2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版：课时达标检测(二十四) 平面向量的概念及线性运算

课时达标检测（五十二）排列、组合[小题对点练——点点落实]对点练(一)两个计数原理1．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一个有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A．9B．14C．15 D．21解析：选B当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7个．当x≠2时，由P⊆Q，∴x＝y，∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法，因此满足条件的点的个数是7＋7＝14.2．(2018·云南调研)设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是()A．7 B．10C．25D．52解析：选B因为集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，所以x有2种取法，y有5种取法，所以根据分步乘法计数原理得有2×5＝10(个)．3．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种解析：选B赠送1本画册，3本集邮册．需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有4种方法．赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有6种方法．由分类加法计数原理，不同的赠送方法有4＋6＝10(种)．4．(2018·绍兴模拟)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A．243 B．252C．261 D．279解析：选B0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900个三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648个，∴有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.5．有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为()A．24 B．14C．10 D．9解析：选B第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4×3＝12种方式；第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选法，由分类加法计数原理，共有12＋2＝14种选择方式．6.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为________．解析：先染顶点S，有5种染法，再染顶点A有4种染法，染顶点B有3种染法，顶点C的染法有两类：若C与A同色，则顶点D有3种染法；若C与A不同色，则C有2种染法，D有2种染法，所以共有5×4×3×3＋5×4×3×2×2＝420种染色方法．答案：420对点练(二)排列、组合问题1．(2018·福建漳州八校联考)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A．34种B．48种C．96种D．144种解析：选C特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C12种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有C12·A44·A22＝96种排法，故选C.2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为()A．10 B．20C．30 D．40解析：选B将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C35C22A22＝20(种)．3．“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的五个焦点．小赵想利用国庆节假期调查一下社会对这些热点的关注度．若小赵准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“住房”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为()A．13 B．24C．18 D．72解析：选D可分三步：第一步，先从“医疗”“教育”“养老”“就业”这4个热点中选出3个，有C34种不同的选法；第二步，在调查时，“住房”安排的顺序有A13种可能情况；第三步，其余3个热点调查的顺序有A33种排法．根据分步乘法计数原理可得，不同调查顺序的种数为C34A13A33＝72.4．(2017·舟山二模)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．18种B．24种C．36种D．72种解析：选C1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有C13A33种.1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有C23A33种，由分类加法计数原理知，甲、乙在同一路口的分配方案为C13A33＋C23A33＝36(种)．5．(2018·豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有()A．72种B．36种C．24种D．18种解析：选B A12(C23C13＋C13C23)＝36(种)．6．7位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有________种排法．解析：先排最中间位置有1种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C36种排法，再排剩下右边三个位置，共1种排法，所以排法种数为C36＝20.答案：207．把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．解析：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C34＝4种情况，再对应到4个人，有A44＝24种情况，则共有4×24＝96种情况．答案：968．若把英语单调“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误种数共有________种．解析：把g，o，o，d 4个字母排一行，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A24＝12种．其中正确的有一种，所以错误的共A24－1＝12－1＝11(种)．答案：11[大题综合练——迁移贯通]1．从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排．(1)共有多少种不同的排法？(2)若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？(用数字表示)解：(1)从4名男生中选出2人，有C24种选法，从6名女生中选出3人，有C36种选法，根据分步乘法计数原理知选出5人，再把这5个人进行排列共有C24C36A55＝14 400(种)．(2)在选出的5个人中，若2名男生不相邻，则第一步先排3名女生，第二步再让男生插空，根据分步乘法计数原理知共有C24C36A33A24＝8 640(种)．2．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．解：(1)先选后排，可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有C35C23＋C45C13种情况，后排有A55种情况，则符合条件的选法数为(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400.(2)除去该女生后，先选后排，则符合条件的选法数为C47·A44＝840.(3)先选后排，但先安排该男生，则符合条件的选法数为C47·C14·A44＝3 360.(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C36种情况，再安排该男生有C13种情况，选出的3人全排有A33种情况，则符合条件的选法数为C36·C13·A33＝360.3．有编号分别为1,2,3,4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？解：(1)∵1号球可放入任意一个盒子内，有4种放法．同理，2,3,4号小球也各有4种放法，∴共有44＝256种放法．(2)恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1,1,2. 先从4个小球中任选2个放在一起，有C 24种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有A 34种放法．∴由分步乘法计数原理知共有C 24A 34＝144种不同的放法．(3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法： ①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有C 14种分法，再放到2个盒子内，有A 24种放法，共有C 14A 24种放法；②把4个小球平均分成2组，每组2个，有C 242种分法，放入2个盒子内，有A 24种放法，共有12C 24A 24种放法． ∴由分类加法计数原理知共有C 14A 24＋12C 24A 24＝84种不同的放法．。

课时达标检测（四十七） 直线与圆锥曲线[小题常考题点——准解快解]1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：选A 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA ―→MA ―→·MB ―→＝0，则m ＝( )A. 2B.22C.12D ．0解析：选B 由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得A (2,22)，B ⎝⎛⎭⎫12，－2，又∵M (－1，m )且MA ―→·MB ―→＝0，∴2m 2－22m ＋1＝0，解得m ＝22. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2· ⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5＝425·5－t 2，故当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b ＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m的值为( )A.32B.52 C ．2D ．3解析：选A 由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1＜x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32. 5．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．解析：直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14，∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.答案：166．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线为y ＝ba x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1，消去y ，得x 2－b a x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝⎛⎭⎫b a 2－4＝0，b a ＝2，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5.答案： 57．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA ―→·MB ―→＝0，则k ＝________.解析：如图所示，设F 为焦点，易知F (2，0)，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA ―→·MB ―→＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，由|MP |＝|AP |，得∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2.答案：2[大题常考题点——稳解全解]1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，离心率为63.过点F 2的直线l (斜率不为0)与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当四边形MF 1NF 2为矩形时，求直线l 的方程． 解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝6，b ＝ 2.故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在．设其方程为y ＝k (x －2)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (－x 3，－y 3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，y ＝k (x －2)得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k 1＋3k 2，所以AB 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 21＋3k 2，－2k 1＋3k 2，因此直线OD 的方程为x ＋3ky ＝0(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3ky ＝0，x 26＋y 22＝1解得y 23＝21＋3k 2，x 3＝－3ky 3.因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以F 2M ―→·F 2N ―→＝0，即(x 3－2，y 3)·(－x 3－2，－y 3)＝0，所以4－x 23－y 23＝0.所以4－2(9k 2＋1)1＋3k2＝0.解得k ＝±33.故直线l 的方程为3x －3y －23＝0或3x ＋3y －23＝0.2．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0， 整理，得96(2k ＋1)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. 3．已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q .(1)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点，OM ―→·ON ―→＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－4p . k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋4(y 1＋y 2)(my 1＋4)(my 2＋4)＝－8mp ＋8mp(my 1＋4)(my 2＋4)＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)，当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0.因为OM ―→·ON ―→＝2，所以4＋y N y M ＝2，即－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝16p 2－4py 0(y 2＋y 1)＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0(y 2＋y 1)＋y 20＝16p 2－8p 2my 0－4py 20－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－4p (－4p ＋2pmy 0＋y 20)－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－2，故p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x .4.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程． 解：(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5.由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝ ⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－122[m 2－4(m 2－3)] ＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534得 4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，均满足(*)．12x＋33或y＝－12x－33.∴直线l的方程为y＝－。

课时达标检测（四十三） 椭 圆[小题对点练——点点落实]对点练(一) 椭圆的定义和标准方程1．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 25＋y 2＝1 B.x 24＋y 25＝1 C.x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1 D ．以上答案都不对解析：选C 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为y 25＋x 24＝1.2．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：选B 设MN 的中点为D ，椭圆C 的左、右焦点分别为F1，F 2，如图，连接DF 1，DF 2，因为F 1是MA 的中点，D 是MN 的中点，所以F 1D 是△MAN 的中位线，则|DF 1|＝12|AN |，同理|DF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)，因为D 在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF 1|＋|DF 2|＝4，所以|AN |＋|BN |＝8.3．已知三点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)，那么以F 1，F 2为焦点且经过点P 的椭圆的短轴长为( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选B 因为点P (5,2)在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝5，|PF 1|＝55，所以2a ＝65，即a ＝35，c ＝6，则b ＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.4.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1C.x 230＋y210＝1 D.x 245＋y225＝1 解析：选B 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连接PF ′，如图所示．因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠FPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在R t △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝8.由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.5．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A ，B ，则△ABM 的周长为________．解析：M (3，0)与F (－3，0)是椭圆的焦点，则直线AB 过椭圆的左焦点F (－3，0)，且|AB |＝|AF |＋|BF |，△ABM 的周长等于|AB |＋|AM |＋|BM |＝(|AF |＋|AM |)＋(|BF |＋|BM |)＝4a ＝8.答案：86．若方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．解析：因为方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，所以|a |－1>a ＋3>0，解得－3<a <－2.答案：(－3，－2)对点练(二) 椭圆的几何性质1.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，以O 为圆心，短半轴长为半径作圆O ，过椭圆长轴的一端点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，若四边形PAOB 为正方形，则椭圆的离心率为( )A.32B.22C.53D.33解析：选B 由题意知|OA |＝|AP |＝b ，|OP |＝a ，OA ⊥AP ，所以2b 2＝a 2，即b 2a 2＝12，故e ＝1－b 2a 2＝22，故选B. 2．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 29＋y 28＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，EF 1―→·EF 2―→的最大值、最小值分别为( )A ．9,7B ．8,7C ．9,8D ．17,8解析：选B 由题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设E (x ，y )，则EF 1―→＝(－1－x ，－y )，EF 2―→＝(1－x ，－y )，所以EF 1―→·EF 2―→＝x 2－1＋y 2＝x 2－1＋8－89x 2＝19x 2＋7(－3≤x ≤3)，所以当x ＝0时，EF 1―→·EF 2―→有最小值7；当x ＝±3时，EF 1―→·EF 2―→有最大值8.故选B.3．焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则该椭圆的离心率为( )A.14B.13C.12D.23解析：选C 短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积S ＝12×2c ×b ＝12×(2a ＋2c )×b 3，整理得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12.故选C.4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x－4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32B.⎝⎛⎦⎤0，34C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1解析：选A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋(－4)2≥45，所以1≤b ＜2，而e ＝c a ＝1－b 2a2＝ 1－b 24，所以0＜e ≤32.5．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为________．解析：由题意可知b 2＋c 2＝4，则△ABF 的面积为12×2bc ＝bc ≤b 2＋c 22＝2，当且仅当b＝c ＝2时取等号．答案：26．已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别是椭圆长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，若|k 1·k 2|＝14，则椭圆的离心率为________．解析：设M (x 0，y 0)，则N (x 0，－y 0)，|k 1·k 2|＝⎪⎪⎪⎪y 0x 0＋a ·y 0a －x 0＝y 20a 2－x 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2a 2－x 20＝b 2a 2＝14， 从而e ＝ 1－b 2a 2＝32. 答案：327．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，以原点为圆心，椭圆的短轴为直径作圆．若点P 是圆O 上的动点，则|PF 1|2＋|PF 2|2的值是________．解析：由椭圆方程可知a 2＝4，b 2＝1，∴c 2＝4－1＝3，∴c ＝3，a ＝2，b ＝1.∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)．圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝1.∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝[(x 0＋3)2＋y 20]＋[(x 0－3)2＋y 20]＝2(x 20＋y 20)＋6＝8.答案：88.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2―→，F 2B 1―→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )＜0，即b 2＜ac ，则a 2－c 2＜ac ，故⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＞0，即e 2＋e －1＞0，e ＞5－12或e ＜－5－12，又0＜e ＜1，所以5－12＜e ＜1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1[大题综合练——迁移贯通]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2―→＝2F 2B ―→， AF 1―→·AB ―→＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2―→＝2F 2B ―→，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.① 又由AF 1―→·AB ―→＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32， 得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.2．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 在第一象限上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，由k MN ＝kMF 1＝34，得b 2a －0c －(－c )＝34，即2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入，解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1，解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， 故a ＝7，b ＝27.3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程． 解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，设直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0， 则x 1＋x 2＝－2a 2ca 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]， 即43a ＝4ab 2a 2＋b 2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝1－b 2a2＝ 1－12＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)， 由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b2＝－2c3，y0＝x0＋c＝c 3.由|PA|＝|PB|，得k PN＝－1，即y0＋1x0＝－1，得c＝3，从而a＝32，b＝3.故椭圆E的方程为x218＋y29＝1.。

课时达标检测（十六）导数与函数的综合问题[一般难度题——全员必做]1．(2017·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝(1－2x－x2)e x.令f′(x)＝0，得x＝－1－2或x＝－1＋ 2.当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)＜0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)＞0；当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)e x.①当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)e x，则h′(x)＝－x e x＜0(x＞0)．因此h(x)在[0，＋∞)上单调递减，又h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.②当0＜a＜1时，设函数g(x)＝e x－x－1，则g′(x)＝e x－1＞0(x＞0)，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0，故e x≥x＋1.当0＜x＜1时，f(x)＞(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝5－4a－12，则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)＞ax0＋1.当a≤0时，取x0＝5－1 2，则x0∈(0,1)，f(x0)＞(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.综上，a的取值范围是[1，＋∞)．2．(2018·沈阳监测)已知函数f(x)＝a ln x(a>0)，e为自然对数的底数．(1)若过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的值；(2)当x >0时，求证f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x ； (3)若在区间(1，e)上e x a－e 1ax <0恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意得f ′(x )＝ax ，∴f ′(2)＝a2＝2，∴a ＝4.(2)证明：令g (x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x －1＋1x (x >0)， 则g ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2.令g ′(x )>0，即a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2>0，解得x >1， 令g ′(x )<0，解得0<x <1；∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (x )的最小值为g (1)＝0，∴f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x . (3)由题意可知e x a<e 1a x ，化简得x －1a <ln x ， 又x ∈(1，e)，∴a >x －1ln x.令h (x )＝x －1ln x，则h ′(x )＝ln x －1＋1x (ln x )2，由(2)知，当x ∈(1，e)时，ln x －1＋1x >0， ∴h ′(x )>0，即h (x )在(1，e)上单调递增， ∴h (x )<h (e)＝e －1.∴a ≥e －1. 故实数a 的取值范围为[e －1，＋∞)．3．(2018·海南校级联考)已知函数f (x )＝1x ＋k ln x ，k ≠0.(1)当k ＝2时，求函数f (x )的图象的切线斜率中的最大值； (2)若关于x 的方程f (x )＝k 有解，求实数k 的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝1x ＋k ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x2＋kx (x >0)．当k ＝2时，f ′(x )＝－1x 2＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －12＋1≤1，当且仅当x ＝1时，等号成立． 所以函数f (x )的图象的切线斜率中的最大值为1.(2)因为关于x 的方程f (x )＝k 有解，令g (x )＝f (x )－k ＝1x ＋k ln x －k ，则问题等价于函数g (x )存在零点．g ′(x )＝－1x 2＋k x ＝kx －1x 2.当k <0时，g ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减．因为g (1)＝1－k >0，g (e1－1k )＝1e1－1k ＋k ⎝⎛⎭⎫1－1k －k ＝1e1－1k －1<1e －1<0，所以函数g (x )存在零点．当k >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1k .g ′(x )，g (x )随x 的变化情况如下表：所以g ⎝⎛⎭⎫1k ＝k －k ＋k ln 1k ＝－k ln k 为函数g (x )的最小值，当g ⎝⎛⎭1k >0，即0<k <1时，函数g (x )没有零点，当g ⎝⎛⎭⎫1k ≤0，即k ≥1时，注意到g (e)＝1e ＋k －k >0，所以函数g (x )存在零点．综上，当k <0或k ≥1时，关于x 的方程f (x )＝k 有解．[中档难度题——学优生做]1．(2018·广东珠海期末)已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a >0，设g (x )＝ln x ＋m x .(1)求a 的值； (2)对任意x 1>x 2>0，g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2<1恒成立，求实数m 的取值范围；(3)讨论方程g (x )＝f (x )＋ln(x ＋1)在[1，＋∞)上根的个数． 解：(1)f (x )的定义域为(－a ，＋∞)，f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a. 由f ′(x )＝0，解得x ＝1－a >－a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，f 故由题意f (1－a )＝1－a ＝0，所以a ＝1. (2)由g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2<1知g (x 1)－x 1<g (x 2)－x 2对任意x 1>x 2>0恒成立，即h (x )＝g (x )－x ＝ln x －x ＋mx 在(0，＋∞)上为减函数． h ′(x )＝1x －1－m x 2≤0在(0，＋∞)上恒成立，所以m ≥x －x 2在(0，＋∞)上恒成立， 而(x －x 2)max ＝14，则m ≥14，即实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫14，＋∞.(3)由题意知方程可化为ln x ＋mx ＝x ，即m ＝x 2－x ln x (x ≥1)．设m (x )＝x 2－x ln x ，则m ′(x )＝2x －ln x －1(x ≥1)．设h (x )＝2x －ln x －1(x ≥1)，则h ′(x )＝2－1x >0，因此h (x )在[1，＋∞)上单调递增，h (x )min ＝h (1)＝1.所以m (x )＝x 2－x ln x 在[1，＋∞)上单调递增．因此当x ≥1时，m (x )≥m (1)＝1.所以当m ≥1时方程有一个根，当m <1时方程无根．2．(2017·广西陆川二模)已知函数f (x )＝ln x －mx ＋m . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围； (3)在(2)的条件下，对任意的0<a <b ，求证：f (b )－f (a )b －a <1a (a ＋1).解：(1)f ′(x )＝1x －m ＝1－mx x，x ∈(0，＋∞)，当m ≤0时，f ′(x )>0恒成立，则函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无单调递减区间； 当m >0时，由f ′(x )＝1－mx x>0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，1m ， 由f ′(x )＝1－mx x<0，得x ∈⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞， 此时f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1m ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞. 综上，当m ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间； 当m >0时，函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1m ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1m ，＋∞. (2)由(1)知：当m ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (1)＝0，显然不符合题意； 当m >0时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1m ＝ln 1m －1＋m ＝m －ln m －1， 只需m －ln m －1≤0即可．令g (x )＝x －ln x －1，则g ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，x ∈(0，＋∞)， ∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴g (x )min ＝g (1)＝0.∴g (x )≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，也就是m －ln m －1≥0对m ∈(0，＋∞)恒成立， 由m －ln m －1＝0，解得m ＝1.∴若f (x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，则m ＝1.(3)证明：f (b )－f (a )b －a ＝ln b －ln a ＋a －b b －a ＝ln b －ln ab －a－1＝lnb a b a －1·1a －1. 由(2)得f (x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，即ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时取等号． 又由0<a <b 得b a >1，∴0<ln b a <ba －1，即lnb aba －1<1.则lnb a b a －1·1a －1<1a －1＝1－a a ＝1－a 2a (1＋a )<1a (1＋a ). [较高难度题——学霸做]1．(2017·天津高考)设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数f (x )＝2x 4＋3x 3－3x 2－6x ＋a 在区间(1,2)内有一个零点x 0，g (x )为f (x )的导函数．(1)求g (x )的单调区间；(2)设m ∈[1，x 0)∪(x 0,2]，函数h (x )＝g (x )(m －x 0)－f (m )，求证：h (m )h (x 0)<0； (3)求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且pq ∈[1，x 0)∪(x 0,2]，满足⎪⎪⎪⎪p q －x 0≥1Aq4. 解：(1)由f (x )＝2x 4＋3x 3－3x 2－6x ＋a ，可得g (x )＝f ′(x )＝8x 3＋9x 2－6x －6，进而可得g ′(x )＝24x 2＋18x －6.令g ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝14.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：所以g (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，⎝⎛⎭⎫14，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－1，14. (2)证明：由h (x )＝g (x )(m －x 0)－f (m )， 得h (m )＝g (m )(m －x 0)－f (m )，h (x 0)＝g (x 0)(m －x 0)－f (m )． 令函数H 1(x )＝g (x )(x －x 0)－f (x )， 则H 1′(x )＝g ′(x )(x －x 0)． 由(1)知，当x ∈[1,2]时，g ′(x )>0，故当x ∈[1，x 0)时，H 1′(x )<0，H 1(x )单调递减； 当x ∈(x 0,2]时，H 1′(x )>0，H 1(x )单调递增．因此，当x ∈[1，x 0)∪(x 0,2]时，H 1(x )>H 1(x 0)＝－f (x 0)＝0，可得H 1(m )>0，即h (m )>0. 令函数H 2(x )＝g (x 0)(x －x 0)－f (x )， 则H 2′(x )＝g (x 0)－g (x )． 由(1)知g (x )在[1,2]上单调递增，故当x ∈[1，x 0)时，H 2′(x )>0，H 2(x )单调递增； 当x ∈(x 0,2]时，H 2′(x )<0，H 2(x )单调递减．因此，当x ∈[1，x 0)∪(x 0,2]时，H 2(x )<H 2(x 0)＝0，可得H 2(m )<0，即h (x 0)<0.所以h (m )h (x 0)<0.(3)证明：对于任意的正整数p ，q ，且pq ∈[1，x 0)∪(x 0,2]， 令m ＝pq ，函数h (x )＝g (x )(m －x 0)－f (m )．由(2)知，当m ∈[1，x 0)时，h (x )在区间(m ，x 0)内有零点；当m ∈(x 0,2]时，h (x )在区间(x 0，m )内有零点．所以h (x )在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为x 1， 则h (x 1)＝g (x 1)⎝⎛⎭⎫p q －x 0－f ⎝⎛⎭⎫p q ＝0. 由(1)知g (x )在[1,2]上单调递增， 故0<g (1)<g (x 1)<g (2)， 于是⎪⎪⎪⎪p q －x 0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫p q g (x 1)≥⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫p q g (2) ＝|2p 4＋3p 3q －3p 2q 2－6pq 3＋aq 4|g (2)q 4.因为当x ∈[1,2]时，g (x )>0，故f (x )在[1,2]上单调递增，所以f (x )在区间[1,2]上除x 0外没有其他的零点，而pq ≠x 0，故f ⎝⎛⎭⎫p q ≠0.又因为p ，q ，a 均为整数，所以|2p 4＋3p 3q －3p 2q 2－6pq 3＋aq 4|是正整数，从而|2p 4＋3p 3q －3p 2q 2－6pq 3＋aq 4|≥1.所以⎪⎪⎪⎪p q －x 0≥1g (2)q 4.所以只要取A ＝g (2)，就有⎪⎪⎪⎪p q －x 0≥1Aq4. 2．(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2>3a ；(3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32＋b －a 23. 当x ＝－a 3时，f ′(x )有极小值b －a 23.因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点， 所以f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝－a 327＋a 39－ab3＋1＝0， 又a >0，故b ＝2a 29＋3a .因为f (x )有极值， 故f ′(x )＝0有实根，从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )>0(x ≠－1)， 故f (x )在R 上是增函数，f (x )没有极值； 当a >3时，f ′(x )＝0有两个相异的实根 x 1＝－a －a 2－3b 3，x 2＝－a ＋a 2－3b 3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的极值点是x 1，x 2.从而a >3. 因此b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞)．(2)证明：由(1)知，b a ＝2a a 9＋3a a .设g (t )＝2t 9＋3t ，则g ′(t )＝29－3t 2＝2t 2－279t 2.当t ∈⎝⎛⎭⎫362，＋∞时，g ′(t )>0， 从而g (t )在⎝⎛⎭⎫362，＋∞上单调递增．因为a >3，所以a a >33， 故g (a a )>g (33)＝3，即ba> 3.因此b 2>3a . (3)由(1)知，f (x )的极值点是x 1，x 2，且x 1＋x 2＝－23a ，x 21＋x 22＝4a 2－6b 9.从而f (x 1)＋f (x 2)＝x 31＋ax 21＋bx 1＋1＋x 32＋ax 22＋bx 2＋1＝x 13(3x 21＋2ax 1＋b )＋x 23(3x 22＋2ax 2＋b )＋13a (x 21＋x 22)＋23b (x 1＋x 2)＋2 ＝4a 3－6ab 27－4ab 9＋2＝0.记f (x )，f ′(x )所有极值之和为h (a )， 因为f ′(x )的极值为b －a 23＝－19a 2＋3a ，所以h (a )＝－19a 2＋3a ，a >3.因为h ′(a )＝－29a －3a 2<0，于是h (a )在(3，＋∞)上单调递减． 因为h (6)＝－72，于是h (a )≥h (6)，故a ≤6.因此a 的取值范围为(3,6]．。

课时达标检测（十一） 函数与方程[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的零点问题1．(2018·河北武邑中学基础训练)方程ln(x ＋1)－2x ＝0(x >0)的根存在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选B 令f (x )＝ln(x ＋1)－2x ，则f (1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2<0，f (2)＝ln 3－1>0，所以函数f (x )的零点所在大致区间为(1,2)．故选B.2．(2018·四川双流中学必得分训练)函数f (x )＝2x ＋2x 的零点所处的区间是( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[1,2]解析：选B f (－2)＝2－2＋2×(－2)<0，f (－1)＝2－1＋2×(－1)<0，f (0)＝20＋0>0，由零点存在性定理知，函数f (x )的零点在区间[－1,0]上．故选B.3．(2018·云南大理州统测)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－x (x ＋2)，x ≤0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 当x >0时，令f (x )＝0可得x ＝1；当x ≤0时，令f (x )＝0可得x ＝－2或x ＝0.因此函数的零点个数为3.故选D.4．关于x 的方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图所示，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点，即方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是2.5．函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选B 令2sin πx －x ＋1＝0，得2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题就转化为函数h (x )与g (x )的图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h (1)＝g (1)，h ⎝⎛⎭⎫52>g ⎝⎛⎭⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，所以两个函数图象的交点共5个，所以f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.对点练(二) 函数零点的应用问题1．已知函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 52)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)解析：选C ∵单调函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，∴f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1，故选C.2．(2018·甘肃天水一中月考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1}解析：选C 由题意，显然x ＝1是函数f (x )的一个零点，取a ＝－1，则f (x )＝ln x ＋x 2－x ，f ′(x )＝2x 2－x ＋1x＝2⎝⎛⎭⎫x －142＋78x >0恒成立．则f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除A 、D ；取a ＝1，则f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1－2x 2＋x x ＝(1＋2x )(1－x )x ，f ′(x )＝0得x ＝1，则f (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f (x )max ＝f (1)＝0，即f (x )仅有一个零点，不符合题意，排除B ，故选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 017x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1,2 017)B ．(1,2 018)C ．[2,2 018]D ．(2,2 018)解析：选D 作出函数f (x )的图象与直线y ＝m ，如图所示，不妨设a <b <c ，当0≤x ≤1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 的交点分别为A ，B ，由正弦曲线的对称性，可得A (a ，m )与B (b ，m )关于直线x ＝12对称，因此a＋b ＝1，当直线y ＝m ＝1时，由log 2 017x ＝1，解得x ＝2 017.若满足f (a )＝f (b )＝f (c )，且a ，b ，c 互不相等，由a <b <c 可得1<c <2 017，因此可得2<a ＋b ＋c <2 018，即a ＋b ＋c ∈(2，2 018)．故选D.4．(2018·孝感模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，14B.⎝⎛⎭⎫－14，12 C.⎝⎛⎭⎫14，12D.⎣⎡⎦⎤－14，12 解析：选C依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)<0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]<0，解得14<m <12.5．(2018·广东七校联合体联考)若函数f (x )＝2x ＋a 2x －2a 的零点在区间(0,1)上，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．(1，＋∞)解析：选C 易知函数f (x )的图象连续，且在(0,1)上单调递增．∴f (0)f (1)＝(1－2a )(2＋a 2－2a )<0，解得a >12.6．已知x 0是f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0解析：选C 在同一坐标系下作出函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝－1x 的图象(图略)，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，⎝⎛⎭⎫12x >－1x ；当x ∈(x 0,0)时，⎝⎛⎭⎫12x <－1x，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0. 7．(2018·龙岩质检)已知f (x )是奇函数，且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是________．解析：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案：－788．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)[大题综合练——迁移贯通]1．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a.①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，∴无解．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的取值范围是[1，＋∞)．2．(2018·德州模拟)已知函数f (x )＝－x 2－2x .g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3，∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54.3．(2018·信阳模拟)已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1)． (1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，且关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．解：(1)证明：∵函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2＋1)＝log 22x 1＋12x 2＋1，∵x 1<x 2，∴0<2x 1＋12x 2＋1<1，∴log 22x 1＋12x 2＋1<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． (2)∵g (x )＝m ＋f (x )， ∴m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 22x －12x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1，∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4，∴log 213≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1≤log 235，故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤log 213，log 235.。

课时达标检测（一） 集 合[小题对点练——点点落实]对点练(一) 集合的概念与集合间的基本关系 1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( )A ．A ＝BB ．A ∩B ＝∅C ．A BD ．B A 解析：选D ∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，∴B A .⊆C |C {＝B ，}0≤3－x 2＋2x |N ∈x {＝A 已知集合)拟莱州一中模·(2018．2A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 B个子集，因此集合4＝22有，共}{0,1＝}1≤x ≤3－|N ∈x {＝}0≤1)－x 3)(＋x |(N ∈x {＝A C 选解析：中元素的个数为4，选C.3．(2018·广雅中学测)(是图n Ven 的关系}0＝x ＋2x |x {＝N 和}1,0,1－{＝M ，则正确表示集合R ＝U 若全集)试B.选，故M N ，所以}1,0,1－{＝M ，而}1,0－{＝}0＝x ＋2x |x {＝N 由题意知， B 选解析： ．________为的值m ，则A ∈3若，}m ＋2m 2,2＋m {＝A ．已知集合4 ，3＝m ＋2m 2且3＝2＋m 时，1＝m ，当32＝－m 或1＝m ，则3＝m ＋2m 2或3＝2＋m 由题意得解析：.32＝－m ，故3＝m ＋2m 2则，12＝2＋m 时，32＝－m 根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当 32－答案： ．________是的取值范围 b －a ，则实数B ⊆A ，若]b ，a [＝B ，}16≤x 2≤|4x {＝A ．已知集合5，所4≥b ，2≤a ，所以B ⊆A ，因为[2,4]＝}4≤x ≤|2x {＝}42≤x 2≤2|2x {＝}16≤x 2≤|4x {＝A 集合解析：以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]对点练(二) 集合的基本运算)(＝N ∪M ，则}0≤x |lg x {＝N ，}x ＝2x |x {＝M ．设集合1 A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(－∞，1] ．][0,1＝N ∪M ，}1≤x ＜0|x {＝}0≤x |lg x {＝N ，}{0,1＝}x ＝2x |x {＝M A 选解析： )(＝B ∩A ，则}A ∈x ，2x ＝y |y {＝B ，}1,0,1－{＝A ．若集合2 A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{0，－1} ．}{0,1＝B ∩A ，所以}{0,1＝}A ∈x ，2x ＝y |y {＝B 因为 C 选解析： )(＝B ∪)A U ∁(则，}3≤y ≤|1y {＝B ，}2≤x ≤|0x {＝A ，集合R ＝U 设全集)考中原名校联·(2018．3 A ．(2,3]B ．(－∞，1]∪(2，＋∞)C ．[1,2)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)．)∞，＋1[∪0)，∞－(＝B ∪)A U ∁(以，所}3≤y ≤|1y {＝B ，}<0x 或2>x |x {＝A U ∁因为 D 选解析： 4．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉)(＝Q －P ，那么}2|<1－x ||x {＝Q ，}<1x 2|log x {＝P ，如果}Q A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3} ．由}<3x |1<x {＝Q ，所以3<x 1<得，12|<－x |由；}<2x |0<x {＝P ，所以2<x 0<得，1<x 2log 由 B 选解析：题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．∪P ．若}0≤b ＋ax ＋2x |x {＝Q ，}2>0－y －2y |y {＝P 已知集合)考河北正定中学月·(2018．5Q ＝R ，且P ∩Q ＝(2,3]，则a ＋b ＝( )A ．－5B ．5C ．－1D ．1 ，所以1,3]－[＝Q ，得](2,3＝Q ∩P 及R ＝Q ∪P ．由}1－<y 或2>y |y {＝}2>0－y －2y |y {＝P A 选解析：－a ＝－1＋3，b ＝－1×3，即a ＝－2，b ＝－3，a ＋b ＝－5，故选A.6．(2018·唐山统一考) (是，则图中阴影部分表示的集合}<1x |2x {＝B ，}6<0－x 5－2x |x {＝A ，集合R ＝U 若全集)试A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1} ＝B ，所以0<x ，解得1<x 2由．}<6x 1<－|x {＝A ，所以6<x 1<－，解得06<－x 5－2x 由 C 选解析： C.选，故}<6x ≤|0x {＝A ∩)B U ∁(以，所}0≥x |x {＝B U ∁，A ∩)B U ∁(为．又题图中阴影部分表示的集合}<0x |x { )(是的取值范围m ，则实数}>4x |x {＝B ∩A ．若}m ≥x |x {＝B ，}12>0－x －2x |x {＝A ．已知集合7 A ．(－4,3)B ．[－3,4]C ．(－3,4)D ．(－∞，4] 解析：选B 集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B.)(为}{1,4,7合，则集}0＝21＋x 8－2x |x {＝N ，}{2,3,5＝M ，集合}<8x |0<Z ∈x {＝U ．已知全集8 )N U ∁(∩M ．A)N ∩M (U ∁．B )N ∪M (U ∁．C N ∩)M U ∁(．D ＝N ∩M ，}{3,5＝}{1,3,4,5,7∩{2,3,5}＝)N U ∁(∩M ，}{2,6＝N ，}{1,2,3,4,5,6,7＝U 由已知得 C 选解析：选，}{6＝}{2,6∩{1,4,6,7}＝N ∩)M U ∁(，}{1,4,7＝)N ∪M (U ∁，}{2,3,5,6＝N ∪M ，},3,4,5,6,7{1＝)N ∩M (U ∁，}{2 C.[大题综合练——迁移贯通]．}R ∈m ，R ∈x ，0≤4－2m ＋mx 2－2x |x {＝B ，}0≤3－x 2－2x |x {＝A ．已知集合1 (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；的取值范围．m ，求实数B R ∁⊆A 若)(2 解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[0,3]，2.＝m 所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －2＝0，m ＋2≥3.所以，}2＋m >x 或2－m <x |x {＝B R ∁(2) ，1－<2＋m 或32>－m ，所以B R ∁⊆A 因为 即m >5或m <－3. 因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 2．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． ，2－≤m 解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞2m ，2m≤1，1－m≥3，知B ⊆A 由)(2 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得 ，符合题意；∅＝B 时，13≥m ，即m －1≥m 2若① ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，2m≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜13，1－m≤1时，需13＜m ，即m －1＜m 2若② .13＜m ≤0即，∅或13＜m ≤0得 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)． ．}>1x 2|log x {＝B ，}27≤x 3≤|3x {＝A 已知集合)考江西玉山一中月·(2018．3；A ∪)B R ∁(，B ∩A 分别求)(1 (2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． ，33≤x 3≤13即，72≤x 3≤3∵(1)解： ∴1≤x ≤3，∴A ＝{x |1≤x ≤3}． ，22>log x 2log 即，1>x 2log ∵ ∴x >2，∴B ＝{x |x >2}． ∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}．B R∁∴，x|x{＝}2≤A)B R∁(∴＝∪≤．}3x|x{(2)由(1)知A＝{x|1≤x≤3}，C⊆A.当C为空集时，满足C⊆A，a≤1；当C为非空集合时，可得1<a≤3.综上所述，a≤3.实数a的取值范围是{a|a≤3}.。

课时跟踪检测（二十四）1．在△ABC中，AB＝错误!,AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为错误!,则C＝（)A．30°B．45°C．60°D．75°答案：C解析：解法一:∵S△ABC＝错误!|AB｜｜AC|sin A＝错误!，即错误!×错误!×1×sin A＝错误!，∴sin A＝1，∴A＝90°，∴C＝60°，故选C.解法二：由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!,∴C＝60°或C＝120°。

当C＝120°时,A＝30°，S△ABC＝错误!≠错误!(舍去)．而当C＝60°时，A＝90°,S△ABC＝错误!,符合条件，故C＝60°.故选C.2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°答案：D解析：由条件及题图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°,所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.3．在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a，b,c，若b cos A＋a cos B＝c2,a＝b＝2，则△ABC的周长为( )A．5 B．6C．7 D．7。

5答案:A解析：由正弦定理得，sin B cos A＋sin A cos B＝c sin C，即sin（A＋B）＝sin C＝c sin C，又sin C>0，∴c＝1,故周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5，故选A。

4．已知△ABC中,内角A,B，C的对边分别为a，b，c,a2＝b2＋c2－bc,bc＝4，则△ABC的面积为( )A.错误!B．1C.错误!D．2答案：C解析：∵a2＝b2＋c2－bc，∴cos A＝错误!，∴A＝错误!，又bc＝4,∴△ABC的面积为错误!bc sin A＝错误!，故选C。

2019年高考数学一轮复习 课时跟踪检测24 文 新人教A 版1．[2017·黑龙江哈尔滨模拟]在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 答案：C解析：解法一：∵S △ABC ＝12|AB ||AC |sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32，∴sin A ＝1，∴A ＝90°，∴C ＝60°，故选C. 解法二：由正弦定理，得sin B AC ＝sin C AB ，即12＝sin C3，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝34≠32(舍去)．而当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝32，符合条件，故C ＝60°.故选C. 2．在△ABC 中，A ＝60°，BC ＝10，D 是AB 边上不同于A ，B 的任意一点，CD ＝2，△BCD 的面积为1，则AC 的长为( )A ．2 3 B. 3 C.33 D.233答案：D解析：由S △BCD ＝1，可得12×CD ×BC ×sin∠DCB ＝1，即sin ∠DCB ＝55，所以cos ∠DCB＝255，或cos ∠DCB ＝－255，又∠DCB <∠ACB ＝180°－A －B ＝120°－B <120°，所以cos ∠DCB >－12，所以cos ∠DCB ＝－255舍去．在△BCD 中，cos ∠DCB ＝CD 2＋BC 2－BD 22CD ·BC ＝255，解得BD ＝2，所以cos ∠DBC ＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝31010，所以sin ∠DBC ＝1010.在△ABC 中，由正弦定理可得AC ＝BC sin B sin A ＝233，故选D. 3．[2017·安徽合肥第一次质检]△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝78，c －a ＝2，b ＝3，则a ＝( )A ．2 B.52 C ．3 D.72答案：A解析：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒a 2＝9＋(a ＋2)2－2×3×(a ＋2)×78⇒a＝2，故选A.4．如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C (△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )，然后给出了三种测量方案：①测量A ，C ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a .则一定能确定A ，B 间的距离的所有方案的序号为( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 答案：D解析：由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB .5．[2017·东北三省哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考]已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A.12 B ．1 C.3 D ．2 答案：C解析：∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A＝3，故选C.6．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高是( )A.4003 米 B.40033米C ．200 3 米D ．200 米答案：A解析：如图所示，AB 为山高，CD 为塔高，则由题意知，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，AB ＝200(米)．则AC ＝ABcos 30°＝40033(米)． 在△ACD 中，∠CAD ＝60°－30°＝30°， ∠ACD ＝30°， ∴∠ADC ＝120°.由正弦定理，得CD sin 30°＝ACsin 120°，∴CD ＝AC sin 30°sin 120°＝4003(米)．7．[2017·海南海口调研]如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223 B.24 C.64 D.63答案：C解析：∵DE ＝22， ∴BD ＝AD ＝DEsin A ＝22sin A，∵∠BDC ＝2A ，∴在△BCD 中，由正弦定理，可得BC sin ∠BDC ＝BDsin C.∴4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A， ∴cos A ＝64. 8．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案：B 解析：∵cos 2B 2＝1＋cos B2，cos 2B 2＝a ＋c 2c， ∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形．9．[2017·北京海淀模拟]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝4，sinC ＝2sin A ，sin B ＝154，则S △ABC ＝________. 答案：15解析：∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理，可得c ＝2a ，∵c ＝4，∴a ＝2，∴S △ABC ＝12ac sinB ＝12×2×4×154＝15. 10．已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2sin B ＋(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝0，tan A ＝2sin B ＋12cos B ＋1，则角A 等于________．答案：7π36解析：在△ABC 中，a 2sin B ＋(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝0，∴a 2sin B ＋2ab cos C sin A ＝0，a sin B ＋2b cos C sin A ＝0，sin A sin B ＋2sin B cos C sin A ＝0， 又sin A ≠0，sin B ≠0， ∴cos C ＝－12，且0<C <π，∴C ＝2π3，则A ＝π3－B ，又tan A ＝2sin B ＋12cos B ＋1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ·2cos B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ·2sin B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ， ∴2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－B cos B －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B sin B＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ， 即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π3＋B ，∴π3－2B ＝B －π12或π3－2B －π12＋B ＝π，解得B ＝5π36或B ＝－3π4(舍去)，故A ＝π3－5π36＝7π36.11.如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．答案： 3解析：sin ∠BAC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠BAD ＝cos ∠BAD ， ∴cos ∠BAD ＝223.BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD 2＝3，BD ＝ 3.12．如图，为测得河岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点C 到点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．答案：10 6解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°， 由正弦定理，得BC sin 45°＝CDsin 30°，所以BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC， AB ＝BC tan 60°＝106(米)．[冲刺名校能力提升练]1．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 答案：A解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以cos B ＝32，所以B ＝30°. 2．[2017·湖南衡阳一模]如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且B 与D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 km 答案：A解析：在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即AC 2＝25＋64－2×5×8cos B ＝89－80cos B ．在△ADC 中，由余弦定理，得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos D ，即AC 2＝25＋9－2×5×3cos D ＝34－30cos D ．因为B 与D 互补，所以cos B ＝－cos D ，所以－34－AC 230＝89－AC 280，解得AC ＝7(km)，故选A.3．[2017·河北石家庄模拟]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．3 答案：C解析：由c sin A ＝3a cos C ，得 sin C sin A ＝3sin A cos C ，又在△ABC 中，sin A ≠0，所以sin C ＝3cos C ，tan C ＝3，C ∈(0，π)，所以C ＝π3. 所以sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以当A ＝π3时，sin A ＋sin B 取得最大值3，故选C.4．[2017·河南洛阳统考]如图，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝33，AB ＝2，点D 在线段AC上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则cos C ＝________.答案：79解析：由条件，得cos ∠ABC ＝13，sin ∠ABC ＝223.在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ， 则由余弦定理得9b 2＝a 2＋4－43a .①因为∠ADB 与∠CDB 互补， 所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ，所以4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b ，所以3b 2－a 2＝－6，② 联合①②解得a ＝3，b ＝1， 所以AC ＝3，BC ＝3.在△ABC 中，cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC＝32＋32－222×3×3＝79. 5．[2016·北京卷]在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求角B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 解：(1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac ，得a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A,0＜A ＜3π4.所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4.因为0＜A ＜3π4，所以π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π2即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值为1.6．如图所示，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为π6.设S 的眼睛到地面的距离为3米．(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．解：(1)如图，作SC 垂直OB 于C ，则∠CSB ＝π6，∠ASB ＝π3. 又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得BA ＝3， 即摄影爱好者到立柱的水平距离为3米．在Rt △SCO 中，由SC ＝3，∠CSO ＝π6， 可求得OC ＝ 3.因为BC ＝SA ＝3，故OB ＝23，即立柱高为23米．(2)连接SM ，SN ，设SN ＝a ，SM ＝b .由(1)知，SO ＝23，在△SOM 和△SON 中，cos ∠SOM ＝－cos ∠SON ， 即32＋1－b 22×23×1＝－32＋1－a 22×23×1， 可得a 2＋b 2＝26.在△MSN 中，cos ∠MSN ＝a 2＋b 2－222ab ＝11ab ≥22a 2＋b 2＝1113>12， 当且仅当a ＝b 时等号成立， 又∠MSN ∈(0，π)，则0<∠MSN <π3. 故摄影爱好者S 可以将彩杆全部摄入画面．。

课时达标检测（二） 命题及其关系、充分条件与必要条件[小题对点练——点点落实]对点练(一) 命题及其关系1．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析：选C 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.2．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题． 3．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真解析：选D 对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.4．(2018·德州一中模拟)下列命题中为真命题的序号是________．①若x ≠0，则x ＋1x ≥2；②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1； ③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”．解析：当x<0时，x＋1x≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．答案：②④5．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________________________________________________________________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A，∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角对点练(二)充分条件与必要条件1．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.2．(2018·浙江名校联考)一次函数y＝－mn x＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()A．m>1，且n<1 B．mn<0C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0解析：选B因为y＝－mn x＋1n的图象经过第一、三、四象限，故－mn>0，1n<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0.3．(2018·河南豫北名校联盟精英对抗赛)设a，b∈R，则“log2a>log2b”是“2a－b>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A log2a>log2b⇔a>b>0,2a－b>1⇔a>b，所以“log2a>log2b”是“2a－b>1”的充分不必要条件．故选A.4．(2018·重庆第八中学调研)定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f′(x)，则“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴[f (－x )]′＝[－f (x )]′，∴f ′(－x )·(－x )′＝－f ′(x )，∴f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数；反之，若f ′(x )为偶函数，如f ′(x )＝3x 2，f (x )＝x 3＋1满足条件，但f (x )不是奇函数，所以“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的必要不充分条件．故选B.5．(2018·山西怀仁一中期中)命题“∀x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a >4C ．a ≥1D ．a >1解析：选B x 2－a ≤0⇔a ≥x 2.因为x 2∈[1,4)，所以a ≥4.故a >4是已知命题的一个充分不必要条件．故选B.6．(2018·广东梅州质检)已知命题p ：“方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”，且綈p 为真命题的充分不必要条件为a >3m ＋1，则实数m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(0,1)解析：选B 命题p ：“方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”为真时，Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.∴綈p 为真命题时，a >4.又∵綈p 为真命题的充分不必要条件为a >3m ＋1，∴(3m ＋1，＋∞)是(4，＋∞)的真子集，∴3m ＋1>4，解得m >1，故选B.7．(2018·福建闽侯二中期中)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由|4x －3|≤1，得12≤x ≤1；由x 2－(2a ＋1)·x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件．∴⎣⎡⎦⎤12，1[a ，a ＋1]．∴a ≤12.且a ＋1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a ≤12.∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12[大题综合练——迁移贯通]1．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 3．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围．(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}＝{x |2<x <4}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．(1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意．当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2. 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，要满足题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≤2，a ≥4，无解． 综上，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，2.(2)要满足A ∩B ＝∅，当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，则a ≥4或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥4.当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，则a ≤2或a ≥43，即a <0. 当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，23∪[4，＋∞)．。

课时达标检测（六十二） 参数方程1．(2018·河南息县第一高级中学段测)已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋55t ，y ＝4＋255t (t 为参数)．(1)求曲线C 与直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝455，求实数m 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋(y －m )2＝1.由x ＝1＋55t ，得55t ＝x －1，代入y ＝4＋255t ，得y ＝4＋2(x －1)，所以直线l 的普通方程为2x －y ＋2＝0.(2)圆心(0，m )到直线l 的距离为d ＝|－m ＋2|5，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫|－m ＋2|52＋⎝⎛⎭⎫2552＝1，解得m ＝3或m ＝1.2．在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4. (1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值． 解：(1)O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫2，π2，B ⎝⎛⎭⎫22，π4对应的直角坐标分别为O (0,0)，A (0,2)，B (2,2)，则过点O ，A ，B 的圆的普通方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可求得经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (2)圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)对应的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心为(－1，－1)，半径为|a |，而圆C 1的圆心为(1,1)，半径为2，所以当圆C 1与圆C 2外切时，有2＋|a |＝(－1－1)2＋(－1－1)2，解得a ＝±2.3．(2018·湖北宜昌模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝x ，圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积．解：(1)将C 的参数方程化为普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝1，极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.直线l ：y ＝x 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)．(2)圆心到直线的距离d ＝|－1＋2|2＝22，∴|MN |＝21－12＝2， ∴△CMN 的面积S ＝12×2×22＝12.4．(2018·豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 解：(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程是x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813， 所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－313.(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0，因为|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7， 所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0， 故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.5．(2018·江西百校联盟模拟)在平面直角坐标系xOy 中，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝k (t －1)(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0.(1)求C 1的普通方程及C 2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若P ，Q 分别为C 1，C 2上的动点，且|PQ |的最小值为2，求k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝k (t －1)可得其普通方程为y ＝k (x －1)，它表示过定点(1,0)，斜率为k 的直线．由ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0可得其直角坐标方程为x 2＋y 2＋10x －6y ＋33＝0，整理得(x ＋5)2＋(y －3)2＝1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆．(2)因为圆心(－5,3)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|－6k －3|1＋k 2＝|6k ＋3|1＋k2，故|PQ |的最小值为|6k ＋3|1＋k2－1，故|6k ＋3|1＋k2－1＝2，得3k 2＋4k ＝0，解得k ＝0或k ＝－43.6．(2018·湖南岳阳模拟)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋at ，y ＝1＋t (t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，当|BD |取到最小值时，求a 的值． 解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ， 即ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程：x 2＋y 2＝6y ， 配方为：x 2＋(y －3)2＝9，圆心C (0,3)，半径r ＝3.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋at ，y ＝1＋t (t 为参数)，消去参数t 可得：x －ay ＋a ＋1＝0.(2)由直线l 经过定点P (－1,1)，此点在圆的内部， 因此当CP ⊥l 时，|BD |取到最小值，则k CP ·k l ＝1－3－1－0×k l ＝－1，解得k l ＝－12.∴1a ＝－12，解得a ＝－2.7．(2018·河南六市联考)在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知点M 是曲线C 1上任意一点，点N 是曲线C 2上任意一点，求|MN |的取值范围． 解：(1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x .(2)将曲线C 2的方程化为标准形式为(x －1)2＋y 2＝1，它表示圆心为C 2(1,0)，半径r ＝1的圆．由题意，|MN |max ＝|MC 2|max ＋r ，|MN |min ＝|MC 2|min －r .设M (4cos φ，3sin φ)． 则|MC 2|2＝(4cos φ－1)2＋(3sin φ－0)2＝7cos 2φ－8cos φ＋10. 当cos φ＝47时，|MC 2|2min ＝547；当cos φ＝－1时，|MC 2|2max ＝25.∴|MN |max ＝|MC 2|max ＋r ＝6，|MN |min ＝|MC 2|min －r ＝3427－1， ∴|MN |∈⎣⎡⎦⎤3427－1，6. 8．极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1|BF |的值． 解：(1)由ρsin 2θ＝8cos θ，得ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x .(2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2,0)，将直线l 的方程代入y 2＝8x ，得(t sin α)2＝8(2＋t cos α)，整理得sin 2α·t 2－8cos α·t －16＝0.由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2α＝64＞0，∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2α，t 1t 2＝－16sin 2α＜0， 故1|AF |＋1|BF |＝1|t 1|＋1|t 2|＝⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝⎛⎭⎫8cos αsin 2α2＋64sin 2α16sin 2α＝12.。

课时达标检测（九） 对数与对数函数[小题对点练——点点落实]对点练(一) 对数的运算1．(2018·山西重点协作体模拟)已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x -12＝( )A.13B.36C.33D.24解析：选D 由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴x ＝8，∴x -12＝24.故选D. 2．(2018·德阳模拟)计算：⎝⎛⎭⎫278-13＋log 2(log 216)＝________.解析：原式＝⎝⎛⎭⎫23－3×⎛⎫⎪⎝⎭13-＋log 24＝23＋2＝83.答案：833．(2018·江西百校联盟模拟)已知14a ＝7b ＝4c ＝2，则1a －1b ＋1c＝________.解析：14a ＝7b ＝4c ＝2，则a ＝log 142，b ＝log 72，c ＝log 42，∴1a ＝log 214，1b ＝log 27，1c ＝log 24，∴1a －1b ＋1c ＝log 214－log 27＋log 24＝log 28＝3.答案：34．(2018·成都外国语学校模拟)已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．解析：由2x ＝3，log 483＝y 得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.答案：35．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy 的值为________． 解析：∵lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0， 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y . 又x >0，y >0，x －2y >0，故x ＝y 不符合题意，舍去． ∴x ＝4y ，即xy ＝4. 答案：4对点练(二) 对数函数的图象及应用1．(2018·广东韶关南雄模拟)函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )解析：选C 法一：∵f (2)＝4，∴2a ＝4，解得a ＝2，∴g (x )＝|log 2(x ＋1)|＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，－log 2(x ＋1)，－1<x <0，∴当x ≥0时，函数g (x )单调递增，且g (0)＝0；当－1<x <0时，函数g (x )单调递减．故选C.法二：由f (2)＝4，即2a ＝4得a ＝2，∴g (x )＝|log 2(x ＋1)|，函数g (x )是由函数y ＝|log 2x |向左平移一个单位得到的，只有C 项符合，故选C.2．(2018·深圳模拟)已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选C f (x )＝|lg x |的图象如图所示，由题知f (a )＝f (b )，则有0<a <1<b ，∴f (a )＝|lg a |＝－lg a ，f (b )＝|lg b |＝lg b ，即－lg a ＝lg b ，则a ＝1b ，∴a ＋2b ＝2b ＋1b .令g (b )＝2b ＋1b ，g ′(b )＝2－1b2，显然当b∈(1，＋∞)时，g ′(b )>0，∴g (b )在(1，＋∞)上为增函数，∴g (b )＝2b ＋1b>3，故选C.3.设平行于y 轴的直线分别与函数y 1＝log 2x 及函数y 2＝log 2x ＋2的图象交于B ，C 两点，点A (m ，n )位于函数y 2＝log 2x ＋2的图象上，如图，若△ABC 为正三角形，则m ·2n ＝________.解析：由题意知，n ＝log 2m ＋2，所以m ＝2n －2.又BC ＝y 2－y 1＝2，且△ABC 为正三角形，所以可知B (m ＋3，n －1)在y 1＝log 2x 的图象上，所以n －1＝log 2(m ＋3)，即m ＝2n －1－3，所以2n ＝43，所以m ＝3，所以m ·2n ＝3×43＝12.答案：124．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)对点练(三) 对数函数的性质及应用 1．(2018·湖北孝感统考)函数f (x )＝1ln (3x ＋1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－13，0∪(0，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－13，＋∞ D ．[0，＋∞)解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，ln (3x ＋1)≠0，解得x >－13且x ≠0，故选B.2．(2018·河南新乡模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析：选B ∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B. 3．若log a 23<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23 B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫23，1解析：选C 当0<a <1时，log a 23<log a a ＝1，∴0<a <23；当a >1时，log a 23<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞)． 4．(2018·郴州模拟)设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：选A 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.5．(2018·长沙模拟)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，其图象的对称轴为x＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)，故选A.6．(2018·商丘模拟)已知f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值为( ) A ．4 B ．2 C ．6D ．8解析：选B ∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2，f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈[0,1]时， f (x )是增函数；当x ∈⎝⎛⎦⎤1，32时，f (x )是减函数．故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝2. 7．(2018·辽宁沈阳模拟)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________.解析：∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，∴－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理，若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得nm ＝9.答案：9[大题综合练——迁移贯通]1．已知函数f (x )＝log 21＋axx －1(a 为常数)是奇函数．(1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵函数f (x )＝log 21＋axx －1是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴log 21－ax －x －1＝－log 21＋ax x －1，即log 2ax －1x ＋1＝log 2x －11＋ax ，∴a ＝1，f (x )＝log 21＋xx －1.令1＋x x －1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，x －1>0，或⎩⎪⎨⎪⎧1＋x <0，x －1<0，解得x <－1或x >1.∴函数f (x )的定义域为{x |x <－1或x >1}． (2)∵f (x )＋log 2(x －1)＝log 2(1＋x )， 当x >1时，x ＋1>2，∴log 2(1＋x )>log 22＝1. ∵当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立， ∴m ≤1.∴m 的取值范围是(－∞，1]．2．(2018·枣庄模拟)设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求实数a 的值．解：f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12[(log a x )2＋3log a x ＋2] ＝12⎝⎛⎭⎫log a x ＋322－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8处取得．若12⎝⎛⎭⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2-13， 此时f (x )取得最小值时，x ＝（2-13）-23＝2∉[2,8]，舍去；若12⎝⎛⎭⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12， 此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝⎛⎭⎫12－32＝22∈[2,8]，符合题意．∴a ＝12. 3．(2018·江西师大附中诊断)已知函数f (x )＝log a x ＋m (a >0且a ≠1)的图象过点(8,2)，点P (3，－1)关于直线x ＝2的对称点Q 在f (x )的图象上．(1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值． 解：(1)点P (3，－1)关于直线x ＝2的对称点Q 的坐标为(1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ f (8)＝2，f (1)＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝－1＋log 2x .(2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)]＝log 2x 2x －1－1(x >1)，∵x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1 ＝(x －1)＋1x －1＋2≥2(x －1)·1x －1＋2＝4，当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，“＝”成立，而函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，则log2x 2x－1－1≥log24－1＝1，故当x＝2时，函数g(x)取得最小值1.。

课时达标检测（八） 指数与指数函数[小题对点练——点点落实]对点练(一) 指数幂的运算 1．化简4a 23·b -13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a -13b 23的结果为( ) A ．－2a3bB ．－8ab C ．－6a bD ．－6ab解析：选C 原式＝4÷⎝⎛⎭⎫－23a 23⎛⎫⎪⎝⎭13--b-13-23＝－6ab －1＝－6ab，故选C.2．(2018·大同模拟)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫0.06415－2.5 23－39×38－π0＝________. 解析：原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫410315⎛⎫ ⎪⎝⎭5223⨯-⨯－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32313－1＝52－32－1＝0. 答案：03．给出以下结论： ①当a <0时，(a 2) 32＝a 3； ②na n ＝|a |(n >1，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2) 12－(3x －7)0的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2且x ≠73；④若2x ＝16,3y ＝127，则x ＋y ＝7. 其中正确结论的序号是________．解析：因为a <0，所以(a 2) 32>0，a 3<0，所以①错误；②显然正确；由⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，3x －7≠0，得x ≥2且x ≠73，所以③正确；因为2x ＝16，所以x ＝4，因为3y ＝127＝3－3，所以y ＝－3，所以x ＋y ＝4＋(－3)＝1，所以④错误．答案：②③对点练(二) 指数函数的图象及应用1．函数f (x )＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )解析：选D 当a >1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a 的图象，A ，B 都不符合；当0<a <1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a 的图象，而1a大于1，故选D. 2．二次函数y ＝－x 2－4x (x >－2)与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象的交点个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0解析：选C因为函数y ＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4(x >－2)，且当x ＝－2时，y ＝－x 2－4x ＝4，y ＝⎝⎛⎭⎫12x＝4，则在同一直角坐标系中画出y ＝－x 2－4x (x >－2)与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象如图所示，由图象可得，两个函数图象的交点个数是1，故选C.3．如图，在面积为8的平行四边形OABC 中，AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E .若指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)经过点E ，B ，则a 的值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：选A 设点E (t ，a t )，则点B 的坐标为(2t,2a t )．因为2a t ＝a 2t ，所以a t ＝2.因为平行四边形OABC 的面积＝OC ×AC ＝a t ×2t ＝4t ，又平行四边形OABC 的面积为8，所以4t＝8，t ＝2，所以a 2＝2，a ＝ 2.故选A.4．(2018·东北三校联考)若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选D 方程|a x －1|＝2a (a >0，且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时，如图①，∴0<2a <1，即0<a <12；②当a >1时，如图②，而y ＝2a >1不符合要求．∴0<a <12.5．(2018·北京模拟)已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫45a ＝⎝⎛⎭⎫23b，给出下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ； ④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式的个数为________．解析：函数y 1＝⎝⎛⎭⎫45x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫23x 的图象如图所示．由⎝⎛⎭⎫45a ＝⎝⎛⎭⎫23b 得a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立．③④不可能成立．答案：2对点练(三) 指数函数的性质及应用1．(2018·日照模拟)若x ∈(2,4)，a ＝2x 2，b ＝(2x )2，c ＝22x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >a >c解析：选B ∵b ＝(2x )2＝22x ，∴要比较a ，b ，c 的大小，只要比较当x ∈(2,4)时x 2,2x,2x的大小即可．用特殊值法，取x ＝3，易知x 2>2x >2x ，则a >c >b .2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：选C 当a <0时，不等式f (a )<1为⎝⎛⎭⎫12a －7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.3．(2018·广西质检)若x log 52≥－1，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3的最小值为( )A ．－4B ．－3C ．－1D ．0解析：选A ∵x log 52≥－1，∴2x ≥15，则f (x )＝4x －2x ＋1－3＝(2x )2－2×2x －3＝(2x －1)2－4.当2x ＝1时，f (x )取得最小值－4.4．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析：选A 因为f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－⎣⎡⎦⎤3x －⎝⎛⎭⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数． 又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数．5．设f (x )＝e x,0<a <b ，若p ＝f ()ab ，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝f (a )f (b )，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >q解析：选C ∵0<a <b ，∴a ＋b 2>ab ，又f (x )＝e x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p .又r ＝f (a )f (b )＝e a e b＝e a ＋b2＝q ，故q ＝r >p .故选C.6．已知实数a ，b 满足12>⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫22b >14，则( )A ．b <2b －aB ．b >2b －aC ．a <b －aD ．a >b －a解析：选B 由12>⎝⎛⎭⎫12a ，得a >1，由⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫22b ，得⎝⎛⎭⎫222a >⎝⎛⎭⎫22b ，故2a <b ，由⎝⎛⎭⎫22b >14，得⎝⎛⎭⎫22b >⎝⎛⎭⎫224，得b <4.由2a <b ，得b >2a >2，a <b 2<2，∴1<a <2,2<b <4.对于选项A ，B ，由于b 2－4(b －a )＝(b －2)2＋4(a －1)>0恒成立，故A 错误，B 正确；对于选项C ，D ，a 2－(b －a )＝⎝⎛⎭⎫a ＋122－⎝⎛⎭⎫b ＋14，由于1<a <2,2<b <4，故该式的符号不确定，故C ，D 错误．故选B.7．(2018·河南十校联考)设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1解析：选D 根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0,2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，∴K ≥1，故选D.8．(2018·信阳质检)若不等式(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x<1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x <1可变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2.设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则原条件等价于不等式m 2－m <t ＋t 2在t ≥2时恒成立．显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m <6，解得－2<m <3.答案：(－2,3)[大题综合练——迁移贯通]1．设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值． 解：令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)． ①当0<a <1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13. ②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数． 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3或a ＝－5(舍去)． 综上得a ＝13或3.2．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，将上式看成关于2x 的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x ＝－12，∵2x ＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)， ∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t ＋1)， ∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]， 故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．3．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－13.。

课时达标检测（五十三） 二项式定理[小题对点练——点点落实]对点练(一) 二项式的通项公式及应用) (是的展开式中的常数项10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x2．二项式1 A ．180 B ．90 C ．45D ．360 得，0＝k 52－5令，k 52－5x k 10C k 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x2k －01)x ·(k 10C ＝1＋k T 的展开式的通项为10⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x2A 选：解析180.＝210C 22故常数项为，2＝k ()＝a 则，03的项的系数为32x 的展开式中含5⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 已知．2 3A. 3．－B C ．6D ．－6 －＝a 得，03＝)a －(15C 由1.＝r 解得，32＝5－2r 2由，5－2r2x r)a －(r5C ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x ·r －5)x (r 5C ＝1＋r T D 选：解析 6.故选D.) (为项的系数3x 的展开式中，含6)x ＋1(x 在．3 A ．30 B ．20 C ．15D ．10 ＝3x 26C 为的项3x 的展开式中含6)x ＋1(x ，则r x r 6C ＝1＋r T 项为1＋r 的展开式的第6)x ＋1( C 选解析：15.为，所以系数3x 15 ) (为项的系数3x 展开式中101)＋x －2x (．4 A ．－210 B ．210 C ．30D ．－30 －x (10C ＋91)－x (2x 910C －…＋)1－x (9)2x (10C －10)2x (010C ＝101)]－x (－2x [＝101)＋x －2x ( A 选解析： A.选，故021－＝)710C －(10C ＋89C 910C －项的系数为：3x ，所以含101) ________.＝n ，则45是项的系数2x 的展开式中含有n )x 3＋1(知已)考山东高·(2017．5 4.＝n ∴，45＝232n C 为项的系数2x 含有∴，r x r 3r n C ＝1＋r T 的展开式的通项n )x 3＋1(解析： 答案：4．________为的值x d 2x ⎠⎛a －2，则3的展开式的第二项的系数为－6⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋366. ＝x d 22x －⎠⎛a ，因此1－＝a 得，解3＝－5a 16C 36，由5a 16C 36该二项展开式的第二项的系数为解析：.73＝83＋13＝－1－2|x33＝x d 2x ⎠⎛－2－1 73答案：．________是的项的系数3x 含的展开式中，8x)－1(＋7x)－1(＋6x)－1(＋5x)－1(在．7 121.－＝31)－(38C ＋31)－(37C ＋31)－(36C ＋31)－(35C 项的系数为3x 含展开式中解析： 答案：－121)案用数字填写答(．________为的系数7y 2x 中的展开式8y)＋x y)(－x (．8 82－8＝68C －78C 的系数为7y 2x ∴，68C ，其系数为－)6y 2y·(x ＝7y 2x ，78C ，其系数为)7x·(xy ＝7y 2x 解析：＝－20.答案：－20对点练(二) 二项式系数的性质及应用)(为的值m 数，则实36＝6a ＋…＋2a ＋1a 且，6x 6a ＋…＋2x 2a ＋x 1a ＋0a ＝6mx)＋1(若．1 A ．1或3 B ．－3 C ．1D ．1或－3 …＋3a ＋2a ＋1a 又.6a ＋…＋2a ＋1a ＋0a ＝6m)＋1(得，1＝x 令.1＝60)＋1(＝0a 得，0＝x 令 D 选解析： 3.－＝m 或1＝m ∴，62＝46＝6m)＋1(∴，36＝6a ＋ )(＝7a ＋…＋2a ＋1a 则，8x 8a ＋…＋2x 2a ＋x 1a ＋0a ＝72x)－1x)(＋1(若．2 A ．－2 B ．－3 C ．125D ．－131 以，所812－＝72)－(7C ＝8a 又.1＝0a 则，0＝x 令，2－＝8a ＋…＋2a ＋1a ＋0a 则，1＝x 令 C 选解析：125.＝)128－(－1－2－＝7a ＋…＋2a ＋1a 3．(2018·河北省“五校联盟”质量检)(为，则展开式的中间项的系数812为的展开式中，偶数项的二项式系数之和n 2x)－1(式在二项)测 A ．－960 B ．960 C ．1 120D ．1 680 的展开式中，二项式系n 2x)－1(在，所以812为根据题意，奇数项的二项式系数之和也应 C 选解析：，41 120x ＝4x 42)－(48C ＝5T 且项，5第的展开式的中间项为82x)－1(则，8＝n ，625＝n 2即，625为数之和即展开式的中间项的系数为1 120，故选C .) (是，则展开式中常数项314的展开式中第三项与第五项的系数之比为n ⎝⎛⎭⎪⎫x2－1x ．若4 A ．－10 B ．10 C ．－45D ．45，314＝C2n C4n ，所以5r 2－n x2r 1)－(r n C ＝r 2－x r 1)－(·r －n )2·(x r n C ＝1＋r T 为因为展开式的通项公式 D 选解析：45.＝81)－(810C ＝9T 为常数项∴8.＝r ∴，0＝5r2－02令，5r 2－0·x2r 1)－(·r 10C ＝1＋r T ∴，01＝n ∴ ⎝⎛⎭⎪⎪⎫9x －133x ．在二项式5．________为的系数x 中，则展开式625为的展开式中，偶数项的二项式系数之和n 所.9＝n 得，解625＝1－n 2以因为二项式展开式中，偶数项与奇数项的二项式系数之和相等，所解析：，1＝r 43－9令.r 43－9x r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13·r －99r 9C ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－133x ·r －9(9x)r 9C ＝1＋r T 为的展开式中，通项9⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫9x －133x 以二项式84.＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×39×69C 的系数为x 中，所以展开式6＝r 得解 答案：84⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ．在二项式6．________是项的系数2x 含项的二项式系数最大，则展开式中5第的展开式中恰好n 的展开式的通8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ∵8.＝n ∴项的二项式系数最大，5第的展开式中恰好n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 在二项式∵解析：56.－＝38C 项的系数是－2x 含展开式中∴，3＝r 则，2＝r 2－8令，2r －8x r 8C r 1)－(＝1＋r T 为项 答案：－56．____________于的值可能等n 则项系数最大，7第的展开式中，若n y)＋x (在．7 系数相等且6T 与7T 若②；21＝n ，项31有系数最大，则共7T 仅若①根据题意，分三种情况：解析：11,12,13.于的值可能等n 以所.13＝n ，项41有系数相等且最大，则共8T 与7T 若③；11＝n ，项21有最大，则共 答案：11,12,13[大题综合练——迁移贯通]，求：7x 7a ＋…＋2x 2a ＋x 1a ＋0a ＝72x)－1(知．已1 ；7a ＋…＋2a ＋1(1)a ；7a ＋5a ＋3a ＋1(2)a ；6a ＋4a ＋2a ＋0(3)a |.7|a ＋…＋|2|a ＋|1|a ＋|0(4)|a 解：令x ＝1，①1.－＝7a ＋6a ＋5a ＋4a ＋3a ＋2a ＋1a ＋0a 则令x ＝－1，②.73＝7a －6a ＋5a －4a ＋3a －2a ＋1a －0a 则 ，1＝07C ＝0a ∵(1) 2.－＝7a ＋…＋3a ＋2a ＋1a ∴ 1 094.－＝－1－372＝7a ＋5a ＋3a ＋1a 得，2)÷②－①(2)( 1 093.＝－1＋372＝6a ＋4a ＋2a ＋0a 得，2)÷②＋①)((3 |7|a ＋…＋|2|a ＋|1|a ＋|0|a ∴小于零，7a ，5a ，3a ，1a 而大于零，6a ，4a ，2a ，0a 中展开式72x)－1(∵(4) )7a ＋5a ＋3a ＋1(a －)6a ＋4a ＋2a ＋0(a ＝ ＝1 093－(－1 094)＝2 187.112.为项的系数x 含，展开式中625为的展开式的二项式系数之和)数是正实m (n )x m ＋1(知．已2 (1)求m ，n 的值；(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和；项的系数．2x 含的展开式中)x －1(n )x m ＋1(求)(3 m或2＝m 得，解211＝2m 28C 项的系数为x 含，r2x r m r n C ＝1＋r 8.T ＝n 得，解625＝n 2得由题意可)(1解：＝－2(舍去)．故m ，n 的值分别为2,8.128.＝1－82＝8C ＋68C ＋48C ＋28C ＋08C 展开式中奇数项的二项式系数之和为)(2 ，8)x 2＋1x(－8)x 2＋1(＝)x －1(8)x 2＋1(3)( 1 008.＝2228C －4248C 的系数为2x 含所以 11.为的系数x 的展开式中)*N ∈n ，m (n 2x)＋1(＋m x)＋1(＝)f(x 知．已3 的值；n 的系数取最小值时2x 求)(1 的奇次幂项的系数之和．x 展开式中)x (f 的系数取得最小值时，求2x 当)(2 11.＝n 2＋m ∴，11＝1n 2C ＋1m C 得由已知)(1解： .错误!＋2错误!＝错误!)m －1(1＋错误!＝)1－n (n 2＋错误!＝2n C 22＋2m C 为的系数2x 3.＝n ，此时22值的系数取得最小2x 时，5＝m ∴，*N ∈m ∵ 3.＝n ，5＝m 的系数取得最小值时，2x 知，当)(1由)(2 .3)x 2＋1(＋5)x ＋1(＝)x (f ∴ ，5x 5a ＋…＋2x 2a ＋x 1a ＋0a ＝)x (f 的展开式为)x (f 设，95＝33＋52＝5a ＋4a ＋3a ＋2a ＋1a ＋0a ，1＝x 令 ，1－＝5a －4a ＋3a －2a ＋1a －0a ，1－＝x 令 30.为的奇次幂项的系数之和x ，故展开式中06＝)5a ＋3a ＋1a 2(得两式相减。

课时达标检测（二十二） 三角恒等变换[小题对点练——点点落实]对点练(一) 三角函数的求值1．(2017·山东高考)已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( )A ．－14B.14 C ．－18D.18解析：选D cos 2x ＝2cos 2x －1＝18.2．(2018·太原一模)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎣⎡⎭⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1 解析：选C 由cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1，故选C. 3．(2018·安徽十校联考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32解析：选C sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.4．(2018·湖南郴州质检)已知x ∈(0，π)，sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，则tan x ＝( ) A.12 B ．－2 C.22D. 2解析：选D 由已知，得sin π3cos x －cos π3sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋12，即32cos x －12sin x ＝－12sin x ＋12，所以cosx ＝33.因为x ∈(0，π)，所以tan x ＝ 2. 5．(2018·河北唐山一模)已知α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，则cos 2α＝( ) A.2425 B.725 C ．－2425D ．±2425解析：选A ∵0<α<π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35>0，∴π4<α＋π4<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45，∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝210，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫2102＝2425.故选A. 6．(2018·广东广州模拟)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝( ) A ．－210B.210C.22D.45解析：选B 因为α为锐角，所以0<α<π2，则π6<α＋π6<2π3，因此sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6>0，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝ 1－⎝⎛⎭⎫352＝45.所以sin ⎣⎡⎭⎫α－π12＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4＝45×22－35×22＝210. 7．(2018·荆州一模)计算：sin 46°·cos 16°－cos 314°·sin 16°＝________.解析：sin 46°·cos 16°－cos 314°·sin 16°＝sin 46°·cos 16°－cos 46°·sin 16°＝sin(46°－16°)＝sin 30°＝12.答案：128．(2018·洛阳一模)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π－2π3＋2α＝－cos 2⎝⎛⎭⎫α－π3＝2sin 2⎝⎛⎭⎫α－π3－1＝－78. 答案：－789．(2018·豫北名校联考)计算：cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝________.(用数字作答)解析：cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝cos 10°＋3sin 10°2·sin 40°＝2sin (10°＋30°)2·sin 40°＝ 2.答案： 210．(2018·广东佛山教学质量检测)已知0<x <π2，且sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－210，则sin x ＋cos x ＝________. 解析：由0<x <π2，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－210，得－π4<2x －π4<0，∴cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝1－⎝⎛⎭⎫－2102＝7210.∴sin 2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x －π4＋π4＝22⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋cos ⎣⎡⎭⎫2x －π4＝22×⎝⎛⎭⎫－210＋7210＝35.∴sin x ＋cos x ＝(sin x ＋cos x )2＝1＋sin 2x ＝1＋35＝2105. 答案：2105对点练(二) 三角恒等变换的综合问题1．(2018·山西临汾模拟)已知函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ，当x ＝θ时函数y ＝f (x )取得最小值，则sin 2θ＋2cos 2θsin 2θ－2cos 2θ＝( )A ．－3B ．3C ．－13D.13解析：选C f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12，当x ＝θ时函数y ＝f (x )取得最小值，即2θ－π4＝2k π－π2，k ∈Z ，那么2θ＝2k π－π4，k ∈Z ，则sin 2θ＋2cos 2θsin 2θ－2cos 2θ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫－π4sin ⎝⎛⎭⎫－π4－2cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝－22＋2×22－22－2×22＝－13.故选C.2．(2018·安徽六安一中综合训练)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，32 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤－12，1 D.⎣⎡⎦⎤－32，12 解析：选A f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝sin 2ωx ＋3sin ωx cos ωx ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋12，因为T ＝2π2ω＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故所求值域为⎣⎡⎦⎤0，32，故选A. 3．(2018·江西赣中南五校模拟)已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2 019x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2 019x －π3的最大值为A ，若存在实数x 1，x 2使得对任意实数x 总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则A |x 1－x 2|的最小值为( )A.π2 019 B.2π2 019 C.4π2 019D.π4 038解析：选B f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2 019x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2 019x －π3 ＝sin 2 019x cos π6＋cos 2 019x sin π6＋cos 2 019x cos π3＋sin 2 019x sin π3＝32sin 2 019x ＋12cos 2 019x ＋12cos 2019x ＋32sin 2 019x ＝3sin 2 019x ＋cos 2 019x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2 019x ＋π6，∴f (x )的最大值为A ＝2； 由题意，得|x 1－x 2|的最小值为T 2＝π2 019，∴A |x 1－x 2|的最小值为2π2 019.故选B.[大题综合练——迁移贯通]1．已知函数f (x )＝3(cos 2x －sin 2x )＋2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，求f (x )的值域和单调递减区间． 解：(1)∵f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3，∴－π3≤2x ＋π3≤π，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，∴π12≤x ≤π3.∴x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3时，f (x )的值域为[－3，2]，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12，π3. 2．(2018·安徽合肥质检)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解：(1)∵cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12.∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π.又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.3．已知a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，sin x )，f (x )＝2a ·b . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)若g (x )＝f (x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，画出函数y ＝g (x )的图象，讨论y ＝g (x )－m (m ∈R )的零点个数．解：(1)∵f (x )＝2a ·b ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝sin 2x －cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π，最大值为f (x )max ＝2＋1. (2)g (x )＝f (x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，利用“五点法”列表为 ：描点作图如下：函数y＝g(x)－m(m∈R)的零点个数，即函数y＝g(x)的图象与直线y＝m的交点个数．由图可知，当m<1－2或m>1＋2时，无零点；当m＝1－2或m＝1＋2时，有1个零点；当1－2<m<2或2<m<1＋2时，有2个零点；当m＝2时，有3个零点．。

课时达标检测（五） 函数的单调性与最值[小题对点练——点点落实]对点练(一) 函数的单调性1．(2018·阜阳模拟)给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选B ①y ＝x 12在(0,1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0<12<1，故y ＝log 12(x ＋1)在(0,1)上递减；③结合图象可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2>1，故y ＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.2．(2018·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.3．(2018·宜春模拟)函数f (x )＝log 3(3－4x ＋x 2)的单调递减区间为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，1)，(3，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)，(2，＋∞)解析：选C 由3－4x ＋x 2>0得x <1或x >3.易知函数y ＝3－4x ＋x 2的单调递减区间为(－∞，2)，函数y ＝log 3x 在其定义域上单调递增，由复合函数的单调性知，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1)，故选C.4．(2018·贵阳模拟)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A ．y ＝－2x ＋1 B ．y ＝1x C ．y ＝lg xD ．y ＝x 3解析：选B y ＝－2x ＋1在定义域上为单调递减函数；y ＝lg x 在定义域上为单调递增函数；y ＝x 3在定义域上为单调递增函数；y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为单调递减函数，但在定义域上不是单调函数．故选B.5．若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，8]B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8,40]解析：选C 由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝k8，因为函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，所以k 8≤1或k8≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数k的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．故选C.6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝(x －1)(x ＋3)－2×(－x )＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)， ∵函数f (x )在(－∞，m )上单调递减，∴(－∞，m )⊆(－∞，－2)，即m ≤－2.故选D. 对点练(二) 函数的最值1．已知a >0，设函数f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2 016B ．2 018C ．4 032D ．4 034解析：选D 由题意得f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1＝2 018－22 018x＋1.∵y ＝2 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴f (x )＝2 018－22 018x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴M ＝f (a )，N ＝f (－a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 036－22 018a＋1－22 018－a ＋1＝4 034. 2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：选D 由题意知a <1，又函数g (x )＝x ＋ax －2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D.3．(2018·湖南雅礼中学月考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x >2(a >0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(0,2]C ．[2，＋∞)D ．(1,2 2 ]解析：选A 当x ≤2时，－x ＋6≥4.当x >2时，⎩⎪⎨⎪⎧3＋log a x ≥4，a >1，∴a ∈(1,2]，故选A.4．(2018·安徽合肥模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0解析：选A 设t ＝x －1，则y ＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，t ∈[－2,2]．记g (t )＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，则函数y ＝g (t )－2＝(t 2－1)sin t ＋t 是奇函数．由已知得y ＝g (t )－2的最大值为M －2，最小值为m －2，所以M －2＋(m －2)＝0，即M ＋m ＝4.故选A.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (x )的最小值是________．解析：当x ≥1时，x ＋2x －3≥2x ·2x －3＝22－3，当且仅当x ＝2x ，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3＜0；当x ＜1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.答案：22－36．(2018·益阳模拟)已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f (x )≤12.令t ＝1－2f (x )，则f (x )＝12(1－t 2)⎝⎛⎭⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎣⎡⎦⎤13≤t ≤12.∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤79，78. 答案：⎣⎡⎦⎤79，78[大题综合练——迁移贯通]1．已知函数f (x )＝ax ＋1a (1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫a －1a x ＋1a ，当a >1时，a －1a >0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0<a <1时，a －1a <0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a ，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a ＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.2．(2018·衡阳联考)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)证明：设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，且f (0)＋f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0，又f (－3)＋f (3)＝f (－3＋3)＝0，∴f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.3．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述知a 的取值范围是(0,1]．。

课时达标检测（二十四） 平面向量的概念及线性运算[小题对点练——点点落实]对点练(一) 平面向量的有关概念1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量解析：选C 若a 与b 都是零向量，则a ＝b ，故选项C 正确．2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.3．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的____________条件．解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q .若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ>0，故q ⇒/ p ．∴p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要对点练(二) 平面向量的线性运算1.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ―→＝a ，AD ―→＝b , 则BE ―→＝( )A.12b －a B.12a －b C ．－12a ＋bD.12b ＋a 解析：选C BE ―→＝BA ―→＋AD ―→＋12DC ―→＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选C.2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c ＝k d (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b .整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3．(2018·江西八校联考)在△ABC 中，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则PQ ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A PQ ―→＝PB ―→＋BQ ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b ，故选A.4．(2017·郑州二模)如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n是定值，定值为2 D.2m ＋1n 是定值，定值为3解析：选D 法一：如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN ―→＝n AC ―→可得AC AN ＝1n ，所以AE EM ＝AC CN ＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，所以AMAB＝nn ＋n －12＝2n 3n －1，因为AM ―→＝m AB ―→，所以m ＝2n3n －1，整理可得2m ＋1n ＝3. 法二：因为M ，D ，N 三点共线，所以AD ―→＝λAM ―→＋(1－λ)·AN ―→.又AM ―→＝m AB ―→，AN ―→＝n AC ―→，所以AD ―→＝λm AB ―→＋(1－λ)·n AC ―→.又BD ―→＝12DC ―→，所以AD ―→－AB ―→＝12AC ―→－12AD ―→，所以AD ―→＝13AC ―→＋23AB ―→.比较系数知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n ＝3，故选D.5．(2018·银川一模)设点P 是△ABC 所在平面内一点，且BC ―→＋BA ―→＝2BP ―→，则PC ―→＋PA ―→＝________.解析：因为BC ―→＋BA ―→＝2BP ―→，由平行四边形法则知，点P 为AC 的中点，故PC ―→＋PA ―→＝0.答案：06．(2018·衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与x a ＋y b (x ，y 为非零实数)共线，则xy 的值为________．解析：设e 1，e 2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与x a ＋y b 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，所以e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x －2y )e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ(x －y )＝1，λ(x －2y )＝－2，所以⎩⎨⎧x ＝3，y ＝52λ，则x y 的值为65. 答案：657．(2018·盐城一模)在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD ―→＝14AC ―→＋λAB ―→(λ∈R )，则AD 的长为________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN ―→＝14AC ―→，AM ―→＝34AB ―→，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.答案：3 38．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→. ∵点E 在线段CD 上，∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→， ∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12， 即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12[大题综合练——迁移贯通]1.在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，试用a ，b 表示AD ―→， AG ―→.解：AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12a ＋12b .AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋23BE ―→＝AB ―→＋13(BA ―→＋BC ―→)＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b . 2．已知a ，b 不共线，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ， OC ―→＝c ， OD ―→＝d ， OE ―→＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c ,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ―→＝d －c ＝2b －3a ，CE ―→＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ―→＝k CD ―→，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．3.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ―→＝23AD ―→，AB ―→＝a ，AC ―→＝b .(1)用a ，b 表示向量AD ―→，AE ―→，AF ―→，BE ―→，BF ―→； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ，使AD ―→＝12AG ―→，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，如图， 所以AG ―→＝AB ―→＋AC ―→＝a ＋b ，AD ―→＝12AG ―→＝12(a ＋b )，AE ―→＝23AD ―→＝13(a ＋b )，AF ―→＝12AC ―→＝12b ，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF ―→＝AF ―→－AB ―→＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ―→＝23BF ―→，又因为BE ―→，BF ―→有公共点B ， 所以B ，E ，F 三点共线.。