和()2H j ω的两个理想带通滤波器，输出分別为()1Y t 和()2Y t ，其中：()11 1 20 B H j ωωω⎧±<⎪=⎨⎪⎩其他，()22 1 20 B H j ωωω⎧±<⎪=⎨⎪⎩其他试计算:1. ()1Y t 和()2Y t 的互相关函数及互功率谱密度；2. ()1H j ω和()2H j ω满足什么条件.可以使()1Y t 和()2Y t 互不相关？3. 如果要使得()1Y t 和()2Y t 的互相关系数为0.5，则()1H j ω和()2H j ω应满足什么条件？五、（本题10分）具有单位进高的零均值高斯白噪声过程()X t 均方枳分后输出 过程为()()0tW t X s ds =⎰，()00W = 请计算:1. ()W t 的均值和自相关函数；2. ()()21W t W t -的均值和均方值。

第1章 随机事件的概率一、事件关系：1、设B A ,为任意两事件,则下列关系成立的是( C ).(A) A B B A =-+)( ; (B) ()A B AB A +-= ;(C) ()()A B AB B A A B -++-=+ ; (D) A B B A =+-)(.1、 设A 、B 为试验E 的两个事件,且1)(0<<B P ，则下列各式中成立的是( D )。

(A) )(1)|(A P B A P -=； (B) )|()|(B A P B A P =；(C) )()()(B P A P AB P =； (D) )|()()(B A P B P B A P = 。

二、古典概率：2、一盒内装有5个红球和15个白球,从中不放回取10次,每次取一个球,则第5次取球时得到的是红球的概率是（ B ）。

（A ）15； （B ）14； （C ）13 ；（D ）12。

三、（9分）从9~0这十个数码中任意取出4个排成一行数码,求： (1) 所取4个数码恰排成四位偶数的概率;(2) 所取4个数码恰排成四位奇数的概率;(3)没排成四位数的概率.解(1) 设=A 排成四位偶数, (末尾是2,4,6,8之一,或末尾是0), 9041)(4101139142818=+=A C A C A C A P ; (2) 设=B 排成四位奇数, 9040)(410152818==A C A C B P ; (3)设=C 没排成四位数, 101909)(4103911===A A A C P 6、从9~0这十个数码中任意取出4个排成一串数码,则数码恰成四位偶数的概率为：(A)（A ）4190 ;（B ）12；（C ）4090；（D ）3290 。

1、设有n 个球,每个球都能以同样的概率N1落到N 个格子)(n N ≥的每一个格子中, 则恰有n 个格子中各有一个球的概率为 !!()()!n n N N n n n C n A N P B N N N N n ===- 。

一．填空题（每空2分，共20分）1．设随机变量X~U(a,b)，则X 的特征函数为itbitaeei(b-a)t-。

2．设随机过程X(t)=Asint,-<t<∞∞ 其中A 是随机变量，具有概率分布列:则X (t)的数学期望为2sint 。

3．强度为λ的泊松过程{}X (t),t 0≥,{}n T ,n 1≥是对应的时间间隔序列，则随机变量n T (n =1,2,) 是独立同分布均值为_λ___的指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X (t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从参数为n 与λ的___Γ___分布。

5．设随机过程 X (t)只有两条样本曲线，1X (t,)=acost,ω2X (t,)=-acost,ω其中常数a>0，且12P ()=3ω，21P ()=3ω，则这个随机过程的状态空间I=[]a,a -。

6．马氏链{}n X ,n 0≥，状态空间I ,记初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率j n p (n )P(X =j)=，n 步转移概率(n)ij p ，则j p (n )=(n)iiji Ip p∈∑7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，记初始概率i 0p P(X =i)=，一步转移概率{}ij n+1n p p X j X i ===，则{}0011n n P X =i ,X =i ,,X i == 00112n-1n i i i i i i i p p p p8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥(n)ij ijn=1f f∞=∑，若ii f 1=，称状态i 为_常返____________。

9．遍历状态的定义为不可约非周期的正常返状态。

10．如果状态j 非常返或零常返，则(n)ij n lim p →∞=__0_____，i I ∀∈。

随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

【理论基础】 （1（2F (（3(F （4，（1)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tCx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==； 协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。

令R t W t X +=)()(，求随机过程{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。

【解答】此题解法同1题。

依题意，|)|,0(~)(2t N t W σ，)4,1(~N R ，因此R t W t X +=)()(服从于正态分布。

故：均值函数1)()(==t EX t m X ；相关函数5)]()([),(==t X s X E t s R X ；协方差函数4)]}()()][()({[),(=--=t m t X s m s X E t s B X X X （当t s =时为方差函数） 3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。

2007-2008学年第一学期期末试卷随机过程理论A 卷一、设随机过程t B t A t X 00sin cos )(ωω+=，式中0ω为常数，随机变量A 、B 相互独立且同分布，均服从),0(2σN 。

试问：)(t X 是广义平稳随机过程么？)(t X 是严格平稳随机过程么？)(t X 是各态历经的么？为什么？（10分）二、设联合平稳随机过程)(1t X 和)(2t X ，它们的频域表示为)(1ωX 和)(2ωX ，将它们通过双输入、双输出线性系统，则有)()()()()(),()()()()(22212122121111ωωωωωωωωωωH X H X Y H X H X Y +=+=试求)(1t Y 的功率谱密度)(1ωY S 以及互谱密度)(21ωY Y S 。

（17分）三、设题图1所示的系统的输入)(t X 是平稳高斯随机过程。

若随机过程)(t Z 的功率谱密度为）（0)1)((21)()(2222>++++=βωωββωωπδωZ S 试求)()(t Y t X 、各自的相关函数)()(ττY X R R 、。

（18分）四、设)(t X 为一个零均值高斯过程，其功率谱密度)(ωX S 如题图2所示，若每T 秒对)(t X 取样一次，得到随机变量)()(X )0(NT X T X ，，、…。

求)()(X )0(NT X T X ，，、…的联合概率密度，并说明当T 取何值时，它们相互独立？（17分）ω五、设信号加噪声过程为)(])(2cos[)(0t N t f f a t X d ++=π，其中a 为常数，00002sin )(cos )()(f t t N t t N t N s a πωωω=−=，，)(t N 是理想窄带高斯过程，其双边谱密度为：其他2||02{)(00B f f N f S N ≤±=，并且2B f d <（B 是正常数），于是可写])(2sin[)(])(2cos[)(])(2cos[)(000t f f t q t f f t p t f f a t X d d d +−+++=πππ，试用)(t N c 和)(t N s 表示)(t p 和)(t q ；并求)(t p 的自相关函数)(t R p 及功率谱密度)(ωp S 。

2005-2006年第一学期研究生随机过程试题答案及评分标准一、（10分）设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，求（1）X 的特征函数)(t ϕ；（2）利用特征函数计算X 的数学期望及方差。

解：（1） ∑∞====0}{)()(k itk itX k X P e eE t ϕ…………………………..3分 ∑∑∞=-∞=-==00!)(!k k it k k itk k e e k e eλλλλ……………………..5分 )1(it e e -=λ ……………………………………………….6分（2） 由)()0()(k k k X E i =ϕ得λλϕλ=-='-==-0)1(|)0()(t it e e ie i i X E it …………………….8分 22)0()(λλϕ+=''-=X E所以 λ=-=22)]([)()(X E X E X D ……………………………10分二、（15分）设随机过程∑=+-=101)()(k V t i k k e Ut X ，其中k U 服从参数为2的指数分布，k V 服从（0,2）上的均匀分布，且k U ,k V （k=1,2,……10）以及它们之间都是相互独立的。

求)(t X 的均值函数和协方差函数。

解：)(t X 的均值函数为][)()(101)(∑=+-==k V t i k X k e U E t EX t m ……………………….4分∑=+-=101)(][)(k V t i kk e E U E ……………………………..6分 )2cos 2(sin 252121020)(i i e dx e it x t i -+==-+-⎰ …….8分)(t X 的协方差函数为)()(])()([),(t m s m t X s X E t s B X X X -= …………………..11分而 ∑∑≤≠≤---=--+=10101))(101)(2)()()(j k iV iV t s i j k k t s i k j k e e e U U e U t X s X4sin 2455)]12(cos 2[sin 161905)()()()(210])()([2)()(22)()(10101))()(t s i t s i t s i t s i j k iV iV j k t s i t s i e e e e e E e E U E U E e e t X s X E j k --------≤≠≤-----+=-+⨯+=+=∑..14分⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=--------4sin 21154sin 254sin 2455),(2)(2)(2)()(t s i t s i t s i t s i X e e e e t s B ……15分 三、（15分）设某服务台在],0(t 内接待的顾客数)(t X 是具有强度（每分钟）为1=λ的泊松过程，求（1） 三分钟内接待3个顾客的概率；（2） 第三分钟内接待第三个顾客的概率。

北京航空航天大学BEIHANG UNIVERSITY2009－2010 学年第一学期期末考试统一用答题册班级_____________ 学号 _____________姓名______________ 成绩 _________考场教室_________ 任课教师_________A2010年元月19 日10：30—12：30一、单项选择题（每小题3分，满分18分）1、从9~0这十个数码中任意取出4个排成一串数字码,则所排成的数字码恰是四位奇数的概率为（ ）。

（A ）4190 ; （B ）19； （C ）49； （D ）110 。

2、已知离散型随机变量X 的分布函数为0,10.1,13()0.6,341,4x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ ,则{4|1}P XX <≠=（ ）。

（A ）59 ; （B ）29； （C ）39； （D ）12 。

3、设随机变量),(~2σμN X ,则6||E X μ-=（ ）.(A) 63σ； (B) 65σ； (C) 615σ ； （D ）648σ 。

4、设随机变量),0(~2i i N X σ,2,1=i,则下列说法中正确的是（ ）。

（A ）12(,)X X 必服从二维正态分布； （B ）221212[()()]2X X E σσ+=；（C ）120X Xρ=； （D ）221212()D X X σσ+=+。

5、设随机变量X 存在数学期望EX 和方差0DX ≠,则对任意正数ε,下列不等式恒成立的是（ ）。

（A ）2{||}DXP X EX εε-≥>； （B ）2{||}1DXP X EX εε-<<-（C）21{||P X ε≥≤； （D ）||{||}kkE X P X εε≥≤,(0)k >。

6、设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，当c =（ ）时，222ˆX cQ μ=+是2μ的无偏估计量， 其中∑==n i i X n X 11，221()ni i Q X X ==-∑ 。

北京邮电大学2009——2010学年第二学期《概率论与随机过程》期末考试试题（A ）考试注意事项：学生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上一律无效一． 填空 (每小题4分，共40分)1. 若321,,A A A 相互独立，且3,2,1,)(==i p A P i i ，则321,,A A A 这3个事件至少有一个发生的概率为 )1)(1)(1(1321p p p ---- ．2. 设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>+=-他其,0;0,)(22x be a x F x则b a ,分别为 1，-1 ．3. 设),(Y X 的概率密度为 )]2(1[1Φ---πe⎩⎨⎧>>=+-他其,0;0,0,),()1(y x xe y x f y x 则=>-}1{Y X P （用标准正态分布的分布函数表示）． 4. 设),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<-= ,其它 , 0,10 ,11),(y x x y x f则对任意给定的)10(<<x x ，=)(x f X 1 ．5. 设随机变量X 与Y 互相独立，且1)()(==Y D X D ，则=--)13(Y X D 10 ．6. 设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从]1,0[上的均匀分布，则Y X Z -=的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=1,110,20,0)(2z z z z z z F Z ．7. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，)0()()(2≥+=t t t W t X ，则)(t X 的相关函数=),(t s R X 222),m in(t s t s +σ ．8. 设平稳过程)(t X 的均值为8，且)()(t X t Y '=，则)(t Y 的均值为 0 ． 9. 设随机过程t Z Y t X +=)(，t ∈T =(-∞,+∞),其中Y ，Z 是相互独立的服从N (0,1)的随机变量，则∀t ,)(t X 服从 )1,0(2t N + 分布（写明参数）．10. 设马氏链},2,1,0,{Λ=n X n 的状态空间为}2,1{=E ,转移概率矩阵为,32313132⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛则=∞→)(11lim n n p 1/2 ．二．（10分）某保险公司多年的统计表明：在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数。

word 格式-可编辑-感谢下载支持北京航空航天大学2010年硕士研究生入学考试试题（科目代码：360）数学专业基础课考生注意：所有答题务必书写在考场提供的答题纸上，写在本试题单上的答题一律无效（本题单不参与阅卷）.一、（本题16分，每小题各8分）计算(1) 2121001lim (cos )d e x t x x t t -→⎰; (2) π2201001d 1tan x x+⎰. 二、（本题12分）计算积分32I =⎰⎰，其中∑是上半球面2222(0)x y z a z ++=≥的下侧.三、（本题13分） 讨论级数111(1)1()(1)2n p n n p n ∞--=->+-∑的绝对敛散性与条件敛散性。

四、（本题12分）设()(1,2)n f x n =在(,)-∞+∞内一致连续，()n f x 在(,)-∞+∞内一致收敛于()f x ，证明：()f x 在(,)-∞+∞内一致连续。

五、（本题12分）设()f x 在[0,1]上可微，并且(0)0f =，()0,(0,1)f x x ≠∀∈.证明：对任意的正整数n ，m ，均存在,(0,1)n m ξξ=∈使得()(1)()(1)f f nm f f ξξξξ''-=-.word 格式-可编辑-感谢下载支持六、（本题10分）设非负数列{}n x 满足121,1,2,3n n x x n n +≤+=证明：数列{}n x 收敛. 七、（本题12分）设A 为n 阶方阵，X 为n 维列向量，多项式()f x 与()g x 的最大公因式为1.证明：若()0f A X =，()0g A X =，则X = 0.八、（本题12分）设A 为实对称阵，并且20A =，证明：A = 0.九、（本题10分）设σ 是线性空间V 上的可逆的线性变换，W 是σ 的不变子空间.证明：W 也是σ -1的不变子空间十、（本题14分）设线性空间V 上的线性变换σ 以所有非零向量为特征向量，证明：σ 必是数乘变换。