高三数学 1.3.4函数与导数综合问题学案 人教A版选修2-2

1.1.3导数的几何意义【学习目标】1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；【学习重难点】重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；难点：导数的几何意义.【学习过程】一、学前准备1：曲线上P（s）恥 +山，Ji + 3）的连线称为曲线的割线，斜率k =乞= _________________Ar2：设函数y = f（x）在观附近有定义，当自变量在x = 附近改变心时，函数值也相应地改变△）= _______________________ ,如果当山_____________ 时，平均变化率趋近于一个常'数/,则数/称为函数/任）在点兀的瞬吋变化率.记作:当2 _________ 时，_____________ T /二、合作探究：探究1.曲线的切线及切线的斜率：参见课本图1.1-2,当亿（£,/（£））（“ 1,2,3,4）沿着曲线/（兀）趋近于点卩（兀,/（兀））时，割线卩出的变化趋势是什么？我们发现,当点人沿着曲线无限接近点P即Ax->0时，割线P税趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：（1）割线比的斜率心与切线M的斜率£有什么关系？（2）切线PF的斜率R为多少？容易知道，割线的斜率是_____________________ ,当点鬥沿着曲线无限接近点无限趋近于切线PT的斜率4 B|j k = lim /^o-*-Ax)-/(x o) 山TOP 时，k lt=fwAr点拨：（1）设切线的倾斜角为a,那么当Ax-o时，割线PQ的斜率，称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的本质一函数在”=兀处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的;如不存在，则在此点处无切线;3）曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个•多个.探究2.导数的几何意义：函数円（兀）在尸兀。

教学准备
1. 教学目标
1．比较大小、证明不等式；
2．单峰函数的最值问题；
3．曲线的斜率、物体的运动速度问题。

2. 教学重点/难点
1．比较大小、证明不等式；
2．单峰函数的最值问题；
3．曲线的斜率、物体的运动速度问题。

3. 教学用具
4. 标签
教学过程
【知识点精讲】
综合问题题型：
1．比较大小、证明不等式；
2．单峰函数的最值问题；
3．曲线的斜率、物体的运动速度问题。

【例题选讲】
例1 设x>-2，nN*，比较(1+x)n与1+nx的大小. 优化设计P217典例剖析例1，解答略。

例3 （2004年天津，理20）已知函数f(x)= ax3+bx2-3x在x=±1时取得极值.
(1) 讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
(2) 过点A（0，16）作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程。

优化设计P217典例剖析例3，解答略。

例4 用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。

优化设计P218典例剖析例4，解答略。

【作业布置】
优化设计。

复习课(一) 导数及其应用导数的概念及几何意义的应用(1)近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现．(2)利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点．[考点精要]；)0x ′(f ＝k ，即求该点处的导数值：k 求斜率))0x (f ，0x (A 已知切点(1) ；k ＝)1x ′(f ，即解方程))1x (f ，1x (A ，求切点k 已知斜率(2) ，0x (A 时，常需设出切点k 的切线斜率为)不是切点))(1x (f ，1x (M 已知过某点(3)求解．f(x1)－f(x0)x1－x0＝k ，利用))0x (f ＝y ，则曲线x －1－x －e＝)x (f 时，≤0x 为偶函数，当)x (f 已知Ⅱ)全国卷( ]典例[f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．.x ＋1－x e＝)x －(f ，0＜x ，则－0＞x 设 ]解析[ ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，.x ＋1－x e＝)x (f ∴ ，1＋1－x e ＝)x ′(f 时，0＞x 当∵ 2.＝1＋1＝1＋1－1e＝′(1)f ∴ ∴曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.[答案] 2x －y ＝0[类题通法](1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．②如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． ＝y 与l 处的切线(1,1)在3x ＝y 曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，(2)．8)，－2－(的图象还有一个交点3x [题组训练])(处的切线方程为1)，－1－(在点xx ＋2＝y ．曲线1 A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2，2(x ＋2)2＝x′(x ＋2)－x(x ＋2)′(x ＋2)2＝′y ∵ A 解析：选 ，2＝2(－1＋2)2＝1＝－x ′|y ＝k ∴ ∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.＝a 相切，则1＋x 2)＋a (＋2ax ＝y 处的切线与曲线(1,1)在点x ln ＋x ＝y ．已知曲线2________.，1x＋1＝′y ∴，x ln ＋x ＝y ∵解析： 2.＝|x ＝1′y ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.相切，1＋x 2)＋a (＋2ax ＝y 与曲线1－x 2＝y ∵法一： ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax2＋(a ＋2)x ＋1，由 0.＝2＋ax ＋2ax ，得y 消去 8.＝a ，解得0＝a 8－2a ＝Δ由 ．1)＋0x 2)＋a (＋20ax ，0x (相切于点1＋x 2)＋a (＋2ax ＝y 与曲线1－x 2＝y 法二：设 ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，．2)＋a (＋0ax 2＝|x ＝x0′y ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－12，a ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧2ax0＋(a ＋2)＝2，ax20＋(a ＋2)x0＋1＝2x0－1，由 答案：8导数与函数的单调性(1)题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题。

高中数学选修2 2导数导学案高中数学选修2-2导数导学案§1.1.3【知识要点】导数几何意义的指导案例1．导数的几何意义（1）割线斜率和切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，ab是过点a(x0，f(x0))与点b(x0＋δx，f(x0＋δx))δy该割线的斜率为=_________δx当点B沿曲线接近点a时，割线AB围绕点a旋转，其最终位置为直线ad，当x→ 0，割线AB的斜率无限地趋向于点a处切线ad的斜率k，即k==___2）导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点p(x0，f(x0))处的切线的．也就是说，曲线y＝f(x)在点p(x0，f(x0))处的切线的斜率是．相应地，切线方程为_______________________．2．函数的导数当x=x0时，f'（x0）是一个定数，那么当x改变时，f？（x）是x的函数，叫做f 吗？（x）是F（x）的导数。

F（x）也被记录为y'，即f？（x）＝y′＝_______________【问题探究】探索点导数的几何意义例1如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．跟踪训练1（1）根据示例1的图像，描述T3和T4附近函数H（T）的增加（减少）和增加（减少）速度（2）若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()两点切线方程的探讨问题1怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？问题2点（x0，f（x0））处曲线f（x）的切线与通过点（x0，Y0）的曲线的切线之间有什么区别？例2已知曲线y＝x2，求：（1）点P（1,1）处曲线的切线方程；（2）曲线通过点P（3,5）的切线方程跟踪训练2已知曲线y＝2x2－7，求：（1）曲线上的哪个点的切线平行于直线4x-y-2=0？（2）曲线通过点P（3,9）的切线方程1[法庭检查]1．已知曲线f(x)＝2x2上一点a(2,8)，则点a处的切线斜率为()a．4b．16c．8d．22.如果曲线y=x2+ax+B在点（0，B）处的切线方程为X-y+1=0，则（）a．a＝1，b＝1b．a＝－1，b＝1c．a＝1，b＝－1d．a＝－1，b＝－13．已知曲线y＝2x2＋4x在点p处的切线斜率为16，则p点坐标为_______[课程摘要]1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limδx→0f?x0＋δx?－f?x0?＝f′（x0）δx物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3.用导数计算曲线的切线方程，注意已知点是否在曲线上。

WANOLUOGOUJIAN—、导数1. 对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Ax-0的方式，导数是函数的 增量Ay 与自变量的增量Ax 的比鲁的极限,函数y=Rx ）在点X 。

处的导数的几何意义，就是曲线y=j[x ）在点P （x 。

,几切））处的切线的斜 率.2. 曲线的切线方程利用导数求曲线过点P 的切线方程时应注意： （1） 判断P 点是否在曲线上；（2） 如果曲线尹=/«在P （x°,畑）处的切线平行于y 轴（此时导数不存在），可得方程为x =x 0；尸点坐标适合切线方程，P 点处的切线斜率为广（xo ）.3. 利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用 法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便.因此观察式子的特点，对式子进行适 当的变形是优化解题过程的关键.4. 判断函数的单调性（1） 在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程屮， 只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；（2） 注意在某一区问内/⑴＞0（或/ （x ）＜0）是函数.心）在该区间上为增（或减）函数的充 分条件.本章归纳整合•定积分的概念-L 变速直线运动的路程L 定积分--微积分基本定理- -/：/(x)dx=F(6)-F(a)r 定积分在几何中的应用-定积分的应用-______________ H 曲边梯形的面积[定积分在物理中的应用J 耍点归纳四步曲：分割、 近似代替、求 和、取极限网络构系统盘点i 提炼主线-变化率问题平均变化率鸽取极限-导数的概念:瞬时变化率免L 导数的几何意义、切线的斜率k=f （xA导数及其应用知识网络导数的概①求极值；②极值与端点 处函数值比校①求导数f （%）；②解方程 If 3）=0；③痴商两侧符号J 若厂何＞0,则y=flx ）递增； 若广何＜0,则5）递减；5.利用导数研究函数的极值要注意(1) 极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言的.(2) 连续函数/(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大 值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小.(3) 可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的 极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导 数异号.6. 求函数的最大值与最小值⑴函数的最大值与最小值：在闭区I'可［a, b ］上连续的函数心)，在［a, b ］上必有最大值与 最小值；但在开区间(a, b)内连续的函数./(X )不一定有最大值与最小值，例如：x 丘(一 1,1).(2)求函数最值的步骤一般地，求函数y=J{x)在［a, b ］上最大值与最小值的步骤如下： ① 求函数y=f(x)在(a, b)内的极值；② 将函数y=f{x)的各极值与端点处的函数值/(a), /(b)比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值.7. 应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间 内只有一个点xo ，使.广(xo) = O,则./(xo)是函数的最值.二、定积分I ■ 定积分白勺概念定积分0J 思想贏无限分割、以直代曲、求和、取极限：IMF)00立简)心，而f b af(x)Jx 只是这种极限的一种记号. /=!2.定积分的性质由定积分的定义，对以得到定积分的如下性质: ⑴f kf(x)dx=kf f(x)〃x(k 为常数);aa⑵ f ［fi(x)士f2(x)］dx=f fi(x)dx 土 f f 、2(x)dx ；J a"a"Q(33. 微积分基本定理用微积分基本定理求定积分，关键是求一个未知函数，使它的导函数恰好是已知的被积 函数.4. 定积分的几何意义由于定积分的值可正、可负还可能是0,所以如果在区间［a, b ］上函数f(x)连续且恒有f(x)30,面积的相反数.i 般情况下如下图，定积分ff(x)〃x 的几何意义是：介于X 轴，曲线y=f(x)以及直线X =a,x=b 之间各部分曲边梯形面詁的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的而 积取负号.即ff(x)Jx = Si-S 2+S 3.如图曲边扌话形的面积.设F‘ (x)=f(x),且f(x)在a b ］上连续,则?=F(b) —F(a).x)dx 的值等于曲边梯形的面积；如果f(x)<0,则 a<c<b).dx= F(x) “X 的值等于曲边梯形5. 定积分的应用主要有两个问题：一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定 积分求变速直线运动的路程及变力做功问题.其屮，应特别注意求定积分的运算与利用定积 分计算曲边梯形面积的区别.专题一应用导数解决与切线相关的问题根据导数的儿何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线 相关的问题.【例1】设函数f(x)=4x 2 —Zn x+2,求曲线y=f(x)在点(1, f(l))处的切线方程.解 f' (x) = 8x —7.ZY所以在点(1, f(l))处切线的斜率k = f‘ (1)=7, 又 f(l)=4+2 = 6,所以切点的坐标为(1,6),所以切线的方程为y —6 = 7(x —1),即y=7x —1.【例2］点P(2,0)是函数f(x) = x? + ax 与g(x)=bx 2+c 的图彖的一个公共点，且两条曲 线在点P 处有相同的切线，求a, b, c 的值.解 因为点P(2,0)是函数f(x)=x 3 + ax 与g(x)=bx 2 + c 的图象的一个公共点， 所以23 + 2a=0① 4b+c=0 ②由①得a=—4.所以 f(x) = x 3—4x.又因为两条曲线在点P 处有相同的切线， 所以 f‘ (2)=g‘ (2),而由 f‘ (x)=3x 2-4 得到 f‘ (2)=8, 由 g' (x)=2bx 得到『(2)=4b,所以8=4b,即b=2,代入②得到c= 一& 综上所述，a=—4, b=2, c= —& 专题二应用导数求函数的单调区间在区间(a, b)内,如果f' (x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a, b)内单调递增;在区间(a, b)内，如果f' (x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a, b)内单调递减.2【例3】 已知函数f(x)=x —~+ a(2 — In x), a>0.讨论f(x)的单调性.X解由题知，f(x)的定义域是(0, +8),2 a x 2—ax+2 ~2——= 2 .X X X设 g(x)=x 2-ax + 2,二次方程 g(x)=O 的判别式△ = &?一&① 当△<()即0VaV2迄吋，对一切x>0都有f' (x)>0.此吋f(x)是(0,十呵上的单调递 增函数.② 当△ = ()即a = 2迈时，仅对x=y/2,有f ，(x) = O,对其余的x>0都有f ，(x)>0.此时 f(x)也是(0, +8)上的.車调递增函数.02ZHUANTIGUINA .........................» 专题归纳整合专题i 典例掲秘③当△>()即a>2迈时，方程g(x) = O有两个不同的实根a—pa'—8 a+Qa'—8 小X] = c , X?= c , 0<X[<X2・当X变化时，f‘(x)、f(x)的变化情况如下表:a—呼芳上单调递增,此时f(x)在(o,在件爭+8)上单调递增.专题三利用导数求函数的极值和最值1.利用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f‘ (x)=0的根；(3)检验f‘(x) = 0的根的两侧f‘(x)的符号.若左正右负，则f(x)在此根处収得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点.2.求函数f(x)在闭区间［a, b］上的最大值、最小值的方法与步骤⑴求f(x)在(a, b)内的极值;(2)将(1)求得的极值与f(a). f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值.特别地，①当f(x)在［a, b］上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a, b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a, b)也可以是(一°°, +°°).【例4】己知函数f(x)=x'+ax2 + b的图象上一点P(l,0),且在点P处的切线与直线3x +y=0平行.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间［0, t］(0<t<3)±的最大值和最小值;(3)在⑴的结论下，关于x的方程f(x)=c在区间［13上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围.解⑴因为f' (x)=3x2+2ax,曲线在P(l,0)处的切线斜率为：F (l)=3+2a,即3+2a =—3, a=—3.又函数过(1,0)点，即一2+b=0, b=2.所以a=—3, b = 2, f(x) = x3—3x2+2.(2)rtl f(x)=x3—3X2+2得，f' (x)=3x2—6x.由F (x) = 0 得，x = 0 或x=2.①当0<tW2 时，在区间(0, t)± f (x)<0, f(x)在［0, t］上是减函数,所以f(x),”“x=f(0)=2,f(X),wn = f(t) = t3— 312 + 2.②当f(xU=f(2)=-2, f(x)哑为f(0)与f(t)中较大的一个.f(t)—f(0)=F — 3t2=t2(t -3)<0.所以f(x)加心=f(0)=2.(3)令g(x) = f(x)—c=x3—3x2+2 —c, g' (x) = 3x2—6x=3x(x—2).在xe[l,2)上，g' (x)<0；在xw(2,3]上，g‘(x)>0.要使g(x)=0 在[1,3]上恰有两个相异g(l)>0,的实根，d g(2)<0,、g⑶ 20，解得一2<cW0.专题四导数与函数、不等式利用导数知识解决不等式问题是我们常见的一个热点问题，其实质就是利用导数研究函数的单调性，通过单调性证明不等式，这类问题在考查综合能力的同时，又充分体现了导数的工具性和导数的灵活性.【例5】证明：当xe［—2,1］时，一辛冬霁一4xW#证明令他)=占？一4*, ［―2,1］,则f‘ (X)=X2-4.因为xU［—2,1］,所以f‘(x)W0,即函数f(x)在区间［—2,1］上单调递减.故函数f(x)在区间［—2,1］上的最大值为f(-2)=y,最小值为f(l)=-y.所以，当xe［—2,1］时，一¥wf(x)w¥，即一¥冬$'—4xW学成立.专题五导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具, 考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的収值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.【例6］设函数f(x)=—、'+2ax2 —3a2x+b(0<a<l).(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若当xe［a + l, a + 2］吋，恒有|f‘(x)|Wa,试确定a的取值范围；(3)当&=彳时，关于x的方程f(x)=0在区间［1,3］上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围.解(l)f' (x)=-x2+4ax-3a2=—(x—a)(x —3a). 令f，(x) = 0,得x = a 或x = 3a.当xf(x)当x=a吋，f(x)取得极小值，f(x)极小=f(a)=b—扌J；当x=3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大=f(3a)=b. (2)f z (x)=-x2+4ax-3a2,其对称轴为x=2a. 因为0<a<l,所以2a<a+l.所以f‘ (x)在区间［a + 1, a + 2］上是减函数.当x=a+1 时，f7 (x)取得最大值，f z (a+l) = 2a—1；当x=a+2 时,f r (x)取得最小值，f f (a+2)=4a—4.2a —lWa,4于是有仁宀 即4a —4±—a,34又因为0<a<l,所以§Wa<l.(3)当 a=f 时,f(x)= —|x 3+jx 1 2 3—yx+b. f' (x)=—x 2+|x —由 f' (x) = 0,即一x?+|x —扌=0,2解得 X]=T ，X2 = 2,即f(x)在(一 8,寻上是减函数， 在伶2)上是增函数，在(2, +8)上是减函数. 要使f(x) = 0在[13上恒有两个相异实根， 即f(x)在(1,2), (2,3)上各有一个实根，解得0<b 吕.专题六定积分及其应用1. 定积分是解决求平面图形，特别是不规则图形的面积、变速直线运动的路程及变力做 功等问题的方便而且强有力的工具.2. 不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、 下限一般是两曲线交点的横坐标.【例7】设两抛物线y= — x?+2x, y=x 2所围成的图形为M,求M 的面积.解函数y= —x?+2x, y = x 2在同一平面直角坐标系屮的图象如图所示. 由图可知，图形M 的面积S= f '0(-x 2 + 2x-x 2)t/x=f b(—2x?+2x)dx=(—討+ x?)=g.“ JIEDUGAOKAO .....................................03》解读高考命题趋势2 导数是研究函数的重要工具，自从导数进入教材之后，给函数问题注入了生机和活力, 开辟了许多解题新途径，拓展了高考对•函数问题的命题空间，其中导数的概念和运算是导数 的基础内容，在高考题中一般以容易题出现，并且在高考中所占的份量不大.3 由近三年的高考试题统计分析可以看出，导数的应用已经成为高考炙手可热的热点问 题.每年全国及各省市的自主命题中都有导数应用的解答题出现，因此搞好导数应用的复习f(l)W0,于是有\f(2)>0,、f(3)W0,—*+bW0, b>0,、一1 +bW0,感知考悄i 体验真题非常有必要.常见的考查角度如下：(1)对导数与函数的单调性的考查，求导确定函数的单调区间，已知函数的某一单调区间探求参数的范围等.(2)对导数与函数的极(最)值的考查，女口：求函数的极值及闭区间上的最值，以极值或最值为载体考查参数的范围；解题关键在于准确理解极值(最值)的定义，善于利用分类讨论思想，等价转化思想去解题.(3)对导数的综合应用的考查，与函数、方程、不等式、数列等联系进行综合考查，主耍考查函数的最值或求参数的值或范围.解题时要善于把复杂的、生疏的、非规范化的问题转化为简单的、熟悉的、规范化的问题来解决.高考真题(2012-湖北高考)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示，贝9它与x轴所围图形的面积为()•解析根据f(x)的图象可设f(x)=a(x+l)(x-l)(a<0). 因为f(x)的图象过(0,1)点，所以一a=l,即a= —1. 所以f(x)= —(x4- l)(x—1)= 1 —x2.所以S= I L](l —x?)dx = 2 f '0(1 — x2)i/x = 2( x—jx答案B2.(2011-山东高考)曲线y=x3+ll在点P(l,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ).A.-9B. -3C. 9D. 15解析Vy=x3+ll, :.y1 =3x2, ・・・『k=i = 3,・•・曲线y=x3+11在点戸亿⑵处的切线方程为y —12 = 3(x—l)・令x=0,得y=9.答案C3.(2012-陕西高考)设函数f(x)=xe x,贝％).A.x=l为f(x)的极大值点B.x=l为f(x)的极小值点C.x= —1为f(x)的极大值点D.x= —1为f(x)的极小值点解析*.*f(x)=xe x, /. f f (x) = e x 4- xe x=e x( 1 + x)・・••当F (x)2 0时,即e x(l+x)>0,即xM — l, ・・・xM — 1时函数y=f(x)为增函数.同理可求，X< —1时函数f(x)为减函数..*.X= — 1时，函数f(x)取得极小值.答案D4.(2010-大纲全国高考)曲线丫=0卞+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为().解析 Vy , =( — 2x)‘ e ・・・切线方程为y —2=—2仪一0),即丫= -2x + 2. 如图，Ty=—2x+2与y=x 的交点坐标为 S =^ X 1 乂3=亍.答案A5. (2012-辽宁)己知P, Q 为抛物线x 2=2y ±两点，点P, Q 的横坐标分别为4, 一2, 过P, Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A,则点A 的纵坐标为 _____________________ ・解析 因为y=|x',所以y‘ =x,易知P(4,8), Q(—2,2),所以在P 、Q 两点的切线的斜率的值为4或一2.所以这两条切线方程为h ： 4x —y —8=0, 12： 2x+y+2 = 0,将这两个方程联立方程组求 得 y=—4.答案一46. (2012-安徽高考)设函数 f(x)=ae x +^+b(a>0). ⑴求f(x)在［0, +8)内的最小值；3(2)设曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y 求a, b 的值.解(l)f' (x)=ae x —当 f‘ (x)>0,即 x>~ln a 时，f(x)在(—In a, +°°)上递增； 当 f‘ (x)<0,即 xV —加 a 时，f(x)在(一 8, fa)上递减.① 当0 <a< 1时，一/舁a>0, f(x)在(0, -In a)上递减，在(fa, +8)上递增，从而f(x) 在［0, +8)上的最小值为f (一加a)=2+b ；② 当aMl 吋，一f(x)在［0, +呵上递增，从而f(x)在［0, +呵上的最小值为f(0) =a+丄+b. a12i7⑵依题意f ，(2)=ae 2—解得a ，=2或a/=—/(舍去)，所以a=尹 代入原函数 可得 2+*+b =3,即 b=£,故 a_孑,b 一2«7. (2011•北京高考)已知函数f(x)=(x-k)e x .⑴求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间［0,1］上的最小值. 解(l)f' (x)=(x — k+l)/ 令 f‘ (x)=0,得 x = k-l.f(x)与的变化情况如下：X ( — 8, k — 1)k-1 (k —1, +°°)F (X )—+ f(x)k-1 "e/所以，f(x)的单调递减区I 、可是(一I k-1)；单调递增区间是(k-1, +<-).(2)当 k —lW0,即 kWl 吋， 函数f(x)在［0」］上单调递增，,y=—2x+2与x 轴的交点坐标为(1,0),-2x所以f(x)在区间［0丄］上的最小值为f (o )=-k ； 当 0<k-l<l, EP l<k<2 时，由⑴知f(x)在［0, k-1)上单调递减， 在(k-l,l ］±单调递增，所以f(x)在区间［0,1］上的最小值为f(k —l)=—F 】； 当 k —121,即 k$2 时，函数f(x)在［0,1］上单调递减，所以f(x)在区间［0」］上的最小值为f(l)=(l-k)e.8. (2011-江西高考)设 f(x) = —|x 3 +^x 2 + 2ax.(1)若f(x)在(彳，+s)上存在单调递增区间，求a 的取值范围；⑵当0<a<2时，f(x)在［1,4］上的最小值为一乎，求f(x)在该区间上的最大值. 解(1)由 f'(x)=-x 2+x+2a当 x e J, 时，f z (x)的最大值为F 6)=#+2a ； 2 1令^+2a>0,得 a>—所以，当a>—g 时,f(X )在住，+->)上存在单调递增区间. (2)令 f' (x)=0,得两根 X!-1\1+8a所以f(x)在(一8, Xi),(X2，+8)上单调递减，在(X1，X2)上单调递增. 当 0<a<2 时，有 X )<1<X 2<4, 所以f(x)在［1,4］上的最大值为f(X2)・27又 f(4)-f(l)=-y+6a<0,得a=l, X2=2,从而f(x)在［1,4］上的最大值为f(2)=y.9. (2011-福建高考)某商场销售某种商品的经验表明，该商场每日的销售量y (单位：千 克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=^+10(x-6)2,其屮3<x<6, a 为常数.已 知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1) 求a 的值；(2) 若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商品每H 销售该商品所获得 的利润最大.解(1)因为x=5吋，y=ll,所以号+10=11, a=2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y=—^+10(x-6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x_3)|j±+ 10(X _6)2=2+ 10(X -3)(X -6)23<X <6.从而,l+pl+8a即 f(4)<f(l),所以f(x)在［1,4］上的最小值为f' (X)=10[(X-6)2+2(X-3)(X-6)]=30(X-4)(X-6).于是，当X变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表:由上表可得，*=4是函数俭)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以，当x=4时，函数f(x)収得最大值，且最大值等于42.所以当销售价格为4元/千克时，商场每FI销售该商品所获得的利润最大.。

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.3.4导数及其应用习题课学案 新人教A 版选修2-2【学习目标】1.理解导数与函数的单调性的联系；2. 理解、明辩导数与函数的单调性的题型题。

【重点难点】 导数与含参函数单调性的题型 【学习过程】 一、复习知识：1、理论：导数判断(证明) 函数的单调性：(函数在某个区间上) （1）若0)('>x f ，则)(x f 为增函数；(2)若0)('<x f ，则)(x f 为减函数2、求函数单调区间的步骤:⑴求函数的定义域 ⑵求)('x f 并变形⑶令0)('>x f ，求出函数单调增区间；令0)('<x f ，求出函数单调减区间.3、练习：1、求函数()()x x x f 21ln --=的单调区间：4、提升练习：含参单调性问题 2、已知函数()(),0,ln 12>-+-=a x a xx x f 讨论函数()x f 的单调性.二、已知区间求参数问题：例：已知函数()R a x ax x x f ∈+++=,123.①当a =1时，求函数()x f 的单调区间；②设函数()x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛--31,32内是减函数，求a 的取值范围.反思题型与方法（1）求已知函数的单调区间：（2）已知函数单调性（或单调区间），求参数的取值范围：原理：（1）若()()0'≥⇒x f x f 为增函数；（2）若()()0'≤⇒x f x f 为减函数变式练习1：若()()2ln 212++-=x b x x f 在()+∞-,1上是减函数，则b 的取值范围是 .变式练习2：设函数()0,)2ln(ln )(>+-+=a ax x x x f①当1=a 时，求)(x f 单调区间; ②若)(x f 在(]1,0上的最大值为21，求a 的值课后作业1、如果函数()x f y =的图象如图所示，那么导函数()x f y '=的图象可能是（ ）2、对于R 上的可导函数)(x f ，若满足()0)(1'≥-x f x ，则必有（ ）A.)1(2)2()0(f f f <+；B. )1(2)2()0(f f f ≤+C. )1(2)2()0(f f f ≥+；D.)1(2)2()0(f f f >+3、求函数()()221ln +-+=x xx x f 的单调区间：4、已知函数)0(2)1ln()(2≥+-+=k x k x x x f ①当2=k 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；②求)(x f 的单调区间.5、若()()2ln 212++-=x b x x f 在()1,+∞上是减函数，则b 的取值范围是 .6、已知函数133)(3++-=x ax x x f ，（1）设a =2，求)(x f 的单调区间，(2)设)(x f 在区间)3,2(中至少有一个极值点，求a 的取值范围.。

1．3.2函数的极值与导数预习课本P26～29，思考并完成下列问题(1)函数极值点、极值的定义是什么？(2)函数取得极值的必要条件是什么？(3)求可导函数极值的步骤有哪些？[新知初探]1．函数极值的概念(1)函数的极大值一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点．(2)函数的极小值一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点．极大值与极小值统称为极值．[点睛]如何理解函数极值的概念(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．(5)单调函数一定没有极值．2．求函数y＝f(x)极值的方法一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f ′(x )＝0. 当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值； (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值．[点睛] 一般来说，“f ′(x 0)＝0”是“函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数y ＝f (x )在点x 0处可导，且在点x 0处取得极值，那么f ′(x 0)＝0；反之，若f ′(x 0)＝0，则点x 0不一定是函数y ＝f (x )的极值点．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋1必有2个极值．( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合．( ) (3)函数f (x )＝1x 有极值．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)×2．下列四个函数：①y ＝x 3；②y ＝x 2＋1；③y ＝|x |；④y ＝2x ，其中在x ＝0处取得极小值的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③答案：B3．已知函数y ＝|x 2－1|，则( ) A ．y 无极小值，且无极大值 B ．y 有极小值－1，但无极大值 C ．y 有极小值0，极大值1 D ．y 有极小值0，极大值－1 答案：C4. 函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0， π2上的极大值点为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π2答案：B运用导数解决函数的极值问题题点一：知图判断函数的极值1．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值解析：选C由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以x＝0取得极大值，x＝2取得极小值，x＝4取得极大值，因此选C.题点二：已知函数求极值2．求函数f(x)＝x2e－x的极值．解：函数的定义域为R，f′(x)＝2x e－x＋x2·e－x·(－x)′＝2x e－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，0)0(0, 2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值0极大值4e－2因此当x＝0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝4 e2.题点三已知函数的极值求参数3．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(0，＋∞)C．(0,1) D．(－1,0)解析：选D若a<－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；若－1<a <0，则f (x )在(－1，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减，从而在x ＝a 处取得极大值．若a >0，则f (x )在(－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，∴选D. 4．已知f (x )＝ax 5－bx 3＋c 在x ＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a ，b ，c 的值．解：f ′(x )＝5ax 4－3bx 2＝x 2(5ax 2－3b )． 由题意，f ′(x )＝0应有根x ＝±1，故5a ＝3b ， 于是f ′(x )＝5ax 2(x 2－1)(1)当a ＞0，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 － 0 ＋ f (x )极大值无极值极小值由表可知：⎩⎪⎨⎪⎧4＝f (－1)＝－a ＋b ＋c ，0＝f (1)＝a －b ＋c .又5a ＝3b ，解之得：a ＝3，b ＝5，c ＝2. (2)当a ＜0时，同理可得a ＝－3，b ＝－5，c ＝2.1．求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求导数f ′(x )．(3)解方程f ′(x )＝0得方程的根．(4)利用方程f ′(x )＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．(5)确定函数的极值，如果f ′(x )的符号在x 0处由正(负)变负(正)，则f (x )在x 0处取得极大(小)值．2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．函数极值的综合应用[典例] 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1(a ≠0)．若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．[解] 因为f (x )在x ＝－1处取得极值且f ′(x )＝3x 2－3a ， 所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，所以a ＝1. 所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0. 所以由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1， 在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3. 作出f (x )的大致图象如图所示：因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的图象可知，m 的取值范围是(－3,1)．[一题多变]1．[变条件]若本例中条件改为“已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4”在x ＝43处取得极值，其他条件不变，求m 的取值范围．解：由题意可得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f ′⎝⎛⎭⎫43＝0， 可得a ＝2，所以f (x )＝－x 3＋2x 2－4， 则f ′(x )＝－3x 2＋4x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝43，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，0)0 ⎝⎛⎭⎫0，43 43 ⎝⎛⎭⎫43，＋∞ f ′(x ) － 0 ＋ 0 －f (x )－4－7627因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－4，－7627.2．[变条件]若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解：由例题解析可知：当m ＝－3或m ＝1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点；当m <－3或m >1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象只有一个交点．(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．层级一 学业水平达标1．已知函数y ＝f (x )在定义域内可导，则函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件解析：选B 根据导数的性质可知，若函数y ＝f (x )在这点处取得极值，则f ′(x )＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f (x )＝x 3在R 上是增函数，f ′(x )＝3x 2，则f ′(0)＝0，但在x ＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y ＝f (x )在某点处的导数值为0是函数y ＝f (x )在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.2．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D 由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x ⎝⎛⎭⎫1－2x ＝0可得x ＝2.当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故x ＝2为f (x )的极小值点．3．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A ．(2,3)B ．(3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)解析：选B 因为函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，又f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，所以f ′(2)＝0解得a ＝－15.令f ′(x )＞0，解得x ＞3或x ＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．4．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解析：选C 由题意可得f ′(－2)＝0，而且当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，此时xf ′(x )＞0；排除B 、D ，当x ∈(－2，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时若x ∈(－2,0)，xf ′(x )＜0，若x ∈(0，＋∞)，xf ′(x )＞0，所以函数y ＝xf ′(x )的图象可能是C.5．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A.427，0 B ．0，427C ．－427，0 D ．0，－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x . 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427.当x ＝1时f (x )取极小值0.6．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝______________.解析：∵f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0.∴a ＝－23.答案：－237．函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝1a 处有极值，则b 的值为________．解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝1a 处有极值，∴f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝2a ·1a ＋b ＝0，即b ＝－2. 答案：－28.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号)①当x ＝32时，函数f (x )取得最小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数值取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值．解析：由图象可知，x ＝1,2是函数的两极值点，∴②正确；又x ∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，y ＞0；x ∈(1,2)时，y ＜0，∴x ＝1是极大值点，x ＝2是极小值点，故③④正确．答案：①9．设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，求f (x )的单调区间与极值． 解：由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R.令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，ln 2)ln 2 (ln 2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减↘2(1－ln 2＋a )单调递增↗故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)； 且f (x )在x ＝ln 2处取得极小值．极小值为f (ln 2)＝2(1－ln 2＋a )，无极大值．10．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． 解：(1)由已知，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0. 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1.∴a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数． ∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1； 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.层级二 应试能力达标1．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3 D ．－1，－3解析：选A ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3.2．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,2)B ．(－3,6)C ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：选C f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，∵f (x )有极大值与极小值，∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6.3．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax (x ∈R)有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＜－1eD ．a ＞－1e解析：选A ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .令y ′＝e x ＋a ＝0，则e x ＝－a ，∴x ＝ln(－a )．又∵x ＞0，∴－a ＞1，即a ＜－1.4．已知函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，x ∈(0,2 017π)，则函数f (x )的极大值之和为( ) A.e 2π(1－e 2 018π)e 2π－1B.e π(1－e 2 016π)1－e 2πC.e π(1－e 1 008π)1－e 2πD.e π(1－e 1 008π)1－e π解析：选B f ′(x )＝2e x sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2 017π)，∴0<(2k ＋1)π<2 017π，∴0≤k <1 008，k ∈Z. ∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2 015π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2 015π＝e π[1－(e 2π)1 008]1－e 2π＝e π(1－e 2 016π)1－e 2π，故选B.5．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于______．解析：y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)．由y ′＝0，得x ＝0或4.且x ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y ′＜0；x ∈(0,4)时，y ′＞0，∴x ＝4时取到极大值．故－64＋96＋m ＝13，解得m ＝－19.答案：－196．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为______．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，则f ′(－1)f ′(1)<0，即(1－a )(5－a )<0，解得1<a <5，另外，当a ＝1时，函数f (x )＝x 3＋x 2－x －4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，当a ＝5时，函数f (x )＝x 3＋x 2－5x －4在区间(－1,1)没有极值点．故实数a 的范围为[1,5)．答案：[1,5)7．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．8．已知f (x )＝2ln(x ＋a )－x 2－x 在x ＝0处取得极值． (1)求实数a 的值．(2)若关于x 的方程f (x )＋b ＝0的区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取11 值范围．解：(1)f ′(x )＝2x ＋a －2x －1，当x ＝0时，f (x )取得极值，所以f ′(0)＝0，解得a ＝2，检验知a ＝2符合题意．(2)令g (x )＝f (x )＋b ＝2ln(x ＋2)－x 2－x ＋b ，则g ′(x )＝2x ＋2－2x －1＝－2x ⎝⎛⎭⎫x ＋52x ＋2(x ＞－2)．g (x )，g ′(x )在(－2，＋∞)上的变化状态如下表：x (－2,0) 0 (0，＋∞) g ′(x ) ＋ 0 － g (x ) 2ln 2＋b由上表可知函数在x ＝0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b . 要使f (x )＋b ＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≤0，g (0)＞0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ≤0，2ln 2＋b ＞0，2ln 3－2＋b ≤0，所以－2ln 2＜b ≤2－2ln 3.故实数b 的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]．。

1.3.2函数的极值与导数学案【学习目标】1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤； 【学习重难点】重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.【学习过程】 一、学前准备：1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数.2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数()f x '. ②令 解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令 解不等式，得x 的范围，就是递减区间 . 二、合作探究： 探究一：问题1：如下图，函数()y f x =在,,,,,,,a b c d e f g h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？看出，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都 ，()f a '= ；且在点x a =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0.类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其它点的函数值都 ，()f b '= ；而且在点x b =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 新知：我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 .试试：（1）函数的极值 （填是，不是）唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值(3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.反思：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点.比如：函数3()f x x =在x=0处的导数为 ，但它 （是或不是）极值点. 即：导数为0是点为极值点的 条件.典型例题例1 求函数31443y x x =-+的极值.变式1：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求 (1) 0x 的值(2)a ，b ，c 的值.小结：求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)求方程f ′(x )=0的根（4）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.【学习检测】1. (A)函数232y x x =--的极值情况是（ ）A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也极小值2.(B) 三次函数当1x =时，有极大值4；当3x =时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ）A ．3269y x x x =++B ．3269y x x x =-+ C ．3269y x x x =-- D ．3269y x x x =+- 3. (B)函数322()f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则a 、b 的值为（ ）A ．3,3a b ==-或4,11a b =-=B ．4,1a b =-=或4,11a b =-=C ．1,5a b =-=D ．以上都不正确4. (B)函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时有极值10，则a的值为5. (B)函数32()3(0)f x x ax a a =-+>的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为6(C)如图是导函数()y f x '=的图象,在标记的点中，在哪一点处（1）导函数()y f x '=有极值？ （2）导函数()y f x '=有极小值？（3）函数()y f x =有极大值？（4）导函数()y f x =有极小值？7(C) 下图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.8(C). 求下列函数的极值： （1）2()62f x x x =++；（2）3()48f x x x =-. （3）3()612f x x x =+-；（4）3()3f x x x =-.【小结与反思】。

第一章导数及其应用1.4 习题课一、教学目标：知识与技能：进一步理解导数的概念，熟练掌握运用导数求函数单调区间、极值与最值；过程与方法：提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：利用导数求函数的单调区间、极值与最值．难点：通过综合问题的解决提升学生分析问题和解决问题的能力．三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（一）温故知新1. 知识络2.方法总结(1)导数的概念是本章学习的关键，它不但提供了一般的求导方法，并且常见函数的导数，函数的和、差、积、商的导数法则，复合函数的求导法则等都是由定义得出的；(2)导数的概念实质是函数值相对于自变量的变化率，是变量的变化速度在数学上的一种抽象； (3)在导数的定义中“比值xy∆∆叫做函数)(x f y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率”； (4)复合函数的求导，应分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解为基本初等函数或较简单寒暑，然后用复合函数求导法则求导；(5)用导数方法判别或证明函数在给定区间上的单调性，相对与定义法解决单调性问题是十分简捷的； (6)函数极值的确定，实际是建立在对函数单调性的认识基础上的；(7)在实际问题中，若函数只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较；(8)理解和掌握导数及其有关概念是本章学习的基础；会对简单的初等函数进行求导是本章的重点；会求一些实际问题的最大值与最小值是培养能力的关键． 3.概念与公式(1)导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y=，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/(2)导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-(3)导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，(4)可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导(5)可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.(6)求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim(7) 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=(8)法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭(9)复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).(10)复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． (11)对数函数的导数： x x 1)'(ln =e xx a a log 1)'(log = (12)指数函数的导数：xxe e =)'( a a a xxln )'(=(13) 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数(14)用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间(15)极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点(16)极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点(17)极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点(18)判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值(19) 求函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )(2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值(20)函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个(21)利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值 （二）典例解析题型一 函数与其导函数之间的关系例1 对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列{a n n ＋1}的前n 项和的公式是 ． 答案 2n ＋1－2解析 由k ＝y ′|x ＝2＝－2n －1(n ＋2)，得切线方程为y ＋2n ＝－2n －1(n ＋2)(x －2)，令x ＝0，求出切线与y 轴交点的纵坐标为y 0＝(n ＋1)2n ，所以a nn ＋1＝2n ，则数列{a nn ＋1}的前n 项和S n ＝－2n 1－2＝2n ＋1－2.反思与感悟 找切点，求斜率是求切线方程的关键．跟踪训练1 如图，曲线y ＝f (x )上任一点P 的切线PQ 交x 轴于Q ，过P 作PT 垂直于x 轴于T ，若△PTQ 的面积为12，则y 与y ′的关系满足( )A ．y ＝y ′B ．y ＝－y ′C ．y ＝y ′2D ．y 2＝y ′ 答案 D解析 S △PTQ ＝12×y ×|QT |＝12，∴|QT |＝1y ，Q (x －1y ，0)，根据导数的几何意义，k PQ ＝y －0x －x －1y＝y ′∴y 2＝y ′.故选D.题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值例2 已知函数f (x )＝ax 3＋(a －1)x 2＋48(a －2)x ＋b 的图象关于原点成中心对称． (1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间及极值； (3)当x ∈[1,5]时，求函数的最值．解 ∵函数f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，得－ax 3＋(a －1)x 2－48(a －2)x ＋b ＝－ax 3－(a －1)x 2－48(a －2)x －b ，于是2(a －1)x ＋2b ＝0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0b ＝0，解得a ＝1，b ＝0；(2)由(1)得f (x )＝x 3－48x ，∴f ′(x )＝3x 2－48＝3(x ＋4)(x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－4，x 2＝4，令f ′(x )<0，得－4<x <4，令f ′(x )>0，得x <－4或x >4. ∴f (x )的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)， ∴f (x )极大＝f (－4)＝128，f (x )极小＝f (4)＝－128.(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，对f (4)＝－128，f (1)＝－47，f (5)＝－115，所以函数的最大值为－47，最小值为－128.小结 (1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f ′(x )>0得增区间，解f ′(x )<0得减区间． (2)求极值时一般需确定f ′(x )＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．(3)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．跟踪训练2 已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求a ，b 的值； (2)求函数的极小值； (3)求函数在[－1,1]的最值．解 y ′＝3ax 2＋2bx ，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3a ＋2b ＝0，y |x ＝1＝a ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0a ＋b ＝3，a ＝－6，b ＝9.(2)y ＝－6x 3＋9x 2，y ＝－18x 2＋18x ，令y ＝0，得x ＝0，或x ＝1， ∴y 极小值＝y |x ＝0＝0.(3)由(1)知，函数y ＝f (x )＝－6x 3＋9x 2，又f (－1)＝15，f (0)＝0，f (1)＝3， 所以函数的最大值为15，最小值为0.题型三 导数的综合应用例3 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－a ，因为f (x )在R 上是增函数，所以f ′(x )≥0在R 上恒成立． 即3x 2－a ≥0在R 上恒成立．即a ≤3x 2，而3x 2≥0，所以a ≤0. 当a ＝0时，f (x )＝x 3－1在R 上单调递增，符合题意． 所以a 的取值范围是(－∞，0]．(2)假设存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，则f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立．即3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，即a ≥3x 2， 又因为在(－1,1)上，0≤3x 2<3，所以a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )＝3x 2－3，在(－1,1)上，f ′(x )<0， 所以f (x )在(－1,1)上单调递减，即a ＝3符合题意，所以存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，且a 的取值范围是[3，＋∞)．反思与感悟 在已知函数f (x )是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立来求解)，然后检验参数的取值能否使f ′(x )恒等于0，若不能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f ′(x )能恒等于0，则由f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立解出的参数的取值范围来确定． 跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤－12，12，则实数a 的值是多少？ (2)若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3在⎣⎡⎦⎤－12，12上是单调函数，则实数a 的取值范围为多少？ 解 (1)f ′(x )＝12x 2－a ，∵f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－12，12，∴x ＝±12为f ′(x )＝0的两个根，∴a ＝3.(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上为单调增函数，则f ′(x )≥0在⎣⎡⎦⎤－12，12上恒成立， 即12x 2－a ≥0在⎣⎡⎦⎤－12，12上恒成立，∴a ≤12x 2在⎣⎡⎦⎤－12，12上恒成立，∴a ≤(12x 2)min ＝0. 当a ＝0时，f ′(x )＝12x 2≥0恒成立(只有x ＝0时f ′(x )＝0)．∴a ＝0符合题意． 若f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上为单调减函数，则f ′(x )≤0在⎣⎡⎦⎤－12，12上恒成立， 即12x 2－a ≤0在⎣⎡⎦⎤－12，12上恒成立，∴a ≥12x 2在⎣⎡⎦⎤－12，12上恒成立，∴a ≥(12x 2)max ＝3. 当a ＝3时，f ′(x )＝12x 2－3＝3(4x 2－1)≤0恒成立(且只有x ＝±12时f ′(x )＝0)．因此，a 的取值范围为a ≤0或a ≥3. （四）当堂达标1．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，13 答案 C解析 若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，只需y ′＝3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，即Δ＝4－12m ≤0， ∴m ≥13.2．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )答案 D解析 若函数在给定区间上是增函数，则y ＝f ′(x )>0，若函数在给定区间上是减函数，则y ＝f ′(x )<0. 3．设f (x )、g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( ) A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )答案 C解析 由条件，得⎝⎛⎭⎫f x g x ′＝fx gx －f x gx[g x 2<0.∴f xg x 在(a ，b )上是减函数．∴f b g b <f x g x <f ag a，∴f (x )g (b )>f (b )g (x )． 4．函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，若对于任意x ∈[－1,2]，都有f (x )<m ，则实数m 的取值范围是 ．答案 (7，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1.可判断求得f (x )max ＝f (2)＝7.∴f (x )<m 恒成立时，m >7.五、小结导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法． 六、作业 1.课时检测。

函数的和、差、积、商的导数教学目的：1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数3.能够综合运用各种法则求函数的导数教学重点：用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则教学难点：函数的积、商的求导法则的推导．授课类型：新授课教学过程：一、复习引入：常见函数的导数公式：0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=二、讲解新课：例1.求2y x x =+的导数.法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 []()()''()'()f x g x f x g x ±=±法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．[]()'()'cf x cf x = 法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+证明：令()()y f x g x =，则=∆y ()f x x +∆()g x x +∆-()()f x g x()f x x =+∆()g x x +∆-()f x ()g x x +∆+()f x ()g x x +∆-()()f x g x ， =∆∆x y ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x ()()g x x g x x+∆-∆ 因为()g x 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→∆x 时，()()g x x g x +∆→，从而0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x 0lim →∆x ()()g x x g x x+∆-∆ '()()()'()f x g x f x g x =+，法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭三、讲解范例：例1 求下列函数的导数1、y =x 2+sin x 的导数.2、求2(23)(32)y x x =+-的导数．(两种方法)3、求下列函数的导数 ⑴()sin h x x x = ⑵21()t s t t+= 4、y =5x 10sin x －2x cos x －9，求y ′5、求y =xx sin 2的导数. 变式：(1)求y =332++x x 在点x =3处的导数.(2) 求y =x1·cos x 的导数. 例2求y =tan x 的导数.例3求满足下列条件的函数()f x(1) ()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=(2)'()f x 是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=变式：已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式四、课堂练习：1.求下列函数的导数：(1)y =x a x a +- (2)y =232xx + (3)y =x cos 11- 五、小结 ：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数法则(vu )′=2v v u v u '-'(v ≠0)，如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则，来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住六、课后作业：。

教学准备
1. 教学目标
1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．
2. 教学重点/难点
【教学重点】利用导数判断函数单调性．
【教学难点】利用导数判断函数单调性．
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
【内容分析】
以前，我们用定义来判断函数的单调性．对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数．对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数．
在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．
【教学过程】
一、复习引入：
1．常见函数的导数公式：
4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
二、讲解新课：
1．函数的导数与函数的单调性的关系：
定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数．
2．用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数f(x)的导数f′(x)．
②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间．
③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间．
点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些．如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性．
点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0．。

选修2-2 复习学案一、导数及其应用1、求曲线的切线例1 （1）已知函数3()2f x x x =+- ①在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标 ； ②函数)(x f 在点．．（1，0）处的切线方程为 ； （2）曲线2y x =过点．．P(3,5)的切线方程 .变式1：若函数21()ln 2f x x ax x =-+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围2、利用导数研究函数的性质例2.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f(1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． (3) 若对[1,2],()=0x f x ∈-方程有三个零点，求ｃ的取值范围．变式2 已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值（1）求函数)(x f 的解析式.（2）若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围.例3若函数32()23(1)68()f x x a x ax a R =-+++∈在(,0)-∞单增，求a 的取值范围变式3 （1）已知函数233)(x x x f +=在区间[2m-1,m+1]上递增,则m 的取值范围 . （2）已知函数233)(x x x f +=的单减区间为（a ，b ）,则a+b= . 例4 已知函数()ln a f x x x=-（1）若()f x 存在最小值且最小值为2，求a 的值；（2）设()ln g x x a =-，若2()g x x <在(0,]e 恒成立，求a 的取值范围3、定积分的计算例5计算下列定积分（1）⎰+5321dx xx =_______； （2）⎰--1121dx x =_______.；（3）22|2|x x dx +-⎰= ；（4）21(23)t dx +=⎰ ；（5）已知()f x 为偶函数且⎰6)(dx x f =8则⎰-66)(dx x f =________________；（6）由曲线12,3y y x y x ==-=-所围成的图形的面积为二、推理与证明与复数1.下面几种推理是合情推理的是：①由圆的性质类比推出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是1800，归纳出所有三角形的内角和都是1800；③某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是1800，四边形内角和是3600，五边形的内角和是5400，得出凸n 边形内角和是(n-2)·1800.( ) A.①②B.①③④C.①②④D.②④2.若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a ∈R ，结论是：a 2>0，那么这个演绎推理出错在( ) A.大前提B.小前提C.推理过程D.其他3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误4. 用反证法证明命题“若a 2+b 2+c 2≠0，则a,b ,c 不全为零”反设正确的是( )A. a ,b ,c 全不为零B.a ,b ,c 全为零C.a ,b ,c 恰有一个为零D.a ,b ,c 至少有一个为零 5.用反证法证明“关于x 的方程ax=b （a ≠0）有且只有一个根”时，应该假设方程（ ） A.无解 B.两解 C.至少两解 D.无解或至少两解6.(2012江西)观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+= 则1010a b += （ ） A ．28 B ．76 C ．123 D ．1997. 观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为( ) A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125 8.用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 9.（2012全国卷理）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p （C ）,p p 24()D ,p p 3410.（2011重庆理）复数2341i i ii++=-（ ）（A ）1122i -- (B) 1122i -+ (C)1122i - (D) 1122i +11.212.[2011·陕西卷] 观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为_______________________________． 13.若数列{a n }，(n ∈N *)是等差数列,则有数列b n =na a a n +⋯++21(n ∈N *)也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{c n }是等比数列,且c n ＞0(n ∈N *),则有d n =___ ___ __(n ∈N *)也是等比数列.14.由“三角形的两边之和大于第三边”可以类比推出三棱锥的类似属性是 . 15.下列两个方程：x 2+(a -1)x +a 2=0,x 2+2ax -2a=0中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围.16.在数列{a n }中，)(22,111++∈+==N n a a a a nn n ，试猜想这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明.选修2-2 复习学案参考答案一、导数及其应用例1 （1）① (1,0)或(1,4)-- ② 440x y --= （2）210x y --=或10250x y --= 变式1 2a ≥例2略解：(1)2,21-=-=b a'22222223(2).()32,3201(),(1)332721(1),(2)2,()[1,2](2)22212f x x x x x x x f c f cf c f c f x f c c c c c =----==-=-=+=-+-=+=+-=+>+<->由得或且所以在上的最大值为从而解得或（3）由（2）知，结合图像应满足(1)02212272()03f c f -≤⎧⎪-<≤-⎨->⎪⎩得 变式2略解(1)求得x x x f 3)(3-=(2)设切点为33)(),3,(2'0300-=-x x f x x x M 因为200'20300020300200302066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x M x x m y -=++-=**=++---=----=-则设有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为'00000000()001()(,0),(1,),(0,1),()0,1(0)032(1)0(3,2)g x x x g x g x x x x g m g m ===-∞+∞==*>⎧-<<-⎨<⎩--由得或所以在上单调递增在上单调递减故函数的极值点为所以关于的方程有三个不同实根的充要条件是 解得所求的实数的取值范围是例3 解： 方法１：)1)((66)1(66)(2'--=++-=x a x a x a x x f方法２： 方法３．变式3 （1）1(,3][,2)2-∞-（2）2-例4 （1）a e =（2）1(ln,)22-+∞（详解见导学案《阶段质量检测一》18题） 例5 （1）58ln3+ （2）2π （3）3 （4）23t + （5）16 （6）136 21,()(,1),(,),.1,()6(1)0,()(,).1,()(,),(1,),()(,0),01.0,()(,0).a f x a a f x x f x a f x a f x a a f x >-∞+∞==-≥-∞+∞<-∞+∞-∞≤<≥-∞当时在上递增符合条件当时恒成立在上递增当时在上递增要保证在上递增则综上所述时在上递增'()(,0)()0(,0)(1)(1)(,0)0,10f x f x x x x a x x x x x aa -∞≥∈-∞-≥-∈-∞<∴-<∴≤≥因为在上递增所以在上恒成立即在上恒成立从而'2'()66(1)6(,0]1100220(0)00f x x a x a a a f a =-++-∞++⎧⎧≥<⎪⎪⎨⎨⎪⎪∆≤≥⎩⎩≥保证在上最小值大于或等于零故有或可解得二、推理与证明与复数 1-5 CACBD 6-10 CDDCC 11.<12.n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)=(2n －1)213.n n c c c c (321)14.三棱锥任意三个面的面积和大于第四个面的面积15.若两个方程都没有实根，则⎩⎨⎧<∆<∆0021，解得-2<a <-1，所以a ≥1,或a ≤ 216解：在数列{a n }中，∵)(22,111++∈+==N n a a a a nnn,15222,14222,13222,12222,2214453342231121+=+=+=+=+=+=+=+===a a a a a a a a a a a a a ∴可以猜想，这个数列的通项公式是12+=n a n 。

1.3.1函数的单调性与导数（2课时）教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2()4.96.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．3.3-3，导数'0()f x 如图表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 3．求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息： 当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增； 当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+解：（1）因为3()3f x x x =+，所以， '22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=- 当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-<因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． 解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些． 如图3.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”， 在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．例4．求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤： （1）求导函数()'f x ；（2）判断()'fx 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0fx >为增函数，()'0f x <为减函数．例5．已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例6．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间. 解：y ′=(x +x1)′ =1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=-令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令2)1)(1(x x x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.∴y =x +x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+7 2.f (x )=x1+2x 3. f (x )=sin x , x ]2,0[π∈ 4. y=xlnx 2．课本 练习 五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数()y f x =单调区间（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性六．布置作业。

1．3.4 函数与导数综合问题1．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．2．会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值．基础梳理1．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数与函数的单调性：一般地，设函数y＝f(x)在某个区间可导，如果f′(x)＞0，则y＝f(x)为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)为常函数．3．导数与函数的极值点及极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．4．导数与函数的最值：一般地，在区间[a，b]上连续的函数y＝f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．自测自评1．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程为4x－y－3＝0．2．函数y＝1＋3x－x3有(D)A．极小值－1，极大值1B．极小值1，极大值3C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值33．设a ＜b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是(C )解析：y ′＝(x －a )(3x －a －2b )，由y ′＝0，得x ＝a 或x ＝a ＋2b3，∴当x ＝a 时，y取极大值0；当x ＝a ＋2b3时，y 取极小值且极小值为负．当x ＜b 时，y ＜0；当x ＞b 时，y＞0，选C.基础巩固1．曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是(C ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15解析：∵y ′＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3，切线方程为y －12＝3(x －1)，即y ＝3x ＋9，令x ＝0，得y ＝9.故选C.2．方程2x 3－6x 2＋7＝0 在区间(0，2)内根的个数为(B ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解析：设f (x )＝2x 3－6x 2＋7，则f ′(x )＝6x 2－12x ，当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(0，2)内单调递减．又f (0)＝7，f (2)＝－1， ∴方程在(0，2)内只有1个根．3．若f ′(x )＝4x 3＋2，则f (x )可能是(C ) A ．f (x )＝4x 4＋2 B ．f (x )＝x 4＋2 C ．f (x )＝x 4＋2x ＋1 D ．f (x )＝4x 4＋2x4．函数f (x )＝sin x ＋cos x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，函数的最大值、最小值分别是________．解析：f ′(x )＝cos x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，令f ′(x )＝0，得x ＝π4，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，即最大值为2，最小值为－1.答案：2，－1 能力提升5．若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＜0)在R 上为减函数，则(D ) A ．b 2－4ac ≥0 B ．b ＞0，c ＞0 C ．b ＝0，c ＞0 D ．b 2－3ac ≤06．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0对任意正数a 、b ，若a ＜b ，则必有(C )A ．af (a )≤f (b )B ．bf (b )≤f (a )C ．af (b )≤bf (a )D ．bf (a )≤af (b )解析：设g (x )＝xf (x )，则由g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )≤0，知g (x )在(0，＋∞)上递减． 又0＜a ＜b ，f (x )≥0，∴bf (b )＜af (a )，∴af (b )＜bf (b )＜af (a )＜bf (a )． 当f (x )＝0时，f (b )＝f (a )＝0，∴af (b )≤bf (a )．故选C.7．若函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0，2]上有最大值f (2)，则a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝2ax ＋4，f (x )在[0，2]上有最大值f (2)，则要求f (x )在[0，2]上单调递增，则2ax ＋4≥0在[0，2]上恒成立．当a ≥0时，2ax ＋4≥0恒成立．当a ＜0时，要求4a ＋4≥0恒成立，即a ≥－1，所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞) 8．曲线y ＝e －2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形面积是________．解析：∵y ′＝－2e－2x，∴y ′|x ＝0＝－2，切线方程为y ＝－2x ＋2.∴所围成的三角形的三个顶点为(0，0)，(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23.∴S ＝12×1×23＝13. 答案：139．函数f (x )＝x 2＋a ln(1＋x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求a 的取值范围为． 解析：f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋a 1＋x (1＋x )′＝2x ＋a1＋x ＝2x 2＋2x ＋a1＋x(x ＞－1)，由题意知2x 2＋2x ＋a ＝0在(－1，＋∞)上有两个不等实根x 1，x 2且x 1＜x 2， 令g (x )＝2x 2＋2x ＋a (x ＞－1)， 故需⎩⎪⎨⎪⎧g －12<0g －1>0，解之得0＜a ＜12.10．设函数f (x )＝e x－ax －2. (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＝1，k 为整数，且当x ＞0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1＞0，求k 的最大值． 解析：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1.故当x ＞0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1＞0等价于k ＜x ＋1e x －1＋x (x ＞0)．①令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ，则g ′(x )＝－x e x－1（e x －1）2＋1＝e x（e x－x －2）（e x －1）2. 由(1)知，函数h (x )＝e x－x －2在(0，＋∞)上单调递增．而h (1)＜0，h (2)＞0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点，故g ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为a ，则a ∈(1，2)．当x ∈(0，a )时，g ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，g ′(x )＞0.所以g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (a )．又由g ′(a )＝0，可得e a＝a ＋2，所以g (a )＝a ＋1∈(2，3)．由于①式等价于k ＜g (a )，故整数k 的最大值为2.。

1．3 导数在研究函数中的应用1．3.1 函数的单调性与导数1．掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．基础梳理1．一般地，可导函数f(x)的单调性与其导函数f′(x)有如下关系：成立吗？解析：不一定成立．例如，f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0)＝0，即f′(x)>0是f(x)在该区间内单调递增的充分不必要条件．(2)利用导数求函数的单调区间，需要先确定什么？解析：函数的定义域．函数的单调区间是函数定义域的子集．2．函数单调性与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)内，(1)如果|f′(x)|越大，函数在区间(a，b)内变化得越快，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；(2)如果|f′(x)|越小，函数在区间(a，b)内变化得越慢，函数的图象就比较“平缓”(向上或向下)．自测自评1．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是(D) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞)解析：f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x，令f ′(x )>0，解得x >2. 2．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的单调递减区间为(D) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，0) D ．(0，2)解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜2，所以f (x )的单调递减区间为(0，2)．故选D.3．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有(A )A ．f (2)<f (e)<f (3)B ．f (e)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：在(0，＋∞)内，f ′(x )＝12x ＋1x>0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．基础巩固1．函数y ＝4x 2＋1x的单调增区间是(C )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞) 2．若在区间(a ，b )内有f ′(x )＞0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有(A ) A ．f (x )＞0 B ．f (x )＜0 C ．f (x )＝0 D ．f (x )≥03．下列区间中，使函数y ＝x ·cos x －sin x 为增函数的区间是(B ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π) 解析：f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x ·sin x ，当x ∈(π，2π)时，f ′(x )>0.故选B.4．函数f (x )＝sin x －2x 的递减区间是________．解析：因为f ′(x )＝cos x －2＜0，所以f (x )在R 上为减函数． 答案：(－∞，＋∞) 能力提升5．(·新课标全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是(D )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：f ′(x )＝k －1x ，由已知得f ′(x )≥0在x ∈(1，＋∞)恒成立，故k ≥1x，因为x >1，所以0<1x<1，故k 的取值范围是[1，＋∞)．6．设f ′(x )是函数f (x )的导函数， y ＝f ′(x ) 的图象如下图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是(C )解析：由f ′(x )的图象可知，x <0或x >2时，f ′(x )>0；0<x <2时，f ′(x )<0，所以，函数f (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，在(0，2)内单调递减．7．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是________． 解析：由f ′(x )＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，知a ＞0. 答案：(0，＋∞)8．(·武汉调研)若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间，∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0. 答案：(0，＋∞)9．已知函数f (x )＝kx 3－3(k ＋1)x 2－k 2＋1(k ＞0)．若f (x )的单调递减区间为(0，4)，单调递增区间为(－∞，0)与(4，＋∞)，求k 的值．解析：f ′(x )＝3kx 2－6(k ＋1)x ，由题知x ＝0或x ＝4为方程f ′(x )＝0的两根， ∴0＋4＝4＝6（k ＋1）3k.∴k ＝1.10．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x.设f (x )在区间[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围．解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]．令f ′(x )＝0，即x 2＋2(1－a )x －2a ＝0. 解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2， 其中x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：∵∴x 1<－1，x 2≥0，f (x )在(x 1，x 2)上单调递减．由此可得f (x )在[－1，1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.故所求a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。

1．1.1&1.1.2 变化率问题 导数的概念(1)平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？(2)瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？(3)如何用定义求函数在某一点处的导数？[新知初探]1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)意义：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． (4)平均变化率的几何意义：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率，如图所示．[点睛] Δx 是变量x 2在x 1处的改变量，且x 2是x 1附近的任意一点，即Δx ＝x 2－x 1≠0，但Δx 可以为正，也可以为负．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率Δx 趋于0的距离要多近有多近，即|Δx －0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx ≠0. 3预习课本P2～6，思考并完成下列问题[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( ) (3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．质点运动规律为s (t )＝t 2＋3，则从3到3＋Δt 的平均速度为( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt答案：A3．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上两点A ，B ，且x A ＝1，x B ＝1.1，则函数f (x )从A 点到B 点的平均变化率为( )A ．4B ．4xC ．4.2D ．4.02答案：C4．在f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx中，Δx 不可能为( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0答案：C[典例] 求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？[解] 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx ；若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193，由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0. (3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0.[活学活用]求函数y ＝x 3从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．解：当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )3－x 30Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2，当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值为3×12＋3×1×12＋⎝⎛⎭⎫122＝194.[典例] ＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．[解] (1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即 [0，Δt ]， ∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ，li mΔt →0 ΔsΔt＝li m Δt →0 (3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt ]， ∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt ， li mΔt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1.1．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝ΔsΔt；(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx(当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法 (1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算；(2)求出ΔyΔx 的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可．[活学活用]一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝12t 2，则t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：选A ∵Δs Δt ＝12(2＋Δt )2－12×22Δt ＝12Δt ＋2，∴li m Δt →0 ΔsΔt＝li m Δt →0 ⎝⎛⎭⎫12Δt ＋2＝2，故选A.[典例] (1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值Δy Δt； ②求t 1＝4时的导数． [解析] (1)Δy ＝1＋Δx －1，ΔyΔx＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1，li mΔx →0 11＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝12. 答案：(1)12(2)解：①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201，ΔyΔt＝48.120 1.②li mΔt →0 ΔyΔt＝li m Δt →0[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48， 故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48， 即y ′|t 1＝4＝48.1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)求极限li mΔx →0 ΔyΔx. 2．瞬时变化率的变形形式li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li mΔx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝li mΔx →0 f (x 0＋n Δx )－f (x 0)n Δx＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )2Δx＝f ′(x 0)．[活学活用]求函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数．解：因为Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －()1－1＝Δx ＋Δx 1＋Δx，所以Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx. 当Δx →0时，ΔyΔx→2， 所以函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数为2.层级一 学业水平达标1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．椭圆D ．直线解析：选D 当f (x )＝b 时，瞬时变化率li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m △x －0 b －b Δx ＝0，所以f (x )的图象为一条直线．2．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) A ．2.1 B ．1.1 C ．2D ．0解析：选A Δy Δx ＝f (1.1)－f (1)1.1－1＝0.210.1＝2.1.3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b解析：选C f′(x0)＝li m△x－0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝li m△x－0(a＋b·Δx)＝a.4．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为() A．6B．18C．54D．81解析：选B∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32＝18Δt＋3(Δt)2.∴ΔsΔt＝18＋3Δt.∴li m△x－0ΔsΔt＝li m△x－0(18＋3Δt)＝18，故应选B.5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝()A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx C．－3 D．0解析：选C f′(0)＝li m△x－0(0＋Δx)2－3(0＋Δx)－02＋3×0Δx＝li m△x－0(Δx)2－3ΔxΔx＝li m△x－0(Δx－3)＝－3.故选C.6．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.解析：∵f′(1)＝li m△x－0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝li m△x－0a(1＋Δx)＋4－(a＋4)Δx＝a，∴a＝2.答案：27.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．解析：v1＝k OA，v2＝k AB，v3＝k BC，由图象知k OA＜k AB＜k BC.答案：v 1＜v 2＜v 38．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______． 解析：∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 答案：28π3 9．质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(s 单位：m ，t 单位：s)．若质点在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解：∵Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[a (2＋Δt )2＋1]－(a ×22＋1)＝4a Δt ＋a (Δt )2，∴ΔsΔt＝4a ＋a Δt ， ∴在t ＝2时，瞬时速度为li m △x－ΔsΔt＝4a,4a ＝8，∴a ＝2. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1x ，x >0，1＋x 2，x ≤0求f ′(4)·f ′(－1)的值． 解：当x ＝4时，Δy ＝－14＋Δx ＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx (4＋Δx ＋2).∴Δy Δx＝124＋Δx (4＋Δx ＋2).∴li m Δx →ΔyΔx ＝li m Δx →0124＋Δx (4＋Δx ＋2)＝12×4×(4＋2)＝116.∴f ′(4)＝116. 当x ＝－1时，Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝1＋(－1＋Δx )2－1－(－1)2Δx＝Δx －2，由导数的定义，得f ′(－1)＝li m Δx →(Δx －2)＝－2， ∴f ′(4)·f ′(－1)＝116×(－2)＝－18.层级二 应试能力达标1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析：选C Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝2(1＋Δx )2－4＋2Δx ＝2(Δx )2＋4ΔxΔx＝2Δx ＋4.2.甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲＞v 乙B ．v 甲＜v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定解析：选B 设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC ＜k BC ，所以v 甲＜v 乙．3．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足li m Δx →f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选B ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝li m Δx →0 f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝li m Δx →0 f (Δx )Δx ＝－1，∴选B.4．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．－4B ．2C ．－2D ．±2解析：选D f ′(x )＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝－2x 2，于是有－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.5．已知函数f (x )＝－x 2＋x 在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t ＝________. 解析：∵Δy ＝f (1)－f (t )＝(－12＋1)－(－t 2＋t )＝t 2－t ，∴Δy Δx ＝t 2－t 1－t ＝－t . 又∵Δy Δx＝2，∴t ＝－2. 答案：－26．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.解析：Δs Δt ＝7(t 0＋Δt )2＋8－(7t 20＋8)Δt＝7Δt ＋14t 0，当li m Δx →(7Δt ＋14t 0)＝1时，t ＝t 0＝114. 答案：1147．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解：位移公式为s ＝12at 2，∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2， ∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴li m Δx →0 Δs Δt ＝li m Δx →0 ⎝⎛⎭⎫at 0＋12a Δt ＝at 0， 已知a ＝5.0×105m /s 2，t 0＝1.6×10－3s ，∴at 0＝800 m/s. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.8．设函数f (x )在x 0处可导，求下列各式的值． (1) li m Δx →f (x 0－m Δx )－f (x 0)Δx；(2li m Δx →f (x 0＋4Δx )－f (x 0＋5Δx )Δx.解：(1) li m Δx →f (x 0－m Δx )－f (x 0)Δx＝－m li mΔx→0f(x0－mΔx)－f(x0)－mΔx＝－mf′(x0)．(2)原式＝li mΔx→0f(x0＋4Δx)－f(x0)－[f(x0＋5Δx)－f(x0)]Δx＝li mΔx→0f(x0＋4Δx)－f(x0)Δx－li mΔx→0f(x0＋5Δx)－f(x0)Δx＝4li mΔx→0f(x0＋4Δx)－f(x0)4Δx－5li mΔx→0f(x0＋5Δx)－f(x0)5Δx＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．1．1.3 导数的几何意义预习课本P6～8，思考并完成下列问题(1)导数的几何意义是什么？(2)导函数的概念是什么？怎样求导函数？(3)怎么求过一点的曲线的切线方程？[新知初探]1．导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PP n ，当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)．2．导函数的概念(1)定义：当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)． (2)记法：f ′(x )或y ′，即f ′(x )＝y ′＝li m Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx.[点睛] 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域相同．( ) (2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (3)函数f (x )＝0没有导函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案：B3．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2答案：D4．抛物线y 2＝x 与x 轴、y 轴都只有一个公共点，在x 轴和y 轴这两条直线中，只有________是它的切线，而______不是它的切线．答案：y 轴 x 轴[典例] 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43，求曲线C 上的横坐标为2的点处的切线方程．[解] 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点P (2,4)．y ′|x ＝2＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝li m Δx →0 [4＋2·Δx ＋13(Δx )2]＝4.∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y－4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤2．求过曲线y ＝f (x )外一点P (x 1，y 1)的切线方程的六个步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)利用所设切点求斜率k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(3)用(x 0，f (x 0))，P (x 1，y 1)表示斜率． (4)根据斜率相等求得x 0，然后求得斜率k . (5)根据点斜式写出切线方程．(6)将切线方程化为一般式． [活学活用]过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程为( ) A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 B ．x －y －2＝0C ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0D ．x －y ＋2＝0解析：选A 显然点(1，－1)在曲线y ＝x 3－2x 上， 若切点为(1，－1)，则由f ′(1)＝li m Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝li m Δx →0(1＋Δx )3－2(1＋Δx )－(－1)Δx＝li m Δx →[(Δx )2＋3Δx ＋1]＝1， ∴切线方程为y －(－1)＝1×(x －1)，即x －y －2＝0. 若切点不是(1，－1)，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0＋1x 0－1＝x 30－2x 0＋1x 0－1＝(x 30－x 0)－(x 0－1)x 0－1＝x 20＋x 0－1， 又由导数的几何意义知k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )－(x 30－2x 0)Δx ＝3x 20－2， ∴x 20＋x 0－1＝3x 20－2，∴2x 20－x 0－1＝0，∵x 0≠1，∴x 0＝－12.∴k ＝x 20＋x 0－1＝－54， ∴切线方程为y －(－1)＝－54(x －1)，即5x ＋4y －1＝0，故选A.[典例] 已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°. (2)切线平行于直线4x －y －2＝0. (3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0. [解] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x ⎪⎪⎪2－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ， 当Δx →0时，ΔyΔx→4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1.即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，则k ·⎝⎛⎭⎫－18＝－1，即k ＝8， 故f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，∴切点坐标为(2,9)．求切点坐标可以按以下步骤进行(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标． [活学活用]直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，则a 的值为___________，切点坐标为____________．解析：设直线l 与曲线C 的切点为(x 0，y 0)， 因为y ′＝li m Δx →(x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx ＝3x 2－2x ，则y ′|x ＝x 0＝3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－13， 当x 0＝1时，y 0＝x 30－x 20＋1＝1，又(x 0，y 0)在直线y ＝x ＋a 上，将x 0＝1，y 0＝1代入得a ＝0与已知条件矛盾舍去． 当x 0＝－13时，y 0＝⎝⎛⎭⎫－133－⎝⎛⎭⎫－132＋1＝2327， 则切点坐标为⎝⎛⎭⎫－13， 2327，将⎝⎛⎭⎫－13， 2327代入直线y ＝x ＋a 中得a ＝3227. 答案：3227 ⎝⎛⎭⎫－13， 2327层级一 学业水平达标1．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析：选C f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，当切线垂直于x 轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．2．曲线f (x )＝－2x 在点M (1，－2)处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x ＋4 B ．y ＝－2x －4 C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4解析：选C Δy Δx ＝－21＋Δx ＋2Δx ＝21＋Δx ，所以当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.所以直线方程为y ＋2＝2(x －1)．即y ＝2x －4.故选C.3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( ) A ．1 B.π4 C.5π4D ．－π4解析：选B ∵y ′＝li m Δx →⎣⎡⎦⎤13(x ＋Δx )3－2－⎝⎛⎭⎫13x 3－2Δx＝li m Δx →0⎣⎡⎦⎤x 2＋x Δx ＋13(Δx )2＝x 2， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线的倾斜角为π4，故应选B.4．曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1解析：选A ∵y ′|x ＝1＝li m Δx →0a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝li m Δx →02a Δx ＋a (Δx )2Δx ＝li mΔx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，∴a ＝1.5．过正弦曲线y ＝sin x 上的点⎝⎛⎭⎫π2，1的切线与y ＝sin x 的图象的交点个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：选D 由题意，y ＝f (x )＝sin x ， 则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝li m Δx →0 sin ⎝⎛⎭⎫π2＋Δx －sin π2Δx ＝li m Δx →0cos Δx －1Δx .当Δx →0时，cos Δx →1， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.∴曲线y ＝sin x 的切线方程为y ＝1，且与y ＝sin x 的图象有无数个交点．6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由点M 在切线上得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：37．已知曲线f (x )＝x ，g (x )＝1x 过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f (x )在交点处的切线方程为____________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝xy ＝1x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴两曲线的交点坐标为(1,1)． 由f (x )＝x ，得f ′(x )＝li m △x →1＋Δx －1Δx ＝li m Δx →011＋Δx ＋1＝12，∴y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)．即x －2y ＋1＝0， 答案：x －2y ＋1＝08．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________． 解析：设f (x )＝y ＝x 2－3x ，切点坐标为(x 0，y 0)， f ′(x 0)＝li m Δx →0(x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－x 20＋3x 0Δx＝li m Δx →0 2x 0Δx －3Δx ＋(Δx )2Δx ＝2x 0－3＝1，故x 0＝2，y 0＝x 20－3x 0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)． 答案：(2，－2)9．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.10．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵Δy Δx ＝(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )2＋3－(x 30－2x 20＋3)Δx＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0. ∴当Δx →0时，Δy Δx→3x 20－4x 0，即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0， 由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2.∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)， 当切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝⎛⎭⎫－23＋a ，∴a ＝12127， 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5， 当a ＝12127时，切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927； a ＝－5时，切点为(2,3)．层级二 应试能力达标1.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则点A 处的切线斜率等于( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．6解析：选D Δy ＝2(1＋Δx )3－2×13＝6Δx ＋6(Δx )2＋2(Δx )3，li m Δx →ΔyΔx ＝li m Δx →0[2(Δx )2＋6Δx ＋6]＝6，故选D.3．设f (x )存在导函数，且满足li m Δx →f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解析：选B li m Δx →0 f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝li m Δx →0 f (1－2Δx )－f (1)－2Δx ＝f ′(x )＝－1.4．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 为( )A.13B.23 C ．－23D ．－13解析：选D 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.5.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li m Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝______.解析：由导数的概念和几何意义知， li m Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2.答案：－26．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 解析：由导数的定义，得f ′(0)＝li m Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx＝li m Δx →0 a (Δx )2＋b Δx ＋c －cΔx ＝li m Δx →0 (a ·Δx ＋b )＝b .又因为对于任意实数x ，有f (x )≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a >0，所以ac ≥b 24，所以c >0.所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2.答案：27．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．解：∵f ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0a (x ＋Δx )2＋1－(ax 2＋1)Δx ＝2ax ，∴f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a .∵g ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3＋b (x ＋Δx )－(x 3＋bx )Δx＝3x 2＋b ，∴g ′(1)＝3＋b ，即切线斜率k 2＝3＋b . ∵在交点(1，c )处有公共切线，∴2a ＝3＋b .又∵a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，故可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.8．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－x 2－1Δx＝2x ＋Δx ，∴y ′＝li m Δx →ΔyΔx ＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1，∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)，即x 20－2x 0＋a －1＝0.∵切线有两条， ∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．第二课时 导数的运算法则预习课本P15～18，思考并完成下列问题(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？(2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？[新知初探]1．导数的四则运算法则 (1)条件：f (x )，g (x )是可导的．(2)结论：①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． ②[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． ③⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． [点睛] 应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算． (2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． (3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．2．复合函数的求导公式(1)复合函数的定义：①一般形式是y ＝f (g (x ))． ②可分解为y ＝f (u )与u ＝g (x )，其中u 称为中间变量．(2)求导法则：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为：y x ′＝y u ′·u x ′.[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( )(2)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( )(3)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x C ．y ′＝2cos x ·sin x D ．y ′＝cos x ·sin x答案：B3．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 答案：－x sin x4．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________. 答案：1[典例] 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝cos x x . [解] (1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′ ＝2x ＋1x ln 3. (2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝e x (x 3＋3x 2)．(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2 ＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2.求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． [活学活用]求下列函数的导数：(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝e xsin x.解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x . (2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′ ＝－sin x ·ln x ＋cos x x .(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2x＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x (sin x －cos x )sin 2x[典例] 求下列函数的导数： (1)y ＝11－2x2；(2)y ＝e sin(ax ＋b )； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)． [解] (1)设y ＝u －12，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u －12)′ (1－2x 2)′＝⎝⎛⎭⎫－12u －32·(－4x ) ＝－12(1－2x 2)－32 (－4x )＝2x (1－2x 2)－32.(2)设y ＝e u ，u ＝sin v ，v ＝ax ＋b ， 则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝e u ·cos v ·a ＝a cos(ax ＋b )·e sin(ax ＋b )．(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v cos v ＝2sin 2v ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )′·(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.1．求复合函数的导数的步骤2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点． [活学活用]求下列函数的导数：(1)y ＝(3x －2)2； (2)y ＝ln(6x ＋4)； (3)y ＝e 2x＋1；(4)y ＝2x －1；(5)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4；(6)y ＝cos 2x . 解：(1)y ′＝2(3x －2)·(3x －2)′＝18x －12； (2)y ′＝16x ＋4·(6x ＋4)′＝33x ＋2；(3)y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1； (4)y ′＝122x －1·(2x －1)′＝12x －1.(5)y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4·⎝⎛⎭⎫3x －π4′＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. (6)y ′＝2cos x ·(cos x )′＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x .[典例] (1)函数y ＝2cos 2x 在x ＝π12处的切线斜率为________．(2)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )，①求f (1)＋f ′(1)．②若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．[解析] (1)由函数y ＝2cos 2x ＝1＋cos 2x ，得y ′＝(1＋cos 2x )′＝－2sin 2x ，所以函数在x ＝π12处的切线斜率为－2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＝－1. 答案：－1(2)解：①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝ax 2＋ln x ，得f ′(x )＝2ax ＋1x ， 所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.②因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点，即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．[活学活用]若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 的值为( ) A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，直线方程为y ＝0. 由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564. 当x 0＝32时，直线方程为y ＝274x －274.由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1.层级一 学业水平达标1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B. 2 C ．－1D ．0解析：选A ∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， 又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1.2．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)·(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1，∴y ′|x ＝1＝4.3．曲线f (x )＝x ln x 在点x ＝1处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋2 B ．y ＝2x －2 C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋1解析：选C ∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴在点x ＝1处曲线f (x )的切线方程为y ＝x －1.4. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194B.174C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.5．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3.6．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′|x ＝1＝3×12－1＝2. ∴切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝07．已知曲线y 1＝2－1x 与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0＝________.解析：由题知y ′1＝1x 2，y ′2＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20，3x 20－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 20＝3，所以x 0＝1.答案：18．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22， 得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x . ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1. 答案：19．求下列函数的导数： (1)y ＝x sin 2x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1；(3)y ＝x ＋cos xx ＋sin x；(4)y ＝cos x ·sin 3x .解：(1)y ′＝(x )′sin 2x ＋x (sin 2x )′ ＝sin 2x ＋x ·2sin x ·(sin x )′＝sin 2x ＋x sin 2x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝－2e x (e x－1)2.(3)y ′＝(x ＋cos x )′(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(x ＋sin x )′(x ＋sin x )2＝(1－sin x )(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(1＋cos x )(x ＋sin x )2＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1(x ＋sin x )2.(4)y ′＝(cos x ·sin 3x )′＝(cos x )′sin 3x ＋cos x (sin 3x )′ ＝－sin x sin 3x ＋3cos x cos 3x ＝3cos x cos 3x －sin x sin 3x .10．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解：∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1. 又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， ∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1. ∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1. ∴a ＝52，c ＝－92.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.层级二 应试能力达标1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0解析：选B ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 2．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1解析：选C 函数的导数为f ′(x )＝e x －1＋x e x －1＝(1＋x )e x －1，当x ＝1时，f ′(1)＝2，即曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，故选C. 3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e解析：选C ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e ，故选C.4．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析：选C ∵f (x )＝x 2－2x －4ln x ， ∴f ′(x )＝2x －2－4x ＞0，整理得(x ＋1)(x －2)x ＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞2，又因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以x ＞2.5．已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________________． 解析：∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a，设切点为(x 0，y 0)， 则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且1x 0＋a＝2，解之得a ＝12ln 2.答案：12ln 26．曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线为l ，则l 上的点到圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0上的点的最近距离是____________．解析：y ′＝－1(2x －1)2，则y ′⎪⎪x ＝1＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d ＝22，圆的半径r ＝1，∴所求最近距离为22－1.答案：22－17．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0. (1)求a ，b 的值；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线l ：y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)∵f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ， 由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6， 解得a ＝1，b ＝－16.(2)∵切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1. 由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14， 或y 0＝－1－1－16＝－18.则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.8．设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎝⎛⎭⎫0， 23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜2n3n ＋1.解：(1)由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1.所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2＋n ·2n －1，① 则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n ，② ①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1－2n 1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1， 所以f n ′(2)＝(n －1)·2n ＋1. (2)因为f (0)＝－1＜0，f n ⎝⎛⎭⎫23＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n 1－23－1＝1－2×⎝⎛⎭⎫23n ≥1－2×⎝⎛⎭⎫232＞0， 因为x ≥0，n ≥2.所以f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1为增函数， 所以f n (x )在⎝⎛⎭⎫0， 23内单调递增， 因此f n (x )在⎝⎛⎭⎫0， 23内有且仅有一个零点a n . 由于f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n1－a n－1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n＞12，故12＜a n ＜23. 所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×⎝⎛⎭⎫23n ＋1＝2n3n ＋1.导数的计算第一课时几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式预习课本P12～14，思考并完成下列问题(1)函数y＝c，y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝x的导数分别是什么？能否得出y＝x n的导数公式？(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？[新知初探]1．几种常用函数的导数[点睛](1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得的，都属于幂函数的导数．(2)以上几个常见的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导．2．基本初等函数的导数公式1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( )(2)若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x ．( ) (3)f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3x 4.( )答案：(1)× (2)× (3)√ 2．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝0，则y ′＝0 B ．若y ＝5x ，则y ′＝5 C ．若y ＝x －1，则y ′＝－x －2D ．若y ＝x 12，则y ′＝12x 12答案：D3．若y ＝cos 2π3，则y ′＝( )A ．－32B ．－12C ．0 D.12答案：C4．函数y ＝x 在点⎝⎛⎭⎫14，12处切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4答案：B[典例] 求下列函数的导数．(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝3x ；(5)y ＝log 5x .[解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x -25.(4)y ′＝(3x )′＝3x ln 3. (5)y ′＝(log 5x )′＝1x ln 5.求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．[活学活用]求下列函数的导数：(1)y ＝lg x ；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x . 解：(1)y ′＝(lg x )′＝⎝⎛⎭⎫ln x ln 10′＝1x ln 10. (2)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32x 12＝32x .(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫log 13x ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.[典例] 已知曲线y ＝1x .(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程． [解] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)显然P (1,1)是曲线上的点，所以P 为切点，所求切线斜率为函数y ＝1x 在点P (1,1)的导数，即k ＝f ′(1)＝－1.所以曲线在P (1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即为y ＝－x ＋2. (2)显然Q (1,0)不在曲线y ＝1x 上，则可设过该点的切线的切点为A ⎝⎛⎭⎫a ， 1a ， 那么该切线斜率为k ＝f ′(a )＝－1a 2.则切线方程为y －1a ＝－1a 2(x －a )．①将Q (1,0)代入方程：0－1a ＝－1a2(1－a )．将得a ＝12，代入方程①整理可得切线方程为y ＝－4x ＋4.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． [活学活用]当常数k 为何值时，直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切？请求出切点． 解：设切点为A (x 0，x 20＋k )．∵y ′＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1，x 20＋k ＝x 0， ∴⎩⎨⎧x 0＝12，k ＝14，故当k ＝14时，直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切，且切点坐标为⎝⎛⎭⎫12， 12.[典例] (1)质点的运动方程是S ＝sin t ，则质点在t ＝π3时的速度为________；质点运动的加速度为________．(2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析] (1)v (t )＝S ′(t )＝cos t ， ∴v ⎝⎛⎭⎫π3＝cos π3＝12. 即质点在t ＝π3时的速度为12.∵v (t )＝cos t ， ∴加速度a (t )＝v ′(t )＝(cos t )′＝－sin t . 答案：12－sin t(2)解：由于y ＝sin x ，y ＝cos x ，设这两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)．∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为k 1＝cos x 0，k 2＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1， 即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．导数的综合应用的解题技巧(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在．(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题．可以结合导数的几何意义分析．[活学活用]曲线y ＝x 23在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为( )。