一元二次方程同步测试5

人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》同步测试题及答案一、单选题1．根据表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，可以判断方程20ax bx c ++=的一个解x 的范围是（ ）x0 0.5 1 1.5 2 2y ax bx c =++ -1-0.513.57A ．00.5x <<B ．0.51x <<C ．1 1.5x <<D ．1.52x <<2．如表是一组二次函数y ＝x 2﹣x ﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x 2﹣x ﹣3＝0的一个近似根是（ ）x 1 2 3 4 y ﹣3﹣1 39 A ．1.2B ．2.3C ．3.4D ．4.53．下表给出了二次函数()20y ax bx c a =++≠中x ，y 的一些对应值，则可以估计一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个近似解1x 的范围为（ ）x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y…1.16-0.71-0.24-0.250.76…A ．11.2 1.3x <<B ．11.3 1.4x <<C ．11.4 1.5x <<D ．11.5 1.6x <<4．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②24b ac >；③a (m 2−1)+b (m −1)<0(m ≠1)；④关于x 的方程21ax bx c ++=有四个根，且这四个根的和为4，其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．②③5．根据下列表格中二次函数y ＝ax 2+bx+c 的自变量x 与y 的对应值，判断关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（ ）x ﹣1 0 1 2 3 4 y﹣7﹣5﹣151323A ．1＜x ＜2B ．﹣1＜x ＜1C ．﹣7＜x ＜﹣1D ．﹣1＜x ＜56．已知二次函数224y x x =-+，下列关于其图象的结论中，错误．．的是（ ） A ．开口向上B ．关于直线1x =对称C ．当1x >时，y 随x 的增大而增大D ．与x 轴有交点7．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，顶点坐标(1,)n ，与y 轴的交点在0203（，），（，）之间（包含端点），则下列结论：①30a b +<；②213a -≤≤-；③对于任意实数m2(1)(1)0a m b m -+-≤总成立；④关于x 的方程214ax bx c a ++=-无实数根．其中结论正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．将抛物线2(1)y x =+的图象位于直线9y =以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线y x m =+与此图象有四个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．574m << B ．354m << C ．495m << D ．374m << 9．已知函数f （x ）＝x 2+2x ，g （x ）＝2x 2+6x +n 2+3，当x ＝1时，f （1）＝12+2×1＝3，g （1）＝2+6+n 2+3＝n 2+11．则以下结论正确的有（ ）①若函数g （x ）的顶点在x 轴上，则6n = ②无论x 取何值，总有g （x ）＞f （x ）；③若﹣1≤x ≤1时，g （x ）+f （x ）的最小值为7，则n ＝±3； ④当n ＝1时，令()()2()g x h x f x =，则h （1）•h （2）…h （2023）＝2024．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知，抛物线y ＝ax 2＋2ax 在其对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，关于x 的方程ax 2＋2ax ＝m （m＞0）的一个根为﹣4，而关于x 的方程ax 2＋2ax ＝n （0＜n ＜m ）有两个整数根，则这两个根的积是（ ） A ．0B ．﹣3C ．﹣6D ．﹣8二、填空题11．若抛物线2=2++y x mx n -与x 轴交于A ，B 两点，其顶点C 到x 轴距离是8，则线段AB 的长为 ． 12．根据下列表格的对应值，判断20ax bx c ++=（0a ≠，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的取值范围是x3.23 3.24 3.25 3.26 2ax bx c ++ 0.06-0.02-0.030.0913．如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A （﹣4，8），B （2，2），则关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c ＝0的解为 ．14．抛物线 2y ax bx c =++ （a ，b ，c 为常数， 0a > ）经过两点 ()()2,0,4,0A B - ，下列四个结论：①20b a += ；②若点 ()()2020,,2021,m n - 在抛物线上，则 m n < ；③0y > 的解集为 2x <- 或 4x > ；④方程 ()21a x bx c x +++=- 的两根为 123,3x x =-= .其中正确的结论是 （填写序号）.15．若抛物线25y x bx =+-的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25x bx +-213x =-的解为 .16．若一元二次方程()200ax bx c ac ++=≠有两个不相等实根，则下列结论：①240b ac ->；②方程20cx bx a ++=一定有两个不相等实根；③设2bm a=-，当0a >时，一定有22am bm ax bx +≤+；④s ，()t s t <是关于x 的方程()()10x p x q +--=的两根，且p q <，则q t s p >>>，一定成立的结论序号是 ．17．抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0)c <经过(11)，，(0)m ，和(0)n ，三点，且3n ≥. 下列四个结论：①0b <；②2414ac b a->；③当3n =时，若点(2)t ，在该抛物线上，则>1t ；④若关于x 的一元二次方程2ax bx c x ++=有两个相等的实数根，则10<3m ≤. 其中正确的是 （填序号即可）.18．抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =，经过点()3,n -，顶点为D ，下列四个结论：21a b +=①；240b ac ->②；③关于x 的一元二次方程2ax bx c n ++=的解是13x =-和25x =；④设抛物线交y 轴于点C ，不论a 为何值，直线CD 始终过定点()15,n -．其中一定正确的是 （填写序号）．三、解答题19．已知抛物线的顶点坐标为()2,0，且经过点()1,3-．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点(m,−27)在该抛物线上，求m 的值．20． 排球场的长度为18m ，球网在场地中央且高度为2.24.m 排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度(y 单位：)m 与水平距离(x 单位：)m 近似满足函数关系()²(0)y a x h k a =-+<．（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离/x m 0 2 4 6 11 12 竖直高度/y m2.482.722.82.721.821.52①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系()²(0)y a x h k a =-+<； ②判断该运动员第一次发球能否过网 ▲ (填“能”或“不能”)．（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度(y 单位：)m 与水平距离(x 单位：)m 近似满足函数关系()20.024 2.88y x =--+，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．21．如图，抛物线()2y ax bx c a 0=++≠经过点()A 03，，()B 23，和()C 10-，，直线()y mx n m 0=+≠经过点B ，C ，部分图象如图所示，则：（1）该抛物线的对称轴为直线 ；（2）关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=的解为 ； （3）关于x 的一元二次方程2ax bx c mx n ++=+的解为 ．22．已知抛物线y=ax 2+x+1（0a ≠）（1）若抛物线的图象与x 轴只有一个交点，求a 的值； （2）若抛物线的顶点始终在x 轴上方，求a 的取值范围．23．如图，二次函数y ＝2x ＋bx ＋c 的图象与x 轴只有一个公共点P ，与y 轴交于点Q ，过点Q 的直线y＝2x ＋m 与x 轴交于点A ，与这个二次函数的图象交于另一点B ，若S △BPQ ＝3S △APQ ，求这个二次函数的解析式．24．二次函数解析式为223y ax x a =--．（1）判断该函数图象与x 轴交点的个数；（2）如图，在平面直角坐标系中，若二次函数图象顶点是A ，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于D ，点C 的坐标是()3,0，求直线CD 的解析式；（3）请你作一条平行于x 轴的直线交二次函数的图象于点M ，N ，与直线CD 于点R ，若点M ，N ，R 的横坐标分别为m ，n ，r ，且r m n <≤，求m n r ++的取值范围．25．抛物线L ：212y x bx c =-+与直线L '：22y kx =+交于A 、B 两点，且()2,0A ．（1）求k 和c 的值（用含b 的代数式表示c ）； （2）当0b =时，抛物线L 与x 轴的另一个交点为C ． ①求ABC 的面积；②当15x -≤≤时，则1y 的取值范围是_________．（3）抛物线L ：212y x bx c =-+的顶点(),M b n ，求出n 与b 的函数关系式；当b 为何值时，点M 达到最高．（4）在抛物线L 和直线L '所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当20b =-时，直接写出“美点”的个数_________．参考答案1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】B 10．【答案】B 11．【答案】412．【答案】3.24 3.25x << 13．【答案】x 1＝﹣4，x 2＝2 14．【答案】①③ 15．【答案】1224x x ==， 16．【答案】①②③④ 17．【答案】②③④ 18．【答案】④③19．【答案】（1）y =−3(x −2)2（2）5m =或1-20．【答案】（1）解：①由表中数据可得顶点()42.8，设2(4) 2.8(0)y a x a =-+<把()02.48，代入得16 2.8 2.48a += 解得：0.02a =-∴所求函数关系为20.02(4) 2.8y x =--+；②能．（2）解：判断：没有出界．第二次发球：()20.024 2.88y x =--+ 令0y =，则()20.024 2.880x --+= ，解得18(x =-舍) 216x =21618x =<∴该运动员此次发球没有出界．21．【答案】（1）x 1=（2）1x 1=- 2x 3= （3）1x 2= 2x 1=-22．【答案】（1）解：由题意得方程ax 2+x+1=0有两等实数根．∴△＝b 2-4ac ＝1-4a ＝0，∴a ＝14． ∴当a ＝14时函数图象与x 轴恰有一个交点； （2）解：由题意得4104a a-> 当a ＞0时，4a -1＞0，解得a ＞14；当a ＜0时，4a -1＜0，解得a ＜14．∴a ＜0.∴当a ＞14或a ＜0时，抛物线顶点始终在x 轴上方．23．【答案】y ＝x 2﹣4x+424．【答案】（1）函数图象与x 轴交点的个数是2（2）3y x =- （3）12m n r ≤++<25．【答案】（1）1k =- 44c b =-（2）10；1421y -≤≤ （3）244n b b =-+- 2b = （4）90。

浙江省三门县珠岙中学九年级数学上册 本章复习同步测试1 类型之一 一元二次方程的有关概念1．方程(m ＋2)x |m |＋3mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则( B )A ．m ＝±2B ．m ＝2C ．m ＝－2D ．m ≠±2【解析】 由一元二次方程的定义知⎩⎪⎨⎪⎧|m |＝2，m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±2，m ≠－2， ∴m ＝2. 2．设x 2，x 2是方程x 2－x －2 013＝0的两实数根，则x 13＋2 014x 2－2 013＝__2__014__.3．已知x 是一元二次方程x 2－2x ＋1＝0的根，求代数式x －33x 2－6x ÷⎝⎛⎭⎫x ＋2－5x －2的值． 解：∵x 2－2x ＋1＝0，∴x 1＝x 2＝1，∴原式＝x －33x （x －2）÷x 2－9x －2＝x －33x （x －2）×x －2（x ＋3）（x －3）＝13x （x ＋3）＝112. 类型之二 一元二次方程的解法4．用括号中的方法解下列方程：(1)5(x ＋1)2＝45(直接开平方法)； (2)9(x －2)2＝4(x ＋1)2(因式分解法)；(3)4x 2＋5＝12x (配方法)；(4)2x 2－3x －1＝0(公式法)．【解析】 (1)把方程化为形如(x ＋m )2＝n (n ≥0)的形式后，直接开平方；(2)运用平方差公式因式分解；(3)把方程化为一般形式，再配方；(4)把方程化为一般形式，确定a ，b ，c 的值，代入公式中计算．解：(1)原方程可化为(x ＋1)2＝425， 两边同时开方，得x ＋1＝±25， 即x ＋1＝25或x ＋1＝－25， ∴x 1＝－35，x 2＝－75； (2)原方程可化为[3(x －2)]2－[2(x ＋1)]2＝0，∴[3(x －2)＋2(x ＋1)][3(x －2)－2(x ＋1)]＝0，即(5x －4)(x －8)＝0，∴5x －4＝0或x －8＝0，∴x 1＝45，x 2＝8； (3)移项，得4x 2－12x ＝－5，∴x 2－3x ＝－54， 配方，得x 2－3x ＋⎝⎛⎭⎫－322＝－54＋⎝⎛⎭⎫－322，即⎝⎛⎭⎫x －322＝1，∴x －32＝±1， ∴x 1＝52，x 2＝12； (4)∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－1)＝17＞0，∴x ＝－（－3）±172×2＝3±174， ∴x 1＝3＋174，x 2＝3－174. 5．关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为( A )A ．k <1B ．k >1C ．k <－1D ．k >－1【解析】 ∵关于x 的一元一次方程x 2－2x ＋k ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即4－4k ＞0，k ＜1.类型之三 一元二次方程根的判别式6．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( D )A ．k ＞－1B ．k ＜1且k ≠0C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠07．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋3＝0有实数根，则整数a 的最大值是( C )A ．2B ．1C ．0D ．－18．已知关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋b ＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__0或4__． 9若|b －1|＋a －4＝0，且一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有实数根，则k 的取值范围是__k ≤4且k ≠0__．10．关于x 的一元二次方程为(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0(1)求出方程的根；(2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？解： (1)根据题意得m ≠1，Δ＝(－2m )2－4(m －1)(m ＋1)＝4，∴x 1＝2m ＋22（m －1）＝m ＋1m －1， x 2＝2m －22（m －1）＝1， (2)由(1)知x 1＝m ＋1m －1＝1＋2m －1， ∵方程的两个根都是正整数，∴2m －1是正整数， ∴m －1＝1或2.∴m ＝2或3.类型之四 一元二次方程根与系数的关系11．已知α、β是关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m 的值是( A ) A ．3 B ．1C ．3或－1D ．－3或112．已知关于x 的一元二次方程x 2－x －3＝0的两个实数根分别为α、β，则(α＋3)(β＋3)＝__9__．13．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k 使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵原方程有两个实数根，∴[－(2k ＋1)]2－4(k 2＋2k )≥0，∴4k 2＋4k ＋1－4k 2－8k ≥0∴1－4k ≥0，∴k ≤14. ∴当k ≤14时，原方程有两个实数根． (2)假设存在实数k 使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立．∵x 1，x 2是原方程的两根，∴x 1＋x 2＝2k ＋1，x 1·x 2＝k 2＋2k .由x 1·x 2－x 12－x 22≥0，得3x 1·x 2－(x 1＋x 2)2≥0.∴3(k 2＋2k )－(2k ＋1)2≥0，整理得：－(k －1)2≥0，∴只有当k ＝1时，上式才能成立．又∵由(1)知k ≤14， ∴不存在实数k 使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立．14．如果关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0(n ≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；(2)已知a ，b 满足a 2－15a －5＝0，b 2－15b －5＝0，求a b ＋b a的值； (3)已知a ，b ，c 均为实数，且a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，求正数c 的最小值．解：(1)设x 2＋mx ＋n ＝0(n ≠0)的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－m ，x 1·x 2＝n ，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－m n ，1x 1·1x 2＝1n， ∴所求一元二次方程为x 2＋m n x ＋1n＝0，即nx 2＋mx ＋1＝0. (2)①当a ≠b 时，由题意知a ，b 是一元二次方程x 2－15x －5＝0的两根，∴a ＋b ＝15，ab ＝－5，∴a b ＋b a ＝a 2＋b 2ab ＝（a ＋b ）2－2ab ab ＝152－2×（－5）－5＝－47. ②当a ＝b 时，a b ＋b a＝1＋1＝2. 综上，得a b ＋b a＝－47或2. (3)∵a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，∴a ＋b ＝－c ，ab ＝16c ，∴a ，b 是方程x 2＋cx ＋16c＝0的两根， ∴Δ＝c 2－4×16c≥0.∵c ＞0，∴c 3≥64，∴c ≥4， ∴c 的最小值为4.类型之五 一元二次方程的创新应用15．对于实数a ，b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a ≥b ）ab －b 2（a <b ），例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8.若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1*x 2＝__－3或3__．16．已知整数k ＜5，若△ABC 的边长均满足关于x 的方程x 2－3kx ＋8＝0，则△ABC 的周长是__6或12或10__．类型之六 一元二次方程的创新应用17．“便民”水泥代销点销售某种水泥，每吨进价为250元．如果每吨售价定为290元时，平均每天可售出16吨．(1)若代销点采取降价促销的方式，试建立每吨的销售利润y (元)与每吨降价x (元)之间的函数关系式；(2)若每吨售价每降低5元，则平均每天能多售出4吨．问：每吨水泥的实际售价定为多少元时，每天的销售利润平均可达720元？解：(1)依题意，得y ＝290－x －250＝40－x ；(2)依题意，得(40－x )⎝⎛⎭⎫16＋45x ＝720， 解得x 1＝x 2＝10，290－10＝280(元)．答：每吨水泥的实际售价定为280元时，每天的销售利润平均可达720元．。

练习一一、选择题：(每小题3分,共24分) 1.下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1 B.2x 2-x-12=12； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+22.下列方程:①x 2=0,② 21x-2=0,③22x +3x=(1+2x)(2+x),④32x -=0,⑤32x x -8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是( )A.1个 B2个 C.3个 D.4个3.把方程（+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( )A.5x 2-4x-4=0 B.x 2-5=0 C.5x 2-2x+1=0 D.5x 2-4x+6=0 4.方程x 2=6x 的根是( )A.x 1=0,x 2=-6B.x 1=0,x 2=6C.x=6D.x=0 5.方2x 2-3x+1=0经为(x+a)2=b 的形式,正确的是( )A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C.231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对 6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( ) A.11 B.15 C.-15 D.±15 7.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )A.-x 2=2x-1 B.4x 2+4x+54=0; C. 20x --= D.(x+2)(x-3)==-58.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 二、填空题：(每小题3分,共24分)9.方程2(1)5322x x -+=化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______.10.关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0有实数解的条件是__________. 11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________.13.如果关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x 2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________.14.如果关于x 的方程4mx 2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.15.若一元二次方程(k-1)x 2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是_______. 16.某种型号的微机,原售价7200元/台,经连续两次降价后,现售价为3528元/台,则平均每次降价的百分率为______________.三、解答题(2分)17.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5分,共15分)(1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y2+1=; (3)(x-a)2=1-2a+a2(a是常数)18.(7分)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-52=3x的解,你能求出m和n的值吗?19.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-2kx+12k2-2=0.(1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.(2)设x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.四、列方程解应用题(每题10分,共20分)20.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.21.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施,改进经营管理,使月销售额大幅上升,4月份的销售额达到129.6万元,求3, 4月份平均每月销售额增长的百分率.练习二一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。

八年级数学下册第17章一元二次方程同步测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知,a b是关于x的方程2320090--的值是（）a a b+-=的两根，则24x xA．2018 B．2019 C．2020 D．20212、下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（）A．240x x+=--=D．220x xx xx+=B．2210-+=C．2303、某超市一月份的营业额为50万元，到三月底营业额累计为500万元．如果设平均每月的增长率为x，依题意得，可列出方程为（）A．()2x+=501500+=B．()3x501500C．()2x x++++=50501501500+=D．()()2x5014504、方程260x x-=的解是（）A．6 B．0 C．0或6 D．-6或05、下列方程中，没有实数根的是（）A．2310-+=D．2230x xx x-+=--=B．230x xx x-=C．22106、一元二次方程2234x x +=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根7、快递作为现代服务业的重要组成部分，在国家经济社会发展和改善民生方面发挥了越来越重要的作用，其中顺丰、韵达、圆通、申通的业务量增速较快，成为我国快递的“四大龙头”企业，随着市场竞争逐渐激烈，低价竞争成为主流，快递的平均单价从2019年的12元/件连续降价至2021年的9.72元/件，设快递单价每年降价的百分率均为x ，则所列方程为（ ）A ．()21219.72x -=B ．()12129.72x -=C ．()29.72112x +=D ．()9.721212x +=8、已知一个直角三角形的两边长是方程29200x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（ ）A ．3BC ．3D ．59、方程x 2＝﹣x 的根是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝﹣1C ．x 1＝1，x 2＝﹣1D ．x 1＝0，x 2＝﹣110、若x ＝3是方程x 2﹣4x +m ＝0的一个根，则m 的值为（ ）A ．3B ．4C ．﹣4D ．﹣3第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、设x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根，则4x 12+4x 1﹣2x 2的值为 ______．2、方程x 2﹣3x +2＝0两个根的和为 _____，积为 _____．3、已知关于x 的一元二次方程20x x k -+=的一个根是2，则k 的值是______．4、2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x ，则可列方程为________．5、已知x =m 是一元二次方程x 2−x −1=0的一个根，则代数式m 2−m +2021的值为____________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知关于x 的一元二次方程22320x kx k -+=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若0k >，且该方程的两个实数根的差为1，求k 的值．2、解方程：（1）（x +2）2﹣9＝0；（2）x 2﹣2x ﹣3＝0．3、随着人们对健康生活的追求，有机食品越来越受到人们的喜爱和追捧，某商家打算花费40000元购进一批有机绿色农产品存放于冷库．实际购买时供货商促销，可以在标价基础上打8折购进这批产品，结果实际比计划多购进400千克．（1）实际购买时，该农产品多少元每千克？（2）据预测，该农产品的市场价格在实际购买价的基础上每天每千克上涨0.5元，已知冷库存放这批农产品，每天需要支出各种费用合计为280元，同时，平均每天将有8千克损坏不能出售．则将这批农产品存放多少天后一次性全部出售，该公司可获得利润19600元？4、已知x y ，且19x 2+123xy +19y 2＝1985，则正整数n 的值为 ___．5、已知关于x 的一元二次方程23310x kx k ++-=有两个实数根1x ，2x ．（1）若122x x =，求k 的值．（2）若11<x ，21>x ，求k 的取值范围．-参考答案-一、单选题1、D【分析】由,a b 是关于x 的方程2320090x x +-=的两根，得到2320090,3a a a b +-=+=-，求出220093a a =-，代入计算即可．【详解】解：∵,a b 是关于x 的方程2320090x x +-=的两根，∴2320090,3a a a b +-=+=-，∴220093a a =-，∴24a a b --=200934a a b ---=20094()a b -+=2009+12=2021，故选：D ．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，已知式子的值求代数式的值，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．2、B【分析】利用一元二次方程的根的判别式，即可求解．【详解】解：A 、2044160∆=-⨯=-< ，所以该方程无实数根，故本选项不符合题意；B 、22410∆=-⨯= ，所以该方程有两个相等实数根，故本选项符合题意；C 、()()21413130∆=--⨯⨯-=> ，所以该方程有两个不相等实数根，故本选项不符合题意；D 、2241040∆=-⨯⨯=> ，所以该方程有两个不相等实数根，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数()20y ax bx c a =++≠ ，当240b ac ∆=-> 时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-= 时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-< 时，方程没有实数根是解题的关键．3、D【分析】根据增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），关系式为：一月份月营业额+二月份月营业额+三月份月营业额=500，把相关数值代入即可求解．【详解】解：设平均每月的增长率为x ，根据题意：二月份的月营业额为50×（1+x ），三月份的月销售额在二月份月销售额的基础上增加x ，为50×（1+x ）×（1+x ），则列出的方程是：50+50（1+x ）+50（1+x ）2=500．故选：D ．【点睛】本题考查了增长率问题，关键是知道一月份的钱数和增长两个月后三月份的钱数，列出方程．4、C【分析】根据一元二次方程的解法可直接进行求解．【详解】解：260x x -=()60x x -=，解得：120,6x x ==；故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．5、D【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：A 、()()2341130∆=--⨯-=> ，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； B 、()234090∆=--⨯=>，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； C 、()22410∆=--⨯=，所以方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意； D 、()224380∆=--⨯=-<，所以方程没有的实数根，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数()20y ax bx c a =++≠ ，当240b ac ∆=-> 时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-= 时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-< 时，方程没有实数根是解题的关键．6、A【分析】根据根的判别式即可求出答案．【详解】解：原方程化为：22340x x +-=，∴()23424410∆=-⨯⨯-=＞，故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式，本题属于基础题型．7、A【分析】设快递单价每年降价的百分率均为x ，则第一次降价后价格是原价的1-x ，第二次降价后价格是原价的(1-x )2，根据题意列方程解答即可．【详解】解：设快递单价每年降价的百分率均为x ，由题意得()21219.72x -=， 故选A ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的两根，按斜边是否是两根中的一个，进行分类讨论，通过勾股定理求斜边长，最后即可求出答案．【详解】解：29200x x -+=，因式分解得：(4)(5)0x x --=，解得：14x =，25x =，情况1：当5x =为斜边的长时，此时斜边长为5，情况2：当14x =，25x ==∴这个直角三角形的斜边长为5故选：D ．【点睛】本题主要是考查了因式分解法求解方程，以及勾股定理求边长，在不确定直角边和斜边的情况下，一定要分类讨论，分情况进行求解．9、D【分析】先移项，把方程化为20x x +=，再利用因式分解的方法把原方程化为两个一次方程即可.【详解】解：x 2＝﹣x移项得：20x x +=()10,x x ∴+=解得：120,1,x x ==-【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“把方程分右边变为0，再把左边分解因式”是解本题的关键.10、A【分析】根据一元二次方程的解，把3x =代入240x x m -+=得到关于m 的一次方程，然后解此一次方程即可．【详解】解：把3x =代入240x x m -+=得9120m -+=，解得3m =．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．二、填空题1、11【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2x 12＝﹣3x 1+4，则4x 12+4x 1﹣2x 2化为﹣2（x 1+x 2）+8，再根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣32，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵x 1是方程2x 2+3x ﹣4＝0的根，∴2x 12+3x 1﹣4＝0，∴2x 12＝﹣3x 1+4，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝2（﹣3x 1+4）+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8，∵x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝﹣32， ∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8＝﹣2×（﹣32）+8＝11． 故答案为:11．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根，则12b x x a +=-，12c x x a=． 2、3 2【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系：1212,b c x x x x a a +=-=解题． 【详解】解：方程x 2﹣3x +2＝01,3,2a b c ==-=12123,2b c x x x x a a +=-=== 故答案为：3，2．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系—韦达定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3、-2知道方程的一根，把x =2代入方程中，即可求出未知量k ．【详解】解：将x =2代入一元二次方程x 2-x +k =0，可得：4-2+k =0，解得k =-2，故答案为：-2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题，是待定系数法的应用．4、210(1)12.1x +=【分析】根据题意可得4月份的参观人数为10(1)x +人，则5月份的人数为210(1)x +，根据5月份的参观人数增加到12.1万人，列一元二次方程即可．【详解】根据题意设参观人数的月平均增长率为x ，则可列方程为210(1)12.1x +=故答案为：210(1)12.1x +=【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题列一元二次方程是解题的关键．5、2022【分析】将x =m 代入原方程即可求m 2-m 的值，然后整体代入代数式求解即可．解：将x =m 代入方程x 2-x -1=0，得m 2-m -1=0，即m 2-m =1，∴m 2−m +2021=1+2021=2022，故答案为：2022．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，解题时应注意把m 2-m 当成一个整体，利用了整体的思想．三、解答题1、（1）见解析；（2）1k =．【分析】（1）计算224b ac k ∆=-=，证明0∆≥即可解题；（2）利用韦达定理212123,2b c x x k x x k a a+=-=⋅==，结合22121212)(4()x x x x x x +=--解题． （1）证明：22320x kx k -+=21,3,2a b k c k ==-=2222498b ac k k k ∆=-=-=20k ≥0∴∆≥∴该方程总有两个实数根；（2）22320x kx k -+=21212121,3,2b c x x x x k x x k a a-=+=-=⋅== 又22121212()()4x x x x x x -=+-22981k k ∴-=1k ∴=±0k >1k ∴=【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．2、（1）125,1x x =-=（2）121,3x x =-=【分析】（1）先运用直接开平方法求得x +2，进而求得x 即可；（2）直接运用因式分解法求解即可．（1）解：（x +2）2﹣9＝0（x +2）2=9x +2=±3所以125,1x x =-=．（2）解：x 2﹣2x ﹣3＝0（x +1）（x -3）=0x -3=0或x +1=0所以121,3x x =-=．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法和因式分解法是解答本题的关键．3、（1）实际购买时该农产品20元每千克．（2）存放70天后一次性出售可获利19600元．【分析】（1）设该农产品标价为x 元/千克，则实际为0.8x 元/千克．根据等量关系40000购买标价x 的产品数量+400=40000购买优惠的价格的产品数量，列方程40000400004000.8x x+=解方程即可； （2）设存放a 天后一次性卖出可获得19600元．根据售价×损失后的数量-a 天需要支出各种费用280a 元-进价=利润，列方程()40000200.58280400001960020a a a ⎛⎫+---=⎪⎝⎭，解方程即可． （1）解：设该农产品标价为x 元/千克，则实际为0.8x 元/千克． 依题意得：40000400004000.8x x +=， 解得25x =．经检验，25x =是原方程的解，且符合题意．0.82520⨯=元/千克．答：实际购买时该农产品20元每千克．（2）解：设存放a 天后一次性卖出可获得19600元．依题意得：()40000200.58280400001960020a a a ⎛⎫+---= ⎪⎝⎭， 化简得：214049000a a -+=，即()2700a -=，解得1270a a ==．经检验，70a =是原方程的解，且符合题意．答：存放70天后一次性出售可获利19600元．【点睛】本题考查列分式方程解销售问题应用题，以及列一元二次方程解储存增价损量问题应用题，掌握列方程的方法与步骤是解题关键．4、2【分析】先将,x y 进行分母有理化，再分别求出,xy x y +的值，然后将已知等式变形为219()851985x y xy =++，最后代入解一元二次方程即可得．【详解】解：n x y n +==+121x n n n ∴==++-=+-121n n n y =+++=++1xy =， 42x y n =∴++，2219123191985x xy y =++，219()851985x y xy ∴++=，219(42)851985n ∴=++，即260n n +-=，解得2n =或3n =-（与n 为正整数不符，舍去），故答案为：2．【点睛】本题考查了解一元二次方程、二次根式的分母有理化等知识点，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键．5、（1）12k =或1k =；（2）0k < 【分析】（1）根据方程的特点，因式分解法解方程，进而求得k 的值；（2）根据方程的解，以及11<x ，21>x ，即可求得k 的取值范围．【详解】解：()()()222243431=9124320b ac k k k k k ∆=-=---+=-≥∴23310x kx k ++-=有实根 （1）23310x kx k ++-=即()()3110x k x +-+=解得121,13x x k =-=-122x x =即12(13)k -=-或213k -=- 解得12k =或1k = （2）若11<x ，21>x ，则121,13x x k =-=-∴131k ->解得0k <【点睛】本题考查了解一元二次方程，求得方程的解是解题的关键．。

九年级数学上册同步测试：2.2 用配方法求解一元二次方程一、选择题（共15小题）1．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根2．已知关于=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣B．m≥0 C．m≥1 D．m≥23．一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A．x﹣6=﹣4 B．x﹣6=4 C．x+6=4 D．x+6=﹣44．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=25．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（）A．（x+3）2=1 B．（x﹣3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x﹣3）2=196．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=157．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36 C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x﹣3）2=4+98．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=99．若一元二次方程式a（x﹣b）2=7的两根为±，其中a、b为两数，则a+b之值为何？（）A．B．C．3 D．510．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（）A．x1=x2=1 B．x1=1+，x2=﹣1﹣C．x1=1+，x2=1﹣D．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣11．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=1 C．（x+10）2=91 D．（x+10）2=10912．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（）A．（x+）2= B．（x+）2=C．（x﹣）2=D．（x﹣）2=13．若一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，则3a+b之值为何？（）A．22 B．28 C．34 D．4014．关于≠0）的解是x1=﹣3，（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=215．x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之间D．x1，x2都小于3二、填空题（共7小题）16．方程x2=2的解是．17．一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是．18．若将方程=．19．将=．20．方程x2﹣2x﹣2=0的解是．21．方程x2﹣2﹣4，则=．三、解答题（共8小题）23．解方程：x2﹣6x﹣4=0．24．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤开始出现错误的．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）25．解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7．26．解方程（1）x2﹣2x﹣1=0（2）=．27．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：x2+x=﹣，…第一步x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步（x+）2=，…第三步x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步x=，…第五步嘉淇的解法从第步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是．用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．28．（1）解方程：x2﹣2x=1；（2）解不等式组：．29．解方程：x2﹣4x+1=0．30．用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．北师大版九年级数学上册同步测试：2.2 用配方法求解一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题（共15小题）1．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】根据直接开平方法可得x﹣1=±，被开方数应该是非负数，故没有实数根．【解答】解：∵（x﹣1）2=b中b＜0，∴没有实数根，故选：C．【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．2．已知关于=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】首先移项把﹣m移到方程右边，再根据直接开平方法可得m的取值范围．【解答】解；（，∵一元二次方程（≥0，故选：B．【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．3．一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A．x﹣6=﹣4 B．x﹣6=4 C．x+6=4 D．x+6=﹣4【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案．【解答】解：（x+6）2=16，两边直接开平方得：x+6=±4，则：x+6=4，x+6=﹣4，故选：D．【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．4．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=2【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=1+1配方得（x﹣1）2=2．故选D．【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（）A．（x+3）2=1 B．（x﹣3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x﹣3）2=19【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．【解答】解：方程移项得：x2﹣6x=10，配方得：x2﹣6x+9=19，即（x﹣3）2=19，故选D．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=15【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程利用配方法求出解即可．【解答】解：方程变形得：x2﹣8x=1，配方得：x2﹣8x+16=17，即（x﹣4）2=17，故选C【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36 C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x﹣3）2=4+9【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】根据配方法，可得方程的解．【解答】解：x2﹣6x﹣4=0，移项，得x2﹣6x=4，配方，得（x﹣3）2=4+9．故选：D．【点评】本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为1，配方，开方．8．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．【解答】解：方程移项得：x2﹣2x=5，配方得：x2﹣2x+1=6，即（x﹣1）2=6．故选：B【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．若一元二次方程式a（x﹣b）2=7的两根为±，其中a、b为两数，则a+b之值为何？（）A．B．C．3 D．5【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】首先同时除以a得：（x﹣b）2=，再两边直接开平方可得：x﹣b=±，然后把﹣b移到右边，再根据方程的两根可得a、b的值，进而算出a+b的值．【解答】解：a（x﹣b）2=7，两边同时除以a得：（x﹣b）2=，两边直接开平方可得：x﹣b=±，则x=±+b，∵两根为±，∴a=4，b=，∴a+b=4=，故选：B．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．10．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（）A．x1=x2=1 B．x1=1+，x2=﹣1﹣C．x1=1+，x2=1﹣D．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程变形后，配方得到结果，开方即可求出值．【解答】解：方程x2﹣2x﹣1=0，变形得：x2﹣2x=1，配方得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣．故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=1 C．（x+10）2=91 D．（x+10）2=109【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可．【解答】解：方程x2+10x+9=0，整理得：x2+10x=﹣9，配方得：x2+10x+25=16，即（x+5）2=16，故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（）A．（x+）2= B．（x+）2=C．（x﹣）2=D．（x﹣）2=【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】转化思想．【分析】先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可．【解答】解：ax2+bx+c=0，ax2+bx=﹣c，x2+x=﹣，x2+x+（）2=﹣+（）2，（x+）2=，故选：A．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．13．若一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，则3a+b之值为何？（）A．22 B．28 C．34 D．40【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】配方得出（2x+3）2=1156，推出2x+3=34，2x+3=﹣34，求出x的值，求出a、b的值，代入3a+b求出即可．【解答】解：4x2+12x﹣1147=0，移项得：4x2+12x=1147，4x2+12x+9=1147+9，即（2x+3）2=1156，2x+3=34，2x+3=﹣34，解得：x=，x=﹣，∵一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，∴a=，b=﹣，∴3a+b=3×+（﹣）=28，故选B．【点评】本题考查了有理数的混合运算和解一元二次方程的应用，能求出a、b的值是解此题的关键，主要培养学生解一元二次方程的能力，题型较好，难度适中．14．关于≠0）的解是x1=﹣3，（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【专题】计算题．【分析】利用直接开平方法得方程m（x+h）2+k=0的解x=﹣h±，则﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，再解方程m（x+h﹣3）2+k=0得x=3﹣h±，所以x1=0，（，h，k均为常数，m ≠0）得x=﹣h±，而关于≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，所以﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，方程m（x+h﹣3）2+k=0的解为x=3﹣h±，所以x1=3﹣3=0，x2=3+2=5．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（n=±．15．x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之间D．x1，x2都小于3【考点】解一元二次方程-直接开平方法；估算无理数的大小．【专题】计算题．【分析】利用直接开平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，∴（x﹣1）2=5，∴x﹣1=±，∴x2=1+＞3，x1=1﹣＜﹣1，故选：A．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程以及估计无理数的大小，求出两根是解题关键．二、填空题（共7小题）16．方程x2=2的解是±．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：x2=2，x=±．故答案为±．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．17．一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是x1=x2=．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先分解因式，即可得出完全平方式，求出方程的解即可．【解答】解：x2+3﹣2x=0（x﹣）2=0∴x1=x2=．故答案为：x1=x2=．【点评】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握求根的方法是解本题的关键．18．若将方程=3．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得x2+6x+32=7+32，配方，得（=3．故答案为：3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．19．将=3．【考点】配方法的应用．【专题】计算题．【分析】原式配方得到结果，即可求出m的值．【解答】解：x2+6x+3=x2+6x+9﹣6=（x+3）2﹣6=（=3，故答案为：3【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．20．方程x2﹣2x﹣2=0的解是x1=+1，x2=﹣+1．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】首先把常数﹣2移到等号右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方公式，再开方，解方程即可．【解答】解：x2﹣2x﹣2=0，移项得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=2+1，（x﹣1）2=3，两边直接开平方得：x﹣1=，则x1=+1，x2=﹣+1．故答案为：x1=+1，x2=﹣+1．【点评】此题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．21．方程x2﹣2x﹣1=0的解是x1=1+，x2=1﹣．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】首先把常数项2移项后，然后在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方，然后开方即可求得答案．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1=0，∴x2﹣2x=1，∴x2﹣2x+1=2，∴（x﹣1）2=2，∴x=1±，∴原方程的解为：x1=1+，x2=1﹣．故答案为：x1=1+，x2=1﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程．解题时注意配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．22．若一元二次方程a+1与2m﹣4，则=4．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】利用直接开平方法得到x=±，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m﹣4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与﹣2，则有=2，然后两边平方得到=4．【解答】解：∵x2=，∴x=±，∴方程的两个根互为相反数，∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，∴一元二次方程ax2=b的两个根分别是2与﹣2，∴=2，∴=4．故答案为：4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（n=±．三、解答题（共8小题）23．解方程：x2﹣6x﹣4=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：移项得x2﹣6x=4，配方得x2﹣6x+9=4+9，即（x﹣3）2=13，开方得x﹣3=±，∴x1=3+，x2=3﹣．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．24．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】阅读型．【分析】（1）移项要变号；（2）移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，故答案为：⑤；（2）x2+2nx﹣8n2=0，x2+2nx=8n2，x2+2nx+n2=8n2+n2，（x+n）2=9n2，x+n=±3n，x1=2n x2=﹣4n．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．25．解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】根据配方法的步骤先把方程转化成标准形式，再进行配方即可求出答案．【解答】解：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7，4x2﹣4x+1=3x2+2x﹣7，x2﹣6x=﹣8，（x﹣3）2=1，x﹣3=±1，x1=2，x2=4．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键，是一道基础题．26．解方程（1）x2﹣2x﹣1=0（2）=．【考点】解一元二次方程-配方法；解分式方程．【专题】计算题．【分析】（1）方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）移项得：x2﹣2x=1，配方得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，开方得：x﹣1=±，则x1=1+，x2=1﹣；（2）去分母得：4x﹣2=3x，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，以及解分式方程，利用配方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到右边，然后两边加上一次项系数以一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．27．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：x2+x=﹣，…第一步x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步（x+）2=，…第三步x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步x=，…第五步嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是x=．用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】阅读型．【分析】第四步，开方时出错；把常数项24移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．【解答】解：在第四步中，开方应该是x+=±．所以求根公式为：x=．故答案是：四；x=；用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0解：移项，得x2﹣2x=24，配方，得x2﹣2x+1=24+1，即（x﹣1）2=25，开方得x﹣1=±5，∴x1=6，x2=﹣4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．28．（1）解方程：x2﹣2x=1；（2）解不等式组：．【考点】解一元二次方程-配方法；解一元一次不等式组．【专题】计算题．【分析】（1）方程两边都加上1，配成完全平方的形式，然后求解即可；（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：（1）x2﹣2x+1=2，（x﹣1）2=2，所以，x1=1+，x2=1﹣；（2），解不等式①得，x≥﹣2，解不等式②得，x＜，所以，不等式组的解集是﹣2≤x＜．【点评】（1）考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．（2）主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．29．解方程：x2﹣4x+1=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题；配方法．【分析】移项后配方得到x2﹣4x+4=﹣1+4，推出（x﹣2）2=3，开方得出方程x﹣2=±，求出方程的解即可．【解答】解：移项得：x2﹣4x=﹣1，配方得：x2﹣4x+4=﹣1+4，即（x﹣2）2=3，开方得：x﹣2=±，∴原方程的解是：x1=2+，x2=2﹣．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程、解一元一次方程的应用，关键是配方得出（x﹣2）2=3，题目比较好，难度适中．30．用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，∴a≠0．∴由原方程，得x2+x=﹣，等式的两边都加上，得x2+x+=﹣+，配方，得（x+）2=﹣，当b2﹣4ac＞0时，开方，得：x+=±，解得x1=，x2=，当b2﹣4ac=0时，解得：x1=x2=﹣；当b2﹣4ac＜0时，原方程无实数根．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．。

练习一一、选择题：(每小题3分,共24分) 1.下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1 B.2x 2-x-12=12； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+22.下列方程:①x 2=0,② 21x-2=0,③22x +3x=(1+2x)(2+x),④32x -=0,⑤32x x -8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是( )A.1个 B2个 C.3个 D.4个3.把方程（+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( )A.5x 2-4x-4=0 B.x 2-5=0 C.5x 2-2x+1=0 D.5x 2-4x+6=0 4.方程x 2=6x 的根是( )A.x 1=0,x 2=-6B.x 1=0,x 2=6C.x=6D.x=0 5.方2x 2-3x+1=0经为(x+a)2=b 的形式,正确的是( )A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( ) A.11 B.15 C.-15 D.±157.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )A.-x 2=2x-1 B.4x 2+4x+5420x --= D.(x+2)(x-3)==-5 8.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 二、填空题：(每小题3分,共24分)9.方程2(1)5322x x -+=化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______.10.关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0有实数解的条件是__________. 11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________.13.如果关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x 2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________.14.如果关于x 的方程4mx 2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.15.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是_______.16.某种型号的微机,原售价7200元/台,经连续两次降价后,现售价为3528元/台,则平均每次降价的百分率为______________.三、解答题(2分)17.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5分,共15分)(1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y2+1=; (3)(x-a)2=1-2a+a2(a是常数)18.(7分)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-52=3x的解,你能求出m和n的值吗?19.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-2kx+12k2-2=0.(1)求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.(2)设x1,x2是方程的根,且 x12-2kx1+2x1x2=5,求k的值.四、列方程解应用题(每题10分,共20分)20.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.21.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施,改进经营管理,使月销售额大幅上升,4月份的销售额达到129.6万元,求3, 4月份平均每月销售额增长的百分率.答案一、DAABC,DBD 二、 9.x 2+4x-4=0,4 10. 240b c -≥ 11.因式分解法 12．1或2313．2 14．1815．115k >≠且k 16．30% 三、17．（1）3，25-；（2）3；（3）1，2a-118.m=-6,n=819.(1)Δ=2k 2+8>0, ∴不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.(2) k = 四、 20．20% 21．20%练习二一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。

初三数学同步练习：一元二次方程测试题初三数学同步练习：初三数学一元二次方程测试题一、选择题1.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A. B. C. D.2.某市2021年平均房价为每平方米12021元.连续两年增长后，2021年平均房价达到每平方米15500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，依照题意，下面所列方程正确的是( )A.15500(1+x)2=12021B.15500(1﹣x)2=12021C.12021(1﹣x)2=15500D.12021(1+x)2=155003.用因式分解法解一元二次方程，正确的步骤是()A. B.C. D.4.已知1是关于的一元二次方程的一个根，则m的值是( )A.0B.1C.-1D.无法确定5.若关于的一元二次方程有实数根，则( )A. B. C. D.6.已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的范畴是( )A.kB.kC.k0D.k07.一元二次方程的解是( )A. B. C. D.8.用配方法解方程,配方正确的是( )A. B. C. D.9.某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为( ).A.48(1﹣x)2=36B.48(1+x)2=36C.36(1﹣x)2=48D.36(1+x)2=4810.若关于的一元二次方程的两根分别为，，则p、q的值分别是( )A.3、2B.3、2C.2、3D.2、311.关于x的一元二次方程(其中a为常数)的根的情形是( )A.有两个不相等的实数根B.可能有实数根，也可能没有实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根12.目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为，则下面列出的方程中正确的是( )A. B.C. D.13.若一元二次方程x2+x-2=0的解为x1、x2，则x1x2的值是( )A.1B.1C.2D.214.用配方法解方程时，原方程应变形为( )A. B. C. D.15.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，打算安排21场竞赛，则参赛球队的个数是( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个16.用锤子以平均的力敲击铁钉入木板.随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的k倍(0A. B. C. D.17.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米?设道路的宽为x米，则可列方程为A. B.C. D.18.一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是【】A.B.C.D.19.一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情形是【】A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根20.假如三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15=0的两个根，那么连接那个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是A.5.5B.5C.4.5D.4二、填空题21.将一元二次方程化成一样形式为.22.若是一元二次方程的两个根，则的值是;的值是.23.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2x-4=0的两个实数根，则= .24.若关于的方程有一根为3，则=___________.25.某种型号的电脑，原售价6000元/台，经连续两次降价后，现售价为4860元/台，设平均每次降价的百分率为，则依照题意可列出方程：.26.方程的解是____ ____ .27.已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，则的值是_____ ___.28.若，且一元二次方程有实数根，则的取值范畴是.29.已知与的半径分别是方程的两根,且,若这两个圆相切,则t= .30.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程.31.关于实数a，b，定义运算﹡：.例如4﹡2，因为42，因此4﹡2=42﹣42=8.若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= .32.如图，在一块长为22m、宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形一边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m2.若设道路宽为m，则依照题意可列方程为__ .33.若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实根，则k的非负整数值是.34.已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是.35.(2021年四川自贡4分)已知关于x的方程，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1②x1x2三、运算题36.( 本题满分8分)求证：不论k为任何实数，关于的方程都有两个不相等的实数根。

第二十一章 一元二次方程测试1 一元二次方程的有关概念及直接开平方法学习要求1．掌握一元二次方程的有关概念，并应用概念解决相关问题． 2．掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法．课堂学习检测一、填空题1．一元二次方程中，只含有______个未知数，并且未知数的______次数是2．它的一般形式为__________________．2．把2x 2－1=6x 化成一般形式为__________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．3．若(k ＋4)x 2－3x －2=0是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是______．4．把(x ＋3)(2x ＋5)－x (3x －1)=15化成一般形式为______，a =______，b =______，c =______． 5．若x x m －m +-222)(－3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______． 6．方程y 2－12=0的根是______． 二、选择题7．下列方程中，一元二次方程的个数为( )．(1)2x 2－3=0 (2)x 2＋y 2=5 (3)542=-x (4)2122=+xxA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在方程：3x 2－5x =0，,5312+=+x x 7x 2－6xy ＋y 2=0，322,052222--=+++xx x x ax =0， 3x 2－3x =3x 2－1中必是一元二次方程的有( )． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 9．x 2－16=0的根是( )． A ．只有4 B ．只有－4 C ．±4 D ．±8 10．3x 2＋27=0的根是( )．A ．x 1=3，x 2=－3B ．x =3C ．无实数根D ．以上均不正确 三、解答题(用直接开平方法解一元二次方程) 11．2y 2=8． 12．2(x ＋3)2－4=0．13．.25)1(412=+x 14．(2x ＋1)2=(x －1)2．综合、运用、诊断一、填空题15．把方程x x x +=-2232化为一元二次方程的一般形式(二次项系数为正)是__________，一次项系数是______．16．把关于x 的一元二次方程(2－n )x 2－n (3－x )＋1=0化为一般形式为_______________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______． 17．若方程2kx 2＋x －k =0有一个根是－1，则k 的值为______． 二、选择题18．下列方程：(x ＋1)(x －2)=3，x 2＋y ＋4=0，(x －1)2－x (x ＋1)=x ，,01=+xx,5)3(21,42122=+=-+x x x 其中是一元二次方程的有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个19．形如ax 2＋bx ＋c =0的方程是否是一元二次方程的一般形式，下列说法正确的是( )．A ．a 是任意实数B ．与b ，c 的值有关C ．与a 的值有关D ．与a 的符号有关20．如果21=x 是关于x 的方程2x 2＋3ax －2a =0的根，那么关于y 的方程y 2－3=a 的解是( )．A ．5±B ．±1C ．±2D ．2± 21．关于x 的一元二次方程(x －k )2＋k =0，当k ＞0时的解为( )．A ．k k +B ．k k -C ．k k -±D ．无实数解 三、解答题(用直接开平方法解下列方程) 22．(3x －2)(3x ＋2)=8． 23．(5－2x )2=9(x ＋3)2．24．.063)4(22=--x25．(x －m )2=n ．(n 为正数)拓广、探究、思考26．若关于x 的方程(k ＋1)x 2－(k －2)x －5＋k =0只有唯一的一个解，则k =______，此方程的解为______．27．如果(m －2)x |m ｜＋mx －1=0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为( )．A ．2或－2B ．2C ．－2D ．以上都不正确 28．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋m 2－1=0有一个根是0，求m 的值．29．三角形的三边长分别是整数值2cm ，5cm ，k cm ，且k 满足一元二次方程2k 2－9k －5=0，求此三角形的周长．测试2 配方法与公式法解一元二次方程学习要求掌握配方法的概念，并能熟练运用配方法与公式法解一元二次方程．课堂学习检测一、填空题1．+-x x 82_________=(x －__________)2．2．x x 232-＋_________=(x －_________)2．3．+-px x 2_________=(x －_________)2．4．x abx -2＋_________=(x －_________)2．5．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的根是______．6．一元二次方程(2x ＋1)2－(x －4)(2x －1)=3x 中的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______． 二、选择题7．用配方法解方程01322=--x x 应该先变形为( )．A ．98)31(2=-x B ．98)31(2-=-xC ．910)31(2=-x D ．0)32(2=-x8．用配方法解方程x 2＋2x =8的解为( )． A ．x 1=4，x 2=－2 B ．x 1=－10，x 2=8C ．x 1=10，x 2=－8D ．x 1=－4，x 2=29．用公式法解一元二次方程x x 2412=-，正确的应是( )． A ．252±-=x B ．252±=xC ．251±=xD ．231±=x10．方程mx 2－4x ＋1=0(m ＜0)的根是( )． A ．41 B ．m m-±42 C ．mm -±422 D ．mm m -±42 三、解答题(用配方法解一元二次方程) 11．x 2－2x －1=0． 12．y 2－6y ＋6=0．四、解答题(用公式法解一元二次方程)13．x 2＋4x －3=0． 14．.03232=--x x五、解方程(自选方法解一元二次方程) 15．x 2＋4x ＝－3．16．5x 2＋4x =1．综合、运用、诊断一、填空题17．将方程x x x 32332-=++化为标准形式是______________________，其中a =______，b =______，c =______．18．关于x 的方程x 2＋mx －8=0的一个根是2，则m =______，另一根是______． 二、选择题19．若关于x 的二次三项式x 2－ax ＋2a －3是一个完全平方式，则a 的值为( )．A ．－2B ．－4C ．－6D ．2或6 20．4x 2＋49y 2配成完全平方式应加上( )．A ．14xyB ．－14xyC ．±28xyD ．0 21．关于x 的一元二次方程ax a x 32222=+的两根应为( )．A ．22a±-B ．a 2，a 22C ．422a± D ．a 2±三、解答题(用配方法解一元二次方程) 22．3x 2－4x =2． 23．x 2＋2mx =n ．(n ＋m 2≥0)．四、解答题(用公式法解一元二次方程)24．2x －1=－2x 2． 25．x x 32132=+26．2(x －1)2－(x ＋1)(1－x )=(x ＋2)2．拓广、探究、思考27．解关于x 的方程：x 2＋mx ＋2=mx 2＋3x ．(其中m ≠1)28．用配方法说明：无论x 取何值，代数式x 2－4x ＋5的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式x 2－4x ＋5的值最小?最小值是多少?测试3 一元二次方程根的判别式学习要求掌握一元二次方程根的判别式的有关概念，并能灵活地应用有关概念解决实际问题．课堂学习检测一、填空题1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)根的判别式为∆=b 2－4ac ， (1)当b 2－4ac ______0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当b 2－4ac ______0时，方程有两个相等的实数根； (3)当b 2－4ac ______0时，方程没有实数根．2．若关于x 的方程x 2－2x －m =0有两个相等的实数根，则m =______． 3．若关于x 的方程x 2－2x －k ＋1=0有两个实数根，则k ______． 4．若方程(x －m )2=m ＋m 2的根的判别式的值为0，则m =______． 二、选择题5．方程x 2－3x =4根的判别式的值是( )． A ．－7 B ．25 C ．±5 D ．56．一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0有两个实数根，则根的判别式的值应是( )． A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．零 7．下列方程中有两个相等实数根的是( )． A ．7x 2－x －1=0 B ．9x 2=4(3x －1) C ．x 2＋7x ＋15=0D ．02322=--x x8．方程03322=++x x 有( )． A ．有两个不等实根 B ．有两个相等的有理根 C ．无实根 D ．有两个相等的无理根 三、解答题9．k 为何值时，方程kx 2－6x ＋9=0有：(1)不等的两实根；(2)相等的两实根；(3)没有实根．10．若方程(a －1)x 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋5=0有两个实根，求正整数a 的值．11．求证：不论m 取任何实数，方程02)1(2=++-mx m x 都有两个不相等的实根．综合、运用、诊断一、选择题12．方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)根的判别式是( )．A ．242ac b b -±-B ．ac b 42-C ．b 2－4acD ．abc13．若关于x 的方程(x ＋1)2=1－k 没有实根，则k 的取值范围是( )．A ．k ＜1B ．k ＜－1C ．k ≥1D ．k ＞1 14．若关于x 的方程3kx 2＋12x ＋k ＋1=0有两个相等的实根，则k 的值为( )．A ．－4B ．3C ．－4或3D ．21或32-15．若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2mx ＋m ＋3=0有两个不等的实根，则m 的取值范围是( )．A ．23<m B ．23<m 且m ≠1C ．23≤m 且m ≠1D ．23>m16．如果关于x 的二次方程a (1＋x 2)＋2bx =c (1－x 2)有两个相等的实根，那么以正数a ，b ，c 为边长的三角形是( )． A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．任意三角形 二、解答题17．已知方程mx 2＋mx ＋5=m 有相等的两实根，求方程的解．18．求证：不论k 取任何值，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)=0都没有实根．19．如果关于x 的一元二次方程2x (ax －4)－x 2＋6=0没有实数根，求a 的最小整数值．20．已知方程x 2＋2x －m ＋1=0没有实根，求证：方程x 2＋mx =1－2m 一定有两个不相等的实根．拓广、探究、思考21．若a ，b ，c ，d 都是实数，且ab =2(c ＋d )，求证：关于x 的方程x 2＋ax ＋c =0，x 2＋bx ＋d =0中至少有一个方程有实数根．测试4 因式分解法解一元二次方程学习要求掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法．课堂学习检测一、填空题(填出下列一元二次方程的根) 1．x (x －3)=0．______ 2．(2x －7)(x ＋2)=0．______ 3．3x 2=2x ．______ 4．x 2＋6x ＋9=0．______ 5．.03222=-x x ______ 6．.)21()21(2x x -=+______ 7．(x －1)2－2(x －1)=0．______． 8．(x －1)2－2(x －1)=－1．______ 二、选择题9．方程(x －a )(x ＋b )=0的两根是( )． A ．x 1=a ，x 2=b B ．x 1=a ，x 2=－b C ．x 1=－a ，x 2=b D ．x 1=－a ，x 2=－b 10．下列解方程的过程，正确的是( )．A ．x 2=x ．两边同除以x ，得x =1．B ．x 2＋4=0．直接开平方法，可得x =±2．C ．(x －2)(x ＋1)=3×2．∵x －2=3，x ＋1=2， ∴x 1=5， x 2=1．D ．(2－3x )＋(3x －2)2=0．整理得3(3x －2)(x －1)=0，.1,3221==∴x x 三、解答题(用因式分解法解下列方程，*题用十字相乘法因式分解解方程) 11．3x (x －2)=2(x －2)． 12．.32x x =*13．x 2－3x －28=0． 14．x 2－bx －2b 2=0．*15．(2x －1)2－2(2x －1)=3． *16．2x 2－x －15=0．四、解答题17．x 取什么值时，代数式x 2＋8x －12的值等于2x 2＋x 的值．综合、运用、诊断一、写出下列一元二次方程的根18．0222=-x x ．______________________． 19．(x －2)2=(2x ＋5)2．______________________． 二、选择题20．方程x (x －2)=2(2－x )的根为( )．A ．－2B ．2C ．±2D ．2，2 21．方程(x －1)2=1－x 的根为( )．A ．0B ．－1和0C ．1D ．1和022．方程0)43)(21()43(2=--+-x x x 的较小的根为( )．A ．43-B ．21C ．85D ．43三、用因式分解法解下列关于x 的方程23．.2152x x =- 24．4(x ＋3)2－(x －2)2=0．25．.04222=-+-b a ax x26．abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0．(ab ≠0)四、解答题27．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m 2＋2)x ＋2m =0．(1)求证：当m 取非零实数时，此方程有两个实数根； (2)若此方程有两个整数根，求m 的值．测试5 一元二次方程解法综合训练学习要求会用适当的方法解一元二次方程，培养分析问题和解决问题的能力．课堂学习检测一、填空题(写出下列一元二次方程的根) 1．3(x －1)2－1=0．__________________2．(2x ＋1)2－2(2x ＋1)=3．__________________ 3．3x 2－5x ＋2=0．__________________ 4．x 2－4x －6=0．__________________ 二、选择题5．方程x 2－4x ＋4=0的根是( )． A ．x =2 B ．x 1=x 2=2 C ．x =4 D ．x 1=x 2=4 6．5.27.0512=+x 的根是( )．A ．x =3B ．x =±3C ．x =±9D ．3±=x 7．072=-x x 的根是( )． A ．77=xB ．77,021==x x C ．x 1=0，72=x D ．7=x 8．(x －1)2=x －1的根是( )． A ．x =2 B ．x =0或x =1 C ．x =1 D ．x =1或x =2 三、用适当方法解下列方程 9．6x 2－x －2=0． 10．(x ＋3)(x －3)=3．11．x 2－2mx ＋m 2－n 2=0． 12．2a 2x 2－5ax ＋2=0．(a ≠0)四、解下列方程(先将你选择的最佳解法写在括号中) 13．5x 2=x ．(最佳方法：______)14．x 2－2x =224．(最佳方法：______)15．6x 2－2x －3=0．(最佳方法：______)16．6－2x 2=0．(最佳方法：______)17．x 2－15x －16=0．(最佳方法：______)18．4x 2＋1=4x ．(最佳方法：______)19．(x －1)(x ＋1)－5x ＋2=0．(最佳方法：______)综合、运用、诊断一、填空题20．若分式1872+--x x x 的值是0，则x =______．21．关于x 的方程x 2＋2ax ＋a 2－b 2=0的根是____________． 二、选择题22．方程3x 2=0和方程5x 2=6x 的根( )．A ．都是x =0B ．有一个相同，x =0C ．都不相同D ．以上都不正确 23．关于x 的方程abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0(ab ≠0)的根是( )．A ．ba x ab x 2,221== B ．b ax a b x ==21,C ．0,2221=+=x abb a xD ．以上都不正确 三、解下列方程24．(x ＋1)2＋(x ＋2)2=(x ＋3)2． 25．(y －5)(y ＋3)＋(y －2)(y ＋4)=26．26．.02322=+-x x 27．kx 2－(k ＋1)x ＋1=0．四、解答题28．已知：x 2＋3xy －4y 2=0(y ≠0)，求yx yx +-的值．29．已知：关于x 的方程2x 2＋2(a －c )x ＋(a －b )2＋(b －c )2=0有两相等实数根．求证：a ＋c =2b ．(a ，b ，c 是实数)拓广、探究、思考30．若方程3x 2＋bx ＋c =0的解为x 1=1，x 2=－3，则整式3x 2＋bx ＋c 可分解因式为______________________．31．在实数范围内把x 2－2x －1分解因式为____________________． 32．已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)中的两根为,24,221aacb b x x -±-=请你计算x 1＋x 2=____________，x 1·x 2=____________． 并由此结论解决下面的问题：(1)方程2x 2＋3x －5=0的两根之和为______，两根之积为______．(2)方程2x 2＋mx ＋n =0的两根之和为4，两根之积为－3，则m =______，n =______． (3)若方程x 2－4x ＋3k =0的一个根为2，则另一根为______，k 为______．(4)已知x 1，x 2是方程3x 2－2x －2=0的两根，不解方程，用根与系数的关系求下列各式的值：①;1121x x + ②;2221x x + ③｜x 1－x 2｜；④;221221x x x x + ⑤(x 1－2)(x 2－2)．测试6 实际问题与一元二次方程学习要求会灵活地应用一元二次方程处理各类实际问题．课堂学习检测一、填空题1．实际问题中常见的基本等量关系。

练习一一、选择题：(每小题3分,共24分) 1.下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1 B.2x 2-x-12=12； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+22.下列方程:①x 2=0,② 21x-2=0,③22x +3x=(1+2x)(2+x),④32x -=0,⑤32x x -8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是( )A.1个 B2个 C.3个 D.4个3.把方程（+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( )A.5x 2-4x-4=0 B.x 2-5=0 C.5x 2-2x+1=0 D.5x 2-4x+6=0 4.方程x 2=6x 的根是( )A.x 1=0,x 2=-6B.x 1=0,x 2=6C.x=6D.x=0 5.方2x 2-3x+1=0经为(x+a)2=b 的形式,正确的是( )A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C.231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对 6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( ) A.11 B.15 C.-15 D.±15 7.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )A.-x 2=2x-1 B.4x 2+4x+54=0; C. 20x --= D.(x+2)(x-3)==-58.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 二、填空题：(每小题3分,共24分)9.方程2(1)5322x x -+=化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______.10.关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0有实数解的条件是__________. 11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________.13.如果关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x 2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________.14.如果关于x 的方程4mx 2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.15.若一元二次方程(k-1)x 2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是_______. 16.某种型号的微机,原售价7200元/台,经连续两次降价后,现售价为3528元/台,则平均每次降价的百分率为______________. 三、解答题(2分)17.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5分,共15分)(1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y 2+1=; (3)(x-a)2=1-2a+a 2(a 是常数) 18.(7分)已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-52=3x 的解,你能求出m 和n 的值吗? 19.(10分)已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12k 2-2=0. (1)求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根. (2)设x 1,x 2是方程的根,且 x 12-2kx 1+2x 1x 2=5,求k 的值. 四、列方程解应用题(每题10分,共20分)20.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.21.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施,改进经营管理,使月销售额大幅上升,4月份的销售额达到129.6万元,求3, 4月份平均每月销售额增长的百分率. 答案一、DAABC,DBD 二、 9.x 2+4x-4=0,4 10. 240b c -≥ 11.因式分解法 12．1或2313．2 14．1815．115k >≠且k 16．30% 三、17．（1）3，25-；（2）3；（3）1，2a-118.m=-6,n=819.(1)Δ=2k 2+8>0, ∴不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.(2) k = 四、 20．20% 21．20%练习二一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。

一元二次方程21.1__一元二次方程__[见A本P2]1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是(C)A．x2＋1x2＝0B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1D．3x2－2xy－5y2＝0【解析】A是分式方程，B中缺a≠0，D中含有两个未知数．2．方程5x2＝6x－8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为(C)A．5，6，－8 B．5，－6，－8C．5，－6，8 D．6，5，－8【解析】5x2＝6x－8化为一般形式后得5x2－6x＋8＝0.3．若关于x的方程ax2－3x＋2＝0是一元二次方程，则(B)A．a>0 B．a≠0C．a＝1 D．a≥0【解析】一元二次方程的隐含条件是二次项系数a≠0，故选B.4．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为(A)A．1 B．－1C．2 D．－2【解析】因为x＝3是原方程的根，所以将x＝3代入原方程，即32－3k－6＝0成立，解得k＝1. 5．如图21－1－1所示，图形中四个长方形的长比宽多5，围成的大正方形的面积为125.设长方形的宽为x，则下列方程不正确的是(C)图21－1－1A．x(x＋5)＝25B．x2＋5x＝25C．x2＋5x－20＝0D．x(x＋5)－25＝0【解析】大正方形边长为2x＋5，则(2x＋5)2＝125，∴4x2＋20x＋25＝125，∴4x2＋20x－100＝0，∴x2＋5x－25＝0，故A，B，D正确，选C.6．下列关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的说法正确的有(C)①若有一个根为零时，则c＝0；②若有一个根为1时，则a＋b＋c＝0；③若有一个根为－1时，则a－b＋c＝0；④只有一个实数根．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】把x＝0代入原方程有a×02＋b×0＋c＝0，得到c＝0；把x＝1代入原方程有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0；把x＝－1代入原方程有a×(－1)2＋b×(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0，这说明①②③都正确．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)可以没有实数根，所以④不正确．7．当x＝__0__时，方程(a2－9)x2＋(a＋3)x＋5＝0不是关于a的一元二次方程；当a＝__3__时，方程(a2－9)x2＋(a＋3)x＋5＝0是关于x的一元一次方程．8．滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．解：设应邀请x 支球队参赛，则每队共打__x －1__场比赛，比赛总场数用代数式表示为__12x (x －1)__．根据题意，可列出方程__12x (x －1)＝28__．整理，得__12x 2－12x ＝28__．化为一般式，得__x 2－x －56＝0__．二次项系数、一次项系数、常数项分别为__1__，__－1__，__－56__．【解析】 设应邀请x 支球队参赛，则每队共打(x －1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为12x (x －1)． 根据题意，可列出方程12x (x －1)＝28. 整理，得12x 2－12x ＝28， 化为一般式为x 2－x －56＝0.二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，－1，－56.9．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)如果设门的宽为x 尺，那么这个门的高为(x ＋6.8)尺，根据题意，得__x 2＋(x ＋6.8)2＝102__，整理、化简，得__2x 2＋13.6x －53.76＝0__．10．教材或资料会出现这样的题目：把方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答：(1)下列式子中，有哪几个是方程12x 2－x ＝2所化的一元二次方程的一般形式？(答案只写序号)__①②④⑤__．①12x 2－x －2＝0；②－12x 2＋x ＋2＝0；③x 2－2x ＝4；④－x 2＋2x ＋4＝0；⑤3x 2－23x －43＝0. (2)方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？解：(2)若设它的二次项系数为a (a ≠0)，则一次项系数为－2a 、常数项为－4a .11．若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，则2013－a －b 的值是( A )A ．2018B ．2008C ．2014D ．2012【解析】∵x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx ＋5＝0的一个根，∴a ·12＋b ·1＋5＝0，∴a ＋b ＝－5，∴2013－a －b ＝2013－(a ＋b )＝2013－(－5)＝2018.12．[2013·黔西南]已知x ＝1是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，则代数式a 2＋b 2＋2ab 的值是__1__.【解析】 ∵x ＝1是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，∴12＋a ＋b ＝0，∴a ＋b ＝－1∴a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝(－1)2＝1.13．若方程4x k －1＋3x ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则k 的值为__3__．【解析】 ∵此方程是一元二次方程，∴k －1＝2，∴k ＝3.14．翠湖公园有一块长为32 m ，宽为20 m 的长方形空地，现准备在空地中修同样宽的两条“之”字路．如图21－1－2所示，若设道路宽为x m ，剩下的空地面积为540 m 2，请列出关于x 的一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．图21－1－2解：将图形中的“之”字路进行平移得到如图所示的图形．依题意得(32－x )(20－x )＝540，整理，得一般形式为x 2－52x ＋100＝0，二次项系数为1，一次项系数为－52，常数项为100. 15．已知m 是方程x 2－2 013x ＋1＝0的一个根，试求代数式m 2－2 012m ＋2 013m 2＋1的值． 解：∵m 为方程x 2－2 013x ＋1＝0的根，∴m 2－2 013m ＋1＝0，即m 2－2 013m ＝－1，m 2＋1＝2 013m ，∴m 2－2 012m ＋2 013m 2＋1＝m 2－2 013m ＋m ＋2 0132 013m ＝－1＋m ＋1m .又由m 2－2 013m ＋1＝0， 两边同除以m 得m ＋1m＝2 013， ∴原式＝－1＋2 013＝2 012.。

九年级数学 第21章 《一元二次方程》同步练习一、选择题1．若25x 2=16，则x 的值为（）A ．45±B ．54± C.1625± D ．2516± 2．关于x 的方程x 2+2kx+k-1=0的根的情况描述准确的是（ ）A.k 为任何实数，方程都没有实数根B.k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C.k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D.根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种3．方程：①21213x x -=，②2x 2-5xy+y 2=0，③7x 2+1=0，④202y =中一元二次方程是（ ） A.①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．①和③4．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．100（1+x ）2=81B ．100（1﹣x ）2=81C ．100（1﹣x%）2=81D ．100x 2=815．现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a ★b=a 2-3a+b ，如：3★5=32-3×3+5，若x ★2=6，则实数x 的值是（ ）A 、-1B 、4C 、-1或4D 、1或-46．用配方法解一元二次方程x 2+4x-5=0，此方程可变形为（ ）A ．（x-2）2=9B ．（x+2）2=9C ．（x+2）2=1D ．（x-2）2=17．一元二次方程x 2+2=0的根的情况为（ ）A ．没有实根B ．有两个相等的实根C ．有两个不等的实根D ．有两个实根8．用配方法解方程x 2-2x-5=0时，原方程应变形为（ ）A ．（x+1）2=6B ．（x+2）2=9C ．（x-1）2=6D ．（x-2）2=99．已知a 是方程x 2+x-1=0的一个根，则22211a a a---的值为（ ）A B C ．-1 D ．1 10．若一元二次方程9x 2-12x-39996=0的两根为a ，b ，且a ＜b ，则a+3b 的值为（ ）A ．136B ．268C ．7963 D ．3923二、填空题11．已知关于x 的方程220x x a -+=有两个实数根，则实数a 的取值范围是 ． 12．若x=2是关于x 的方程x 2-x-a 2+5=0的一个根，则a 的值为 ．13．网购悄然盛行，我国2012年网购交易额为1.26万亿人民币，2014年我国网购交易额达到了2.8万亿人民币．如果设2013年、2014年网购交易额的平均增长率为x ，则依题意可得关于x 的一元二次方程为 .14．方程x 2﹣x ﹣=0的判别式的值等于 ．15．若一元二次方程x 2﹣x+k=0有实数根，则k 的取值范围是 ．16．设x 1，x 2是一元二次方程x 2-3x-2=0的两个实数根，则x 12+3x 1x 2+x 22的值为 ．17．已知（x-1）2=ax 2+bx+c ，则a+b+c 的值为 .18．已知直角三角形两边x 、y 的长满足|x 2256y y -+，则第三边长为 ． 19．方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ．20．已知一元二次方程22310x x --=的两根为12x x ，，则=+2111x x ___________．三、解答题21．已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a －c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x=－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．22．已知关于x 的方程01)12(2=-+-+k x k kx 只有整数根，且关于y 的一元二次方程03)1(2=+--m y y k 有两个实数根1y 和2y ．当k 为整数时，确定k 的值；在（1）的条件下，若2-≥m 且是整数，试求m 的最小值．23．已知关于x 的方程22(1)(1)0m x m x m --++=．（1）m 为何值时，此方程是一元一次方程？（2）m 满足什么条件时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项（用含m 的代数式表示）．24．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元。

北师大版九年级上册第二章一元二次方程〔解方程及判别式专题〕同步测试一、解答题1. 解方程:(用配方法)(1)x2-2x-2=0; (2)2x2+3=7x.2. 解以下方程:(1)3x2-27=0; (2)(2x-1)2=(√3)2;(3)(x+5)(x-5)=24; (4)x2-6x+9=2;(5)(x+2)2-16=0; (6)(x-1)2-18=0.3. 解方程(2x-1)2=x(3x+2)-7.4. 用配方法解方程x2-4x+1=0.5. 用配方法解方程:x2-6x-6=0.6. 用配方法解以下方程.(1)x2+2mx-n2=0; (2)4x2-7x-2=0.7. 用适当的方法解以下一元二次方程:(1)2(x-3)2=18; (2)x(x-5) =7x; (3)x2-2x-4=0.8. 解方程:(1)x2=121; (2)(x+2)2=324;289(3)5(x-3)2=125;(4)(2x+3)2=(x+4)2.9. 解以下方程(1)x2-2x-2=0; (2)(x+3)2-2x(x+3)=0.10. 用因式分解法解以下方程:(1)3y2-6y=0; (2)x2-8x+16=0;(3)(1+x)2-9=0; (4)(x-4)2=(5-2x)2.11. 用公式法解以下方程:(1)2x2-4x-1=0; (2)4x2-3x+1=0;(3)3x2=5x+2; (4)(x-2)(3x-5)=1;第 1 页(5)4x2+4x+10=1-8x.12. 解以下一元二次方程.(1)2x2-4x-3=0; (2)(x-2)(x+3)=-4.13. 解方程:3x(x-2)=2(2-x).14. 解方程:(1)(3x+8)2-(2x-3)2=0; (2)2x2-6x+3=0.15. 解方程:2(x-3)=3x(x-3).16. 请利用公式:(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq解决以下问题:(1)因式分解:①x2+5x+6; ②x2-x-6. (2)解方程:①x2+6x+8=0; ②x2-2x-8=0.17. 关于x的方程ax2=b的两根分别为m-1和2m+7,试求方程ax2=b的两根.18. 一元二次方程x2-4x+1+m=5,请你任取一个适当的m的值,使方程能用直接开平方法求解,并解这个方程.(1)你选的m的值是;(2)解这个方程.19. 关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)假设△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时,求k的值.20. 关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;(2)假设此方程的一个根是1,恳求出方程的另一个根,并求出以此两根为两边长的直角三角形的周长.21. 当m为何值时,关于x的一元二次方程2x2-(4m+1)x+2m2-1=0.(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根.22. 某校甲、乙两同学对关于x的方程:-3(x-1)2+m=0进展探究,其结果:甲同学发现,当m=0时,方程的两根都为1,当m>0时,方程有两个不相等的实数根;乙同学发现,无论m取什么正实数,都不能使方程的两根之和为零.第 3 页(1)请找一个m 的值代入方程使方程的两个根为互不相等的整数,并求这两个根; (2)乙同学发现的结论是否正确?试证明.23. 关于x 的一元二次方程mx 2-2(2m +1)x +4m -1=0. (1)当m 为何值时,方程有两个相等的实数根? (2)当m 为何值时,方程有两个不相等的实数根? (3)当m 为何值时,方程无实数根? 24. :关于x 的方程kx 2+(2k -3)x +k -3=0. (1)求证:方程总有实数根.(2)当k 取哪些整数时,关于x 的方程kx 2+(2k -3)x +k -3=0的两个实数根均为负整数? 25. 关于x 的方程x 2-(k +2)x +2k =0.(1)求证:无论k 取任何实数值,方程总有实数根;(2)假设等腰三角形ABC 的一边长a =1,另两边长b ,c 恰好是这个方程的两个根,求△ABC 的周长.26. x 1,x 2是一元二次方程(a -6)x 2+2ax +a =0的两个实数根.(1)是否存在实数a ,使-x 1+x 1x 2=4+x 2成立?假设存在,求出a 的值;假设不存在,请你说明理由; (2)求使(x 1+1)(x 2+1)为负整数的实数a 的整数值.27. a ,b 为关于x 的一元二次方程x 2-2(m -2)x +m 2=0的两个实数根,且满足a 2-ab +b 2=16,求m 的值. 28. 关于x 的一元二次方程x 2+3x +m -1=0的两个实数根分别为x 1x 2. (1)求m 的取值范围;(2)假设2(x 1+x 2)+x 1x 2+10=0,求m 的值.29. 关于x 的一元二次方程x 2-(2k +1)x +k 2+2k =0有两个实数根x 1,x 2. (1)务实数k 的取值范围.(2)是否存在实数k 使得x 1·x 2-x 12−x 22≥0成立?假设存在,恳求出k 的值;假设不存在,请说明理由.30. x 1,x 2是关于x 的一元二次方程4x 2+4(m -1)x +m 2=0的两个非零实数根,问x 1和x 2能否同号?假设能同号,恳求出相应的m 的取值范围;假设不能同号,请说明理由.31. 两方程x 2-mx +5+m =0和x 2-(7m +1)x +13m +7=0至少有一个一样的实数根,求这两个方程的四个实数根的乘积.32. 关于x 的一元二次方程x 2+cx +a =0的两个整数根恰好比方程x 2+ax +b =0的两根都大1,求a +b +c 的值.33. 关于x 的方程mx 2-(m +2)x +2=0(m ≠0). (1)求证:方程总有两个实数根;(2)假设方程的两个实数根都是整数,求正整数m 的值. 34. 一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围;(2)假如k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个一样的根,求此时m 的值.35. 阅读下面的例题,解方程(x -1)2-5|x -1|-6=0.例:解方程x 2-|x |-2=0.解:原方程化为|x |2−|x |-2=0.令y =|x |,原方程化成y 2-y -2=0.解得y 1=2,y 2=-1.当|x |=2时,x 1=2,x 2=-2;当|x |=-1时,不合题意,舍去.∴原方程的解是x 1=2,x 2=-2.北师大版九年级上册第二章一元二次方程〔解方程及判别式专题〕同步测试参考答案1.(1) 【答案】配方,得(x -1)2=3,所以x -1=±√3,所以原方程的解为x 1=1+√3,x 2=1-√3.(2) 【答案】移项,得2x 2-7x =-3,二次项系数化为1,得x 2-72x =-32.配方,得x 2-72x +(-74)2=-32+(-74)2,整理,得(x -744)2=2516,所以x -74=±54,所以原方程的解为x 1=3,x 2=12.2.(1) 【答案】由题意得x 2=9,∴x =±3,∴x 1=3,x 2=-3.(2) 【答案】∵2x -1=±√3,∴x =1±√32,∴x 1=1+√32,x 2=1-√32. (3) 【答案】整理,得x 2=49,∴x =±7,∴x 1=7,x 2=-7.(4) 【答案】原方程变为(x -3)2=2,∴x -3=±√2,∴x =3±√2,∴x 1=3+√2,x 2=3-√2.(5) 【答案】移项,得(x +2)2=16,∴x +2=±4,∴x =-2±4,∴x 1=2,x 2=-6. (6) 【答案】移项,得(x -1)2=18,∴x -1=±3√2,∴x =1±3√2,∴x 1=1+3√2,x 2=1-3√2.3. 【答案】原方程可化为4x 2-4x +1=3x 2+2x -7,即x 2-6x +8=0.∴(x -3)2=1. ∴x -3=±1. ∴x 1=2,x 2=4.第 5 页4. 【答案】将原方程移项得x 2-4x =-1,配方得x 2-4x +4=-1+4,即(x -2)2=3,∴x =2±√3.故原方程的解为x 1=2+√3,x 2=2-√3.5. 【答案】x 2-6x -6=0,即x 2-6x =6, x 2-6x +(-3)2=6+(-3)2,(x -3)2=6+9,(x -3)2=15,即x -3=√15或x -3=-√15,所以x 1=3+√15,x 2=3-√15.6.(1) 【答案】移项,得x 2+2mx =n 2,配方,得x 2+2mx +m 2=n 2+m 2,即(x +m )2=m 2+n 2,开平方,得x +m =±√m 2+n 2,故x 1=-m +√m 2+n 2,x 2=-m -√m 2+n 2.(2) 【答案】4x 2-7x -2=0,方程两边都除以4,得x 2-74x -12=0,移项,得x 2-74x =12,配方,得x 2-74x +(78)2=12+(78)2,即(x -78)2=8164,开平方,得x -78=±98,即x -78=98或x -78=-98.故x 1=2,x 2=-14.7.(1) 【答案】原方程可变形为(x -3)2=9, 即x -3=3或x -3=-3, ∴x 1=6,x 2=0.(2) 【答案】原方程变形为x (x -5)-7x =0.x [(x -5)-7]=0.即x =0或x -12=0. ∴x 1=0,x 2=12.(3) 【答案】方法1:a =1,b =-2,c =-4.∵b 2-4ac =(-2)2-4×1×(-4) =20>0, ∴x =-(-2)±√202=2±2√52,即x 1=1+√5,x 2=1-√5.方法2:原方程可变形为x 2-2x =4, 配方,得x 2-2x +1=4+1, 即(x -1)2=5, ∴x -1=±√5, ∴x 1=1+√5,x 2=1-√5.8.(1) 【答案】因为x =±√121289,即x =±1117,所以x 1=1117,x 2=-1117. (2) 【答案】因为x +2=±√324,所以x +2=±18,即x +2=18或x +2=-18, 所以x 1=16,x 2=-20.(3) 【答案】因为5(x -3)2=125,即(x -3)2=25,所以(x -3)2=52, 即x -3=5或x -3=-5,所以x 1=8,x 2=-2.(4) 【答案】因为(2x +3)2=(x +4)2,即2x +3=x +4或2x +3=-x -4,所以x 1=1,x 2=-73.9.(1) 【答案】 x 2-2x -2=0.移项,得x 2-2x =2,配方,得x 2-2x +(-1)2=2+(-1)2,即(x -1)2=3,开平方,得x -1=±√3, 所以x 1=1+√3,x 2=1-√3.(2) 【答案】(x +3)2-2x (x +3)=0,(x +3)(x +3-2x )=0,所以x +3=0或x +3-2x =0, 所以x 1=-3,x 2=3.10.(1) 【答案】有公因式3y ,提出来化为3y (y -2)=0,∴3y =0,或y -2=0,∴y 1=0,y 2=2.(2) 【答案】这是一个完全平方式(x -4)2=0,∴x 1=x 2=4.(3) 【答案】等式左边是两数的平方差,利用平方差公式得(1+x +3)(1+x -3)=0,即(x +4)(x -2)=0,∴x +4=0,或x -2=0.∴x 1=-4,x 2=2.(4) 【答案】移项,得(x -4)2-(5-2x )2=0,由平方差公式得(x -4+5-2x )(x -4-5+2x )=0,即(1-x )(x -3)=0,∴1-x =0,或x -3=0,∴x 1=1,x 2=3.11.(1) 【答案】b 2-4ac =(-4)2-4×2×(-1)=24>0.∴x =-(-4)±√242×2=4±2√64=2±√62,∴x 1=2+√62,x 2=2-√62. (2) 【答案】b 2-4ac =(-3)2-4×4×1=-7<0.∴方程无实数根.第 7 页(3) 【答案】b 2-4ac =(-5)2-4×3×(-2)=49>0.∴x =-b±√b 2-4ac2a=5±76.∴x 1=5+76=2,x 2=5-76=-13. (4) 【答案】方程化为3x 2-11x +9=0.a =3,b =-11,c =9.∴b 2-4ac =(-11)2-4×3×9=13>0.∴x =-(-11)±√132×3=11±√136, ∴x 1=11+√136,x 2=11-√136. (5) 【答案】移项得4x 2+12x +9=0.a =4,b =12,c =9.∴b 2-4ac =0,∴x 1=x 2=-124×2=-32.12.(1) 【答案】2x 2-4x -3=0,x 2-2x -32=0,移项,得x 2-2x =32.配方,得x 2-2x +1=32+1,即(x -1)2=52, 两边开平方,得x -1=±√102,即x =1±√102,所以x 1=1+√102,x 2=1-√102. (2) 【答案】(x -2)(x +3)=-4,整理,得x 2+3x -2x -6=-4, 移项,得x 2+x =2,配方,得x +x +(12)2=2+(12)2,即(x +12)2=94,两边开平方,得x 2+12=±32, x +12=32或x +12=-32. 所以x 1=1,x 2=-2.13. 【答案】3x (x -2)=2(2-x )整理得3x (x -2) +2(x -2)=0,因式分解得(3x +2)(x -2)=0,即3x +2=0或x -2=0,解得x 1=-23,x 2=2.14.(1) 【答案】(3x +8+2x -3)(3x +8-2x +3)=5(x +1)(x +11)=0,∴x +1=0或x +11=0,∴x 1=-1,x 2=-11.(2) 【答案】∵a =2,b =-6,c =3,∴b 2-4ac =36-24=12.∴x =6±√122×2=6±2√34=3±√32,∴x 1=3+√32,x 2=3-√32.15. 【答案】原方程可化为(x -3)(2-3x )=0,∴x 1=3,x 2=23.16.(1) 【答案】①2与3的和为5,积为6,所以有x 2+5x +6=(x +2)(x +3).②2与-3的和为-1,积为-6,所以有x 2-x -6=(x +2)(x -3).(2) 【答案】①找到一组数：2,4,有2+4=6,2*4=8,,所以有(x +2)(x +4)=0,∴x +2=0,或x +4=0,∴x 1=-2,x 2=-4.②找到一组数：2,-4,有2+(-4)=-2,2*(-4)=-8,所以有(x +2)(x -4)=0,∴x +2=0,或x -4=0,∴x 1=-2,x 2=4.17. 【答案】根据x 2=a 2⇔x =±a 可得m -1与2m +7互为相反数,所以m -1+2m +7=0,解得m =-2.所以m -1=-2-1=-3,2m +7=2×(-2)+7=3,即方程ax 2=b 的两根为x 1=-3,x 2=3. 18.(1) 【答案】3(2) 【答案】当m =3时,原方程可化为x 2-4x +1+3=5,所以(x -2)2=5,所以x -2=±√5,所以x =2±√5.所以x 1=2+√5,x 2=2-√5.答案不唯一.例如还可以取m=8,此时有x 2−4x +4=0,即(x −2)2=0,x =2. 19.(1) 【答案】∵Δ=(2k +1)2-4(k 2+k )=1>0, ∴方程有两个不相等的实数根;(2) 【答案】一元二次方程x 2-(2k +1)x +k 2+k =0的解为x =2k+1±√12,即x 1=k ,x 2=k +1,当AB =k ,AC =k +1,且AB =BC 时, △ABC 是等腰三角形,那么k =5; 当AB =k ,AC =k +1,且AC =BC 时,△ABC 是等腰三角形,那么k +1=5,解得k =4. 20.(1) 【答案】证明:方程的判别式为∆=[-(m +2)]2-4×1×(2m -1)=m 2-4m +8=(m -2)2+4>0,∴方程恒有两个不相等的实数根.(2) 【答案】方程的一个根是1,把x =1代入方程x 2-(m +2)x +(2m -1)=0中,解得m =2,∴原方程为x 2-4x +3=0,解这个方程得:x 1=1,x 2=3,∴方程的另一个根为x =3.当1,3为直角三角形的两直角边长时,斜边长为√12+32=√10,∴周长为1+3+√10=4+√10,当3为斜边长时,另一直角边长为√32-12=2√2,∴周长为1+3+2√2=4+2√2.21.(1) 【答案】方程的判别式为∆=[-(4m +1)]2-4×2×(2m 2-1)=8m +9.(1)当8m +9>0,即m >-98时,方程有两个不相等的实数根.(2) 【答案】当8m +9=0,即m =-98时,方程有两个相等的实数根. (3) 【答案】当8m +9<0,即m <-98时,方程没有实数根.22.第 9 页(1) 【答案】由探究结果可知,取的m 的数值为一个正数,或者可以这样由于-3(x -1)2+m =0可化为(x -1)2=m3,取m =27,可使原方程的两个根为互不相等的整数,此时(x -1)2=9,所以x -1=±3,所以x =1±3,所以原方程的两个根为x 1=4,x 2=-2.(答案不唯一).(2) 【答案】乙同学发现的结论正确.证明如下:当m >0时,由(x -1)2=m3,可得x =1±√m3,∴x 1=1+√m3,x 2=1-√m3.因为1+√m3+1-√m3=2,所以无论m 取什么正实数,都不能使方程的两根之和为零,所以乙同学发现的结论正确.23.(1) 【答案】∵a = m ,b =-2(2m +1),c =4m -1,∴Δ=b 2-4ac =4(2m +1)2-4m (4m -1)=20m +4.∵方程有两个相等的实数根, ∴20m +4=0,解得m =-15.因此,当m =-15时,方程有两个相等的实数根.(2) 【答案】∵方程有两个不相等的实数根, ∴20m +4>0且m ≠0,解得m >-15且m ≠0.因此,当m >-15且m ≠0时,方程有两个不相等的实数根.(3) 【答案】∵方程无实数根, ∴20m +4<0,解得m <-15.因此,当m <-15时,方程无实数根.24.(1) 【答案】分类讨论:当k =0时,此方程为一元一次方程,即-3x -3=0, ∴x =-1,符合题意;当k ≠0时,此方程为一元二次方程,∴Δ=(2k -3)2-4k (k -3)=9>0,∴方程有两个不相等的实数根. 综上所述,方程总有实数根.(2) 【答案】因为方程有两个实数根,所以方程为一元二次方程,利用求根公式求得x =-(2k -3)±√92k, 即x 1=6-2k 2k=3k -1,x 2=-1.∵方程有两个负整数根,∴3k-1是负整数,即k 是3的约数, ∴k =±1,±3,但k =1或k =3时,根不是负整数, ∴k =-1或k =-3.25.(1) 【答案】证明:证法一：因为方程的判别式为∆=[-(k +2)]2-4×1×2k =(k -2)2≥0, ∴无论k 取任何实数值,方程总有实数根.证法二：方程可以因式分解为(x −2)(x −k)=0,方程的两根为2,k ,所以命题得证.(2) 【答案】解法一:①当b =c 时,∆=(k -2)2=0,∴k =2,∴b +c =k +2=2+2=4,又b =c ,∴b =c =2,∵2,2,1符合三角形的三边关系,∴△ABC 的周长=4+1=5;②当b ,c 中有一个与a 相等时,不妨设b =a =1,∵1是方程x 2-(k +2)x +2k =0的一个根,∴12-(k +2)×1+2k =0,解得k =1,∴b +c =k +2=1+2=3,∴c =3-b =3-1=2,∵2,1,1不符合三角形的三边关系,∴a 不能为△ABC 的腰长.综上所述,△ABC 的周长为5.解法二：由题意得另两边长分别为2,k ,因为ΔABC 为一个等腰三角形,所以k =1,或k =2,但k =1时构不成三角形,所以k =2.此时三角形的周长为1+2+2=5.26.(1) 【答案】首先应有a −6≠0.∵x 1,x 2是一元二次方程(a -6)x 2+2ax +a =0的两个实数根,∴由根与系数的关系可知,x 1x 2=a a -6,x 1+x 2=-2a a -6.∵一元二次方程(a -6)x 2+2ax +a =0有两个实数根,∴∆=4a 2-4(a -6)·a ≥0,且a -6≠0,解得a ≥0且a ≠6.∵-x 1+x 1x 2=4+x 2,∴x 1x 2=4+(x 1+x 2),即a a -6=4-2aa -6,解得a =24,∴存在实数a ,使-x 1+x 1x 2=4+x 2成立,a 的值是24;(2) 【答案】∵(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+(x 1+x 2)+1=aa -6−2aa -6+1=-6a -6,∴当(x 1+1)(x 2+1)为负整数且a 为整数时,有a -6=6,a -6=3,a -6=2,a -6=1,∴a =12,9,8,7,∴使(x 1+1)(x 2+1)为负整数的实数a 的整数值有12,9,8,7.27. 【答案】根据根与系数的关系,得a +b =2(m -2),ab =m 2.因为a 2-ab +b 2=16,所以(a +b )2-3ab =16,所以[2(m -2)]2-3m 2=16,整理,得m 2-16m =0,解得m 1=0,m 2=16.当m =0时,方程的常数项变为0,方程化为x 2+4x =0,符合题意.当m =16时,∆=[-2(m -2)]2-4m 2=282-4×162=-240<0,不符合题意,舍去.所以m =0.28.(1) 【答案】∵原方程有两个实数根,∴∆=9-4(m -1)≥0,解得m ≤134.(2) 【答案】由题意得x 1+x 2=-3,x 1x 2=m -1,∴2×(-3)+(m -1)+10=0,解得m =-3.29.(1) 【答案】∵x 2-(a +b )x +ab -1=0有两个实数根,∴Δ= [-(2k +1)]2-4(k 2+2k )≥0,整理得1-4k ≥0,解得k ≤14. 故当k ≤14时,原方程有两个实数根.(2) 【答案】假设存在实数k 使得x 1·x 2-x 12−x 22≥0成立.∵x 2-(2k +1)x +k 2+2k =0有两个实数根x 1,x 2, ∴x 1+x 2=2k +1,x 1·x 2=k 2+2k.∵x 1·x 2-x 12−x 22≥0,即3x 1·x 2-(x 1+x 2)2≥0,∴3(k 2+2k )-(2k +1)2≥0,整理得-(k -1)2≥0, ∴只有当k =1时,上式才能成立. 又由第1问知k ≤14,第 11 页故不存在实数k 使得x 1·x 2-x 12−x 22≥0成立.30. 【答案】∵关于x 的一元二次方程4x 2+4(m -1)x +m 2=0有两个非零实数根,∴Δ=[4(m -1)]2-4×4m 2=-32m +16≥0,解得m ≤12.又∵x 1,x 2是方程4x 2+4(m -1)x +m 2=0的两个实数根,∴x 1+x 2=-(m -1),x 1·x 2=14m 2.x 1,x 2同号存在两种可能: (1)假设x 1<0,x 2<0,那么有{x 1+x 2<0,x 1·x 2>0,即{-(m -1)<0,14m 2>0. 解得m >1.∵m ≤12时方程才有实数根,∴此种情况不成立. (2)假设x 1>0,x 2>0,那么有{x 1+x 2>0,x 1·x 2>0,即{-(m -1)>0,14m 2>0.解得m <1.∵m ≤12时方程才有实数根, ∴当m ≤12时,两根能同号.31. 【答案】设两方程的一样根为α,根据根的意义可得{α2-mα+5+m =0,α2-(7m +1)α+13m +7=0.两式相减,得(6m +1)α=2(6m +1),当6m +1=0时,m =-16,方程x 2-mx +5+m =0根的判别式Δ=(-m )2-4(m +5)=(16)2-4×(-16+5)=136−583<0,那么方程无实数解,不合题意.当6m +1≠0时,有实数解a =2(6m+1)6m+1=2, 代入方程x 2-mx +5+m =0,得22-m ×2+5+m =0,解得m =9.∴两方程为x 2-9x +14=0,x 2-64x +124=0.故这两个方程的四个实数根的乘积为:14×124=1 736.32. 【答案】设方程x 2+ax +b =0的两个根为α,β,其中α,β为整数且α≤β,那么方程x 2+cx +a =0的两根为α+1,β+1,由根与系数的关系可得α+β=-a ,(α+1)(β+1)=a ,两式相加,可得αβ+2α+2β+1=0,即(α+2)(β+2)=3.所以{α+2=1,β+2=3或{α+2=-3,β+2=-1.解得{α=-1,β=1或{α=-5,β=-3.又因为a =-(α+β),b =αβ,c =-[(α+1)+(β+1)],所以a =0,b =-1,c =-2或a =8,b =15,c =6.因此a +b +c =-3或29.33.(1) 【答案】∵Δ=(m +2)2-4×2m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=(m -2)2≥0,∴方程总有两个实数根. (2) 【答案】mx 2-(m +2)x +2=0,即(x -1)(mx -2)=0, ∴x 1=1,x 2=2m.∵x 1=1为整数,∴只需求x 2=2m 为整数即可,∴正整数m 的值为1或2.34.(1) 【答案】对于方程x 2-4x +k =0中a =1,b =-4,c =k ,因为方程有两个不相等的实数根,所以Δ=b 2-4ac =(-4)2-4×1×k >0,因此k <4.(2) 【答案】由第1问知k 取的最大整数为3,将k =3代入方程x 2-4x +k =0中得x 2-4x +3=0, 解得x 1=1,x 2=3.当一样的根为x =1时,m =0;当一样的根为x =3时,m =-83.35. 【答案】该解法的原理是x 2=|x|2,比照例题解法,原方程可以化为|x -1|2-5|x -1|-6=0.令y =|x -1|,原方程化成y 2-5y -6=0.解得y 1=6,y 2=-1.当|x -1|=6时,x 1=7,x 2=-5;当|x -1|=-1时,不合题意,舍去.∴原方程的解是x 1=7,x 2=-5.。

九年级数学（上）第二章《一元二次方程》同步测试2.6 应用一元二次方程一、选择题1.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315 B．560（1-x）2=315C．560（1-2x）2=315 D．560（1-x2）=3152.某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（）A．100（1+x）B．100（1+x）2C．100（1+x2）D．100（1+2x）3.现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，我市某家快递公司，今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为6.3万件和8万件．设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．6.3（1+2x）=8 B．6.3（1+x）=8C．6.3（1+x）2=8 D．6.3+6.3（1+x）+6.3（1+x）2=84.随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2020年约为20万人次，2020年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.85.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．12x（x-1）=45 B．12x（x+1）=45 C．x（x-1）=45 D．x（x+1）=456.随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2020年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2020年底该市汽车拥有量为10万辆，设2020年底至2020年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列方程得（）A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9C．10（1-x）2=16.9 D．10（1-2x）=16.97.某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（）A．10（1+x）2=36.4 B．10+10（1+x）2=36.4C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.48. 2020年某市仅教育费附加就投入7200万元，用于发展本市的教育，预计到2020年投入将达9800万元，若每年增长率都为x，根据题意列方程（）A．7200（1+x）=9800 B．7200（1+x）2=9800C．7200（1+x）+7200（1+x）2=9800 D．7200x2=98009.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2-3x+16=0 C．（x-1）（x-2）=18 D．x2+3x+16=010. 2020年某县GDP总量为1000亿元，计划到2020年全县GDP总量实现1210亿元的目标．如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年GDP总量的平均增长率为（）A．1.21% B．8% C．10% D．12.1%11.从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为80cm2，则原来正方形的面积为（）A．100cm2B．121cm2C．144cm2D．169cm212.广州亚运会的某纪念品原价188元，连续两次降价a%，后售价为118元，下列所列方程中正确的是（）A．188（1+a%）2=118 B．188（1-a%）2=118C．188（1-2a%）=118 D．188（1-a2%）=118二、填空题1.某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为 .2.用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为．3.某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为．4.受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2020年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为．5.如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m．6.某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是．三、解答题1.周口体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？2.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．3.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？4.在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB 围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．（1）求这地面矩形的长；（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？5.如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的17 80．（1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．参考答案一、选择题1.B；2.B；3.C；4.C；5.A；6.A；7.D；8.B；9.C；10.C；11.A；12.B二、填空题1. 10（1+x）2=13；2. x（20-x）=64；3.60（1+x）2=100；4. 100（1+x）2=169；5.2；6. 10%.三、解答题1. 解：设要邀请x支球队参加比赛，由题意，得1x（x-1）=28，2解得：x1=8，x2=-7（舍去）．答：应邀请8支球队参加比赛．2.解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，由题意得：200（1-x）2=98解得：x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%．答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．3.解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意得：400×（1-x%）2=324，解得：x=10，或x=190（舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%．（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100-m）件，第一次降价后的单件利润为：400×（1-10%）-300=60（元/件）；第二次降价后的单件利润为：324-300=24（元/件）．依题意得：60m+24×（100-m）=36m+2400≥3210，解得：m≥22.5．∴m≥23．答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．4.解：（1）设这地面矩形的长是xm，则依题意得：x（20-x）=96，解得x1=12，x2=8（舍去），答：这地面矩形的长是12米；（2）规格为0.80×0.80所需的费用：96÷（0.80×0.80）×55=8250（元）．规格为1.00×1.00所需的费用：96÷（1.00×1.00）×80=7680（元）．因为8250＞7680，所以采用规格为1.00×1.00所需的费用较少．5.解：（1）设条纹的宽度为x米．依题意得2x×5+2x×4-4x2=1780×5×4，解得：x1=174（不符合，舍去），x2=14．答：配色条纹宽度为14米．（2）条纹造价：1780×5×4×200=850（元）其余部分造价：（1-1780）×4×5×100=1575（元）∴总造价为：850+1575=2425（元）答：地毯的总造价是2425元．。