2017北师大版选修2-1高中数学3.3.1《双曲线及其标准方程》word导学案.doc

《双曲线及其标准方程》教学设计【教学目标】1.理解双曲线的概念；会用双曲线的定义解决实际问题；2.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法.【导入新课】实例导入当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、试举出现实生活中双曲线的例子．思考与探究P 56页上的问题：准备无弹性的细绳子两条，一条约10cm 长，另一条约6cm 每条一端结一个套和笔尖带小环的铅笔一枝，一端结个套，另一端是活动的，图钉两个．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？新授课阶段1.双曲线的定义把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={}122M MF MF a -=.2.双曲线标准方程的推导过程具体推导过程省略 .类比椭圆：设参量b 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义. 焦点在x 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>；焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程()222210,0y x a b b a-=>>. 注意：,,a b c 的关系为：222a b c += .例1 已知双曲线两个焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，双曲线上一点P 到1F ，2F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c .解：根据题意得到 所求双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线的标准方程为： 22221(0,0)x y a b a b-=>>，根据双曲线的定义得26,3a a =∴= ，5c =，4b =， 所以所求双曲线的标准方程为：221916x y -=. 变式训练：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：⑴ 与⊙C ：()2222x y ++=内切，且过点()2,0A ； ⑵ 与⊙1C ：()2211x y +-=和⊙2C ：()2214x y +-=都外切； ⑶ 与⊙1C ：()2239x y ++=外切，且与⊙2C ：()2231x y -+=内切 . 解：设动圆M 的半径为r .⑴∵⊙C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外，∴MC r =，MA r =，因此有MA MC -=，∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是(222217y x x -=≤； ⑵∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 均外切，∴11MC r =+，22MC r =+，因此有211MC MC -=，∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，∴M 的轨迹方程是22434134x y y ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭； ⑶∵M 与1C 外切，且M 与2C 内切，∴13MC r =+，21MC r =-，因此124MC MC -=，∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，∴M 的轨迹方程是()221245x y x -=≥. 例 2 已知A ，B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A ，B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A ，B 两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程.解：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上.如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设A 、B 、C 分别是西、东、北观察点，则()1020,0A -，()1020,0B ，()0,1020C . 设(),P x y 为巨响发生点，∵A 、C 同时听到巨响，∴OP 所在直线为y x =-……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，∴()43401360PB PA m -=⨯=．由双曲线定义知，680a =，1020c =，∴3405b = ∴P 点在双曲线方程为222216805340x y -=⨯()680x ≤-……②． 联立①、②求出P 点坐标为(6805,6805P -. 即巨响在正西北方向68010m 处 .课堂小结1.掌握双曲线的定义，理解该定义在解题中的运用；2.理解双曲线的标准方程的推导过程.作业 见同步练习部分 拓展提升 1．点P 是以F 1，F 2为焦点的双曲线221259x y -=上的一点，且|PF 1|=12，则|PF 2|=（ ） A ．2 B ．22 C ．2或22 D ．4或222．双曲线12222=-by a x 的一条准线被它的两条渐近线所截得线段长度恰好为它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率是 （ ）A.3B.2C.3D.23．已知F 1（－3，0），F 2（3，0），且|PF 1|－|PF 2|=6，则动点P 的轨迹是 （ ）A ．双曲线B ．双曲线的左支C ．一条射线D ．双曲线的右支4．设F 1、F 2是双曲线a x 42－ay 2=1(a ＞0)的两焦点，点P 在双曲线上,∠F 1PF 2=90°，若Rt△F 1PF 2的面积为1，那么a 的值是（ ）A. 25B. 1C. 2D. 55. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （ ）A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线6.已知方程11222=-+-k y k x 的图象是双曲线，那么k 的取值X 围是. 7.在△ABC 中，BC 固定，顶点A 移动．设|BC|=m ，当三个角Ａ，Ｂ，Ｃ有满足条件|sinC －sinB|=12sinA 时，求顶点的轨迹方程.参考答案 1．C 【解析】用双曲线的定义. 2．B 【解析】将距离用基本量表示.3．C 【解析】注意双曲线定义中到两定点距离之差的绝对值小于两定点间的距离.4．B 【解析】用双曲线的定义.5．D 【解析】排除法 轨迹是轴对称图形，排除A 、C ，轨迹与已知直线不能有交点，排除B.6．K ＜１或k ＞２【解析】x 2,y 2的分母异号.7.解：以BC 所在直线为轴，线段BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B(－m 2 ,0),C(m2 ,0)、设点坐标为(x,y). 由题设：|sinC －sinB|=12sinA 根据正弦定理，得：12c b a -= 即|AB －AC|=12 m 可知A 在以B 、C 为焦点的双曲线上.这里2a=12 m,a=m 4 又c=m 2 ,故b 2=2316m 故所求顶点的轨迹方程为：2222161613x y m m-=（y≠0).。

3.3.1 双曲线及其标准方程（一）一、教学目标：1.知识与技能：掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.2.过程与方法：教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.3.情感、态度与价值观：通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力. 二、教学重点： 双曲线的定义、标准方程及其简单应用；教学难点： 双曲线标准方程的推导三、教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力． 四、教学过程 （一）.情境设置(1)复习提问：(由一位学生口答，教师利用多媒体投影) 问题 1：椭圆的定义是什么？ 问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？(2)探究新知:(1)演示：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。

(2)设问：①|MF1|与|MF2|哪个大？②点M 到F1与F2两点的距离的差怎样表示？③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系？（请学生回答：应小于|F1F2| 且大于零，当常数等于|F1F2| 时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数大于|F1F2| 时，无轨迹） （二）、新知探究1.双曲线的定义：引导学生概括出双曲线的定义：定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F1F2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

（投影）概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ”2.双曲线的标准方程：现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）（1）建系：取过焦点F1、F2的直线为x 轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。

课 题 3.3.1 双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．4.双曲线介于椭圆与抛物线之间，承上启下；可以结合实例，观察分析，培养“应用数学意识”，进一步巩固数形结合思想．学习重点：掌握双曲线的标准方程，会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题。

学习难点：几何图形和标准方程的推导过程.学习方法：以讲学稿为依托的探究式教学方法。

学习过程一、课前预习指导：1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做， 叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程问题探究一 双曲线的定义1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M ，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a<|F1F2|?问题探究二 双曲线的标准方程1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？2 怎样才能建立双曲线的标准方程，两种形式的标准方程怎样进行区别？例1、 设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，求P 点的轨迹方程。

学后检测1：文科：1---1书P40页1题 理科2—1书P80页1题 例2、 相距2km 的两个哨所A,B 听到远处传来的炮弹爆炸声，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所迟4s 。

已知当时的声速为340m/s ，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程。

学后检测2 求焦点在坐标轴上，且经过P1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，325和P2⎝ ⎛⎭⎪⎫437，4两点的双曲线的标准方程．三、当堂检测：1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的 ( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为 ( ) A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2122＝1 3．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．双曲线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆4．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(0,3)，则k 的值是 ( )A ．1B ．－1 C.12 D ．－125．经过点(－1,2)和(2，－5)的双曲线的方程是 ( )A.y 23－7x 23＝1B.x 23－7y 23＝1或7x 23－y 23＝1 C.7x 23－y 23＝1 D.x 23－7y 23＝1 6．若ax 2＋by 2＝b (ab <0)，则这个曲线是 ( )A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上四、课堂小结 五、课后作业 六．板书设计 七．教（学）后反思。

§3双_曲_线3．1双曲线及其标准方程[对应学生用书P55]双曲线的定义2013年11月30日，中国海军第16批护航编队“盐城”导弹护卫舰，“洛阳”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“洛阳”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“洛阳”舰哨兵相距1 600 m的“盐城”舰，3秒后也监听到了马达声(声速340 m/s)，用A、B分别表示“洛阳”舰和“盐城”舰所在的位置，点M表示快艇的位置．问题1：快艇距我两护卫舰的距离之差是多少？提示：|MB|－|MA|＝340×3＝1 020(m)．问题2：我两护卫舰为辨明快艇意图，保持不动，持续监测，发现快艇到我两舰距离之差保持不变，快艇运动有何特点？提示：始终满足|MB|－|MA|＝1 020. 双曲线的定义定义平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线焦点定点F1，F2叫作双曲线的焦点焦距两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距集合语言P＝{M||||MF1|－|MF2|＝2a,0＜2a＜|F1F2|}双曲线的标准方程上述问题中，设|AB|＝1 600＝2c, ||MA|－|MB||＝1 020＝2a.问题1：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则点M 的轨迹方程是什么？提示：(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．问题2：若以AB所在直线为y轴，AB的垂直平分线为x轴，则点M的轨迹方程为什么？提示：(c2－a2)y2－a2x2＝a2(c2－a2)．双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图像标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)焦点坐标F1(－c,0)；F2(c,0)F1(0，－c)；F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b21．双曲线定义中|||PF1|－|PF2|＝2a(0<2a<|F1F2|)，不要漏掉绝对值符号．当2a＝|F1F2|时，表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立．c 2＝a 2＋b 2与椭圆中的a 2＝b 2＋c 2不同．[对应学生用书P55]双曲线的标准方程[例1] (1)求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M (1,1)，N (－2,5)两点，求双曲线的标准方程．[思路点拨] 用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．[精解详析] (1)法一：(待定系数法)由题意知双曲线的两焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程得 25a 2－16b2＝1，又a 2＋b 2＝9， 解得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.法二：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F 1(0，－3)，F 2(0,3)且A (4，－5)在双曲线上， 则2a ＝||AF 1|－|AF 2||＝|20－80|＝25， ∴a ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为M (1,1)，N (－2,5)在双曲线上，所以⎩⎨⎧1a 2－1b 2＝1，(－2)2a 2－52b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝78，b 2＝7.若焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．同理有⎩⎨⎧1a 2－1b 2＝1，52a 2－(－2)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－7，b 2＝－78(不合题意，舍去)． 所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.法二：设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． 将点M (1,1)，N (－2,5)代入上述方程，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，4m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝87，n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.[一点通] 求双曲线标准方程的常用方法(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程．(2)用待定系数法，具体步骤如下：1．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1解析：由双曲线定义知，2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2， ∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， 因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 答案：A2．已知双曲线经过点P (3,27)和点Q (－62，7)，求该双曲线的标准方程． 解：设所求双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，又双曲线过P ，Q 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线标准方程为y 225－x 275＝1.3．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求双曲线的方程．解：因为椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A 点的坐标为(15，4)或(－15，4)， 设双曲线的标准方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以所求的双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.曲线类型的判定[例2] 已知曲线C ：x t 2＋y t 2－1＝1(t ≠0，t ＝±1)．(1)求t 为何值时，曲线C 分别为椭圆、双曲线； (2)求证：不论t 为何值，曲线C 有相同的焦点．[思路点拨] 方程Ax 2＋By 2＝1表示的轨迹是由参数A ，B 的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对A ，B 进行讨论．[精解详析] (1)当|t |>1时，t 2>0，t 2－1>0，且t 2≠t 2－1，曲线C 为椭圆； 当|t |<1时，t 2>0，t 2－1<0，曲线C 为双曲线．(2)证明：当|t |>1时，曲线C 是椭圆，且t 2>t 2－1， 因此c 2＝a 2－b 2＝t 2－(t 2－1)＝1， ∴焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．当|t |<1时，双曲线C 的方程为x 2t 2－y 21－t 2＝1，∵c 2＝a 2＋b 2＝t 2＋1－t 2＝1， ∴焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．综上所述，无论t 为何值，曲线C 有相同的焦点． [一点通]方程Ax 2＋By 2＝1(A ，B ≠0)表示椭圆的充要条件为A >0，B >0，且A ≠B ；表示双曲线的充要条件为AB <0，若A <0，B >0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线；若B <0，A >0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线．即双曲线的焦点位置是由x 2，y 2的系数的正负决定的．4．已知两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则当a ＝3和a ＝5时，P 点的轨迹是( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线和一条射线C ．双曲线的一支和一条射线D ．双曲线的一支和一条直线解析：由题意，|F 1F 2|＝10，当a ＝3时，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6＜10，此式中没有加绝对值，此时点P 的轨迹是双曲线的一支；当a ＝5时，|PF 1|－|PF 2|＝10＝|F 1F 2|，点P 的轨迹为以F 2为端点沿x 轴向右的一条射线．答案：C5．若方程x 2m 2＋1－y 2m 2－3＝1表示双曲线，则实数m 满足( )A ．m ≠1且m ≠－3B ．m ＞1C ．m ＜－3或m ＞ 3D ．－3＜m ＜1解析：因为方程x 2m 2＋1－y 2m 2－3＝1表示双曲线，而m 2＋1＞0恒成立，所以m 2－3＞0，解得m ＜－3或m ＞3，故选C.答案：C双曲线的定义及应用[例3] 若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．[思路点拨] 欲求△F 1PF 2的面积，可考虑用12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2求解，只要求出∠F 1PF 2的正弦值即可．而△F 1PF 2的三边中，|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|＝10，故可考虑用余弦定理求解．[精解详析] 由双曲线方程x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝±2a ＝±6， 将此式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2| ＝36＋2×32＝100.如图所示，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0， ∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.[一点通]双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件||PF 1|－|PF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正弦、余弦定理，同时要注意整体代换思想的应用．6．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：不妨设点P 在双曲线的右支上， 所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝2c ＝22，又因为∠F 1PF 2＝60°，所以在△F 1PF 2中利用余弦定理可知： |F 1F 2|2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4，故选B.答案：B7．在△ABC 中，|BC |＝2且sin C －sin B ＝12sin A ，求点A 的轨迹方程．解：以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)．设A (x ，y )，由sin C －sin B ＝12sin A 及正弦定理可得|AB |－|AC |＝12|BC |＝1<2＝|BC |，∴点A 在以B ，C 为焦点的双曲线的右支上． 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵2a ＝1,2c ＝2，∴a ＝12，c ＝1，∴b 2＝c 2－a 2＝34，∴双曲线方程为4x 2－4y 23＝1. ∵|AB |－|AC |＝1>0，∴x >12，∴点A 的轨迹方程是4x 2－4y 23＝1⎝⎛⎭⎫x >12.1．用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支． 2．用待定系数法求双曲线的标准方程的关键是判断焦点所在的位置．[对应课时跟踪训练(十八)]1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )A ．1或21B ．14或36C ．2D ．21解析：设双曲线的左右焦点分别为F 1，F 2，不妨设|PF 1|＝11，根据双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝10，所以|PF 2|＝1或|PF 2|＝21，而1＜c －a ＝7－5＝2，故舍去|PF 2|＝1，所以点P 到另一个焦点的距离为21，故选D.答案：D2．已知双曲线过点P 1⎝⎛⎭⎫－2，352和P 2⎝⎛⎭⎫473，4，则双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.y 216－x 29＝1解析：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． 因为P 1⎝⎛⎭⎫－2，352，P 2⎝⎛⎭⎫473，4两点在双曲线上，所以⎩⎨⎧4m ＋454n ＝1，1129m ＋16n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116，n ＝19，于是所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.答案：B3．k <2是方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：∵k <2⇒方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线，而方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线⇒(4－k )(k －2)<0⇒k <2或k >4⇒/ k <2.答案：A4．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1―→·PF 2―→的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：设点P (x 0，y 0)，依题意得|F 1F 2|＝23＋1＝4，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝2，∴|y 0|＝1.又x 203－y 20＝1，∴x 20＝3(y 20＋1)＝6.∴PF 1―→·PF 2―→＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－4＝3.答案：B5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：46．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在直线y ＝ba x 上，则C 的方程为________．解析：点P (2,1)在直线y ＝b a x 上，则1＝2ba，a ＝2b ①.双曲线的焦距为10，则有a 2＋b 2＝52，将①代入上式可得b 2＝5，从而a 2＝20，故双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.答案：x 220－y 25＝17．已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1.求与双曲线C 1有相同的焦点，且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程．解：双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.所以双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1.8．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，|F 1F 2|＝10，P 为双曲线上一点，|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|⊥|PF 2|，求此双曲线的方程．解：∵|F 1F 2|＝10，∴2c ＝10，c ＝5. 又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 且|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， ∴4a 2＋16a 2＝100.∴a 2＝5. 则b 2＝c 2－a 2＝20.故所求的双曲线方程为x 25－y 220＝1.。

§3 双曲线
3.1双曲线及其标准方程
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解双曲线的定义和标准方程．
(2)会推导双曲线的标准方程．
2．过程与方法
在求双曲线标准方程的过程中，进一步掌握解析几何的基本思想．
3．情感、态度与价值观
了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
●重点难点
重点：求双曲线的标准方程．
难点：应用双曲线的定义及标准方程解决简单的应用问题．
有了椭圆的学习体验，在学习双曲线的定义及标准方程的推导时，可引导学生通过类比来探究，充分发挥学生的主体作用，并通过引导学生比较椭圆与双曲线定义与标准方程的区
别，深化对双曲线的认识，从而突出重点，化解难点．
(教师用书独具)
●教学建议
1．以类比思维作为教学的主线；
2．以自主探究作为学生的学习方式；
3．教法上以启发式、发现法为主，在教学中将启发、诱导贯穿于始终．
●教学流程
知识引入：知识回顾、观察动画、概括定义知识探索：理解定义、推导方程、对比方
程知识应用：例题讲解与变式训练知识小结：知识总结、布置作业课标解读 1.理解并掌握双曲线的定义，了解双曲线的焦。